Introdução em Probabilidade e Estatística II
Lista 4
Exercicio 1
Um praticante de tiro ao alvo vai comprar um lote muito grande
de munição e o vendedor garante que a proporção de projéteis em
bom estado é 0,90. No entanto, o comprador decide fazer uma
experiência para testar a veracidade da armação. Ele decide não
comprar o lote se numa amostra de 15 peças, obtiver menos do
que 12 peças em bom estado. Nessas condições
(a) Formule as hipóteses estatísticas H e A adequadas para o
problema.
Resolução:
Seja p a proporção de projéteis em bom estado.
Em linguagem estatística, para saber se a proporção de projéteis em bom estado é a que fala o vendedor é preciso conduzir um teste de hipóteses para a proporção de projéteis
em bom estado.
Tamanho da amostra: n
O estimador pontual para p, também denominado proporção
amostral, é denido como
X
p̂ =
n
onde
X : denota o número de projéteis em bom estado. Note
que X ∼ Bin(n, p).
n : denota o tamanho da amostra coletada.
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Se consideramos uma amostra independente de 15 peças e
denotamos por X o número de projéteis em bom estado,
então
X ∼ Bin(15, p)
Hipóteses nula e alternativa:
H: p = 0, 9
e
A: p < 0, 9.
H: A proporção de projéteis em bom estado é 0.9.
A: A proporção de projéteis em bom estado é menor que
0.9.
(b) Especique e interprete o erro do tipo I.
Lembre-se:
Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira.
Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa.
Erro I: Aceitar que a proporção de projéteis em bom es-
tado é menor que 0.9 quando na verdade é igual a 0.9.
Erro II: Aceitar que a proporção de projéteis em bom estado é 0.9, quando na verdade é menor que 0.9.
(c) Especique a região crítica e calcule o nível de signicância
do teste..
Resolução:
A região crítica é RC = {0, 1, 2, . . . , 11}. Se a amostra
de tamanho n = 15 tem menos do que 12 peças em bom
estado o praticante de tiro não compra o lote, isto é, rejeita
a hipotese H .
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Nível de signicância: α
α =
=
=
=
P(Erro I) = P(Rejeitar H|H é verdadeira)
P(X ∈ RC|p = 0.9)
P(X = 0|p = 0.9) + · · · + P(X = 11|p = 0.9)
0, 055 = 5, 5%.
(d) Se o número de peças em bom estado no lote for igual a 12,
qual será a conclusão do comprador?
Resolução:
Usando a regra de decisão do teste: como 12 ∈
/ RC , então
não rejeitamos H .
(e) Calcule o nível de signicância se fosse utilizada a região
crítica 10 ou menos peças em bom estado.
Resolução:
A nova região crítica é RC = {0, 1, 2, . . . , 10}. Se a amostra
de tamanho n = 15 tem menos do que 11 peças em bom
estado o praticante de tiro não compra o lote, isto é, rejeita
a hipotese H .
Nível de signicância: α
α =
=
=
=
P(Erro I) = P(Rejeitar H|H é verdadeira)
P(X ∈ RC|p = 0.9)
P(X = 0|p = 0.9) + · · · + P(X = 10|p = 0.9)
0, 012 = 1, 2%.
Exercicio 2
Sabe-se por experiências anteriores que o analgésico adotado em
determinado hospital é ecaz em 70% dos casos. Um grupo de
médicos chineses em visita a esse hospital arma que a utilização
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da acupuntura produz melhores resultados. A direção do hospital resolve testar o método alternativo em 30 pacientes, com a
nalidade de adotá-lo em denitivo se ele apresentar eciência
satisfatória numa proporção de casos maior que a do anestésico
atual. Seja p a probabilidade de que o método de acupuntura
apresente a eciência satisfatória quando aplicado a um paciente.
(a) Formule este problema como um problema de testes de
hipóteses especicando as hipóteses nula e alternativa.
Resolução:
Seja p a probabilidade de que o método de acupuntura apresente a eciência satisfatória quando aplicado a um paciente.
Tamanho da amostra: n = 30
Hipóteses nula e alternativa:
H: p = 0, 7
e
A: p > 0, 7.
H: A acupuntura não apresentou uma melhor eciência,
isto é, p = 0.7.
A: A acupuntura apresentou uma melhor eciência, isto é,
p > 0.7.
(b) Interprete os erros do tipo I e II.
Resolução:
Lembre-se:
Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira.
Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa.
Erro I: Aceitar que a acupuntura apresentou uma melhor
eciência quando na verdade se manteve igual a 0.7.
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Erro II: Aceitar que a acupuntura não apresentou uma
melhor eciência, quando na verdade apresentou sim, isto é,
aceitamos que p = 0.7 quando na verdade se tem p > 0.7.
(c) Supondo que o critério para rejeitar H seja: número de
pacientes, com resultado satisfatório, no mínimo 26, qual é
a probabilidade do erro de tipo I?
Resolução:
A região crítica é RC = {26, . . . , 30}.
