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Triângulos Quaisquer – algumas questões resolvidas
leicos.htm
Num triângulo ABC, a=2,
Resolução:` (lei dos cosssenos)
( 2) = (
2
)
(
2
e
. Calcular o ângulo B. Resp. B=300
)
3 − 1 + 2 2 − 2. 3 − 1 . cos B
(
)
2 = 3 − 2 3 + 1 + 4 − 2. 3 − 1 . cos B
(
)
(3 − 3 )(.
cos B =
2. 3 − 1 . cos B = 6 − 2 3 → 2
(
)
3 − 1 . cos B = 3 − 3 ↔ cos B =
)
3− 3
2.( 3 − 1)
3 +1
3
=
→ B = 30 0
2.(3 − 1)
2
leicos1.htm
Num triângulo ABC, a=2, b=4 e c=600. Calcular o lado c. Resp.
Resolução: (lei dos cossenos)
c2=22+42-2.2.4.cos600 à c2=4+16-8=12 à c = 2. 3
leicos2.htm
Num triângulo ABC, sendo B um ângulo agudo,
, b=2 e c=300. Calcule c, os
; B=450 e A=1050
ângulos A e B. Resp.
Resolução: (lei dos cossenos)
(
)
(
2
)
c 2 = 2 2 + 2 + 3 − 2.2. 2 + 3 . cos 30 0
(
)
c2 = 4 + 4 + 4 3 + 3 − 4 2 + 3 .
3
3
↔ c 2 = 3 + 4 3 − 4 3.
2
2
c2 = 4 3 − 3
leicos3.htm
Num triângulo, a=7 cm, b= 5 cm e c=3 cm. Calcule o ângulo A. Resp. A=1200
Resolução: (lei dos cossenos)
1
7 2 = 5 2 + 3 2 − 2.5.3. cos α ↔ cos α = − ↔ α = 120 0
2
leicos4.htm
Sendo a= 1 cm, b=2 cm e C=600, calcule o lado c do triângulo ABC. Resp.
Resolução:
2
c = 2 2 + 12 − 2.1.2. cos 60 0 ↔ c 2 = 5 − 2 = 3 ↔ c = 3
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leicos5.htm
Determine o maior ângulo de um triângulo, cujos lados são proporcionais aos números 7, 8
e 13. (Obs:
e usar a lei dos cossenos) Resp. c=1200
Resolução:
2
c = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos C ↔ 2.a.b. cos C = a 2 + b 2 − c 2
2.7 k .8k . cos C = 49k 2 + 64k 2 − 169k 2
1
cos C = − ↔ Cˆ = 120 0
2
leicos7.htm
cm,
cm e A=600. Calcule o lado c e os
Num triângulo ABC,
ângulos B e C. (Usar: a2=b2+c2-2.b.c.cosA) R. c= 2 cm
Resolução:
3 2 − 6 2 3 −1
sen 60 0. 2. 3 − 1
2
=
↔
senB
=
↔ senB =
0
senB
2
sen60
3 2− 6
↔ Bˆ = 45 0 → 60 0 + 45 0 + C = 180 0 → C = 75 0
(
[(
)
(
) (
2
Cálculo do lado c: c 2 =  2. 3 − 1 + 3 2 − 6

)]
)
2
(
)(
)
− 2.2. 3 − 1 . 3 2 − 6 . cos 75 0 

c=2 cm
leisecoaárea.htm
Um triângulo tem lados a=6 cm e b=4 cm. Sendo C=450, calcular a áárea do triângulo. R.
cm
leisecoaárea1.htm
Determine c em um triângulo de lados a=b=1 cm e áárea
ângulo C agudo. R. C=450
cm2, sabendo que o
leisecos01.htm
(Cesgranrio) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 1200. A
maior diagonal desse paralelogramo mede:
a) 5
b) 6
c)
d)
e) 6,5
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leisecos02.htm
(Mack-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 e 12 e formam um
ângulo de 600. As diagonais medem:
a) 4 e 4
b) 4
e4
c) 4
e4
d) 4
e4
e) 4 e 4,5
leisecos03.htm
(ITA-SP) Num losango ABCD, a soma das medidas dos ângulos obtusângulos o triplo da
soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm, então sua
aresta medir:
a)
b)
c)
d)
e)
leisecos04.htm
(FGV-SP) A áárea do triângulo da figura :
a) 9
b) 10
c) 18
d) 36
e) 40
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leisecos05.htm
(FGV-SP) Qual a área do triângulo da figura
a)
b)
c) 4
d) 2.
e) 8.
Resolução:
 3 2
1
2 1 
A = .8.4 2 .sen 105 0 = 16. 2 .sen 60 0 + 45 0 = 16 2 .
.
+
.
2
2 2 
 2 2
2  3 + 1 
3 +1
A = 16 2.
.
= 16.
= 8 3 +1

