Área Interdepartamental de Matemática
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
PROBABILIDADES
E
ESTATÍSTICA
COLECTÂNEA
DE
EXERCÍCIOS
Engenharia Informática
Ano Lectivo 2006/2007
Os exercı́cios não resolvidos nas aulas práticas constituem elementos de trabalho complementar que os alunos devem realizar e esclarecer junto da docente, salvo indicação em
contrário.
Nota: Os exercı́cios assinalados com um asterisco (*) saı́ram em exames de anos lectivos
anteriores.
Lı́gia Henriques Rodrigues
Gab. 106
Atendimento / Orientação Tutorial
5ª feira: 14h00 - 14h30 / 17h30 - 18h00
6ª feira: 14h00 - 14h30 / 16h00 - 18h30
1ª PARTE
Capı́tulo 1
Noções Básicas de Probabilidades
1.1 Qual o número de permutações possı́veis com as letras A, B, C e D?
1.2 Qual o número de combinações para as mesmas letras, A, B, C e D, tomadas 3 a 3 ?
1.3 Qual o número total de chaves diferentes que é possı́vel formar num jogo de totobola?
1.4 Qual o número de permutações das letras da palavra ”estatı́stica”?
1.5 As peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não
defeituosas (N). As peças vão sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma
paragem quando se obtenham duas peças defeituosas consecutivas ou quando se tenham
registado quatro peças.
Descreva o espaço de resultados desta experiência.
1.6 Lança-se 3 vezes uma moeda equilibrada:
(a) Defina o espaço amostral desta experiência.
(b) Calcule a probabilidade de obter:
i. duas caras;
ii. pelo menos uma cara.
1.7 Um dado é lançado duas vezes. Seja A o acontecimento “soma das pintas obtidas nos
dois lançamentos diferente de quatro”. Calcule P (A).
1.8 Considere a experiência aleatória do exercı́cio anterior e os acontecimentos:
A - “saı́da de um número de pintas, no primeiro lançamento não superior a 2”;
B - “saı́da de um número de pintas, no segundo lançamento, pelo menos igual a 5”.
Qual a probabilidade de que se verifique A ou B.
1.9 Numa revista um economista afirmou que considerava a ”melhoria”da situação financeira tão provável como a sua ”estagnação”. No entanto encarava a ”melhoria”como
duas vezes mais provável que a ”quebra”da actividade económica.
(a) Que espaço de resultados está implı́cito nestas observações?
(b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaço?
1
1.10 Três atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar é duas vezes
maior do que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a do C ganhar. Qual a
probabilidade de cada um dos atletas ganhar a prova?
1.11 Mostre que, com P (A) = P (B) = 0.6, A não pode ser mutuamente exclusivo com B.
1.12 Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população de certa
cidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, é dada
pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da população):
Consumidores
das Marcas
A
51
B
62
C
40
AeB
28
AeC
21
BeC
24
A, B e C
10
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nessa cidade, seja consumidora
de:
(a) Das marcas A ou B;
(b) Somente de A e C;
(c) Somente C;
(d) De pelo menos uma das marcas;
(e) De nenhuma delas.
1.13 Sejam A e B dois acontecimentos tais que:
P (A) + P (B) = x e P (A ∩ B) = y.
Determine em função de x e y, a probabilidade de que:
(a) Não se realize nenhum dos acontecimentos;
(b) Se realize um e um só dos acontecimentos;
(c) Se realize pelo menos um dos acontecimentos;
(d) Se realiza quanto muito um dos acontecimentos.
1.14 Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:
ˆ P (A) = P (B) = P (C)= 14 ;
ˆ P (A ∩ B)=P (C ∩ B) = 0;
ˆ P (A ∩ C)= 18 .
Calcule a probabilidade de que, pelo menos um dos acontecimentos ocorra.
1.15 Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que:
P (A ∪ B) =
1
5
7
; P (A ∩ B) = ; P (Ā) =
8
4
8
Calcule:
(a) P (A).
2
(b) P (B).
(c) P (A ∩ B̄).
1.16 Se P (A ∩ B) = 0.6, qual o maior valor para P (A|B).
1.17 Sendo P (A) = 0.5 e P (A ∪ B) = 0.7, determine:
(a) P (B) sendo A e B independentes.
(b) P (B) sendo A e B mutuamente exclusivos.
(c) P (B) sendo P (A|B) = 0.5.
(d) P (B) sendo P (A|B) = 0.4.
1.18 Considere três acontecimentos A, B e C tais que:
P (C) = 0.3; P (B|C) = 0.4; P (B̄|C̄) = 0.8; P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) = 0.2.
(a) Calcule P (C|B).
(b) Calcule P [(B ∩ C)|A].
(c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes.
1.19 Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos
num espaço de resultados Ω. Mostre que:
P (A ∩ C|B ∩ C) = P (A|B ∩ C) =
P (A ∩ B|C)
.
P (B|C)
1.20 Considere um espaço de resultados constituı́do por N elementos Ai e por M elementos
Bj . Os acontecimentos Ai são equiprováveis, o mesmo se passando com os acontecimentos Bj . Sabe-se, que P (Bj ) = 2P (Ai ). Considere o acontecimento A formado por
n acontecimentos Ai e por m acontecimentos Bj e prove que:
P (A) =
n + 2m
.
N + 2M
1.21 Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em quı́mica
e 10% em matemática e quı́mica. Um estudante é seleccionado aleatoriamente:
(a) Se ele foi reprovado em quı́mica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em
matemática?
(b) Se foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em
quı́mica?
(c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática ou em quı́mica?
1.22 Numa certa cidade 40% da população tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e
15% tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa é seleccionada aleatoriamente:
(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos?
(b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos?
3
(c) Qual a probabilidade de não ter nem olhos nem cabelos castanhos?
(d) Se ela não tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos?
(e) Se ela não tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de não ter olhos castanhos?
1.23 Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuição por classes e por
idades é a seguinte:
Idades
até 21 anos
de 21 até 50 anos
mais de 50 anos
Homens
5
30
15
Mulheres
3
18
9
(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher?
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem, sabendo-se que
tem mais de 50 anos?
(c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem ou ter mais de
50 anos?
(d) Os acontecimentos ”a pessoa escolhida ao acaso é homem”e ”a pessoa escolhida ao
acaso tem mais de 50 anos”são independentes? Justifique a resposta.
1.24 As probabilidades de três atiradores A, B e C acertarem no alvo são iguais a 0.75, 0.80
e 0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de:
(a) Os três atiradores acertarem simultaneamente.
(b) Pelo menos um dos atiradores acertar.
1.25 O Rui entrou na universidade e foi informado que há 30% de possibilidade de vir a
receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidade
de se licenciar é 0.85, enquanto que no caso de não obter bolsa a probabilidade de se
licenciar é 0.45.
(a) Qual a probabilidade de que o Rui se licencie.
(b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui já licenciado, qual a probabilidade de que
tenha recebido bolsa de estudo?
1.26 Dos candidatos a um emprego 30% são mulheres e 70% são homens; 60% das mulheres
e 40% dos homens têm estudos superiores.
Determine a probabilidade de que um candidato seleccionado aleatoriamente:
(a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores.
(b) Seja um homem e não tenha estudos superiores.
1.27 Uma empresa produz um bem a partir de 3 processos de fabrico. Sabe-se que 20% da
produção tem por base o 1º processo, 30% o 2º e 50% o 3º.
Com base em estudos anteriores, chegou-se à conclusão que, do total de bens produzidos pela empresa, 7.5% são defeituosos, sendo a percentagem de defeituosos entre os
produzidos pelo 1º processo de 10% e pelo 2º também de 10%.
4
(a) Determinado produto foi produzido pelo 3º processo de fabrico. Qual a probabilidade de ser defeituoso?
(b) Determinado produto está defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido produzido
pelo 3º processo de fabrico?
1.28 Uma loja de brinquedos emprega três mulheres para tentar fazer embrulhos durante a
época de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 3%
das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 8% das
vezes; Joana embrulha os restantes presentes e esquece-se de tirar o preço 5% das vezes.
(a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter preço?
(b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente ainda
tinha preço. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.
1.29 Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantes
não lêem as instruções que acompanham os produtos que manipulam, e entre os que
as lêem ainda há 10% dos acidentes devido à falta de precaução na utilização desses
produtos.
Qual a probabilidade de que um estudante que não lê as instruções venha a ter um
acidente, se é de 0.7, a probabilidade de que um acidentado não tenha lido as instruções?
1.30 Uma empresa de construção civil produz telhas para o mercado nacional e internacional,
sendo ambos os mercados equiprováveis. Sabendo que 10% das telhas lançadas no
mercado nacional apresentam deficiências e que a proporção é de 3.3% no mercado
externo. Determine:
(a) A percentagem de telhas defeituosas na produção total da empresa.
(b) Sabendo que encontrou uma telha sem defeitos, qual a probabilidade de ter sido
produzida para o mercado nacional?
1.31 Um fornecedor tem grande parte do seu stock constituı́do por martelos pneumáticos do
mesmo tipo provenientes de três fábricas A, B e C. 60% dos aparelhos são produzidos na
fábrica A e os restantes em B e C na proporção de 3 : 1. Sabe-se que, respectivamente,
20%, 10% e 5% dos martelos provenientes de A, B e C têm defeitos.
(a) Determine a percentagem de aparelhos do stock que têm defeitos.
(b) Sabendo que foi encontrado um martelo pneumático com defeito, indique qual a
fábrica que, com maior probabilidade, lhe terá dado origem?
1.32 (*) Uma fábrica de televisores compra 14 dos transı́stores de que necessita ao fornecedor
A que garante uma fiabilidade (bom funcionamento) de 0.8 ao seu material. A aquisição
do restante material é igualmente dividida por outras duas firmas, B e C, que garantem,
respectivamente, uma fiabilidade de 0.9 e 0.7.
(a) Qual a fiabilidade de um transı́stor seleccionado ao acaso?
(b) Qual a origem mais provável de um transı́stor que, escolhido ao acaso, se verificou
ter funcionado bem?
5
1.33 (*) Uma companhia que produz transı́stores tem 3 linhas de montagem A, B e C
produzindo respectivamente 15%, 35% e 50% da sua produção global. Suponha que as
probabilidades de um transı́stor produzido por cada uma dessas linhas ser defeituoso
são, respectivamente de 0.01, 0.05 e 0.02.
(a) Se for escolhido ao acaso da produção global um transı́stor, qual a probabilidade
de ele não ser defeituoso?
(b) Se ao seleccionarmos ao acaso um transı́stor, verificarmos que não tem defeitos,
qual é a probabilidade de ter sido produzido na linha de montagem B?
1.34 (*) A execução de um projecto de construção de um edifı́cio no tempo programado está
relacionada com os seguintes acontecimentos:
E = ”escavações executadas a tempo”
F = ”fundações executadas a tempo”
S = ”superstrutura executada a tempo”
supostos independentes e com probabilidades iguais a, respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9.
Calcule a probabilidade de:
(a) O edifı́cio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazos nas
três actividades referidas.
(b) O prazo de execução ser cumprido para a escavação e não ser cumprido em pelo
menos uma das outras actividades.
1.35 (*) O Zézé vai tirar a carta de condução. Antes de fazer os exames, com as novas regras,
estima em 0.9 a probabilidade de passar no exame de código e como ás no volante que é,
em 0.95 a probabilidade de passar no exame de condução se passou no exame de código.
(a) Determine a probabilidade de o Zézé tirar a carta de condução.
(b) Se não tirar a carta, qual a probabilidade de não ter passado no exame de código.
6
Capı́tulo 2
Variáveis Aleatórias
2.1 Considere-se o lançamento de três moedas e a variável aleatória X={número de faces}.
Determine a função de probabilidade e a função de distribuição.
2.2 Numa caixa estão 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são extraı́das aleatoriamente e os seus números anotados. Determine a função de probabilidade e a função de
distribuição de:
(a) X={máximo dos dois números seleccionados}.
(b) Y ={soma dos dois números seleccionados}.
2.3 Sendo a função de probabilidade de X indicada por:
X
f (x)
0
1
1
10
1
5
2
K
3
1
10
(a) Indique o valor de K.
(b) Deduza a função de distribuição de X.
(c) Determine a de forma a ter P(X ≤ a) ≥ 0.5.
(d) Calcule P(X = 3|X ≥ 1).
2.4 A variável discreta X apresenta a função de distribuição a seguir tabelada.

