Equações de Conservação

Equação de Conservação de Massa (continuidade)

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento
Linear (2a Lei de Newton)
 Equação de Bernoulli

Equação de Energia (1a Lei da termodinâmica)
 Equação de Bernoulli Modificada
 Instalações hidráulicas
 Perda de carga
 Fator de atrito
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1
Teorema de Transporte de Reynolds
 permite transformar as equações para sistema
(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)
Variação total =
com o tempo de
de uma grandeza
de um sistema
taxa de variação + fluxo líquido saindo
da grandeza
grandeza específica
específica no VC
através da SC
VC
sistema
dm = r d
V2
dm = r d
SC
V1




f = grandeza específica ; r = massa específica ;
d  = volume infinitesimal
d m = massa infinitesimal ; d m = r d  ;
d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d 
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2
 taxa de acumulação de uma grandeza específica
VC
dm = r d
V2


 f dm 
 f r d
 t VC
 t VC
SC
V1
quantidade da grandeza que cruza a superfície:


f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r V  n dA
fluxo líquido de massa cruzando a SC
Vn
 
f r V  n d A

V
SC
d m=r dA L= =r dA Vn dt

V
Vn
Vn
 
dF


 f r d   f r V  n d A
d t sistema  t VC
SC
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3
Equação de Conservação de Massa

Sistema:
sistema
dm = r d

dm
d
0
 r d  0 
dt
dt
sistema
Volume de controle:
 
 r d rV n d A0

t 
VC
SC
A
Variação com o tempo da
da massa do volume de controle
B
Fluxo líquido de massa
através da superfície de controle
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4
Conservação de Massa
mVC   r d
VC

 r d rV nd A0

t 
VC
SC
 

 rV nd A   r V cos q d A   r Vn d A
SC
SC
  r Vn A = fluxo de massa
m
Se escoamento entra (q > 90) cos q < 0
Se escoamento saí
SC
 rVn d A   m s   m e
SC

V
q

n
(q < 90) cos q >0
 mVC
 m e  m s
t
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5
Considere 1 entrada e 1 saída
 
 
 
 rV n d A   rV nd A   rV nd A 
SC
Aentra
Asai


r V cos q d A   r V cos q d A

Aentra
Asai
Se escoamento  área: entrada cos q = - 1 e saída cos q = +1
 entra
 

 rV n d A  r V
SC
 sai

 d A rV
Aentra



sai 

 d A  rV A
Asai

entra

 rV A


 m   r V A
 rV A
VC
t
entra
sai
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6
Regime permanente:

 /  t=0
Hipóteses:



O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas
O estado da massa em cada ponto do VC não varia com o tempo
Fluxo de massa através da SC e o estado de massa que cruza a
SC não variam com o tempo
 r d  mVC 0
t 
t
VC
Regime permanente:
 
 rV n d A0
SC
Regime permanente, com 1 entrada e 1 saída:
 m e  m s
m e  m s
  cte
m
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7
Conservação de Massa
 
 rd rV ndA0


t
VC
Incompressível (r = cte):
Incompressível (r = cte) e
regime permanente:
SC
 
 d V ndA0

t 
VC
SC
 
 V ndA0
SC
 


m
 

r
Fluxo volumétrico
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8
Exercícios
(4)
1. Considere o escoamento em regime permanente de
água através do dispositivo mostrado na figura. As
áreas são: A1= 185 cm2; A2=462cm2; A3=A4=370cm2. A
vazão em massa saindo através da seção (3) é
m3=56,5 kg/s. A vazão em volume entrando pela seção
(4) é de 4=0,028 m3/s. Na seção (1) a velocidade é
uniforme e igual a V 1  3î m / s
y
Se a propriedades forem consideradas uniformes
através de todas as entradas e saídas de fluxo,
determine a velocidade do escoamento na seção (2).
60
(3)
30
(1)
(2)
x
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9
2. Um tanque com volume de 0,05 m3 contem ar a pressão absoluta de 800kPa e
temperatura de 15oC. Em t=0, o ar escapa do tanque através de uma válvula com
uma área de escoamento de 65 mm 2. O ar que passa pela válvula tem uma
velocidade de 300 m/s e massa específica de 6 kg/m 3. As propriedades no resto do
tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante de tempo. Determine a
taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque, em t=0.
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10
3) Água escoa num tubo
com diâmetro de 2 m. A velocidade dentro


