Unidade 1 - Introdução
Escopo da Mecânica dos Fluidos
O projeto de meios de transportes, estruturas e sistemas
hidráulicos,
requerem o conhecimento e a aplicação dos
princípios da Mecânica dos Fluidos, entre outros, abaixo,
exemplificam-se tais estruturas:
• Aeronaves, barcos, navios, hover-craft, veículos terrestres;
• Edifícios, pontes, estádios, chaminés industriais, canais,
sistemas de tubulações etc.
1
Definição de Fluido
• É a substância que se deforma de maneira continua ao
sofrer uma tensão de cisalhamento.
• Neste caso, encontram-se os líquidos e os gases.
• A diferença entre um fluido e um sólido fica clara
quando aplica-se a cada um deles uma tensão de
cisalhamento.
2
Tipos de Fluido
2
Tipos de Fluido
• A: Fluido ideal, inviscido, ou seja, a tensão de cisalhamento é
nula em qualquer ponto. Considerado em modelos simples de
escoamentos.
B: Dilatante, característico de algumas soluções de açúcar e de
amidos. A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de
cisalhamento.
• C: Newtoniano, fluidos mais comuns, água, ar, soluções aquosas,
óleos etc.
D: Pseudo-plásticos, a viscosidade diminui com o aumento da
taxa de cisalhamento. Exemplos: alguns produtos alimentícios,
massas de cerâmica e de cimento.
2
Tipos de Fluido
• E: Fluido plástico com características de aumento da
viscosidade com aumento da taxa de cisalhamento.
F: O plástico de Bingham, fluido newtoniano com uma
tensão inicial maior que zero. É o comportamento
aproximado de produtos alimentícios com alto teor de
gordura (chocolate, manteiga, margarina); pasta de
dente e massa de modelagem.
• G: Fluido de Casson mostra características plásticas,
com redução da viscosidade no aumento da taxa de
cisalhamento. Exemplo: sangue e iogurtes.
2
Propriedades Físicas dos Fluidos
• Massa especifica e densidade
A massa específica é a relação entre massa e o volume
ocupado por um fluido,
 = mf/vf (Kg/m3)
d l = l / H2O
d g = g / ar
• Compressibilidade
É a propriedade que tem a matéria de reduzir seu volume sob
a ação de pressões externas. Os líquidos são pouco
compressíveis, já os gases são bem mais compressíveis.
• Elasticidade
Líquidos e gases diminuem ou aumentam de volume quando
experimentam aumentos ou diminuições de pressão.
3
Propriedades Físicas dos Fluidos
• Viscosidade
É a propriedade que os fluidos têm em resistir às deformações e, em
conseqüência, ao escoamento, transformando energia cinética em calor.
• Coesão e tensão superficial
A formação de uma gota d’água deve-se a coesão.
A tensão superficial é devida aos líquidos tenderem a adotar formas que
minimizam sua área superficial. E neste caso, uma menor área com uma
mesma força de coesão entre as moléculas, dá origem a tensão
superficial capaz de suportar o peso de certos corpos.
4
Propriedades Físicas dos Fluidos
• Solubilidade
Os líquidos dissolvem os gases. Por exemplo, a água dissolve
o ar, em proporções diferentes entre o oxigênio e o nitrogênio,
pois o oxigênio é mais solúvel.
• Tensão de vapor
A temperatura de vaporização de um líquido depende da
pressão, a qual este está submetido. Quanto maior for a
pressão, maior será a temperatura de vaporização.
5
Noções Básicas
•
•
•
•
•
•
•
•
Equações
Conservação da Massa;
Variação da quantidade de Movimento;
Segunda lei de Newton;
Equação de estado de gás ideal.
Sistema, Volume e Superfície de controle
Sistema de controle – certa quantidade fixa e definida de massa fluida.
Volume de controle – volume arbitrário do espaço através do qual o
fluido escoa.
Superfície de controle – contorno geométrico do volume de controle.
Método diferencial X Método integral
• Detalhamento do problema X Análise Global
6
Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades
• Denominam-se
grandezas
básicas
as
seguintes
quantidades físicas:
- Comprimento;
- Massa;
- Tempo;
- Temperatura.
- As unidades são nomes arbitrários que dão magnitude as
medidas das grandezas, por exemplo:
- Um tubo com 20 m de comprimento;
- É o mesmo tubo com 65,6 pés.
7
Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades
•Sistemas de Unidades
SI – Sistema Internacional
É o legalmente aceito na maioria dos países.
No SI as unidades das grandezas básicas são as seguintes:
- Massa (Kg);
- Comprimento (m);
- Tempo (s);
- Temperatura (K).
A força é uma grandeza derivada cuja unidade é o Newton (N),
1 N = 1 Kg.m/s2
Além do SI, ainda existem outros sistemas como:
- CGS (sistema métrico absoluto) – g, cm, s, K;
- Sistema Inglês – lbf, lbm, pé, s, Rankine.
8
Unidade 2 – Estática dos Fluidos
Estática dos Fluidos
•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em
repouso
Nessas condições a variação de pressão é proporcional ao peso específico
do fluido e à altura da coluna fluida,
dp
  g
dz
p
z
p0
z0
 dp    gdz
p – p0 = -g(z-z0) = g(z0-z), sendo z0-z = h
p = p0 + gh
p - p0 = h (Lei de Stevin)
g = 
peso específico
9
Estática dos Fluidos
•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em
repouso
A relação pressão altura é usada para resolver problemas de
manometria. Nesse caso, as seguintes regras são úteis:
1. Dois pontos quaisquer, situados à mesma cota e no mesmo
líquido em repouso, estão sujeitos à mesma pressão;
2. A pressão aumenta para baixo e ao longo da coluna líquida
(pense num mergulho).
10
Estática dos Fluidos
•Exercício 1 - No manômetro diferencial da figura, o fluido
A é água, B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio.
Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm,
qual é diferença de pressão pB – pA? Dados: ƔH2O =
10.000N/m³; ƔHg = 136.000N/m³; Ɣóleo = 8.000N/m³.
11
Estática dos Fluidos
Pressões Absoluta e Manométrica
Pressões são expressas em relação a um nível de referência.
Pabsoluta = Pmanométrica +Patmosférica
•Atmosfera-Padrão
- Pressão (P) = 101,3 kPa;
- Temperatura (T) = 288 K (15°C);
- Massa Específica () = 1,225 kg/m3;
- Viscosidade () = 1,781 (Pa.s).
12
Estática dos Fluidos
• Empuxo Hidrostático
• Projetos de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos, tais
como: Comportas, Válvulas, Barragens, Reservatórios, etc. Necessitam da
determinação do empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície submersa.
y
Centro de pressão
13
Estática dos Fluidos
• Empuxo
Hidrostático
dF = p.dA = .h.dA= .y.sen.dA
F   dF   y sendA   sen  ydA
A
A
 ydA é o momento da área em relação à interseção 0.
A
 ydA  A y
A
F = senA y
y sen =
h
F =  hA
14
Estática dos Fluidos
• Determinação do centro de pressão
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema dos
momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve igualar-se aos
momentos das forças elementares dF.
Onde I é o momento de inércia em relação a 0. Aplicando o teorema de Huygens,
I0
2
y