0
, x<1





0.1
, 1≤x<2

F (x) =
0.4 , 2 ≤ x < 3



0.9 , 3 ≤ x < 4



1
, x≥4
(a) Calcule P(X ≤ 2) e P(X > 1).
(b) Deduza f (x) e represente graficamente as duas funções.
2.5 Verifique se as funções indicadas podem ser funções de probabilidade de alguma variável
aleatória.
1
(a) f (x) = , para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
5
7
(b) f (x) =
x+1
, para x = 1, 2, 3, 4.
14
2.6 Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas para um certo tipo de bolo. Determine
o número esperado de bolos encomendados.
N. de bolos/dia
Probabilidade
0
0.02
1
0.07
2
0.12
3
0.20
4
0.20
5
0.18
6
0.10
7
0.10
8
0.01
2.7 Seja X a variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
X
f (x)
2
0.10
3
0.35
4
0.20
5
0.10
6
0.10
7
0.08
8
0.07
(a) Calcule o valor médio, a moda e a mediana.
(b) Qual o valor da variância e do desvio padrão.
(c) Verifique se a distribuição é simétrica.
2.8 A função de probabilidade da variável aleatória que designa o número de peças defeituosas numa amostra é definida por,

0.512 ,





 0.384 ,
x=0
x=1
0.096 , x = 2
f (x) =



0.008 , x = 3



0
, outros valores de x
(a) Represente-a graficamente.
(b) Calcule:
ˆ P(X ≥ 1);
ˆ P(X < 2);
ˆ P(1 < X ≤ 4).
2.9 Seja Y a variável aleatória com função de probabilidade:
 2
 y +1
f (y) =

0
, y = −2, −1, 0, 1, 2
k
, outros valores de y
(a) Determine k de forma a que f (y) seja uma função de probabilidade.
(b) Faça a representação gráfica de f (y).
2.10 Considere a variável aleatória discreta X, com a seguinte função de distribuição:

0
, x<0





1/6
, 0≤x<2

F (x) =
1/4 , 2 ≤ x < 4



1/2 , 4 ≤ x < 6



1
8
, x≥6
(a) Determine a função de probabilidade.
(b) Calcule:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
P(X ≤ 1);
P(2 ≤ X < 6);
P(0 < X ≤ 2);
P (X > 5).
2.11 O número de automóveis encomendados mensalmente num stand, é uma variável aleatória
X com a seguinte função de distribuição:

0
, x<0





0.3
, 0≤x<1



F (x) =
0.6 , 1 ≤ x < 2

0.8 , 2 ≤ x < 3




0.9 , 3 ≤ x < 4



1
, x≥4
(a) Calcule a função de probabilidade.
(b) Quantos automóveis o stand deve ter num mês, para que a probabilidade de satisfazer todas as encomendas não seja inferior a 0.75?
2.12 Considere a seguinte função de probabilidade:
 2
 x
f (x) =
 14
0
, x = 1, 2, 3
, outros valores de x
(a) Mostre que a função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função
de probabilidade e represente-a graficamente.
(b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente.
(c) Calcule P(X = 1|X ≤ 2).
(d) Determine E(X) e V (X).
2.13 Determine E(X) e V (X) das distribuições dos exercı́cios 2.1, 2.2 e 2.6.
2.14 Relativamente à distribuição da variável X, sabe-se que: E(X)=6 e E(X 2 )=62. Sendo
1
Y uma outra variável aleatória dada por Y = X + 3, determine:
2
(a) E(Y ).
(b) V (Y ) e σY .
2.15 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que V (X) = 2, V (Y ) = 4 e COV (X, Y ) = −2.
Determine V (3X − 4Y + 8).
2.16 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que V (X) = 1, V (Y ) = 2.
Determine V (5X − 2Y + 3).
9
2.17 Sejam X e Y = aX + b duas variáveis aleatórias tais que E(X) = 1, E(Y ) = 5,
V (X) = 0.25 e V (Y ) = 4. Determine os valores de a e de b.
2.18 Considere a v.a. X, contı́nua, com função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:

 1
f (x) =
 02
x , 0<x<2
, outros valores de x
(a) Faça a sua representação gráfica e mostre que se trata de uma f.d.p..
(b) Calcule P(X ≤ 1), P( 14 < X ≤ 12 ) e P(X > 32 ).
(c) Calcule P(X < 1| 12 < X < 2).
2.19 A v.a. X é caracterizada pela seguinte função densidade de probabilidade:
f (x) =
 2
x




 x
1




 12
0
, −1 < x ≤ 0
, 0<x≤1
, 1<x<3
, outros valores de x
(a) Verifique que se trata de uma função densidade de probabilidade.
(b) Calcule P( 12 < X < 2).
(c) Deduza a função de distribuição.
2.20 Uma variável aleatória contı́nua tem a seguinte função densidade de probabilidade:


0


 k
,
,
f (x) =
 k(2 − x) ,



0
,
x<0
0≤x<1
1≤x<2
x≥2
(a) Calcule:
ˆ k.
ˆ P(X < 1.5).
ˆ E(X) e V (X).
(b) Obtenha a função de distribuição.
2.21 A quantidade de pão que uma padaria vende diariamente (em quilogramas) é uma
variável aleatória com distribuição de probabilidade dada pela seguinte função densidade:


, 0 ≤ x ≤ 50
 ky
k(100 − y) , 50 ≤ y ≤ 100
f (y) =

 0
, c. c.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Determine a quantidade média de pão vendida diariamente.
(c) Qual a probabilidade de um certo dia a venda de pão ser superior a 80 kg?
10
2.22 Uma v.a. X tem a seguinte função densidade de probabilidade:


 x−1
, 1≤x<2
3−x , 2≤x<3
f (x) =

 0
, outros valores de x
(a) Obtenha a função de distribuição.
(b) Calcule o valor médio e o desvio padrão.
(c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 2.2).
2.23 As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleatória de
acordo com a seguinte f.d.p.:
(
f (y) =
0.04y + 0.13 , 1 ≤ y ≤ 5
0
, outros valores de y
(a) Calcule E(Y ) e V (Y ).
(b) Calcule a mediana das vendas mensais.
(c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana é uma variável aleatória definida
por: X = 200Y − 60. Calcule E(X) e V (X).
2.24 O tempo de espera entre chamadas (em minutos) numa central telefónica, pode ser
considerado como uma variável aleatória e é caracterizado pela seguinte f.d.p.,
(
f (x) =
(k − 2)e−x , x ≥ 0
0
, x<0
(a) Determine o valor de k.
(b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas, seja inferior
a 3 minutos?
(c) Determine o tempo médio de espera e o tempo de espera mais frequente entre duas
chamadas.
(d) Obtenha a função de distribuição da v.a. X.
(e) Calcule a probabilidade P (4 ≤ X < 6|X > 2).
2.25 (*) O diâmetro de um cabo (em polegadas) supõe-se ser uma variável aleatória contı́nua
X, com função densidade de probabilidade,
(
f (x) =
2kx(1 − x) , 0 ≤ x ≤ 1
0
, x<0∨x>1
(a) Determine o valor de k.
(b) Obtenha a função de distribuição de X.
(c) Qual a probabilidade de o diâmetro de um cabo ser superior a 0.80 polegadas?
(d) Calcule P(X ≤ 12 | 13 ≤ X ≤ 23 ).
11
2.26 (*) A percentagem de álcool em determinado composto pode ser considerada uma
variável aleatória X, com a seguinte f.d.p.:
(
f (x) =
20x3 (1 − x) , 0 < x < 1
0
, c. c.
(a) Determine a função de distribuição de X.
(b) Calcule E(X), V (X) e σX .
2.27 (*) A função densidade de probabilidade da variável aleatória X tem a seguinte expressão:

3

, 0≤x≤1
 x +x
,
1<x≤2
3x2 + 2x − 39
f (x) =
4

 0
, c. c.
(a) Calcule o valor esperado e a variância de X.
(b) Calcule as probabilidades:
i. P(X < −1).
ii. P(X < 3).
2.28 (*) Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
(
f (x) =
x
k−1
0
, 2≤x≤4
, c. c.
Determine:
(a) k.
(b) V (X).
(c) A correspondente função de distribuição.
2.29 (*) Uma estação de gasolina enche os reservatórios no princı́pio de cada semana. Supondo o volume semanal X de vendas (em milhares de litros) de gasolina, uma variável
aleatória contı́nua com a seguinte f.d.p.:
(
f (x) =
k(40 − x) , 0 ≤ x ≤ 40
0
, c. c.
(a) Determine o valor de k.
(b) Determine a média e a variância da variável aleatória Y = 2 − 3X.
(c) Calcule a probabilidade de o volume de vendas numa semana ser superior a 30 (mil
litros) de gasolina.
2.30 (*) Admita que o número de licenciados, em Engenharia Quı́mica Industrial, procurados
diariamente pelas empresas é uma variável aleatória, distribuı́da do seguinte modo:
12
X
f (x)
0
0.1
1
k
2
0.3
3
k
4
4
0.1
(a) Deduza a função de distribuição e calcule a de modo que P(0 < X ≤ a)=0.8.
(b) Determine o valor esperado do número de licenciados procurados diariamente.
(c) Calcule E(3X 2 + 1).
2.31 (*) A quantidade de bolos (expressa em kg) vendida diariamente no bar do IPT é uma
variável aleatória com a seguinte f.d.p.,
f (x) =

