286
Capitulo Dez
5
A Fig. 10-25a e uma vista superior de uma barra horizontal que
po de girar; duas forcas horizontais atuam sobre a barra, mas ela esta
parada. Se 0 angulo entre a barra e F; for diminuido a partir de 90°
e a barra nao deve girar, F2 deve au men tar, diminuir ou ser mantido
constante?
angular constante, devemos aumentar, dirninuir ou manter 0 modulo de F; 7 (b) A forca F; tende a girar 0 disco no sentido horario ou
anti-horario? (c) E a Iorca F; ?
t1,
(b)
(a)
Fig. 10-27Pergunta
8.
Fig. 10-25 Perguntas 5 e 6.
A Fig. 10-28 mostra tres discos planos (de mesmo raio) que podem girar em tomo de seus centros como carrosseis, Cada disco e
composto dos mesmos dois materiais, urn mais denso que 0 OUtrO
(densidade e massa por unidade de volume). Nos discos 1 e 3, 0
material mais denso forma a metade mais extema da area do disco.
No disco 2, ele forma a metade mais interna da area do disco. Forcas com modules identicos sao aplicadas tangencialmente
aos discos, seja na borda mais externa, seja na interface entre os dois materiais, como mostrado. Ordene os discos de acordo com (a) 0 torque
em torno de seus centros, (b) 0 momento de inercia em torno de
seus centros e (c) a aceleracao angular de cada urn, do maior para
o menor.
9
A Fig. 10-25b mostra urna vista superior de uma barra horizontal qu~ gira, em tomo de urn pivo sob a ac;ao de duas forcas horizontais, F, e F;, com F; em um angulo 4> em relacao a barra. Ordene
os seguintes valores de 4> de acordo com 0 m6dulo da aceleracao
angular da barra, do maior para 0 menor: 90°, 70° e 110°.
6
Na vista superior da Fig. 10-26, cinco forcas de mesmo modulo
atuam sobre urn estranho carrossel; ele e urn quadrado que pode girar
em tomo do ponto P, 0 ponto medic de urn dos lados. Ordene as
forcas de acordo com os torques que elas produzem em torno do
ponto P, da maior para a menor.
7
-
F
F
p
Disco 1
Disco 3
Fig. 10-28 Pergunta 9.
Fig. 10-26 Pergunta 7.
e
a Fig. 10-27, duas forcas, F, e F;, atuam sobre urn disco que
gira em tomo de seu centro como urn carrossel. As forcas mantem
os angulos indicados durante a rotacao, que ocorre no sentido antihorario t!. numa taxa constante. Contudo, devemos diminuir 0 angu10 de F, sem mudar 0 modulo de F,. (a) Para manter a velocidade
8
e
10 Uma forca
apJicada na borda de urn disco que pode girar como
urn carrossel, de modo a mudar sua velocidade angular. Suas velocidades angulares inicial e final, respectivamente,
para quatro situacoes, sao: (a) -2 rad/s, 5 rad/s; (b) 2 radls, 5 radls; (c) -2 rad/s,
- 5 radls; e (d) 2 rad/s, - 5 rad/s. Ordene as situacoes de acordo com
o trabalho reaJizado pelo torque aplicado, do maior para 0 menor.
Problemas
- - --- 0 numero de pontos indica
0
nfvel de dificuldade do problema.
Se~ao 10-2 As Variaveis da Rotacao
-, Qual e a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do
ponteiro dos minutos e (c) do ponteiro das horas de urn re16gio
analogico bem ajustado 7 De suas respostas em radianos por segundo.
Urn bomjogador de beisebol pode arremessar uma bola a 85 mil
h com uma rotacao de 1800 rev/min. Quantas revolucoes a bola
perfaz em uma trajetoria supostamente retilfnea de 60 pes?
-2
-3 Usando lu: estrobosc6pica. Urn disco que gira no senti do horario com uma velocidade angular de m6dulo igual a 107T radls e ilurninado apenas por uma luz estroboscopica. Os flashes revelam urn
pequeno ponto preto na borda do disco. Noflash inicial, 0 ponto aparece na posicao 12:00 (como na face de urn relogio analogico). Sejam~,f2,f3'~
e fs os cinco flashes seguintes. Se 0 intervalo de tempo M entre flashes e 0,20 s, on de aparece 0 ponto em (a)iI e (b) 12?
Se b.t e 0,050 s, onde aparece 0 ponto em (c)k (d).!;, (e)fs e (f)~?
Se 0 tempo entre flashes b.t e 40 ms, onde aparece 0 ponto em (g)11'
(h)J;, (i)13' U)~ e (k)fs?
--4 A posicao angular de urn ponto na borda de uma roda em rotac;ao e dada por = 4,Ot - 3,Ot2 + P, onde esta em radianos e testa
em segundos. Quais sao as velocidades angulares em (a) t = 2,0 s e
(b) t = 4,0 s? (c) Qual e a aceleracao angular media para 0 intervalo
de tempo que comeca em t = 2,0 s e termina em t = 4,0 s7 Quanto
vale a aceleracao angular instantanea em (d) no inicio e (e) no fim
deste intervalo de tempo?
e
e
Rotacoo
"5 Urn mergulhador
perfaz 2,5 revolucoes em sua trajet6ria a partir
de uma plataforma de 10 m de altura em direcao
agua. Supondo
que sua velocidade vertical inicial seja zero, encontre sua velocidade angular media no mergulho.
a
··6 A posicao angular
de urn ponto em uma roda em rotacao e dada
por () = 2,0 + 4,0t2 + 2,0t3, onde () esta em radianos e testa em
segundos. Em t = 0, quais sac (a) a posicao angular do ponto e (b)
sua velocidade angular? (c) Qual e a sua velocidade angular em t =
4,0 s? (d) Calcule sua aceleracao angular em t = 2,0 s. (e) A aceleracao angular da roda e constante?
••• j Aroda na Fig. 10-29 tern oito raios de 30 em igualmente espacades. Ela esta montada em urn eixo fixo e gira a 2,5 rev/so Voce
deseja atirar uma flecha de 20 em de comprimento paralelamente
ao seu eixo sem atingir qualquer urn dos raios. Suponha que a flecha e os raios sac muito finos. (a) Qual e a menor velocidade que a
flecba deve ter? (b) 0 ponto entre 0 eixo e a borda da coda onde voce
mira tern importancia? Caso sim, qual e sua melhor localizacao?
peta de qualquer porcao do disco nao deve exceder 400 mI
Qual e 0 menor tempo necessario para a rotacao? (b) Qual e
lor correspondente
de CI')?
287
2.
0
(a)
va-
Uma roda executa 40 rev quando desacelera a partir de uma
velocidade angular de 1,5 rad/s ate parar. (a) Supondo que a aceleracao angular e con stante, encontre 0 intervalo de tempo em que isto
ocorre. (b) Qual e a aceleracao angular da roda? (c) Quanto tempo e
necessario para aroda completar as 20 primeiras das 40 revolucoes?
··15
Urn disco gira em torno de seu eixo central partindo do repouso
com aceleracao angular constante. Em urn dado instante, ele esta
girando a 10 rev/s; ap6s 60 revolucoes, sua velocidade angular e 15
rev/so Calcule (a) a aceleracao angular, (b) 0 tempo necessario para
cornpletar as 60 revolucoes, (c) 0 tempo necessario para atingir a
velocidade angular de 10 rev/s e (d) 0 mimero de revolucoes a partir
do repouso ate 0 instante em que 0 disco atinge a velocidade angular de 10 rev/so
··16
Em t = 0, uma roda tern uma velocidade angular de 4,7 rad/s,
uma aceleracao angular constante de -0,25 rad/s", e uma linha de
referencia em 80 = O. (a) Atraves de que angulo maximo 8mdx a linha de referencia ira girar no sentido positivo? Quais sac (b) 0 primeiro e (c) 0 segundo instante em que a linha de referencia estara
··17
em 8 = t()mAl<?Em que (d) instante negativo e (e) instante positivo
a linha de referencia estara em () = -10,5 rad? (f) Faca 0 grafico de
() em funcao de t e indique as respostas de (a) a (e) no grafico.
Fig. 10-29 Problema 7.
