INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA
MOQ-13: Probabilidade e Estatística
Lista 04:
Distribuições Notáveis Discretas
Prof. Denise Beatriz Ferrari
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1. Em um determinado bairro, a necessidade de dinheiro para comprar drogas é a razão principal para
75% dos assaltos ocorridos. Calcule a probabilidade de que dentre os 5 próximos casos de assalto
reportados neste bairro
(a) exatamente 2 resultem da necessidade de dinheiro para comprar drogas;
(b) no máximo 3 estejam relacionados ao consumo de drogas.
Resp.: (a) 0,0879; (b) 0,3672.
2. Um estudo examinou a opinião nacional a respeito a medicamentos antidepressivos. O estudo
revelou que aproximadamente 70% da população acredita que “antidepressivos não promovem a
cura, mas apenas mascaram o problema real.” Baseando-se neste estudo, determine:
(a) A probabilidade de que pelo menos 3 dentre as próximas 5 pessoas entrevistadas terão a mesma
opinião.
(b) Seja X o número de pessoas que compartilham desta opinião. Calcule a média e a variância
de X quando 5 pessoas são selecionadas aleatoriamente e utilize o teorema de Chebyshev (ref.
Lista 02) para interpretar o intervalo µ ± 2σ.
Resp.: (a) 0,8369; (b) µ = 3,5, σ 2 = 1,05
3. Suponha que os motores em uma aeronave operem independentemente e apresentem falha com
probabilidade 0,4. Considerando que a aeronave realize vôo em segurança se pelo menos metade
dos motores estiverem funcionando corretamente, determine qual das seguintes configurações tem
maior probabilidade de permitir um vôo seguro: (i) um avião de 4 motores ou (ii) um avião de 2
motores.
Resp.: 2 motores
4. Um motorista percorre todos os dias, entre as 8:00h e 8:30h, o mesmo trajeto para chegar ao
trabalho. Neste percurso existe apenas um semáforo, que permanece verde por 35 segundos, amarelo
por 5 segundos e vermelho por 60 segundos. Seja X1 o número de vezes que ele encontra o sinal
verde, X2 o número de vezes que ele encontra o sinal amarelo e X3 o número de vezes que ele
encontra o sinal vermelho. Qual a distribuição conjunta de X1 , X2 , X3 ?
5. Um dispositivo eletrônico apresenta falha ocasionalmente e, caso não seja considerado satisfatório,
precisa ser descartado. Sabe-se que o dispositivo é considerado satisfatório e pode ser utilizado se
apresenta, em média, não mais do que 0,20 falhas por hora. Um determinado dispositivo é testado,
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observando-se seu funcionamento durante um período de 5 horas.
(a) Qual a probabilidade de que um dispositivo satisfatório seja descartado em tal experimento?
Explicite as hipóteses utilizadas.
(b) Qual a probabilidade de que um dispositivo seja considerado satisfatório se o número médio
de falhas for, de fato, 0,25? Explicite as hipóteses utilizadas.
Resp.: (a) 0,2642; (b) 0,6446.
6. Mudanças em procedimentos aeroportuários requerem um planejamento considerável. Um fator
importante que deve ser considerado é a taxa de chegada de aeronaves. Suponha que aeronaves de
pequeno porte chegam a um determinado aeroporto, de acordo com um processo de Poisson, na
taxa de 6/hora.
(a) Qual a probabilidade de que exatamente 4 aeronaves de pequeno porte cheguem no período
de 1 hora?
(b) Qual a probabilidadde de que pelo menos 4 aeronaves de pequeno porte cheguem no período
de 1 hora?
(c) Se um turno for definido como o período de 12h, qual a probabilidade de que pelo menos 75
aeronaves de pequeno porte cheguem durante um turno?
Resp.: (a) 0,1339; (b)0,8488; (c) 0,3773.
7. É de extrema importância para a área de Defesa a capacidade de detectar mísseis e projéteis
inimigos. Para que a defesa seja realizada com sucesso, múltiplas varreduras com radares são
necessárias. Em um determinado treinamento, determinou-se que 3 varreduras independentes sejam
realizadas e sabe-se que a probabilidade de que uma varredura detecte um míssil é 0,8. É importante
que o sistema opere mais próximo da perfeição quanto possível. Se o míssil não for detectado em
múltiplas varreduras, o sistema é considerado falho e deve ser substituído.
