ANÁLISE MATEMÁTICA I
Engenharia Civil
Exercı́cios das Aulas Práticas
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Ano lectivo 2007/2008 - 1º Semestre
Conteúdo
1 Números Reais
3
2 Funções Reais de Variável Real
14
3 Limites e Continuidade
22
4 Cálculo Diferencial
24
5 Cálculo Integral
32
2
Capı́tulo 1
Números Reais
1. Apresente sob a forma de uma única potência :
¡ √ ¢3
(a) 23 × − 8 ;
(b) ( √13 )5 : ( √13 )5 : (−2)7 ;
√ 23
(c)( 10) ;
(d) (5)3 × (− 15 )−3 ;
1
(e) 3£−5 × 3−5 × ( 2 )¤5 ;
(f) ( 23 )−7 : ( 32 )6 × ( 32 )−1 ;
1 −1
1 −2
1 5
(g) √
(2) + (2) √
− 52 ;
(h)√3 × 2−2
+ ( 16
) : 2−18 − (−20 )18 ;
√
(i) ( 5)−6 × 26 : ( 12 5)−8 ; (j) 3 + ( 3)5 : ( √13 )−3 .
2. Averigue o valor lógico da proposição:
0.00006 × 106
+ 0.01×
0.02 × 10−2
µ
1
10
¶−2
> 3.15 × 105
.
3. Coloque os números seguintes por ordem crescente:
(a) − 25 ; (− 25 )−3 ; (− 25 )0 ; (− 25 )−2 ; (− 25 )4 .
(b) (− 73 )3 ; (− 73 )−2 ; (− 73 )−6 ; (− 73 )5 .
4. Calcule:
p
√
(a) 5 + 3 −1;
p
√
(d) 18 − 4;
√
√
√
√
(g) 3 5 × 3 25 − ( 4 25 + 1)( 4 25 − 1);
r
r
−1
1
(b)
+
;
√ √8
√4
(e) 2 7 − 3 14;
√
√
1√
7
(h) 7 20 : 7 5 −
4;
3
3
5. Calcule o valor numérico de
√
√
(a) 2x2 + xy para x = 3, y = 2;
√
(b) −4a + a2 para a = 2 − 3.
6. Complete de forma a obter proposições verdadeiras:
√
(a) ( 3 5)3 = . . .;
√
(b) (− 10)2 = . . .;
√
(c) ( 7 −28)7 = . . .;
√
(d) (− 3)4 = . . ..
3
q
√
−10 + 4;
√
√
√
5
5
5
(f) 4 2 4;
√
√
√
(i) 125 + 2 5 − (1 − 5)2 .
(c)
3
7. Diga se é par o número
(a) 25000 × 10−2 − 1.36 × 102 ;
(b) 1250 × 10−1 + 0.05 × 104 .
8. Determine os valores inteiros p tais que:
(a)75 × 72p = 7−3 ;
(c) 23 × 25−2p < 215 e p ∈ Z− ;
(b)73 × 49−p = 713 ;
1
(d)( 12 )p > 32
e p ∈ N.
9. Transforme as seguintes quantidades em radicais de ı́ndice 3:
√
(a) (2 3 5)2 ;
√
√
(b) ( 3 2 × 9 5)3 ;
p √
(c) 2 2 3 2;
√
(d) 15 2.
10. Escreva sob a forma de fracção de denominador racional:
(a)
(d)
1√
;
2− 7
3√
;
4+2 5
√
2
√
;
2+ 7
1
√
3 ;
2
(b)
(e)
11. Mostre que (2 −
√
7)(2 +
√
(c)
(f)
√
3√
;
4−2 5
7
√
3 .
5 2
√
√
7) e (4 − 2 5)(4 + 2 5) são números inteiros.
12. Simplifique as seguintes expressões:
q
q
q
√
(a) 32 − 23 ;
(b) 12 + 8;
p
p
√
√
√
√
√
8
8
(d)
8 − 8;
(e)
9 + 6 36 : 8 2;
√
√
4
(g) 167 ;
(h) 5r0.00032;
q
q
p
p
√
√
(j) 13 + 7 + 4; (k) 21 + 13 + 7 + 4;
p√
√
3 − 8 9;
√
1
(f) 2√
− 7;
p7 √
(i) 7 + 4;
√ √
√
8
2× 8 16
(l) 2 6√
.
5
(c)
13. Reduza a um radical cada uma das expressões:
√
√
√
(a) 2 8 5;
(b) 21 8 7;
(c) 10
2;
q
√
√
4
2
3
(d) 0.1 15;
(e) 3 2;
(f) 3 2 ;
√
√
√
√
√
√ √
8
8
8
5
(g) 2 2 4 8; (h) 30 : 5; (i) 5 2 2.
14. Simplifique as seguintes expressões:
(a) a−5 .a−5 .
¡ 1 ¢5
2
;
√ √
√
3
a b : 6 a.b;
¡ ¢6 ¡ ¢−1
;
(g) x−7 : x1 × x1
(d)
√
(b) 3y −2 3 y;
q
q
(e) 3 − a13 + a12 ;
³ p ´3
(h) y 3 × − y 3 ;
15. Simplifique as seguintes expressões:
µ ¶n µ ¶m
1
1
×
, (m, n ∈ N, a > 0);
(a)
a
a
n
m
(b) (−a) + (−a) : ap , (m, n ∈ N, a > 0);
µ ¶n µ ¶n
1
1
0
(c) (−a) −
:
, (n ∈ N, a, b > 0);
b
b
¡ ¢0
n
(d) (−a) : an + ak , (n, k ∈ N, a > 0);
4
µ
¶−3
¡√ ¢5
1
x+
x : √
;
x
µ
¶−a
1
(f) xa . −
;
x
³
¡ ¢−k ´
(i) z −2 × z k+2 : z1
.
(c)
√
¡
(e)
¢n
− ab : an
¡ 1 ¢p
, (n, p ∈ N, a, b > 0);
b
µ ¶−n µ ¶−n
b
d
(f) −a −
:
, (n ∈ N, a, b, c, d > 0);
c
c
³
´−p ³
´k
−n
0
− (−a)
, (k, n, p ∈ N, a > 0);
(g) (−a)
0
(h)
2−6 × a−3 × b4
, (a, b 6= 0).
4−2 × a−1 × b2
16. Simplifique as seguintes expressões:
q
√
√
1
(a) × a2 × 3 a − 6 a, (a > 0);
ap
√
m n
bk
√
(b)
, (k, m, n, p ∈ N, b > 0);
p
b
q
√
4
(c)
a3 , (a > 0);
³
√ ´
√
(d) a 1 − 4a , (a > 0);
√
√
(e) (a − b c)(a + b c), (a, b ∈ R, c > 0);
√
√ √
3
3
(f) a 3 a 2a 3a, (a > 0);
q
√
√
(g)
a b × a, (a, b > 0);
√
√
b
, (a, b > 0);
(h) 3 a × √
4
a
q
√
√
√
3
(i) a × a2 − 2 × 6 a − 3 a, (a > 0);
p
√
√
3
a a× 4b
√
(j)
, (a, b > 0);
ab
p
p√
√
9
3
a×
b3
√
, (a, b > 0).
(k)
3
b
17. Desenvolva e ordene, segundo as potências decrescentes de x, os polinómios:
(a) (x − 1)2 (x2 + x + 1)2 ;
(b) (x2 + 1)3 − 2(x2 + x)(x − 1) − 3(x + 1)3 .
18. Determine o termo de maior grau do polinómio
(x2 + x + 1)2 − 3(x2 − 7)(x + 2)2 + x4 + 2.
19. f e g são funções definidas em R por:
f : x 7−→ (x − 2)2
g : x 7−→ 5(x − 2)(3x − 5)
(a) Determine, sob a forma de um polinómio, a expressão da função f (x) + g(x).
(b) Considere k(x) = f (x) − g(x). Factorize k(x).
20. Encontre os zeros dos seguintes
(a) x3 + x2 − 10x + 8 = 0
(b) 2x3 − 9x + 2 = 0
(c) x4 + x3 − x2 − x = 0
(d) x3 − 5x − 2 = 0
polinómios e factorize quando possı́vel:
sabendo que x = 1 é um zero;
sabendo que x = 2 é um zero;
sabendo que x = −1 é um zero;
sabendo que x = −2 é um zero.
5
21. Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de:
(a) x3 + 2x2 − 1 por x + 3;
(b) 2x4 − 3x − x2 + 2 por 2x − 1;
(c) 2x3 − 3x4 + 1 por x − 1;
1
1
1
(d) − x2 + x4 − 3x + 1 por x + ;
8
2
2
(e) x − 10 − 3x2 + 2x3 por 3x − 9;
(f) 2x5 + 30x2 − 40x + 100 por 2x + 6;
(g) x3 − 5x + 3 por 2 − x.
22. Utilizando o algoritmo da divisão, determine o quociente e o resto da divisão de :
(a) 4x2 − 2x + 3 por x − 1;
(b) 4x − 2x4 + 6x2 por 2x2 + x − 1;
1
(c) x2 − 3x3 + 2x por 3x − 2;
2
(d) 4x3 − 3x2 + 13x + x5 por 3 − 2x + x2 ;
(e) 2 − x6 + x5 por x3 − x + 1;
(f) 5x − 3 por x2 − 3x + 1.
23. (a) Indique a expressão geral dos polinómios do 3º grau que admitem as raı́zes 1, 2 e 3.
(b) Existe algum polinómio do 3º grau que admita 1, 2, 3 e 4 como raı́zes?
24. (a) Calcule a e b de modo que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1), para todo o x real.
(b) Um polinómio factorizável tem sempre raı́zes reais?
25. Determine uma relação entre m e n de modo que a expressão (m − 1)x4 − 2x3 − 3nx2 + x + 1
se transforme num polinómio em x divisı́vel por x − 1.
26. Determine os números reais a e b de modo que o polinómio
x4 − ax3 + bx2 + 3x + 1
seja divisı́vel por (x − 1)(x + 1).
27. Determine os números reais a e b de modo que o polinómio
x4 + ax3 + 3bx2 + 2x + 1
seja um quadrado perfeito.
28. Quatro cubos têm, respectivamente, por arestas, medidas em centı́metros, x, x + 1, x + 2 e
x + 3, em que x é um número natural.
Determine o valor de x de modo que a capacidade dos três cubos de arestas x, x + 1 e x + 2
seja exactamente igual à capacidade do cubo de aresta x + 3.
29. Calcule m, n e p de modo que sejam equivalentes as seguintes expressões em x:
3x3 − (m + n)x2 + 3x − 1 e (p + 5)x3 − px2 + (n + p)x − 1.
6
30. Resolva em ,R, as seguintes equações:
(a) x − 7 = 0;
(c) −3x + 4 = 0;
(e) 5x(x − 6) = 0;
(g) 3x2 + 5x + 2 = 0;
(i) (3x − 2)(2x + 3) = 0;
(k) 2x3 − x2 + x − 2 = 0;
(m) 9x2 − 30x + 25 = 0;
(o) 16x2 − 12x = 12x − 9;
(q) 5x2 − x + 1 = 0;
(s) (x2 − 9)(2x − 5) = 0;