Se~ao 10-4 Rota~ao com Acelera~ao Angular Constante
Um tambor gira em torno de seu eixo central com urna velocidade angular de 12,60 rad/s, Se 0 tambor e entao desacelerado a 4,20
rad/s', (a) quanta tempo leva para ele atingir 0 repouso e (b) qual e
o seu deslocamento angular neste intervalo?
"S
°9 A velocidade
angular do motor de urn autom6vel e aumentada
com uma taxa constante de 1200 rev/min para 3000 rev/min em 12
S. (a) Qual e a aceleracao angular em revolucoes
por minuto quadrado? (b) Quantas revolucoes 0 motor executa neste intervalo de
12 s?
01'0 Um
disco, inicialmente girando a 120 rad/s, e desacelerado com
uma aceleracao angular constante de m6dulo 4,0 rad/s-. (a) Quanto
tempo 0 disco leva para parar? (b) Atraves de que angulo 0 disco
gira neste intervalo de tempo?
"" Partindo do repouso, urn disco gira em torno de seu eixo central
com aceleracao angular constante. Em 5,0 s, ele gira 25 rad. Durante este tempo, quais sac os m6dulos (a) da aceleracao angular e (b)
da velocidade angular media? (c) Qual e a velocidade angular instantanea do disco ao final dos 5,0 s? (d) Com a aceleracao angular
mantida, atraves de que angulo adicional 0 disco ira girar nos pr6ximos 5,0 s?
Um carrossel gira a partir do repouso com uma aceleracao angular de 1,50 rad/s', Quanto tempo leva para ele executar (a) as primeiras 2,00 rev e (b) as pr6xirnas 2,00 rev?
",'2
··13 U ma roda tern uma aceleracao angular constante de 3,0 rad/s'',
Durante urn certo intervalo de 4,0 s, ela gira atraves de urn angulo
de 120 rad. Supondo que aroda partiu do repouso, por quanto tempo ela ja estava em movimento no infcio deste intervalo de 4,0 s?
Urn disco, com urn raio de 0,25 m, deve girar como urn
carrossel atraves de 800 rad, partindo do repouso, ganhando velocidade angular a uma taxa constante CI',arraves dos primeiros 400
rad e em seguida perdendo velocidade angular a uma taxa constante - CI')ate retornar ao repouso. 0 m6dulo da aceleracao centrf0°14
··18 Uma coda, partindo do repouso, gira com uma aceleracao angular constante de 2,00 rad/s-. Durante urn certo intervale de 3,00 s,
ela gira atraves de 90,0 rad. (a) Por quanto tempo aroda girou antes
do infcio do intervale de 3,00 s? (b) Qual e a velocidade angular da
rod a no infcio do intervalo de 3,00 s?
Se~ao 10-5 Relacionando as Variaveis Lineares e Angulares
Entre 1911 e 1990, 0 topo da torre inclinada de Pisa, Italia, moveu-se em direcao sul a uma taxa media de 1,2 mmlano. A torre tern
55 m de altura. Em radianos par segundo, qual e a velocidade angular media do topo da torre em tome de sua base?
·19
·20 Urn disco de vinil funciona girando em tome de seu eixo, de
modo que urn sulco, aproximadamente
circular, desliza ob uma
agulha que fica na extremidade de urn brace rnecanico. Saliencias
no suleo passam pela agulha provocando oscilacoes na mesma. 0
equipamento converte essas oscilacoes em sinais eletricos que sac
amplificados e transformados em som. Suponha que urn disco de
vinil gire a 33t rev/min, que a posicao da agulha esteja em urn raio
de 10,0 em, e que as saliencias no sulco estejam uniformemente
separadas por 1,75 mm. Com que taxa (toques par segundo) as saliencias atingem a agulha?
·2'
Uma coda com urn diametro de 1,20 m esta girando com uma velocidade angular de 200 rev/min. (a) Qual e a velocidade angular da
roda em rad/s? (b) Qual e a velocidade linear de urn ponto na borda da
roda? (c) Que aceleracao angular constante (em revolucoes por minuto quadrado) aumentara a velocidade angular da roda para 1000 rev/
rnin em 60,0 s? (d) Quantas revolucoes a roda executa nestes 60,0 s?
·22 Urn astronauta esta sendo testado em uma centrffuga. A centrffuga tern urn raio de 10m e, ao partir, gira de acordo com
= 0,30t2,
on de testa em segundos e ()em radianos. Quando t = 5,0 s, quais sac
os m6dulos (a) da velocidade angular, (b) da velocidade linear, (c) da
aceleracao tangencial e (d) da aceleracao radial do astronauta?
e
·23 Quais sac os m6dulos (a) da velocidade angular, (b) da acelera<;:aoradial, e (c) da aceleracao tangencial de uma nave espacial que
faz uma curva circular de raio igual a 3220 Ian a uma velocidade de
29 000 krnlh?
°24 Se a helice de urn aviao gira a 2000 rev/min quando 0 aviao voa
com uma velocidade de 480 km/h em relacao ao solo, qual e 0 mo-
288
Capitulo Dez
dulo da velocidade linear de urn ponto na ponta da helice, em urn
raio de 1,5 m, em relacao (a) ao piloto e (b) a urn observador no solo?
Urn objeto gira em tomo de urn eixo fixo, e a posicao angular de
urna linha de referencia sobre 0 objeto e dada por
= 0,40e2t, onde
esta em radianos e testa em segundos. Considere urn ponto sobre
o objeto que esta a 4,0 cm do eixo de rotacao. Em t = 0, quais sao
os modules (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleracao do ponto?
"25
e
e
""26 Uma roda de urn giroscopio de raio 2,83 em e acelerada a partir
do repouso a 14,2 rad/s' ate que sua velocidade angular atinja 2760
rev/min. (a) Qual e a aceleracao tangencial de urn ponto na borda
da roda neste processo? (b) Qual e a aceleracao radial deste ponto
quando aroda esta girando na velocidade maxima? (c) Atraves de
que distancia urn ponto da borda se desloca durante este processo
de aceleracao angular?
""27 (a) Qual e a velocidade angular co em tomo do eixo polar de urn
ponto na superffcie da Terra na latitude 40° N? (A Terra gira em tome
deste eixo.) (b) Qual e a velocidade linear v deste ponto? Quais sao
(c) we (d) v para urn ponto no equador?
,
Na Fig. 10-30, uma rodaA de raio rA = 10 em esta acoplada por
uma correia B a uma roda C de raio rc = 25 cm. A velocidade angular da roda A e aumentada a partir do repouso a uma taxa constante
de 1,6 rad/s", Encontre 0 tempo necessario para aroda C atingiruma
veloeidade angular de 100 rev/min, supondo que a correia nao desliza. (Sugestiio: Se a correia nao desliza, as velocidades Iineares nas
duas bordas devem ser iguais.)
""28
"30 A roda de uma maquina a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 rev/min. Quando a maquina IS desligada, 0
atrito nos mancais e com 0 ar param a roda em 2,2 h. (a) Qual
a
aceleracao angular constante, em revolucoes por minuto quadrado,
da roda nesta desaceleracao? (b) Quantas revolucoes a roda executa
antes de parar? (c) No instante em que aroda esta girando a 75 rev/
min, qual e a componente tangencial da aceleracao linear de uma
particula da roda que esta a 50 ern de seu eixo de rotacao? (d) Qual
eo modulo da aceleracao resultante da partfcula em (c)?
e
""31 0 prato de urn toea-discos esta girando a 33t rev/min. Uma
semente de melancia esta sobre 0 prato a 6,0 cm do eixo de rotacao.
(a) Caleule a aceleracao da semente, supondo que ela nao escorrega. (b) Qual e 0 valor minimo do coeficiente de atrito estatico entre
a semente e 0 prato para que a semente nao escorregue? (c) Suponha que 0 prato atinge sua velocidade partindo do repouso com uma
aceleracao eonstante por 0,25 s. Calcule 0 menor coeficiente de atrito
estatico necessario para que a semente nao escorregue durante 0
perfodo de aceleracao.