5k

 2
, 0≤x<5
k(10 − x) , 5 ≤ x < 10


0
, c. c.
(a) Obtenha o valor da constante k.
(b) Calcule a quantidade média de bolos vendida diariamente no bar do IPT.
(c) Determine a quantidade de bolos que deve ser recebida diariamente de forma a
satisfazer 80% dos pedidos.
13
Capı́tulo 3
Distribuições Teóricas
3.1 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se no entanto
que 40% dessas garrafas contém realmente menor quantidade do que o volume indicado
no rótulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de:
(a) Duas delas conterem menos de 1 litro?
(b) No máximo 2 conterem menos de 1 litro?
(c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro?
(d) Todas conterem menos de um litro?
(e) Todas conterem o volume indicado no rótulo?
3.2 Qual a probabilidade de, em 10 lançamentos de um dado perfeito:
(a) Se obterem 5 faces par?
(b) Se obterem 5 faces superiores a 4?
3.3 Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entra num supermercado M
realize despesa superior a 1.000$00.
(a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes:
ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?
ˆ no mı́nimo 2 gastarem mais de 1.000$00?
(b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes:
ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?
ˆ no mı́nimo 2 gastarem mais de 1.000$00?
3.4 Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um é de 12 . Calcule
a probabilidade de ficar bem:
(a) Em pelo menos 1 exame.
(b) Em exactamente 1 exame.
3.5 Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra,
calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas:
14
(a) Realizar 5 vendas.
(b) Realizar entre 4 e 8 vendas.
(c) Realizar quando muito 2 vendas.
(d) Realizar no máximo 10 vendas.
(e) Realizar pelo menos 12 vendas.
(f) Realizar no mı́nimo 3 vendas.
(g) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o número médio diário de vendas?
3.6 Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar que aproximadamente 60%
dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face à empresa, 30% uma
atitude hostil e 10% uma atitude não definida. Qual a probabilidade de num grupo de
12 trabalhadores:
(a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face à empresa?
(b) No máximo 2 terem uma atitude bem definida?
(c) Qual o número esperado de trabalhadores com atitude hostil?
3.7 Um avião comercial tem 4 motores independentes e num voo a probabilidade de cada
motor funcionar sem avarias é de 99%. Qual a probabilidade do avião fazer uma viagem
segura se, para isso, precisar de pelo menos 2 motores a funcionar correctamente.
3.8 A probabilidade de um automóvel efectuar uma lavagem automática, quando vai ser
abastecido de combustı́vel numa bomba de gasolina, é 0.1. Determine:
(a) A probabilidade de nenhum dos próximos 6 carros ser lavado.
(b) A probabilidade de pelo menos um dos próximos 10 automóveis efectuar uma
lavagem.
(c) A probabilidade de pelo menos 2 dos próximos 10 automóveis efectuarem lavagens
automáticas.
(d) O numero médio de lavagens em cada grupo de 25 automóveis.
3.9 Suponha que X tem distribuição binomial e que p=0.2 e E(X)=1. Calcule n e V (X).
3.10 Suponha que X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabendo que E(X)=5
e V (X)=4, determine n e p.
3.11 O número de chamadas que chegam num perı́odo de 5 minutos à central telefónica de
uma empresa, é uma v.a. com distribuição Poisson, de parâmetro λ=10. Calcule a
probabilidade, de num perı́odo de 5 minutos:
(a) Chegarem exactamente 8 chamadas.
(b) Chegarem menos de 5 chamadas.
(c) Chegarem, no mı́nimo, 3 chamadas.
(d) Chegarem pelo menos 20 chamadas.
15
(e) Não chegar nenhuma.
(f) Calcule a probabilidade de num perı́odo de 2 minutos chegarem exactamente 3
chamadas.
3.12 Numa fábrica o número de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de parâmetro
igual a 2. Calcule a probabilidade de que:
(a) Numa semana haja menos de um acidente.
(b) Se verifiquem 4 acidentes.
3.13 Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distribuição Poisson de parâmetro 5. Nos últimos 300 dias seguiu uma polı́tica de adquirir
8 artigos por dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock não chegou para
satisfazer as encomendas.
Quantos produtos (no mı́nimo) deverá ele passar a adquirir por dia se quiser fazer baixar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock ?
Nota: Os produtos não vendidos no próprio dia são inutilizados.
3.14 Durante 40 minutos consecutivos foi registado o número de partı́culas cósmicas que,
por minuto, incidem num dado aparelho detector. Os resultados foram compilados na
tabela que se encontra abaixo. Na suposição de que as partı́culas atingem o detector de
um modo aleatório e a um ritmo constante, qual será a probabilidade de cinco partı́culas
serem detectadas no minuto seguinte?
3
0
1
3
0
3
0
1
0
4
1
0
1
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
1
1
2
1
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
1
2
2
3.15 Um material radioactivo emite partı́culas α a uma taxa de duas por milisegundo. Determine a probabilidade de:
(a) Serem emitidas duas partı́culas num milisegundo.
(b) Serem emitidas quatro partı́culas em dois milisegundos.
(c) Serem emitidas pelo menos três partı́culas em dois milisegundos.
(d) Serem emitidas pelo menos cinco partı́culas em dois milisegundos sabendo que já
foram emitidas pelo menos duas partı́culas.
3.16 Admite-se que 5% da produção de certa fábrica seja defeituosa. Numa encomenda de
100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:
(a) 2 defeituosas.
(b) no máximo 2 defeituosas.
3.17 Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobre
o Tejo for de 0.0004, qual a probabilidade de que em 10000 carros haja menos de 3 a
sofrer tal percalço?
16
3.18 A procura diária para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuição Poisson.
Sabendo que que a procura a média diária é de 3 produtos e que o stock diário é mantido
em 6 unidades, calcule:
(a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.
(b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.
(c) O número esperado de clientes que ficam por satisfazer.
(d) O novo stock diário a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja no
máximo de 0.004.
(e) Em média quantos produtos são vendidos por dia, na hipótese:
ˆ de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido.
ˆ estar limitada ao stock diário de 6 unidades.
(f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no máximo 3
dias com vendas inferiores a 2 produtos.
(g) Durante o ano, qual o número esperado de dias com procura superior a 2 produtos
(admitir que o ano tem 365 dias úteis).
3.19 Uma pessoa tem no bolso 5 chaves do mesmo tipo, mas só uma abre a porta. Considere
o seguinte método:
Experimentar uma chave após a outra, sem as repor no bolso após cada tentativa.
Seja X a variável aleatória que corresponde ao número de chaves experimentadas (incluindo a que abre a porta).
(a) Determine a lei de probabilidade da variável X.
(b) Qual o número médio de chaves experimentadas pelo método considerado?
3.20 Considere o caso de uma fila de clientes, num estabelecimento comercial e suponha
que em cada unidade de tempo (30 segundos, por exemplo) chega ao estabelecimento,
no máximo, 1 cliente. Suponha ainda que a probabilidade de chegar um cliente é p
e a probabilidade de não chegar nenhum é 1 − p. Seja T uma variável aleatória que
representa o tempo até à chegada do próximo cliente.
(a) Qual a distribuição de T ?
(b) Qual a probabilidade de não chegar nenhum cliente nas próximas t unidades de
tempo?
(c) Qual o tempo médio até à chegada do próximo cliente?
3.21 Uma caixa tem doze ampolas, das quais quatro estão estragadas. Dela extrai-se uma
amostra de três ampolas, sem reposição. Determine a função de probabilidade e a função
de distribuição da v.a. que representa o número de ampolas estragadas.
3.22 De uma lista de 80 candidatos a um emprego sabe-se que apenas 20 têm menos de
25 anos. Se escolher 10 candidatos de uma forma aleatória e sem reposição, qual a
probabilidade de 5 terem menos de 25 anos?
17
3.23 Uma remessa de 20 barras de aço é aceite pelo comprador se, numa amostra de 5
barras, tiradas ao acaso e sem reposição, não houver mais do que uma defeituosa. Qual
a probabilidade de ser aceite um lote contendo 4 barras defeituosas?
3.24 Um determinado armazém de produtos alimentares possui em stock 4500 latas de conserva, entre as quais existem 225 cujo prazo de validade termina brevemente. Um
supermercado está interessado em comprar as 4500 latas. No entanto a gerência do supermercado decidiu não efectuar a compra se numa amostra de 30 latas, recolhidas ao
acaso e sem reposição, forem encontradas pelo menos 3 cujo prazo de validade termine
brevemente.
Qual a probabilidade de a compra não se efectuar?
3.25 Sabendo que a duração (em minutos) de uma conversa telefónica é uma v.a. T com
função densidade,
(
t
ke− 3 , t > 0
f (t) =
0
, t≤0
(a) Calcule:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k.
A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos.
A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos mas menos de 5.
A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos dado que a conversa
já dura à 2 minutos.
ˆ A duração média de uma conversa deste tipo.
(b) Obtenha a função de distribuição.
3.26 Muitos programas de computador possuem um utilitário chamado gerador de números
aleatórios. Este utilitário permite obter um (pseudo) número aleatório distribuı́do, em
geral, uniformemente em ]0, 1].
(a) Determine a função densidade de probabilidade deste tipo de geradores.
(b) Qual a probabilidade de o número gerado estar entre 0.3 e 0.5? E entre 0.2 e 0.4?
3.27 O gasto diário para a manutenção de um laboratório é um número uniformemente
distribuı́do entre 10 euros e 50 euros.
(a) Determine a média e a variância desta distribuição uniforme.
(b) Calcule a probabilidade de, num dia, o gasto ser superior a 40 euros. E qual será
a probabilidade de o gasto ser exactamente 20 euros?
3.28 A variável T representa o tempo de funcionamento sem avarias, expresso em dias, de
um determinado equipamento. A f.d.p. da v.a. T é definida pela expressão seguinte:
(
f (t) =
0.5e−0.5t , t > 0
0
, t≤0
(a) Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um perı́odo
compreendido entre 1 e 3 dias.
18
(b) Determine o valor esperado e a variância da variável T .
3.29 Considere uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é (b, c > 0):
(
0
c −x
e b
b
f (x) =
, x≤a
, x≥a
(a) Faça um esboço de f(x).
(b) Determine c em função d a e de b.
(c) Determine o E(X) e V (X).
3.30 Um departamento de reparação de máquinas recebe, em média, 5 chamadas por hora.
Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora?
3.31 Em média, atraca um navio em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de
que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo
navio?
3.32 Suponha que T, tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo, segue uma
lei exponencial com λ = 0,03.
(a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100
horas de funcionamento.
(b) Sabendo que o dispositivo não falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidade
de não falhar nas 200 horas seguintes?
(c) Que distribuição segue o número de falhas por unidade de tempo?
3.33 O tempo de funcionamento T entre avarias consecutivas, de uma determinada máquina,
é uma variável aleatória exponencial com média de 1 hora.
(a) Considere umas da máquinas. Qual a probabilidade de estar a funcionar ao fim de
1 hora? E de 2 hora? E de 3 horas?
(b) Considere um sistema de montagem composto por 4 destas máquinas. Qual a
probabilidade de 2 máquinas estarem ainda a funcionar (sem avarias) ao fim de 1
hora? E de 2 horas?
3.34 Seja X ∼ N (µ, σ 2 ) e Z =
X −µ
.
σ
(a) Mostre que: E(Z)=0 e V(Z)=1.
(b) Calcule as seguintes probabilidades: P (µ−σ < X < µ+σ), P (µ−2σ < X < µ+2σ)
e P (µ − 3σ < X < µ + 3σ).
3.35 A v.a. X segue uma distribuição Normal de parâmetros µ=20 e σ 2 =9.
(a) Determine as seguintes probabilidades:
ˆ P(X ≤ 23).
ˆ P(X ≤ 40).
ˆ P(X > 21).
19
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
P(X > 17).
P(21.5 < X < 25).
P(16.2 < X < 18.8).
P(17 < X < 29.3).
(b) Determine os valores da variável X tais que:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
P(X
P(X
P(X
P(X
≤ a)= 0.9332.
≤ b)= 0.1788.
≥ a)= 0.9989.
> b)= 0.0062.
3.36 O tempo requerido para executar certa tarefa é uma v.a. com distribuição Normal com
média 72 minutos e desvio padrão 12 minutos.
(a) Calcule a probabilidade de que:
ˆ A tarefa leve mais de 93 minutos.
ˆ Não leve mais de 95 minutos.
ˆ Leve entre 63 e 78 minutos.
(b) Determine os valores de a e b tais que:
ˆ P(X > a)=0.2546.
ˆ P(X < b)=0.0054.
3.37 Sabe-se que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ=3 e σ=2. Calcule:
(a) P(X < 4) ; P(X < 5) ; P(X > 15).
(b) P(X < 1); P(X < −1); P(X > 2); P(X > 3).
(c) P(4 < X < 5); P(−1 ≤ X ≤ 2); P(2 < X < 5).
3.38 O tempo (em minutos) que um operário leva a executa certa tarefa é uma v.a. com
distribuição Normal. Sabe-se que a probabilidade de o operário demorar mais de 13
minutos é de 0.0668 e a de demorar menos de 8 minutos é de 0.1587.
(a) Calcule o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio
padrão.
(b) Calcule a probabilidade de o operário demorar entre 9 e 12 minutos a executá-la.
3.39 Calcule a média e o desvio padrão da variável X ∼ N (µ, σ 2 ), sabendo que:
P(X ≥ 3)=0.8413 e P(X ≥ 9)=0.0228.
3.40 As variáveis independentes X e Y especificam os desvios (erros elementares) introduzidos por duas componentes de um aparelho eléctrico e têm distribuições normais de
médias 2 e 4 e variâncias 4 e 5, respectivamente. Sabendo que o erro à saı́da do aparelho
está associado aos erros destas duas componentes pela relação U = −X +3Y , determine
a probabilidade deste erro final ser superior a 15.
3.41 O conteúdo de certo tipo de garrafas é aleatório e com distribuição Normal de média
1 e desvio padrão 0.020. Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual a
probabilidade de este ficar com um volume de lı́quido superior a 3.1 litros?
20
3.42 As pontuações obtidas com um teste psicotécnico distribuem-se de uma forma aproximadamente Normal, sendo a pontuação média de 50p. e o desvio padrão de 10p..
Qual a probabilidade de, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 com
pontuações inferiores a 41.6 pontos?
3.43 A distribuição dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famı́lias (em u.m.) é
satisfatoriamente representada por uma lei Normal com parâmetros 180u.m. e 25u.m..
(a) Qual o número esperado de famı́lias nesse bairro auferindo entre 175u.m. e 188u.m.?
(b) Qual a percentagem de famı́lias que ganham menos de 163u.m?
(c) Qual o rendimento máximo auferido pelo grupo das 500 famı́lias de menores proveitos?
3.44 A despesa (euros) de um cliente num supermercado é uma variável aleatória X ∼ N (µ =
125, σ 2 = 400). Determine:
(a) A fracção de clientes que gastam mais de 150euros.
(b) O valor do consumo abaixo do qual estão os 10% de clientes menos gastadores.
(c) Considere o número de clientes que gastam uma importância entre 115euros e
135euros. Determine:
ˆ O número esperado destes clientes entre os próximos 50.
ˆ A probabilidade de entre os próximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.
3.45 A despesa (euros) de um cliente num supermercado é uma variável aleatória X ∼ N (µ =
125, σ 2 = 400). Determine:
(a) A fracção de clientes que gastam mais de 150e.
(b) O valor do consumo abaixo do qual estão os 10% de clientes menos gastadores.
(c) Considere o número de clientes que gastam uma importância entre 115e e 135e.
Determine:
ˆ O número esperado destes clientes entre os próximos 50.
ˆ A probabilidade de entre os próximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.
3.46 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se no entanto
que 40% dessas garrafas contém realmente menor quantidade do que o volume indicado
no rótulo. Em 100 garrafas existentes na loja, qual a probabilidade de:
(a) Haver 30 com menos de 1 litro?
(b) Haver não mais de 30 com menos de 1 litro?
(c) Haver mais de 45 com menos de litro?
(d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro?
3.47 O número de chamadas que chegam num perı́odo de 5 minutos à central telefónica de
uma empresa é uma v.a. com distribuição Poisson de parâmetro 10.
Calcule a probabilidade de:
21
(a) Em
1
2
hora, chegarem:
ˆ 65 chamadas.
ˆ Pelo menos 70 chamadas.
(b) Num dia (8 horas) chegarem:
ˆ Menos de 900 chamadas.
ˆ Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas.
3.48 O número de avarias que uma máquina tem por dia é aleatório e segue uma distribuição
de Poisson de média 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem:
(a) 76 avarias.
(b) Entre 70 e 75 avarias.
(c) Mais de 77 avarias.
(d) No máximo 70.
Nota: Considere que a máquina funciona nos 365 dias do ano.
3.49 (*) Suponha-se gestor de uma empresa, de componentes electrónicas, cujos lucros mensais (em milhares de escudos) se comportam de forma aleatória e têm a seguinte f.d.p.,


