Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma
Análise Estática não Linear
Bernardo Corrêa Henriques Frère
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente:
Orientador:
Vogais:
Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso
Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro
Novembro 2012
Agradecimentos
Agradeço ao Prof. Francisco Virtuoso a sua orientação na elaboração desta
dissertação, a disponibilidade que demonstrou nas minhas vindas a Lisboa durante o
meu programa Erasmus e o acompanhamento ao longo dos últimos meses de realização
deste trabalho.
Deixo, também, uma palavra de apreço às pessoas que me ajudaram durante a
minha estadia em Lausanne. Em particular ao Prof. Pierino Lestuzzi por toda a
bibliografia fornecida e ao Eng. Francisco Natário pela imensa ajuda na realização do
programa de cálculo de secções. Agradeço, também, à Dra. Ema Coelho por toda a
bibliografia fornecida e pelos conselhos para a realização deste trabalho.
Por fim, queria agradecer à minha família e a todos os meus amigos. Foram
muito importantes pois muito me ajudaram na elaboração desta dissertação, quer no
incentivo e apoio quer na revisão do trabalho.
i
Resumo
Este trabalho insere-se no domínio da análise sísmica de pontes e pretende
avaliar a utilização de análises estáticas não lineares, também designadas por
metodologias pushover. Neste trabalho, só é estudada a aplicação de análises pushover
para pontes correntes na sua direcção longitudinal.
Desenvolve-se um modelo para o comportamento não linear de estruturas de
forma a obter a curva de capacidade – relação entre a força aplicada e o deslocamento –
dos pilares de pontes. O modelo desenvolvido concentra a plasticidade numa
determinada zona do elemento estrutural, introduzindo o conceito de rótula plástica. A
rigidez elástica do pilar é determinada considerando a secção fendilhada e as
características médias dos materiais. Na determinação do momento resistente, utilizamse as relações constitutivas apresentadas no Eurocódigo 2 para a determinação do
momento máximo permitido.
São apresentadas as principais metodologias para a análise estática não linear de
estruturas correntes de pontes. Das metodologias apresentadas, utilizam-se nesta
dissertação o Método do Espectro de Capacidade e a metodologia proposta no EC8-2.
Por fim, aplicam-se ambas as metodologias e são comparados os resultados com
os obtidos por uma análise dinâmica não linear. Mais precisamente, analisam-se os
resultados para pilares isolados e para pórticos planos. Neste ponto estuda-se a
influência do período de vibração e da regularidade da estrutura. Por último, analisaramse duas estruturas de pontes na direcção longitudinal.
Palavras-chave: pushover, deslocamento, rótula plástica, capacidade, estática
ii
Abstract
This thesis belongs to the field of seismic analysis of bridge structures and
intends to evaluate the use of static non linear analysis, also known as pushover. This
work only deals with pushover analysis in the longitudinal direction of regular bridges.
A plastic hinge model is developed to represent the non-linear behavior of
structures and, therefore, obtain the capacity curve of bridge piers. The elastic stiffness
of each pier is obtained thru the mean values of its material properties. However, the
resistant moment is computed using the design values to limit the moment to its
maximum allowed by Eurocode 2.
The major methodologies for non linear static analysis of bridges are then
presented. Of those, the Capacity Spectrum Method and the methodology suggested in
EC8-2 are used.
Finally, the results obtained with the above pushover methodologies are
compared with those obtained with a non linear dynamic analysis. Both isolated piers
and two pier frames results’ are analyzed. The influence of the structure’s dynamic
period as well as the influence of the structure’s irregularity is evaluated. To close, the
pushover analysis of two bridges is carried in their longitudinal direction.
Keywords: pushover, displacement, plastic hinge, capacity, static
iii
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Índice
Agradecimentos ............................................................................................................. i
Resumo ......................................................................................................................... ii
Abstract ....................................................................................................................... iii
Índice ........................................................................................................................... iv
Lista de Figuras........................................................................................................... vii
Notação ........................................................................................................................ x
1.
2.
Introdução ............................................................................................................. 1
1.1
Enquadramento e objectivo da dissertação ...................................................... 1
1.2
Estrutura da dissertação .................................................................................. 2
Análise Sísmica de Estruturas................................................................................ 5
2.1
Conceitos de Dinâmica de Estruturas .............................................................. 5
2.1.1
Equação de Equilíbrio Dinâmico .............................................................. 5
2.1.2
Sistemas com Vários Graus de Liberdade – Análise Modal ...................... 6
2.1.3
Consideração do Amortecimento para a Análise Modal ........................... 9
2.2
Análise Sísmica ............................................................................................ 10
2.2.1
Modelação da Acção Sísmica: Aceleração da Base ................................ 10
2.2.2
Conceitos de Modelação da Acção Sísmica em Pontes ........................... 11
2.2.3
Diferentes Abordagens para a Análise Sísmica de Estruturas. ................ 13
2.3
Métodos de Análise Sísmica ......................................................................... 16
2.3.1
Coeficiente de comportamento ............................................................... 16
2.3.2
Espectros de Resposta ............................................................................ 18
2.3.3
Método das Forças Laterais Equivalentes ............................................... 21
2.3.4
Análise Modal por Espectro de Resposta ............................................... 22
2.3.5
Análise Estática não Linear .................................................................... 24
2.3.6
Análise Dinâmica não Linear – Time-History Analysis ........................... 26
iv
Índice
3.
Análise Fisicamente Não-Linear .......................................................................... 27
3.1 Relações Constitutivas dos Materiais ................................................................. 28
3.1.1 Relação Constitutiva para o Aço ................................................................. 28
3.1.2 Características do aço para armaduras ......................................................... 29
3.1.3 Relações Constitutivas para o Betão ........................................................... 30
3.1.4 Características do betão .............................................................................. 32
3.2 Relação Momento-Curvatura ............................................................................. 33
3.3 Diagrama Momento-Curvatura Simplificado ..................................................... 35
3.4 Relação Momentos-Rotações............................................................................. 39
3.4.1 Determinação da rotação na cedência.......................................................... 40
3.4.2 Determinação da rotação na rotura .............................................................. 41
3.4.3 Relação Momento-Rotação ......................................................................... 44
3.5 Curva de Capacidade de Pilares ......................................................................... 44
4.
Análise Pushover de Estruturas de Pontes ........................................................... 47
4.1
4.1.1
Metodologia aconselhada no EC8-2 ....................................................... 47
4.1.2
Método N2, proposto para edifícios no EC8-1 ........................................ 51
4.1.3
Método do Espectro de Capacidade ....................................................... 57
4.2
5.
Metodologias para a análise pushover de pontes............................................ 47
Determinação da curva de capacidade de um pórtico plano ........................... 62
Análise Pushover – Aplicações ........................................................................... 65
5.1
Preparação da análise .................................................................................... 66
5.1.1
Definição da acção sísmica .................................................................... 66
5.1.2
Programas de cálculo para a análise pushover ........................................ 69
5.1.3
Programa de cálculo para a análise dinâmica não linear ......................... 69
5.2
Análise de um pilar isolado ........................................................................... 72
5.2.1 Apresentação da análise .............................................................................. 72
5.2.2 Análise de resultados .................................................................................. 73
v
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
5.3
5.3.1
Apresentação da análise ......................................................................... 77
5.3.2
Análise de resultados ............................................................................. 80
5.4
Análise de uma ponte real ............................................................................. 83
5.4.1
Análise de resultados para o Modelo 1 (
) .............................. 84
5.4.2
Análise de resultados para o Modelo 2 (
) .............................. 86
5.5
6.
Análise de um pórtico plano .......................................................................... 77
Análise da influência da rigidez pós-cedência ............................................... 87
5.5.1
Apresentação da análise ......................................................................... 88
5.5.2
Análise de resultados ............................................................................. 90
Conclusões e Desenvolvimentos Futuros ............................................................. 95
Referências ............................................................................................................... 100
Bibliografia ............................................................................................................... 101
Anexos........................................................................................................................... I
Anexo 1: Características dos pilares analisados em 5.2 ............................................. II
Anexo 2: Resultados da análise a pilares isolados .................................................... III
Anexo 3: Valores da curva de capacidade de cada pórtico plano ............................... V
Anexo 4: Resultados da análise a pórticos planos .................................................... VI
Anexo 5: Características dos pilares das pontes analisadas em 5.4 .......................... IX
Anexo 6: Resultados da análise sobre influência da rigidez pós-cedência ................. X
vi
Lista de Figuras
Lista de Figuras
Figura 2.1 Decomposição do deslocamento absoluto ................................................... 10
Figura 2.2 Princípio da igualdade de deslocamentos .................................................... 15
Figura 2.3 Princípio da igualdade de energias.............................................................. 17
Figura 2.4 Coeficientes de comportamento e ductilidade ............................................. 18
Figura 2.5 Espectro elástico de acelerações pelo EC8-1............................................... 20
Figura
2.6
Espectros
de
dimensionamento
para
diferentes
coeficientes
de
comportamento ........................................................................................................... 21
Figura 3.1 Procedimento para modelar o comportamento da estrutura ......................... 27
Figura 3.2 Relação constitutiva elásto-plástica para o aço............................................ 28
Figura 3.3 Relação constitutiva com endurecimento para o aço ................................... 29
Figura 3.4 Relação constitutiva linear para o betão ...................................................... 30
Figura 3.5 Relação constitutiva k-η para o betão ......................................................... 31
Figura 3.6 Relação parábola-rectângulo para o betão ................................................... 32
Figura 3.7 Simplificação do diagrama
.............................................................. 36
Figura 3.8 Simplificação do diagrama com áreas iguais (recomendação do EC8-2) ..... 36
Figura 3.9 Método utilizado para obter o digrama
simplificado ........................ 38
Figura 3.10 Fluxograma do procedimento utilizado para obter a relação MomentosCurvaturas simplificada .............................................................................................. 38
Figura 3.11 Deslocamento obtido por soma do deslocamento devido à flexão elástica da
barra e do deslocamento devido à rotação da rótula plástica ........................................ 39
Figura 3.12 Rotação da corda ...................................................................................... 40
Figura 3.13 Cedência da secção de encastramento ....................................................... 41
Figura 3.14 Modelo de rótula plástica ......................................................................... 42
Figura 3.15 Rotação da rótula plástica ......................................................................... 43
Figura 3.16 Exemplo de uma relação Momento-Rotação ............................................. 44
Figura 3.17 Exemplo de uma curva de capacidade ...................................................... 45
Figura 3.18
para um pilar perfeitamente encastrado no tabuleiro ............................ 46
Figura 4.1 Ponte irregular onde não é possível aplicar a metodologia do EC8-2 na
direcção transversal ..................................................................................................... 50
Figura 4.2 Espectro de resposta no formato ADRS....................................................... 54
vii
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 4.3 Oscilador que permanece em regime elástico ............................................. 55
Figura 4.4 Determinação de
quando é válido o principio de igualdade de
deslocamentos............................................................................................................. 55
Figura 4.5 Determinação de
quando não é válido o principio de igualdade de
deslocamentos............................................................................................................. 56
Figura 4.6 Espectro de Capacidade e simplificação bilinear de acordo com o ATC-40 58
Figura 4.7 Definição de
e
para a determinação do amortecimento viscoso
equivalente.................................................................................................................. 60
Figura 4.8 Processo iterativo para determinação do ponto de desempenho sísmico ...... 62
Figura 4.9 Pórtico plano .............................................................................................. 63
Figura 4.10 Curva de capacidade de um pórtico e dos seus pilares .............................. 64
Figura 5.1 Secção em caixão utilizada ......................................................................... 66
Figura 5.2 Diferenças entre coeficiente de comportamento
e coeficiente de ductilidade
em força ................................................................................................................... 67
Figura 5.3 Processo para utilização dos programas de cálculo para as análises estáticas
não lineares ................................................................................................................. 69
Figura 5.4 Modelo de pórtico para a análise dinâmica não linear em SAP2000 ............ 70
Figura 5.5 Amortecimento de Rayleigh ....................................................................... 71
Figura 5.6 Modelo para a análise de um pilar isolado .................................................. 72
Figura 5.7 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
Figura 5.8 Método do Espectro de Capacidade (CSM) para
Figura 5.9 Variação do
........... 74
............................... 74
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
........... 75
Figura 5.10 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
......... 75
Figura 5.11 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
......... 76
Figura 5.12 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
......... 76
Figura 5.13 Comparação do valor do
para o CSM para diferentes valores de
-
pilar isolado ................................................................................................................ 77
Figura 5.14 Modelo de pórtico plano ........................................................................... 78
Figura 5.15 Curva de capacidade de um pórtico de dois pilares ................................... 79
Figura 5.16 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.
........ 80
Figura 5.17 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.
........ 81
Figura 5.18 Variação do
no cálculo do deslocamento pelo CSM. Diferentes valores
de . Pórtico plano
1,2 .......................................................................................... 82
viii
Lista de Figuras
Figura 5.19 Variação do
no cálculo do deslocamento pela metodologia do EC8-2.
Diferentes valores de . Pórtico plano
1,2 ............................................................. 83
Figura 5.20 Representação do modelo das pontes estudadas ........................................ 83
Figura 5.21 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados.
Modelo 1 (
)................................................................................................. 86
Figura 5.22 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados.
Modelo 2 (
)................................................................................................... 87
Figura 5.23 Influência da rigidez pós-cedência ............................................................ 90
Figura 5.24 Análise da influência da rigidez pós-cedência de um pórtico nos
deslocamentos obtidos por uma análise dinâmica e pela metodologia do EC8-2 .......... 91
Figura 5.25 Erros da metodologia do EC8-2 relativamente à análise dinâmica para
diferentes valores de
.............................................................................................. 92
Figura 5.26 Deslocamentos do CSM e comparação com o deslocamento obtido por uma
análise dinâmica com
................................................................................ 93
Figura 5.27 Diferença relativa dos deslocamentos do CSM para várias rigidezes póscedência ...................................................................................................................... 93
Figura 5.28 Erros da metodologia CSM relativamente à análise dinâmica com
............................................................................................................................ 94
Figura 6.1 Evolução do
com o período de vibração. Pórtico plano
.
................................................................................................................................... 97
ix
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Notação
Lista de abreviaturas
ADNL
Análise Dinâmica Não Linear
CQC
Combinação Quadrática Completa
CSM
Método do Espectro de Capacidade (Capacity Spectrum Method)
EC2
EN 1992
EC8-1
EN 1998-1
EC8-2
EN 1998-2
SRSS
Square Root of the Sum of the Squares
Lista de variáveis
Capítulo 2
Secção 2.1
coeficiente de amortecimento
rigidez o sistema
massa do oscilador
força aplicada
deslocamento
velocidade
aceleração d
coeficiente de amortecimento relativo
frequência angular
matriz de amortecimento
matriz de rigidez
x
Notação
matriz de massa
matriz modal
vector de deslocamentos
vector de acelerações
vector de deslocamentos modais
Secção 2.2
deslocamento absoluto
deslocamento da base
deslocamento relativo
Secção 2.3
aceleração do solo para um terreno do tipo A
massa modal efectiva do modo
coeficiente de comportamento
S
coeficiente de solo
espectro elástico de acelerações
espectro de dimensionamento
espectro de deslocamentos
espectro elástico de acelerações
período de vibração
limite inferior do patamar com aceleração constante
limite superior do patamar com aceleração constante
limite inferior do patamar com deslocamento constante
coeficiente de correcção de amortecimento
factor de participação do modo
vector unitário
xi
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Capítulo 3
Secção 3.1
módulo de elasticidade do betão
valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão
valor médio do módulo de elasticidade do betão
tensão máxima no betão
valor de cálculo da tensão máxima no betão
valor médio da tensão máxima no betão
tensão de cedência para o aço
valor de cálculo para a tensão de cedência do aço
extensão axial
extensão no betão
extensão quando o betão atinge a sua tensão máxima (relação k-η)
extensão quando o betão atinge a sua tensão máxima (diagrama parábolarectangulo)
extensão última (diagrama parábola- rectangulo)
valor da extensão última do aço
factor parcial de segurança para o betão
tensão axial
tensão no betão
Secção 3.2
área da secção de betão
área de uma fibra de aço
momento
momento flector resultante das tensões aplicadas no betão
momento flector calculado na iteração
xii
Notação
momento flector resultante das tensões aplicadas nas armaduras
esforço normal
esforço normal aplicado na secção
esforço normal resultante das tensões aplicadas no betão
esforço normal calculado na iteração
esforço normal resultante das tensões aplicadas nas armaduras
distância entre a fibra de betão e o centro de gravidade ao longo do eixo z
distância entre o varão e o centro de gravidade ao longo do eixo z
extensão na j-ésima armadura
extensão na i-ésima fatia de betão
extensão no centro de gravidade da secção
curvatura
curvatura na iteração
Secção 3.3
rigidez elástica fendilhada da secção
rigidez pós-cedência da secção
momento de cedência
momento que se obtém a partir do ponto (
rigidez pós-cedência,
) considerando que a
, é igual a 1% da rigidez
momento flector quando a primeira fibra de betão atinge o valor característico
da sua resistência
momento de rotura
curvatura de cedência
curvatura de rotura
xiii
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Secção 3.4
deslocamento na cedência
deslocamento devido à rotação plástica
comprimento da barra
comprimento da rótula plástica
distância entre a secção de encastramento e a secção de momento flector nulo
factor parcial de segurança para a rotação plástica
rotação
rotação na cedência
rotação plástica na rotura
valor de cálculo da rotação plástica na rotura
rotação na rotura
Secção 3.5
deslocamento
deslocamento na cedência
deslocamento na rotura
força na cedência
força na rotura
Capítulo 4
Secção 4.1
aceleração na intercepção entre o espectro de resposta e o espectro de
capacidade
deslocamento
deslocamento do oscilador de um grau de liberdade equivalente
deslocamento elástico do oscilador de um grau de liberdade equivalente
xiv
Notação
deslocamento na intercepção entre o espectro de resposta e o espectro de
capacidade
deslocamento obtido na iteração
deslocamento objectivo na direção longitudinal
deslocamento objectivo na direção transversal
deslocamento na cedência do oscilador de um grau liberdade equivalente
energia dissipada no ciclo histerético
energia de deformação elástica linear para o deslocamento
acção sísmica na direcção longitudinal
acção sísmica na direcção transversal
força aplicada
força aplicada
força aplicada no sistema de um grau de liberdade equivalente
força na cedência do oscilador de um grau liberdade equivalente
rigidez
massa
massa do sistema de um grau de liberdade equivalente
factor de ductilidade em força para o sistema de um grau de liberdade
equivalente
aceleração espectral elástica
aceleração espectral corrigida
espectro de deslocamentos
deslocamento espectral corrigido
período de vibração
período do oscilador de um grau de liberdade equivalente
limite inferior das acelerações decrescentes de acordo com o espectro do EC8-1
amortecimento viscoso efectivo
xv
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
amortecimento viscoso
factor de correcção do amortecimento
factor de transformação
amortecimento viscoso equivalente ao amortecimento histerético
frequência própria do sistema
Capítulo 5
Secção 5.1
aceleração do solo para um terreno do tipo A segundo o EC8-1
aceleração de pico no solo
area total de armadura
força que provoca a primeira cedência
força devida à acção sísmica para um oscilador elástico
massa do sistema
S
coeficiente de solo segundo o EC8-1
aceleração espectral
período de vibração
limite inferior do patamar com aceleração constante
limite superior do patamar com aceleração constante
limite inferior do patamar com deslocamento constante
coeficiente de ductilidade em força
matriz de amortecimento
matriz de rigidez
matriz de massa
xvi
Notação
Secção 5.2
deslocamento objectivo
deslocamento na cedência
rigidez da secção
altura do pilar
Secção 5.3
altura do pilar mais curto
altura do pilar mais comprido
relação entre
e
Secção 5.5
rigidez elástica fendilhada de uma secção
rigidez pós-cedência de uma secção
força exercida no topo do pilar numa análise elástica
força obtida no topo do pilar
tendo em conta o comportamento não linear do
elemento
rigidez elástica fendilhada do pilar
rigidez pós-cedência do pilar
relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica do pilar
relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica de uma secção
coeficiente de comportamento
xvii
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
1. Introdução
1.1 Enquadramento e objectivo da dissertação
Este trabalho surge no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil e
insere-se no domínio da análise sísmica de pontes. Em países com sismicidade elevada,
como é o caso de Portugal, é de grande importância o dimensionamento sísmico de
estruturas, em particular das estruturas de pontes pois, para além de estarem em causa
elevados custos financeiros, estas podem ser elementos chave no sistema de vias de
comunicação.
A regulamentação actual, em particular o Eurocódigo 8-2, propõe vários
métodos para a análise sísmica de pontes. No entanto, na prática corrente de projecto em
Portugal, a análise da estrutura à acção sísmica é efectuada através de uma análise
modal, assumindo um comportamento linear, recorrendo a espectros de resposta. No
entanto, em casos de maior complexidade recorre-se a uma análise dinâmica não linear.
Este método é computacionalmente muito exigente quando comparado com uma análise
linear, mas tem em conta o comportamento não linear da estrutura ao longo do tempo,
pelo que é considerado o que melhor representa o comportamento real da estrutura. Em