Urn pulsar e uma estrela de neutrons em rapida rotacao em tomo
de seu eixo, a qual emite urn feixe de radio ao modo como urn fa.rol
ernite urn feixe de luz para orientar navios. Nos recebemos urn pulso de radio para cada rotacao da estrela. 0 perfodo T da rotacao e
encontrado rnedindo-se 0 intervalo de tempo entre os pulsos. 0 pulsar na nebulosa do Caranguejo tern urn periodo de rotacao de T =
0,033 s que esta crescendo a uma taxa de 1,26 X 10-5 s/ano. (a) Qual
e a aceleracao angular Il' do pulsar? (b) Se Il' e constante, daqui a
quantos anos 0 pulsar vai parar de girar? (c) 0 pulsar teve origem
em uma explosao de uma supernova observada em 1054. Supondo
que a aceleracao e constante, encontre 0 perfodo T inicial.
"""32
Se~ao
10-6
Energia Cinetica de Rota~ao
Calcule 0 momenta de inercia de uma roda que tern uma energia
cinetica de 24 400 J quando gira a 602 rev/min.
"33
Fig. 10-30 Problema
28.
""~9Urn antigo metodo para se medir a velocidade da luz fazia uso de
urna roda dentada em rotacao. Urn feixe de luz passa atraves de uma
janela entre dois dentes vizinhos na borda da roda, como na Fig. 1031, se propaga ate urn espelbo tlistante e retoma em direcao aroda
exatamente a tempo de passar atraves da janela seguinte na extremidade da roda. Uma dessas rodas tern urn raio de 5,0 em e 500 janelas
ao longo de sua borda. Medidas realizadas quando 0 espelbo esta a
uma distancia L = 500 m da roda indicam 0 valor 3,0 X lOS km/s
para a velocidade da luz. (a) Qual e a velocidade angular (constante)
da roda? (b) Qual e a velocidade linear de urn ponto em sua borda?
-34 A Fig. 10-32 fornece a velocidade angular em funcao do tempo
para uma haste fina que gira em tomo de uma de suas extremidades. (a) Qual e 0 modulo da aceleracao angular da haste? (b) Em t =
4,0 s, a haste tern uma energia cinetica de 1,60 J. Qual
a energia
cinetica da haste em t = a?
e
OJ (rad/s)
/
6
1/
4
/
2
o
tt
-2
/"
/"
t (5)
f----'
Fig. 10-32 Problema 34.
Se~ao
deIuz
Fonte
deIuz
Espelho
perpendicular
ao feixe de luz
Roda dentada
em rotacao
Fig. 10-31 Problema 29.
10-7
Calculo do Momento de lnercia
Dois eilindros uniforrnes, cada urn girando em tome de seu eixo
central (longitudinal), tern a mesma massa de 1,25 kg e giram com
a mesma veloeidade angular de 235 rad/s, mas eles tern raios diferentes. Qual e a energia cinetica de rotacao (a) do cilindro menor,
de raio 0,25 me (b) do cilindro maior, de raio 0,75 m?
-35
"36 A Fig. 10-33 mostra tres partfculas de 0,0100 kg que foram coladas em uma haste de comprimento L = 6,00 em e massa desprezivel. 0 eonjunto pode girar em torno de urn eixo perpendicular que
passa pelo ponto 0 na extremidade esquerda. Se rernoverrnos uma
das partfculas (ou seja, 33% da massa), de que pereentagem 0 mo-
Rotaoio
mento de inercia do conjunto diminui se a particula removida for
(a) a mais intema e (b) a mais extema?
r----L---
Eixo
289
0°41 0 bloeo solido e uniforme da Fig. 10-37 tern massa 0,172 kg e
lados a = 3,5 em, b = 8,4 em e c = 1,4 em. Caleule seu momento
de inercia em tomo de urn eixo que passa por urn canto e que e perpendicular as faces maiores.
o
Eixo de
rotacao
Fig. 10-33
~
c
Problemas 36 e 62.
T
°37 Calcule 0 momento de inercia de urn bastao de urn metro graduado em em, com massa de 0,56 kg, em tomo de urn eixo perpendicular ao bastao e localizado na marca de 20 em. (Trate 0 bastao como
uma haste fina.)
A Fig. 1O-34a mostra urn disco que pode girar em torno de urn
eixo perpendicular a sua face e a uma distancia radial h a partir do
centro do disco. A Fig. 1O-34h fomece 0 momento de inercia I do
disco em torno do eixo como funcao da distancia h, do centro a borda
do disco. Qual e a massa do disco?
Fig. 10-37
'38
0,15
Eixo
/
~
E
be
~
•.....
/
./
0,10
./
./
-
0,1
0,2
h(m)
Problema 38.
Fig. 10-34
0°42 Quatro partieulas identicas de massa 0,50 kg cada sac colocadas nos vertices de urn quadrado de 2,0 m X 2,0 m e mantidas nesta
configuracao por quatro hastes de mass as despreziveis, que formam
os lados do quadrado. Qual e 0 momento de inercia deste eorpo rigido em tome de urn eixo que (a) esta no plano do quadrado e passa
pelos pontos medics de dois lados opostos, (b) passa pelo ponto
medio de urn dos lados e e perpendicular ao plano do quadrado e (c)
esta no plano do quadrado e passa por duas partieulas diagonalmente
opostas?
As massas e eoordenadas de quatro particulas sac as seguintes:
50 g, x = 2,0 em, y = 2,0 em; 25 g, x = 0, y = 4,0 em; 25 g, x =
- 3,0 em, y = - 3,0 em; 30 g, x = - 2,0 ern, y = 4,0 em. Quais sao
os momentos de inercia deste conjunto em tome dos eixos (a) x,
(b) y e (c) z? (d) Suponha que as respostas em (a) e (b) sejam A e
B, respectivamente. Entao, qual e a resposta de (c) em termos deA
0°43
./
(b)
(a)
Problema 41.
";9 Na Fig. 10-35, duas particulas,
cada uma com massa m = 0,85
kg, estao ligadas uma a outra e a urn eixo de rotacao em 0, por duas
hastes finas, cada uma com comprimento d = 5,6 em e massa M =
1,2 kg. 0 eonjunto gira em tomo do eixo de rotacao com velocidade
angular w = 0,30 rad/s. Medidos em tome de 0, quais sao (a) 0
momento de inercia do eonjunto e (b) a sua energia cinetica?
eB?
0°44 Alguns caminhoes europeus utilizam energia armazenada em
um volante cuja velocidade maxima de 2007T rad/s e atingida com 0
auxflio de urn motor eletrico. Urn desses volantes e urn eilindro solido e uniforme com uma massa de 500 kg e urn raio de 1,0 m. (a)
Qual e a energia cinetica do volante em plena rotacao? (b) Se 0 carninhao usa uma potencia media de 8,0 kW, por quantos minutos
ele poderia operar entre duas eargas plenas do volante?
Selfao10-8 Torque
°45 Uma pequena bola de massa 0,75 kg esta presa em uma das extremidades de uma haste de 1,25 m de eomprimento e rnassa desprezivel. A outra extremidade da haste esta pendurada em urn pivo.
Quando 0 pendulo entao formado esta a 30° da vertical, qual e 0 modulo do torque em torno do pivo?
o
Fig. 10-35 Problema 39.
0°40 A Fig. 10-36 mostra urn arranjo de 15 discos identicos colados
em urn formato como 0 de urn bastao de comprirnento L = 1,0000
m e massa total M = 100,0 mg. 0 arranjo pode girar em tomo de
urn eixo perpendicular atraves de seu disco central no ponto O. (a)
Qual e 0 momenta de mercia do eonjunto em tome deste eixo? (b)
Se eonsiderarmos 0 arranjo como sendo aproximadamente uma haste
uniforme de massa M e comprimento L, que eITOpereentual estarfamos cometendo em usar a formula da Tabela 10-2e para ealcular 0
momenta de inercia?
0 comprimento do brace do pedal de uma bieicleta e 0,152 m e
uma forca de IIIN e aplicada no pedal pelo ciclista. Qual e 0 modulo do torque em tomo do pivo do brace do pedal quando 0 brace
forma urn angulo de (a) 30°, (b) 90° e (c) 180° com a vertical?
°46
°470 eorpo na Fig. 10-38 pode girar em torno de urn eixo perpendicular a pagina passando por 0 e duas forcas atuam sobre ele, como
mostrado. Se rl = 1,30 m, r2 = 2,15 m, FI = 4,20 N, F2 = 4,90 N,
81 = 75,0° e 82 = 60,0°, qual e 0 torque resultante em torno do pivo
emO?
1-' ------L--------I·I
o
Fig. 10-36
Problema 40.
Fig. 10-38 Problema 47.