2  2 
2
(
)
(
)
(
)
leisecos06.htm
(FGV-SP)
Considere o triângulo retângulo da figura seguinte e indique por S a sua área.
Qual das seguintes afirmações verdadeira?
Resolução:
a) S=a.senB
b) S=
c) S=
1
1
b
S = .a.c.senB = .a.(b.tgC ).
2
2
a
2
b .tgC
S=
2
d) S=
e) S=a.c
leisecos07.htm
(PUC-SP)
A áárea do triângulo ABC em função da altura hA e dos ângulos
, que ela forma com os dois lados adjacentes, :
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a)
b)
c)
d)
e)
leisecos08.htm
(ITA-SP) Num triângulo de lados a=3 m e b= 4 m, diminuindo-se de 600 o ângulo que esses
lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m2 em sua área. Portanto, a área do triângulo
inicial de:
a) 4 m2
b) 5 m2
c) 6 m2
d) 9 m2
e) 12 m2
leisecos09.htm
(PUC-SP) Com os dados da figura, qual o valor de cos ?
a)
b)
c)
d)
e)
0,092
0,125
0,150
0,222
0,375
leisecos10.htm
Num triângulo ABC, o ângulo B=105 ,
ângulos A e ângulo C.
leisecos11.htm
e
. Calcule as medidas dos
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Num triângulo ABC,
,
e
. Calcule a medida de b.
leisecos12.htm
Num triângulo ABC, a=3, b=1 e
. Calcular o lado c.
leisecos13.htm
Num triângulo ABC, o lado a=2, o lado
triângulo igual a:
e o lado
. O ângulo B desse
a)
b)
c)
d)
e)
leisecos14.htm
Num triângulo ABC, a=2 cm, b=4 cm e A=300. Calcular a medida do ângulo B. R. B=900
leisecos15.htm
Um triângulo ABC está inscrito em um círculo de 3 cm de raio. Sabendo que o triângulo
tem o lado a medindo 3 cm, determinar a medida do ângulo A. Resp. 300 ou 1500
leisecos16.htm
Num triângulo ABC, temos b=
Resp.
cm, B=300 e C=750. Calcule o lado a e o ângulo A.
cm
leisecos17.htm
Calcule os lados a e c do triângulo ABC, sabendo que A=1200, B=450 e b=8 cm. Resp.
cm
leisecos18.htm
Calcule o raio do crculo no qual est inscrito um triângulo ABC de lado a=12 cm e ângulo
A=300. (Lembre-se que
leisecos19.htm
) Resp. R=12 cm
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Calcule o perímetro do triângulo da figura, com aproximação de 0,01. (Dados: AB=10 cm;
sen700=0,94; sen500 =0,77). Resp. 2p= 26,63 cm
Resolução:
leisecos20.htm
Determine a medida do lado a de um triângulo inscrito em um círculo cujo diâmetro mede
60 cm, sabendo que A=600. Resp.
cm
leisecos21.htm
Calcule x e y com base nos dados da figura: Resp. x=8 cm e y= 4 cm
Resolução:
x+ y
3
cos 30 0 =
=
↔ x + y = 12
2
8 3
( )
2
Lei dos cos senos do triângulo isósceles : 8 3 = x 2 + x 2 − 2.x.x. cos120 0
1
64.3 = 2 x 2 + 2 x 2 . ↔ 3 x 2 = 3.64 ↔ x 2 = 64 ↔ x = 8
2
Como x + y = 12 → y = 4
leisecos22.htm
Na figura, AB=3 e BC=2. A
:
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Resolução:
3
2
3
2
1 / 2x2 1
=
↔
=
↔ senα =
=
0
senα
1 / 2 senα
3
3
sen30
1
3
A cos sec ante de α : cos ecα =
= =3
senα 1
leisecos23.htm
Na figura,
radianos,
radianos e AC mede
. A distância de B a C :
leisecos24.htm
O valor de x no triângulo ao lado igual a:
Resolução:
x = 5 2 + 10 2 − 2.5.10 cos120 0
1
x 2 = 125 + 100. = 175 → x = 5 2.7 = 5 7
2
2
leisecos25.htm
Um triângulo ABC tal que AB=AC=4. Se o ângulo A=1200, a medida do lado BC :
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leisecos26.htm
Para traçar uma circunferência de
cm de comprimento usa-se um compasso com
pernas de 20 cm cada. O ângulo de abertura do compasso deve ser:
a)
b)
c)
d)