do tubo é dada por V  (1  r 2 / R 2 )i m / s
Determine: a) A vazão volumétrica de água entrando no tubo; b) A velocidade
média no tubo menor com diâmetro de 20 cm. Considere regime permanente.
Obs: velocidade média é definida como a vazão volumétrica dividida pela área.
r
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11
3. Equação de Conservação de
Quantidade de Movimento
(2ª. Lei de Newton)
Na formulação integral, vamos usar o teorema de transporte de Reynolds:
 
dN


 r h d   h r V  n dA
dt sist t VC
SC
N
Propriedade extensiva
N
h
m
Propriedade intensiva
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Conservação de Quantidade de Movimento Linear

N  mV

h V


  
d ( mV )


 rVd   rV V  n dA
dt sist t VC
SC

Taxa de variação da quantidade de movimento
no volume de controle

d ( mV )
Pela segunda Lei de Newton:
dt


Fluxo de quantidade demovimento
através da superfície de controle

  Fext
sist



  

 Fext 
 rVd   rV V  n dA
t VC
SC




 

 Fx 
 r v x d   r v x V  n dA
t VC
SC
 

 Fy 
 r v y d   r v y V  n dA
t VC
SC
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Exemplos:
1)
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2)
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3) Uma correia transportadora recebe areia de um alimentador a uma taxa de 500 kg/s.
A velocidade da areia saindo do alimentador é de 5 m/s. A correia se move a 3 m/s.
Desprezando o atrito da correia, calcule a força necessária para mover a correia
enquanto ela está carregada. A areia sobre a correia move-se com a velocidade da
correia.
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4) Considere o escoamento simétrico ao redor de um cilindro. O volume de controle,excluindo
o cilindro é mostrado na figura. A distribuição de velocidade a jusante do cilindro é aproximada
por uma parábola, como mostrado. Determine a força de arrasto por metro do comprimento
transversar agindo sobre o cilindro. A massa específica do ar é 1,23 kg/m 3
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5)
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6)
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20
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21
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22
Linha de corrente: linha tangente ao vetor velocidade
V2
V1
Tubo de corrente: é a região do escoamento delimitada
por linhas de corrente.
23
Equação de Bernoulli
Considere um tudo de corrente, regime permanente,
sem perdas
Eq. Continuidade:

 r d rV nd A0

t 
VC
SC
 
 rV n d A0  m  rVA  cte
SC
Eq. Quantidade de Movimento




  

 Fext 
 rVd   rV V  n dA
t VC
SC
 (V2  V1 )  rVA dV
 dp A  r g A dz  m
dV 2

 g dz 
r
2
dp
24
integrando
V2
g z
 cte
r
2
p
Equação de Bernoulli
25
Tubo de Pitot:
Medidor de velocidade
2
H
1
h
p*
p*  p1  r g h  r g H
p*  p2  r m g h  r g H

rm  r 
p1  p2

gh
r
r
se r m  r 
V
p*
r gh
p1  p2
 m
r
r
2 (rm  r ) g h
r
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26
Exemplos:
1) Calcule a velocidade de dreno de um tanque através de um pequeno orifício
na parte inferior do tanque, supondo um fluido incompressível.
1
2
V2=?
2) Um duto com área de 1m2 se contrai gradualmente para uma área de 0,4 m2,
conforme a figura. A queda de pressão é medida com um manômetro
com deflexão de 10 cm. O líquido utilizado no manômetro possui massa específica
de 2500 kg/m3. Calcule a vazão de água no duto (ragua = 1000 kg/m3).
1
2
z
h  10cm
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27
1a. Lei da Termodinâmica para sistemas:
dE   Q   W
+W
+Q
-Q
convenção
-W
Taxa de variação de energia de sistemas =
= taxa de energia que entra – taxa de energia que sai
dE  Q  W