y

y
I = I0 + A , tem-se que p
Ay
15
•Exercício 2 – Uma caixa d’água de 800 litros mede 1,0 x 1,0 x 0,8.
Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu
ponto de aplicação.
16
Exercício 3 – Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma
lâmina d’água máxima de 9 m. Considerando a seção transversal mostrada
na figura a seguir, com a barragem tendo largura unitária, pede-se
determinar:
a) O empuxo hidrostático sobre a barragem; e
b) A posição do centro de pressão.
17
Unidade 3 – Dinâmica dos Fluidos
• Princípio de Conservação da Massa
dM 
0

dt sistema


m1  m2 (kg/s) - fluxo de massa ou vazão mássica
m = Vol
m = AL
AdL
m
dt


m  AV
18
Dinâmica dos Fluidos
• Princípio de Conservação da Massa


m1  m2
1V1A1  2V2A2
Se o fluido é incompressível, o princípio de conservação da
massa resulta em,
V1A1  V2 A 2  V3A3  cte
*Nota – todas as velocidades das expressões acima são
médias nas seções.
19
Dinâmica dos Fluidos
• Vazão Volumétrica (Q)  é o produto da velocidade
média pela área ou quociente entre o volume pelo tempo.
Q  v.Aou Q 
V
(m3/s)
t
Onde:
v– velocidade média (m/s);
V – volume (m3),
A – área (m2);
t – tempo (s).
20
Dinâmica dos Fluidos
Exercício 4 – Considere o movimento permanente da água (
= 1000 kg/m3) através do dispositivo da figura. As áreas são:
A1 = 0,02 m2, A2 = 0,05 m2 e A3 = A4 = 0,04 m2. A massa
fluida que sai pela seção 3 vale 57 kg/s. O volume que entra
pela seção 4 é de 0,03 m3/s, e V1= 3 î m/s. Admitindo que as
propriedades do fluido sejam uniformes em todas as seções,
determinar a velocidade média do escoamento na seção 2.
21
Dinâmica dos Fluidos
-
Exercício 5 – No tubo redutor da figura há uma vazão de 10 ft3/s.
Calcule a vazão em m3/s, bem como as velocidades médias nos
tubos de 300 mm e 200 mm.
Exercício 6 – Um tubo de 0,3 m de diâmetro dividi-se em Y em
dois ramos de 200 e 150 mm de diâmetro. Se a vazão na linha
principal for igual a 0,3 m3/s e se a velocidade média no tubo de 200
mm for igual a 2,5 m/s. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade na linha principal?
b) Qual a vazão no tubo de 200 mm?
c) Qual a vazão e a velocidade no tubo de 150 mm?
-
22
Dinâmica dos Fluidos
Exercício 7 – Um depósito cilíndrico de diâmetro D = 0,3 m é
drenado por um orifício no fundo. No instante em que a
profundidade da água é 0,6 m, a vazão média saindo do
tanque é de 4 kg/s. Determinar a taxa de variação do nível
d’água e o tempo necessário para que o tanque esvazie-se.
23
Dinâmica dos Fluidos
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa
Através do volume de controle diferencial em coordenadas
retangulares da figura abaixo.
E o princípio de conservação da massa representado pela
seguinte equação.
24
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa
Pode-se aplicar o balanço de massa em uma das direções
coordenadas. Toma-se, então, a direção “x” e aplica-se a
equação anterior,
uzyt ( x  x )  uzyt ( x )  (xyzt )
u ( x  x )  u ( x )
x

u ( x  x )  u ( x )
lim x 0
x
u
x
25
Dinâmica dos Fluidos
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa
E por analogia nas outras direções, tem-se:
v
y
w
e
z
Resta agora, avaliar, a variação de massa no interior do
volume de controle, também no tempo t. Neste caso, tem-se:
xyz( t  t )  xyz( t )  (xyzt )
( t  t )  ( t )
t
( t  t )  ( t )
lim t 0
t

t
26
•Equações Diferenciais - Conservação da Massa
E assim, somando-se todas as parcelas deduzidas, tem-se a
equação da conservação da massa ou da continuidade em
coordenadas cartesianas,
u v w 