e)
450
500
550
600 *
750
Resolução:
Comprimento da circunferência: C = 2.π .r = 40π ↔ r = 20 cm logo o ângulo α = 60 0 .
leisecos27.htm
Num triângulo ABC, os segmentos BC e CE são alturas, BD=CE e o ângulo A=400. O
ângulo CBD vale:
a) 100
b) 150
c) 200 *
d) 250
e) 300
leisecos28.htm
A figura representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 km
em BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da inclinação :
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Resolução:
12 2 = 14 2 + 20 2 − 2.14.20. cos α → cos α =
113
140
leisecos29.htm
Num triângulo ABC, tem-se que a medida do ângulo de vértice A 600, AB=4 e BC=
Então, AC igual a:
leisecos30.htm
leisecosaárea2.htm
Num triângulo issceles,
, b=1 e A=1200. Determine os ângulos B e C, o lado c e a
área desse triângulo. R. B=C=300 e c=1
leisecosaárea3.htm
.
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Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a=3 cm, b=2 cm e C=450. R.
cm2
leisecosaárea4.htm
cm, b= 2 cm e C=300, calcule a área do triângulo ABC.
Sendo
R.
cm2
leisecosaárea5.htm
Num triângulo ABC,
triângulo. R.
m,
me
. Calcule a área desse
m2
leisecosaárea6.htm
Calcule a área do triângulo ABC da figura:
® 1 dm2
Resolução:
1
1
2
Area = .2. 2 .sen 45 0 = .2. 2 .
= 1 dm
2
2
2
leisecosaárea7.htm
O triângulo ABC tem lados a=3 e b=2 e o ângulo C mede 300 . Se triplicarmos o ângulo C,
o que acontecer com a área do triângulo.
Resp. S1=3/2 e S2=3, portanto a área do triângulo duplica.
leisecosaárea8.htm
A área de um triângulo ABC
cm2. Calcule as medidas do ângulo A e do lado a,
sabendo que b=8 cm e c=4 cm. R. Para A=600 temos
cm.
leisecosaárea9.htm
cm; para A=1200, temos
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No triângulo da figura, o valor do
a)
,:
razaotrigo17.htm
Resolução:
( 4)
2
6
2 6 12
Sabendo-se que, na figura, BA CA, o ângulo C=600, MB=MC e AB= 12
= 2 + 3 − 2. 2 . 3. cos α ↔ 2 6 cos α = 1 ↔ cos α =
(Mack-SP)
cm, então:
1
=
a) AM=4
m
b) AM=6 m
c) AM=7,5 m
d) 6 m
e) 8 m
Resolução:
12
3
24 3 24 3
=
↔ BC =
.
=
= 8 3 , M é ponto médio da hipotenusa,
BC
2
3
3 3
logo AM é a mediana, assim: AM=MC=MB= 4 3 .
cos 30 0 =
razaotrigo22.htm
(Cesgranrio) O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas na figura. O cosseno do
ângulo QMN vale:
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a)
b)
c) -1
d)
e)
Resolução:
NP=4; usando o teorema de Pitágoras: QN2=82+42 à QN = 4 5
cos α = ?
2
30
3
2.5.5. cos α = − 4 5 + 5 2 + 5 2 ↔ 50 cos α = −30 ↔ cos α = −
=−
50
5
( )
razaotrigo23.htm
(Cesgranrio) Em um triângulo ABC, o lado AB=3, o lado BC=4 e o ângulo B=600. O lado
AC mede:
a)
b)
c) 2
d) 5
e)
Código: razaotrigo24.htm
(Univ.Fed. GO) No triângulo abaixo, os valoes de x e y, nesta ordem, são:
a) 2 e
b)
e2
c)
d)
e) 2 e
Resolução:
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2
x
y
=
=
0
0
sen30
sen135
sen15 0
2
2 2
2
x
x
x
.2 2 = 2
=
↔
=
↔
=2 2↔x=
0
0
1/ 2
1
2
sen135
sen 45
2
2
2 2
y
y
y
=
↔
=2 2↔
=2 2
0
0
0
1
sen15
sen 45 − 30
2 3 1 2
.
− .
2 2 2 2
 6− 2
12 − 2 2 3 − 2
=
=
= 3 −1
y = 2 2 

4
2
2


(
)
razaotrigo25.htm
(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo
interno deste triângulo , oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as
relações: 3a=7c e 3b=8c.
a) 300
b) 450
c) 600
d) 1200
e) 1350