X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS NA REDE PÚBLICA DO ESTADO DE
SÃO PAULO
Joice D’Almeida
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
[email protected]
Resumo: No ano de 2008 a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo iniciou a
implantação de uma nova Proposta Curricular em toda rede estadual. Por outro lado, vários
pesquisadores da área de Educação Matemática como Campbell e Zaskis (2002), Resende
(2007) e Machado (2008) têm apontado a importância de pesquisas referentes ao ensino e a
aprendizagem de Teoria Elementar dos Números na formação pré-universitária. Este texto
apresenta o desenho e alguns resultados de uma pesquisa em andamento sobre a
abordagem da Teoria Elementar dos Números no Caderno do Professor de Matemática da
7ª série, do 1ª bimestre de 2009, material integrante da Proposta Curricular de 2008, sob a
metodologia qualitativa descritiva indicada por Bardin (2009) como Análise de Conteúdo.
Palavras-chave: Caderno do Professor; Currículo; Teoria Elementar dos Números.
Justificativa
Recentes pesquisas têm mostrado a importância da Teoria Elementar dos Números.
Dentre elas, é possível destacar Machado (2008) que afirma que o estudo de questões sobre
números inteiros, deve permear todo o percurso escolar de um indivíduo, uma vez que o
seu conhecimento assume um papel importante na vida deste indivíduo como cidadão.
Pesquisadores como Campbell & Zaskis (2002), da mesma forma, falam sobre a
importância do estudo da Teoria Elementar dos Números no ensino básico. Em seus
trabalhos, questionam quais os motivos da falta de estudos no campo da Teoria dos
Números dentro da Matemática, e consequentemente, estudos sobre a Teoria Elementar
dos Números, ressaltando a necessidade de mais pesquisas com esta temática.
Com a mesma preocupação, o Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica – GPEA,
do qual participo, tem desenvolvido diversas pesquisas sobre o ensino e sobre a
aprendizagem da Teoria Elementar dos Números no Ensino Básico e Superior. Resende
(2007), participante do GPEA, em sua tese de doutoramento, buscou re-significar a
disciplina Teoria dos Números, enquanto saber a ensinar, na formação do professor de
matemática na licenciatura. Resende (idem) afirma que o campo da Teoria dos Números
propicia o desenvolvimento de ideias matemáticas importantes, presentes nos números
inteiros, como a divisibilidade, os números primos, as estruturas multiplicativas e outros
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temas relacionados a estes. Desta forma, a pesquisadora definiu os tópicos essenciais para
o ensino da Teoria Elementar dos Números como sendo:
Números Inteiros: evolução histórica e epistemológica do conceito de
números naturais e inteiros; representações dos números naturais,
operações, algoritmos e propriedades, definição por recorrência
(potências em N, seqüências, progressões aritméticas e geométricas) e
princípio da indução finita; Divisibilidade: algoritmo da divisão, máximo
divisor comum, mínimo múltiplo comum, algoritmo de Euclides,
números primos, critérios de divisibilidade, o Teorema Fundamental da
Aritmética; Introdução à congruência módulo m: definições, propriedades
e algumas aplicações; Equações diofantinas lineares.
(Resende, 2007, p.228)
Essa definição é assumida por todos os membros do GPEA como contendo os
assuntos essenciais que devem ser tratados ao longo de todo Ensino Básico.
Como professora da rede pública do Estado de são Paulo, pude presenciar a recente
mudança ocorrida nos currículos básicos. No início do ano de 2008, a Secretaria Estadual
de Educação de São Paulo (SEE-SP) apresentou uma nova Proposta Curricular para as
escolas públicas estaduais. A elaboração desta Proposta Curricular, segundo a SEE-SP, se
deu na intenção de oferecer a todas as escolas públicas estaduais uma base comum de
conhecimentos e competências, para que, de fato, estas escolas funcionem como uma rede.
A necessidade de homogeneização surgiu pela grande variedade de currículos diferentes
existentes no Estado de São Paulo, além da intensa mobilidade que há dos alunos entre as
escolas da rede.
Outro motivo para a elaboração da Nova Proposta Curricular foi em vista da
melhoria da qualidade das aprendizagens dos alunos, uma vez que os últimos resultados
dos alunos da rede estadual paulista em exames como o ENEM (Exame Nacional do
Ensino Médio), SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo) e SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) foram insatisfatórios.