determinadas condições é possível utilizar um método que se pode assumir como de
nível intermédio – computacionalmente menos exigente do que uma análise ao longo do
tempo e que tenha em conta o comportamento não linear – baseado numa análise
estática não linear também designada por análise pushover, cuja utilização é também
admitida no Eurocódigo.
Neste sentido surge a presente dissertação cujos principais objectivos são:
apresentar um procedimento para efectuar a análise pushover de pontes correntes na
direcção longitudinal; e de comparar os seus resultados com os obtidos por uma análise
linear por espectros de resposta e com os obtidos por uma análise dinâmica não linear.
Desta forma, o principal objectivo deste trabalho é avaliar a análise pushover, em
termos de facilidade de implementação e de precisão nos resultados, face aos métodos
mais utilizados na prática corrente de projecto.
1
Capítulo 1 - Introdução
1.2 Estrutura da dissertação
A presente dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo os capítulos
de introdução e de conclusão. Nos parágrafos seguintes, descreve-se de forma sucinta o
conteúdo de cada um deles, com excepção deste primeiro.
No capítulo 2 apresentam-se os conceitos gerais da dinâmica de estruturas e a
sua aplicação para análise sísmica. Abordam-se os conceitos de base para os estudos
realizados e apresentados no âmbito desta dissertação, nomeadamente os conceitos
relativos a métodos baseados em forças e de ductilidade em força e métodos baseados
em deslocamentos, o conceito de coeficiente de comportamento e o de espectro de
resposta. Por fim, apresentam-se os diferentes métodos de análise sísmica dando
particular relevo ao método alvo deste trabalho, a análise estática não linear, ou
pushover.
O capítulo 3 trata o comportamento fisicamente não linear das estruturas. Uma
vez que o pushover tem em conta o comportamento não linear este capítulo revela-se
essencial, pois apresenta uma forma para modelar o comportamento não elástico: o
modelo de rótula plástica. Apresenta-se, em particular, o processo de cálculo para
modelar o comportamento fisicamente não linear de secções de betão armado.
No capítulo 4 apresentam-se diferentes metodologias para efectuar uma análise
estática não linear de uma ponte no sentido longitudinal. São explicadas as
metodologias previstas na norma europeia – uma preconizada no EC8-1 para estruturas
de edifícios e outra proposta no EC8-2 para pontes – e o Método do Espectro de
Capacidade, ou CSM (Capacity Spectrum Method). É dada particular enfâse à
metodologia proposta pelo EC8-2 e ao CSM pois são utilizadas nos capítulos seguintes.
No capítulo 5 apresentam-se os aspectos principais desta dissertação tendo em
conta os seus objectivos. Apresentam-se os resultados das análises estáticas não lineares
efectuadas pela metodologia do EC8-2 e pelo CSM para vários tipos de estruturas e
comparam-se os resultados com os obtidos por uma análise dinâmica não linear.
Começa-se por estudar o caso mais simples de um pilar isolado com diferentes alturas,
de forma a analisar a influência do período de vibração. Numa segunda fase analisam-se
estruturas de pórtico plano, variando o período de vibração e a regularidade da estrutura
– medida através da relação entre a altura dos pilares. Numa terceira fase, efectuam-se
análises estáticas não lineares a duas estruturas de pontes baseadas em casos reais para,
por fim, se estudar a influência da rigidez pós-cedência.
2
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
No sexto e último capítulo apresentam-se as principais conclusões do trabalho
desenvolvido. Referem-se, também, algumas propostas de desenvolvimento ou de
outros possíveis estudos no âmbito do tema desta dissertação.
3
4
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
2. Análise Sísmica de Estruturas
Neste capítulo abordam-se os conceitos gerais da dinâmica de estruturas e a sua
aplicação para a análise sísmica. De seguida, é tratada a questão da resposta não linear
das estruturas submetidas à acção sísmica e, por fim, apresentam-se os principais
métodos de análise e são discutidas as diferenças entre cada um deles.
2.1 Conceitos de Dinâmica de Estruturas
A acção sísmica é uma acção dinâmica que se traduz por uma aceleração do
solo. Por esta razão, são primeiro apresentados os conceitos básicos de dinâmica que,
posteriormente, são adaptados para a análise sísmica de estruturas. Começa-se por
apresentar as equações que regem a dinâmica de um oscilador de um grau de liberdade,
sendo depois explicados os conceitos relativos a osciladores com vários graus de
liberdade, nomeadamente através da análise modal.
2.1.1 Equação de Equilíbrio Dinâmico
Qualquer problema de equilíbrio dinâmico é regido pela equação fundamental da
dinâmica que, no caso de um oscilador de um grau de liberdade pode ser escrita da
seguinte forma:
(2.1)
em que:
é o deslocamento do oscilador no instante
respectivamente, a primeira e segunda derivada de
,
e
são,
em ordem ao tempo, ou
seja, a velocidade e a aceleração no instante . Trata-se, portanto, de uma
equação diferencial.
é a massa do oscilador
é o coeficiente de amortecimento
é a rigidez do sistema para o deslocamento correspondente ao grau de
liberdade
5
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
é a força aplicada ao sistema no instante
A solução geral da equação diferencial é composta pela soma da solução da
equação homogénea,
, com a solução da equação particular,
. A solução da
equação homogénea é designada por regime transitório uma vez que o efeito do
amortecimento a leva a atenuar-se ao longo do tempo. Já a solução da equação
particular é designada por regime permanente.
A equação fundamental da dinâmica pode, também, ser escrita na seguinte
forma:
(2.2)
em que:
é a frequência angular do oscilador
quantifica
o
amortecimento
amortecimento relativo como
Quando
definindo-se
o
coeficiente
de
.
, o amortecimento é designado por amortecimento crítico e a
resposta em regime livre do sistema deixa de ter carácter oscilatório. Na maioria dos
casos da dinâmica estrutural o amortecimento é pequeno (
) pelo que a resposta
em regime livre é sempre oscilatória e, de acordo com [CLOUGH & PENZIEN, 2003],
a frequência amortecida pode ser considerada igual à frequência não amortecida,
.
2.1.2 Sistemas com Vários Graus de Liberdade – Análise Modal
A equação 2.1 pode ser escrita de forma análoga no caso de se tratar de um
sistema com
graus de liberdade:
(2.3)
em que:
é o vector deslocamento. Cada elemento do vector corresponde ao
deslocamento de um determinado grau de liberdade
é o vector de forças aplicadas em cada grau de liberdade
6
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
é a matriz de massa do sistema
é a matriz de amortecimento
é a matriz de rigidez
Desta forma, a resposta do sistema é obtida através da resolução de um sistema
de equações diferenciais. Enquanto a matriz de massa,
matriz de rigidez,
, raramente o é. Ao considerar
, é geralmente diagonal, a
diagonal supõe-se que uma
aceleração num dado grau de liberdade apenas provoca forças de inércia nesse mesmo
grau de liberdade – desprezando, assim, os termos cruzados – o que só é válido se a
massa se concentrar nos nós, o que pressupõe uma discretização finita da estrutura.
Consequentemente, a equação 2.3 é um sistema de
equações diferenciais dependentes,
sendo a sua resolução bastante complexa.
No caso de um sistema com uma relação constitutiva elástica linear, em que é
válido o princípio de sobreposição, o problema pode ser resolvido recorrendo à análise
modal. A análise modal permite transformar a equação 2.3 num sistema de
equações
independentes através de uma mudança de variáveis. O sistema de equações é resolvido
não em função dos deslocamentos de cada grau de liberdade mas em função dos
deslocamentos modais, como se explicará de seguida. Uma vez que se obtém um
sistema de equações independentes, o problema transforma-se, passando a ser
necessário resolver apenas cada equação uma a uma, como foi abordado em 2.1.1.
Considere-se a equação da dinâmica para um sistema com
graus de liberdade,
desprezando o amortecimento e não considerando forças exteriores:
(2.4)
A partir dos resultados obtido para a análise de um sistema com um grau de
liberdade, a solução da equação 2.4 é da forma:
(2.5)
Pelo que pode ser escrita na seguinte forma:
(2.6)
Este sistema de equações só tem solução não trivial no caso do determinante da
matriz
ser nulo. Desta forma, a resolução de um problema dinâmico
7
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
passa pela resolução de um problema de valores e vectores próprios. Cada vector
próprio
corresponde a uma dada configuração deformada da estrutura, ou seja, a um
modo próprio de vibração. Existem tantos modos de vibração como graus de liberdade.
Cada valor próprio corresponde à frequência de vibração,
, do modo de vibração
correspondente. É de notar que a amplitude dos modos de vibração é indeterminada: a
resolução do problema de vectores e valores próprios só permite obter a configuração da
deformada em cada modo mas não a sua amplitude. Consequentemente, cada vector
modal poderá ser normalizado, sendo livre o critério de normalização a utilizar.
Um aspecto fundamental da análise modal, que lhe confere toda a sua utilidade,
é a ortogonalidade dos modos de vibração em relação à matriz de massa e à matriz de
rigidez. Os vectores modais são uma base possível do espaço de deformadas do sistema
com
graus de liberdade. Como consequência da ortogonalidade, ao efectuar a
mudança de variáveis para coordenadas modais, obtêm-se a matriz de massa modal,
, e a matriz de rigidez modal,
, ambas diagonais:
(2.7)
(2.8)
em que
é a matriz modal, matriz cujas colunas são os vectores próprios da matriz
, ou seja, os modos de vibração.
Como foi referido anteriormente, a análise modal permite transformar um
sistema de
equações dependentes num sistema de
equações independentes, como se
demonstra de seguida.
Não considerando o amortecimento, tem-se a equação inicial:
(2.9)
O vector de deslocamentos,
(para esta demonstração, será omitida a variação
temporal dos deslocamentos), pode ser escrito a partir do vector deslocamento em
coordenadas modais
através da seguinte mudança de variáveis:
(2.10)
Desta forma, a equação 2.9 pode ser escrita na forma:
(2.11)
Multiplicando os dois lados da equação por
obtém-se:
(2.12)
8
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Ou seja,
(2.13)
Uma vez que as matrizes
e
são diagonais, a equação 2.13 corresponde
a um sistema de equações independentes pelo que cada equação pode ser resolvida
separadamente, como se de um sistema de um grau de liberdade se tratasse. Obtém-se,
assim, a solução do sistema em coordenadas modais,
, pelo que a solução do
problema em coordenadas iniciais pode ser obtida pela seguinte mudança de
coordenadas:
(2.14)
2.1.3 Consideração do Amortecimento para a Análise Modal
Na secção anterior, em que se apresentaram os fundamentos da análise modal,
não foi considerado o amortecimento. Tal como a massa e a rigidez, o efeito do
amortecimento é representado por uma matriz, a matriz de amortecimento
.
De um ponto de vista formal, existem dois tipos de amortecimento: o
amortecimento clássico e o amortecimento não clássico. O primeiro acontece quando a
matriz de amortecimento modal,
, é diagonal. Nessas condições, tal
como para o sistema não amortecido, obtém-se um sistema de equações independentes.
Porém, no caso do amortecimento não clássico, a matriz
não é diagonal, pelo que o
sistema obtido tem termos cruzados e a sua resolução é complexa.
De um ponto de vista prático, pode definir-se a matriz de amortecimento,
,
como uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez:
(2.15)
Uma vez que as matrizes
coordenadas,
sistema de
e
são ambas diagonais após a mudança de
também o será e, consequentemente, a análise modal permite obter um
equações de um grau de liberdade. Este tipo de amortecimento é designado
de amortecimento de Rayleigh e corresponde a impor que os modos de vibração dos
sistema amortecido sejam os mesmos que os do sistema não amortecido.
9
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
2.2 Análise Sísmica
Nesta secção são aplicados os conceitos gerais da dinâmica estrutural para a
análise sísmica de pontes. Numa primeira fase introduz-se a acção sísmica em termos
conceptuais para a resolução da equação diferencial da dinâmica (equação 2.1), e a
correspondente aplicação para estruturas de pontes. Por fim, apresentam-se as diferentes
abordagens para a análise sísmica de estruturas, nomeadamente a consideração do
comportamento não linear e a distinção entre métodos baseados em forças e métodos
baseados em deslocamentos.
2.2.1 Modelação da Acção Sísmica: Aceleração da Base
A acção sísmica corresponde a uma aceleração da fundação da estrutura, que
varia ao longo do tempo. É esta solicitação que irá fazer oscilar a estrutura, deformandoa, criando forças internas devido à sua rigidez e provocando forças de inércia sobre os
diversos graus de liberdade.
Para introduzir a aceleração do solo na equação diferencial da dinâmica, é
necessário separar o deslocamento nas suas duas componentes: o deslocamento da base,
, e o deslocamento relativo da estrutura em relação ao solo,
, como
apresentado na Figura 2.1. Tem-se, então:
(2.16)
Figura 2.1 Decomposição do deslocamento absoluto
Consequentemente, têm-se as relações análogas para a velocidade e a
aceleração:
10
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
(2.17)
(2.18)
As forças internas devidas ao amortecimento e à rigidez só dependem dos
valores relativos da velocidade e do deslocamento. Já as forças de inércia dependem da
aceleração total do oscilador. Consequentemente, para uma aceleração na base
,
a equação fundamental da dinâmica pode ser escrita na forma:
(2.19)
pelo que se tem, analogamente à equação 2.1:
(2.20)
Esta
carregamento
equação
considera
que
a
estrutura
está
submetida
a
um
, pelo que se trata de um problema análogo ao
apresentado na secção 2.1.1. Por simplicidade, será omitido o índice
para o resto
do estudo.
A equação 2.20 pode ser generalizada para um sistema com múltiplos graus de
liberdade:
(2.21)
em que cada componente do vector
toma o valor unitário apenas quando o grau de
liberdade correspondente tem a direcção da aceleração do solo considerada, uma vez
que alguns graus de liberdade podem não ser excitados.
2.2.2 Conceitos de Modelação da Acção Sísmica em Pontes
Nesta secção são apresentados os conceitos básicos da análise sísmica de
estruturas de pontes e apresentadas as hipóteses efectuadas nesta dissertação.
Conceptualmente, o modelo da ponte e a escolha dos graus de liberdade deverá
representar a distribuição da rigidez e da massa de tal forma que os principais modos de
deformação e as principais forças de inércia sejam representados. O comportamento
dinâmico de pontes aproximadamente rectas deve ser estudado em duas direcções
ortogonais: a direcção longitudinal e a direcção transversal. A direcção longitudinal é
definida como a linha que une as duas secções extremas da ponte; a direcção transversal
é definida como sendo ortogonal à direcção longitudinal. O comportamento dinâmico
de pontes na direcção vertical, devido a acelerações verticais da base, é geralmente
desprezado.
11
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
Para pontes rectilíneas, ou de curvatura desprezável, o comportamento em cada
uma das direcções pode ser estudado separadamente. Isso significa que, para efeitos de
modelação, quando a ponte é solicitada numa dessas direcções a resposta só se dá nessa
mesma direcção.
Um aspecto particular das pontes é que, pela sua extensão, os diferentes pilares
podem ser submetidos a acelerações do solo diferentes. Porém, de forma simplificada, é
costume desprezar este efeito e considerar uma única acção sísmica.
Nas pontes correntes, e dado o seu comprimento limitado, o tabuleiro apresenta
uma grande rigidez axial face à rigidez de flexão dos pilares. Isto tem por consequência
que quaisquer dois pontos do tabuleiro tenham aproximadamente o mesmo
deslocamento na direcção axial. Considera-se, então, que uma estrutura de ponte
rectilínea sem apoio fixo tenha um só grau de liberdade na direcção longitudinal.
Nessas condições, a rigidez da estrutura é-lhe conferida pela rigidez de flexão
dos pilares no caso da ligação destes ao tabuleiro não ser com apoio deslizante. Tem-se,
então:
(2.22)
O comportamento da ponte, nomeadamente ao nível da distribuição de esforços,
pode também ser influenciado por uma eventual força de atrito devida aos aparelhos de
apoio nos pilares e nos encontros ([ARRIAGA E CUNHA. 2011]). Porém, na prática,
esta componente é desprezada.
Na direcção transversal, o comportamento dinâmico da ponte é mais complexo e
dependente de várias características da estrutura, nomeadamente do número e
localização dos pilares, do comprimento da ponte e da rigidez do tabuleiro à flexão
transversal e, eventualmente, à torção.
No modelo mais simplificado, é desprezada a rigidez de flexão transversal do
tabuleiro pelo que o deslocamento no topo de cada pilar é independente do
deslocamento no topo dos outros pilares. Desta forma, a modelação na direcção
transversal de uma ponte com
pilares consiste em analisar
estruturas de um só grau
12
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
de liberdade, sendo o modelo da estrutura um pilar com uma massa concentrada no
topo.
Uma modelação mais precisa do comportamento da ponte na direcção
transversal tem em conta a rigidez do tabuleiro e poderá ser uma estrutura com vários
gaus de liberdade. Porém, a escolha dos graus de liberdade depende do número de
pilares e do comprimento da ponte.
No caso desta dissertação só se estuda o desempenho sísmico da ponte na
direcção longitudinal. A ponte em causa é rectilinea pelo que a resposta a uma
solicitação longitudinal só se dá nessa direcção. Sendo assim, o modelo estrutural da
ponte é um modelo de pórtico plano em que o tabuleiro é rígido.
2.2.3 Diferentes Abordagens para a Análise Sísmica de Estruturas.
Existem duas abordagens nas quais se baseiam os diferentes métodos de análise
sísmica de estruturas: considerar a acção sísmica através de forças ou considerá-la
através de deslocamentos. Na primeira, a estrutura é actuada por forças de inércia e a
análise é efectuada como se de um carregamento tradicional se tratasse, como por
exemplo, acções gravíticas ou o vento. A segurança à acção sísmica é satisfeita no caso
de se verificar a resistência das secções:
(2.23)
Em que:
são os esforços provenientes da combinação de acções devida à acção
sísmica1
é a resistência da secção.
No caso da abordagem por deslocamentos a verificação da segurança à acção
sísmica é efectuada ao nível dos deslocamentos. A acção sísmica faz com que a
estrutura se deforme sendo que a estrutura terá que ter capacidade de deformação
suficiente. A segurança será então verificada no caso da capacidade de deformação da
1
De acordo com o EN 1998-1, o valor de cálculo dos esforços para situações de projecto sísmico deve ser
determinado através da combinação dos valores característicos das cargas permanentes com o valor
quase-permanente das acções livres e com o valor de cálculo da acção sísmica.
13
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
estrutura ser superior à deformação provocada pela aceleração do solo. É de notar que,
conceptualmente, o deslocamento devido ao sismo tem de ser inferior a um dado
deslocamento máximo aceitável, consoante o desempenho pretendido. Desta forma, os
métodos de análise baseados em deslocamentos são também métodos de avaliação do
desempenho. Estes consistem na avaliação da resposta da estrutura face a uma
determinada acção sísmica. O desempenho pretendido pode ser escolhido em função da
exigência do Dono de Obra e em função da importância da estrutura. Estes níveis de
desempenho são, por exemplo, um deslocamento máximo de um pilar, uma abertura
limite de fendas ou a permanência da estrutura em regime elástico.
Estas duas abordagens seriam equivalentes no caso das estruturas terem um
comportamento elástico quando solicitadas por um sismo, pois estariam directamente
relacionadas através da rigidez. Acontece, porém, que quando solicitada por um sismo,
a estrutura tenha uma resposta com comportamento não linear. Em regime inelástico, a
relação entre a carga e o deslocamento é mais complexa, dependendo da história do
carregamento.
A abordagem por deslocamentos baseia-se no facto de, quando solicitada à
acção sísmica, certas secções plastificarem mas a estrutura continuar a deformar-se até
atingir aproximadamente o mesmo deslocamento que teria em regime elástico. Esta
premissa é designada por princípio dos deslocamentos iguais e apresenta-se na Figura
2.2. Desta forma, a um mesmo deslocamento devido à acção sísmica podem
corresponder diferentes forças, em função da ductilidade. Este assunto é abordado em
2.3.1.
De forma a ter em conta a redução das forças que se mobilizam na resposta da
estrutura os métodos baseados em forças têm em conta um factor de redução. Este
factor é designado por coeficiente de comportamento
e será apresentado com maior
detalhe na secção 2.3.1.
A comparação conceptual da abordagem por forças e da abordagem por
deslocamentos sai do âmbito desta dissertação, pelo que foram somente apresentados os
conceitos gerais de cada uma delas. De acordo com [PRIESTLEY et al, 2007], os
métodos de análise sísmica eram inicialmente baseados em forças mas, com a evolução
14
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
do conhecimento em engenharia sísmica, os métodos baseados em deslocamentos foram
ganhando importância. Hoje em dia considera-se que o comportamento real da estrutura
se relaciona mais directamente com os deslocamentos do que com a distribuição de
esforços.
Figura 2.2 Princípio da igualdade de deslocamentos
Apesar desta mudança de paradigma, os regulamentos, nomeadamente o
Eurocódigo 8-11, preconizam principalmente métodos baseados em forças, mas
prevêem também métodos baseados em deslocamentos. De um ponto de vista
conceptual, existem 4 tipos de métodos para a análise sísmica de estruturas, consoante
se esteja a analisar a estrutura de forma estática ou dinâmica e consoante se esteja ou
não a modelar o comportamento não linear, como se apresenta na Tabela 2.1.
Acção
Comportamento
Linear
Estática
Forças Laterais
equivalentes
Comportamento
Análise Pushover
não Linear
Dinâmica
Análise Modal
Análise
Dinâmica não
Linear
Tabela 2.1Tipos de análise sísmica de estruturas
Destes quatro tipos de análise, a utilização do método das forças laterais
equivalentes e da análise modal é geralmente baseada em forças: a verificação da
1
[EN 1998-1, 2004]. Poderá também ser designado por EC8-1
15
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
segurança faz-se ao nível dos esforços aplicados. Já a análise pushover, tema principal
desta dissertação, é um método baseado em deslocamentos. A análise dinâmica não
linear, também designada por análise ao longo do tempo ou time-history analysis,
corresponde a um método teoricamente “exacto” pois pretende ter em conta o
comportamento real da estrutura e a resolução das equações da dinâmica para cada
instante.
2.3 Métodos de Análise Sísmica
Nesta secção são apresentados os métodos de análise citados anteriormente.
Com excepção do método das forças laterais, que é apresentado em menor detalhe, os
restantes são aplicados nesta dissertação para a análise de uma ponte real e os seus
resultados são comparados.
Porém, antes de se apresentarem os métodos de análise, explicam-se os
conceitos de coeficiente de comportamento e de espectro de resposta.
2.3.1 Coeficiente de comportamento
O coeficiente de comportamento, , permite ter em conta o comportamento não
linear da estrutura para os métodos de análise elástica (método das forças laterais
equivalentes e análise modal). As forças de inércia aplicadas à estrutura são
determinadas utilizando as características elásticas da estrutura e são depois corrigidas
através do coeficiente de comportamento.
Antes de explicar mais profundamente a utilização do coeficiente de
comportamento, é necessário abordar o conceito de ductilidade. A ductilidade é a
capacidade de um material, um elemento ou uma estrutura se deformar plasticamente - é
a relação entre a deformação última e a deformação de cedência. A ductilidade de um
material é expressa pela ductilidade de extensões - a relação entre a extensão última e a
extensão de cedência. A ductilidade de uma secção é expressa pela razão entre a
curvatura última e a curvatura de cedência, a de um elemento estrutural pode ser
expressa pela ductilidade de rotação e a da estrutura pela ductilidade de deslocamentos.
Uma estrutura dúctil tem, assim, uma certa capacidade de se deformar
plasticamente. Pode, então, atingir o mesmo deslocamento do que uma estrutura
idêntica que permanece em comportamento elástico, tal como se observa na Figura 2.2.
16
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Desta forma, para um mesmo deslocamento, diferentes forças podem estar
aplicadas na estrutura em função da ductilidade da mesma, pelo que no caso da rigidez
se manter constante, quanto maior for a ductilidade da estrutura menor tem que ser a
força aplicada para atingir esse deslocamento. No caso da acção sísmica, é costume
considerar a hipótese da igualdade de deslocamentos. No entanto, para períodos mais
curtos este princípio é considerado inválido e utiliza-se, então, o princípio de igualdade
de energias, que se representa na Figura 2.3.
Figura 2.3 Princípio da igualdade de energias
Estes são os fundamentos teóricos do coeficiente de comportamento, , que é
definido como uma aproximação da razão entre as forças sísmicas a que a estrutura
ficaria sujeita se a sua resposta fosse elástica e as forças sísmicas que poderão ser
adoptadas no projecto. O valor de
pode ser tanto maior quanto maior for a ductilidade
da estrutura, como se pode observar na Figura 2.4, dependendo do material estrutural
utilizado, do sistema estrutural, mas também no cumprimento de certas disposições
construtivas, nomeadamente as medidas de Capacity Design. O Capacity Design
consiste num conjunto de regras de dimensionamento que se baseiam na adopção de
certas medidas construtivas de forma a permitir uma rotura dúctil da estrutura,
controlando a formação de zonas com comportamento inelástico e a respectiva
capacidade de deformação.
17
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
Figura 2.4 Coeficientes de comportamento e ductilidade
2.3.2 Espectros de Resposta
Geralmente, a acção sísmica é caracterizada pelo valor máximo da aceleração no
solo e a resposta a essa acção sísmica é caracterizada pela máxima aceleração,
velocidade ou deslocamento da estrutura. Para tal é utilizado o conceito de espectro de
resposta: valor máximo da resposta de um oscilador de um grau de liberdade com
comportamento elástico em função das suas características dinâmicas. Desta forma, a
partir do período e do amortecimento pode obter-se não só a aceleração máxima, e
consequentemente o espectro de acelerações,
máximo, ou seja, o espectro de deslocamentos
, mas também o deslocamento
.
Os quatro métodos de análise apresentados na Tabela 2.1, com excepção da
análise dinâmica não linear, recorrem a espectros de resposta. A utilização de espectros
de resposta apresenta, porém, certas limitações: perde-se informação sobre a duração da
resposta da estrutura, o número de ciclos e o instante da resposta máxima. O método da
análise dinâmica não linear requer a utilização de acelerogramas.
18
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Na Europa, o espectro de acelerações utilizado é o definido no EC8-2. Este é
apresentado na Figura 2.5 e é parametrizado pelos seguintes factores:

Tipo de Sismo: estão definidos dois tipos de sismos para o território português:
o Tipo 1 designado por sismo afastado e o Tipo 2 designado por sismo
próximo;

Zona Sísmica: o Anexo Nacional do EC8-1 faz um zonamento sísmico do
território português onde define a aceleração máxima de referência para um
solo em rocha,
. Este valor de aceleração corresponde à aceleração máxima
no solo para um sismo com período de retorno de 475 anos;

Classe de importância da estrutura. Em função da importância da estrutura, o
EC8 define um coeficiente de importância,
. Pode, então, obter-se a
aceleração máxima de projecto para um solo em rocha:
(2.24)
Note-se que o objectivo do coeficiente de importância é alterar a aceleração de
forma a ter em conta o período de retorno da aceleração a considerar no
projecto;

Terreno de fundação. A qualidade do terreno, nomeadamente a velocidade de
propagação das ondas de corte, influi fortemente na resposta da estrutura a uma
dada aceleração no solo. Desta forma, o regulamento define o parâmetro S e os
tempos característicos

e
em função do terreno;
Amortecimento. O aumento do amortecimento diminui o valor da resposta e os
espectros definidos no EC8-1 têm-no em conta através do coeficiente de
correcção η que depende do coeficiente de amortecimento , definido em %:
(2.25)
Na Figura 2.5 é representado qualitativamente o espectro de acelerações e
apresenta-se de seguida a sua definição analítica em função do período do oscilador de
um grau de liberdade.
19
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
Figura 2.5 Espectro elástico de acelerações pelo EC8-1
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Em que:
é o espectro elástico de acelerações
é o valor de cálculo da aceleração de um terreno do tipo A (rocha)
S é o coeficiente de solo
T é o período de um sistema elástico com um grau de liberdade
é o coeficiente de correcção de amortecimento
é o limite inferior do patamar com aceleração constante
é o limite superior do patamar com aceleração constante
é o limite inferior do patamar com deslocamento constante
É de notar que quando se geram acelerogramas artificialmente, a média das
acelerações máximas deve ser igual ao espectro de resposta definido no regulamento
europeu. A aceleração do sistema elástico obtida pelos espectros do EC8-1 corresponde
20
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
a uma média das acelerações máximas e não a um valor característico – valor com uma
certa probabilidade de ser excedido, sendo esta normalmente de 5% para os valores
característicos dos materiais estruturais.
No caso de análises lineares, o comportamento não linear da estrutura é tido em
conta com uma redução do espectro elástico através do coeficiente de comportamento,
(definido em 2.3.1), obtendo-se assim o espectro de dimensionamento.
Figura 2.6 Espectros de dimensionamento para diferentes coeficientes de comportamento
O espectro de dimensionamento é definido analiticamente da seguinte forma:
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
2.3.3 Método das Forças Laterais Equivalentes
O método das forças laterais equivalentes, ou método do modo fundamental, é
um método estático que considera que a resposta dinâmica da estrutura se faz só no seu
primeiro modo de vibração, desprezando a resposta nos modos de ordem superior. A
21
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
acção sísmica é modelada através de uma distribuição de forças de inércia a actuar na
estrutura de acordo com o modo fundamental.
Esta análise é feita tendo em conta as características elásticas da estrutura. O
eventual comportamento não linear é tido em conta com a utilização do espectro de
dimensionamento, para um dado coeficiente de comportamento e com um dado
amortecimento. Uma vez calculado ou estimado o período fundamental e,
consequentemente, obtido o valor da aceleração espectral, o valor da força de corte
basal é igual a:
(2.34)
Em que
é a aceleração espectral obtida pelo espectro de dimensionamento e
a massa do sistema. A força de corte basal,
, é então distribuída pela estrutura e a
análise da estrutura é efectuada com base em forças, ou nos esforços actuantes face aos
esforços resistente. Trata-se, portanto, de uma metodologia baseada em forças.
2.3.4 Análise Modal por Espectro de Resposta
A análise modal por espectro de resposta é um método de análise dinâmica que
só pode ser utilizado para osciladores com comportamento linear. Tal como para o
método das forças laterais equivalentes, o comportamento não linear é tido em conta
pela utilização de espectros de dimensionamento e de coeficientes de comportamento.
Conceptualmente, a análise modal por espectro de resposta consiste em determinar a
resposta máxima para cada modo de vibração e em combinar as respostas dos diferentes
modos de forma a obter a resposta global do sistema. Porém, nem todos os modos
contribuem da mesma forma para a resposta da estrutura a uma dada solicitação, pelo
que se introduzem os conceitos de factor de participação e de massa modal efectiva.
Reescrevendo a equação 2.21 em coordenadas modais tem-se:
(2.35)
Pelo que multiplicando dos dois lados da equação por
e de acordo com 2.1.2 e
2.1.3, o sistema de equações se torna um sistema de n equações independentes:
(2.36)
Escrevendo a equação anterior para um modo de vibração :
22
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
(2.37)
Em que
é designado por factor de participação do modo . Este factor depende da
normalização dos vectores próprios e traduz a maior ou menor excitação que o modo
correspondente sofre para uma dada aceleração na base. Desta forma, recorrendo a
espectros de resposta, a aceleração máxima num dado modo vem dada por:
(2.38)
De forma a poder determinar as forças de inércia para cada modo de vibração é
introduzido o conceito de massa modal efectiva, que indica a massa do sistema que
participa em cada modo de vibração. A massa modal efectiva é independente da
normalização sendo a soma das massas modais igual à massa total do sistema. Tem-se,
assim:
(2.39)
É de notar que, apesar do factor de participação depender da normalização, a
resposta da estrutura não depende, uma vez que é obtida pelo produto da resposta em
cada modo pelo respectivo vector modal. Por exemplo, a aceleração máxima em cada
grau de liberdade devida ao modo é dada por:
(2.40)
É, assim, possível determinar a resposta máxima devida a cada modo de
vibração, pelo que é necessário combinar essas respostas para obter a resposta global do
sistema. Porém, os máximos de cada modo podem não ocorrer simultaneamente pelo
que a sua soma seria demasiado conservadora. Assim, no caso das frequências de cada
modo de vibração serem suficientemente afastadas entre si, combinam-se as respostas
pelo método SRSS (Square Root of the Sum of the Squares):
(2.41)
Em que
é a resposta que se pretende combinar e
a resposta em cada modo.
23
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
No caso dos períodos de vibração de cada modo serem próximos, as respostas
modais máximas já não podem ser consideradas independentes entre si e deve ser
utilizada a CQC (Combinação Quadrática Completa):
(2.42)
com
(2.43)
É de notar que no caso de
e
serem afastados, o coeficiente
tende para
1, pelo que se pode constatar que a combinação SRSS é um caso particular da
combinação CQC. É, também, importante realçar que se deve combinar unicamente a
grandeza que se pretende obter, ou seja, a combinação é o ultimo passo da análise
modal por espectro de resposta.
2.3.5 Análise Estática não Linear
A análise estática não linear, ou pushover, é um método de análise sísmica que
tem directamente em conta o comportamento não linear da estrutura. Sob cargas
verticais constantes, a estrutura é sujeita de forma monotónica a sucessivos incrementos
de cargas horizontais, que correspondem ao efeito da acção sísmica, até se atingir o
colapso. A cada passo de cálculo, é efectuada a análise da estrutura tendo em conta o
seu comportamento fisicamente não linear e, eventualmente, geometricamente não
linear. Obtém-se, assim, a curva de capacidade da estrutura que relaciona a força de
corte basal,
, e o deslocamento de um dado ponto de controlo.
Comparativamente aos métodos lineares em que o comportamento inelástico é
tido em conta através de coeficientes de comportamento, a análise pushover tenta
modelar o comportamento real da estrutura para um dado estado de carregamento. Este
método permite, então:

Obter a capacidade da estrutura, ou seja, a sua capacidade de se deformar e a sua
ductilidade;
24
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear

Estimar a sequência de formação de rótulas plásticas, a redistribuição de
esforços e a progressiva deterioração da estrutura;

Estimar, para uma dada acção sísmica, a capacidade de rotação necessária das
rótulas plásticas e o estado de deterioração da estrutura;