(a) Qual a probabilidade de que um míssil não seja detectado por nenhuma das três varreduras?
(b) Qual a probabilidade de que um míssil seja detectado por apenas uma das varreduras?
(c) Qual a probabilidade de que o míssil seja detectado por pelo menos duas das três varreduras?
(d) Quantas varreduras são necessárias para assegurar que a probabilidade de um míssil não ser
detectado seja igual a 0,0001?
(e) Qual deve ser a efetividade (i.e., probabilidade de detecção) de cada varredura, a fim de garantir
a efetividade do item (d)?
Resp.: (a) 0,008; (b) 0,096; (c) 0,896; (d) n ≥ 6; (e) p ≥ 0,9536.
8. Um fabricante de automóveis recebeu reclamações a respeito de defeitos no sistema de frenagem de
um determinado modelo. De acordo com o projeto e cuidadosa realização de testes preliminares,
determinou-se que a probabilidade de ocorrência do tipo de defeito reportado é de 1 em 10.000. A
fim de investigar as reclamações, 200 automóveis foram selecionados da linha de produção, testados
e 5 deles apresentaram defeito.
(a) O que se pode dizer a respeito da afirmação do fabricante de que a taxa de defeitos é de “1 em
10.000” unidades? Use argumentos probabilísticos baseados na distribuição binomial.
(b) A que conclusão se chega se a aproximação de Poisson for utilizada?
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9. Mostre que
n x n−x
λx e−λ
lim
p q
=
,
n→∞ x
x!
λ = np
10. Seja X ∼ Bin(n,p), 0 < p < 1. Mostre que fX (x) assume valor máximo no ponto x = [(n + 1)p],
onde [t] representa o maior número inteiro menor ou igual a t.
11. Seja X o número de experimentos de Bernoulli necessários até a observação do primeiro sucesso.
(a) Construa a f.d.p. de X e especifique seus parâmetros.
(b) Mostre que X possui a propriedade de “ausência de memória”, ou seja:
P [X > k + j|X > k] = P [X > k], ∀k, j ∈ {1,2, . . .}.
12. Uma caixa contém um número desconhecido N de parafusos idênticos. A fim de obter uma idéia
de quanto vale N , um parafuso da caixa é escolhido ao acaso, marcado e devolvido à caixa. Em
seguida, um sorteio é realizado e um parafuso é retirado da caixa. Se o parafuso sorteado for aquele
marcado, o processo é interrompido. Caso contrário, o parafuso sorteado é devolvido à caixa e o
um segundo sorteio é realizado e o mesmo procedimento é repetido até que o parafuso marcado seja
sorteado. Seja X o número de vezes que um parafuso é sorteado.
(a) Construa a f.d.p. de X e especifique seus parâmetros.
(b) A desvantagem óbvia deste procedimento está no fato de que X pode assumir qualquer valor
do conjunto {1,2,3,.. . . }, de forma que se N for grande, o número de sorteios necessários até
retirar o parafuso marcado pode ser muito grande. Um esquema de amostragem alternativo
consiste em selecionar um parafuso da caixa e, se ele for o marcado, o processo é interrompido,
como anteriormente. No entanto, se o parafuso sorteado não for o marcado, ele não é devolvido
à caixa e um novo parafuso é sorteado. Ou seja, os sorteios ocorrem sem reposição. O processo
amostral termina quando o parafuso marcado é retirado da caixa. Seja Y o número de vezes
que um parafuso é sorteado. Mostre que P [Y = k] = 1/N , para k = 1,2,3, . . . , N .
(c) Ao invés de escolher aleatoriamente o parafuso que será marcado, um número m < N de
parafusos é marcado. Em seguida, r parafusos são sorteados da caixa e a v.a. Z é definida
como o número de parafusos marcados na amostra. Construa a distribuição de Z e especifique
seus parâmetros.
13. Considere que o número X de erros em um programa de computador elaborado por um aluno de
CES-10 seja uma v.a. que segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,3. Considere que
todos os programas desenvolvidos sejam independentes uns dos outros.
(a) Qual a probabilidade de que um determinado programa não contenha erros?
(b) Qual a probabilidade de que, dentre 20 programas desenvolvidos existam pelo menos três sem
nenhum erro?
(c) Calcule aproximadamente a probabilidade do item anterior utilizando a distribuição de Poisson.
(d) Qual a probabilidade de que o professor tenha que corrigir menos que 5 programas até receber
o primeiro programa sem erros?
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