No início de 2008, a SEE-SP enviou para todos os professores da rede o chamado
“Caderno do Professor de Matemática”, parte integrante da Proposta Curricular de 2008, o
qual deveria ser utilizado na gestão da sala de aula do ano vigente em diante. Promoveu
também, uma série de fóruns de discussões sobre a nova Proposta entre os professores,
além de vídeos explicativos para o professor se inteirar das expectativas que os
formuladores tiveram quando elaboraram os Cadernos.
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Considerando a pertinência da ampliação de estudos sobre a Teoria Elementar dos
Números e, diante do presente quadro das escolas da rede pública do Estado de São Paulo,
estabeleci como objetivo de minha pesquisa investigar a abordagem dada à Teoria
Elementar dos Números nos Cadernos do Professor da 7ª série (8º ano) da rede publica
estadual de São Paulo do ano de 2009, doravante indicado pela sigla CPM-2009.
Metodologia
Para o estudo dos CPM-2009, farei uma pesquisa qualitativa sob a ótica da
metodologia qualitativa descrita, denominada por Bardin (2009) de Análise de Conteúdo.
Essa autora define análise do conteúdo como um conjunto de técnicas de análise de
comunicações que objetivam encontrar por meio de “procedimentos sistemáticos e
objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadoras (quantitativas ou não) que
permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção
(variáveis inferidas) destas mensagens” (Bardin, 2009, p. 44). Desta forma, define três
pólos cronológicos: a pré-análise, a exploração do material, e o tratamento dos resultados,
onde são feitas as inferências e as interpretações. Assim, busco indicadores que me
permitam inferir uma realidade que vai além daquela presente no material, evidenciando a
parte matemática presente nos Cadernos do Professor.
Na fase de pré-analise, escolhi para serem analisados os seguintes documentos: a
Proposta Curricular do Estado de São Paulo para Matemática de 2008 e os 4 CPM-2009
relativos aos 4 bimestres. Na Proposta Curricular busco referências sobre assuntos da
Teoria Elementar dos Números e principalmente sobre sua importância para o
desenvolvimento de ideias matemáticas relevantes. Nos CPM-2009, procuro assuntos da
Teoria Elementar dos Números apresentados de forma equilibrada, juntamente com a
matemática do contínuo.
Na segunda fase, em andamento, apresento os pontos importantes presentes na
Proposta Curricular sobre o trabalho com o a Teoria Elementar dos Números, além de
descrever os tópicos trabalhados nos CPM-2009, que favorecem o trabalho de assuntos da
Teoria Elementar dos Números.
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Na última fase da análise, farei a interpretação dos dados coletados, segundo o
objetivo da pesquisa além de sugerir ideias para o trabalho da Teoria Elementar dos
Números durante todo o percurso escolar.
Descrição e análise do CPM-2009 relativo ao 1º bimestre da 7ª série
Os CPM-2009 foram apresentados em quatro encartes, referentes a quatro
bimestres. Cada encarte traz um panorama geral do tema a ser trabalhado no bimestre,
além de atividades denominadas de situações de aprendizagem. Estas situações trazem a
forma de abordagem sugerida pela Proposta Curricular de 2008 para instrumentar o
professor em sua ação em sala de aula.
A seguir apresento a análise do CPM-2009, destinado à 7ª série (8º ano), referente
ao 1º bimestre de 2009, observando o que há de Teoria Elementar dos Números em cada
uma dessas situações de aprendizagem, a partir da ordem de aparição das mesmas.
A primeira situação de aprendizagem do caderno tem por objetivo estudar
diferenças e semelhanças envolvendo as frações, a razão entre dois números quaisquer e
números racionais. Com isto em vista, pretende esclarecer, dentre outras, a questão: “Qual
é a diferença entre uma fração e um número racional?”.