(u) x(2x + 4)(5 − x) = 0;
(x) (4x3 − x)x = 0;
(aa)x2 (4x − 3)(4x2 + 3) = 0;
(ac)4x3 − 2x2 = 0;
(ae)x3 − 2x2 + x − 2 = 0;
4
2
(ag)x
√ + x − 6 = 0;
(ai) 3x + 1 = 2x;
(b) 8x + 16 = 0;
(d) −5x − 2 = −3x;
(f) x2 + x − 2 = 0;
(h) 8x2 − 5x = 0;
(j) 3x2 + 4 = 0;
(l) 25x2 − 4 = 0;
(n) 12x2 + 12x + 3 = 0;
(p) x(x + 5) = 3(x + 5);
(r) x2 − 2x + 1 = 0;
(t) x2 + 4x + 2 = 0;
(v) (x2 − 3x)(3x − 6) = 0;
(z) (7x − 2)(x + 1) = 5(x + 1);
(ab) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;
(ad) x3 = 2x;
(af) 5x3 − 4x + 1 = 0;
(ah) √
x6 − 2x3 + 1 = 0;
√
(aj) x2 − 6 = x.
31. Resolva em R as equações seguintes, aplicando a lei do anulamento do produto :
(a) (3x − 2)(2x + 3) = 0;
(c) x(2x + 4)(5 − x) = 0;
(e) 25x2 − 4 = 0;
(g) 12x2 + 12x + 3 = 0;
(i) 0, 01x2 = 1;
(k) x(x + 5) = 3(x + 5);
(m) (3 + x2 )(x2 − 10x + 25)(x2 − 1) = 0;
32. Resolva em R as seguintes equações:
(a) (x2 − 1)(x − 3) + (3x + 3)(x − 3) = 0;
(c) x3 − 5x2 + 6x = 0;
1
2x2
1
+
= 2
;
(e)
x−1 x+1
x −1
2
4
2
(g) (x + 1)(x + 2x + 1) = 1 .
(b) 5x(x − 6) = 0;
(d) x2 (4x − 3)(4x2 + 3) = 0;
(f) 9x2 − 30x + 25 = 0;
(h) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;
(j) 16x2 − 12x = 12x − 9;
(l) (7x − 2)(x + 1) = 5(x + 1);
(n) x3 = 2x.
(b)(x2 − 1)(x − 3) + (3x + 3)(x − 1) = 0;
5
(d) ( x2 − x − 3)2 = 0;
4
1
2
(f) 2
=
;
x − 4x + 3
x−3
33. Considere a equação 4x(x + 6) = (x − 5)(x + 6).
(a) A equação é equivalente a 4x = x − 5 ? Justifique.
(b) Determine o seu conjunto-solução.
34. Determine dois números inteiros consecutivos, sabendo que o seu produto é igual ao quı́ntuplo
do menor número.
35. Determine a medida do comprimento do lado de um quadrado, sabendo que a área e o
perı́metro são expressos pelo mesmo valor (em cm e cm2 , respectivamente).
36. Num rectângulo, o comprimento é triplo da largura. Determine as dimensões do rectângulo,
sabendo que tem 0, 75 cm2 de área.
37. O produto de dois números ı́mpares consecutivos excede o dobro do menor em nove unidades.
Quais são os números?
38. As idades de três irmãos são números pares consecutivos. O produto das idades que os dois
mais novos terão daqui a quatro anos é doze vezes a idade que o mais velho terá daqui a
dois anos. Determine a idade de cada um deles.
7
39. Na figura estão representados um losango e um quadrado.
Determine a área da região sombreada, supondo que:
(a) O comprimento da diagonal maior excede o da menor em 4 cm e a área do losango
excede a do quadrado em 5 cm2 .
(b) A diagonal maior do losango é dupla da menor.
40. O quadrado da soma de dois números é igual à diferença entre a soma dos seus quadrados e
−5. Qual é o produto dos números?
41. Simplifique as seguintes fracções
(a)
x−1
;
x2 − 1
(b)
(d)
x3 + 3x2 − 4x
;
(x − 1)2
(e)
(g)
4
4
+
.
x2 + 1 x2 − 1
(x + 1)2
;
x2 − 1
x2
(c)
x
1
+
;
−1 x−1
(f)
x2 − 4
;
x2 + x − 6
x2
1
2
3
+
−
;
−4 2−x x+2
42. Considere a função polinomial
7
1
f : x 7−→ 5x3 − x2 +
2
4
(a) Verifique que
1
é raı́z de f .
2
1
(b) Para todo o x real, tem-se que f (x) = (x − )·g(x).
2
Encontre o polinómio g(x).
(c) Resolva a equação f (x) = 0.
43. Considere o polinómio p(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + 1.
(a) Determine o polinómio q(x) de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x).
(b) Resolva a equação p(x) = 0.
44. Indique o conjunto solução de:
√
√
6
(a) 2x5 − 3 2√= 0; (b)0 = x√
+ 3 2;
(c) 0 = x7 − 3x; (d)x6 − 3 2 = 0.
45. Determine o conjunto solução de:
(a) x3 = −27;
(d) x51 = 0;
(g) x4 − 81= 0;
(j) x8 + 9x2 = 0;
(b) x3 = 5;
(e) x8 + 1= 0;
(h) x2 − 15= 0;
(k) x5 = −32;
(c) x291 = −1;
(f) 64x6 − 1= 0;
(i) x3 + 15= 0;
(l) x3 = 10.
8
46. Transforme cada uma das inequações seguintes noutra equivalente em que o primeiro membro
seja x:
(a) 3x < 6;
(c) −3x < −6;
(e) x − 7 < 2;
(g) 4x + 5 ≤ −2;
2
(i) 3(x − ) < 2x;
5
2
(k) x − 1 < x − 2;
3
x−3 x−5
1
(m)
−
> 3x − ;
2
3
6
(o) −(x − (3 − x)) + 5x ≤ 4.
(b) −3x < 6;
(d) 3x < −6;
1
(f) −x + ≥ 3;
2
3
(h) − 5x ≤ −1;
2
(j) −(5x − 2) + 6x > 7;
x−7
3
(l)
− x > x − 2;
2
4
3x − 5
4−x
(n)
−x>1−
;
4
2
47. Resolva, em R, cada uma das seguintes inequações:
(a)(x + 3)(x − 2) < 0;
(c) (x − 1)(5x + 4) > 0;
(e) 3x ≤ x2 ;
(g) (x2 + 6)(3x + 5) < 0;
(i) (2x + 5)(3 − x)(x + 2) ≥ 0;
(k) (3x − 1)(x − 1)2 (x − 3)3 > 0;
(m) −2x3 − 4x < −6x2 ;
(o) x2 (−x + 2)(x2 − x − 6) > 0.
(b) (2 − 3x)(x + 3) < 0;
(d) (2 − x)(5x + 7) > 0;
(f) 3x2 < −8x;
(h) (x2 − 9)(x2 + x) < 0;
(j) (x − 1)(4 − x2 )(x2 − 3x) < 0;
(l) (x2 − 10x + 21)(−x2 + 6) ≥ 0;
(n) −3x2 + 2x > 5;
48. Qual será a medida do lado dos quadrados para o qual o valor do dobro da área é maior que
a medida do lado subtraı́da de uma unidade?
49. Considere o polinómio p(x) = 2x3 + 12x2 + qx − 84.
(a) Determine o número real q de modo que -2 seja raiz do polinómio.
(b) Resolva a inequação p(x) ≥ 0.
50. Considere a função polinomial
g : x 7−→ x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15
(a) Prove que 1 e −1 são raı́zes de g(x).
(b) Determine os valores de x que satisfazem a condição g(x) = 0.
(c) Indique, recorrendo a intervalos de números reais, o conjunto-solução da condição
g(3x) ≥ 0.
51. Determine o domı́nio de cada uma das
√
3
2x
x2 + x
(a) √
;
(b)
;
2
1 − x2
x −3
s
q
√
49 − x2
(d) 2 + x + 1; (e) 3
;
(x − 1)2
r
r
x2 − x
3−x
(g)
+ 3; (h)
;
x
5x
−3
√
3
x − 4x2 + 1
(j) √
.
x(x − 3)2
seguintes expressões designatórias:
r
1−x
(c) 3
;
3x − 1
p
(f) −(x + 1)2 ;
√
x−1
(i) √
;
3
x+3
9
52. Defina, com a forma de
condições:
3
(a)
≥ 0;
2x + 3
1
(d) > x;
x
√
x−3
(g)
> 0;
x−4
1
1
(j)
≥ ;
3x + 1
x
−(x − 3)4
≥ 0;
(m)
x2 − 1
−x2 + 5x − 6
(p) 2
≥ 0;
x − 10x + 16
r
2
3 1 − 2x
(s)
≥ 0.
3x2 + 1
intervalos de números reais, o conjunto solução das seguintes
(b)
(e)
(h)
(k)
(n)
(q)
2
≥ x;
x+1
2
x +5
< 0;
2 − 3x
2
x −9
≤ 0;
x2 + 4x
(x − 1)3
≤ 0;
x2 (x + 3)2
1
1>
;
x−3
5−x
x+5
1+
>
;
x−2
x+2
x−1
≥ 0;
2 − 3x
2
x − 25
(f) 2
≥ 0;
x + 25
2
x
(i)
≥ 0;
(x − 3)(4 + x)
(x + 1)5
(l)
≥ 0;
3x2 − x4
x2 − 2x + 3
(o)
≤ 1;
2x2 − 3x + 1
x+5
(r) √
< 0;
x−2
(c)
53. Resolva as seguintes inequações:
x−3
x2 − 4
(a)
≥ 0;
(b) 2
< 0;
1−x
x − 5x
2
√
x − 5x + 6
(c)
≥ 0;
(d) 5 + x < 1;
x
(e) x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0; (f) −2x3 + 6x2 − 4x < 0.
54. Complete com = ou 6= de forma a obter proposições verdadeiras:
(a) | − 3| . . . 3;
(b) |3 − π| . . . 3 − π;
√
√
(c) |π − 5| . . . π − 5;
√
√
√
√
(d) | − 2 10 + 7| . . . 2 10 − 7;
√
√
(e) | − 3 − 8| . . . 3 + 8.
55. Das afirmações seguintes, quais as verdadeiras e quais as falsas? Em cada caso explique
porquê.
(a) |x| = | − x|, para todo o x ∈ R.