dt
dt
dt
Potência: energia/tempo
Unidades: J/s = W (Watts) ; Btu/h, HP=0,75 kW= 2545 Btu/h
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28
1a. Lei da Termodinâmica para volumes de controle:
Q 
dt  0 : lim
 Q  taxa de transferên cia de calor
dt  0 dt
W
  taxa de transferên cia de trabalho
dt  0 : lim
W
dt  0 dt
dE  Q  W
dE  


 QW
dt
dt
dt
dt
+W
+Q
-Q
convenção
-W
 
dE


 e r d   e r V  n d A
dt sistema  t VC
SC
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29
1a. Lei para volumes de controle;
 

 W
 
Q
 e r d   e r V  n d A
 t VC
SC
energia
V2
eu
 gz
2
total = interna + cinética + potencial
Existem diversas formas de trabalho, logo é
conveniente reescrever esta equação, explicitando
algumas formas de trabalho
Trabalho:
W  Wsuperficie  Weixo  Woutros
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30
Trabalho:
Força:
W  Wsuperficie  Weixo  Woutros
 
W  dF  dr



dFsuperfície  dFnormal  dFtangencial


Força dF
normal  p d A n
normal:
Trabalho
sob o VC
 
Wnormal  p dA n  dr
p: pressão normal
compressiva


Força
dFtangencial   d A t
tangencial:
Trabalho
sob o VC


Wtangencial   d A t  dr
 : tensão viscosa
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31
Potência:
W 

 W
 W

W
 Wn  W
t
e
outros
dt
 
W  dF  dr
 
  dF  dV
W
Potência devido aos esforços normais, taxa de trabalho de fluxo
 
 
p
  p V  n dA  
W
r V  n dA
n
SC
SC r
Potência devido aos esforços tangencias
 
   V  t dA
W
t
 
 0
se V  t  W
t
SC
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32
1a. Lei para volumes de controle
 



p
Q  W e  Wt  Woutros 
 e r d    e   r V  n d A
 t VC
r
SC 
V2
eu
 gz
2
Em geral
Wt  Woutros  0
2
2






p

V
V






Q  We 
u


gz
r
d


u



gz
r
V

n
dA
 
 


 t VC 
2
r
2
SC 


entalpia
hu
p
r
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33
Instalações hidráulicas

Objetivo: Cálculo de perda de carga e potência em
instalações de bombeamento

Considerando


regime permanente
uma entrada e uma saída:
Conservação de Massa

 r d rV nd A0

t 
VC
SC
m  r V1 A1  r V2 A2
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34
Instalações hidráulicas

1a. Lei da termodinâmica
2
2






p

V
V






Q  We 
 gz r d   u  
 gz r V  n d A
 u



 t VC 
2
r
2
SC 


V
V1   1 
 W e  p2
p1 
Q  
2







(
z

z
)



u

u

  2
2
1
1




m g
g
g
2
g
2
g
g
dm















2
2
hL12
Energia mecânica
por unidade de massa
do escoamento
 We
p1 
 p2


  ( z 2  z1 ) 
m g
g 
g
Perda de energia
entre os pontos
1 e 2  Perda de carga
V 2 V 2 
 2  1   hL
12
2 g 2 g 


35
Perda de carga
perda da carga = perda da carga contínua + perda de carga localizada
hL12  hL12
 hL12
continua
AC
Geralmente a perda da carga
é determinada empiricamente.
 We
p1 
 p2