Para responder a esta questão, é proposta uma abordagem diferente daquela
tradicionalmente apresentada em livros didáticos, explorando a noção de classes de
equivalência. A partir de exemplos de conjuntos inicialmente desorganizados, como o
conjunto de automóveis que circulam na cidade, o Caderno do Professor provoca a ideia de
organização deste conjunto, segundo um critério pré-estabelecido. Para o conjunto de
automóveis um critério escolhido para definir a relação de equivalência poderia ser o
fabricante dos automóveis; feita a organização do conjunto de automóveis, o mesmo pode
ser reduzido a uma espécie de mostruário, no qual um representante de cada fabricante
seria o suficiente para mapear todo o conjunto relação. Com o conjunto das frações, a
organização em classes será feita se considerarmos como equivalentes todas as frações
irredutíveis que representam a mesma parte da unidade; o mostruário destas frações seria,
desta forma, o conjunto dos racionais. A exploração desta idéia está presente em exercícios
como:
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Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na
reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros
são equivalentes se, e somente se, situam-se à mesma distância da
origem, onde está o número zero. Nesse caso,
a) quais seriam as classes de equivalências?
b) qual seria o mostruário?
(São Paulo, 2009, p.12)
Apesar das classes de equivalência não pertencerem à lista de tópicos essenciais no
que estabelecemos como sendo Teoria Elementar dos Números, é interessante notar que a
escolha de critérios para “organizar” um conjunto de números também está presente nas
congruências módulo m. A diferença é que nas congruências módulo m quer se
“organizar” o conjunto dos números inteiros.
A segunda situação de aprendizagem do Caderno do Professor de 2009 apresenta
como título “As dízimas periódicas são previsíveis…”, por objetivar a instrumentalização
dos alunos para reconhecerem quando uma fração irredutível qualquer gerará uma dízima
periódica, no caso de se dividir o numerador pelo denominador.
Propõe, então, a confecção de uma tabela de dupla entrada, com os números de 1 a
9 que mostra algumas combinações possíveis para o numerador e o denominador.
Construída a tabela, pede-se aos alunos que dividam o numerador pelo denominador das
frações representadas e assinalem com um “X” as casas que correspondem a dízimas
periódicas. A tabela ficaria como a que segue:
Denominador
Numerador
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
X X
X X
3 X X
4
5
X X
X X
6 X X
X X
7 X X X X X X
8
9 X X X X X X X X
Figura 2 (São Paulo, 2009, p.17)
Sugerem-se, em seguida, questões para reflexão sobre a tabela, tais como: “Quando
uma fração irredutível não gera uma dízima periódica, se for dividido numerador por
denominador?”, “Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima?”
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e “Quando a divisão entre numerador e denominador de uma ração irredutível gera uma
dízima periódica?” (São Paulo, 2009, p.18, 19). Espera-se com a reflexão destas questões
a percepção de que, uma fração irredutível resultará uma dízima periódica apenas no caso
de em seu denominador haver qualquer fator primo diferente de 2 ou 5.
Em continuação da atividade anterior, explora-se a observação do ciclo presente
nos períodos de frações com mesmo denominador. Exemplificando este fato, apresenta-se
a divisão da fração
1
, juntamente com a tabela:
7
Quocientes
Restos
1
4
2
8
5
7
1
3
2
6
4
5
1
Figura 2 (São Paulo, 2009, p.22)
A partir desta tabela, é possível prever o ciclo de todas as frações com denominador
7, bastando para isso, observar o primeiro resto decimal da divisão. O primeiro número do
quociente decimal será aquele encontrado no primeiro resto decimal. Os próximos números
do quociente seguirão o ciclo apresentado na tabela. Observar a regularidade presente em
uma sequência numérica pode ser uma atividade motivadora, impelindo os alunos a
descobrirem estratégias e métodos próprios para descrever o padrão observado na busca de
uma generalização.