0
x
y
z
t
27
Exercício 8 – O amortecedor pneumático da suspensão de um automóvel é
cheio de gás e comporta-se como um conjunto pistão-cilindro. No instante t
= 0, o pistão está a L = 0,15 m distante da extremidade fechada do cilindro e
a massa específica do gás é uniforme e igual a  = 18 kg/m3.
Repentinamente, o pistão começa a distanciar-se da extremidade fechada
com velocidade V = 12 m/s. O movimento do gás é unidimensional e
proporcional à distância dessa extremidade. A velocidade varia linearmente
de 0 (zero) na extremidade a u = V no pistão. Determinar a expressão da
massa específica em função do tempo e sua variação no instante t = 0.
28
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento
3D à Equação de Bernoulli 1D
u  u  x, y , z , t  , v  v  x, y , z , t  e w  w  x, y , z , t 
- Direção X
Neste caso a segunda lei de Newton pode ser escrita da seguinte
maneira
du
dFx  dm
dt
(1)
Onde, pela regra da cadeia, tem-se
u
u
u
u
du  dx  dy  dz  dt
x
y
z
t
29
A qual, derivada em relação a t, torna-se
du
 ax
dt
u
u
u u
ax  u
v
w

x
y
z t
(2)
Sendo,
dm  xy z
dFx  dFsx  dFmx
dFmx=xyzg
(3)
(4)
(5)
Então, aplicando-se um balanço de forças de superfície no
cubo diferencial apresentado a seguir,
30
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à
Equação de Bernoulli 1D
dFs
 xx  x  x  y z   xx  x  yz  


 yx  y  y  xz   yx  y  xz  



z


z

x

y


z

x

y


zx 
 zx 

(6)
31
Assim, substituindo (6) e (5) em (4) e depois (4), (3) e (2) em (1)
e dividindo por xyz, tem-se
 xx  x  x    xx  x   yx  y  y    yx  y   zx  z  z    zx  z 
x


y
z
 u
u
u u 
 gx    u
v
w 


x

y

z

t


Fazendo x,y e z
0, tem-se
 u
 xx  yx  zx
u
u u 


  gx    u
v
w


x
y
z
y
z t 
 x
32
E reaplicando-se a metodologia apresentada para as direções y e z,
respectivamente, tem-se
 xy
 yy
 zy
 v
v
v v 


 gy   u  v  w  
x
y
z
y
z t 
 x
 yz
 w
 xz
 zz
w
w w 


  gz    u
v
w


x
y
z

x

y

z

t


- Equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos (Água e Ar)
  2u  2u  2u 
 u
u
u
u 
p

u
v
w



   gx 
2
2
2 

t

x

y

z

x

x

y

z




  2v  2v  2v 
 v
v
v
v 
p

u
v
w



  gy 
2
2
2 
x
y
z 
y
y
z 
 t
 x
 2w 2w 2w 
 w
w
w
w 
p

u
v
w



   gz 
2
2
2 

t

x

y

z

z

x

y

z




33
Dinâmica dos Fluidos
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento
3D à Equação de Bernoulli 1D
- Equação de Euler
Considerando-se nas equações de Navier-Stokes: fluido
incompressível e invíscido (=0), este último também chamado
de fluido ideal ou perfeito; e regime permanente, tem-se as
Equações de Euler, que aqui é apresentada somente na direção
x,
 u
u
u 
p
 u
v
w
   gx 
y
z 
x
 x
34
Dinâmica dos Fluidos
- Equação de Bernoulli
dp
 u 
  u    gx 
x  dx 
x
 x 
p
 u 
  u    gx 
x
 x 
 g x dx  dp  udu  0  
udu   g x dx  dp
p
2
u
g x x    cte
 2
Tomando a coordenada vertical z, tem-se:
2
p v
 gz    cte ou
 2
35
Dinâmica dos Fluidos
Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à
Equação de Bernoulli 1D
- Equação de Bernoulli
v2
 gz 
 cte

2
p
Válida para :
-Regime permanente;
-Escoamento de fluido incompressível;
-Escoamento invíscido;
-Escoamento ao longo de uma linha de corrente. Tubos se aproximam bem
disso.
-Uma das principais aplicações da equação de Bernoulli é sobre dois pontos
de uma linha de corrente p V 2
p V2
1