290
Capitulo Dez
-48 0 corpo na Fig. 10-39 tern urn pivo em O. Tres forcas atuam sobre
ele: FA = 10 N no ponto A, a 8,0 m de 0; Fa = 16 N em B, a 4,0 m
de 0; e Fe = 19 N em C, a 3,0 m de O. Qual e 0 torque resultante
em torno de O?
lindro. (Durante a rotacao, as forcas man tern seus iingulos em rela~ao ao cilindro.)
Fig. 10-39 Problema 48.
Se~ao 10-9 A Segunda Lei de Newton para a Rota~ao
No salto a partir de urn trampolim, a velocidade angular em torno do centro de massa de uma mergulhadora varia de zero a 6,20
rad/s em 220 ms. Seu momento de inercia em torno do centro de
massa e 12,0 kg m'. No salto, quais sao os modules (a) da acelera9ao angular media da mergulhadora e (b) do torque externo rnedio
do trampolirn sobre a mergulhadora?
Fig. 10-42 Problema 53.
-49
-50 Se urn torque de 32,0 N . m sobre uma roda provoca uma aceleracao angular de 25,0 rad/s-, qual e 0 momenta de inercia da
roda?
"54 A Fig. 10-43 mostra as partfculas 1 e 2, cada uma com massa
In, presas nas extremidades de uma haste rfgida de mass a desprezi-
vel e comprirnento L, + ~, com L, = 20 cm e L; = 80 ern. A haste
e mantida horizontalmente
no suporte e entao liberada. Quais sao
os m6dulos das aceleracoes iniciais (a) da partfcula 1 e (b) da partfcula 2?
--51 A Fig. 10-40 mostra urn disco uniforme
que pode girar em torno de seu centro como urn carrossel. 0 disco tern urn raio de 2,00
em e uma massa de 20,0 gramas e esta
inicialmente em repouso. Partindo no instante t = 0, duas forcas devem ser aplicadas tangencialmente
na borda do disco
como indicado, de modo que, no instante
t = 1,25 s 0 disco tenha uma velocidade
angular de 25Q.rad/s no sentido anti-hoFig. 10-40 Problema 51.
rario. A forca F; tern urn Ip6dulo de 0,100
N. Qual e 0 modulo de F;?
"52 Em urn golpe de rasteira no judo, voce tira 0 apoio do pe esquerdo de seu oponente ao mesmo tempo em que puxa seu quimono
para este lado sem apoio. Como resultado, seu oponente gira em
torno do .pe direito em direcao ao tatame. A Fig. 10-41 mostra urn
diagrama simplificado de seu oponente quando voce esta de frente para
ele, com seu pe esquerdo ja arrastado. 0 eixo de rotacao passa p~lo ponto O. A forca gravitacional ~ sobre
o oponente atua efetivamente em seu
centro de massa, 0 qual esta a uma
distancia horizontal d .= 28 cm do
Ii
ponto O. Sua massa e de 70 kg e seu
momento de inercia em torno do
ponto 0 e 65 kg . m-, Qual e 0 modulo de sua aceleracao angular inicial
em torno de 0 se 0 puxao Fa sobre
o seu quimono for (a) desprezfvel e
(b) horizontal com urn m6dulo de
300 N e aplicado a uma altura h =
Fig. 10-41 Problema 52.
1,4 m?
"53 Na Fig. 10-42, urn cilindro com uma massa de 2,0 kg pode girar em tomo de seu eixo central atraves do ponto O. As forcas mostradas tern os seguinte m6dulos: F, = 6,0 N, F2 = 4,0 N, F3 = 2,0 N
e F4 = 5,0 N. As distancias radiais sac r = 5,0 em e R = 12 em.
Encontre (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido da aceleracao angular do ci-
Fig. 10-43 Problema 54.
"55 Na Fig. 10-44, urn bloco tern massa M = 500 g, 0 outro tern
massa m = 460 g, e a polia, que e montada em urn eixo horizontal
sem atrito, tern urn raio de 5,00 ern. Quando 0 sistema e abandonado a partir do repouso, 0 bloco de massa maior cai 75,0 ern em 5,00
s (sem que a corda deslize na borda da polia). (a) Qual e 0 m6dulo
da aceleracao dos blocos? Qual e a tensao na corda no trecho que
suporta (b) 0 bloco de massa maior e (c) 0 bloco de massa men or?
(d) Qual e 0 modulo da aceleracao angular da polia? (e) Qual e seu
memento de inercia?
!
Fig. 10-44 Problema 55.
0056
a Fig. 1O-45a, uma placa de plastico de forma irregular com
espessura e densidade (massa por unidade de volume) uniformes
deve girar em torno de urn eixo perpendicular
face da placa atrayes do ponto O. 0 momento de mercia da placa em torno deste eixo
e medido com 0 seguinte metodo: Urn disco circular de massa 0,500
kg e raio 2,00 em e colado na placa, com seu centro alinhado com 0
(Fig. 1O-45b). Urn cordao e enrolado em tomo da borda do disco da
mesma forma que urn cordao e enrolado em urn piao. 0 cordao e
entao puxado por 5,00 s. Como resultado, 0 disco e a placa sao girados por uma forca constante de 0,400 N, aplicada pelo cordao
a
Rotar;ao
tangencialmente na borda 0 disco. A velocidade angular resultante
(ao final dos 5,00 s) e 114 rad/s. Qual e 0 momento de inercia da
placa em torno do eixo?
.
rx
Placa
Eixo~
291
tal que e paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro e esta a
5,0 em deste. (a) Qual e 0 momenta de inercia do cilindro em torno
do eixo de rotacao? (b) Se 0 cilindro e abandonado a partir do repouso com seu eixo longitudinal na mesma altura que 0 eixo em torno
do qual ele pode girar, qual e a velocidade angular do cilindro quando
ele passa pela posicao rnais baixa?
A Fig. 10-46 mostra urn corpo rigido formado por urn aro fino
(de rnassa m e raio R = 0,150 m) e uma haste fina radial (de massa
m e comprimento L = 2,00R). 0 conjunto esta na vertical, mas se
dermos urn pequeno empurrao ele ira girar em torno de urn eixo
horizontal no plano do aro e da haste que passa pela extremidade
mais baixa da haste. Supondo que a energia fornecida ao sistema
pelo pequeno empurrao e desprezfvel, qual e a velocidade angular
do conjunto quando ele passa pela posicao invertida (de cabeca para
baixo)?
··65
(a)
DiScoM_
~
(b)
Fig. 10-45
Problema 56.
Aro
Urna polia com urn momenta de inercia de 1,0 X 10-3 kg m2
em torno de seu eixo e urn raio de 10 em e submetida a uma forca
aplicada tangencialmente em sua borda. 0 m6dulo da forca varia
no tempo de acordo com F = 0,50t + 0,30t2, com F em newtons e
tern segundos. A polia esta inicialmente em repouso. Em t = 3,0 s,
quais sao (a) sua aceleracao angular e (b) sua velocidade angular?
·"57
Haste
Eixode
- - - - rota~o
Fig. 10-46
Problema 65.
Se~ao 10-10 Trabalho e Energia Cinetica de Rota~ao
0 virabrequim de urn autom6vel transfere energia do motor para
o eixo a uma taxa de 100 hp (= 74,6 kW) quando girando a 1800
rev/min. Que torque (em newton-metros)
e exercido pelo
virabrequim?
'58
·59 (a) Se R = 12 cm, M = 400 gem = 50 g na Fig. 10-18, encontre
a velocidade do bloco apes ele ter descido 50 em a partir do repouso. Resolva 0 problema a partir da conservacao da energia. (b) Repita (a) com R = 5,0 ern.
Uma roda de 32,0 kg, essencialmente urn aro fino com raio 1,20
m, esta girando a 280 rev/min. Ela precisa ser parada em 15,0 s. (a)
Que trabalho deve ser realizado para para-la? (b) Qual e a potencia
media necessaria?
'60
Uma haste fina de comprimento 0,75 m e massa 0,42 kg esta
suspensa livremente por uma de suas extremidades. Ela e puxada
para urn dos lados e a seguir liberada para oscilar como urn pendu10, passando por sua posicao mais baixa com velocidade angular de
4,0 rad/s. Desprezando 0 atrito e a resistencia do ar, encontre (a) a
energia cinetica da haste na sua posicao mais baixa e (b) a altura
maxima acima desta posicao que 0 centro de massa alcanca.