 k(2x + 10)
f (x) =
, −5 ≤ x < 5
k(22.5 − x2 ) , 5 ≤ x < 45

 0
, c. c.
(a) Determine o valor da constante k.
(b) Calcule a probabilidade de a empresa:
ˆ ter prejuı́zos (lucros negativos) num mês;
ˆ ter prejuı́zos quando muito num mês de um trimestre;
ˆ ter prejuı́zos em 3 meses de oito trimestres.
3.50 (*) O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. normal com valor
esperado µ e variância σ 2 . Uma peça é defeituosa se o comprimento diferir do valor
esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm um comprimento
inferior a 2.5mm e 47.5%, das peças produzidas, têm um comprimento entre 2.5mm e
3.42mm.
(a) Calcule µ e σ.
(b) Determine a probabilidade de que uma peça, escolhida ao acaso, não seja defeituosa.
3.51 (*) Um sistema complexo é constituı́do por 100 componentes que funcionam independentemente. A probabilidade de que qualquer das componentes venha a falhar durante
o perı́odo de operação é igual a 0.1. Sabendo que o funcionamento do sistema exige
que estejam operacionais pelo menos 85 componentes, calcule a probabilidade de que o
sistema funcione.
22
3.52 (*) Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação
à norma especificada no mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função
densidade de probabilidade:


 1+k+x ,
−1 ≤ x < 0
1+k−x , 0≤x<1
f (x) =

 0
, c. c.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Calcule a mediana de X.
(c) Calcule a probabilidade de que em duas peças extraı́das ao acaso, e com reposição,
da produção da máquina apareça uma com um desvio positivo em relação à norma.
3.53 (*) Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em média, 4 bolhas de ar espalhadas aleatoriamente por 10m2 de placa. Sabendo que a distribuição do número de bolhas
de ar pode ser modelada por uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de:
(a) Uma placa de 2.5m×2m ter mais de 2 bolhas de ar.
(b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com 1m×2.5m, 6 placas perfeitas.
(c) Obter, num lote de 225 placas de vidro com 2.5m×5m, 45 placas com 4 bolhas de
ar.
23
2ª PARTE
Capı́tulo 4
Distribuições por Amostragem
4.1 Consultando a tabela da distribuição t de Student, determine:
(a) t(10;0.99) e t(10;0.01) ;
(b) t(18;0.025) ;
(c) O número real a tal que P(−a < t < a)=0.99 para 23 g.l..
4.2 Consultando a tabela da distribuição χ2 , determine:
(a) χ2(9;0.99) ;
(b) χ2(15;0.975) ;
(c) χ2(18;0.01) ;
(d) χ2(28;0.9) ;
(e) Os números reais positivos a e b tais que P(a < χ2 < b)=0.9 para 19 g.l. e tais que
P(χ2 < a)= P(χ2 > b).
4.3 Consultando a tabela da distribuição F de Snedecor e usando as suas propriedades,
determine:
(a) O valor de F(5,10;0.995) e F(5,10;0.005) ;,
(b) O valor de F(7,5;0.975) e F(7,5;0.025) ;
(c) O valor da probabilidade p, sabendo que, F(9,15;p) =2.09 e o valor de F(9,15;1−p) .
4.4 Uma amostra de dimensão n = 100 é seleccionada de uma população cujo valor médio
é µ = 50 e o desvio padrão é σ = 10.
(a) Determine o valor médio e o desvio padrão de X.
(b) Qual a distribuição de probabilidade aproximada de X.
(c) Calcule P(X > 52) e P(47.5 < X < 52.5).
4.5 Em determinada cidade, os resultados de um exame oficial acusaram média 72 e desvio
padrão 8. Qual a percentagem de amostras de dimensão 100 onde se encontra uma
média amostral inferior a 70?
25
4.6 Com base numa população normal, qual deverá ser a dimensão da amostra para que
seja de pelo menos 0.95 a probabilidade de que a média amostral não se afaste da média
da população mais do que 0.5σ?
4.7 O conteúdo (em litros) de garrafas de azeite Azeitoninha segue uma distribuição Normal
de média µ = 0.99 e desvio padrão σ = 0.02.
(a) Seleccionaram-se aleatoriamente 16 garrafas deste azeite para inspecção. Qual a
probabilidade de o conteúdo médio das garrafas ser superior a 1 litro?
(b) Considerando uma amostra de 100 garrafas:
ˆ Calcule a probabilidade do conteúdo médio ser inferior a 9.85dl.
ˆ Determine a e b tais que P(a ≤ X ≤ b)=0.95.
4.8 Em 1000 amostras de 200 crianças cada, considerando que os dois sexos são equiprováveis, em quantas se esperaria encontrar:
(a) Menos de 40% do sexo masculino?
(b) Entre 40% e 60% do sexo feminino?
4.9 Admita que a vida de certo fármaco segue uma distribuição normal com vida média
de 2000 dias e desvio padrão σ = 60 dias. Num lote de 10 medicamentos, qual a
probabilidade de que o desvio padrão amostral não exceda os 50 dias?
4.10 Admitindo que o peso do conteúdo de embalagens de açúcar tem distribuição Normal com σ 2 = 1, seleccionou-se uma amostra aleatória de 10 embalagens e pesou-se
o conteúdo de cada embalagem. Determine b1 e b2 , tal que P(b1 ≤ S 02 ≤ b2 )=0.9 e
P(S 02 ≤ b1 )=P(S 02 ≥ b2 ).
4.11 As vendas diárias de dois estabelecimentos são aleatórias. As vendas diárias de A
possuem valor médio µA = 1400 contos e desvio padrão σA = 200 contos, enquanto que
para B tem-se µB = 1200 contos e σB = 100 contos.
Nestas condições, qual a probabilidade de, em dois meses de actividade (60 dias), a
média diária de vendas no estabelecimento A ser superior à média diária de vendas no
estabelecimento B, em pelo menos 150 contos?
4.12 Os resultados de uma eleição acusam 65% de votos a favor de determinado candidato.
Determine a probabilidade de duas amostras aleatórias independentes, cada uma com
200 eleitores, acusarem, em módulo, uma diferença superior a 10% nas proporções dos
votos a favor do candidato?
26
Capı́tulo 5
Estimação
5.1 Considere um modelo normal e a estatı́stica T definida da seguinte forma:
T =
X1 + 2X2
2
para amostras aleatórias de dimensão n = 2.
(a) Determine a distribuição amostral de T e os respectivos parâmetros.
(b) T é um estimador centrado para µ?
(c) Obtenha uma estimativa para T com base na amostra (7,8; 6,7).
5.2 Para o parâmetro θ de certa população, foram indicados dois estimadores: θ̂1 e θ̂2 . Qual
o estimador que escolheria, sabendo que:
k
n+1
θ
V (θ̂1 ) =
E(θ̂1 ) =
n
n
, onde k é uma constante.
n+1
k
E(θ̂2 ) =
θ
V (θ̂2 ) =
n
n+3
5.3 Considere uma amostra aleatória de dimensão n proveniente de uma população, X,
normal com média µ e variância σ 2 .
Prove que X é um estimador não enviesado e consistente de µ.
5.4 Considere uma amostra aleatória de dimensão n proveniente de uma população, X,
normal com média µ e variância σ 2 :
(a) Mostre que a variância amostral corrigida,
S 02
não enviesado da variância populacional σ 2 .
Pn
=
− X)2
, é um estimador
n−1
i=1 (Xi
(b) Tendo em conta a relação existente entre a variância amostral,
e a variância amostral corrigida,
não enviesamento de S 2
S 02 ,
S2
Pn
=
i=1 (Xi
− X)2
n
o que poderá dizer sobre a propriedade de
(c) Calcule as estimativas fornecidas por cada estimador com base na seguinte amostra:
(32; 27; 32; 28; 31; 37; 25; 26; 30).
27
,
5.5 O peso de componentes electrónicas produzidas por determinada empresa é uma v.a.
que se supõe ter distribuição normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade do peso
das referidas componentes, recolheu-se uma amostra de 60 elementos e, obtiveram-se os
seguintes valores, em gramas:
60
X
xi = 6528gr ;
i=1
60
X
x2i = 1003296gr2
i=1
(a) Apresente uma estimativa para a média do peso das componentes.
(b) Apresente uma estimativa para a variância do peso das componentes.
(c) Construa um intervalo de confiança para a média do peso com um grau de confiança
de 95%.
5.6 Sabe-se que o tempo de vida útil de um componente electrónico tem desvio padrão
σ = 500 horas, mas o tempo médio de vida útil é desconhecido. Supõe-se que o tempo de
vida útil dos componentes electrónicos tem uma distribuição aproximadamente normal.
Numa amostra de n = 15, o tempo médio de vida útil é x = 8900 horas. Pretende-se que
construa intervalos de confiança para a média da população com um grau de confiança
de:
(a) 95%.
(b) 90%.
5.7 Certo equipamento de empacotamento automático encontra-se regulado para encher
embalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento origina
prejuı́zo para a empresa. Aceita-se, da experiência passada, que o peso das embalagens
se comporta normalmente com uma dispersão dada por σ = 12gr. Para verificar a
afinação do equipamento, seleccionaram-se em certo perı́odo nove embalagens cujos
pesos exactos foram anotados (em gramas):
983
992
1011
976
997
1000
1004
983
998
(a) Construa intervalos de confiança para a média, com os seguintes graus de confiança:
90%, 95% e 99%.
(b) Suponha que, em vez de uma amostra de nove embalagens , tinha sido obtido uma
outra de 100 embalagens que, após os necessários cálculos tinha fornecido um peso
médio x = 994gr. Construa um novo intervalo de confiança, a 95%, com base nesta
segunda amostra. Que ilação retira do aumento do tamanho da amostra
(c) Qual deverá ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitude
do intervalo, a 95%, seja 2?
5.8 O tempo de resolução de determinado tipo de teste é uma variável que segue uma
distribuição normal, com σ = 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos aleatoriamente
escolhidos resolveram o teste no tempo médio de 148.3 minutos.
(a) Determine o intervalo de confiança a 99% para µ.
(b) Caso pudesse aumentar a dimensão da amostra, o que esperaria obter em termos
de amplitude do novo intervalo comparativamente com o anterior.
28
(c) Qual deverá ser o novo n para que o erro da estimativa não ultrapasse os 5 minutos,
com um grau de confiança de 99%.
(d) Supondo que σ é desconhecido e que o desvio padrão da amostra é igual a 12
minutos, determine o intervalo de confiança a 90% para µ.
5.9 (a) Determine o intervalo de confiança a 90% para o valor médio de uma distribuição
normal com desvio padrão 3, a partir da amostra: 3.3; -0.3 ; -0.6 ; -0.9.
(b) Calcule o intervalo de confiança a 90% para o valor médio admitindo que o desvio
padrão da população é desconhecido.
5.10 Uma amostra de 144 observações possui média igual a 160 e variância igual a 100.
(a) Determine o intervalo de confiança para a média da população com um grau de
significância de 5%.
(b) Se pretendermos que este intervalo tenha semi-amplitude de 1.2, quantas observações será necessário efectuar, supondo que a variância populacional é igual
à variância amostral?
5.11 Num exame de Electrónica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos como
uma amostra representativa da população dos alunos matriculados na disciplina e tendo
em conta que, para essa amostra , se obtiveram os seguintes resultados:
31
X
xi = 299 ;
i=1
31
X
(xi − x)2 = 120
i=1
Determine um intervalo de confiança, com α = 10%, para a variância dos resultados em