1
2
 gz1 
2


2
2
 gz2
36
Dinâmica dos Fluidos
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação
Exercício 9 – Um tubo em U funciona como sifão. A curva
deste tubo está a 1 m acima da superfície da água e a saída
situa-se a 7 m abaixo da mesma superfície. Se o escoamento,
em primeira aproximação, processa-se com atrito nulo, e o
jato de saída é livre à pressão atmosférica, determinar a
velocidade do jato livre e a pressão absoluta do fluido ao
escoar pela curva.
37
Dinâmica dos Fluidos
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação
Exercício 10 – Água flui sob uma comporta instalada à entrada de um
canal de leito horizontal. Na face a montante, o nível d’água está a 1,5 ft de
altura e a velocidade é desprezível. Na seção contraída, sob a comporta, as
linhas de corrente são retas e a profundidade d’água mede 2 in. A pressão
distribui-se hidrostaticamente e o escoamento pode ser considerado
uniforme em cada seção. O atrito é desprezível. Determinar a velocidade do
escoamento a jusante da comporta e a vazão por unidade de largura.
38
Dinâmica dos Fluidos
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação
Exercício 11 – Um tubo de Pitot é utilizado para medir a
velocidade do fluxo de ar (em CNTP) em uma tubulação. A
inserção do tubo é feita de modo que fique apontado para
montante, medindo, portanto, a pressão de estagnação. A
pressão estática é medida na mesma seção de escoamento por
meio de uma tomada na parede. Se a diferença dessas
pressões for de 30 mm de mercúrio, determinar a velocidade
do escoamento.
39
Dinâmica dos Fluidos
• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação
Exercício 12 – Em movimento permanente água escoa
verticalmente por um tubo de 0,1 m de diâmetro e sai por
um bocal com 0,05 m de diâmetro descarregando na
atmosfera. A velocidade da corrente à saída do bocal deve
ser de 20 m/s. Calcular a pressão manométrica necessária
na seção 1, supondo que os efeitos do atrito possam ser
desprezados.
40
Unidade 4 – Escoamento em Condutos
Forçados
• Número de Reynolds
Na década de 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britânico, estudou a
transição entre o escoamento laminar e o turbulento em um tubo. Ele
descobriu a seguinte relação chamada de Número de Reynolds,
Re = VD/ = VD/, sendo  = /
onde:
Re – número de Reynolds (-);
 - viscosidade dinâmica (N.s /m2);
- viscosidade cinemática (m2/s);
De maneira geral,
Re = VL/
Sendo L, o comprimento característico descritivo do campo do escoamento.
O número de Reynolds é a razão entre as forças de inércia e as forças
viscosas.
Grandes números de Reynolds caracterizam escoamentos turbulentos.
Pequenos números de Reynolds caracterizam escoamentos laminares.
41
Escoamentos em Condutos Forçados
• Escoamento laminar – é aquele em que o fluido escoa em lâminas ou
camadas; não ocorre mistura macroscópica de camadas adjacentes de
fluido.
• Escoamento Turbulento – é aquele em que as partículas do fluido têm
trajetórias irregulares, causando uma transferência de quantidade de
movimento entre as camadas fluidas, fazendo com que estas desapareçam.
A diferença qualitativa entre os dois escoamentos supracitados, pode ser
observada através da experiência de Reynolds mostrada esquematicamente
a seguir,
42
Perda de Carga
• Perda de carga em dutos circulares
Um fluido, ao escoar, transforma parte de sua energia em
calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de
energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se
perda de carga, expressa por unidade de massa de fluido
escoante (J/kg) ou por (m).
• Cálculo da perda de carga
A perda de carga total, ht, é a soma das perdas de carga
contínuas, hc, devidas ao atrito, mais as perdas de carga
localizadas, hl, devidas a acessórios e mudanças de
seção.
43
Perda de Carga
•Perdas de carga contínuas
- Escoamento laminar
2
64 LV
hc 
(J/kg)
Re 2 D
2
ou
64 LV
(m)
hc 
Re 2 gD
- Escoamento Turbulento – Equação Universal
2
LV
(J/kg)
h c f
2D
2
ou
LV
hc  f
2 gD
(m)
64
fla minar 
Re
44
• Determinação do fator de atrito - Diagrama de Moody
45
Perda de Carga
• Determinação do fator de atrito
- Fórmula de Swamee e Jain
46
• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais
47
• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais
48
Perda de Carga
• Determinação do fator de atrito
• Natureza das paredes dos tubos
Analisando-se a natureza ou rugosidade das paredes dos tubos,
devem ser considerados:
a) O material empregado na fabricação dos tubos;
b) O processo de fabricação, rebitado ou soldado;
c) O estado e conservação das paredes dos tubos;
d) A existência de revestimentos especiais;
• Alterações na superfície interna do tubo
49
Perda de Carga
• Determinação do fator de atrito
• Influência do envelhecimento dos tubos
Com o decorrer do tempo e em consequência dos fatores já
apontados, a capacidade de transporte de água das tubulações de
ferro fundido e aço (sem revestimentos especiais) vai diminuindo.
Os tubos não metálicos costumam apresentar capacidade
constante ao longo do tempo, a menos que ocorra algum
fenômeno de incrustação específica, o mesmo ocorrendo com os
tubos de cobre.
50
Perda de Carga
• Perdas de carga localizadas
Adicionalmente às perdas de carga contínuas, que ocorrem ao
longo das tubulações, têm-se perturbações localizadas,
denominadas perdas de carga localizadas, causadas por curvas,
junções, válvulas, reduções, medidores, etc.
Nas instalações hidráulicas prediais, a perda de carga localizada é
mais importante do que a perda de carga contínua, devido ao
grande número de conexões e aparelhos, relativamente ao
comprimento da tubulação. Entretanto, no caso de tubulações
muito longas, com vários quilômetros de extensão, como nas
adutoras, a perda carga localizada pode ser desprezada. As
perdas de carga localizadas podem ser expressas por:
2
2
V
hl  K
2
(J/kg)
ou
V
hl  K
2g
(m)
51
Perda de Carga
• Perdas de carga localizadas
O coeficiente K é dado para cada tipo de acidente. As
perdas localizadas podem também ser expressas por:
2
2
Le V
Le V
hl  f
(J/kg) ou
(m)
hl  f
2D
2 gD
52
•Perdas de carga localizadas com valores de K e Le
53
Perda de Carga
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le
54
Perda de Carga
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le
55
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le
56
• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le
57
Perda de Carga
•
•
Cálculo da perda de carga em tubulações
Balanço de energia via equação de Bernoulli
 P1 V12
  P2 V22

