RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO
VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 2.
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
13. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o
velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro
gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual
é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104
km/h?
b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h,
mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de
aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que
representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.
RESOLUÇÃO:
a) Considerando como y o ângulo de giro do ponteiro, y = α°v, sendo α uma constante real.
210 7
Se para v = 240km/h, y = 210° ⇒ 210° = 240α° ⇒ a =
=
240 8
7
Para v = 104km/h, y = 104 ° = 91°
8
RESPOSTA: O ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o
velocímetro marca 104 km/h mede 91°.
b) Considerando que a velocidade real é dada pela função v(x) = ax+ b quando o velocímetro marca uma
velocidade de x km/h.
Se o velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, então,
v(20) = 20a+ b = 20.
Se indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h, então v(70) = 70a+ b = 65.
20a + b = 20
50a = 45 ⇒ a = 0,9
(L 2 − L1 ) ⇒ 
⇒ v(x) = 0,9x + 2 .

70a
+
b
=
65

18 + b = 20 ⇒ b = 2
RESPOSTA: A função v(x) = 0,9x +2 representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro
marca uma velocidade de x km/h.
1
14. A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada ao
lado.
a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m²,
deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de
perímetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o
número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o
espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas
uniformemente pelo perímetro do cômodo.
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada,
localizada no centro do teto do cômodo, ao interruptor, situado a
1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como está indicado
na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e
desprezando a espessura da parede e do teto, determine o
comprimento mínimo de fio necessário para conectar o interruptor à
lâmpada.
RESOLUÇÃO:
a) O cômodo representado pela figura tem perímetro, incluindo a largura da porta, de 2(2,4 + 3) = 10,8m .
Para um número mínimo de tomadas, o espaçamento entre elas deveria no máximo ser de 5m.
10,8
O número n de tomadas será então dado por n ≥
= 2,16 ⇒ n = 3 .
5
10,8
Como o número mínimo de tomadas deve ser 3, o espaçamento entre elas deve ser de
= 3.6m .
3
RESPOSTA: 3 Tomadas com espaçamento de 3,6m.
b) Como a largura do cômodo é de 2,4m, a distância do ponto
C, centro do teto, à parede onde está o interruptor E é de 1,2m,
e está representada na figura pelo segmento AB perpendicular
ao plano dessa parede. Sendo B o ponto médio do segmento
DE , AD = 1m, então AB = 0,5m.
Logo, AC = 1,2 2 + 0,5 2 = 1,69 = 1,3 m
Assim, o comprimento mínimo de fio necessário para conectar
o interruptor à lâmpada é de 1,7m+1,3m= 3,0m.
RESPOSTA: 3,0m.
15. O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática
x +1
obtida a partir de
=x.
x
a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.
b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é
se n = 1 ou 2;
1,
F(n − 1) + F(n − 2), se n > 2.
definido recursivamente pela fórmula F(n) = 
Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior.
Calcule o 10o e o 11o termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal
para o número áureo.
RESOLUÇÃO:
x +1
1± 1+ 4 1± 5
=
= x ⇒ x2 − x −1 = 0 ⇒ x =
x
2
2
1+ 5
RESPOSTA: O número áureo é
≈ 1,6 .
2
2
b) Na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., a9 = 13 + 21 = 34, a10 = 21 + 34 = 55 e a11 = 34 + 55 = 89.
89
Como
≈ 161818... , número áureo será 1.6.
55
RESPOSTA: 1,6.
16. Uma curva em formato espiral, composta por
arcos de circunferência, pode ser construída a partir
de dois pontos A e B, que se alternam como centros
dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são
semicircunferências que concordam
sequencialmente nos pontos de transição, como
ilustra a figura ao lado, na qual supomos que a
distância entre A e B mede 1 cm.
a) Determine a área da região destacada na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta
pelos primeiros 20 arcos de circunferência.
RESOLUÇÃO:
a) Observa-se que todas as semcircunferências superiores
têm centro no ponto A e todas as inferiores têm centro em B.
Observa-se também que as medidas dos raios formam a
sequência {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
A área da figura é a soma das áreas das duas
semicircunferências de raios AD e BF .
9π + 16π 25π
=
2
2
25π
RESPOSTA:
cm
2
S=
b) Como os raios formam a P.A. {1, 2, 3, 4,