(b) Qualquer que seja o x ∈ R, |x| ≥ 0.
(c) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| < 0.
(d) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| ≤ 0.
(e) |x1 | > |x2 | então x1 > x2 , para todo x1 , x2 ∈ R.
56. Mostre que:
(a) x ≤ |x|,
∀x ∈ R;
(b) |x + y| ≤ |x| + |y|,
∀x, y ∈ R.
57. Resolva, em R, as seguintes equações:
(a) |2x + 3| = 9;
(d) |4x − 5| = −9;
(g) |x − 3| = x;
(j) |x2 + 2x − 9| = 6;
(m) |12x2 + 5x − 7| = 4;
(b) |3x − 5| = 7;
(e) |2x + 3| = 4x − 1;
(h) |2x − 1| = 2x + 1;
(k) |x2 − 5x + 1| = 3;
x−1
| = 2;
(n) |
3x + 4
10
(c) |6x − 9| = 0;
(f) |3x − 2| = 5x + 4;
(i) |x2 + 4x − 1| = 4;
(l) |x − 2| = |3x − 1|;
(o)|x(x + 4)| = |1 − 2x|.
58. Nas colunas seguintes cada condição (ai ) (i = 1, . . . , 10) é equivalente a uma e uma só
condição (bj ) (j = 1, . . . , 10). Indique todos os pares equivalentes.
(a1 )
(a2 )
(a3 )
(a4 )
(a5 )
(a6 )
|x| < 4
|x − 1| < 3
|3 − 2x| < 1
|1 + 2x| ≤ 1
|x − 1| > 2
|x + 2| ≥ 5
1
(a7 ) |5 − | < 1
x
(a8 ) |x − 5| < |x + 1|
(b1 )
(b2 )
(b3 )
(b4 )
(b5 )
(b6 )
4 < x < 6;
x > 3 ∨ x < −1;
−4 < x < 4;
x > 2;
−2√< x < 4;
√
(− 3 ≤ x ≤ 1) ∨ (1 ≤ x ≤ 3);
(b7 ) 1 < x < 2;
(b8 ) x ≤ −7 ∨ x ≥ 3;
1
1
(b9 ) < x < ;
6
4
(b10 ) −1 ≤ x ≤ 0.
(a9 ) |x2 − 2| ≤ 1
(a10 ) x < x2 − 12 < 4x
59. Represente,com intervalos de números reais, o conjunto-solução de cada uma das condições:
(a) |2x − 3| ≥ 1;
(b) |3x − 1| ≤ 5;
(c) |5 − 4x| ≥ 2;
1
2
(d)|1 − 2x| ≤ 1;
(e) |x − 2| > 1;
(f) | + 2| ≥ x;
x
3x + 1
x2 − x + 2
x−1
(g) |
| < 3;
(h) |
| ≥ 2; (i)
≥ 0;
x+1
x−4
|x| − 3
2
|x + 1| − 3
|x|
4−x
(j)
≤ 0;
(k) 2
≥ 0;
(l)
≥ 0;
x−4
x −1
|x| + 3
2
x
6
(m)
≤ 0;
(n) |x4 − 4x2 | ≤ 0;
(o) |x − | > 5;
|x − 3| − 5
x
6x2 + 12
| < 3.
(p) |3 − 2
x − 4x + 1
60. Aplique as propriedades das funções exponencial e logaritmo e simplifique as expressões:
(a) log 2 + log 5;
(d) 32 log3 |x+1| ;
(g) log 12 ( 18 )(2−x) ;
(j) 2(x − 3) log4 2;
(m)
log 23 ( 49 )(x−
x2 − 5
√
5)
;
61. Mostre que: loga x =
(b) log 6 − log 3 + elog 5 ;
(e) 16log4 |x−1| ;
(h) (ex )log 2 ;
log3 |x + 1|
(k)
;
log3 5
(c) elog 5+log |x| ;
2
(f) 2log4 (x−2) + log3 9(x−1) ;
(i) log e(x+2) ;
√
(l) log |x2 − 1| − log 3 x − 1;
(n) 9(log3 |x+4|+2) ;
(o) a(2−loga |x|)/3 ,
log x
log a ,
∀x > 0,
a ∈ R+ \ {1}.
∀a ∈]0, 1[∪]1, +∞[.
62. Simplifique as seguintes fracções
e2x − 1
;
ex + 1
2
log x − 3 log x
(c)
;
log x
3x
2x
2e − e − 6ex
(e)
;
e2x − 4
2
x −1
(g) log x
.
e
−1
(a)
e2x + ex − 2
;
ex − 1
log x + 2
(d)
;
2
log x + 2 log x
3x
2x
x
e + 2e − e − 2
(f)
;
e2x − 1
(b)
63. Resolva em ordem a x as seguintes equações:
x
;
2−x
(d) e2x+3 = 5;
(a) y =
(g) (x2 − 4)5x+2 = 0;
(b) y = −3 + log2 ( x2 );
3
(e) y = log(x + 1) 2 ;
(h) e2x − 5ex + 6 = 0;
11
e4x
;
(c) y = 1 +
4
1
(f) log( − 1) = 2;
x
(i) 7x x2 − 7x 5x = 0.
64. Resolva em R:
√
√
√
√
(a) loga (x 2 + x) = − loga (x 2 − x);
(c) ex + 4e−x = 5;
(e) x10x + 10x 5 > 0;
ex − 1
(g) 2
> 0;
x +1
1−x
(i) 4
> 16;
(k) log2 x − log x − 2 ≥ 0;
(m) (x − 3) log 12 (x + 1) < 0;
(o) log 13 (1 − x) < 2;
65. Calcule:
(a) arcsin( 12 );√
(e) arccos(− 23 );
(i) sin( π3 − arcsin 54 );
(m) 2arccot(−1);
(q) arccos(sin 5π
4 );
(b)log3 x = 12 + log9 (4x + 15);
(d)7x x2 − 7x 5x = 0;
(f) xex − 2ex < 0;
(h) ex+2 log x − 2ex+2 > 0;
(j) (2 + log x) log x ≤ 0;
(l) log(x2 − 4) − log(x − 1) ≥ 0;
(n) (2 − log x) log(x − 1) ≤ 0;
(p) (x2 − 1) log2 x ≥ 0.
√
(b) arcsin(− 22 );
(f) sin(arcsin( 12√
));
2
(j) π2 + arccos( 2√
);
(n) arcsin(sin(− 45 π));
4
(r) sin(arcsin 12
13 + arcsin 5 );
(c) 2 arcsin(−1);
(g) sin(arccos 53 );
5
(k) cos(2 arccos(− 13
));
(o) sin(arctan 2);
7
(s) cos(arccos 15
17 − arccos 25 );
(d) cos(arcsin 12 );
(h) arcsin(sin( 2π
3 ));
(l) arctan(tan(π));
√
(p) cos(arccos( 23 ));
(t) sin( 12 arccos 45 ).
66. Simplifique as seguintes fracções
sin x + 1
cos x + 2
(a)
;
(b)
;
2
4 − cos2 x
sin x − 1
2
sin x
sin x − 3 sin x
(c)
;
; (d)
2
cos x(sin x − 3)
sin x + sin x
4
2
sin x − 1
1 − sin x
(e)
;
(f)
;
2
(sin x + 1)
cos2 x + 2 cos x
2
cos3 x − 2 cos2 x − 3 cos x
sin x − 9
;
(h)
.
(g)
sin x + 3
cos2 x + cos x
67. Simplifique as seguintes expressões:
sin2 x
;
cos2 x
(c) sin(x + π) + sin(x − 3π);
(a) 1 +
(e) − sin(x +
3π
2 )
1 − cos2 x
;
sin x
1 1
(d) − cos(2x + 2);
8 8
(f) cos(x + 2π) − cos(π − x);
1 1
(h) + cos(2x) ;
4 4
1
(j) 1 −
;
1 − sin2 x
1
1
(l)
+
;
sin2 x 1 − sin2 x
2
2
cosh x − sinh x
;
(n)
1 − tanh2 x
cosh x sinh x − sinh x
(p)
;
cosh2 x − 1
2
1 + sinh x
(r)
.
1 + cosh(2x)
(b)
+ cos( 27π
2 − x) + sin(x + 3π) − cos(7π − x);
(g)2 sin(5π − x) + 2 tan(3π − x) + 2 sin(x − 3π) + 3 tan(x − 7π) ;
(i) tan(x + π) + tan(x − π);
x
2
(k)
+
;
sin x cos x
1
1
(m)
−
;
2
1 + sin x 1 − sin4 x
1
(o) 1 +
;
1 + sinh2 x
1
1
−
;
(q)
cosh x cosh x − cosh3 x
12
68. Verifique as seguintes igualdades:
(a) sin(x + π4 ) sin(x − π4 ) = sin2 x − 12 , ∀x ∈ R;
(b) sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x, ∀x ∈ R;
2π
(c) cos(x) + cos(x + 2π
∀x ∈ R;
3 ) + cos(x − 3 ) = 0,
3
(d) cos(3x) = 4 cos x − 3 cos x, ∀x ∈ R;
2
(e) [cos(x) ¡+ cos(2x)]
+¡ [sin(x)
+ sin(2x)]2 = 2 + 2 cos(x),
¢
¢
x
2 x
(f) 1 + cos 2 = 2 cos 4 , ∀x ∈ R;
1
1
(g)tan(2x) =
−
;
1 − tan(x)
1 +¶tan(x)
µ
x
;
(h)arctan x = arcsin √
1 + x2
(i) sinh(3x) = 3 sinh x + 4 sinh3 x;
(j)cosh(3x) =¡ 4¢cosh3 x − 3¡cosh
¢ x;
2 x
x
(k) 1 + cosh
=
2
cosh
4 ;
¡ ¢ 2 sinh x
(l) tanh x2 = 1+cosh
.
x
69. Mostre que:
(a) sinh(−x) = − sinh x;
(c) cosh2 x − sinh2 x = 1;
(e)cosh2 x = 12 [1 + cosh(2x)];
(g) sinh2 x = 21 [cosh(2x)
−
³
´ 1];
(i) arg tanh =
1
2
log
1+x
1−x
(k) arg cosh x = log(x +
√
,
x ∈] − 1, 1[;
∀x ∈ R;
(b) cosh(−x) = cosh x;
(d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x;
(f)cosh x cosh y = 12 [cosh(x + y) + cosh(x − y)];
(h) (cosh x + sinh x)n = cosh(nx) + sinh(nx), n ∈ N ;
√
(j) arg sinh x = log(x + x2 + 1);
x2 − 1), x ≥ 1.
70. Resolva as seguintes equações:
√
(a) 2 sin x =¡ −¢ 3;
(c) 1 − tan x3 = 2;
(e) 3(1 − cos x) = sin2 x;
(g) sin x = cos x;
(i) 3 cos2 x − 1 = −2 sin2 x + 2 cos x;
(k) 2 cos x + 3 = 4 cos x2 ;
(m) log 12 ( 12 sin(3x − 2)) = 1;
(o) cos x − tan x = cos1 x ;
sin x
cos x
(q)
−
= 1;
1 + cos x
sin x
π
(s) | arcsin(x + 1)| = 4 ;
(u) cosh x + sinh x = 3;
(w) e2 tanh x+tanh x cosh x = 1;
(b) sin(2x) + sin π4 = 0;
(d) cos x = sin2 x − cos2 x;
(f) cos x + sin(2x) = 0;
(h) 2 sin2 x − sin(2x) = 0;
(j) cos x cos(4x) = cos(2x) cos(3x);
(l) 3sin x+sin x tan x = 1;
(n) log2 (sin x + 1) − 1 = 0 ;
(p) 2 cos2 x + 3 = 3 sin2 x + 4 cos x;
(r)log2 (arctan x) + 3 log(arctan x) + 2 = 0;
(t) sinh x = 5;
(v) 1 + sinh2 x = 3 cosh x;
(x) sinh2 x − 2 sinh x + 1 = 0.
71. Resolva as seguintes inequações:
(a) log(1 − x) arctan(x + 2) ≤ 0;
(x2 + x − 2)(ex − 2)
≤0;
arcsin x
arctan x + π6
≥0;
(e)
log(x + 2) − 3
arcsin x 2
e
(x − 5x + 4)
(g)
<0;
arccos x
log x + 1
> 0;
(i)
arcsin x
(c)
(k) log(cosh x) ≥ 0;
(m) | sinh x − 3| < 2.
(b)
(log x + 1)(2x − 3)
≥0;
arctan x − π4
(d) (log x − 1)(arcsin x + π4 ) ≥ 0;
log(x − 1)
(f) |
| ≤ 1;
2 log(x − 1) + 1
2x
x
e − 4e + 3
(h) 2
≤0;
(x − 1)(arccos x − π2 )
x2 − 1
(j)
< 0;
arg cosh(x + 3)
earg sinh x (x − 1)
(l)
≥ 0;
cosh x + 2
13
Capı́tulo 2
Funções Reais de Variável Real
1. Dadas as funções reais de variável real, m e p, definidas por
m(x) =
2
e p(x) = 1 − 2x
x+2
(a) Calcule o domı́nio e o contradomı́nio das funções.
(b) Calcule (m ◦ p)(1) e (p ◦ m)(0).
(c) Caracterize as funções (m ◦ p) e (p ◦ m).
2. Sendo f e g duas funções reais de variável real definidas por
√
f (x) = x − 4 e g(x) = 3 + x2
(a) Calcule o domı́nio e o contradomı́nio das funções.
(b) Caracterize as funções (f ◦ g) e (g ◦ f ).
(c) Mostre que (f ◦ g) tem dois zeros e que (g ◦ f ) não tem zeros.
√
3. Sendo f e g funções reais de variável real definidas por f (x) = x e g(x) = x2 − 2.
Determine expressões para as funções compostas (f ◦ f ), (g ◦ f ), (f ◦ g), (g ◦ g) e indique o
domı́nio de cada uma dessas funções.
4. Sendo f , g e h funções reais de variável real definidas por
f (x) = x + 1, g(x) = x2 e h(x) =
√
x − 1,
caracterize as funções (f ◦ g), (f ◦ f ), (g ◦ h), (h ◦ g).
5. Considere a função f , real de variável real, definida por f (x) = x2 − 4
(a) Indique o domı́nio e o contradomı́nio de f .
(b) A função f é injectiva? Justifique.
(c) Caracterize uma restrição g de f , injectiva e cujo domı́nio seja R+
0.
6. Dadas as funções f e g, reais de variável real, definidas por
f (x) =
x+1
e g(x) = x2 − 3x
x−3
(a) Calcule o domı́nio de f e g.
14
(b) Indique, justificando , o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
i. ∀ y ∈ R\{1}, ∃ x ∈ Df : f (x) = y;
ii. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : g(x) = y.
(c) As funções f e g são sobrejectivas? Justifique.
7. Dadas as funções reais de variável real definidas por:
√
(i) f (x) = 3 − x2 ; (ii) h(x) = 2½− 1 − x;
1
2−
3
√ 2 ln(x) se x > 1 .
(iii) s(x) = x+3
;
(iv) g(x) =
5−x
se x ≤ 1
(a) Calcule o domı́nio, o contradomı́nio e os zeros de cada uma das funções.
(b) Classifique-as quanto à injectividade e sobrejectividade.
8. Considere as correspondências definidas por:
(i) f : R\N −→ R\Q (ii) f : R\N −→ R
x −→
√
− 2
7−3x
x −→
1
3−x
(iii) f : R\]0,½2] −→ R\]1, 10]
−x se x ≤ 0
com f (x) =
−5x se x > 0
Para cada alı́nea verifique se:
(i) f é uma função;
(ii) f é injectiva;
(iii) f é sobrejectiva.
9. Das seguintes afirmações indique, justificando, as verdadeiras e as falsas:
(a)
(b)
(c)
(d)
Seja
Seja
Seja
Seja
f
f
f
f
:R→R
:R→R
:R→R
:R→R
tal
tal
tal
tal
que
que
que
que
f (2) = f (3); então f é injectiva;
f (2) = f (2); então f não é injectiva;
f (2) não existe; então f não é injectiva;
f (2) 6= f (3); então f é injectiva;
(e)
(f)
(g)
(h)
Seja
Seja
Seja
Seja
f
f
f
f
:R→R
:R→R
:R→R
:R→R
tal
tal
tal
tal
que
que
que
que
f (x) = |x|
x ; então f é injectiva;
f (2) ≥ f (3); então f é injectiva;
f (R) = R; então f é sobrejectiva;
f (R) = ∅; então f é sobrejectiva.
10. Dadas as funções reais de variável real,
√
x
8
f (x) = − 4; g(x) =
; h(x) = 2 − x2 ;
2
x+2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
j(x) =
1
√
.
1 − x2 + 2
Determine os seus domı́nios.
Indique os contradomı́nios das funções g(x) e h(x).
Indique as funções que são injectivas.
Indique as funções que são bijectivas.
Caracterize, explicitando o domı́nio e a expressão analı́tica, a aplicação inversa de g(x).
Caracterize a aplicação (h ◦ g)(x).
11. Indique, justificando, se as seguintes funções têm inversa:
y
y
x
x
(a)
(b)
15
y
y
x
x
(c)
(d)
12. Diga, justificando, quais das seguintes funções são limitadas.
(i) f (x) = x, x ∈ R;
(iii) f (x) = x, x ∈ [0, 126];
(ii) f (x) = x, x ∈ R+ ;
2
, x ∈ R.
(iv) f (x) =
cos(x) − 7
13. Estude as funções seguintes quanto à paridade.
(i) f (x) = x11 + 3x3 − x, x ∈ R;
x−1
(iii) f (x) =
, x ∈ R\{−1};
x+1
3
x −x
(v) f (x) =
, x ∈ R\{−1};
x+1
(ii) f (x) = x100 − 5x50 + 1, x ∈ R;
(iv) f (x) = |x + 1|, x ∈ R;
p
(vi) f (x) = |1 − x2 |, x ∈ R.
14. Diga quais das seguintes funções são periódicas e indique o perı́odo:
³x´
2
(i) f (x) = sin(2x + 5), x ∈ R; (ii) g(x) =
, x ∈ R\{−6}; (iii) h(x) = sin
, x ∈ R.
x+6
π
15. A figura mostra a parte situada à direita do eixo dos yy do gráfico de uma função f (x).
y
x
(a) Complete o gráfico se f (x) é uma função par.
(b) Complete o gráfico se f (x) é uma função ı́mpar.
16
16. A figura representa o gráfico de uma função f (x).
y
x
(a) Esboce o gráfico da função g(x) definida por g(x) = |f (x)|.
(b) Esboce o gráfico de −f (x).
(c) Esboce o gráfico da função h(x) = f (−x).
(d) Esboce o gráfico da função i(x) = −f (−x).
17. Considere a função real de variável real f definida por f (x) =
√
x+1+3
(a) Indique o domı́nio e o contradomı́nio de f .
(b) Averı́gue se f é injectiva.
(c) Caso seja possı́vel, determine a função inversa f .
(d) Esboce, no mesmo referencial, os gráficos de f e f (−1) .
18. Determine, caso seja possı́vel, a função inversa, domı́nio, contradomı́nio e expressão analı́tica
da função definida por:
(i) f (x) = 3 − 2x;
1 − 2x
(v) f (x) =
;
1+x
(ii) f (x) = x2 − 1;
(vi) f (x) = −3 + ln
¡x¢
32 ;
(iii) f (x) =
(vii) f (x) =
x
2−x ;
(iv) f (x) = 1 +
1
;
2 + log2 (3 − x)
19. Considere a função g, real de variável real definida por g(x) = 2 − log5 (x − 3).
(a) Determine o domı́nio e o contradomı́nio de g.
(b) Calcule, se existirem, os zeros da função.
(c) Caracterize a função inversa de g.
20. Seja t a função real de variável real definida por t(x) = log2 (9 − x2 ).
(a) Indique o domı́nio e o contradomı́nio de t.
(b) Justifique que a função não tem inversa.
³
21. Considere a função f , real de variável real, definida por f (x) = ln
(a) Indique o domı́nio de f .
(b) Prove que f é ı́mpar.
(c) Caracterize a função inversa de f , caso exista.
17
2+x
2−x
´
.
e4x
4 ;
x
(viii) f (x) = 1 +
2
;
5
22. G1 , G2 , G3 e G4 são gráficos (mas não necessariamente por esta ordem) das funções reais
de variável real, definidas como se segue:
y
G1
G2
G3
G4
x
f (x) = |x| + α
g(x) = |x − β|
h(x) = |x + β|
i(x) = | − x − β|
j(x) = | − x| + α
l(x) = | − x + β|
m(x) = |αx|
com α e β pertencentes a R+ . Faça corresponder a cada função o respectivo gráfico.
23. Represente geometricamente a função inversa das seguintes funções:
(a)
y
x
(b)
y
x
18
(c)
y
x
(d)
y
x