 
 

  2g  Z1      2g  Z2   h t

 

Onde:
ht – perda de carga total (m) - ht = hc + hl.
Caso 1 – L, Q e D dados e P ?
Exercício 13 - Água flui de uma bomba através de um tubo
comercial de aço de 0,25 m de diâmetro, por uma distância de 5
km a partir da descarga de uma bomba, para um reservatório
aberto à atmosfera. O nível da água no reservatório está a 7 m
acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no
tubo é de 3 m/s. Calcular a pressão na descarga da bomba.
58
Perda de Carga
• Caso 2 – P, Q e D dados e L ?.
Exercício 14 – Petróleo escoa através de um oleoduto de
ferro galvanizado numa vazão de 1,6 milhão de barris/dia
(1 barril = 42 galões). O diâmetro interno do duto é de 48
pol. A pressão máxima permissível é de 1200 lbf/pol2 e a
pressão mínima requerida é de 50 lbf/pol2. O petróleo cru
tem  = 930 Kg/m3 e µ = 3,5 x 10-4 N.s/m2. Determine a
distância máxima até a próxima estação de
bombeamento. Considere: 1 galão = 3,8 L, 1 pol = 25,4
mm, 1 lbf/pol2 = 6.895 Pa e 1 m3 = 1000 L.
59
Perda de Carga
Caso 3 – L, P e D dados e Q?.
Exercício 15 – Calcular a vazão de água num conduto de
ferro fundido, sendo dado D = 10 cm,  = 0,7x10-3 e
sabendo-se que dois manômetros instalados a uma
distância de 10 m indicam respectivamente, 0,15 Mpa e
0,145 Mpa.
60
Perda de Carga
Caso 4 – P, L, Q dados e D?.
Exercício 16 – Certa indústria nova requer a vazão
d’água de 5,7 m3/min. A pressão manométrica na
tubulação principal, situada na rua, a 50 m da indústria, é
de 800 kPa. A linha de suprimento exigirá a instalação de
4 cotovelos (Le/D = 120). A pressão manométrica exigida
na indústria é de 500 kPa. Determinar o menor diâmetro
comercial dos tubos lisos e novos a serem instalados?
61
Perda de Carga
• Fórmulas empíricas
• Fórmula de Darcy
J = hc = KQ2 (m/m)
Válida para tubos de ferro e aço, transportando água fria.
62
Perda de Carga
Fórmula de Hazen-Williams
1,85
10,64Q
J  1,85 4,87
C D
Onde,
J – Perda de carga contínua (m/m);
C – Coeficiente de perda de carga (-);
Q – Vazão (m3/s);
D – Diâmetro (m).
Essa fórmula tem sido largamente empregada. Seus
limites de aplicação vão de diâmetros de 50 a 3 500 mm
e velocidades de até 3 m/s, cobrindo, em geral, os casos
comumente encontrados no dia a dia.
63
Perda de Carga
64
Perda de Carga
• Fórmulas empíricas de cálculo
• Exercício 17 – A população de uma cidade é igual a 6
700 habitantes. A cidade já conta com um serviço de
abastecimento de água, localizando-se o manancial na
encosta de uma serra. O diâmetro da linha adutora
existente é de 150 mm, sendo os tubos de ferro fundido
com bastante uso. A diferença de cotas entre o
manancial e o reservatório de distribuição de água é igual
a 36 m e o comprimento da linha adutora é igual a 4 240
m. Verificar se a vazão atual do sistema é adequada para
o abastecimento da cidade, admitindo um consumo
individual médio igual a 200 litros por habitante por dia e
que nos dias de maior calor a demanda é cerca de 25%
maior que a média.
65
Unidade 5 – Orifícios, Bocais
e Vertedores
Orifícios
• Escoamento em orifícios
Orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica
definida, feitos abaixo da superfície livre do líquido em
paredes de reservatórios, tanques, canais ou tubulações.
66
Orifícios
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema de
Torricelli
São considerados pequenos os orifícios cujas dimensões são muito
menores que as profundidades em que se encontram: dimensão
vertical igual ou inferior a um terço da profundidade.
Se o orifício for circular – d  h/3.
- Paredes delgadas
67
Orifícios
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema
de Torricelli
Nesse caso, aplicando-se a equação de Bernoulli às
seções 1 e 2 da primeira figura do slide anterior, tem-se,
v t  2gh
Onde Vt é a velocidade teórica calculada a partir do
teorema de Torricelli. Entretanto, esta velocidade não leva
em conta as perdas por atrito e na realidade,
V2 = Cv. Vt
68
Orifícios
• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema
de Torricelli
Onde Cv = 0,985, é um coeficiente de correção da
velocidade.
Seguindo as correções devido as perdas, o cálculo da
vazão dá-se por,
Q  C d A 2gh
Sendo,
h – altura da superfície livre até o centro do orifício (m);
A – área do orifício (m2);
Cd – coeficiente de descarga (Cd = 0,61).
69
Orifícios
• Orifícios
afogados
pequenos
em
paredes
delgadas
Neste caso, a expressão de Torricelli pode, ainda ser
aplicada, mas sendo que a altura h = (h1-h2),
conforme figura abaixo,
70
Orifícios
•Perda de carga em orifícios, adufas e comportas
Nesses casos, a perda de carga corresponde à diferença de
energia cinética,
http://www.saneamento10.hpg.ig.com.br/CompAduf.htm
71
Orifícios
• Escoamento
com nível variável: cálculo do tempo de
esvaziamento através de orifícios
Nos casos já considerados, a altura da superfície livre do líquido foi considerada
constante. Porém, a altura varia, devido ao escoamento pelo orifício. O problema
que se apresenta na prática consiste em determinar o tempo necessário para o
esvaziamento de um tanque ou recipiente.
Sendo,
A – área do orifício (m2);
AR – área da superfície do reservatório (m2);
O tempo de esvaziamento aproximado, t (s), é dado pela seguinte fórmula,
2A R
t
h
Cd A 2g
Exercício 18 – Em uma estação de tratamento de água, existem dois
decantadores de 5,50 x 16,50 e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos,
qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por meio de uma comporta
quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo do decantador. A espessura