·61
Uma alta charnine cilindrica cai quando sua base sofre uma
ruptura. Trate a chamine como uma haste fina de cornprimento igual
a 55,0 m. No instante em que ela faz urn angulo de 35,0° com a vertical na sua queda, quais sao (a) sua velocidade angular, (b) a aceleracao radial do topo e (c) a aceleracao tangencial do topo? (Sugestiio: Use consideracoes de energia, nao de torque.) (d) Em que angulo e a aceleracao tangencial e igual a g?
'''66
··'~7
Uma casca esferica uniforme de massa M = 4,5 kg e raio R =
8,5 ern pode girar em torno de urn eixo vertical sem atrito (Fig. 1047). Uma corda de massa desprezf vel passa em torno do equador da
casca, por uma polia de momenta de inercia I = 3,0 X 10-3 kg . m2
e raio r = 5,0 ern, e esta presa a urn pequeno objeto de massa m =
0,60 kg. Nao ha atrito no eixo da polia e a corda nao escorrega em
sua borda. Qual e a velocidade do objeto quando ele cai 82 cm ap6s
ser abandon ado a partir do repouso? Use consideracoes de energia.
Na Fig. 10-33, tres particulas de 0,0100 kg foram coladas em
uma haste de eomprimento L = 6,00 em e massa desprezfvel, e
podem girar em tome de urn eixo perpendicular que passa pelo ponto
o em uma extrernidade. Que trabalho e necessario para mudar a
velocidade angular (a) de 0 para 20,0 rad/s, (b) de 20,0 rad/s para
40,0 rad/s, e (c) de 40,0 rad/s para 60,0 rad/s? (d) Qual e a inclinar;aoem uma curva da energia cinetica do conjunto (em joules) como
funcao do quadrado da velocidade angular (em radianos quadrados
por segundo quadrado)?
··62
Urn bastao de um metro graduado em cm e mantido verticalmente com uma das extremidades no solo e entao deixado eaiL
Encontre a velocidade da outra ext:remidade imediatamente antes de
ela tocar 0 solo, supondo que a extremidade de apoio nao escorrega. (Sugestiio: Considere 0 bastao como uma haste fina e use 0 principio de conservacao da energia.)
"63
··64 Urn cilindro uniforme de raio 10 em e massa 20 kg esta montado de modo a poder girar livremente em torno de urn eixo horizon-
Fig- 10-47
Problema 67.
Problemas Adicionais
aceleracao angular de uma roda eO' = 6,or - 4,Of, com 0' em
radianos por segundo quadrado e [em segundos. No instante t = 0,
a roda tern uma velocidade angular de +2,0 rad/s e uma posicao angular de + 1,0 rad. Escreva expressoes para (a) a velocidade angular
(rad/s) e (b) a posicao angular (rad) como funcoes do tempo (s),
68 A
Na Fig. 10-48, dois blocos de 6,20 kg estao conectados por uma
corda de massa desprezivel que passa por uma polia de raio 2,40 em
69
292
Capitulo Dez
e momenta de inercia 7,40 X 10-4 kg· m2. A corda nao escorrega
na polia; nao se sabe se existe atrito entre a mesa e 0 bloco que escorrega; nao ba atrito no eixo da polia. Quando este sistema e abandonado a partir do repouso, a polia gira de 1,30 rad em 91,0 ms e a
aceleracao dos blocos e con stante. Quais sac (a) 0 m6dulo da aceleracao angular da polia, (b) 0 modulo da aceleracao dos blocos, (c) a
tensao TI na corda e (d) a tensao T2 na corda?
Fig. 10-48 Problema 69.
70 George Washington
Gale Ferris, Jr.,um engenheiro civil graduado pelo Instituto Politecnico Rensselaer, construiu a roda-gigante
original para a Exposicao Mundial de Columbia de 1893 em Chicago. Aroda, uma impres ionante construcao da engenharia da epoca, carregava 36 carros de madeira, cada urn com ate 60 passageiros, em torno de urn circulo de 76 m em diametro. Seis carros eram
carregados por vez, e, uma vez que os 36 carros estivessem cheios,
aroda executava uma rotacao completa com velocidade angular aproximadamente constante em 2 min. Estime a quantidade de trabalho
que era requerida da maquina para girar apenas os passageiros.
disco de raio r = 2,00 cm foi colado
na borda de urn disco maior de raio R = 4,00 ern, de modo que os
discos estao no mesmo plano. Os discos podem girar em torno de
um eixo perpendicular atraves do ponto 0 no centro do disco maior. Os discos tern a mesma densidade (massa por unidade de volume) uniforme de 1,40 X 103 kg/m? e espessura, tambern uniforme,
de 5,00 mm. QuaI e 0 momento de inercia do conjunto dos dois discos em tome do eixo de rotacao atraves de O?
71 Na Fig. 10-49, urn pequeno
Anel
1
2
Massa (kg)
Raio Interno (m)
Raio Externo (m)
0,120
0,240
0,0160
0,0900
0,0450
0,1400
73 As 7: 14 h da manha de 30 de junho de 1908, uma enorrne explosao
ocorreu na atmosfera sobre 0 centro remoto da Siberia, na latitude 61 °
Norte e longitude 102° Leste; a bola de fogo desta explosao teve 0
brilho mais intenso ja observado por qualquer pessoa antes das armas
nucleares. 0 chamado Evento de Tunguska, que de acordo com uma
testemunba casual "cobriu uma enorme parte do ceu," foi provavelmente a explosao de urn asteroide roehoso com aproximadamente 140
m de largura. (a) Considerando apenas a rotacao da Terra, determine
o quae mais tarde 0 asteroide deveria ter chegado para explodir acima de Helsinki na longitude 25° Leste. Isto teria extinguido a cidade.
(b) Se 0 aster6ide tivesse sido urn asteroide metdlico, ele poderia ter
atingido a superficie da Terra. 0 quae mais tarde 0 aster6ide deveria
ter chegado para que 0 irnpacto tivesse ocorrido no Oceano Atlantico
na longitude 20° Oeste? (Os tsunamis entao provocados teriarn varrido civilizacoes costeiras nos dois lados do Atlantico.)
74 Engenharia da bebida. Uma tampa com lingueta de puxar foi urn
grande avanco na engenharia de recipientes de bebidas. A lingiieta
gira em torno de urn pino central na tampa da lata. Quando voce puxa
para cima em urn dos lados da lingiieta, 0 outro lado pressiona para
baixo uma porcao da tampa que foi riscada. Se voce puxar para cima
com uma forca de 10 N, qual e aproximadamente
0 modulo da forca aplicada na porcao riscada da tampa? (Voce vai precisar examinar uma lata com uma tampa com lingiieta de puxar.)
Ha relatos de guepardos correndo na velocidade impressionante de
114 km/h (cerca de 71 miIh) por observadores dirigindo lado a lado
com esses gatos selvagens. Imagine 0 que e tentar medir a velocidade
de urn guepardo mantendo seu veiculo emparelhado com 0 animal e
observando 0 velocfrnetro registrar 114 km/h. Voce mantem 0 vefcu10 a uma distancia constante de 8,0 m do guepardo, mas 0 barulho do
motor faz com que 0 guepardo afaste-se de voce continuamente ao
longo de uma trajetoria circular de 92 m de raio. Assim, voce dirige
ao longo de urna trajet6ria de 100 m de raio. (a) Qual sua velocidade angulareado guepardo ao longo das trajetorias circulares? (b) Qual
a velocidade linear do guepardo ao longo de sua trajet6ria? (Se voce
nao levasse em consideracao 0 movimento circular, concluiria erradamente que a velocidade do guepardo era de 114 km/h. Aparentemente este tipo de erro foi cometido nos relatos publicados.)
7S
e
e
Discos de corrida. A Fig. 10-51 mostra dois discos que podem
girar em torno de seus centros como carrosseis. No instante t 0, as
linhas de referencia dos dois discos tern a mesma orientacao. 0 disco A ja esta em rotacao com uma velocidade angular constante de
9,5 rad/s. 0 disco B parte do repouso com uma aceleracao angular
constante de 2,2 rad/s', (a) Em que instante t as duas linhas de referencia terao momentaneamente
0 mesmo deslocamento
angular ()?
