Matemática Aplicada II
Ficha prática nº1
------------------------------------------------------------------------------1. Calcule a taxa de variação média da função
no intervalo [2, 4].
2. Se uma bola de bilhar cair de uma altura de 100 cm, a função posição s que dá a sua
altura, em cm, em função do tempo t, em segundos, é:
Calcule a velocidade média nos intervalos abaixo:
a) [1,2]
b) [1,1.5]
c) [1,1.1]
3. A evolução da cotação das acções de uma empresa durante 12 meses é dada pela
expressão
onde
e C em euros.
Calcule
e interprete o resultado no contexto apresentado.
4. A quantidade de litros N de gasolina comum vendida por um posto de gasolina a um
preço de p euros por litro é dada por
a) Qual o significado de
b) O valor de
?
normalmente é maior ou menor do que zero? Justifique.
5. O António vai de férias fazendo a viagem no seu automóvel. No início da viagem,
que decorreu sem paragens durante 5 horas, o António colocou o conta-quilómetros
(marcador da distância percorrida) a 0.
Admita que a distância percorrida, em quilómetros, t horas após a partida, é dada
por
a) Quantos quilómetros percorreu até chegar ao destino?
b) Calcule
Interprete o valor encontrado no contexto apresentado.
c) Considere a seguinte afirmação:
“A velocidade média nas duas últimas horas de percurso foi superior à
velocidade média com que foi feito todo o percurso”.
Averigue se a afirmação é verdadeira, fundamentando a conclusão a que
chegou.
d) Calcule a taxa média de variação da função d no intervalo [1,4].
e) Calcule os seguintes limites:
e
No contexto apresentado, indique o significado dos resultados obtidos
para os
limites propostos.
f) No momento em que se completaram duas horas de viagem, qual a velocidade
indicada pelo velocímetro do automóvel?
g) Em que instante a distância percorrida foi de 200 quilómetros?
6. Numa fábrica de produção de motores, a linha de montagem contempla a medição
dos níveis de ruído quando os motores estão a funcionar.
O nível de ruído é dado pelo seguinte modelo matemático:
D – decibéis (dB)
r – centenas de rotações por minuto.
a) Determine a variação do nível de ruído quando o motor passa de 4000 rotações
por minuto para 5000 rotações por minuto.
b) Qual a variação média do nível de ruído quando o funcionamento do motor passa
de 5000 rotações por minuto para 7500 rotações por minuto?
c) Determine a taxa de variação do nível de ruído no instante em que o motor
funciona a 4000 rotações por minuto.
d) Determine a limitação que deve ser imposta ao número de rotações por minuto de
modo que o nível de ruído não ultrapasse os 80 dB.
Dê como resposta a maior solução que seja múltiplo de 10.
7. No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma
altura de 32 pés acima do nível da água. A posição do mergulhador é dada pela
função:
onde s é medido em pés e t é medido em segundos.
a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água?
b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?
8. O custo associado ao pedido e à produção de componentes usados no fabrico de um
determinado produto é dado pela função
onde C é medido em milhares de euros e x é o número de unidades do pedido,
medido em centenas.
Calcule a taxa de variação de C em relação a x , quando:
a)
b)
c)
O que implicam estas taxas sobre o aumento no número de unidades do pedido?
9. A ausência de atmosfera na Lua implica que um objecto em queda livre não sofrerá
resistência do ar. Em 1971, o astronauta David Scott mostrou experimentalmente
que, na Lua, um martelo e uma pena caem com a mesma velocidade. A função
posição de ambos os objectos é dada por
onde s(t) é a altura, medida em metros, e t é o tempo medido em segundos.
Calcule a aceleração da gravidade lunar.
10. A velocidade de um objecto, medida em metros por segundo, é dada pela função
Calcule a velocidade e a aceleração do objecto no instante t = 3. O que se pode dizer
sobre a velocidade e a aceleração do objecto quando a velocidade e a aceleração têm
sinais opostos?
11. Calcule o diferencial das funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
12. Considere a função
.
a) Calcule o diferencial
b) Supondo que
e
13. Considere a função
para
e assinale no gráfico
. Determine
e
da variável x.
e
.
se x varia de 2 para 2,1.
. Determine
e
16. Seja
. Determine
quando
e
.
.
15. Seja
para
.
correspondente ao acréscimo
c) Esboce o gráfico de
14. Seja
e
e o ponto inicial
a) Determine o acréscimo
b) Calcule
, calcule
para
e
e
.
. Compare este valor com
.
17. O custo total de uma viagem de 800 km de um camião, se a média é de v km/h , é
dado por:
Calcule uma aproximação à variação do custo total quando a velocidade média é
aumentada de 80 para 90 km/h.
18. Seja
e
. Estime:
a)
b)
c)
d)
19. Use diferenciais para determinar uma estimativa para o aumento do volume de um
cubo de aresta igual a 10 cm, quando esta aumenta em 0,1 cm.
20. Obtenha, com o auxílio de diferenciais uma estimativa para
.
(Sugestão: Considere
21. Supondo que
e
22. Use diferenciais para estimar
e
).
, estime o valor de
onde
23. Determine o diferencial das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
.
onde
e)
24. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
25. Considere a função custo
a) Determine
varia de (-2,3) a (-2,02; 3,01).
.
.
b) Calcule uma estimativa para a variação do custo quando
para (0,99; 2,02).
passa de (1,2)