Estimar a solicitação em elementos que podem provocar uma rotura frágil.
A análise estática não linear é efectuada em duas etapas: na primeira etapa,
obtém-se a curva de capacidade da estrutura, pelo que é preciso escolher um
determinado ponto de controlo e o padrão de carregamento; a segunda etapa
corresponde à determinação do deslocamento objectivo, ou seja, o deslocamento do
ponto de controlo para uma dada acção sísmica. Esse deslocamento objectivo é então
comparado com a capacidade da estrutura podendo, assim, determinar-se quais os
efeitos de um dado sismo sobre a estrutura em análise. Desta forma, a análise pushover
é um método baseado em deslocamentos e permite avaliar o desempenho sísmico da
estrutura. De facto, o deslocamento objectivo pode ser comparado com o deslocamento
para um dado desempenho exigido pelo Dono de Obra, como foi brevemente explicado
em 2.2.3.
A escolha do ponto de controlo e da configuração do carregamento, assim como
a determinação do deslocamento objectivo, dependem da metodologia utilizada.
Existem diferentes metodologias que diferem no seu grau de complexidade e na
quantidade de aspectos que pretendem cobrir. Nas análises mais convencionais, tais
como Capacity Spectrum Method (CSM) - proposto no ATC-40 ([APPLIED
TECHNOLOGY COUNCIL, 1996]) - e o método N2 - proposto pelo Eurocódigo 8-1 é dada predominância ao primeiro modo de vibração, pelo que a validade da análise
pushover para estruturas irregulares é posta em causa. Já nos métodos propostos mais
recentemente, como o Modal Pushover Analysis e o Adaptive Capacity Spectrum
Method, a influência dos modos de ordem superior é tida em conta ([PINHO et al ,
2009]). No entanto, estes métodos ainda são alvo de investigação.
Contrariamente aos métodos de análise linear, que são baseados em forças, a
análise estática não linear só pode ser efectuada após o dimensionamento da estrutura,
pois só com o dimensionamento completo é possivel verificar a segurança ou um
25
Capítulo 2 – Análise Sísmica de Estruturas
determinado desempenho. Uma vez que para a análise pushover é necessário determinar
a curva de capacidade da estrutura – que depende das características dos seus elementos,
nomeadamente a sua resistência e ductilidade – esta não pode ser utilizada para efeitos
de dimensionamento.
2.3.6 Análise Dinâmica não Linear – Time-History Analysis
A análise dinâmica não linear, ou time-history analysis, é o método de análise
sísmica que permite recolher mais informação sobre o comportamento e a resposta da
estrutura a uma história de acelerações do solo. Para um dado acelerograma,
representativo da acção sísmica, a equação da dinâmica é resolvida numericamente
tendo
em
conta
o
comportamento
fisicamente
não
linear
da
estrutura.
Consequentemente, o princípio da sobreposição não é válido, o que inviabiliza a
resolução do sistema de equações (no caso de um sistema com vários graus de
liberdade) através da análise modal. Nesse caso, o problema pode ser resolvido através
de uma integração passo-a-passo. A equação de equilíbrio dinâmico é resolvida para
vários intervalos de tempo, devendo o incremento de tempo,
, ser definido em função
do erro aceitável na resposta e as condições do sistema actualizadas no final de cada
passo. Esta actualização permite ter em conta o comportamento histerético sendo que,
nesse caso, a rigidez pode depender da história do carregamento.
Uma vez que a acção sísmica é modelada através de acelerogramas é possível
obter certos resultados que a utilização de espectros de resposta não permitia. É o caso,
por exemplo, do número de ciclos, da duração da resposta ou do instante onde ocorrem
os picos de deformação.
26
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
3. Análise Fisicamente Não-Linear
Apresentam-se neste capítulo os aspectos relativos ao comportamento
fisicamente não-linear dos materiais e o consequente comportamento não-linear da
estrutura. Numa primeira parte são apresentadas as relações constitutivas do betão e do
aço, uma vez que são elas que condicionam o comportamento das secções e,
consequentemente, de cada elemento estrutural e da estrutura. Estuda-se, então, o
comportamento de secções através da sua relação Momentos-Curvaturas, (
), para,
de seguida, se tratar o comportamento dos pilares através da relação MomentosRotações, (
), obtendo a partir daí a relação Cargas-Deslocamentos, (
),
também designada por curva de capacidade. Apresenta-se na Figura 3.1 um esquema
do procedimento utilizado para modelar o comportamento da estrutura. É de realçar que,
na presente dissertação, é utilizado um modelo simplificado bilinear para a nãolinearidade, considerando um primeiro comportamento elástico ou pré-cedência e um
comportamento pós-cedência até à rotura.
Comportamento
dos materiais –
relações
constitutivas
Comportamento
das secções –
relação
Comportamento
do elemento –
relação
Comportamento
do pilar – curva
de capacidade
Figura 3.1 Procedimento para modelar o comportamento da estrutura
Neste trabalho é utilizado um modelo de plasticidade concentrada, introduzindo
o conceito de rótula plástica: toda a plasticidade do elemento estrutural encontra-se
concentrada numa zona designada por rótula plástica e as restantes partes do elemento
permanecem em comportamento elástico. Estes assuntos são apresentados na secção
3.4.
Ao longo do capítulo é discutida qual a relação constitutiva a utilizar para os
materiais, em particular se devem ser utilizadas as propriedades médias dos materiais ou
as suas propriedades de cálculo. A importância desta questão resulta do facto de, por um
lado, se dever tentar modelar o comportamento das secções que mais se aproxima do
comportamento real - utilizando assim as propriedades médias dos materiais - mas por
27
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
outro, não se poder exceder o momento resistente da secção - determinado com valores
de cálculo. Este assunto é abordado na secção 3.3.
3.1 Relações Constitutivas dos Materiais
A relação constitutiva de um dado material é a relação entre o estado de
deformação desse material e a tensão que lhe está associada. Geralmente, o estado de
deformação é quantificado através da extensão axial, , e a tensão pela tensão axial, .
3.1.1 Relação Constitutiva para o Aço
Utilizou-se uma relação constitutiva elástica-perfeitamente plástica para o aço,
como a apresentada na Figura 3.2. O aço apresenta o mesmo comportamento à
compressão que à tracção, pelo que só se apresenta este último, uma vez que o
comportamento à compressão pode ser obtido por simetria em relação à origem.
Figura 3.2 Relação constitutiva elásto-plástica para o aço
Considerou-se que se tratava de um aço de classe de ductilidade C, pelo que se
adoptou um valor de extensão última,
, de 7.5% de acordo com o Eurocódigo 21. No
caso de se efectuar uma análise com valores de cálculo utiliza-se o valor de
para
.
É de notar que o EC8-22 prevê que se utilize para análises estáticas não-lineares
uma relação constitutiva para o aço que tenha em conta o endurecimento das armaduras,
tal como se apresenta na Figura 3.3. Neste trabalho esse efeito será desprezado pelas
seguintes razões:
1
2
[EN 1992]. Poderá também ser utilizada a abreviação EC2.
[EN 1998-2, 2004]. Poderá também ser designado por Eurocódigo 8-2.
28
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
- Não tem influência na determinação do ponto de cedência e na curvatura de
cedência, que são os principais parâmetros que caracterizam o comportamento
fisicamente não linear;
- Para a determinação do momento resistente da secção, o EC2 não obriga a
considerar o endurecimento do aço das armaduras.
Figura 3.3 Relação constitutiva com endurecimento para o aço
A referida norma indica, também, que se deve ter em conta o efeito local de
encurvadura dos varões comprimidos. Este efeito será, também, desprezado uma vez
que se considera que os seus efeitos não são relevantes para os objectivos desta
dissertação.
3.1.2 Características do aço para armaduras
Apresentam-se nas tabelas seguintes os valores que caracterizam o aço de classe
C, definidos no EC2.
A400
400
347,8
A500
500
434,8
200
Tabela 3.1 Propriedades do aço
Classe A
Classe B
.0
Classe C
Tabela 3.2 Ductilidade do aço em função da sua classe
29
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
3.1.3 Relações Constitutivas para o Betão
O EC2 indica diferentes relações constitutivas para o betão em função do
objectivo pretendido. As principais relações tensões-deformações aconselhadas pela
norma são apresentadas de seguida. Nota-se que as extensões nela indicadas são
negativas, não sendo considerada qualquer resistência à tracção.
Relação Linear:
A relação constitutiva linear é utilizada para a análise do comportamento em
serviço em que o betão, geralmente pouco solicitado, permanece em comportamento
aproximadamente elástico.
Figura 3.4 Relação constitutiva linear para o betão
(3.1)
O valor de
é o valor médio do módulo de elasticidade do betão aos 28 dias.
Corresponde ao módulo de elasticidade secante entre
e
e está
indicado na Tabela 3.3.
Relação k-η
Para a análise estrutural não-linear, o EC2 preconiza a utilização da relação k-η
apresentada na Figura 3.5, pois é a que melhor representa o comportamento real do
betão.
30
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 3.5 Relação constitutiva k-η para o betão
(3.2)
em que:
(3.3)
(3.4)
(3.5)
é a tensão máxima no betão
à extensão onde se atinge a tensão máxima
é o módulo de elasticidade do betão
Os valores destes parâmetros dependem do facto da análise ser feita com valores
médios ou com valores de cálculo. Quando se utilizam valores médios tem-se:
(3.6)
(3.7)
e quando se utilizam valores de cálculo tem-se:
(3.8)
(3.9)
em que o factor parcial de segurança,
, toma o valor de 1.5.
31
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
Para as análises estáticas não-lineares o EC8-2 indica que se deve ter em conta o
efeito do confinamento do betão. Mais precisamente, o anexo E.3 preconiza que, para
extensões superiores à extensão de rotura do betão não confinado (
), só a parte da
secção que está confinada deve ser considerada na análise.
Diagrama parábola-rectângulo
A norma europeia recomenda a adopção de um diagrama parábola-rectângulo
para o cálculo de secções transversais. No entanto, podem ser utilizadas outras relações
tensões-deformações desde que estas sejam equivalentes ou mais conservativas.
Acontece que este modelo de comportamento apresenta bons resultados para o cálculo
do momento resistente, mas não é adequado no que diz respeito às deformações.
Figura 3.6 Relação parábola-rectângulo para o betão
(3.10)
(3.11)
em que:
é a extensão em que se atinge a tensão máxima
é a extensão última.
3.1.4 Características do betão
Apresentam-se na Tabela 3.3 os valores preconizados pelo EC2 para a diferentes
relações constitutivas para o betão.
32
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[GPa]
[%]
[%]
[%]
[%]
C20/25
20
13,3
28
30
0.2
C25/30
25
16,7
33
31
0.21
0.35
0.2
0.35
C30/37
30
20
38
33
0.22
Tabela 3.3 Propriedades para o betão
3.2 Relação Momento-Curvatura
Tendo abordado, na secção anterior, o comportamento dos materiais que
compõem as secções, está-se em condições de tratar o seu comportamento fisicamente
não linear, através da sua relação Momentos-Curvaturas (
flector aplicado na secção e
nível de esforço normal,
).
é o momento
a correspondente curvatura. Esta relação é dependente do
.
Na análise de secções admitem-se as seguintes hipóteses simplificativas:

Hipótese de Bernoulli: as secções planas perpendiculares ao eixo do elemento
barra permanecem planas e perpendiculares a esse eixo após a deformação. Para
além de conservar a secção de betão plana, esta hipótese tem como consequência
directa estar a assumir-se a aderência perfeita entre as armaduras e o betão.