(b) Sera este instante t a primeira vez desde t = 0 em que as duas
linhas de referencia estao aIinhadas?
76
=
Fig. 10-49 Problema 71.
A Fig. 10-50 mostra uma construcao plana de do is aneis circulares que tern urn centro comum e sac mantidos fixos por tres hastes
de massas despreziveis, A construcao, que esta inicialmente em repouso, pode girar em torno do centro comum (como urn carrossel)
onde se encontra outra haste de massa desprezfvel. As massas, raios internos e raios extern os dos aneis sac dados na tabela seguinte.
Uma forca tangenciaI de m6dulo 12,0 N aplicada na borda externa do anel extemo por 0,300 s. QuaI e a variacao na velocidade angular da construcao neste intervaIo de tempo?
72
e
Disco A
Disco B
Fig. 10-51 Problema 76.
0 objeto rigido mostrado na Fig. 10-52 cornpoe-se de tres bolas
e tres hastes de conexao, com M = 1,6 kg, L = 0,60 m e () = 30°. As
77
Fig. 10-50 Problema 72.
Rotacao
bolas podem ser tratadas como partfculas e as hastes tern massas
despreziveis. Determine a energia cinetica de rotacao do objeto se a
sua velocidade angular e de 1,2 rad/s em tome (a) de urn eixo que
passa pelo ponto Pee perpendicular ao plano da figura e (b) de urn
eixo gue passa pelo ponto P, e perpendicular a haste de comprimento 2L e esta no plano da figura,
2M
p
2L
293
A polia B' (raio igual a 5 ern) e concentrica a polia B e esta rigidamente ligada a ela. A polia C (raio igual a 25 ern) esta conectada a
polia B' pela correia 2. Calcule (a) a velocidade linear de urn ponto
na correia 1, (b) a velocidade angular da polia B, (c) a velocidade
angular da polia B', (d) a velocidade linear de urn ponto na correia
2 e (e) a velocidade angular da polia C. (Sugestiio: Se a correia entre duas polias nao desliza, as velocidades lineares nas bordas das
duas polias devem ser iguais.)
M
2M
Fig. 10-52 Problema 77.
78 Na Fig. 10-53, dois blocos, de massas ml = 400 g e ~
= 600 g,
estao conectados por uma corda de massa desprezfvel que passa pela
borda de urn disco uniforme de massa M = 500 g e raio R = 12,0
em. 0 disco pode girar sem atrito em tomo de urn eixo horizontal
gue passa pelo seu centro; a corda nao desliza na borda do disco. 0
sistema e abandonado a partir do repouso. Encontre (a) 0 modulo
da aceleracao dos blocos, (b) a tensao TI na corda a esquerda e (c) a
tensao T2 na corda a direita.
Fig. 10-54 Problema 8l.
82 Uma bola de golfe e lancada em urn angulo de 20° em relacao a
horizontal, com uma velocidade de 60 m/s e uma taxa de rotacao de
90 rad/s. Desprezando a resistencia do ar, determine 0 mimero de
revolucoes que a bola executa ate 0 instante em que ela atinge a altura maxima.
Uma roda de 0,20 m de raio esta montada sobre urn eixo horizontal sem atrito. 0 momento de inercia da roda em torno do eixo e de
0,050 kg . m2. Uma corda de massa desprezfvel esta enrolada em
torno da roda e presa a urn bloco de 2,0 kg que escorrega sobre uma
superffcie horizontal sem atrito. Se uma forca horizontal de modulo
P = 3,0 N e aplicada ao bloco como mostrado na Fig. 10-55, qual e
o modulo da aceleracao angular da roda? Suponha que a corda nao
desliza na borda da roda.
83
Fig. 10-53 Problema 78.
Em cada uma das extrernidades de uma fina haste de aco de 1,20
m de comprimento e 6,40 kg de massa ha uma pequena bola de massa
igual a 1,06 kg. A haste esta limitada a girar em urn plano horizontal em torno de urn eixo vertical atraves de seu ponto medic. Em urn
certo instante, ela esta girando a 39,0 rev/s. Devido ao atrito, ela
desacelera ate parar em 32,0 s. Supondo que 0 torque devido ao atrito
e constante, calcule (a) a aceleracao angular, (b) 0 torgue retardador
(c) a energia total transferida de sua forma mecanica para a termica
por causa do atrito e (d) 0 mirnero de revolucoes executadas nos 32,0
s. (e) Suponba agora que 0 torque retardador nao e constante. Se
alguma das quantidades calculadas em (a), (b), (c) e (d) ainda puder
ser calculada sem qualquer inforrnacao aclicional,forneca 0 seu valor.
79
Uma lamina do rotor de urn helicoptero tern 7,80 m de comprimento, uma massa de 110 kg, e esta pres a ao eixo do rotor por urn
unico parafuso. (a) Qual e 0 modulo da forca do eixo sobre 0 parafuso quando 0 rotor esta girando a 320 rev/min? (Sugestiio: Para este
calculo, a lamina pode ser considerada como uma massa puntiforme
em seu centro de massa. Por que?)(b) Calcule 0 torque que deve ser
aplicado ao rotor para que ele saia do repouso e atinja esta velocidade em 6,70 s. Ignore a resistencia do ar. (A lamina nao pode ser
considerada como uma massa puntiforme para este calculo. Por que
nao? Suponhaque a distribuicao de massa e ade uma haste fina uniforme.) (c) Que trabalho 0 torque realiza sobre a lamina para que a
mesma atinja a velocidade de 320 rev/min?
80
Na Fig. 10-54, quatro polias estao conectadas por duas correias.
A polia A (raio igual a 15 cm) e a polia motriz e gira a 10 rad/s. A
polia B (raio igual a 10 em) esta conectada a polia A pela correia 1.
81
Fig. 10-55 Problema 83.
84 Urn corpo rigido e composto por tres hastes [mas, cada uma com
comprimento L = 0,600 m, unidas na forma da letra H (Fig. 10-56).
o corpo pode girar livremente em tomo de urn eixo horizontal que
passa ao longo de urna das pernas do H. 0 corpo e abandonado a
partir do repouso em uma posicao na qual 0 plano do H esta na horizontal. Qual e a velocidade angular do corpo quando 0 plano do H
passa pela posicao vertical?
Fig. 70-56 Problema 84.
85 (a) Mostre que 0 momenta de inercia de urn cilindro solido de massa
Me raio Rem tome de seu eixo central e igual ao momento de inercia
de urn aro fino de massa M e raio R l...fi em torno de seu eixo central. (b) Mostre que 0 momenta de inercia I de urn corpo qualquer
de massa M em torno de qualquer eixo e igual ao momenta de iner-
294
Capitulo Dez
cia de urn aro equivalente em tomo deste eixo, se
ma massa Meum raio k dado por
0
aro tiver a mes-
k=£
o raio
kdo aro equivalente
uma de suas extrernidades. Ela e abandonada a partir do repouso em
uma posicao angular () = 40° acima da horizontal. Use 0 princfpio
da conservacao da energia para deterrninar a velocidade angular da
haste quando ela passa pela posicao horizontal.
e chamado de raio de giraciio do corpo.
Voce foi contratado como testemunha especialista em fisica e engenharia em urn caso de dano pessoal contra 0 fabricante de urn certo
tipo de mesa de piquenique. Cada unidade consiste em urna mesa e
dois bane os cujos pes cruzados em cada extrernidade estao ligados
a uma haste s6lida que corre ao longo do chao (Fig. 10-57). 0 danG
teria ocorrido em urn piquenique de aposentados quando a primeira
pessoa sentou-se em uma dessas mesas. Este homem reclama que
espremeu suas pemas e abdomen no espaco entre a mesa e urn dos
bancos ao mesmo tempo em que se debrucou sobre a mesa. Entao,
quando ele sentou-se sobre 0 banco, 0 conjunto girou em tomo de
urn ponto sob ele, derrubando-o para tras sobre 0 chao, onde bateu
sua cabeca,
As dimens6es sao d, = 60 em, dz = 13 em, ~ = 5,0 em e d4 =
18 em; a massa do conjunto e 90 kg. A massa do homem naquele
dia era de 130 kg e, quando sentado, seu centro de massa estava a dj
= 20 em acirna da margem extema do banco. Suponha que a forca
gravitacional atuava no centro de massa do homem. (a) A rotacao
mencionada era fisicamente possivel? (b) Aproximadamente,
que
massa minima e necessaria para causar tal rotacao?