5, 6, ...}, o vigésimo termo dessa sequência é
r20 = 20.
Se o comprimento de uma circunferência é
dada pela relação C = 2πr, a da
semicircunferência é Cs= πr.
Então os comprimentos dos arcos da figura
formada pelos 20 arcos em questão
constituem a sequência
{π, 2π, 3π, ....., 20π}que sendo uma P.A. tem
como soma dos termos
(π + 20π ) × 20 = 210π .
S=
2
RESPOSTA: 210π
πcm.
17. Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada
dentre todas as pedras preciosas.
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a
massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com
0,7 quilate.
3
b) A figura ao lado apresenta a seção transversal de um
brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato
da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do
volume de um tronco de cone (parte superior) com o de
um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o
volume aproximado do brilhante.
Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido
empregando-se a fórmula
V=
π
h R 2 + Rr + r 2 ,em que R e r são os raios das
3
(
)
bases e h é a altura do tronco.
RESOLUÇÃO:
a) Se um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg = 0,2g, então a massa de 0,7 quilate
é 0,7 × 0,2 = 0,14g .
Se a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm3, então a massa específica de um
0,14
1
=
= 0,04 cm3.
diamante com 0,14g é
3,50 25
RESPOSTA: O volume do brilhante é 0,04cm3.
b) Na figura ao lado, os triângulos FDE e FBC são
semelhantes, então
2
x
=
⇒ 2x = x + 0,6 ⇒ x = 0,6 ⇒ FH = 1,2 .
4 x + 0,6
O volume do brilhante é:
V = Vcone ABC + Vcone FBC − Vcone FDE ⇒
4π × 1,8 + 4π × 1,2 − π × 0,6
⇒
3
(7,2 + 4,8 − 0,6)π = 11,4π = 3,8π
V=
3
3
RESPOSTA: O volume do brilhante é 3,8πmm3.
V=
18. O mostrador de determinado relógio digital indica
horas e minutos, como ilustra a figura ao lado, na qual o
dígito da unidade dos minutos está destacado.
O dígito em destaque pode representar qualquer um dos
dez algarismos, bastando para isso que se ative ou
desative as sete partes que o compõem, como se mostra
abaixo.
4
a) Atribuindo as letras a, b, c, d, e, f, g aos trechos do dígito destacado do relógio, como
se indica ao lado, pinte no gráfico de barras abaixo a porcentagem de tempo em que
cada um dos trechos fica aceso. Observe que as porcentagens referentes aos trechos f e g
já estão pintadas.
b) Supondo, agora, que o dígito em destaque possua dois trechos defeituosos, que não
acendem, calcule a probabilidade do algarismo 3 ser representado corretamente.
RESOLUÇÃO:
a) A cada 60 minutos um dos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) ocupa por 6 vezes a posição do
dígito indicado., ou seja, cada algarismo fica aceso 6 minutos.
O trecho “a” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 3. 5, 6, 7, 8, 9}, logo fica aceso por 48 minutos o
que equivale a 80% do tempo.
O trecho “b” compõe os elementos do conjunto {0, 4, 5, 6, 8, 9}, logo fica aceso por 36 minutos o que
corresponde a 60% do tempo.
O trecho “c” compõe os elementos do conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, ficando aceso por 42 minutos o que
corresponde a 70% do tempo.
O trecho “d” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 6, 8}, logo aceso por 24 minutos o que
corresponde a 40% do tempo.
O trecho “e” compõe os elementos do conjunto {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9}, ficando aceso por 42 minutos o que
corresponde a 70% do tempo.
O trecho “f” compõe os elementos do conjunto {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ficando aceso por 54 minutos
o que corresponde a 90% do tempo.
O trecho “g” compõe os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} logo fica aceso por 48 minutos o
que equivale a 80% do tempo.
b) São sete trechos e o número de maneiras de apenas dois estarem defeituosos é
7×6
= 21.
C 7, 2 =
2 ×1
Os únicos trechos que não compõem o 3, conforme figura ao lado, são o b e o d.
Então somente existe uma maneira de estando dois trechos defeituosos, o 3 ser
representado corretamente.
1
Logo a probabilidade pedida é
.
21
1
RESPOSTA:
.
21
5
19. Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:
Tipo de
cebola
Pequena
Grande
Peso unitário
aproximado (g)
25
200
Raio médio
(cm)
2
4
a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g.
Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela
consumidora e resolva-o para determinar esses valores.
b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g
de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem
192π cm2 de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.
RESOLUÇÃO:
a) Considerando como x o número de cebolas pequenas e y o de cebolas número de cebolas pequenas e y
x + y = 40
o de cebolas grandes tem-se o sistema: 
.
25x + 200y = 1700
Resolvendo este sistema:
175y = 700
x + y = 40
25x + 25y = 1000

