MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 45
RELAÇÕES MÉTRICAS
EM UM TRIÂNGULO
QUALQUER
A
D
O
A
2R
B
a
C
A
C
b
m
a
h
c -m
B
Como pode cair no enem
Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha.
Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em
quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
a) 30min
b) 1h
c) 1h 30min
d) 2h
e) 2h 15min
Fixação
1) (UFRJ) O objetivo desta questão é que você demons-tre a Lei dos Cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura abaixo, mostre que
a2 = b2 + c2 - 2bc cosθ.
C
a
b
A
θ
B
Fixação
2) (UNIRIO)
B
C
60º
A
Deseja-se mediar a distância entre duas cidades, B e
––
C, sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km
––
e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura acima. Logo, a distância
entre B e C, em km, é:
a) maior que 90;
b) maior que 90 e menor que 100;
c) maior que 100 e menor que 110;
d) maior que 110 e menor que 120;
e) maior que 120.
Fixação
3) (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o
dos minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
Fixação
4) (UERJ) O triângulo ABC está inscrito em um círculo de raio R. Se cos  = 3/5, o comprimento
do lado BC é:
__
a) 2R
5
__
b) 3R
5
__
c) 4R
5
__
d) 6R
5
__
e) 8R
5
Fixação
5) Num triângulo ABC temos
a) Se
= 3m, calcule cos α.
^
b) Se b = ABC, oposto ao lado
= 3m,
= 4m e α = BÂC.
, for 60°, calcule sen α.
C
3m
A
α
4m
β
B
Proposto
1) Considerando a figura abaixo, calcule o valor do cos α.
R
α
R
3R
–––
2
Proposto
2) (UFRS) A figura a seguir representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12
km em
, 14 km em
, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da
inclinação α é:
a)
B
C
b)
c)
d)
e)
A
α
solo
Proposto
3) (UFF)
Ptolomeu (gravura do século XVI)
A Trigonometria desenvolveu-se como resultado de uma interação contínua e fecunda entre o modo de pensar matemático
e a arte de observar o céu. O famoso texto Almagesto, do astrônomo Ptolomeu, é, com efeito, um marco dessa relação.
Nele, há uma tabela da função corda que pode ser definida como segue:
Dado um círculo de raio unitário de um ângulo central θ (0º ≤ θ ≤ 360º), definimos a crd(θ) (lê-se a corda de θ) pela medida
do segmento de reta que une as extremidades do arco
subtendido pelo ângulo θ, conforme figura a seguir.
A
crd(θ) =
θ
B
a) Determine
crd(60°) e crd(90°).
b) Determine uma expressão para o comprimento do
––
segmento de reta AB em função do ângulo central θ, 0° < θ < 180°.
Proposto
4) (UFRJ) Na figura,
=3e
a)
= 2. A cosseno de α é:
B
b)
c)
d) 2 e) 3
A
α
30º
C
Proposto
5) (UERJ) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas,
–– ––
BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo CBD vale:
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
Proposto
6) O paralelogramo ABCD está dividido em triângulos equiláteros congruentes, de lados unitários, conforme sugere a figura a seguir.
C
D
N
M
A
A distância
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 6
é igual a:
B
Proposto
7) Dado o triângulo abaixo, calcule
.
A
3√2
B
4
45º
C
Proposto
8) Os lados de um triângulo medem 2√3, √6 e 3 + √3.
Determine o ângulo oposto ao lado que mede √6.
Proposto
9) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a
50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas
direções caixa-d’água−bomba e caixa-d’água–casa é de 60°.
Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros
de encanamento serão necessários?
Proposto
a10) (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um de seus ângulos é igual a:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
Proposto
11) (UERJ) Observe o paralelogramo ABCD.
D
C
M
b
A
a
B
2
2
a) Calcule
+
em função de
=ae
= b.
b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC.
Proposto
12) (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada
uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB)
mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do
ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
B
O
A
Proposto
13) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente,
e o ângulo A vale 30°.
O seno do ângulo B vale:
a) 1/2
d) 4/5
b) 2/3
e) 5/6
c) 3/4
Proposto
14) (FUVEST) Um triângulo T tem lados iguais a 4,5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é:
a) 5/6
b) 4/5
c) 3/4
d) 2/3
e) 1/8
Proposto
15) (PUC) Na figura, ABCD é um quadrado cuja área mede 4 m2, e C é o ponto médio do segmento AE. O comprimento de BE, em metros, é:
a) √5
b) 2√5
c) 5√2
d) 3√5
e) 4√2
E
D
A
C
B
Proposto
-16) (FUVEST) No cubo de aresta 1, considere as arestas AC e BC, e o ponto médio M de AC.
D
C
M
A
^ .
a) Determine o cosseno do ângulo BAD
^ .
b) Determine o cosseno do ângulo BMD
^
^ ou BMD, é o maior? Justifique.
c) Qual dos ângulos, BAD
B
Proposto
17) (UFRJ) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o
ângulo α mede 120°.
a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
b) Determine a área do polígono.
α
Proposto
18) (UEL) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo encontram-se os yanomami.
Estimados em cerca de 9.000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia
yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos:
o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com
raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20
km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas.
Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra
8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta
na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça
antiga, a distância do ponto de partida até este local é:
a) 8√3 km
b) √3/3 km
c) 3√8 km
d) 8√2 km
e) 2√8 km