da parede é de 0,25 m. Calcular a vazão inicial na comporta e determinar o tempo
aproximado necessário para o esvaziamento do decantador.
72
Bocais
São constituídos por peças tubulares adaptadas aos orifícios, servindo para dirigir
o jato e com perdas de carga menores que as dos orifícios.
Análise dos bocais em parede espessa, segue a mesma linha dos orifícios.
Os bocais costumam ser classificados em:
Cilíndricos – Interiores ou reentrantes e
Exteriores
E
Cônicos – Convergentes ou divergentes
• Velocidade, vazão e perda de carga nos bocais
V2 = Cv. Vt
Q  C d A 2gh
73
.
74
Vertedores
• Definição e aplicações
Pode-se definir vertedores como simplesmente, orifícios
sem a borda superior. São usados como medidores de
vazão em pequenos cursos d’água, condutos livres,
galerias e canais. E também, como estruturas que dão
vazão ao excesso de água em pequenas barragens.
75
Vertedores
Terminologia
A borda horizontal denomina-se crista, ou soleira;
As bordas verticais denominam-se faces do vertedor;
A carga do vertedor, H, é a altura atingida pelas águas a
contar da soleira.
76
• Classificação quanto a:
- Forma
a) Simples (retangulares, trapezoidais, triangulares, etc.);
b) Compostos (seções combinadas).
- Altura relativa da soleira
a) Completos ou livres (p>p’);
b) Incompletos ou afogados (p<p’).
- Natureza da parede
a) Delgada (chapas ou madeira chanfrada);
b) Espessa (e > 0,66H).
77
• Classificação quanto a:
- Largura relativa
a) sem contrações laterais (L = B);
b) contraídos (L < B).
Vertedor contraído é aquele cuja largura é menor que a
do canal de acesso.
78
Vertedores
• Contraídos e sem contrações
79
Vertedores
• Vertedores Retangulares de paredes delgadas e sem
contrações
• Determinação da vazão
- Fórmula de Francis
3/2
Q = 1,838 LH
- Influência das contrações
Francis, após muitas experiências, concluiu que a largura é
reduzida pelas contrações e esta redução é proporcional a carga
H do vertedor. Assim,
Para uma contração, L’ = L –0,1H
Para duas contrações, L’ = L – 0,2H
Logo, a fórmula de Francis para duas contrações torna-se,
3/2
Q = 1,838 (L-0,2H)H
A fórmula anterior válida com as seguintes restrições H/p < 0,5 e
que H/L < 0,5.
80
Vertedores
• Vertedor Triangular
Os vertedores triangulares são indicados para medidas de
pequenas vazões, pois possibilitam maior precisão.
Na prática, os mais utilizados são os isósceles a 90o.
81
Vertedores
• De parede Espessa retangulares sem contrações
• Determinação da vazão
3/2
Q = 1,71LH
82
Vertedores
• Vertedores extravasores de barragens
No projeto desses vertedores, é privilegiada a forma que
dê passagem a vazão máxima, mais que também
impeça efeitos prejudiciais à estrutura, tais como o
vácuo parcial, as pulsações da veia que podem provocar
vibrações, etc.
• Determinação da vazão
3/2
Q = 2,2LH
83
Vertedores
• Importantes práticas para medidas de vazão com uso de
vertedores
•
•
•
•
•
A lâmina de água deve ser livre;
A soleira deve ser bem talhada e ficar na posição horizontal;
Não deve ocorrer passagem de liquido pelas laterais do vertedor;
Deve ser instalado num trecho o mais retilíneo possível;
A carga H deve ser medida a montante (antes) do vertedor, a uma
distância compreendida entre 5H e 10H, porém nunca inferior a
2,5H; sobre uma estaca nivelada com a soleira ou com o vértice
do vertedor;
• Não deve ocorrer represamento da água a jusante (depois do
vertedor);
• Não deve ocorrer turbilhonamento da água próximo ao ponto de
medição.
84
• Exercício 19
Está sendo projetado o serviço de abastecimento de
água para uma pequena cidade de 5.600 habitantes. O
volume médio de água por habitante é de 200 l/dia,
sendo 25% o aumento de consumo previsto para os dias
em que este é maior. Pensou-se em captar as águas de
um igarapé que passava às proximidades da cidade e,
para isso, procurou-se determinar a sua vazão numa
época desfavorável do ano, tendo sido empregado um
vertedor retangular com duas restrições, executado em
madeira chanfrada e com 0,80 m de largura. A água
elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira. Verificar
se esse manancial é suficiente; adote um coeficiente de
segurança igual a 3, pelo fato de se ter apenas uma
medida de vazão.
85
Unidade 6 – Semelhança ou Similaridade
e Análise Dimensional
Similaridade
O uso e a confiança nos modelos têm crescido continuamente:
- O engenheiro aeronáutico obtém dados a partir de modelos testados em túneis
de vento;
- O engenheiro naval testa modelos de navios em tanques;
- O engenheiro mecânico testa modelos de turbinas e bombas e prevê o
desempenho das máquinas;
- O engenheiro civil trabalha com modelos de estruturas hidráulicas, rios,
estuários e até prédios.
A similaridade entre fenômenos de escoamentos existe não só entre um modelo e
seu protótipo, como também entre diversos fenômenos desde que certas leis de
semelhança sejam satisfeitas.
Existem três tipos básicos de similaridade, sendo que os três devem existir para
que se tenha similaridade completa em fenômenos envolvendo fluidos.
- Similaridade geométrica;
- Similaridade cinemática;
- Similaridade dinâmica.
Para a solução de alguns problemas práticos em engenharia, o uso da
similaridade dinâmica é suficiente. Nesse caso, com base na história da mecânica
dos fluidos, existe um conjunto de números adimensionais usados na descrição
da similaridade dinâmica. Estes números são os seguintes:
87
Similaridade
Na relação de semelhança, quando predominar a força da
gravidade, deve-se utilizar o Número de Froude.
Fr 
V
lg
Na relação de semelhança, quando predominarem as
forças de inércia e pressão, deve-se utilizar o Número de
Euler.