x>2
 x + 3 se
|x| + 1 se −2 ≤ x ≤ 2 .
24. Considere a função f , real de variável real, definida por f (x) =

−x + 3 se
x < −2
(a) Represente graficamente uma restrição de f ao intervalo [−4, 4].
(b) Verifique graficamente e prove analiticamente que f é uma função par.
½
−1 se x ∈ R\[−2, 2]
(c) Sendo g a função definida por g(x) =
caracterize analitica1 se
x ∈ [−2, 2]
mente (f + g) e esboce o seu gráfico.
25. Represente graficamente cada uma das funções reais de variável real definidas por:
(a) f (x) = x2 − 6x + 10;
(b) g(x) = 2x2 + 12x + 16;
(c) h(x) = |x + 1|;


 2x − 1
x
(d) i(x) =
−

2

2x − 5
½
2 se
(e) j(x) =
x2 se
½
|2 − x|
(f) l(x) =
(x − 4)2
se
x≤0
se
0<x≤
se
x≥3
5
;
2
x<0
;
x≥0
se
se
x≤3
.
x>3
19
√
x−1
26. Dadas as funções f e g, reais de variável real, definidas por f (x) = 1− x + 1 e g(x) =
.
x+1
(a) Calcule o domı́nio de f e g.
(b) Determine os zeros de (f ◦ g).
(c) Caracterize as funções (f + g), (f − g), (f × g) e
f
g
.
27. Determine o domı́nio e o contradomı́nio das funções definidas por:
(a) f (x) = −3 + arcsin(3x);
(d) f (x) = 23 arccos( x2 − 3);
1
(b) f (x) = −2 + arcsin( x+1
);
1−x2
(e) f (x) = π + arccos( 2 );
2
(c) f (x) = arcsin( x 2−1 );
1
(f) f (x) = arctan( x+5
).
28. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
(a) f (x) = 2 sin(3x);
(b) f (x) = 3 arcsin(2x − 1);
(d) f (x) = 5 − 3 arccos( x−1
3 );
(e) f (x) = 2 cot(x + π3 );
29. Considere a função real de variável real f definida por f (x) =
−1 + arccos(3x)
;
2
π
(f) f (x) = tan( 4 ) − arctan( x3 ).
(c) f (x) =
1
2
arcsin(3x − 2).
(a) Determine o domı́nio de f .
√
1
4+ 2
(b) Calcule f (1) + 2f ( ) − f (
).
3
6
(c) Determine os zeros de f .
(d) Caracterize a função inversa de f .
30. Considere a função real de variável real definida por g(x) =
π
2
− 3 arccos(x + 1).
3
(a) Calcule g(−1) − g(− ).
2
(b) Determine o domı́nio e o contradomı́nio da função.
(c) Calcule os zeros de g, se existirem.
(d) Caracterize a função inversa de g.
31. Considere a função real de variável real definida por h(x) = − π4 + arctan(2x − x2 ).
(a) Calcule h(0) + h(1).
(b) Determine o domı́nio e o contradomı́nio de h.
(c) Analise a existência de zeros para a função.
1
32. Seja f a função real de variável real definida por f (x) = 1 + arccot( x+1
).
(a) Calcule f (0) + f (−2).
(b) Determine o domı́nio, o contradomı́nio e, se existirem, os zeros de f .
(c) Caracterize a função inversa de f .
33. Seja g a função real de variável real definida por g(x) =
principal).
(a) Caracterize a função inversa de g.
(b) Calcule g(arcsin( 25 )).
34. Determine x sabendo que x = sin(arccos( 11
61 )).
20
1
(Considere a restrição
sin(2x − π2 )
35. Seja g a função real de variável real definida por g(x) =
1
.
1 − tan( x2 )
(a) Determine o domı́nio de g.
(b) Calcule g( π3 ).
(c) Averigue qual o valor lógico da proposição: ∀ x ∈ Dg , g(x + 2π) = g(x).
2
3π
a
(d) Sabendo que g(a) = e que
< a < 2π, calcule cos( ).
3
2
2
√
3 2
36. Considere a função real de variável real definida por f (x) = arccos(
− 2x).
2
(a) Determine o domı́nio e o contradomı́nio de f .
(b) Caracterize a função inversa de f .
π
(c) Resolva a equação f (x) = .
4
21
Capı́tulo 3
Limites e Continuidade
1. Considere a função:
½
f (x) =
|x − a|
2
se
se
x 6= a
.
x=a
Mostre que lim f (x) = 0.
x→a
2. Considere as funções:
f (x) = x +
1
(x − 3)2
e
g(x) =
7
.
(x2 − 9)(x − 3)
Determine lim (f (x) − g(x)).
x→3
3. Considere as funções:
u(x) =
√
x+5
e
v(x) =
√
x−1 .
Calcule lim (u(x) − v(x)).
x→+∞
4. Considere as funções:
u(x) =
1
x2
e
v(x) = x3 − 2x2 .
Calcule lim u(x).v(x).
x→0
5. Investigue a existência de limite, ou limites laterais, no ponto indicado, para cada uma das
funções definidas pelas expressões analı́ticas seguintes:
(a)
1
, x = −1;
x5
(c) −|x + 2|, x = −2;
1
, x = −2
(e)1 +
√ x+2
2x + 3 − 3
(g)
, x = 3;
x−3
3x2 − x + 4
, x = 2;
½ x5 − 7
|x − 1|
se
x≤2
(d)
, x = 2;
x2
se
x>2
1 + x2 − x3
(f)
, x = +∞;
1 + x4
1
(h) , x = 0.
x
(b)
22
6. Estude a continuidade das funções e classifique as descontinuidades, se existirem.