A secção é solicitada num plano de simetria que contém o eixo .
Como qualquer problema de análise estrutural trata-se agora de um problema de
equilíbrio estático e de compatibilidade. De facto, os esforços
estáticas enquanto a deformação axial e a curvatura
e
são grandezas
são grandezas cinemáticas. Uma
vez que a secção é heterogénea os esforços totais na secção são iguais à soma das
contribuições de cada material, como se indica nas equações seguintes:
(3.12)
(3.13)
em que:
o índice
diz respeito aos elementos de betão e o índice
aos varões de aço
33
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
é a distância entre a fibra de betão e o centro de gravidade,
é a distância entre o varão e o centro de gravidade
ambas as distâncias são medidas ao longo do eixo z
A extensão num dado ponto da secção pode ser também relacionada com a
deformação axial,
, e a curvatura, :
(3.14)
Tendo sido anteriormente definidas as relações constitutivas do aço e do betão,
ou, por outras palavras, o valor da tensão para uma dada extensão, está-se agora em
condições de determinar a relação (
) de qualquer secção de betão armado. Para a
determinação da relação Momentos-Curvaturas utilizou-se a metodologia baseada em
[VIRTUOSO et al, 1998]. Essa metodologia baseia-se no processo incremental e
iterativo que a seguir se descreve, tendo sido implementado num programa de cálculo
em MATLAB. Trata-se de um processo incremental de curvaturas e iterativo dentro de
cada incremento:
1- Definição das relações constitutivas para o betão e para o aço;
2- Discretização da secção em
fatias de betão e em
camadas de
armadura. As grandezas anteriores escrevem-se então:
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
3- Determinação da deformação inicial, só devida ao esforço normal aplicado,
. Uma vez que não existe momento flector, a curvatura é nula;
4- Incremento de curvatura,
, atribuindo-se um estado de deformação,
para a
secção;
5- Calcula-se a extensão para cada camada de betão e aço pelas equações 3.17 e
3.18. Através das relações constitutivas determinam-se as respectivas tensões;
6- Utilizando as equações 3.15 e 3.16 calculam-se os esforços
e
;
34
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
7- Calcula-se a diferença
;
8- Caso o módulo da diferença seja inferior a uma dada tolerância, tem-se então o
par de valores
em que
. No caso de se exceder a
tolerância, inicia-se um processo iterativo até se verificar a condição. Cada
iteração consiste em alterar o valor de
e voltar ao passo 5;
9- Regresso ao passo 4 até que se atinja a rotura da secção. Obtém-se, assim, o
diagrama Momentos-Curvaturas da secção para o esforço normal aplicado.
3.3 Diagrama Momento-Curvatura Simplificado
Como se indicou na introdução deste capítulo, é utilizado um modelo
simplificado para a análise não-linear da estrutura. Este modelo é bilinear: o primeiro
troço tem comportamento elástico com rigidez
pós-cedência e tem uma rigidez
; o segundo troço é designado por
. Ambos os troços estão representados na Figura
3.7 sendo esta simplificação válida no caso de uma rotura dúctil da secção de betão
armado – que acontece no caso de um dimensionamento correcto. O troço inicial é
praticamente linear porque, antes da cedência das armaduras, toda a não linearidade
vem da relação constitutiva do betão que é pouco significativa. O segundo troço é,
também, praticamente linear porque a armadura já plastificou pelo que a variação do
momento com a curvatura só acontece devido à variação da posição da linha neutra,
efeito que também é pouco significativo.
Um modelo bilinear permite que a análise da estrutura se faça de forma mais
simples sem deixar de ter em conta as características de ductilidade das secções
determinantes. Permite, também, determinar exactamente o ponto de cedência –
) – para poder concentrar os efeitos não lineares numa rótula plástica, tema
(
que será abordado na secção 3.4.
Uma vez que o diagrama Momentos-Curvaturas simplificado é bilinear, bastam
3 pontos para a sua completa determinação. Esses pontos são:
- a origem;
- o instante de cedência da secção, (
- a rotura, (
);
).
35
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 3.7 Simplificação do diagrama
Apesar de aparentemente ser simples determinar o diagrama simplificado, os
Eurocódigos são pouco claros e levam a certas incoerências quanto a esta questão. No
ponto 4.2.4.4(2a), o EC8-2 especifica que se devem utilizar os valores prováveis para as
tensões de cedência e as extensões dos materiais, pelo que se utilizariam as
características médias. Para a simplificação do diagrama, o EC8-2 (anexo E.3.2 (3))
indica que, após a primeira cedência, o diagrama simplificado tem a mesma área do que
o diagrama real, como se visualiza na Figura 3.8.
Figura 3.8 Simplificação do diagrama com áreas iguais (recomendação do EC8-2)
Acontece, porém, que o momento resistente de cálculo da secção não pode ser
excedido. É neste aspecto que as normas europeias são pouco claras. Por um lado deve
modelar-se o comportamento mais provável da secção utilizando as características
médias dos materiais; por outro lado, não se podem exceder os valores da resistência
das secções, utilizando, nessas condições, as relações constitutivas com valores de
cálculo. Neste trabalho, esta questão foi resolvida ao calcular o ponto de cedência e o
36
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
ponto de rotura com relações constitutivas distintas. Utilizando a relação constitutiva
com as propriedades médias dos materiais, começou-se por determinar o ponto
(
) e a correspondente rigidez
determinar o par de valores
que une esse ponto e a origem. Para
utilizou-se a relação
com valores de
cálculo. Não foi utilizada a relação preconizada pela norma, a relação parábola
rectângulo, pois esta é uma simplificação que dá valores próximos dos que se obtêm
com a relação
. É de notar que a norma não obriga à utilização do diagrama
parábola-rectângulo para obter o valor do momento resistente, podendo recorrer-se a
outras relações mais conservativas.
Uma vez que os pontos (
) e (
) são calculados com
relações tensões-deformações distintas, podem acontecer as seguintes situações não
admissíveis pois não correspondem a uma solução coerente em termos de valores dos
momentos e dos valores das tensões:
-
;
- As tensões no betão serem superiores ao valor característico da sua resistência.
Desta forma, uma vez que os valores
são calculados directamente, o
problema consiste em determinar o ponto que se assume corresponder à cedência no
diagrama simplificado, sendo que a rigidez
já é conhecida. O procedimento
adoptado passa por calcular os seguintes valores:
-
, que representa o momento flector que está aplicado na secção
quando, para o esforço normal aplicado, a primeira fibra de betão atinge o valor
característico da sua resistência;
-
, que se obtém a partir do ponto (
rigidez pós-cedência,
, é igual a 1% da rigidez
) considerando que a
. Em termos teóricos pode ser
adoptada uma rigidez pós-cedência nula. Opta-se, no entanto, por impor um valor de 1%
da rigidez
de forma a garantir um valor mínimo de rigidez pós-cedência evitando
assim o aparecimento de problemas numéricos nas análises subsequentes.
O ponto (
) do diagrama simplificado é, então, determinado como
pertencendo à recta de declive
e tendo um valor de momento igual ao menor entre
37
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
,
e
, sendo este último calculado com as propriedades médias
dos materiais. Representam-se estes valores de momento na Figura 3.9.
Figura 3.9 Método utilizado para obter o digrama
simplificado
Apresenta-se, agora, um fluxograma de como foi obtida a relação MomentosCurvaturas simplificada para a secção.
Início do cálculo
Calcula a relação
com valores médios
Determina o par de valores
Determina
Calcula a relação
com valores de cálculo
Determina o par de valores
Determina
Calcula
e
Desenha recta de declive
Determina
Desenha relação
simplificada
Figura 3.10 Fluxograma do procedimento utilizado para obter a relação Momentos-Curvaturas simplificada
38
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
3.4 Relação Momentos-Rotações
Tendo determinado a relação Momentos-Curvaturas das secções está-se em
condições de obter o comportamento dos elementos estruturais. A relação MomentosRotações (
) relaciona o momento e a rotação de uma rótula plástica. O conceito
de rótula plástica consiste em concentrar todo o comportamento plástico numa
determinada zona, permanecendo o resto do elemento estrutural em comportamento
elástico. Desta forma, a deformação da barra pode ser decomposta em duas parcelas: a
devida à deformação elástica da barra e a devida à rotação da rótula plástica, como se
apresenta na Figura 3.11.
Figura 3.11 Deslocamento obtido por soma do deslocamento devido à flexão elástica da barra e do deslocamento
devido à rotação da rótula plástica
Neste trabalho utilizou-se o modelo de rótula plástica apresentado no EC8-2.
Neste modelo a rótula plástica tem em conta todas as deformações do elemento, pelo
que a rotação
representa a rotação da corda – rotação entre a barra na posição
indeformada e a linha que une as duas extremidades na sua posição deformada – e não
unicamente a rotação da rótula. Ilustra-se na Figura 3.12 a rotação da corda.
A rótula plástica baseia-se na análise Momentos-Curvaturas da secção e num
comprimento de rótula plástica. Uma vez que uma rotação resulta do integral de
curvaturas ao longo de uma dada distância, ou seja,
, ao considerar-se a
curvatura constante ao longo de um dado comprimento obtém-se a respectiva rotação. O
comprimento em causa corresponde ao comprimento da rótula plástica.
Como anteriormente para o comportamento de secções, o comportamento do
elemento estrutural terá um andamento simplificado bilinear. Basta assim determinar
39
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
dois pontos para obter a totalidade do diagrama: a rotação na cedência,
na rotura,
, e a rotação
.
Figura 3.12 Rotação da corda
É de salientar que o modelo de rótula plástica só tem em conta as deformações
por flexão sendo desprezadas as deformações por corte.
3.4.1 Determinação da rotação na cedência
Considere-se uma consola de comprimento L representada na Figura 3.13,
sujeita a uma carga horizontal na sua extremidade. A carga na extremidade é análoga a
um esforço transverso nesse ponto.
Ao ocorrer a cedência da secção de encastramento têm-se os diagramas de
momentos flectores e de curvaturas representados na mesma figura. Note-se que o
diagrama de curvatura é linear, uma vez que se adoptou um diagrama MomentosCurvaturas simplificado com andamento bilinear, como explicado na secção 3.3.
40
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 3.13 Cedência da secção de encastramento
O deslocamento no topo pode, então, escrever-se na forma:
(3.19)
Pela equação de compatibilidade,
, tem-se, então:
(3.20)
o que corresponde a ter uma rotação na cedência
.
O EC8-2 preconiza esse mesmo valor para a rotação da corda na cedência ou, mais
precisamente,
, em que
é a distância entre a secção de encastramento
e a secção de momento flector nulo, por vezes designada de shear span.
3.4.2 Determinação da rotação na rotura
Na rotura, o modelo concentra numa rótula plástica, com comprimento
, todo
o comportamento plástico da estrutura como se ilustra na Figura 3.14. É de realçar que o
comprimento da rótula plástica é um conceito fictício que só tem utilidade para o
cálculo, não se observando na realidade a existência de uma zona onde se concentram as
deformações inelásticas.
41
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 3.14 Modelo de rótula plástica
De acordo com o EC8-2, a rotação última pode ser considerada como a soma da
rotação na cedência,
, determinada no ponto anterior, e a rotação plástica,
. Tem-
se então:
(3.21)
Note-se que
é um valor de cálculo, sendo obtido pela seguinte relação:
(3.22)
em que
é um factor parcial de segurança que, de acordo com o anexo E.3 do EC8-2
toma o valor de 1.40.
A utilização do factor parcial
garante que não se exceda o valor da rotação
plástica de cálculo. Acontece que, no caso da presente dissertação, os valores de
e
foram obtidos com relações constitutivas de cálculo, contrariamente ao previsto no
EC8-2, segundo o qual deveriam ser utilizadas as características médias dos materiais.
Assim sendo não é necessário reduzir a rotação
.
O Eurocódigo considera que as rotações plásticas se fazem em torno de um
ponto situado a meio da rótula plástica, como se observa na Figura 3.15. Tem-se
consequentemente o valor de
:
(3.23)
42
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 3.15 Rotação da rótula plástica
Esta expressão de
pode ser facilmente demonstrada considerando as Figuras
3.14 e 3.15 para calcular a parcela pós-cedência do deslocamento na extremidade da
consola e considerando que a rotação plástica, ou pós-cedência, é igual ao deslocamento
pós-cedência dividido pelo comprimento da barra:
(3.24)
De acordo com EC8-2, o
aproximadamente igual a
comprimento da rótula plástica,
,
é
, sendo ligeiramente maior devido ao efeito strain
penetration. A deformação plástica das armaduras penetra parcialmente na fundação,
aumentado assim o comprimento da rótula plástica. O efeito de strain penetration é
tanto maior quanto maior for a tensão de cedência característica do aço,
diâmetro dos varões longitudinais,
, e o
. O Eurocódigo indica a seguinte expressão para o
comprimento da rótula plástica:
(3.25)
É de realçar que esta fórmula só é válida no caso de se verificar que
em que
é o comprimento da barra e
,
a altura útil da secção. Esta condição serve para
43
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
garantir que não ocorre uma rotura frágil por esforço transverso, o que impediria a
formação da rótula plástica.
Refira-se que considerar que
é uma aproximação da rotação na
rotura. De facto, como se pode ver na Figura 3.15, as rotações
e
são medidas em
relação a pontos diferentes. Acontece, porém, que o objectivo da definição de
é
determinar a curva de capacidade do pilar, pelo que o modelo é automaticamente
corrigido ao obter o deslocamento no topo.
3.4.3 Relação Momento-Rotação
Em 3.4.1 e em 3.4.2 determinaram-se as rotações da corda na cedência e na
rotura da barra. Ou seja, tendo sido previamente calculados os momentos de cedência e
último da secção, obtiveram-se os pares de valores (
)e(
) pelo
que se tem, então, o diagrama Momentos-Rotações para o elemento estrutural.
Figura 3.16 Exemplo de uma relação Momento-Rotação
3.5 Curva de Capacidade de Pilares
Para realizar uma análise estática não linear é necessário definir a curva CargaDeslocamento, ou curva de capacidade, da estrutura. Para obter essa curva é necessário,
numa primeira fase, determinar a curva de capacidade de cada pilar da ponte. Uma vez
que se obteve a rotação da corda em função do momento aplicado - através da relação
Momentos-Rotações - deriva-se sem dificuldade a curva carga-deslocamento. É de notar
que a relação
calculada anteriormente diz respeito à rotação da corda entre a
44
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
secção de encastramento e a secção de momento flector nulo, a uma distância
. Sendo
assim, o deslocamento do ponto de momento nulo obtém-se pela seguinte equação:
(3.26)
Da mesma forma, considera-se para a curva
uma simplificação bilinear do
comportamento estrutural. Têm-se então as seguintes equações:
Na cedência:
(3.27)
(3.28)
Na rotura:
(3.29)
(3.30)
Figura 3.17 Exemplo de uma curva de capacidade
No caso da ligação ao tabuleiro ser articulada o comprimento
corresponde à
altura do pilar. No caso da ligação do pilar ao tabuleiro ser monolítica é necessário ter
em consideração a rigidez relativa entre o pilar e o tabuleiro. Na situação limite, que
corresponde em admitir que a rigidez de flexão do tabuleiro é muito superior à do pilar,
este comporta-se como biencastrado conforme representado na Figura 3.18.
45
Capítulo 3 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 3.18
para um pilar perfeitamente encastrado no tabuleiro
46
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
4. Análise Pushover de Estruturas de Pontes
Neste capítulo apresentam-se os procedimentos para realizar uma análise estática
não
linear. Numa primeira parte são apresentadas diferentes metodologias,
nomeadamente o método previsto no EC8-2 e o Método do Espectro de Capacidade,
que são utilizados neste trabalho. Numa segunda parte, explica-se a forma de obter a
curva de capacidade de um pórtico plano, elemento essencial de uma análise pushover.
4.1 Metodologias para a análise pushover de pontes
Na utilização mais corrente da análise estática não linear para a análise sísmica
de pontes salientam-se as metodologias propostas pelo Eurocódigo 8 e pelo documento
ATC 40. O Eurocódigo recomenda metodologias ligeiramente diferentes para a
obtenção do deslocamento objectivo conforme se queira aplicar a análise pushover a
edifícios, no EC8-1, ou a pontes, no EC8-2. São apresentas estas duas metodologias,
assim como o Método do Espectro de Capacidade proposto no documento ATC 40.
4.1.1 Metodologia aconselhada no EC8-2
No anexo H, o EC8-2 apresenta a metodologia aconselhada para a análise estática
não linear de estruturas de pontes. O documento apresenta o pushover como um
aumento progressivo de cargas horizontais até que um determinado ponto de controlo
atinja o seu deslocamento objectivo. A segurança à acção sísmica da ponte é verificada
se o deslocamento correspondente ao colapso da ponte for superior àquele
deslocamento.
Referem-se de seguida os elementos necessários para a utilização da análise
pushover como aconselhada no anexo H do EC8-2, assim como as condições para se
poder recorrer a essa metodologia
47
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Direcções de análise e ponto de controlo
O ponto de controlo deve ser definido como o centro de massa do tabuleiro e
devem ser efectuadas análises nas seguintes duas direcções horizontais:
-direcção longitudinal , definida pela linha que une o centro das duas secções extremas
da ponte;
-direcção transversal , definida como ortogonal à direcção longitudinal.
Definição do deslocamento objectivo
Deve ser determinado o deslocamento objectivo para cada direcção em análise,
e
respectivamente para a direcção longitudinal e transversal. Para cada
direcção,
é obtido através de uma análise modal por espectro resposta, com
coeficiente de comportamento
-
é calculado para a solicitação
-
é calculado para a solicitação
para as seguintes solicitações:
Desta forma, no caso da ponte ser perfeitamente rectilínea, a resposta à acção
sísmica só terá que ser estudada na direcção em análise.
A rigidez efectiva a considerar na análise é a rigidez secante determinada na
análise Momentos-Curvaturas conforme foi apresentado no capítulo 3.
Para a análise dos pilares o tabuleiro pode ser considerado axialmente rígido,
pelo que o comportamento dinâmico da ponte ao longo do seu eixo pode ser analisado
através de um sistema de um só grau de liberdade. Desta forma, o deslocamento no topo
de cada pilar é considerado igual ao deslocamento axial do ponto de controlo. A
determinação do deslocamento objectivo para um sistema de rigidez
total
e de massa
é assim dado por:
(4.1)
em que:
o valor da aceleração espectral elástica
o período
48
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
a frequência própria do sistema.
Obtém-se, então, o valor do deslocamento objectivo:
(4.2)
Para a análise na direcção transversal a determinação do deslocamento objectivo
depende da modelação do comportamento da ponte no que diz respeito ao número de
graus de liberdade escolhidos. É obtido com base na resposta combinada para os vários
modos. A consideração de um só modo é tida como uma boa aproximação desde que
esse modo seja dominante na resposta da estrutura.
É de notar que esta forma de determinar o deslocamento objectivo pressupõe que
o deslocamento do sistema elástico seja igual ao do sistema com comportamento
inelástico.
Distribuição da carga
Para cada direcção os incrementos de carga horizontal,
, que actuam a massa
concentrada Mi a cada incremento j são iguais a:
(4.3)
em que:
é o incremento j de força horizontal, normalizado ao peso
é o factor de forma que define a distribuição de força ao longo da estrutura
O Eurocódigo 8-2 prevê que sejam analisadas duas distribuições:
1- distribuição uniforme no tabuleiro, ou seja
;
2- distribuição proporcional ao primeiro modo de vibração.
é proporcional ao
deslocamento modal no ponto i na direcção em causa, devendo o modo de
vibração com maior factor de participação na direcção em análise ser
considerado.
Sem, no entanto, exigir outras justificações, a norma permite a utilização de
qualquer outra distribuição, desde que esta seja considerada melhor do que as propostas.
49
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Ao efectuar a análise estática não linear na direcção longitudinal de uma ponte a
distribuição de carga torna-se irrelevante. Isto deve-se ao facto de que o tabuleiro é
considerado axialmente rígido e que, como consequência, o comportamento da ponte na
direcção longitudinal corresponde a um sistema de um só grau de liberdade. Admite-se,
então, que a totalidade da carga horizontal é aplicada no centro de massa do tabuleiro.
Outras verificações
Para garantir a existência de deformação plástica de acordo com o modelo
adoptado deverá ser verificada a segurança relativamente à rotura por esforço transverso
e à rotura do solo de fundação.
Condições de aplicabilidade da metodologia
Esta metodologia só deverá ser utilizada quando a resposta na direcção em
análise pode ser aproximada a um grau de liberdade generalizado. Esta condição é
sempre verificada na direcção longitudinal quando, para pontes aproximadamente
rectilíneas, a influência da massa dos pilares é desprezável. Já na direcção transversal, a
condição é verificada quando a distribuição das rigidezes dos pilares ao longo da ponte
provoca um apoio lateral uniforme para um tabuleiro relativamente rígido. Isto é o que
acontece quando a altura dos pilares decresce em direcção aos encontros ou não varia
muito, pelo que a rigidez dos pilares aumenta em direcção aos extremos da ponte. Já no
caso em que a ponte tem um ou vários pilares mais rígidos situados no meio de outros
pilares mais flexíveis – como se ilustra na Figura 4.1 – ou quando a massa dos pilares
tem influência no comportamento dinâmico da estrutura, o sistema não pode ser
aproximado por um grau de liberdade. Nessas condições, o EC8-2 declara que não se
poderá utilizar a análise pushover, sendo necessário recorrer a uma análise dinâmica não
linear.
Figura 4.1 Ponte irregular onde não é possível aplicar a metodologia do EC8-2 na direcção transversal
50
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Requisitos para a análise
Os requisitos que dizem respeito à modelação do comportamento não linear da
estrutura já foram abordados no capítulo 3. No entanto o Eurocódigo refere os seguintes
aspectos:
1 - a utilização das características médias dos materiais de forma a identificar as zonas
que permanecem em regime elástico e a aproximar o comportamento mais provável da
estrutura;
2 - nas zonas das rótulas plásticas, devem ser tidos em conta os efeitos do confinamento,
do endurecimento das armaduras e da encurvadura dos varões longitudinais;
3 - a relação Momentos-Curvaturas deverá ser aproximada por uma relação bilinear ao
considerar rigidez pós-cedência nula e a área deverá ser igual à do diagrama real;
4 - a rotação da rótula plástica devido à acção sísmica,
capacidade de rotação de cálculo
, deve ser inferior à
:
(4.4)
em que
é o valor último da rotação da rótula plástica obtido com os seus valores
das propriedades médias dos materiais. O factor de segurança
reflecte o efeito de
eventuais defeitos locais da estrutura assim como as incertezas relativamente ao modelo
e sobre as características dos materiais. De acordo com o Eurocódigo deverá tomar-se o
valor de 1.4 para
.
4.1.2 Método N2, proposto para edifícios no EC8-1
O EC8-1 apresenta o método N2, desenvolvido por Fajfar, para a determinação
do deslocamento objectivo. Apesar desta metodologia ser preconizada para edifícios,
pode também ser utilizada para a avaliação de estruturas de pontes.
O procedimento consiste em transformar a estrutura num sistema de um grau de
liberdade equivalente e em seguida calcular o deslocamento objectivo através de um
espectro de resposta elástico. A metodologia consiste nos seguintes passos:
51
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
1º passo: Cálculo da curva de capacidade da estrutura (curva
):
O ponto de controlo deverá ser o centro de massa do último piso do edifício e
deverão ser utilizadas duas distribuições de carga: uma primeira designada por
uniforme, em que as forças aplicadas são proporcionais à massa; e uma segunda
designada por distribuição modal, que deve ser consistente com o primeiro modo de
vibração. Os passos seguintes devem ser efectuados para cada uma das curvas de
capacidade obtidas.
2º passo: Transformação do sistema num sistema de um grau de liberdade equivalente:
A partir dos resultados da análise modal, calcula-se a massa equivalente do
sistema,
, e o factor de transformação, , de forma a poder transformar a curva de
capacidade calculada no passo anterior, tendo-se as seguintes relações:
(4.5)
(4.6)
em que
é o vector correspondente à configuração deformada no 1º modo de vibração.
3º passo: Determinação da curva de capacidade do sistema equivalente e respectivo
espectro de capacidade:
Calcula-se a força
e o deslocamento
do sistema equivalente:
(4.7)
(4.8)
obtendo, assim, a curva de capacidade do sistema equivalente. Está-se agora em
condições de calcular a força de cedência,
, e o deslocamento de cedência,
, para o
sistema equivalente de um grau de liberdade. Isto é efectuado adaptando a curva de
capacidade a uma curva bilinear mantendo constante o valor da área sob a curva.
O espectro de capacidade do sistema equivalente é obtido dividindo as
ordenadas da curva
pela massa equivalente,
que relaciona a aceleração espectral,
. Desta forma obtém-se a curva
, com o deslocamento espectral,
.
52
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
4º passo: Determinar o período do sistema equivalente:
O período é determinado através da relação:
(4.9)
5º passo: Definição do espectro de resposta elástico no formato ADRS:
O espectro de resposta no formato ADRS (Acceleration Displacement Response
Spectrum) relaciona o deslocamento espectral,
, com a aceleração espectral,
, ou
seja, relaciona o deslocamento e a aceleração máximos para uma dada acção sísmica.
Para obter este espectro começa-se por definir o espectro de resposta elástico de
acelerações, para um dado amortecimento (que corresponde ao amortecimento viscoso,
geralmente 5%) e para uma dada aceleração de pico de solo – tem-se, assim, a
aceleração espectral,
, em função do período da estrutura, . De seguida obtém-se, o
valor do deslocamento espectral,
, em função da aceleração espectral e do período
correspondente:
(4.10)
Representa-se na Figura 4.2 o andamento qualitativo de um espectro de resposta
no formato ADRS. Observa-se que as rectas a partir da origem representam períodos
constantes pelo que a cada par de valores
da curva corresponde um período de
vibração.
53
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 4.2 Espectro de resposta no formato ADRS
6º passo: Determinar o deslocamento objectivo do sistema equivalente:
Numa primeira fase calcula-se o deslocamento do sistema equivalente através do
espectro de resposta elástico,
. O deslocamento elástico,
, é calculado da seguinte
forma:
(4.11)
Um sistema submetido a uma aceleração espectral
elástico no caso de não ser excedida a sua força de cedência,
equivalente permanece em regime elástico caso
deslocamento objectivo do sistema equivalente,
permanece em regime
, ou seja, o sistema
. Neste caso, o
, é igual ao deslocamento elástico,
, ou seja, o espectro de capacidade intercepta o espectro ADRS no seu troço elástico,
como se pode visualizar na Figura 4.3.
54
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 4.3 Oscilador que permanece em regime elástico
No caso do oscilador entrar em regime plástico – ou seja, quando
– é necessário distinguir duas situações. Para períodos de vibração longos – para
os quais a aceleração espectral se encontra no troço descendente – é válido o princípio
da igualdade de deslocamentos: um oscilar com comportamento elástico e um oscilador
com comportamento inelástico têm o mesmo deslocamento, ou seja,
. Esta
igualdade é ilustrada na Figura 4.4. Note-se que, seguindo o espectro de resposta
definido no EC8-1, o princípio da igualdade de deslocamentos é válido para períodos
superiores a
.
Figura 4.4 Determinação de
quando é válido o principio de igualdade de deslocamentos
Para períodos curtos – em que, seguindo o EC8-1,
– não se considera
válida a hipótese dos deslocamentos iguais. O EC8-1 define, então, a seguinte expressão
para o deslocamento objectivo,
:
(4.12)
55
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
onde o coeficiente
é o coeficiente de ductilidade em força para o sistema equivalente
de um grau de liberdade. Este coeficiente é definido como a relação entre a força devida
à acção sísmica para um oscilador elástico e a força de cedência do sistema:
(4.13)
Esta correcção é ilustrada na Figura 4.5.
Figura 4.5 Determinação de
quando não é válido o principio de igualdade de deslocamentos
7º passo: Determinar o deslocamento objectivo do sistema real:
Tendo determinado no passo anterior o deslocamento objectivo do sistema
equivalente, determina-se o deslocamento objectivo para o sistema real,
, ao aplicar o
factor de transformação.
(4.14)
Comparando ambos os métodos propostos no Eurocódigo – para edifícios e para
pontes – observa-se que são idênticos no caso da estrutura ser analisada como um
oscilador de um grau de liberdade e no caso de se admitir o principio da igualdade de
deslocamentos.
56
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
4.1.3 Método do Espectro de Capacidade
O Método do Espectro de Capacidade (CSM – Capacity Spectrum Method) é a
metodologia para análise estática não linear prevista no ATC-40. O método baseia-se,
fundamentalmente, em duas fases distintas:

A primeira em que se define a curva de capacidade da estrutura e esta é
convertida no espectro de capacidade resistente;