Electrónica dos alunos matriculados na disciplina.
5.12 Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo . Antes de
tomar a decisão foi feito um estudo no âmbito do qual 400 pessoas foram entrevistadas.
Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente.
Encontre um intervalo de confiança a 95% para a proporção de pessoas que poderá ser
cliente habitual do complexo.
5.13 Num estudo de mercado, quantas pessoas devem ser inquiridas de modo a, com 95%
de confiança, se cometer um erro inferior a 3% (para mais ou menos) na estimação da
proporção de potenciais clientes do novo serviço de televisão por cabo? E se pretender
uma estimativa a menos de 1%.
5.14 Duas v.a.’s X1 e X2 seguem uma distribuição normal com variâncias σ12 = 3.64 e
σ22 = 4.03, respectivamente. Construa um intervalo de confiança a 90% para a diferença
entre as suas médias, sabendo que em amostras recolhidas se obtiveram os seguintes
resultados:
Amostra 1:
Amostra 2:
n1 = 32
n2 = 40
x1 = 16.20
x2 = 14.85
5.15 Pretende-se investigar o nı́vel de remunerações de certa categoria profissional.
29
(a) Construa um intervalo de confiança a 99% para a diferença de médias com base
nos seguintes resultados (em u.m.):
Amostra de 250 Homens:
Amostra de 150 Mulheres:
x = 33.8
x = 31
s2 = 5.7
s2 = 10.3
(b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o quociente das variâncias dos
σ2
nı́veis de remuneração dos homens e das mulheres ( 12 ) com base nos seguintes
σ2
resultados (em u.m.):
Amostra de 31 Homens:
Amostra de 16 Mulheres:
s02 = 5.0
s02 = 9.0
5.16 Uma empresa encomendou um estudo sobre as preferências das senhoras entre dois
detergentes para a loiça: A e B (sendo o detergente B pertencente a uma empresa concorrente). Verificou-se que, numa amostra de 100 senhoras de uma cidade do Norte, 40%
das senhoras preferem o detergente A. Numa cidade do Sul do Paı́s, das 200 senhoras
inquiridas, 60 revelaram que também preferem o mesmo detergente.
Determine um intervalo de confiança a 90%, para a diferença entre proporções de senhoras das duas cidades que preferem o detergente A.
5.17 Presume-se que certo projecto governamental tem aceitação muito diferente consoante
se trate de meios urbanos ou rurais. Informação recolhida a propósito forneceu os seguintes resultados:
• Nos meios urbanos, das 200 pessoas inquiridas, 78 afirmaram concordar com o projecto;
• Nos meios rurais, em 300 pessoas, 153 mostraram-se favoráveis.
(a) Apresente uma estimativa para a diferença entre proporções de pessoas que favorecem o projecto nos dois meios.
(b) Construa um intervalo de confiança a 99%.
5.18 (*) A capacidade (em amperes-hora) de um tipo de bateria varia segundo uma distribuição normal. Seleccionadas aleatoriamente 10 baterias registaram-se as seguintes
capacidades:
140
136
150
10
X
144
148
xi = 1443 ;
152
138
141
143
151
10
X
i=1
(xi − x)2 = 290.1
i=1
(a) Determine um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado e para o desvio
padrão da capacidade da bateria, indicando, para cada caso, a variável aleatória
fulcral.
(b) Qual o número aproximado de baterias que deveriam ser seleccionadas se se quiser
estimar o valor esperado da capacidade com um grau de confiança de 99% dentro
de uma margem de erro de ±1.5 amperes-hora?
Nota: Suponha que a variância amostral é igual à variância populacional.
30
5.19 (*) Considere uma população X com distribuição N (µ, σ 2 ) e seja (X1 , . . . , Xn ) uma
amostra aleatória dessa população.
³
(a) Calcule a probabilidade de o intervalo aleatório X −
√σ , X
n
+
√σ
n
´
conter µ.
(b) Admitindo que σ = 2, determine a menor dimensão da amostra correspondente a
um intervalo de amplitude menor do que 0.3.
(c) Considerando 50 amostras, independentes, de dimensão n, obtidas da população
X, determine qual o número médio de intervalos de confiança, construı́dos com
base naquelas amostras, que contém µ.
5.20 (*) Uma amostra de 100 peças de uma linha de produção revelou 17 peças defeituosas.
(a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a verdadeira proporção p de peças
defeituosas produzidas indicando a variável aleatória fulcral utilizada.
(b) Quantas peças adicionais devemos recolher para estarmos confiantes a 99% que o
erro de estimação de p seja menor que 2%?
31
Capı́tulo 6
Testes de Hipóteses
6.1 Um gestor de produção observou uma certa caracterı́stica X que segue uma distribuição
N (µ, 22 ). Para estabelecer uma inferência sobre µ fez 5 observações:
108
109
107.4
109.6
112
(a) Teste ao nı́vel de significância α = 5% a hipótese: H0 : µ = 109 versus H1 : µ 6= 109.
(b) Explique, sucintamente, a relação entre α, β e n (respectivamente, erros de 1ª e
2ª espécie e dimensão da amostra).
(c) Calcule o p-valor associado a este teste.
6.2 Num exame de Estatı́stica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes como amostra
representativa da população dos alunos matriculados na cadeira de estatı́stica e tendo
em conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados:
31
X
xi = 299 ;
i=1
31
X
(xi − x)2 = 120
i=1
(a) Com base num ensaio de hipóteses, com α = 0.05, comente a afirmação:
”A média dos resultados não difere significativamente de 10.”
(b) Calcule o p-valor para este teste.
(c) Se a média dos resultados de todos os alunos matriculados na cadeira for na realidade de 11, qual a probabilidade de estar a tomar a decisão incorrecta?
6.3 O departamento de Controlo de Qualidade de uma firma produtora de conservas de
alimentos, especifica que o peso lı́quido médio por embalagem de certo produto deve ser
de 500 gramas.
Experiência passada indica que os pesos são normalmente distribuı́dos com desviopadrão σ = 15 gramas.
Se numa amostra de 20 embalagens for encontrado um peso lı́quido médio de 495 gramas,
constitui isso prova suficiente de que o verdadeiro peso médio é inferior ao estabelecido?
(α = 5%).
6.4 Um trabalhador leva em média 7 minutos (=420 segundos) para executar certa tarefa.
Um técnico sugere uma maneira ligeiramente diferente de execução e decide recolher
32
uma amostra para se certificar se há realmente algum ganho de tempo.
Os dados recolhidos são os seguintes:
16
X
xi = 6528seg. ;
i=1
16
X
x2i = 2673296seg 2 .
i=1
Pressupondo que se está perante uma população normal e para o nı́vel de significância
de 10%, comente a sugestão do técnico.
6.5 Suponha que, de entre todos os alunos que frequentam um dos cursos de Engenharia do
IPT foram seleccionados, ao acaso, 6 alunos e registadas as suas idades:
27
29
26
26
23
25
Admitindo que a variável em estudo tem distribuição normal, responda às questões
seguintes:
(a) Com base num teste de hipóteses com α = 5%, comente a afirmação:
”A média das idades não difere significativamente de 24 anos.”
(b) Calcule o p-valor associado a este teste.
(c) Teste para um nı́vel de confiança de 99% a hipótese H0 : σ = 1 versus H1 : σ > 1.
(d) Calcule o p-valor para este teste.
6.6 Admita que o tráfego de informação gerido diariamente por uma empresa de telecomunicações tem distribuição N (µ, σ 2 ). Para avaliar o tráfego médio diário observou-se a
quantidade de informação processada em 26 dias, tendo-se constatado um volume de
tráfego total de 260 unidades de informação nos 26 dias, com um desvio padrão corrigido
de 2.5. Teste para α = 5% a hipótese H0 : σ = 7 versus H1 : σ 6= 7.
6.7 No fabrico de certo tipo de peças admite-se uma variabilidade máxima nos respectivos
diâmetros traduzida por σ = 0.5 milı́metros.
Perante uma amostra de 20 peças em que se calculou s02 = 0.3, é de concluir que o
processo de fabrico está fora de controle? (isto é, que a especificação não está sendo
respeitada). Use α = 1%.
Pressupõe-se que os diâmetros das peças obedecem a uma lei normal.
6.8 Uma estação de rádio de uma vila pretende efectuar, no mesmo dia em que se realizam
as Eleições Europeias, uma previsão da votação num dos candidatos. As intenções de
voto serão recolhidas ”à boca da urna”, ou seja, imediatamente após os eleitores terem
votado. A rádio tem divulgado que o candidato deverá ter 50% dos votos.
(a) Dos 100 inquiridos, 45 revelaram ter votado no referido candidato. Teste, para um
nı́vel de significância de 5%, as expectativas da rádio.
(b) Considerando que o verdadeiro valor é de 40%, calcule a probabilidade de estar a
aceitar indevidamente H0 .
(c) Calcule o p-valor associado a este teste.
33
6.9 O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa portuguesa, afirma que
o número de empregados que trabalha com uma taxa de alcoolemia superior ao permitido é de, apenas, 6%. Feito o teste a 100 indivı́duos, este revelou-se positivo em 9.
Poder-se-á concluir-se que a afirmação do departamento de R.H. está correcta? (considere α = 1%)
6.10 Numa amostra de 100 homens de certa cidade, 38 afirmaram preferir as lâminas ”Dural”.
Teste a hipótese de a percentagem de homens que prefere a referida marca ser de 40%
contra a alternativa de ser inferior. Utilize α = 10%.
6.11 Uma empresa de estudos de mercado está a estudar se há diferença entre os salários dos
trabalhadores indiferenciados numa certa indústria, em duas regiões do paı́s (A e B).
Os resultados obtidos foram:
Região A:
Região B:
nA =100;
nB =200;