Nível de signicância: α
α = P(Erro I) = P(Rejeitar H|H é verdadeira)
= P(X ≥ 26|p = 0.7)
!
p̂ − p
≥ 1, 992|p = 0.7
= P p
p(1 − p)/n
= P(Z ≥ 1, 992) ≈ 0, 0233 = 2, 33%
(d) Se 24 entre os 30 pacientes tratados com acupuntura apresentarem resultado satisfatório, qual é a sua conclusão?
Resolução:
Usando a regra de decisão do teste: como 24 ∈
/ RC , então
não rejeitamos H , isto é, aceitamos que a acupuntura não
apresentam resultados satisfatório.
(e) Suponha que o método de acupuntura seja, na verdade, ecaz em 85% dos casos. Qual é a probabilidade de que o
hospital deixe de adotá-lo? (use o critério do item (c)).
Resolução:
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P(Rejeit. a acup.) = P(X ≤ 25|p = 0.85)
!
p̂ − p
p
= P
≤ −2, 26|p = 0.7
p(1 − p)/n
= P(Z ≤ −2, 26) ≈ 0, 01191 = 1, 191%
Exercicio 3
Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de
um litro. Espera-se ainda que a proporção de garrafas com volume superior a um litro seja igual a 0,5. Para testar a validade
dessa última condição, foi analisada uma amostra de 40 garrafas.
Sendo p a proporção de garrafas com volume superior a um litro
e considerando as hipóteses
H: p = 0, 5
e
A: p 6= 0, 5.
(a) Quais são os signicados práticos dos erros do tipo I e tipo
II para esse problema?
Resolução:
Lembre-se:
Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira.
Erro II:Não rejeitar H quando H é falsa.
Erro I: Aceitar que a proporção de garrafas com volume
superior a um litro é diferente a 0, 5 quando na verdade é
0.5.
Erro II: Aceitar que a proporção de garrafas com volume
superior a um litro é igual a 0, 5, quando na verdade é diferente a 0.5.
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(b) Determine a região crítica que corresponde a um erro do
tipo I de 0,10.
Resolução:
Queremos achar k1, k2 tal que
0.10 = P({X ≤ k1} ∪ {X ≥ k2}|p = 0.5).
Usando a aproximação pela normal, procuramos k1 e k2
de modo que 0.10 =√ P({Z ≤ −z} ∪ {Z ≥ z}), onde
Z ∼ N (0, 1) e Z = √n(p̂−p) . Usando a tabela temos que
z = 1, 65, assim
p(1−p)
0, 5
k1 = (0, 5 − 1, 65 √ )40 = 14, 78
40
e
0, 5
k2 = (0, 5 + 1, 65 √ )40 = 25, 22.
40
Portanto a região crítica é RC = {0, . . . , 15}∪{25, . . . , 40}
(c) Na amostra de 40 garrafas foram observadas 25 com volume
superior a um litro. Com base nesse resultado, qual é a
conclusão a um nível de signicância de 0,10?
Resolução:
Como 25 ∈ RC , rejeitamos H , isto é, p 6= 0, 5.
Exercicio 4
O coordenador de um curso preparatório para certo exame garante
que aprova pelo menos 70% de seus alunos. Para vericar essa
armação, um grupo de candidatos ao exame observa uma amostra
de 25 participantes do curso.
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(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
Resolução:
Seja p a proporção de alunos que aprovam o curso preparatório.
Tamanho da amostra: n = 25
Hipóteses nula e alternativa:
H: p = 0, 7
e
A: p < 0, 7.
H: Pelo menos 70% dos alunos aprovam o curso preparatório,
isto é, p = 0.7.
A: Menos de 70% dos alunos aprovam o curso preparatório,
isto é, p < 0.7.
(b) Construa a região crítica do teste ao nível de signicância
de 0,02.
Resolução:
Queremos achar k tal que
0.02 = P(X ≤ k|p = 0.7).
Usando a tabela binomial temos que P(X ≤ 12|p = 0.7) =
0, 0175 e P(X ≤ 13|p = 0.7) = 0, 0442. Portanto k = 12.
Usando aproximação pela normal temos que
!
r
0, 7 × 0, 3
25 = 12, 8.
k = 0, 7 − 2, 05
25
Portanto a região crítica é RC = {0, 1, . . . , 12}
(c) Se o grupo de candidatos observou 15 aprovados dentre os
25 participantes, com base na região crítica do item (b),
como deve avaliar a armação do coordenador?
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Resolução:
Como 15 ∈
/ RC então não rejeitamos a hipótese H , isto
é, há evidencia que a proporção de alunos que aprovam o
curso preparatório é pelos menos 70%.
(d) Se um segundo grupo de candidatos resolve discordar do
coordenador se o número observado de aprovados for 13
ou menos, especique a região crítica e calcule o nível de
signicância utilizado.
Resolução:
A nova região crítica é RC = {0, 1, . . . , 13}. O nivel de
signicância utilizado é
α = P(X ≤ 13|p = 0.7) = 0, 0442 = 4, 42%.
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