A segunda em que se determina a acção sísmica no formato ADRS e sua
correcção1 através de um coeficiente de amortecimento efectivo, que considere o
amortecimento viscoso mas, também, o amortecimento histerético.
Estas duas curvas estão assim no mesmo referencial e o deslocamento objectivo
corresponde à sua intercepção, também designado por ponto por desempenho sísmico.
Contrariamente aos métodos previstos no Eurocódigo, a sua determinação não é directa
sendo necessário recorrer a um processo iterativo.
De forma a tornar mais clara a apresentação do Método do Espectro de
Capacidade, descrevem-se os passos necessários para a sua utilização:
1º Passo: determinação da curva de capacidade da estrutura:
Este passo é idêntico aos necessários nos outros métodos apresentados.
Corresponde à obtenção da curva
que mede o deslocamento de um dado ponto de
controlo em função da força de corte basal aplicada à estrutura.
2º Passo: transformação do sistema com vários graus de liberdade num sistema de um
grau de liberdade equivalente:
O ATC-40 prevê que a transformação para um sistema com um grau de
liberdade equivalente seja efectuada de forma análoga ao apresentado no método N2 do
EC8-1 mas com uma formalização distinta. Esta transformação é apresentada no
capítulo 8.2 do ATC-40 mas, por simplicidade, esta formalização não será apresentada
neste texto.
1
Na literatura é, por vezes, utilizado o termo “redução”.
57
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
3º Passo: Obtenção do espectro de capacidade resistente:
O espectro de capacidade resistente é obtido do mesmo modo que foi
apresentado em 4.1.2. O ATC-40 prevê que nesta fase se simplifique o espectro de
capacidade numa curva bilinear para que se possa, posteriormente, estimar o
amortecimento efectivo. A transformação do espectro de capacidade num diagrama
bilinear deve assegurar que as áreas
e
identificadas na Figura 4.6 sejam iguais,
para que a energia de deformação seja a mesma.
Figura 4.6 Espectro de Capacidade e simplificação bilinear de acordo com o ATC-40
É de referir que a definição do espectro de capacidade bilinear não é directa pois
depende do ponto de desempenho (ponto
da Figura 4.6) que é obtido pelo
processo que se descreve no passo 5.
4º Passo: Definição do espectro de resposta elástico no formato ADRS
Este passo é idêntico ao apresentado em 4.1.2.
5º Passo: Determinação do ponto de desempenho sísmico
Como foi anteriormente referido, o ponto de desempenho corresponde à
intercepção entre o espectro de capacidade e a curva do espectro de resposta inelástico
no formato ADRS. Este último é obtido através do espectro de resposta elástico com um
coeficiente de amortecimento viscoso que é, então, corrigido de forma a ter em conta os
58
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
efeitos fisicamente não lineares do comportamento da estrutura, nomeadamente o
amortecimento histerético.
Para a determinação do ponto de desempenho
adopta-se o seguinte
processo iterativo:
i)
Estimativa do ponto de desempenho para início do processo iterativo
A primeira estimativa corresponde, geralmente, à utilização da hipótese da
igualdade de deslocamentos - o deslocamento inelástico é igual ao deslocamento
espectral elástico.
ii)
Estimativa do amortecimento
Quando uma estrutura sujeita à acção sísmica entra em regime não linear o
amortecimento total pode ser considerado como uma combinação do amortecimento
viscoso e do amortecimento histerético. O ATC-40 propõe a utilização do
amortecimento viscoso efectivo,
amortecimento viscoso,
. Este amortecimento é definido como a soma do
, e de um amortecimento viscoso equivalente,
,
equivalente ao amortecimento histerético:
(4.15)
Nesta equação, o termo
está associado ao deslocamento plástico máximo
e o ATC-40 define esse termo da seguinte forma:
(4.16)
e
são representados graficamente na Figura 4.7, sendo:
a energia dissipada no ciclo histerético
a energia de deformação elástica linear para o deslocamento
, com uma
rigidez secante
59
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 4.7 Definição de
O coeficiente
e
para a determinação do amortecimento viscoso equivalente
da expressão 4.15 é utilizado como factor correctivo da
aproximação bilinear dos ciclos histeréticos. O valor de
é definido no ATC-40;
depende do tipo de comportamento estrutural e do nível de amortecimento, sendo os
seus valores apresentados na Tabela 4.1. No caso do presente trabalho, para todas as
análises pushover efectuadas pelo Método do Espectro de Capacidade, considerou-se
que se tratavam de estruturas do tipo A.
Tipo de Comportamento Estrutural
Tipo A:
Comportamento histerético estável e
completo
1.0
Tipo B:
Redução Moderada da área do ciclo
histerético
0.67
Tipo C:
Mau comportamento histerético
Qualquer
0.33
Tabela 4.1 Valores do coeficiente de correcção
iii)
Correcção do espectro
Uma vez estimado o amortecimento viscoso efectivo o espectro no formato
ADRS é corrigido para ter em conta o comportamento fisicamente não linear da
estrutura. Esta correcção pode ser efectuada de acordo com a proposta do Eurocódigo
60
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
para a correcção do espectro elástico em função da variação do coeficiente de
amortecimento, sendo o coeficiente de correcção dado por:
(4.17)
A aceleração espectral é então corrigida obtendo-se, também, o deslocamento
espectral corrigido:
(4.18)
(4.19)
Obtêm-se, assim, os pares de valores
que constituem o espectro ADRS
corrigido.
iv)
Verificação
Uma vez obtido o espectro de resposta corrigido o ponto de desempenho
corresponde à intercepção do espectro de resposta com o espectro de capacidade.
No caso do deslocamento obtido,
, coincidir com o deslocamento
adoptado
no passo i), o ponto obtido corresponde ao ponto de desempenho sísmico. No presente
trabalho adoptou-se uma tolerância de 1%, ou seja:
(4.20)
No caso de não se verificar a condição anterior é necessário recomeçar o
processo no passo i), adoptando uma nova estimativa para
. Esta nova estimativa pode
ser obtida através da média entre o valor anteriormente admitido e o ponto de
intercepção obtido.
Na Figura 4.8 apresenta-se um esquema gráfico com o processo iterativo para a
determinação do ponto de desempenho sísmico.
61
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 4.8 Processo iterativo para determinação do ponto de desempenho sísmico
A abcissa do ponto de desempenho,
, corresponde ao deslocamento objectivo
obtido pela análise pushover.
4.2 Determinação da curva de capacidade de um pórtico plano
A análise sísmica de uma ponte corrente e de eixo rectilíneo pode ser efectuada
de forma equivalente através da análise de um pórtico plano em que a travessa pode ser
considerada axialmente rígida. As secções condicionantes para a acção sísmica são as
secções extremas dos pilares: a sua base e, no caso da ligação ao tabuleiro ser rígida, o
topo do pilar. No caso deste trabalho considera-se unicamente o caso em que a ligação
do pilar ao tabuleiro é articulada, uma vez que no caso da ligação entre os pilares e
travessa ser monolítica os problemas e as metodologias serão semelhantes.
62
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 4.9 Pórtico plano
Apresenta-se a metodologia para obter a curva de capacidade de um pórtico
plano, ou, de forma equivalente, de uma ponte na sua direcção longitudinal:
1º Passo: determinação da curva de capacidade de cada pilar:
Este primeiro passo não é menos do que aplicar o processo descrito em
pormenor no capítulo 3. A partir das características da secção determina-se a relação
Momentos-Curvaturas da secção de encastramento. De seguida, sabendo a altura do
pilar, recorre-se ao modelo da rótula plástica para obter a relação Momentos-Rotações e
determina-se a curva de capacidade do pilar.
2º Passo: soma das curvas de capacidade dos pilares:
A curva de capacidade da estrutura é obtida somando as curvas de capacidade de
cada pilar: para um mesmo deslocamento, a força total é igual à soma das forças em
cada pilar. Ao efectuar este procedimento, a curva terá então vários troços lineares, em
função da cedência progressiva dos elementos da estrutura, uma vez que, em geral, os
pilares não plastificam de forma simultânea.
63
Capítulo 4 – Análise Fisicamente Não Linear
Figura 4.10 Curva de capacidade de um pórtico e dos seus pilares
A curva de capacidade obtida pode ser bilinearizada. O Método do Espectro de
Capacidade prevê uma forma de efectuar esta simplificação pois esta tem impacto nos
resultados obtidos. Pelo contrário, o método do EC8-2 não dá qualquer indicação uma
vez que a determinação do deslocamento objectivo depende unicamente das
características elásticas da estrutura.
A rigidez elástica da estrutura é igual à soma das rigidezes elásticas de cada
pilar:
(4.21)
pelo que se pode calcular o período de vibração correspondente à resposta elástica da
estrutura:
(4.22)
ou, equivalentemente, a sua frequência angular:
(4.23)
64
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
5. Análise Pushover – Aplicações
Neste capítulo efectuam-se diversas análises estáticas não lineares e comparamse os resultados com os de uma análise passo-a-passo. As análises pushover são
efectuadas pela metodologia proposta no EC8-2 e pelo Método do Espectro de
Capacidade. São analisados diferentes tipos de estruturas:

Pilares isolados com alturas diferentes de forma a efectuar a análise para
diferentes gamas de períodos;

Pórticos de dois pilares, em que se faz variar a altura dos pilares de forma a
permitir a análise para diferentes gamas de períodos. Analisa-se, também, os
efeitos da variação da relação entre a altura dos dois pilares