½
 x2 − 4x + 3
ex
se x < 2
se x 6= 3 ;
(a) f (x) =
(b)
f
(x)
=
;
2
x
−
3
x +1
se
x≥2

2
se
x=3
(
(
1
1
se x < 1
se x < 0
(c)f (x) =
;
(d) f (x) =
.
x−1
x
x
ln(1 + x) se
x≥0
e
se x ≥ 1
7. Considere a função:
(
f (x) =
2x2 − k
1
x+
x
se
x<3
se
x≥3
.
Determine k de forma que a função seja contı́nua em x = 3.
8. Considere a função:


µ ¶
1
x sin
f (x) =
x

5
se
x 6= 0
se
x=0
.
(a) Mostre que f (x) não é contı́nua em x = 0.
(b) O que seria necessário alterar para que a função passasse a ser contı́nua em x = 0.
√
9. Discuta a continuidade de f (x) =
x2 − 9
.
x−3
23
Capı́tulo 4
Cálculo Diferencial
1. Calcule as seguintes derivadas, por definição:
(a) f (x) =
2
, no ponto x = 1;
x
(b) f (x) =
x−1
, no ponto x = 0;
2−x
(c) f (x) = ln x, no ponto x = 2.
2. Determine, usando a definição, f 0 (x0 ) nos seguintes casos:
1
, x0 ∈ R\{0};
x
√
(b) f (x) = x, x0 ∈ R+ ;
(a) f (x) =
(c) f (x) = ln x, x0 ∈ R+ .
3. Calcule, se existirem, as derivadas laterais de cada uma das seguintes funções:

 x2
+ 1 se
x < 2 , no ponto x = 2;
(a) f (x) =
2
 2x
−1
se
x≥2
½
(x − 3)2 + 1 se 0 ≤ x < 3
(b) f (x) =
, no ponto x = 3;
2x − 5
se 3 ≤ x ≤ 5
(
x
se x 6= 0
1
, no ponto x = 0 .
(c) f (x) =
1 + ex
0
se x = 0
24
4. Calcule a função derivada das seguintes funções reais:
1
x
;
+
(x + 1)2
x+2
(4)f (x) = (3x2 + 5x)3 ;
2x + 1
(6)f (x) =
;
3−x
p
4
(8)f (x) = x3 + 2x;
(1) f (x) = 3x(2x + 1)(2 − 3x);
(2) f (x) =
(3)f (x) = 4(3 − x) ;
(5)f (x) = (x2 + 1)3 (3 − x)2 ;
r
x+1
(7)f (x) =
;
2−x
3x
(9)f (x) = e ;
√
(11)f (x) = 3 x ;
1
(10)f (x) = 2 x ;
x+1
(12)f (x) = e x−1 ;
ln (x) + 1
;
(14)f (x) =
ln x −√1
(16)f (x) = ln
p(ln ( x));
(18)f (x) = 7 Ã
(x3 + x2 )6 ; !
r
1 + sin x
(20)f (x) = ln
;
1 − sin x
(13)f (x) = xx ;
(15)f (x) = sin3 (2x) ;
(17)f (x) = ln (arctan (3x)) ;
√
(19)f (x) = sin (x) tan (x2 ) + cos ( 3 x) ;
x
(21)f (x) = (sin x)ln(tan x) ;
(22)f (x) = 5 x−1 ; µ
¶
ex − e−x
(24)f (x) = arctan
;
2
1
(26)f (x) = 3 ln x ;
(23)f (x) = ln(sin2 x) + sin(ln(x)) ;
(25)f (x) = (xx )x ;
ex−1
(27)f (x) =
;
1 + ex
ln(ln x)
;
(29)f (x) =
arccos x
(31)f (x) = coshµx ; ¶
√
1
(33)f (x) = tan
− cosh( x + 1) ;
2x
cos x
(35)f (x) = ex µ
;
¶
2x
(37)f (x) = ln
;
1 + 3x 2
(28)f (x) = ex − (1 − x2 );
(30)f (x) = sinh x;
(32)f (x) = tanh x;
(34)f (x) = sinh(ln x);
(36)f (x) = ln(tan (x5 ));
(38)f (x) = cosh(x2 ) ln(sinh x) .
5. Mostre que se y = c1 e2x + c2 xe2x + ex , c1 e c2 constantes, então y 00 − 4y 0 + 4y = ex
6. Calcule a derivada de ordem n das seguintes funções.
(a) f (x) = xm ;
(b) f (x) = sin x;
(c) f (x) =
1
.
x
7. Mostre que a derivada de ordem n da função f (x) = xe−x é dada por f (n) (x) = (−1)n (x − n)e−x .
8. Mostre que, a derivada de ordem n da função f (x) = ln(ax + b), é dada por
f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1) !
an
, para todo o n natural.
(ax + b)n
9. Em cada uma das alı́neas, calcule a derivada da função h(x) = (f og)(x) utilizando o Teorema da
Derivada da Função Composta:
(a) f (x) = 3x2 + 1 e g(x) = x2 −
(b) f (x) =
√
3
√
x;
x e g(x) = cos x;
(c) f (x) = 3x2 − 2 e g(x) = cos x;
25
(d) f (x) = x3 − 3x2 e g(x) =
√
x − 1.
10. Determine as equações da recta tangente e da recta normal às seguintes curvas, nos pontos
indicados.
(a) f (x) = x3 − 3x + 2, x0 = 2;
(b) f (x) = 2x3 − 4, x0 = 2;
(c) f (x) = ln x, x0 = 5;
(d) f (x) = x2 , x0 = 0;
(e) f (x) =
p
4 − x2 , x0 = 0;
(f) f (x) = x2 − ln(2x − 5), x0 = 3.
11. Escreva a equação da recta tangente a x2 − xy + y 2 = 1 no ponto (−1, 0).
√
√
12. Seja y = f (x) definida implicitamente por x + y = 2. Escreva a equação da recta normal
ao gráfico de f no ponto de ordenada y = 1.
13. Considere a função y = f (x), definida implicitamente por arcsin(x − y) = tan(y − 1).
(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da função y = f (x).
(b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de ordenada y = 1.
14. Considere a função y = f (x), definida implicitamente por y 3x
2
+1
+ arctan (x2 y) = ln(e + y − 1).
(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da função y = f (x).
(b) Escreva a equação da recta tangente à curva no ponto de ordenada y = 1.
2
15. Seja y = f (x), definida implicitamente por ey −1 + arctan(x2 y) = ln(e + y − 1). Escreva a
equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y = 1.
√
16. Seja y = f (x) definida implicitamente por arctan(xy) + y = 1. Escreva a equação da recta
normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y = 1.
√
17. Seja y = f (x) definida implicitamente por arcsin y + x + y = 1. Escreva a equação da recta
normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y = 0.
18. Seja y = f (x) a função definida implicitamente pela equação xy = y 2 .
(a) Determine a equação da recta normal ao gráfico da função no ponto de ordenada −1.
(b) Calcule (F of )0 (1) sabendo que F 0 (−1) =
1
e
19. Seja y = f (x) definida parametricamente por x = arg sinh(3t + t3 ) e y = tanh t, (t ∈ R).
Calcule f 0 (0).
26
20. Calcule f 0 (0) e escreva uma equação da recta tangente
da função y = f (x), no
 ao gráfico
3t
−3t
e
−
e

