10ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
MEBM, MEFT, LEGM, LMAC
1. Um anel de massa m e raio r desce uma rampa que faz um ângulo α com
a horizontal. O anel mantém-se no plano definido pela vertical e pela normal
à rampa. Considerando que partiu de uma altura h com velocidade inicial
nula, calcule a velocidade e a velocidade angular do anel quanto atinge o
fundo da rampa, nos dois casos abaixo (que se verificam em que
situações?):
1.a) O anel desliza sem rotação.
1.b)
O anel roda sem deslizamento.
2. No topo de um plano inclinado com 10 m de comprimento que faz um
ângulo de 30º com a horizontal colocam-se dois corpos. O corpo A é um
cilindro homogéneo e o corpo B um cilindro oco. Ambos têm massa M e raio
R. O momento de inércia do cilindro A é IACM=1/2MR2 e do cilindro B é
IBCM=MR2. Os cilindros rolam sem escorregar durante todo o movimento.
2.a) Qual é a energia cinética de cada um dos cilindros à chegada ao
solo?
2.b) Qual é a velocidade do centro de massa de cada um dos cilindros à
chegada ao solo? Qual dos cilindros chega primeiro ao solo?
2.c) Qual é a aceleração do centro de massa de cada um dos cilindros
durante a descida?
2.d) Calcule a força de contacto tangencial ao plano inclinado sobre
cada um dos cilindros durante a descida?
3. Um disco D de raio 10 cm é posto a girar, sem atrito, em torno de um eixo
vertical com uma velocidade angular ω0 = 120 rot/min. Em seguida, um anel
A de raio r = 5 cm e massa m = 1 kg é colocado simetricamente sobre o
disco (ver figura). Sabe-se que a velocidade angular do conjunto passa a
ser ω1 = 60 rot/min. O momento de inércia de um disco é I = 1/2 M R2.
3.a) Determine a massa do disco D.
3.b) Como varia a energia cinética quando se passa da primeira situação
(disco D) para a segunda (D + A).
4. Um haltere formado por dois discos de massas iguais m está em repouso
sobre uma mesa de ar. A haste do haltere tem comprimento l = 30 cm e a sua
massa é desprezável. Um terceiro disco desloca-se perpendicularmente ao
haltere com velocidade v=3 ms-1, colide com um dos discos do haltere e
permanece colado a ele.
4.a) Determine a posição e a velocidade do centro de massa dos três discos
antes e depois do choque.
4.b) Calcule o momento angular em relação ao centro de massa dos três
discos antes e depois do choque. Em seguida, calcule a velocidade
angular das massas imediatamente a seguir ao choque.
4.c) Descreva o movimento do sistema depois do choque.
5. Dois patinadores aproximam-se um do outro segundo duas rectas
paralelas que distam de 1.5 m. As suas velocidades são iguais, v=5 ms-1,
mas de sentidos opostos, e os patinadores têm a mesma massa, m=60 kg.
5.a) Calcule o momento angular dos dois patinadores. Mostre que o
momento angular se conserva e é independente da origem do
referencial escolhido.
5.b) Quando os patinadores se cruzam, dão as mãos e ficam a rodar,
calcule a velocidade angular de rotação.
6. Uma massa de 4 kg com uma velocidade de 5 m/s tem um choque
elástico com um haltere formado por duas massas de 3 kg, ligadas por um
ferro rígido de massa desprezável e comprimento 0,5 m. A geometria do
choque é indicada na figura. Observou-se que, depois do choque, a
velocidade da primeira massa não mudou de direcção (já nada se sabe
quanto ao sentido). Calcule, depois do choque:
6.a) A velocidade da primeira massa, a velocidade do centro de massa do
haltere e a velocidade de rotação do haltere em trono do seu centro de
massa.
7. Um fio está enrolado num eixo cilíndrico de raio r = 3 cm e massa m=0.05
kg, que possui nas suas extremidades duas rodas de raio R = 5 cm e
massa M = 0,01 kg, cada uma (tipo carrinho de linhas – ver figuras). O fio é
puxado para a esquerda com uma força constante F = 0,1 N e as rodas
rodam sem deslizar. O momento de inércia de um disco é I = 1/2 mD rD 2.
7.a) Qual é o sentido do movimento? Justifique.
7.b) Qual é a aceleração do centro de massa?
7.c) Qual é o coeficiente de atrito (Fa/RN) mínimo necessário para
garantir que as rodas não deslizam?
8. Considere o pêndulo representado na figura
constituído por um disco de massa M=1 kg e raio
R=10 cm, que roda livremente em torno do seu centro
de massa e ao qual se encontra rigidamente fixada
uma haste de massa desprezável. No outro extremo
da haste encontra-se uma esfera de massa m=0.2 kg
e dimensões desprezáveis. A distância entre o centro
do disco e a massa m é l=1 m. O momento de inércia
do disco em relação ao seu centro de massa é dado
por I=1/2×M×R2.
8.a) Identifique os graus de liberdade do sistema e
escreva o lagrangeano do sistema.
8.b) Escreva a equação do movimento.
8.c) Determine a solução da equação de movimento
para pequenos ângulos de oscilação do pêndulo.
Qual é a frequência de oscilação deste pêndulo.
Y
M
R
X
θ
l
m
9. Um disco com 1 kg de massa e 10 cm de raio pode rodar sem atrito em
torno dum eixo perpendicular ao disco que passa pelo seu centro.
Inicialmente o disco encontra-se parado. Uma bala com 20g de massa e
uma velocidade de 800 m/s move-se rectilineamente numa direcção
tangente ao disco indo incrustar-se na sua periferia. Qual é a velocidade
final do disco?
10. Um corpo de forma cilíndrica com raio R=20 cm, massa m=1 kg e
comprimento l=5 cm submetido à acção da gravidade encontra-se fixo pela
sua periferia sem atrito a um eixo horizontal (ponto O) como se vê na figura.
O
10.a) Determine o momento das forças que actuam sobre o corpo
relativamente a O em função do ângulo que o vector posição do centro
de massas do cilindro faz com a vertical.
10.b) Determine a equação de movimento do corpo.
10.c) Calcule a frequência de oscilação do corpo na aproximação de
pequenas oscilações.