Eu  V
2P
Na relação de semelhança, quando predominarem as
forças de inércia e viscosidade, deve-se utilizar o Número
de Reynolds.
vl
Re 

88
Similaridade
Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de
inércia e elasticidade, deve-se utilizar o Número de Cauchy.
v
Ca 
E
2
Onde E é a elasticidade.
Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de
inércia e de tensão superficial, deve-se utilizar o Número de Weber.
lv
We 

2
Onde sigma é a tensão superficial.
89
Similaridade
Problemas Ilustrativos
Exercício 20 – Água a 0°C escoa numa tubulação horizontal de 75 mm de
diâmetro a uma velocidade média de 3 m/s. A queda de pressão através de 10 m
da tubulação é de 14,0 kPa. Calcule a velocidade de escoamento do querosene a
20°C através de uma tubulação geometricamente similar de 25 mm de diâmetro
para que os escoamentos sejam dinamicamente similares. Qual a queda de
pressão estimada através de uma distância de 3 m do tubo de diâmetro 25 mm.
Despreze o atrito.
Exercício 21 – Um navio de 120 m de comprimento deve ser testado por meio de
um modelo de 3 m de comprimento. Se o navio move-se a 56 km/h, calcule a
velocidade com que o modelo deve mover-se para que haja similaridade dinâmica
entre o modelo e o protótipo.
Exercício 22 – Sobre um vertedor hidráulico liso, ocorre um transbordamento
com vazão igual a 600 m3/s. Calcule a vazão necessária para se fazer um modelo
quadrado desta estrutura na escala 1:15 afim de que haja similaridade dinâmica
entre os dois, desprezando-se o efeito da viscosidade.
91
Análise Dimensional
Outra ferramenta útil na Mecânica dos Fluidos, que está
intimamente ligada ao princípio da similaridade, é a
chamada análise dimensional – que é a análise
matemática das dimensões das grandezas físicas e das
equações.
Os métodos da análise dimensional baseiam-se no
princípio da homogeneidade dimensional, formulado por
Fourier em 1822, segundo o qual toda equação que
exprime um fenômeno físico deve ser dimensionalmente
homogênea, isto é, as dimensões em todos os membros
de uma equação devem ser as mesmas.
Afim de ilustrar as etapas matemáticas num problema
dimensional simples, considere a equação familiar da
estática dos fluidos,
p =h
90
Análise Dimensional
Suponha que as dimensões de  e h sejam conhecidas e as de p
desconhecidas. As dimensões de p só podem ser uma combinação
de M, L, T, e esta combinação pode ser descoberta escrevendo-se
a equação dimensionalmente como,
(Dimensões de p) = (Dimensões de ) x (Dimensões de h) ou
M
M LT  2 2L
LT
Onde a, b e c são incógnitas. Aplicando-se o princípio da
homogeneidade dimensional, conclui-se que o expoente em cada
dimensão fundamental deve ser igual em ambos os membros da
equação, donde resulta
a = 1,
b = -2 + 1
e
c = -2
Portanto,
M
1 2
ML
T