 x=
e3t + e−3t , (t ∈ R).
ponto x = 0, sendo f definida parametricamente por
2

 y=
3t
e + e−3t
21. Um objecto rola num plano inclinado de tal modo que a distância s(t) (em metros) que ele
percorre, em t segundos, é dada por s(t) = 5t2 + 2.
(a) Qual a sua velocidade após um segundo?
(b) Quando é que a sua velocidade será de 28m/s?
22. A função posição s(t), de um ponto em movimento rectilı́neo, é dada por
s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10,
com t medido em segundos e s em metros.
(a) Determine a aceleração quando a velocidade é de 12m/s.
(b) Determine a velocidade quando a aceleração é de 10m/s2 .
23. Prove que f (x) = x3 − 8x − 5 verifica a hipótese do Teorema do Valor Médio em [1, 4] e
determine c ∈]1, 4[ que satisfaz a conclusão do referido Teorema.
24. Se f (x) = |x|, mostre que f (1) = f (−1) ,mas f 0 (c) 6= 0, ∀c ∈] − 1, 1[. Porque não contradiz
tal facto o Teorema de Rolle?
25. Mostre que f (x) = 3x2 − 12x + 11 satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle em [0, 4].
26. Verifique se a função f (x) =
1
satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio em
(x − 1)2
[0, 2].
27. Prove que a função f (x) = 5sin(x) − 20 log3π (x + 1) tem pelo menos um zero no intervalo
[0, 3π] e determine-o com duas casas decimais correctas.
28. Calcule os limites:
√
2− 4−x
(a) lim
,
x→0
x
7 sin(x) − 2x − x2
,
x→0
sin(x) − 2x
(g) lim
x→0
(c) lim
4x3 + 2x2 + 1
,
x→+∞
3x3 − 5
(f) lim
x→−∞
(d) lim
√
x+1
,
x
(b) lim
(h) lim
x→−∞
eαx − eβx
,
x→0 sin(αx) − sin(βx)
x→ 2
2
(x)
x+1
x
sin(x)
,
x→0
x
(j) lim
(m) limπ (1 − sin(x))cos
(e) lim
µ
1 + x2 − 1
,
x
x→0
(k) lim
x2 + x − 1
;
x→+∞
2x + 5
¶x
,
x − cos(x)
;
x + cos(x)
(i) lim
x→0
x sin(x)
;
1 − cos(x)
(l) lim xe−x ;
x→+∞
.
29. (a) Enuncie e faça a interpretação geométrica do Teorema de Lagrange (Valor Médio).
(b) Dada a função f (x) =
0
c ∈]1, 2[,tal que f (c) =
√ 1 , verifique
x−1
f (2)−f (1)
.
2−1
27
se o teorema anterior garante a existência de
30. Considere a função f , real de variável real, definida por:
f (x) =
³π ´


sin
x


2
, x≤1


 ln(2 − x)
2 − 2x
, x>1
.
(a) Indique o domı́nio da função.
(b) Estude a continuidade da função no seu domı́nio.
31. Calcule lim
x→0
ln(cos(x))
.
x2
32. Estude as seguintes funções, reais de variável real, quanto à monotonia e determine o seu
contradomı́nio, calculando em seguida, se existir, a inversa.
1+x
x
(a) f (x) = x2 ,
(b) f (x) =
,
(c) f (x) =
;
ln(x)
1−x
(d) f (x) =
x+1
,
x
(e) f (x) = |x + 1|,
(f) f (x) = ln(x2 ).
33. Determine os máximos e mı́nimos locais das seguintes funções.
p
√
√
(a) f (x) = 8 + x − 8 − x, (b) f (x) = 1 − x2 , (c) f (x) = xe−x ;
(d) f (x) = |
x+1
|,
x−3
(e) f (x) = x2 +
1
,
x
(f) f (x) = sin(x) +
x
.
2
34. Estude as seguintes funções quanto ao sentido da concavidade e determine eventuais pontos
de inflexão.
x2 − 2x + 2
(a) f (x) = x3 − 3x2 ,
(b) f (x) =
, (c) f (x) = xx ;
x−1
(d) f (x) = sin(x) + cos(x),
(e) f (x) = √
x
x2
−1
,
(f) f (x) = cos(3x).
35. Determine as assı́mptotas de curvas representativas, das seguintes funções reais de variável
real.
sin(x)
2x
, (b) f (x) = e−x + x, (c) f (x) =
;
(a) f (x) =
1 − x2
x
(d) f (x) =
x3
,
+1
x4
(e) f (x) =
1
,
1 − ex
(f) f (x) = ln(x2 ).
28
36. Faça o estudo completo das seguintes funções reais de variável real.
2
(a) f (x) = 2 − x2 ;
(b) f (x) =
;
(c) f (x) = x3 − 2x2 ;
x−5
x2 + |2x + 1|
;
x
(d) f (x) = ln(x + 1);
(e) f (x) =
(g) f (x) = e−x cos(x);
(h) f (x) = | ln |x||;


(j) f (x) =

√
−x
,
x<0
,
x≥0
(f) f (x) = sin(x) + cos(x);
(i) f (x) = arctan(sin(x) + cos(x));
.
ln(x + 1)
37. Considere a função