Na terceira situação de aprendizagem, o tema central é o estudo das potências para
a representação de números muito grandes ou muito pequenos como justificativa do estudo
de suas propriedades operatórias. Apresenta-se, para tal, a seguinte questão: “Dentre os
números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos” (São Paulo,
2009, p.28). A discussão desta questão permite a retomada do significado e do cálculo de
potências, além de possibilitar a percepção de que, ao escrever um número como uma
potência de base 10, podemos saber a quantidade de algarismos deste número, observando
o expoente desta potência. Para a exploração deste significado, propõem-se questões
contextualizadas como “Em astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é
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chamada ano-luz. Pergunta-se: Quantos metros tem 1 ano-luz [sabendo que a velocidade
da luz no vácuo é de, aproximadamente 300 000 000 m/s]1? (São Paulo, 2009, p.30)
Finalizando a situação de aprendizagem, são apresentadas as potências com
expoentes negativos para representar números muito pequenos. Para tal, utiliza-se a
regularidade presente no Sistema Posicional Decimal e outros números que podem ser
representados com potências de expoentes negativos como: “1 cm = 10–2 m, 1 mm = 10–3
m, 1μm = 10–6 m, 1 nanômetro = 10–9m, 1 angstrom = 10–10m, Massa da molécula de água
= 3.10–23g, diâmetro de uma célula = 15 a 350.10–9m” (São Paulo, 2009, p.32)
Como se pode observar, esta situação de aprendizagem foi totalmente voltada para
o estudo das potências, tópico relacionados à Teoria Elementar dos Números definidos por
Resende (2007) como essenciais. Juntamente com as potências, vemos uma variação na
representação dos números naturais ao serem utilizadas as potências de 10. Esta variação
permite um trabalho mais eficaz na realização de cálculos com potências, assim como leva
ao aluno a ter mais experiências com outras representações dos números naturais.
A última situação de aprendizagem presente no Caderno do Professor apresenta
diversas atividades contextualizadas, relacionando as potências e as unidades de memória
dos computadores. Comenta-se que o termo byte seus múltiplos são amplamente utilizados
nos dias de hoje e, por sua natureza, são representações de números binários, isto é,
potências de base 2. Seu significado, porém, tem sido mudado pelos fabricantes de
memória, que adotam a representação decimal para facilitar o entendimento do usuário.
Isto acaba gerando uma diferença entre o que é registrado no sistema operacional e da real
capacidade de memória do computador. Na exploração deste tema, atividades envolvendo
as transformações entre bytes em seus múltiplos, e vice-versa, são utilizadas como
transformar 10 megabytes em bytes, segundo o Sistema Internacional.
Partindo da pergunta: “Quantos algarismos usamos para escrever as potências de
2?” (São Paulo, 2009, p. 40), propõe-se a construção de uma tabela, seguida de um
gráfico, em que se relacionam o expoente e o número de algarismos das potências de 2.
Após a construção da tabela e do gráfico pede-se para que, observando o padrão existente,
se determine o número de algarismos do número 2100.
1
O texto em colchetes foi adicionado para melhor entendimento do leitor.
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Nesta esta situação de aprendizagem, vejo novamente uma ampla utilização das
potências em contextualizações e a exploração de suas propriedades em cálculos
envolvendo transformações das unidades de memória. Mais uma vez, a ideia da observação
e a generalização de padrões é utilizada para determinar a quantidade de algarismos de
uma potência.
Considerações parciais
Na análise dos CPM-2009 do 1º bimestre de 2009, pude perceber que todos os
conteúdos previstos como essenciais da Teoria Elementar dos Números, para a série
analisada, foram encontrados, ou seja, observei a presença da ideia de classes de
equivalente, noção recorrente à congruência módulo m, mínimo múltiplo comum, os
critérios de divisibilidade, os números primos, o Teorema Fundamental da Aritmética
(decomposição em fatores primos), o algoritmo da divisão, as potências em N e suas
operações, seqüências para a observação e generalização de padrões numéricos.
A forte presença das sequências, para a observação e generalização de padrões
numéricos, é um indicador de uma aproximação maior dos resultados de pesquisas recentes
e das aplicações destes resultados em sala de aula, o que certamente contribuirá para o
desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Algumas abordagens, ainda, são
inovadoras para a série analisada, como é o caso da ideia das classes de equivalência para
organizar o conjunto dos números racionais.
Referências Bibliográficas
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RESENDE, M.R., Re-significando a disciplina Teoria dos Números na formação do
professor de Matemática na Licenciatura. Tese (Doutorado em Educação Matemática),
PUC-SP, 2007.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da educação do Estado de São Paulo. Caderno do
Professor. Matemática: Ensino Fundamental 7ª série 1º bimestre. São Paulo: SEE,
2009.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da educação do Estado de São Paulo. Proposta
Curricular de Matemática. São Paulo: SEE, 2008.
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