  ( z 2  z1 ) 


mg
g
g  
 
zero
zero
V 2 V 2 
 2  1   hL
12
2 g 2 g 

 

hL
12

p
g
zero
 perda da carga em acidente
 perda da carga contínua
L
D
D
p
p
36

Perda de carga continua

Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, na
presença de gradiente de pressão
s Pm dx
p At
(p +p/x dx) At
p At  ( p 
 Fext  0
p
dx ) At   s Pm dx  0
x
p At
p Dh
s  

x Pm
x 4
Independente
do regime de
escoamento
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37

Perda de carga continua
Definindo queda de pressão adimensional ou fator de atrito
  p
 
 Dh
 x

f 
1
2
r um
2
2
  p
um
1
  f
  
r
Dh
2
 x
p  p


x
L
Perda de carga:
2
u
 p  p
L m
hL


 f
continua
g
r g
D2g
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38
fator de atrito
  p
 
 Dh
 x

f 
1
2
r um
2
depende do número de Reynolds
r um Dh
Re 

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39
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
r um Dh
Re 


Re  2300  laminar
Re > 2300  turbulento
A velocidade característica é a velocidade média um
Q
1
um 

AT
AT

u
dA
A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
4 At
Dh 
Pm
At é a área transversal do
escoamento e Pm é o perímetro
molhado, o fator 4 é introduzido por
conveniência.
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40
  p
 
 Dh

x

f  
1
2
r um
2
fator de atrito
Re 
r um Dh

Para escoamento laminar, fRe=cte
Para geometria simples, o fator de atrito pode ser calculado
analiticamente
Duto circular: f Re =64
Placas paralelas:
f Re = 96
Duto quadrado: f Re = 56
Duto anular: f Re depende da razão de raios rex/rin
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41
fator de atrito
  p
 
 Dh
 x

f 
1
2
r um
2
Para
escoamento
turbulento,
o
fator
de
determinado empiricamente.
atrito
é
r um Dh
Re 

 Além de depender o no. de Reynolds,
também depende da rugosidade relativa e /Dh
f  f (Re,
e
Dh
)
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42
A rugosidade relativa
depende do material
da tubulação e do
diâmetro da mesma
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43
O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody
44

Existem algumas correlações matemáticas como opção para o
diagrama de Moody
 Blasius (Tubo liso):
f 

0,3164
Re 0,25
Colebrook:
e / D

2
,
51

 2,0 log



0
,
5
0
,
5
3
,
7
f
Re
f


1

Estimativa inicial  Miller
 e / D
5,74 
f o  0,25 log


0
,
9
Re 
  3,7
2
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45

Perdas de carga localizadas (acidentes):
hL AC
V2
 k
2g
ou
hLAC
Leq V 2
 f
D 2g
46
Exercício 1: Determine o nível h do reservatório para manter a vazão
indicada:






Tubulação lisa
Q= 0,03 m3/s
D = 75 mm
Entrada do tubo: k = 0,5
Saída: patm
Viscosidade: m = 10-3 kg/(ms)
h
z
D= 75 mm
Q
L=100m
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47
Exercício 2: Água com r = 1000 kg/m3 e n/r = 1 x 10-6 m2/s é bombeada entre dois reservatórios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m3/s através de
uma tubulação de L=120 m e D= 50 mm de diâmetro. A rugosidade
relativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a potência necessária da bomba.
Dados de coeficiente de perda de carga:
•Entrada canto vivo: k=0,5
•Válvula globo aberta: k=1,0
•Saída canto vivo:
•Joelho a 90o: k=0,9
k=1,0
•Válvula de gaveta ½ aberta: k=0,1
48
Exercício 3: Considere a
instalação da figura ao lado. O
tubo possui uma rugosidade
relativa de e/D = 0,001 e possui
um diâmetro D= 100 mm.
Determinar a vazão máxima da
instalação. Considerar as perdas
localizadas somente na válvula
de gaveta.
H=24m
D=100mm
Q
L=180m
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49