86
Fig. 10-59 Problema 89.
Quatro particulas, cada uma de massa 0,20 kg, estao colocadas
nos vertices de urn quadrado de 0,50 m de lado. As particulas estao
conectadas por hastes de massas desprezfveis. Este corpo rfgido pode
girar em urn plano vertical em tomo de urn eixo horizontal A que
passa por uma das particulas. 0 corpo e abandon ado a partir do repouso com a haste AB na horizontal, como mostrado na Fig. 10-60.
(a) Qual e 0 memento de inercia do corpo em tomo do eixo A? (b)
Qual e a velocidade angular do corpo em torno do eixo A no instante em que a haste AB passa pela posicao vertical?
90
Eixo de
rotacao
A
B
Fig. 10-60 Problema 90.
Fig. 10-57 Problema 86.
Duas esferas s6lidas uniforrnes tern a mesma massa de 1,65 kg,
mas uma tern urn raio de 0,226 mea outra tern urn raio de 0,854 m.
Cada uma pode girar em tomo de urn eixo atraves de seu centro. (a)
Qual e 0 modulo T do torque necessario para trazer a esfera menor
do repouso ate uma velocidade angular de 317 radls em 15,5 s? (b)
Qual e 0 modulo F da forca que deve ser aplicada tangencialmente
no equador da esfera para produzir este torque? Quais sao os valores correspondentes
a (c) T e (d) F para a esfera maior?
87
Na Fig. 10-58, uma roda de 0,20 m de raio e montada sobre urn
eixo horizontal sem atrito. Uma corda de massa desprezivel esta
enrolada em tomo da roda e presa a uma caixa de 2,0 kg que escorrega sobre a superffcie sem atrito de urn plano inclinado de () = 20°
em relacao
horizontal. A caixa escorrega para baixo a 2,0 m/s",
Qual e 0 momenta de inercia da roda em tomo do eixo?
88
91 0 virabrequim
de urn motor esta girando a 25,0 rad/s. Quando 0
motor e desligado, 0 virabrequim desacelera a uma taxa constante e
para em 20,0 s. Calcule (a) a aceleracao angular do virabrequim, (b)
o angulo atraves do qual 0 virabrequirn girou ao parar e (c) 0 mimero de revolucoes realizadas pelo virabrequirn ate parar.
A Fig. 10-61 mostra uma lamina de uma helice que gira a 2000
rev/mi.n em tomo de urn eixo perpendicular que passa pelo ponto B.
ponto A esta na ponta mais extema da lamina, a uma distancia
radial de 1,50 m. (a) Qual 6 a diferenca entre os m6dulos da aceler••c;:aocentrfpeta a do ponto A e de urn ponto na distancia radial de
0,150 m? (b) Encontre a inclinacao do grafico de a em funcao da
distancia radial ao longo da lamina.
92
o
a
Fig. 10-61 Problema 92.
93 Uma pequena
Fig. 10-58 Problema 88.
A haste fina e uniforme na Fig. 10-59 tern urn comprimento de
2,0 m e pode girar, sem atrito, em tomo de urn pino horizontal em
89
bola de 1,30 kg de massa esta montada em uma
das extremidades de uma haste de 0,780 m de comprimento e massa desprezivel. 0 sistema gira em urn circulo horizontal em tomo
da outra extremidade da haste a 5010 rev/min. (a) Calcule 0 momento
de inercia do sistema em tomo do eixo de rotacao. (b) Existe uma
forca de arra to de 2,30 X 10-2 N sobre a bola, no sentido oposto ao
de seu movimento. Que torque deve ser aplicado ao sistema para
mante-lo em rotacao com velocidade constante?
Rotacao
Urn clispositivo ern forma de ioi6 montado obre U)IJ eixo horizontal sem atrito
usado para levantar uma caixa de 30 kg como
mostrado na Fig. 10-62. 0 raio externo R do dispositivo
0,50 m, e
oraio r do cilindro central
0,20 m. Quando uma forca horizontal
F"p constante de m6dulo igual a 140
e aplicada a uma corda enrolada na borda do cilindro maior, a caixa, que esta pendurada por uma
corda enrolada no cilindro central, tern uma aceleracao para cima
de modulo igual a 0,80 m/s2. Qual e 0 momenta de inercia do dispositivo em torno de seu eixo de rotacao?
94
e
295
mento de inercia do corpo ern tomo do eixo (a) x, (b) y e (c) z? (d)
Quais sao as coordenadas do CM do corpo?
e
e
2
Objeto
Massa (g)
500
15
20
x (em)
y (ern)
400
-13
13
3
4
300
600
-4,0
-7,0
17
-6,0
101 Na Fig. 10-64, uma roda de raio
0,20 m esta montada sobre urn eixo
horizontal sem atrito. 0 momento de
inercia da roda em torno do eixo
0,40 kg . m-. Uma corda de massa
desprezfvel enrolada em torno da circunferencia da roda esta presa a uma
caixa de 6,0 kg. 0 sistema
abandonado a partir do repouso. Quando a
caixa tern uma energia cinetica de 6,0
J, quais sao (a) a energia cinetica de
rotacao da roda e (b) a distancia que
a caixa caiu?
5
450
-5,0
9,0
e
e
Dispositivo
Corda
com fonnato
de io i6 ,.,---,1\-,-....,...,
Fig. 10-62 Problema 94.
0 prato de urn toea-discos tern uma velocidade angular de 8,0 radl
s quando
desligado. Tres segundos depois, 0 prate tern uma velocidade angular de 2,6 rad/s. De quantos radianos 0 prato gira desde 0 instante em que e desligado ate 0 instante em que para? (Suponha que a e constante.)
96
Fig. 10-64 Problema 101.
102 Na Fig. 10-65, uma haste unifonne de 2,0 kg e 3,0 m de comprimento pode girar livremente ern tome de urn eixo horizontal perpendicular
haste a uma distancia d = 1,0 m de uma de suas extremidades. A haste abandonada a partir do repouso na posicao horizontal. (a) Qual e sua velocidade angular maxima? (b) Se sua mass a
fosse aumentada, a resposta para (a) seria maior, menor ou a mesma?
a
Partindo do repouso em t = 0, uma roda gira com aceleracao
angular constante. Quando t = 2,0 s, a velocidade angular da roda e
5,0 radls. A aceleracao continua ate t = 20 s, quando ela cessa abruptamente. De que angulo gira a roda no intervalo de t = 0 a t = 40 s?
95
~
e
e
tern uma velocidade angular de 3,5 radl
s quando
desligado em t = 0.0 prate para em t = 1,6 s. 0 raio do
prato 6 15 cm. (a) Se a aceleracao angular
constante, atraves de
quantos radianos 0 prato gira apes t = O? (b) Qual e 0 modulo da
aceleracao linear de urn ponto na borda do prato em t = 1,0 s? (Sugestao: A aceleracao linear tern as componentes raclial e tangencial.)
Eixo de rotacao
Fig. 10-65 Problema 102.
970 prato de urn toea-discos
e
e
I
98 Duas hastes finas (cada uma de
massa 0,20 kg) estao unidas para formar urn corpo rigido como mostrado
na Fig. 10-63. Uma das hastes tern
comprimento LI = 0,40 mea outra
tern comprirnento t.; = 0,50 m. Qual
e a momenta de inercia deste corpo
rfgido em torno de (a) urn eixo que e
perpendicular
ao plano
passa atraves do centro
nor e (b) urn eixo que
lar ao plano da pagina
centro da haste maior?
e
da pagina e
da haste meperpendicue passa pelo
L2
=;;;;;:;=;;:.;;;;;;;;=;;;;
r-"2
-+-- "2L\----,
L1
1
0 corpo rigido mostrado na Fig.
10-66 compoe-se de tres partfculas
con ectad as por hastes de massas
desprezfveis. Ele deve girar ern torno de um eixo perpenclieular ao seu
plano pelo ponto P. Se M = 0,40
kg, a = 30 em e b = 50 em, que
trabalho
necessario para levar 0
corpo do repouso ate a velocidade
angular de 5,0 rad/s?
104
1
u.; 1
e
103 Uma particula de 35 g de massa
posicionada a 3,5' ern de distancia do centro do prato de urn toea-discos. 0 eoeficiente de atrito
estarico e 0,40. A velocidade angular do prato e vagarosamente aumentada para urn valor wo, no qual a partfcula comeca a escorregar.