f (x) =

x2 − 4
se x < 2
.
ln(x − 1)
se
x≥2
Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições
(a) o domı́nio de f é ]1, +∞[.
(b) f é contı́nua em x = 2.
(c) f 0 (2) = 1.
(d) f tem um mı́nimo local em x = 0.
(e) f tem concavidade voltada para baixo em [2, +∞[.
38. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função real de variável real, para
x ∈ [−4, 4].
y
2
1
-4
-2
2
4
x
-1
-2
Faça um esboço gráfico da respectiva derivada.
39. De entre dois números reais positivos, cuja soma é 40, determine aqueles cujo produto é
máximo.
40. De entre os rectângulos de perı́metro P, qual o de maior área?
41. Uma pista de atletismo, com perı́metro de 400m, é formada por duas semicircunferências
iguais e dois segmentos de recta iguais. Quais são as dimensões da pista (comprimento dos
segmentos de recta e raio da circunferência) que compreendem área máxima?
29
42. Mostre que se a soma de dois números é constante, a soma dos seus quadrados é mı́nima
quando estes dois números são iguais.
43. As medidas sucessivas duma grandeza x (que varia em R) deram os seguintes resultados:
x1 , x2 , x3 , · · · , xn−1 , xn
Minimize a soma dos quadrados dos desvios
S(x) = (x − x1 )2 + (x − x2 )2 + · · · + (x − xn )2 .
44. Calcule
√ o diferencial das seguintes funções, nos pontos indicados, para os acréscimos referidos:
(a) 5 x,
x = 1,
dx = 0.1;
(b) y = ln(x) + x2 ,
(c) y = ex
(d) y =
2
√
4
−1
x,
,
x = 1,
dx = 0.01;
x = 0,
dx = 0.2;
x = 16,
dx = 0.1.
45. Calcule
o valor aproximado
de: √
√
√
4
5
(a) 1.02, (b) 0.98, (c) 9.002.
46. Obtenha, por meio de diferenciais, o aumento aproximado novolume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm a 10.1 cm. Qual a variação exacta do volume?
47. À medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha cónica cuja altura é
sempre igual ao raio. Se em dado instante, o raio é de 10 cm, use diferenciais para aproximar
a variação do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
48. Pretende-se construir uma caixa rectangular fechada com altura igual à largura e com 2 m3
de volume. Se os custos por metro quadrado de material, para os lados, o fundo e a tampa
são, respectivamente, 2 euros, 3 euros e 1 euro, determine as dimensões que minimizam o
custo total da caixa.
49. A soma dos lados AC e BC do triângulo da figura é dada por:
f (x) =
p
(x + a)2 + h2 +
p
(x − a)2 + h2 .
y
C(x,y)
h
A
−a
B
O
x
x
a
De todos os triângulos com base e área fixa, procure o que tem menor perı́metro.
30
50. O Sr. Manuel pretende alugar uma casa. Se ele viver a x quilómetros do seu local de
trabalho, o custo do seu transporte será de cx euros por mês. Por outro lado, a sua renda
25c
será
euros. A que distância do seu trabalho ele deverá viver, de forma que as suas
x+1
despesas, de transporte e renda, sejam mı́nimas.
31
Capı́tulo 5
Cálculo Integral
1. Calcule:
Z
(a)
3x dx;
Z
Z
1
x −x+1−
dx;
x+1
2
(d)
Z
(e)
Z
x
e cot(e ) dx;
Z
(j)
(h)
p
sin(3x)
1−
cos2 (3x)
(k)
dx;
(n)
Z
32x dx;
2. Calcule:
Z
(a)
x3 + x2 − 3x + 4 dx;
Z
(d)
Z
(g)
Z
Z
(p)
Z
(b)
Z
(e)
1
dx, n 6= 1;
(x − a)n
(h)
Z
(k)
arcsin(x)
√
dx;
1 − x2
(n)
etan(x)
dx;
cos2 (x)
Z
(i)
dx;
(l)
Z
tan(x)
dx;
cos2 (x)
(o)
1
(cos(6x) + cos(−2x)) dx;
3
(r)
(q)
1
dx;
x(1 + ln(x))2
2 cos(x) sin(x)
q
dx;
1 + sin2 (x)
1
(sin(5x) + sin(x)) dx;
2
Z
23x −
√
1
+ 1 − x dx.
x−5
tan2 (x) sec2 (x) dx;
(c)
Z
(f)
1
dx;
1 + cos(x)
(i)
Z
Z
1
dx;
1 + x − x2
(l)
sin(2x) cos(4x) dx;
(o)
Z
Z
x
Z
−3x
dx;
x4 + 54
√
x
(e 7 − e− 7 )2 dx;
(f)
Z
−x2
x2
− 2x3 + x5 + 2 dx;
3
Z
e4x
√
dx;
3 − e4x
√
2a
b
3
√ − 2 − 3k x2 dx;
x x
Z
x−1
dx;
a2 − x2
√
(m)
(q)
x2
√
dx;
a2 + x3
Z
(j)
(c)
2
−
dx;
x+3
4xe
Z
Z
(p)
3x
Z
x4
− 4 dx;
3
Z
earctan(x)
dx;
1 + x2
Z
(m)
e
Z
x
(g)
−x2 −
(b)
1
dx;
x2 + 2x + 5
1
dx;
x2 + a2
1
p
dx;
2
a − (x + b)2
Z
ln(x)
dx;
x
32
cos(6x) cos(5x) dx;
Z
(r)
3
tan(2x) cos(2x) sin( x) dx.
2
3. Calcule, utilizando o método de Primitivação por Partes:
Z
Z
Z
(a)
x ln(x) dx;
(b) ex cos(x) dx;
(c)
sin(ln(x)) dx;
Z
Z
(d)
xe−x dx;
(e)
x sin(x) dx;
(h)
x
dx;
cos2 (x)
(k)
Z
Z
x2 ex dx;
(f)
2x ln2 (x) dx;
(i)
ln(x) dx;
(l)
Z
(g)
Z
(j)
(m)
Z
Z
Z
(n)
x cos(x) dx;
(q)
Z
Z
Z
2
(s)
(x − 1) cos(x) dx;
(t)
x5x dx;
(x)
Z
Z
(v)
ln(2x) dx;
Z
arctan(x) dx;
(o)
arccos(x) dx;
(r)
Z
(p)
3x ex−1 dx;
Z
Z
cos(ln(x)) dx;
2x3 ex dx;
sin(3x) cos(x) dx;
Z
1
dx;
2
sin (x) cos2 (x)
√
x
arcsin(x) dx;
1 − x2
Z
(u)
(x + 1)10 (2x + 1) dx;
ln2 (x)
dx.
x2
4. Calcule as seguintes primitivas de potências de funções trigonométricas:
Z
Z
Z
Z
5
2
3
(a)
cos (x) dx; (b)
sin (x) dx; (c)
sin (x) dx; (d)
cos2 (x) dx;
Z
Z
sin4 (x) dx;
e)
(f)
Z
cot3 (x) dx;
(g)
Z
tan3 (x) dx;
tan2 (x) dx;
(h)
Z
cot4 (x) dx.
(i)
5. Calcule as seguintes primitivas de funções racionais:
Z
Z
1
x+1
(a)
dx;
(b)
dx;
(x − 2)(x − 3)
x(x − 1)2
Z
Z
x+1
2
dx;
(e)
dx;
(d)
(x + 1)(x − 3)
x(x − 1)
Z
(g)
Z
(j)
Z
(m)
x4 + 3x3
dx;
x2 − 3x + 2
1
dx;
(x − 1)2 (x + 1)2
x+1
dx;
(3x2 + 5)2 (x − 1)
Z
(h)
Z
(k)
Z
(n)
x+2
dx;
(x − 1)2
−x3 − 5x + 9
dx;
(x − 1)3 (x + 2)
x+3
dx;
x(x2 + 1)2
33
Z
(c)
Z
(f)
Z
(i)
Z
(l)
Z
(o)
1
dx;
(x − 2)(x + 2)
2x + 4
dx;
4x2 + 2x
x+1
dx;
x(x − 2)3
1
dx;
(x2 + 1)(x − 1)
(x + 1)2
dx.
x2 (x2 + 1)
6. Calcule as seguintes primitivas efectuando a mudança de variável adequada:
Z
Z
Z
x3
1
1
√
p
(a)
dx; (c)
dx;
(b)
dx;
2
2
x8 + 5
(1 − x ) 1 − x
x(3 − x)
Z
√
(d)
Z
(g)
Z
(j)
x3
dx;
1 − x2
Z
1
√
dx;
(4 + x2 ) 4 + x2
(e)
3x
dx;
2x
3 − 3x − 2
(h)
sin5 (x)
p
dx;
cos(x)
(k)
Z p
Z r
Z √
(f)
4 − 4x2 dx;
(i)
1−x
dx;
1+x
(l)
Z p
4 − x2 dx;
Z
7. Calcule as seguintes primitivas:
Z x
Z
e −4
2ex
(a)
dx;
(b)
dx;
2x
e −1
2 + ex + e−x
Z
(d)
Z
x2
√ dx;
x
(e)
x ln(x) dx;
(h)
Z
(g)
Z
Z
(j)
(m)
5x
dx;
53x + 5−x
(k)
(s)
Z
(n)
1
√
dx;
x + x1/3
(q)
Z
(t)
x5 dx;
(c)
Z
(f)
x
dx;
(x + 3)(x + 1)(x + 5)
(i)
1
dx;
x ln(x)
Z
cos(a + bx) dx;
Z
3
(l)
e2x
dx;
ex + 1
(o)
sin (x) dx;
Z
x sin(x) cos(x) dx;
Z
1
dx.
x2 − 9
ln(x)
dx;
x
Z r
Z
(p)
√
Z
arcsin(x) dx;
Z
x−1
√
dx;
x
1
√
dx;
(2x − 1) 1 − 2x
sin(x) cos(x)
dx;
1 + sin4 (x)
x arctan(x) dx;
Z
sin(x)
dx.
cos(x) + cos2 (x)
Z
(r)
arccos(x); dx;
Z
(u)
x+1
√ dx.
x
8. Seja h(x) = ex − 2x − 2
(a) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de h em x = 0.
(b) Prove que o gráfico da função dada intersecta a recta de equação y = −2x + 1 em pelo
menos um ponto do intervalo ]0, 2[.
(c) Determine a função H, primitiva de h, tal que H(0) = 0.
34
9. Calcule os seguintes integrais definidos:
Z 1
Z 5
3
(a)
5x dx;
(b)
4x2 − 12x dx;
0
Z
2
(d)
3
x dx;
e
1
Z
5
|x − 3| dx;
(g)
(j)
−1
Z
2
dx;
x
(f)
x(x2 − 1)9 dx;
(i)
(x + 1)(x3 + 2) dx;
(k)
2
1
x−2 sin( ) dx;
x
1
π
−2
Z
2
π
Z
1
(h)
−2
Z
3x dx;
−2
(e)
1
−1
(c)
3
Z
Z
Z
π
2
cos3 (x) dx;
0
Z
e
ln(x) dx;
(l)
1
4
2
x3 + 1
dx.
x2 − 1
10. Calcule a medida da área da região plana limitada pelos gráficos das equações:
(a) y = 0 e y = 4x − x2 ;
(b) y = x2 − 7x + 6, y = 0, x = 2 e x = 6;
(c) x = 8 + 2y − y 2 , x = 0, y = 1 e y = 3;
(d) y = x3 − 6x2 + 8x e y = 0;
(e) x = 4 − y 2 e x = 0;
(f) y = 6x − x2 e y = x2 − 2x;
(g) y 2 = 4x e y = 2x − 4;
(h) y = ex , y =
(i) y = e−x , xy = 1, x = 1 e x = 2;
(j) y = 2x , x + y = 1 e x = 1;
(k) y = e2x , y =
x
, x = 0 e x = 1;
x2 + 1
√
x, x = 0 e x = 1;
(l) y = sin(x), y = cos(x), x = −
π
π
ex= .
2
6
11. Calcule a medida da área da menor região limitada pelo cı́rculo x2 + y 2 = 25 e pela recta
x = 3.
12. Determine a medida da área de superfı́cie comum aos cı́rculos x2 + y 2 = 4 e x2 + y 2 = 4x.
13. Calcule a área da região plana fechada, delimitada por y = x2 e y = |x|.
14. Calcule a área da região plana fechada, compreendida entre as curvas y = x3 , y + x = 2 e
y + 1 = 0.
15. A região plana limitada pelos gráficos das equações y = x, y = 2x e y = x2 roda em torno
do eixo dos xx. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação.
16. A região plana limitada pelos gráficos das equações y = x3 e y 2 = x roda em torno do eixo
dos xx. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação.
17. Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo xx
(a) da elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 ;
(b) da região sob o gráfico da y = sin(x), x = 0 e x = π.
2
18. A região plana limitada pelos gráficos das equações y = e−x , y = 0, x = 0 e x = 1 roda em
torno do eixo dos yy. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação.
x
a x
19. Determine o volume do corpo gerado pela rotação da catenária y = (e a + e− a ) em torno
2
do eixo dos xx entre os planos x = 0 e x = a.
35
20. Determine o volume do toro gerado pela rotação do cı́rculo x2 + (y − b)2 = a2 em torno do
eixo das abcissas (supõe-se que b ≥ a).
21. A figura delimitada pela curva y = xex e pelas rectas y = 0 e x = 1, roda em torno do eixo
das abcissas. Determine o volume do sólido de revolução gerado.
22. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos yy, da
região limitada pela circunferência x2 + y 2 − 2y = 0.
23. Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios:
Z 1
Z +∞
Z
−x
(a)
ln(x) dx;
(b)
e dx;
(c)
0
0
Z
+∞
(d)
e
√
1
Z
0
(g)
−1
Z
+∞
1
√
a
Z
1
dx
b−x
1
√
(p)
−∞
1
dx;
1−x
Z
+∞
sin(x) dx;
+∞
Z
e2x dx;
1
(n)
−1
Z
(q)
0
Z
1
(x − a)
a
(a < b);
0
b
(k)
+∞
(i)
−∞
Z
1
dx;
x+1
−∞
(h)
Z
0
(f)
−∞
Z
x3 + 1
dx;
x2 − 1
1
(e)
x
dx;
1 + x2
b
(m)
x
dx;
1
dx;
x
(j)
Z
Z
√
− x
2
3
2
dx;
1
dx;
x2
+∞
2x + 1
dx;
x2 + 1
36
4
(l)
−1
Z
1
dx;
x−4
+∞
(o)
1
dx;
x−2
x7 dx
(a > 0);
a
Z
2
(r)
0
1
2
√ +√
dx.
x
2−x