⇒
(
L
−
L
)
⇒


y = 4
2
1
25x
+
200y
=
1700
25x
+
200y
=
1700


x = 36

RESPOSTA: A consumidora comprou 4 cebolas grandes e 36 pequenas.
b) A consumidora comprou 4 × 200g = 800g de cebolas grandes e 900g de cebolas pequenas.
Como 600 g de cebolas grandes possuem 192π cm2 de área de casca,
600 800
1
4
=
⇒
= ⇒ y = 256π ⇒ 800 g de cebolas grandes possuem 256π cm2 de área de casca.
192π
y
64π y
600 g de cebolas pequenas correspondem a (600 : 25) = 24 cebolas.
Sendo estas cebolas esféricas com raio médio de cm, a soma das suas superfícies é de
24 × 4π R 2 = 24 × (4π × 4 ) = 384π cm2.
RESPOSTA: As cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas.
20. Considere a função f(x) = 2x + |x + p|, definida para x real.
a) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p.
Determine esse valor.
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x que satisfazem a
equação f(x) = 12.
RESOLUÇÃO:
a) Analisando o gráfico percebe-se que a função f(x) = 2x + |x + p| tem comportamentos diferentes nos
intervalos −1 ≤ x ≤ 1 e 1 ≤ x < 8 que possuem uma fronteira comum x = 1.
Então para x = 1 , 2 + p + 1 = 2 ⇒ p + 1 = 0 ⇒ p = −1 .
RESPOSTA: O valor específico de p é p = −1 .
6
− x, se x < 0
b) Considerando que x = 
e fazendo p = –3 e f(x) = 12, 2x + x − 3 = 12 ⇒ em dois casos:
x, se x ≥ 0
I) 2x + x − 3 = 12, se x ≥ 3
I) 3x = 15 ⇒ x = 5 > 3.
⇒

II)
2x
−
x
+
3
=
12,
se
x
<
3

II) x = 9 (nãosatisfaz, pois, x > 3).
RESPOSTA: Para p = –3 e f(x) = 12, o valor de x é 5.
21. Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo
com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda
anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, T (em °C), tem a
forma, P(T) = a.10bT , em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas
temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio.
Temperatura (°C)
Perda anual de
capacidade (%)
0
1,6
55
20,0
Com base na expressão de P(T) e nos dados da tabela,
a) esboce, abaixo, a curva que representa a função P(T), exibindo o percentual exato para T = 0 e T = 55;
b) determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use log10 (2) ≈ 0,30,
log10 (3) ≈ 0,48 e log10 (5) ≈ 0,70
RESOLUÇÃO:
a)
b) Pela tabela P(0) = 1,6 e P(55) = 20 ⇒
a.100 = 1,6
a = 1,6
 125 
⇒
⇒ 1055b = 12,5 ⇒ 55b = log10 
⇒