(a) Encontre woo (b) Esboce a trajeM
toria entao descrita pela particula.
----.l
Fig. 10-63 Problema 98.
Tees partfculas de 0,50 kg formam urn triangulo equilatero de 0,60
m de lado. As particulas estao conectadas por hastes de massas desprezfveis. Qual eo momento de inercia deste corpo rigido em tomo
de (a) um eixo que passa por uma das partfculas e e paralelo
haste
que coneeta as outras duas, (b) urn eixo que passa pelo ponto medic
de urn dos lados ee perpendicular ao plano do triangulo e (c) urn
eixo que paralelo a urn dos lados do triangulo e passa pelos pontos
medics dos outros dois lados?
99
a
e
100 Cinco objetos corpusculares,
posicion ados no plano xy de acordo corn a tabela seguinte, formam urn corpo rigido. Qual e 0 mo-
e
aa
2M
P
2M
Fig. 10-66 Problema 104.
105 Urn disco gira com aceleracao angular eonstante, da posicao angular BI = 10,0 rad ate a posicao angular Bz = 70,0 rad em 6,00 s.
Sua velocidade angular em ()2 e 15,0 rad/s. (a) Qual era a sua velocidade angular em ()I? (b) Qual e a aceleracao angular? (c) Em que
posicao angular estava 0 disco inicialmente em repouso? (d) Faca
os graficos de () e da velocidade angular w do disco como funcoes
do tempo t, a partir do inicio do movimento em t = O.
Nosso Sol esta a 2,3 X 104 anos-luz do centro da Via Lactea movendo-se em urn circulo em tomo deste centro a uma velocidade de
250 km/s. (a) Quanto tempo leva para 0 Sol executar uma revolu<;ao em tomo do centro da galaxia? (b) Quantas revolucoes 0 Sol
completou desde que foi formado cerca de 4,5 X 109 anos arras?
106
296
Capitulo Dez
1070 prato de urn toea-discos girando a 33+ rev/min diminui a velocidade e para em 30 s ap6s 0 motor ser desligado. (a) Encontre sua
aceleracao angular (constante) em revolucoes por minuto ao quadrado. (b) Quantas revolucoes ele executou neste intervale de tempo?
113 Urn ciclista de 70 kg ap6ia toda sua rnassa em cada movimento
do pedal para baixo quando ele pedala em urna estrada fortemente
inclinada. Suponha que 0 diametro do circulo descrito pelo pedal e
de 0,40 m e determine 0 modulo do torque maximo que ele exerce.
108 Uma casca esferica fina tern urn raio de 1,90 m. Urn torque de
960 Nrn fornece 11 casca uma aceleracao de 6,20 rad/s? em tome de
urn eixo que passa pelo seu centro. Quais sac (a) 0 momenta de inercia da casca em torno deste eixo e (b) a massa da casca?
114 Uma roda inicialmente em repouso come~a a girar corn acelerayao angular constante. Durante urn certo intervale tJ.T = 15 s, aroda
executa 90 rev e atinge uma velocidade angular de 10 rev/so(a) Qual
era a sua velocidade angular no inicio de tJ.T? (b) Quanto tempo se
passou entre 0 infcio da rotacao e 0 infcio de tJ.T?
109 Uma roda gira com aceleracao angular ll' = 4at3 + 3bt2, onde t e
o tempo e a e b sac ·constantes. Se a roda tern velocidade angular
inicial wo, escreva expressoes para (a) a velocidade angular e (b) a
posicao angular da roda como funcoes do tempo.
110 Durante urn intervalo de tempo t, 0 disco de urn gerador gira
atraves de urn angulo e = at + bf - cr, onde a, b e c sac constantes. Escreva expressoes para (a) a velocidade angular e (b) a aceleracao angular do disco.
111 0 metoda atraves do qual os pesados linteis (pedras do topo)
foram erguidos ate 0 topo das colunas de pedra em Stonehenge tern
side urn tema de longo debate. Urn metoda possfvel foi testado em
uma pequena cidade da Republica Checa. Urn bloco de concreto de
5124 kg de rnassa foi puxado para cima de duas traves de madeira
cujas superficies foram polidas e entao lubrificadas com gordura
(Figs. 10-67). As traves tinham 10 m de comprimento e cada urna
delas se estendia do chao ate 0 topo de urn dos pilares para onde 0
bloco deveria ser erguido. Os pilares tinham 3,9 rn de altura; 0 coeficiente de atrito estatico entre 0 bloco e as traves era 0,22.0 bloco
foi puxado atraves de corda que foram enroladas ern torno dele e
das extremidades de duas toras de 4,5 m de comprirnento. Uma plataforma foi alinhada na extremidade oposta de cada tora. Quando
urn mimero suficiente de operarios subiam na plataforma, a tora correspondente girava em tome de urn pivo no topo do pilar em que se
apoiava e puxava uma extremidade do bloco por uma pequena distancia ao longo da trave. Para cada tora, a corda que envolvia 0 bloco era aproximadamente perpendicular 11tara; a distancia entre 0 pivo
eo ponto onde a corda estava amarrada na tora era de 0,70 m. Supondo que cada operario tinha urna massa de 85 kg, encontre 0 menor
mimero de operarios que eram necessaries sobre as duas plataformas
para que 0 bloco comecasse a se mover para cima ao longo das traves. (Na realidade, cerca de metade deste mimero poderia mover 0
bloco, deslocando primeiro uma das extremidades e depois a outra.
116 Na Fig. 10-68, uma haste fina e uniforme (3,0 kg de massa, 4,0
m de comprimento) gira li vremente em torno de urn eixo horizontal
A perpendicular a haste e pass a por urn ponto a uma distancia d =
1,0 m da extremidade da haste. A energia cinetica da haste quando
ela passa pel a posicao vertical e 20 J. (a) Qual e 0 momenta de inercia da baste em tome do eixo A? (b) Qual e a velocidade (linear) da
extremidade B da haste quando ela passa pela posicao vertical? (c)
Em que angulo {}a haste ira parar momentaneamente?
-~
-.lti
B
Fig. 10-68
Problema 116.
117 Urn carro parte do repouso e se move ao longo de uma pista circular de 30,0 m de raio. Sua velocidade aumenta numa taxa constante de 0,500 rnIs2. (a) Qual eo modulo de sua aceleracao linear
resultante 15,0 s mais tarde? (b) Que augulo 0 vetor aceleracao resultante faz com a velocidade do carro neste instante?
118 Urna roldana com 8,0 ern de diametro tern urn cordao de 5,6 m
de comprimento enrolado em tome de sua periferia. Partindo do
repouso, a roldana gira com aceleracao angular constante de 1,5 rad/
S2. (a) Que angulo a roldana deve descrever para desenrolar 0 cordao completamente? (b) Quanto tempo vai levar para isto ocorrer?
r-----------/.
119 Uma roda pesada gira em tome de seu eixo central desacelerando
devido ao atrito com 0 eixo. Ao final do primeiro minuto de desaceleracao, sua velocidade angular e 0,900 da sua velocidade angular
inicial de 250 rev/min. Supondo que a aceleracao angular e constante, encontre a velocidade angular no fim do segundo minuto.
3,9m
Pilar
Fig. 10-67
115 A velocidade de urn ponto na borda de uma roda de amolar de
0,7 m de diarnetro varia de 12 rnIs para 25 m/s em 6,2 s. Qual e a
aceleracao angular media da rod a?
Problema 111.
112 uma certa molecula tern urn momento de inercia de 14000 u .
pm', onde u representa urna unidade de massa atomica (1 u = 1,66
X 10-27 kg). Se a molecula esta girando a 4,3 X 1012rad/s, qual e a
energia cinetica de rotacao?
120 A Fig. 10-69 rnostra urn satelite
de cornunicacoes que e urn cilindro
macico de 1210 kg, 1,21 m de diametro e 1,75 m de comprimento.
Antes do lancamento a partir da
nave de ttansporte, 0 satelite e posto para girar a 1,52 rev/s em torno
de seu eixo longitudinal. Quais sao
(a) seu rnomento de inercia em torno do eixo de rotacao e (b) sua energia cinetica de rotacao?
Fig. 10-69
Problema 120.