xA =1000;
xB = 980;
sA =26,7
sB =30,4
Se se pretender limitar a 1% o risco de rejeitar incorrectamente a hipótese de as médias
das duas populações em causa são iguais, que conclusão se poderá extrair dos dados?
6.12 Para estudar dois tipos de gasolina foram recolhidas duas amostras aleatórias de 15
carros do mesmo modelo e observada a distância média (por litro) percorrida por carro.
Os resultados obtidos foram:
Gasolina 1:
Gasolina 2:
x1 =17,93;
x2 =19,47;
s0 21 =4,38
s0 22 =2,41
Com um nı́vel de significância de 5%, poder-se-á concluir que há uma diferença significativa entre as duas médias?
6.13 Foram usados dois tipos de adubo em dois campos experimentais, em tudo equivalentes,
com o objectivo de analisar a produção de um certo tipo de plantas:
Adubo 1:
Adubo 2:
n1 =31;
n2 =21;
x1 =12,9;
x2 = 14,7;
s01 =2,1
s02 =1,8
Será de admitir uma variância na produção de um certo tipo de plantas significativamente diferente quando se utiliza o adubo 1 ou o adubo 2? (considere α = 5%)
6.14 Foi efectuado um estudo em duas empresas do mesmo ramo de actividade sobre a preferência dos trabalhadores por dois tipos de aumentos salariais: um pacote de benefı́cios
extra ou um determinado aumento no salário base.
Dos 150 trabalhadores da empresa 1, 75 preferiram um aumento no salário base; dos
200 trabalhadores da empresa 2, 103 também preferiram esse aumento.
Comente a seguinte afirmação:
”A diferença de uma empresa para a outra na proporção de trabalhadores que preferem
o acréscimo no salário base (e não os benefı́cios extra) não difere significativamente de
zero. (considere α = 1%)”.
34
Capı́tulo 7
Introdução à Regressão Linear
Simples
7.1 Considere os 5 pontos observados, dados na tabela:
x
y
-2
0
-1
0
0
1
1
1
2
3
(a) Represente graficamente os dados.
(b) Use o método dos mı́nimos quadrados para ajustar uma recta aos pontos observados
e represente-a graficamente.
(c) Apresente uma estimativa da variância do erro.
7.2 Use os valores dados abaixo para estimar as equações de regressão:
(a)
(b)
n
X
i=1
n
X
xi =200 ;
xi =700 ;
i=1
(c)
n
X
n
X
i=1
n
X
yi =300 ;
yi =-250 ;
i=1
xi =33 ;
i=1
n
X
n
X
xi yi =6200 ;
i=1
n
X
n
X
i=1
n
X
xi yi =-1400 ;
i=1
yi =207 ;
i=1
n
X
x2i =3600 ; n=20.
x2i =21000 ; n=30.
i=1
xi yi =525 ;
i=1
n
X
x2i =750 ; n=40.
i=1
7.3 Use os valores dados em baixo para determinar o valor de:
(a)
(b)
X
X
X
X
si sabendo que n = 10; s = 6.44;
ri2
= 1792.44; SQsr = 26.716;
xi sabendo que n = 10 ; y = 5.21 ;
yi2
yi2
P
xi = 64.2 ;
P
s2i = 439.22;
X
= 275.13 ; SQxx = 22.4;
(c) n sabendo que
X
X
yi = 62 ;
x2i = 1560 ;
X
X
si ri = 880.66;
X
x2i = 345.54 ;
xi yi = 637.1 ;
X
xi yi = 341.5 ;
= 390 ; SQxx = 2.07.
7.4 Mostre que: SQE =
n
X
(yi − ŷi )2 = SQyy − β̂1 SQxy . (Nota: ŷi = β̂0 + β̂1 xi .)
i=1
35
7.5 A altura de sabão numa bacia é importante para os fabricantes de sabão. Foi efectuada
uma experiência fazendo variar a quantidade de sabão e medindo a altura da espuma
numa bacia standard, depois de uma certa agitação da água. Os resultados obtidos
foram:
gramas de sabão x
altura de espuma y
4,0
33
4,5
42
5,0
45
5,5
51
6,0
53
6,5
61
7,0
62
(a) Admitindo que o modelo Y = β0 + β1 x + ² é satisfatório, determine a melhor
equação da recta ajustada.
(b) Calcule s2 .
(c) Pretende-se saber qual a altura da espuma de sabão quando a quantidade de sabão
é igual a 6,3 gramas.
7.6 Os dados da tabela abaixo dão a distribuição no mercado de um produto e os gastos
com anúncios de televisão:
Mês
(trimestre)
Janeiro
Março
Maio
Julho
Setembro
Distribuição no mercado
y (%)
15
17
13
14
16
Gastos com anúncios na TV
x (milhares de contos)
230
250
210
240
260
(a) Determine a equação da recta de mı́nimos quadrados que dá a relação entre a
distribuição no mercado e os gastos publicitários na TV.
(b) Construa o quadro ANOVA.
(c) Estime a variância do erro.
(d) Qual a distribuição no mercado quando forem despendidos em publicidade 250 mil
contos? E se forem dispendidos 230 mil contos?
7.7 A seguinte tabela fornece os dados de uma amostra referente ao número de horas de
estudo fora da sala de aula para um curso de estatı́stica com duração de 3 semanas,
bem como as classificações obtidas no final do curso.
Estudante
Horas de estudo x
Classificação no exame y
1
20
64
2
16
61
3
34
84
4
23
70
5
27
88
6
32
92
7
18
72
8
22
77
(a) Calcule a equação de regressão e interprete as estimativas de β0 e β1 .
(b) Utilize a equação de regressão para estimar a classificação obtida por um estudante
que dedicou 30 horas de estudo fora da sala de aula.
(c) Construa o quadro ANOVA e calcule s2 .
(d) Teste a adequabilidade do modelo (α = 1%).
36
7.8 Como resultado do aumento de centros comerciais suburbanos, muitos armazéns do centro da cidade estão a sofrer financeiramente. Um departamento de um destes armazéns
acha que o aumento de publicidade poderia ajudar a atrair mais compradores. Para
estudar o efeito da publicidade nas vendas obtiveram-se registos para meses de meados
do ano durante os quais o armazém diversificou os gastos na publicidade. Esses registos
encontram-se na tabela:
Despesas Publicitárias x
(milhares de escudos)
9
11
8
12
7
Vendas y
(milhares de escudos)
30
34
32
37
31
(a) Estime o coeficiente de correlação entre as vendas e os gastos publicitários.
(b) Determine a equação de regressão linear para estes dados.
(c) Calcule o coeficiente de determinação. Interprete o seu significado.
(d) Teste a hipótese: H0 : β1 = 0 versus H1 : β1 6= 0 (α = 5%)
7.9 Seja Y uma variável que representa o valor do frete rodoviário de determinada mercadoria e x a variável distância (em km) ao destino da mercadoria. Uma amostra de 10
observações das variáveis apresentou os seguintes resultados:
n=10 ;
n
X
i=1
xi =1200 ;
n
X
yi =6480,5 ;
i=1
n
X
xi yi =842060 ;
i=1
n
X
x2i =186400
;
i=1
n
X
yi2 =4713304,03.
i=1
(a) Determine a recta de regressão dos mı́nimos quadrados.
(b) Interprete os valores estimados para β0 e β1 .
(c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu significado.
7.10 Os seguintes dados referem-se a uma amostra de vendas versus área de mostruário, para
livros num supermercado:
Livros / Dia
Área de Mostruário
40
7.0
25
4.0
30
4.4
32
5.0
17
3.2
38
6.0
44
8.0
27
4.2
30
4.8
30
3.4
(a) Calcule βˆ0 e βˆ1 para a recta de regressão de mı́nimos quadrados.
(b) Construa o quadro ANOVA.
(c) Apresente uma estimativa para a variância do erro.
(d) Estime o coeficiente de correlação entre as vendas e a área de mostruário.
(e) Calcule o coeficiente de correlação.
37
7.11 Uma unidade industrial ao destilar ar lı́quido ”produz”oxigénio, nitrogénio e argão.
Pensa-se que a percentagem de impurezas encontradas está relacionada linearmente
com as impurezas existentes na atmosfera. Com o fim de investigar essa relação linear
registaram-se 15 medições da poluição atmosférica, em partes por milhão (ppm). Os
resultados encontram-se no quadro a seguir:
Soma
x Impureza (%)
6.70
8.00
7.60
8.30
6.00
5.40
6.40
6.90
6.80
7.10
7.80
8.70
9.90
8.40
8.10
112.100
y Poluição (ppm)
1.10
1.45
1.36
1.59
1.08
0.75
1.20
0.99
0.83
1.22
1.47
1.81
2.03
1.75
1.68
20.310
x2
y2
xy
856.63
29.459
157.48
(a) Ajuste o modelo, Y = β0 + β1 x + ², às observações.
(b) Determine o valor do coeficiente de determinação e interprete-o.
(c) Faça uma previsão para o nı́vel de poluição na atmosfera quando a percentagem
de impurezas é de 7.5.
(d) Construa o quadro ANOVA.
7.12 (*) Da análise do consumo médio de energia por agregado familiar durante 10 dias de
um mês de Inverno numa cidade obtiveram-se os seguintes resultados:
i
xi
yi
1
15
4.3
2
14
4.4
3
12
5.3
4
14
4.6
5
12
5.5
6
11
5.9
7
11
5.7
8
10
6.2
9
12
5.2
10
13
5.0
Admita que o modelo de regressão linear simples foi usado para estudar a relação entre
o consumo médio de energia por agregado familiar e a temperatura média diária.
(a) Determine a recta de mı́nimos quadrados.
(b) Interprete as estimativas de βˆ0 e βˆ1 .
(c) Construa a tabela ANOVA.
7.13 (*) Numa fábrica deseja-se estimar o valor esperado do custo total para produzir um
item, E(Y ), como função do número de unidades produzidas (x). Após um certo perı́odo
38
de observação, foi possı́vel obter:
7
X
xi =1084 ;
i=1
7
X
yi =1331 ;
i=1
7
X
xi yi =251519 ;
7
X
i=1
x2i =205096 ;
i=1
7
X
yi2 =313513.
i=1
Admitindo que as variáveis em causa estão relacionadas de acordo com o modelo de
regressão linear simples:
(a) Escreva a equação da recta de regressão estimada e interprete as estimativas βˆ0 e
βˆ1 .
(b) Acha que a variabilidade registada no custo total de produção do item é bem
explicada pelo número de unidades produzidas? Justifique.
7.14 (*) Dez varas de aço de diâmetro 0.5mm e de comprimento 2.5m foram submetidas
a umm teste laboratorial para análise do alongamento quando submetidas a forças
verticais dee várias intensidades. Os resultados obtidos foram:
Força (f - kg)
Aumento no comprimento (c - mm)
10
X
1
f =420 ;
10
X
1
c=43.4 ;
10
X
15
1.7
f ∗ c=2128.5 ;
1
19
2.1
10
X
1
25
2.5
35
3.4
f 2 =20518 ;
42
3.9
10
X
48
4.9
53
5.4
56
5.7
62
6.6
c2 =221.38
1
(a) Utilizando o método dos mı́nimos quadrados, escreva a equação da recta de regressão estimada.
(b) Construa a tabela ANOVA.
(c) Analise o grau de associação linear entre as duas variáveis.
39
65
7.2