(Dimensões de p) =
LT 2
a b c
91
92
Unidade 7 – Introdução à Transferência
de Calor e Massa
Transferência de Calor
• Conceito
A transferência de calor (ou calor) é o trânsito de energia provocado
por uma diferença de temperatura.
• Mecanismos
94
Transferência de Calor
• Equação geral da transferência de calor
"
q cond
"
 q conv
"
 q rad
0
Sendo que cada um dos termos acima pode ser expresso através
de suas equações apresentadas a seguir.
Na condução do calor, a equação do fluxo de calor é conhecida
como lei de Fourier aplicada a uma parede plana unidimensional,
com distribuição de temperatura T(x), conforme a seguir:
95
Transferência de Calor
• Condução
O fluxo de calor é então,
Ou finalmente,
dT
 k
dx
Sendo
q "x
com
dT T2  T1

dx
L
T2  T1
 k
L
T1  T2
T
"
qx  k
k
L
L
q "x
Onde k é a condutividade térmica do material (W/m.K).
O fluxo de calor (W/m2) é a taxa de transferência de calor por
unidade de área. A taxa, no caso, de condução de calor, qx (W)
através de uma parede plana de área A (m2), é então o produto do
fluxo de calor pela área, q  q" A
x
x
96
Transferência de Calor
• Convecção
Ocorre entre um fluido em movimento e uma superfície limitante,
quando os dois estão em temperaturas diferentes.
A convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do
escoamento em convecção forçada ou natural.
97
Transferência de Calor
• Convecção
A convecção forçada existe quando o escoamento é gerado por
forças externas oriundas, por exemplo, de ventiladores, bombas ou
por ventos na atmosfera.
A convecção natural (ou livre) dá-se quando o escoamento é
provocado pelas forças do empuxo, que se originam das diferenças
de densidade devidas às variações de temperatura no fluido.
98
Transferência de Calor
• Convecção
Independente do tipo de convecção, a equação do fluxo de calor
devido a este mecanismo, possui a seguinte forma:
q” = h (Ts - T)
ou
q” = h (T -Ts)
onde:
q” – fluxo de calor convectivo (W/m2);
Ts – temperatura da superfície;
T - temperatura do fluido;
h – coeficiente de convecção de calor (W/m2 .K).
A expressão anterior é conhecida como a lei de Newton do
resfriamento.
99
Transferência de Calor
100
Transferência de Calor
• Radiação
Ocorre pela transferência de calor entre superfícies sólidas, líquidas
e gasosas através de ondas eletromagnéticas associadas a
temperatura dos corpos. Enquanto a condução e convecção
precisam de meio material para se transferirem, a radiação não. Na
realidade a transferência por radiação ocorre com maior eficiência
no vácuo.
A determinação da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre
superfícies, é, em geral, bem complicada. Um caso particular, no
entanto, que ocorre frequentemente em casos práticos, envolve a
troca líquida de radiação entre uma pequena superfície e uma outra
superfície maior, que envolve completamente a superfície menor
(figura a seguir).
101
Transferência de Calor
• Radiação
Assim, o fluxo de calor por radiação entre a superfície e as suas
vizinhanças é expressa abaixo:
q 
"
4
(Ts
4
 Tviz )
onde:
 - emissividade da superfície (-);
 - constante de Stefan-Boltzman ( = 5,67.10-8 W/m.K4)
102
Transferência de Calor
Exercício 23
Os gases quentes da combustão, numa fornalha,
estão separados da atmosfera ambiente e das
vizinhanças, ambas a 25°C, por uma parede de
tijolos de 0,15 m de espessura. O tijolo tem
condutividade térmica de 1,2 W/m.K e
emissividade superficial de 0,8. Nas condições de
regime permanente, a temperatura da superfície
externa é de 100°C. A convecção de calor para o
ar adjacente é caracterizada por um coeficiente h =
20 W/m2.K. Qual é a temperatura da superfície
interna do tijolo?
103
Transferência de Massa
É massa em trânsito como resultado da diferença de concentração
de uma espécie em uma mistura.
• Transferência de massa por difusão
Considere um recipiente em que duas espécies de gás à mesma
temperatura e pressão encontram-se separadas por uma parede.
Se a parede for removida, as espécies se difundirão em direções
contrárias.
104
Composição de uma mistura
Uma mistura consiste em dois ou mais constituintes
químicos (espécies) e a quantidade de qualquer espécie i
pode ser quantificada em função de sua massa
específica, que neste caso representa, concentração
mássica no volume da mistura i (kg/m3) ou
sua
concentração molar Ci (kmol/ m3).
• A concentração mássica e a concentração molar são
relacionadas pela massa molecular Mi (kg/kmol) tal que:
ρ = MiCi
• A massa específica da mistura é:
ρ =Σρi
• Analogamente, o número total de moles por unidade de
volume da mistura é:
C = Σci
105
Composição de uma mistura
A quantidade da espécie i em uma mistura, também pode ser
quantificada em função de sua fração mássica:
i
mi 

• Ou sua fração molar:
Ci
xi 
C
• Das equações anteriores segue que:
Σmi=1
e
Σxi=1
106
Composição de uma mistura
• Lei de Fick
O fluxo associado à transferência de massa por difusão
da espécie A em uma mistura binária de A em B tem a
forma:
107
Exercício 28 - Hidrogênio gasoso está armazenado a
uma pressão elevada num recipiente retangular com
paredes de aço de 10mm de espessura. A concentração
molar de hidrogênio no aço na face interna do recipiente é
de 1 kmol/m3, e a concentração molar do hidrogênio no
aço, na face externa é desprezível. O coeficiente de
difusão do hidrogênio no aço é 0,26 x 10-12 m2/s. Qual é o
fluxo de Difusão, em base molar, do hidrogênio através do
aço?
108