Estruturas reais de pontes baseadas no modelo estudado em [ARRIAGA E
CUNHA. 2011]
Numa primeira fase explica-se o procedimento utilizado para realizar as análises
pushover e as análises ao longo do tempo, nomeadamente na definição da acção
sísmica. Nas secções subsequentes apresentam-se as diversas análises.
A secção dos pilares foi mantida constante para todas as análises efectuadas,
quer na sua geometria quer na quantidade de armadura. Utilizou-se uma secção em
caixão como a apresentada na Figura 5.1, com uma quantidade total de armadura,
,
de 1% da secção total e com um recobrimento de 5 centímetros. Considera-se apenas a
flexão do pilar em torno do eixo
da secção.
65
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Figura 5.1 Secção em caixão utilizada
5.1 Preparação da análise
5.1.1 Definição da acção sísmica
Para cada elemento estrutural analisado faz-se variar a intensidade da acção
sísmica de forma a controlar o coeficiente de ductilidade em força, , que se define
como:
(5.1)
em que:
é a força devida à acção sísmica, tendo em conta uma resposta da estrutura
em regime linear. É definida como o produto da massa pela aceleração espectral
elástica
.
é a força que provoca a cedência do pilar ou, no caso de uma estrutura com
vários pilares, a força que provoca a primeira cedência. A força
é calculada
multiplicando a rigidez elástica da estrutura pelo deslocamento do tabuleiro que
provoca a primeira cedência.
O conceito de coeficiente de ductilidade em força difere do de coeficiente de
comportamento, que foi anteriormente apresentado em 2.3.1. Na Figura 5.2 ilustra-se a
diferença entre aqueles dois coeficientes. O coeficiente de comportamento, , é definido
como:
66
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
(5.2)
em que
representa o valor máximo da força correspondente à resposta não linear da
estrutura.
Uma consequência directa de definir a acção sísmica de forma a obter o
coeficiente de ductilidade em força pretendido é o facto de que o deslocamento elástico,
, fica automaticamente definido:
(5.3)
em que
é deslocamento na cedência.
Figura 5.2 Diferenças entre coeficiente de comportamento
e coeficiente de ductilidade em força
Neste trabalho a definição da acção sísmica baseia-se exclusivamente em sismos
do Tipo 1 e na definição da acção sísmica proposta pelo EC8-1. Uma vez que se utiliza
sempre a mesma secção é necessário, para cada estrutura, escalar a acção sísmica para
obter o coeficiente
pretendido, efectuando-se as análises para valores de
. Para as análises estáticas não lineares esse escalonamento faz-se ao
calibrar o espectro de resposta; para as análises ao longo do tempo foi necessário escalar
os acelerogramas utilizados, de forma a obter o coeficiente
escolhido.
Para as análises pushover, onde se recorre a espectros de resposta, o valor da
aceleração espectral é função da zona sísmica, do tipo de terreno mas, também, do
período de vibração da estrutura. De acordo com o Eurocódigo 8-1, o valor da
aceleração espectral pode, então, ser escrito na seguinte forma:
67
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
(5.4)
em que:
e
são parâmetros que definem a amplitude do espectro de resposta.
Dependem da zona sísmica e do tipo de terreno, como explicado anteriormente
em 2.3.4;
é uma função que depende do período de oscilação, tal como foi
apresentado na secção 2.3.2.
A partir das equações 5.1 e 5.4 o coeficiente de ductilidade em força pode ser
escrito na seguinte forma:
(5.5)
pelo que se pode utilizar o produto
para escalar a acção sísmica de forma a obter
o coeficiente de ductilidade em força, , pretendido. Apresentam-se na Tabela 5.1 as
expressões que permitem determinar o valor de
gamas de períodos de forma a assegurar o valor de
expressão para períodos inferiores a
a adoptar para as diferentes
pretendido. Não se apresenta a
, uma vez que estes períodos de vibração não são
correntes em estruturas de pontes cuja resistência sísmica é assegurada apenas pelos
pilares.
Tabela 5.1 Expressões para o cálculo de
em função do valor do coeficiente
pretendido
Para a análise dinâmica não linear, o EC8-1 indica que devem ser utilizados um
mínimo de 7 acelerogramas1. No entanto, neste trabalho considera-se neste trabalho que
o resultado da análise ao longo do tempo é a média das máximas respostas de cinco
acelerogramas obtidos de acordo com [GUERREIRO, 2002]. Estes acelerogramas
foram gerados de forma a que o seu espectro seja aproximado ao espectro de resposta
proposto no EC8-1 (apresentado na secção 2.3.2), para uma aceleração máxima no solo
1
EN 1998-1 4.3.3.4.3
68
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
unitária, para uma acção do Tipo 1 e em solos do tipo A, B, C e E. Para escalar os
acelerogramas utilizados de forma a obter o coeficiente de ductilidade em força,
pretendido, utilizou-se também o valor obtido para
,
.
5.1.2 Programas de cálculo para a análise pushover
As análises estáticas não lineares efectuadas foram feitas de forma automática
através de um programa de cálculo implementado em MATLAB. Foram elaborados
dois programas, um para análise pushover pelo método previsto no EC8-2, outro para a
análise pelo Método do Espectro de Capacidade.
Dados fornecidos:
Número de pilares
Curva de capacidade de cada pilar
Aceleração máxima no solo
Programa de Cálculo
Dados obtidos:
Deslocamento objectivo
Momento na base de cada pilar
Figura 5.3 Processo para utilização dos programas de cálculo para as análises estáticas não lineares
5.1.3 Programa de cálculo para a análise dinâmica não linear
As análises dinâmicas não lineares foram efectuadas recorrendo ao programa
SAP2000. A não linearidade do comportamento estrutural é modelada através de
elementos Links: toda a plasticidade é concentrada na secção da base dos pilares e é
introduzida no formato
. Esta relação foi obtida de acordo com a secção 3.4,
correspondendo, então, à rotação da corda. Consequentemente, os pilares são modelados
como rígidos e toda a deformação – elástica e elasto-plástica – é, como foi referido,
concentrada na secção de encastramento. Os elementos Links correspondem, desta
69
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
forma, a molas helicoidais, tal como se apresenta na Figura 5.4 para o caso de um
pórtico de dois pilares.
Figura 5.4 Modelo de pórtico para a análise dinâmica não linear em SAP2000
Outro aspecto a salientar sobre o modelo para a análise ao longo do tempo é a
introdução do amortecimento: o programa SAP2000 permite a introdução do
amortecimento de Rayleigh.
Recordando o apresentado na secção 2.1.3, o amortecimento de Rayleigh
consiste em definir a matriz de amortecimento como uma combinação linear das
matrizes de massa e de rigidez:
(5.6)
Existindo apenas dois parâmetros,
e , só é possível calibrar o coeficiente de
amortecimento para dois períodos de oscilação da estrutura ou, de forma análoga, duas
frequências próprias da estrutura. Para uma dada frequência própria
, tem-se o
seguinte amortecimento:
(5.7)
Apresenta-se na Figura 5.5, o andamento qualitativo do coeficiente de
amortecimento. Neste gráfico, fixou-se um amortecimento de 5% para as frequências
e
.
70
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Figura 5.5 Amortecimento de Rayleigh
Para as análises na direcção longitudinal em que o sistema tem um só grau de
liberdade, atribui-se um amortecimento de 5% para os períodos
sendo
e
,
o período de oscilação em regime elástico, definido anteriormente em
4.2, e
o período definido através da rigidez pós-cedência da estrutura:
(5.8)
em que:
(5.9)
sendo
a rigidez pós-cedência do pilar.
Ao efectuar a seguinte calibração garante-se que o amortecimento nunca é
superior a 5%, como se pode observar na Figura 5.5. Isto acontece uma vez que o
amortecimento foi calibrado para a máxima e mínima rigidez, respectivamente,
e
- em que todos os pilares estão plastificados. Qualquer estado intermédio,
em que só alguns pilares já ultrapassaram a cedência, encontra-se obrigatoriamente
entre estes dois limites e tem, por consequência, menos amortecimento. Dada a forma
da curva apresentada na Figura 5.5, os erros no valor do amortecimento são pouco
significativos e são sempre do lado da segurança.
71
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
5.2 Análise de um pilar isolado
5.2.1 Apresentação da análise
Nesta secção apresentam-se os resultados da análise de pilares isolados com
diferentes períodos de vibração
. As características da secção de encastramento
e a massa do sistema são mantidas constantes, variando unicamente a altura do pilar.
Considera-se que cada oscilador tem uma massa
e desprezou-se o peso
do pilar. Desta forma, o esforço axial nos pilares é constante pelo que o diagrama
de cada pilar é o mesmo, permanecendo constante a rigidez,
.
Figura 5.6 Modelo para a análise de um pilar isolado
Uma vez que
permanece constante, obtém-se directamente a altura do pilar
correspondente a um dado período de vibração do sistema:
(5.10)
Apesar das características das secções serem idênticas para cada um dos pilares
analisados, o digrama
varia em função da altura do pilar, como foi explicado em
3.4. Apresenta-se, na tabela na Tabela 5.2, a altura de cada pilar e, no Anexo 1, os
valores que definem os respectivos diagramas
pico da aceleração do solo,
força
e
, assim como o valor de
, ao qual corresponde um coeficiente de ductilidade em
.
72
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
0,6
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
7,34
8,90
11,66
14,12
16,39
18,51
20,51
Tabela 5.2 Osciladores de modelos de pilar isolado
O resultado obtido de cada análise é o deslocamento máximo, designado por
deslocamento objectivo para as análises estáticas não lineares. No caso das análises
efectuadas através do método do EC8-2 e pelo Método do Espectro da Capacidade, a
relação entre o deslocamento no topo do pilar e o momento na sua base é definida pela
curva de capacidade, apresentada anteriormente. Já no caso das análises dinâmicas não
lineares, a relação entre a carga e o deslocamento é mais complexa pois é necessário ter
em conta a variação da aceleração ao longo do tempo e o comportamento histerético do
sistema.
Uma vez que a análise estática não linear é um método baseado em
deslocamentos a comparação será efectuada ao nível dos deslocamento do topo de cada
pilar, calculados para diferentes coeficientes de ductilidade em força.
5.2.2 Análise de resultados
A análise é efectuada comparando os deslocamentos obtidos através das
metodologias pushover e o obtido através de uma análise dinâmica. Calcula-se então o
erro relativo, que será designado por erro, é expresso em percentagem e define-se da
seguinte forma:
(5.11)
Os resultados são apresentados graficamente. Para cada metodologia pushover e
para um dado valor de , apresenta-se a variação do
em função do período. Os
valores dos deslocamentos obtidos pelos diferentes métodos são apresentados no Anexo
2.
Quando o coeficiente de ductilidade em força é unitário o deslocamento
objectivo calculado pelo Método do Espectro de Capacidade (CSM) é idêntico ao obtido
73
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
pelo método do EC8-2, como se pode verificar na Figura 5.7, onde se apresentam os
valores do
das metodologias pushover para
. Este resultado é expectável
pois a estrutura permanece em regime elástico, o que, para a metodologia CSM, pode
ser visualizado graficamente na Figura 5.8 – a intersecção entre o espectro de resposta
no formato ADRS e o espectro de capacidade faz-se no troço elástico. A não existência
de plasticidade faz com que o amortecimento viscoso efectivo seja apenas o próprio
amortecimento viscoso, sem nenhuma contribuição do amortecimento histerético, não
sendo necessário corrigir o espectro de resposta.
90%
70%
Erro
50%
x=1 EC8-2
e CSM
30%
10%
-10% 0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
T [s]
-30%
Figura 5.7 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
Figura 5.8 Método do Espectro de Capacidade (CSM) para
Para coeficientes de ductilidade em força superiores a 1 obtêm-se deslocamentos
diferentes para cada uma das metodologias. Para uma gama de períodos mais baixa
obtêm-se maiores deslocamentos pelo CSM do que pela metodologia prevista no EC8-2.
Porém, para períodos mais elevados, a situação inverte-se, como é possível observar nas
figuras 5.8 a 5.11, onde se apresentam os valores do
das metodologias pushover
74
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
para valores de
superiores a 1. O valor de
para o qual o deslocamento obtido pela
metodologia CSM se torna menor que o da metodologia prevista no EC8-2 é pouco
influenciado pelo valor de . Como se observa nas mesmas figuras, para
de mudança corresponde aproximadamente a
faz-se para
; para
, o ponto
, essa mudança
.
90%
70%
Erro
50%
x=2 EC8-2
30%
x=2 CSM
10%
-10% 0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
-30%
T [s]
Figura 5.9 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
90%
70%
Erro
50%
x=3 EC8-2
30%
x=3 CSM
10%
-10% 0,4
0,8
1,2
-30%
Figura 5.10 Variação do
1,6
2
2,4
2,8
T [s]
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
75
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
90%
70%
50%
Erro
x=4 EC8-2
30%
x=4 CSM
10%
-10% 0,4
0,8
1,2
-30%
1,6
2
2,4
2,8
T [s]
Figura 5.11 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
90%
70%
Erro
50%
x=5 EC8-2
30%
x=5 CSM
10%
-10% 0,4
0,8
1,2
-30%
1,6
2
2,4
2,8
T [s]
Figura 5.12 Variação do
no cálculo do deslocamento. Pilar isolado.
Observa-se, também, que a metodologia do EC8-2 conduz sempre a valores dos
deslocamentos superiores aos obtidos pela análise dinâmica não linear, estando sempre
do lado da segurança. Pelo contrário, para o CSM, para períodos mais elevados os
valores do erro tornam-se negativos, como se pode verificar na Figura 5.13.
76
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
90%
70%
CSM x=1
Erro
50%
CSM x=2
30%
CSM x=3
CSM x=4
10%
CSM x=5
-10% 0,4
0,8
1,2
-30%
1,6
2,4
2,8
T [s]
Figura 5.13 Comparação do valor do
O valor de
com o valor de
2
para o CSM para diferentes valores de
- pilar isolado
para o qual o erro da metodologia CSM se torna negativo varia
e, conforme se verifica na Figura 5.13, este valor de
aumenta. Para
, esse ponto corresponde a
sinal dá-se aproximadamente para
diminui quando
; para
.
Observe-se, também, a tendência para que o valor absoluto do
para os valores pequenos de
, a mudança de
aumente
e que esse aumento seja tanto maior quanto maior for o
valor de .
5.3 Análise de um pórtico plano
5.3.1 Apresentação da análise
Nesta secção apresentam-se os resultados das análises efectuadas a diversos
pórticos planos. Cada pórtico tem dois pilares, um mais curto – de altura
altura
– e outro de
, como apresentado na Figura 5.14. Obtiveram-se resultados para
e
e
metros, e, para cada valor de
, analisaram-se os casos
.
77
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Figura 5.14 Modelo de pórtico plano
A massa do oscilador foi mantida constante para cada um dos pórticos,
adoptando-se
, o que corresponde ao dobro da massa que foi utilizada
para o modelo de pilar isolado, estudado em 5.2. Para obter a relação Momentos –
Curvaturas das secções de encastramento considerou-se que o peso do tabuleiro se
distribuía de forma igual pelos dois pilares mas, contrariamente ao efectuado para a
análise do pilar isolado, foi tido em conta o peso do pilar. Desta forma, o esforço de
compressão na secção de encastramento depende directamente da altura do pilar.
Os objectivos dos estudos efectuados foram analisar os resultados obtidos para
pórticos em função do período de oscilação - cuja gama de valores fica essencialmente
definida ao fixar o valor para
parametrizada pelo coeficiente
- e analisar o efeito da não regularidade da estrutura,
. Procurou-se analisar pórticos com períodos de
vibração definidos de tal forma que fosse possível comparar a influência do período
numa estrutura pórtico com a influência do período num pilar isolado. Adoptaram-se
valores de
para os quais para um pilar isolado um deslocamento obtido pelo CSM
fosse superior e inferior ao obtido pela metodologia EC8-2, e o
da metodologia
CSM fosse positivo e negativo. Apresentam-se na Tabela 5.3 os períodos de vibração
dos pórticos analisados.
78
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
8
12
15
20
25
1,2
1,5
2
1,2
1,5
2
1,2
1,5
2
1,2
1,5
2
1,2
1,5
2
9,6
12
16
14,4
18
24
18
22,5
30
24
30
40
30
37,5
50
0,77
0,85
0,91
1,43
1,58
1,69
1,95
2,15
2,31
2,97
3,28
3,52
4,13
4,55
4,88
Tabela 5.3 Períodos de vibração dos diferentes pórticos analisados
Apresentam-se no Anexo 3 as características dos pórticos analisados, ou seja, os
valores característicos da curva de capacidade de cada pórtico, cujo significado é
apresentado na Figura 5.15. Uma vez que os pilares têm secções idênticas, será o pilar
mais curto,
, o condicionante - será este o primeiro pilar a atingir a cedência e será a
sua rotura que leva ao colapso da estrutura.
Figura 5.15 Curva de capacidade de um pórtico de dois pilares
79
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
5.3.2 Análise de resultados
Como para o caso de um pilar isolado o deslocamento obtido pela metodologia
CSM é superior ao obtido pela metodologia do EC8-2 para uma gama de períodos mais
baixa. Este resultado pode ser verificado nas figuras 5.16 e 5.17 nas quais se apresenta o
das duas metodologias de análise estática não linear, em função do período da
estrutura e para diferentes valores do parâmetro
. Nas figuras 5.16 e 5.17 representam-
se os resultados para um coeficiente de ductilidade em força
e
respectivamente. Observa-se, também, que, como para um pilar isolado, o
,
do
deslocamento obtido pelo CSM é negativo para períodos mais elevados, ou seja, esse
deslocamento é inferior ao obtido pela análise dinâmica não linear. Este aspecto será
discutido posteriormente nesta secção, em particular a influência do coeficiente
.
Numa primeira fase analisa-se a influência da irregularidade da estrutura, medida pelo
coeficiente .
No que diz respeito à metodologia proposta pelo Eurocódigo é de notar que, para
os mesmos valores de
e da altura do pilar condicionante,
sempre o mesmo, independentemente da altura
, o deslocamento obtido é
(desde que
). Com efeito,
uma vez que o deslocamento objectivo corresponde ao deslocamento admitindo uma
resposta elástica da estrutura, como apresentado em 5.1.1 o deslocamento objectivo é
dado por
. Acontece que o deslocamento na cedência,
,
corresponde sempre ao deslocamento que provoca a cedência do pilar condicionante
pelo que é independedente da altura
β=1,2 EC8-2
β=1,5 EC8-2
β=2,0 EC8-2
Erro
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
.
β=1,2 CSM
β=1,5 CSM
β=2,0 CSM
1
1,5
2
Figura 5.16 Variação do
2,5
3
3,5
4
4,5
5
T [s]
no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.
80
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Para
o efeito da não regularidade da estrutura é menor do que para
,
como se observa comparando as Figuras 5.16 e 5.17. Independentemente da
metodologia, as diferenças dos
são maiores para coeficientes de ductilidade em
força maiores - na ordem de
para
e aproximadamente
para
.
Importa, ainda, referir que:
- as três curvas de cada conjunto – mesma metodologia e mesmo valor de
– têm
andamentos semelhantes, sendo aplicáveis as conclusões anteriores relativamente à
evolução com o período da estrutura;
- o valor numérico do
para cada metodologia é menor para estruturas mais
regulares - as curvas para
conduzem a menores
que para
e
.
As consequências desta segunda observação diferem consoante a metodologia da
análise estática não linear. Uma vez que o
da metodologia proposta pelo EC8-2 é,
geralmente, positivo, a não regularidade da estrutura aumenta o valor absoluto do
,
pelo que os resultados da análise se afastam do resultado “exacto” da análise dinâmica
não linear. Porém, o deslocamento obtido situa-se do lado da segurança uma vez que se
obtêm deslocamentos maiores do que os obtidos pela análise ao longo do tempo. Para o
CSM, como para períodos mais elevados, o deslocamento obtido é inferior ao da análise
Erro
ao longo do tempo - o módulo do
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
torna-se menor para estruturas mais irregulares.
β=1,2 EC8-2
β=1,5 EC8-2
β=2,0 EC8-2
β=1,2 CSM
β=1,5 CSM
1
1,5
2
Figura 5.17 Variação do
2,5
3
3,5
4
4,5
5
β=2,0 CSM
T [s]
no cálculo do deslocamento. Pórtico plano.
81
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Com base nos resultados apresentados nas figuras 5.18 e 5.19 analisa-se em
maior detalhe a influência do período e do coeficiente de ductilidade em força, , no
dos deslocamentos obtidos pelas metodologias da análise estática não linear. Nas
figuras 5.18 e 5.19 apresenta-se a variação do valor do
dos deslocamentos obtidos
pela metodologia CSM e pela metodologia proposta pelo EC8-2, respectivamente, para
diferentes coeficientes de ductilidade em força e com
1,2.
60%
50%
40%
Erro
30%
x=1 CSM
20%
x=2 CSM
10%
x=3 CSM
0%
-10%
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x=4 CSM
x=5 CSM
-20%
-30%
-40%
T [s]
Figura 5.18 Variação do
no cálculo do deslocamento pelo CSM. Diferentes valores de . Pórtico plano
1,2
Com base nos resultados apresentados na Figura 5.18 é possível verificar que o
deslocamento obtido pelo CSM tende a diminuir com o período da estrutura. O período
para o qual o
do coeficiente
quando
do deslocamento se torna negativo tende a diminuir com o aumento
- a mudança de sinal ocorre para
quando
e para
.
Da análise dos resultados apresentados na Figura 5.19 saliente-se o aumento do
do deslocamento obtido pela metodologia do EC8-2 para períodos na ordem de
e a sua forte diminuição para períodos mais elevados.
82
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
60%
50%
Erro
40%
30%
x=1 EC8-2
20%
X=2 EC8-2
10%
x=3 EC8-2
0%
-10%
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
x=4 EC8-2
x=5 EC8-2
-20%
-30%
-40%
Figura 5.19 Variação do
T [s]
no cálculo do deslocamento pela metodologia do EC8-2. Diferentes valores de .
Pórtico plano
1,2
5.4 Análise de uma ponte real
Nesta secção analisam-se dois modelos baseados numa ponte real, representada
esquematicamente na Figura 5.20. A ligação ao tabuleiro dos dois pilares que se situam
mais perto dos encontros é efectuada através de aparelhos de apoio deslizantes que são
modelados como apoios móveis. O tabuleiro da ponte e a disposição dos pilares são
mantidos constantes nos dois modelos. A única distinção é a altura dos pilares os quais
foram definidos de forma a obter períodos de vibração diferentes:
. Designa-se por Modelo 1 a estrutura de ponte com
Modelo 2 a estrutura com
unidade de comprimento de
e
e por
Considerou-se para o tabuleiro uma massa por
.
Figura 5.20 Representação do modelo das pontes estudadas
83
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Apresentam-se, na Tabela 5.4, as alturas dos pilares para ambos os modelos. Os
valores característicos da curva de capacidade e da relação Momentos-Rotações de cada
pilar são apresentados no Anexo 5.
Pilares
e
e
e
Modelo 1
10
15
20
25
Modelo 2
20
25
30
35
Tabela 5.4 Alturas dos pilares dos modelos analisados
Tal como para as análises efectuadas anteriormente, relativamente a um pilar
isolado e a um pórtico plano, os modelos de ponte são analisados para a acção sísmica
com várias intensidades, correspondendo a coeficientes de ductilidade em força de 1 a
5. Como foi referido analisa-se apenas o comportamento na direcção longitudinal.
5.4.1 Análise de resultados para o Modelo 1 (
)
Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.5 e estão de acordo com os
recolhidos anteriormente para um pórtico plano para um período de vibração na ordem
dos 2 segundos:
- os deslocamentos obtidos pelo método proposto no Eurocódigo 8-2 são superiores aos
obtidos pelo CSM e pela análise ao longo do tempo;
-o
da metodologia do EC8-2 aumenta com o valor de ;
- o módulo do
é menor para a metodologia CSM .
Da análise dos resultados conclui-se que o Método do Espectro de Capacidade
apresenta melhores resultados do que a metodologia proposta na norma europeia. É de
notar, também, que ambas as metodologias apresentam resultados do lado da segurança,
uma vez que o deslocamento obtido é superior ao determinado através de uma análise
dinâmica não linear.
84
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
0,668
1,336
2,004
2,672
3,34
ADNL [cm]
4,58
7,89
9,71
12,33
15,05
EC8-2 [cm] CSM [cm]
4,91
4,91
7%
7%
9,82
8,40
25%
7%
14,73
12,55
52%
29%
19,64
15,24
59%
24%
24,56
17,90
63%
19%
Tabela 5.5 Resultado das análises efectuadas para o Modelo 1 (
)
Outra observação relevante é o facto de na rotura - em que se atinge o
deslocamento que provoca o colapso dos pilares
e
- os pilares
,
e
permanecem sempre em regime elástico. Este facto pode ser verificado na Figura 5.21,
onde se apresentam os deslocamentos obtidos pelos diferentes métodos utilizados para
e
. Aqueles deslocamentos podem ser comparados com os deslocamentos
de cedência de rotura e de cada pilar. No entanto, de forma a facilitar a sua leitura, não
se apresenta na Figura 5.21 os valores dos deslocamentos de rotura dos pilares
a
uma vez que estes são muito superiores ao deslocamento de rotura do pilar
. Para
verifica-se que para os deslocamentos obtidos através da análise ao longo do
tempo e através do CSM a estrutura ainda não atingiu o colapso, mas que tal não
acontece para a metodologia do EC8-2, onde o colapso já ocorreu para
(Tabela
5.5).
85
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
35
Deslocamentos de cedência
Deslocamento [cm]
30
Deslocamentos de rotura
25
x=3 ADNL
20
x=3 EC8-2
15
x=3 CSM
10
x=5 ADNL
5
x=5 EC8-2
0
1
2
3
4
Pilar
5
6
7
x=5 CSM
Figura 5.21 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados. Modelo 1 (
5.4.2 Análise de resultados para o Modelo 2 (
).
)
Os resultados das análises pushover e da análise dinâmica não linear efectuadas
com o modelo de ponte com um período
apresentam-se na Tabela 5.6 e são
coerentes com os obtidos em 5.3. Como seria expectável para períodos mais longos, os
deslocamentos obtidos pela metodologia proposta no ATC-40 são inferiores aos obtidos
pelo método do EC8-2 e por uma análise ao longo do tempo. Verifica-se, também, que
o método proposto no Eurocódigo apresenta resultados bastante precisos para estruturas
é pequeno – inferior a 10%. Porém, os
com períodos elevados: o valor absoluto do
deslocamentos obtidos são inferiores aos de uma análise passo-a-passo, pelo que os
resultados obtidos não estão do lado da segurança.
2,613
5,226
7,839
10,452
13,065
ADNL [cm]
22,12
44,13
65,79
87,49
100,59
EC8-2 [cm] CSM [cm]
19,86
19,86
-10%
-10%
39,72
31,88
-10%
-28%
59,58
48,37
-9%
-26%
79,44
58,95
-9%
-33%
99,30
69,20
-1%
-31%
Tabela 5.6 Resultados das análises efectuadas para o Modelo 2 (
)
86
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Apresentam-se na Figura 5.22 os deslocamentos obtidos para coeficientes de
ductilidade em força
e
, assim como os deslocamentos de cedência e de
rotura. Tal como para a Figura 5.21 não se apresentam na Figura 5.22 os deslocamentos
de rotura de todos os pilares de forma a facilitar a sua leitura.
Note-se na Figura 5.22 que, contrariamente ao Modelo 1 cuja relação entre o
comprimento dos pilares é maior, a rotura da estrutura só ocorre depois de todos os
pilares plastificarem. Observe-se, também, na Tabela 5.6, que, para a análise passo-apasso e pela metodologia do Eurocódigo, o colapso da estrutura se atinge para
enquanto que, para o Método do Espectro de Capacidade, só ocorre para
,
.
120
110
Deslocamento [cm]
100
Deslocamento de cedência
90
Deslocamento de rotura
80
x=3 ADNL
70
60
x=3 EC8-2
50
x=3 CSM
40
x=5 ADNL
30
x=5 EC8-2
20
x=5 CSM
10
1
2
3
4
5
6
7
Pilar
Figura 5.22 Deslocamentos do topo de cada pilar pelos vários métodos utilizados. Modelo 2 (
)
5.5 Análise da influência da rigidez pós-cedência
Nesta secção estuda-se a influência da rigidez pós-cedência nos resultados das
análises estáticas não lineares. Como foi explicado no capitulo 3, onde se abordou o
comportamento fisicamente não linear, adoptou-se uma rigidez pós-cedência no
diagrama Momentos - Curvaturas,
Define-se
, igual a 1% da rigidez elástica fendilhada 1,
.
como a relação entre a rigidez pós-cedência e a rigidez elástica no
comportamento da secção :
(5.12)
1
De forma a facilitar a leitura deste texto, assume-se que, a menos de indicação em contrário, a rigidez
elástica corresponde sempre ao seu valor fendilhado.
87
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Os resultados anteriores foram obtidos para
resultados da análise dos efeitos de aumentar o valor de
e
. Apresentam-se agora os
, analisando os casos
.
Os objectivos desta análise foram os seguintes:
1) Verificar se as conclusões anteriores são validas quando se adopta uma maior
rigidez pós-cedência em todos os métodos de análise;
2) Avaliar a influência da rigidez pós-cedência, tomando como referência a análise
dinâmica não linear com
.
5.5.1 Apresentação da análise
As análises foram efectuadas para 5 dos 15 pórticos estudados em 5.3:
considera-se apenas um dos valores de relação entre o comprimento dos pilares,
analisaram-se os casos
da estrutura. Adoptou-se
e
,e
de forma a variar o período de vibração
por ser o caso em que a relação entre dos pilares
tem menos influência nos resultados.
Nos casos anteriores o coeficiente de ductilidade em força,
, era um dos
parâmetros da análise. Nesta secção, estuda-se o efeito da rigidez pós-cedência quando
o coeficiente de comportamento, , é mantido constante, tendo-se adoptado um valor
constante
. O significado de
foi explicado em 5.1.1 e ilustrado na Figura 5.2,
sendo o seu valor dado por:
(5.13)
em que:
é a força exercida no topo do pilar numa análise elástica linear
é a força obtida no topo do pilar
tendo em conta o comportamento não
linear do elemento
Desta forma, o coeficiente de comportamento é definido localmente para cada
elemento estrutural. Uma vez que no caso deste trabalho o pilar
– mais curto – é
88
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
condicionante, o valor utilizado para
comportamento do pilar
corresponde ao valor do coeficiente de
de cada um dos pórticos.
Da Figura 5.2 é, também, possível retirar a seguinte relação entre o coeficiente
de comportamento, , e o coeficiente de ductilidade em força, :
(5.14)
em que:
é a relação entre a rigidez pós-cedência,
, e a rigidez elástica,
, na
curva de capacidade do pilar:
(5.15)
Uma vez relacionados os valores de
e
e com base numa análise por espectro
de resposta a um dado pórtico é, então, possível determinar o valor da aceleração
máxima no solo –
– à qual corresponde um coeficiente de comportamento
Analisaram-se os casos
é diferente do de
e
sendo de notar que o valor de
. O processo consiste em determinar, através da metodologia
apresentada no capítulo 3, os valores de
e
.
correspondentes, respectivamente, a
. De seguida, determinam-se as respectivas curvas de capacidade,
em que se mantém constante o coeficiente de comportamento, como ilustrado na Figura
5.23.
89
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Figura 5.23 Influência da rigidez pós-cedência
5.5.2 Análise de resultados
Numa primeira fase foi-se verificar se as conclusões anteriores, relativas à
influência do período na comparação entre os métodos pushover e a análise passo-apasso, se mantêm no caso de se alterar a rigidez pós-cedência.
Uma vez que a metodologia prevista no EC8-2 se baseia no princípio da
igualdade de deslocamento, o deslocamento obtido por esta metodologia depende
apenas das características elásticas da estrutura pelo que o deslocamento obtido se
mantém constante apesar de se alterar a rigidez pós-cedência. No entanto, os
deslocamentos obtidos por uma análise dinâmica dependem do valor de
, como se
pode verificar na Figura 5.24, onde se apresentam os valores dos deslocamentos obtidos
por análises ao longo do tempo para diferentes valores de
e os deslocamentos
obtidos pela metodologia do EC8-2.
90
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
1,1
1
Deslocamento [m]
0,9
0,7
Análise dinâmica
k=0.01
0,6
EC8-2
0,8
0,5
Análise dinâmica
k=0.05
0,4
0,3
Análise dinâmica
k=0.1
0,2
0,1
0
0,5
1
1,5
2
2,5 3
T [s]
3,5
4
4,5
5
Figura 5.24 Análise da influência da rigidez pós-cedência de um pórtico nos deslocamentos obtidos por uma análise
dinâmica e pela metodologia do EC8-2
Da Figura 5.24 é possível observar que os deslocamentos são menores para
maiores valores de
e que a metodologia do Eurocódigo se aproxima mais dos
resultados da análise dinâmica para
da metodologia do EC8-2 – cujo deslocamento é
5.25, onde se apresenta o
independente de
. Este resultado é evidenciado na Figura
– e do Método do Espectro de Capacidade relativamente às análises
dinâmicas realizadas para
e
. Note-se que o
do deslocamento
do CSM para um dado valor
foi calculado relativamente ao deslocamento da análise
dinâmica para o mesmo valor
.
Observa-se que o valor do
do EC8-2 aumenta para
maiores. Este
resultado é coerente com o facto do Eurocódigo 8 propor que as análises estáticas não
lineares sejam efectuadas sem ter em consideração a rigidez pós-cedência. De uma
forma aproximada, pode dizer-se que as curvas dos
para maiores valores de
são obtidas por translação vertical da curva do
aumentando o valor do
para
. Desta forma, a variação do
vibração mantém-se para diferentes valores de
fortemente influenciado pelo valor de
, ou seja,
em função do período de
; no entanto, o valor do
é
. Relativamente à comparação directa entre a
metodologia do EC8-2 e o CSM, a variação do valor de
semelhante nas curvas em função do período de vibração,
tem uma influência
, independentemente do
método adoptado para a análise pushover. Note-se que o período para o qual o
deslocamento obtido pelo CSM torna-se inferior ao da metodologia do EC8-2 mantém91
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
se aproximadamente constante para os diferentes valores de
período corresponde aproximadamente a
; na Figura 5.27, este
, abcissa onde se cruzam as curvas
Erro
da mesma cor.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
EC8-2 k=0.01
CSM k=0.01
EC8-2 k=0.05
CSM k=0.05
EC8-2 k=0.1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
CSM k=0.1
T [s]
Figura 5.25 Erros da metodologia do EC8-2 relativamente à análise dinâmica para diferentes valores de
Avalia-se agora o efeito de se escolher uma rigidez pós-cedência maior. Esta
avaliação é feita ao comparar os resultados obtidos para
obtidos por uma análise dinâmica não linear com
e
com os
.
O deslocamento máximo obtido pela análise dinâmica diminui para maiores
valores de
, como pode ser observado na Figura 5.24. A influência do valor de
nos
resultados da análise dinâmica é grande quando comparada com a influência de
na
metodologia CSM, como pode ser observado nas Figuras 5.26 onde se apresentam os
valores dos deslocamentos obtidos pelo CSM
com diferentes valores de
deslocamentos obtidos por uma análise passo-a-passo com
e os
.
92
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
1,1
1
Deslocamento [m]
0,9
CSM k=0.01
0,8
0,7
CSM k=0.05
0,6
0,5
CSM k=0.1
0,4
0,3
Análise dinâmica
k=0.01
0,2
0,1
0
0,5
1
1,5
2
2,5 3
T [s]
3,5
4
4,5
5
Figura 5.26 Deslocamentos do CSM e comparação com o deslocamento obtido por uma análise dinâmica com
Pode assim concluir-se que o valor da rigidez pós-cedência não tem grande
influência nos resultados obtidos pelo CSM, ou seja, o deslocamento obtido é pouco
. Esta conclusão pode ser observada em termos absolutos –
afectado pelo valor de
comparando o valor dos deslocamentos – na Figura 5.26, ou em termos relativos como
se apresenta na Figura 5.27. Nesta figura apresenta-se a diferença relativa entre os
deslocamentos obtidos pelo CSM com
e
com os obtidos com
. Observa-se na Figura 5.27 que, com excepção dos períodos mais curtos e
, essa diferença é inferior a 10%.
Erro relatico a CSM com k=0,01
para
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
CSM k=0.05
CSM k=0.1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
T [s]
Figura 5.27 Diferença relativa dos deslocamentos do CSM para várias rigidezes pós-cedência
93
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
A Figura 5.28 apresenta o variação do valor do
dinâmica com
relativamente à análise
para o CSM efectuado com diferentes valores de
se na Figura 5.28 que o valor do
não é muito afectado pelo valor
. Verifica, variando na
ordem dos 5 pontos percentuais, excepto para períodos mais pequenos onde a diferença
Erro relatrivo a k=0,01
é maior.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
CSM k=0.01
CSM k=0.05
CSM k=0.1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
T [s]
Figura 5.28 Erros da metodologia CSM relativamente à análise dinâmica com
Assim, admitindo os resultados da análise ao longo do tempo com
como os valores exactos, considerando então que esta análise é a que melhor representa
o comportamento real da estrutura, pode, concluir-se o seguinte:

os resultados da metodologia do EC8-2 não são afectados pelo valor da rigidez
pós-cedência – os deslocamentos obtidos mantêm-se para qualquer valor de
.
Desta forma, todas as conclusões das secções anteriores – relativamente à
comparação entre esta metodologia e o método mais “exacto” – mantêm-se;

os resultados do Método do Espectro de Capacidade são pouco afectados pela
rigidez pós-cedência – o valor do deslocamento varia pouco com o valor de
(diferenças geralmente inferiores a 10%). Consequentemente, tal como para a
metodologia do EC8-2, as conclusões anteriores são válidas no caso de se
utilizar o CSM com uma maior rigidez pós-cedência.
Os resultados numéricos de todos os deslocamentos obtidos nesta secção são
apresentados em forma de tabela no Anexo 6.
94
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
6. Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Apresentam-se neste capítulo as principais conclusões desta dissertação, assim
como eventuais desenvolvimentos futuros que poderão ser realizados no seguimento
deste trabalho.
Contrariamente ao método mais utilizado na prática do projecto em Portugal – a
análise modal por espectro de resposta – a análise estática não linear é um método
baseado em deslocamentos. A verificação da segurança, ou de um determinado nível de
desempenho, é efectuada ao nível dos deslocamentos e não ao nível dos esforços
actuantes nas secções estruturais. Para realizar análises pushover é necessário
determinar a curva de capacidade da estrutura – curva que relaciona a força de corte
basal e o deslocamento de um dado ponto de controlo – cujo andamento depende do
padrão de carregamento e do ponto de controlo escolhido. No caso deste trabalho e uma
vez que só se abordou o comportamento de pontes correntes na direcção longitudinal,
estes dois factores não são relevantes uma vez que este tipo de estrutura pode ser
considerado como um oscilador de um grau de liberdade quando se atende apenas ao
seu comportamento na direcção longitudinal. A curva de capacidade de cada pilar foi
obtida recorrendo a um programa de cálculo automático implementado em MATLAB.
Partindo das relações constitutivas dos materiais determinou-se a relação MomentosCurvaturas da secção de encastramento para, em seguida e recorrendo a um modelo de
plasticidade concentrada – o modelo de rótula plástica – se obter a relação entre a carga
aplicada no topo do pilar e o deslocamento nesse ponto.
Uma vez obtida a curva de capacidade dos pilares, determina-se a mesma curva
para a totalidade da estrutura, tendo em consideração a contribuição de todos os pilares,
e pode, então, determinar-se o deslocamento objectivo. Na presente dissertação, o
deslocamento objectivo foi determinado por duas metodologias distintas: a primeira
aconselhada no EC8-2 e a segunda proposta no ATC-40 – o Método do Espectro de
Capacidade. Ambas as metodologias recorrem à utilização de espectros de resposta
diferindo, no entanto, na forma como a plasticidade é tida em conta.
O método proposto na norma europeia baseia-se no princípio da igualdade de
deslocamentos: o deslocamento objectivo é igual ao deslocamento que teria o oscilador
elástico. A metodologia do EC8-2 para as análises pushover corresponde, então, a uma
95
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
análise elástica para a determinação do deslocamento devido à acção sísmica. A
principal vantagem, quando comparado com a análise elástica corrente, reside no facto
de que permite comparar esse deslocamento com a capacidade da estrutura, sendo
possível estimar o nível de dano da estrutura ou comparar o comportamento com um
determinado nível de desempenho.
O Método do Espectro de Capacidade, ou CSM (Capacity Spectrum Method),
requer a utilização do espectro de resposta no formato ADRS (Acceleration
Displacement Response Spectrum) que relaciona a aceleração do oscilador com o seu
deslocamento. Esta metodologia tem em conta uma correcção do espectro de resposta
ADRS através de um amortecimento viscoso efectivo, que tem em consideração o
amortecimento histerético, sendo necessário recorrer a um processo iterativo para
determinar o deslocamento objectivo.
Os resultados de ambas as metodologias foram comparados entre si e com os
obtidos por uma análise dinâmica não linear, tomada como valor de referência por este
ser considerado o método de análise mais exacto. Numa primeira fase, estas
comparações foram efectuadas para pilares isolados; numa segunda fase analisaram-se
diferentes pórticos planos constituídos por dois pilares; e, por fim, analisaram-se
exemplos baseados em pontes reais. Destas análises é possível tirar as seguintes
conclusões:
a) Influência do período de vibração
Existe uma forte influência do período de vibração, quer na comparação dos
resultados obtidos através das entre as duas metodologias de análise estática não linear,
quer na comparação daqueles resultados com os obtidos através de uma análise ao longo
do tempo.
Para períodos mais curtos – geralmente inferiores a
, o deslocamento
obtido pelo CSM é superior ao obtido pela metodologia proposta pelo EC8-2,
invertendo-se esta relação para períodos superiores.
O
do deslocamento relativamente à análise ao longo do tempo (definido
em 5.2.2) tende a decrescer com
para a metodologia CSM. O valor do
para períodos inferiores a aproximadamente
é positivo
tornando-se negativo para períodos
96
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
superiores àquele valor. O valor do erro tende a decrescer de forma aproximadamente
linear, de aproximadamente
para
a
para
Para o método proposto pelo EC8-2 o valor do
crescente para períodos aproximadamente inferiores a
cerca de
do
a
.
tem uma tendência
onde atinge um pico de
, para depois decrescer quando o período de vibração aumenta. O valor
torna-se ligeiramente negativo – na ordem de
– para períodos superiores
. A precisão para essa gama de períodos é muito maior do que para o Método
do Espectro de Capacidade.
Estas conclusões poder ser observadas na Figura 6.1 onde se apresenta a
variação do valor do
em função do período de vibração da estrutura, para um
pórtico plano com uma relação entre a altura dos pilares
Erro
comportamento
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10% 0,5
-20%
-30%
-40%
e um coeficiente de
.
EC8-2
CSM
1
1,5
Figura 6.1 Evolução do
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
T [s]
com o período de vibração. Pórtico plano
.
b) Influência da irregularidade da estrutura
Constatou-se que a irregularidade da estrutura, que neste trabalho foi controlada
pela relação entre os dois pilares de um pórtico plano, tem consequências distintas para
os dois métodos analisados. Para a metodologia proposta no EC8-2, o
obtido para
as estruturas mais irregulares foi maior, mas manteve-se do lado da segurança,
afastando-se do valor do deslocamento obtido por uma análise dinâmica. Para a
metodologia CSM o valor numérico do
também foi superior para estruturas
97
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
irregulares. No entanto, uma vez que o valor do
se torna negativo para períodos
mais elevados, o deslocamento obtido para estruturas mais irregulares é mais preciso
para uma dada gama de períodos de vibração.
c) Influência da rigidez pós-cedência
A influência da rigidez pós-cedência foi analisada comparando os resultados das
análises estáticas não lineares, efectuadas com diferentes rigidezes pós-cedência, com os
obtidos por uma análise dinâmica com uma rigidez pós-cedência
. Constatou-
se que o deslocamento obtido pela metodologia do EC8-2 não é afectado e que, para a
metodologia CSM, o deslocamento obtido é ligeiramente afectado pela rigidez póscedência – a diferença relativa é geralmente inferior a 10%. Desta forma, assumindo
que a análise dinâmica com
representa o comportamento de referência da
estrutura, conclui-se que a influência da rigidez pós-cedência nos resultados de análises
pushover é desprezável.
d) Facilidade de implementação
Ambos os métodos de análise não linear – a análise pushover e a análise ao
longo do tempo – requerem a determinação do comportamento não linear de secções
estruturais. No caso da presente dissertação, para ambos os métodos, utilizou-se o
mesmo programa de cálculo implementado em MATLAB, como apresentado no
capítulo 3. A principal diferença ao nível da implementação aparece na determinação do
deslocamento. As análises pushover revelaram-se de muito mais rápida execução do que
as análises ao longo do tempo. Isto deve-se ao facto de serem computacionalmente
muito mais simples e de recorrerem directamente a espectros de resposta,
contrariamente à análise dinâmica cujo deslocamento é a média dos obtidos por um
dado número de acelerogramas.
A utilização das metodologias da análise estática não linear permite conhecer
melhor o comportamento da estrutura do que recorrendo a uma análise modal com base
em espectros de resposta. A análise pushover permite determinar a sequência de
formação de rótulas plásticas e determinar as exigências de ductilidade dos diversos
elementos estruturais. No entanto, se o objectivo da análise for apenas determinar o
98
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
deslocamento devido à acção sísmica, então a modelação da não linearidade pode não
valer a pena. Para determinados períodos de vibração, a metodologia proposta no EC8-2
apresenta melhores resultados que a metodologia CSM, não sendo então necessário
recorrer a uma análise pushover para o cálculo do deslocamento. Isto acontece porque a
metodologia proposta no Eurocódigo admite a hipótese da igualdade de deslocamentos,
pelo que o deslocamento é calculado assumindo uma resposta da estrutura em regime
elástico.
Relativamente aos desenvolvimentos futuros no âmbito desta dissertação sugerese, por exemplo, a aplicação de análises estáticas não lineares a estruturas de pontes na
sua direcção transversal. Uma vez que na direcção transversal a ponte será geralmente
analisada através de um modelo com vários graus de liberdade, a escolha dos modos de
vibração assim como do ponto de controlo e padrão de carregamento tornam-se aspectos
fundamentais. Propõe-se também avaliar a influência da deformabilidade da fundação e
dos efeitos geometricamente não lineares, como os efeitos
, às conclusões
apresentadas neste trabalho.
99
Capítulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros
Referências
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100
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
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Bâtiments en Maçonnerie. IMAC, EPFL
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ao EC8 – Análises lineares e não lineares. Tese de Mestrado, IST
101
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Anexos
I
Anexos
Anexo 1: Características dos pilares analisados em 5.2
II
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Anexo 2: Resultados da análise a pilares isolados
Valores dos deslocamentos (em centímetros) e respectivos erros.
III
Anexos
T=2,4
ADNL
11,26
18,78
27,74
38,46
49,79
EC8-2
12,53
11%
25,07
34%
37,60
36%
50,14
30%
62,67
26%
CSM
12,53
11%
20,69
10%
27,36
-1%
33,99
-12%
40,61
-18%
ADNL
13,17
25,11
42,97
52,14
58.73
EC8-2
15,98
21%
31,97
27%
47,95
12%
63,93
23%
79,92
36%
T=2,8
CSM
15,98
21%
26,39
5%
34,90
-19%
43,37
-17%
51,80
-12%
ADNL
20,40
34,80
48,51
64,90
81,92
EC8-2
19,63
-4%
36,26
4%
58,89
21%
78,52
21%
98,15
20%
CSM
19,63
-4%
32,11
-8%
42,51
-12%
52,90
-18%
63,24
-23%
IV
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Anexo 3: Valores da curva de capacidade de cada pórtico plano
[cm]
8
12
15
20
25
9,6
12
16
14,4
18
24
18
22,5
30
24
30
40
30
37,5
50
0,77
0,85
0,91
1,43
1,58
1,69
1,95
2,15
2,31
1,95
2,15
2,31
4,13
4,55
4,88
3,11
6,9
11,04
19,7
30,98
4249,97
3490,51
3030,45
2718,46
2232,16
1937,20
2341,00
1924,34
1669,80
1792,72
1475,51
1281,04
1465,01
1206,73
1047,77
4,48
7,05
12,57
9,94
15,53
27,62
15,93
25,09
28,57
45,02
45,02
70,98
-
4974,07
4610,80
4320,86
3181,32
2937,90
2745,88
2744,66
2553,87
2107,11
1965,27
1724,06
1611,27
-
5316,52
4805,69
4327,61
3416,49
3074,10
2756,61
2918,09
2645,09
2327,96
2232,99
2028,39
1837,47
1821,87
1658,19
1427,03
12,8
28,83
41,3
70,61
107,1
V
Anexos
Anexo 4: Resultados da análise a pórticos planos
Valores dos deslocamentos (em centímetros) e respectivos
.
VI
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
VII
Anexos
VIII
Análise Sísmica de Estruturas de Pontes através de uma Análise Estática não Linear
Anexo 5: Características dos pilares das pontes analisadas em 5.4
IX
Anexos
Anexo 6: Resultados da análise sobre influência da rigidez póscedência
Valores dos deslocamentos (em centímetros).
8
12
15
20
25
0,85
1,43
2,15
2,97
4,55
ADNL
7,66
17,59
23,60
57,48
105,74
EC82
9,96
22,15
35,50
63,43
99,76
CSM
10,87
21,00
26,79
47,03
74,00
ADNL
6,87
14,63
22,55
49,99
88,78
EC82
9,95
22,15
35,49
63,43
99,76
CSM
13,56
23,71
28,49
49,84
78,54
ADNL
3,66
12,92
18,96
42,20
73,07
EC82
9,96
22,15
35,49
63,43
99,76
CSM
10,87
22,05
24,96
44,46
71,12
X