55b
55b
 10 
a.10 = 20 1,6.10 = 20
1,1 1
55b = log10 53 − 1 ⇒ 55b = 3 × 0,7 − 1 = 1,1 ⇒ b =
=
= 0,02 ⇒ P(T) = 1,6 × 100,02T
55 50
RESPOSTA: a = 1,6 e b = 0,02.
{
7
x 2 0 
22. Seja dada a matriz A =  2 x 6  , em que x é um número real.
 0 6 16x 
a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo.
3
b) Tomando C =  4  , e supondo que, na matriz A, x = –2, calcule B = AC.
− 1
RESOLUÇÃO:
x 2 0
detA = 2 x 6 ⇒ detA = 16x 3 − 36x − 64x = 16x 3 − 100x = 4x(4x 2 − 25) .
0 6 16x
a) As raízes de detA = 4x(4x 2 − 25) são as raízes da equação 4x(4x 2 − 25) = 0 ⇒
25 5
5 
5

± ⇒ detA = 4x x −  x + 
4
2
2
2


5 
5

Estudo da variação do sinal de detA = 4x x −  x +  e determinação da solução da
2 
2

5
5



inequação 4x x −  x +  > 0 :
2 
2

4x = 0 ou 4x 2 − 25 = 0 ⇒ x = 0 ou x = ±
RESPOSTA: O determinante de A é positivo para os valores de x pertencentes ao intervalo
 5  5

 − 2 ,0  ∪  2 ,+∞  .

 

3
b) Tomando C =  4  , e supondo que, na matriz A, x = –2, AC =
− 1
0  3 2
− 2 2
 2 −2
6  ×  4  = − 8

 0
6 − 32 − 1  56 
2 
RESPOSTA: B = − 8 .
 56 
8
23. Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = –x/2, conforme mostra a figura abaixo.
a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = –x/2.
b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.
RESOLUÇÃO:
a) Na figura o triângulo retângulo ADB em destaque tem lado
AB = 2, BD = |x| e AD = −x/2, logo pelo Teorema de Pitágoras:
x2
16
4 5
= 4 ⇒ 5x 2 = 16 ⇒ x 2 =
⇒x=−
⇒
4
5
5
1  4 5  2 5
y = − −
=
.
2 
5 
5
RESPOSTA: O ponto de tangência entre o círculo e a reta y = –
 4 5 2 5
.
x/2 è A =  −
,


5
5


x2 +
b) O triângulo retângulo OEB da figura ao lado, é congruente ao
2 5 4 5

,
triângulo ODA ⇒ BE =OD e OE = AD ⇒ B = 
 5
5 

2
2


4 
2 
 m +
 +  n −
 = 4

5
5

⇒
Como AC=BC=2 ⇒ 
2
2


2 
4 
 +  n −
 = 4
 m −
5
5


 2 8 5
16
4 5
4
m+
+ n2 −
n+ =4
m +

5
5
5
5
(Equação1 − Equação2) ⇒

4
8 5
16
 2 4 5
2
m − 5 m + 5 + n − 5 n + 5 = 4
12 5
4 5
m+
n = 0 ⇒ 3m = −n ⇒ n = −3m ⇒ C = (m,−3n ) ⇒
5
5
A equação da reta r que passa pelo ponto C e pela origem é y = −3x ,
RESPOSTA: y = −3x
9
24. Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra
a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos
especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
RESOLUÇÃO:
a) No triângulo ABC pela Lei dos Senos:
15
x
15
x
15 x
15
=
⇒
= ⇒
= ⇒x=
=5 3.
1
sen120° sen30°
3
3 1
3
2
2
RESPOSTA: A distância entre A e B é de 5 3m .
b) No triângulo BCD pela Lei dos Cossenos:
y 2 = 225 + 100 − 2 × 15 × 10 × cos60° ⇒ y 2 = 325 − 300 ×
1
⇒ y 2 = 325 − 150 ⇒
2
y 2 = 175 ⇒ y = 5 7 .
RESPOSTA: A distância entre B e D é de 5 7m .
10