Dotta/ID/BR
Jarra e copo com água. Os dois recipientes contêm quantidades iguais do líquido.
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9
Capítulo
Áreas
e volumes
O que você vai aprender
# Área de figuras planas
# Área total da superfície de um sólido
# Volume de um sólido
Converse com os colegas
A expressão “quantidades iguais do
líquido” diz respeito a uma grandeza
chamada volume.
Por exemplo, à primeira vista, pelos
formatos distintos dos recipientes da
fotografia ao lado, pode-se pensar que
ambos contêm volumes diferentes de
líquido. Para certificar-se de que os
volumes são iguais, cada recipiente,
um de cada vez, pode ter seu conteúdo despejado em uma jarra graduada.
Mas esse não é o único procedimento para determinar se os volumes
de líquido contido nos recipientes são
iguais. Dependendo do formato do
recipiente, em alguns casos pode ser
possível determinar o volume que ele
contém com algumas operações matemáticas, tornando dispensável a jarra graduada.
Este capítulo mostra como efetuar
essas operações. Portanto, depois de
ler esta abertura com seus colegas e
no fim do módulo 3, retome esta abertura para calcular no caderno a quantidade de água contida nesses dois
recipientes.
191
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1
Módulo
Áreas de figuras planas
Você deve saber calcular a área de algumas regiões planas, representando-as
em malhas quadriculadas regulares e contando os quadradinhos dentro dessas
regiões. Neste capítulo vamos rever esse cálculo e aprender a determinar as áreas
de outras figuras, como o círculo.
Para simplificar a linguagem, usamos a expressão área de um polígono, em
vez de área limitada por um polígono. Por exemplo, dizer que a área de um quadrado é 10 cm2 significa que a área da região quadrada que ele delimita é 10 cm2.
Já quando falamos em círculo, estamos nos referindo à superfície plana limitada por uma circunferência.
Além disso, utilizamos as figuras preenchidas para ilustrar a
área que estamos determinando. Veja um exemplo de um quadral
do de lado l (primeira figura) e da região quadrada por ele delimitada (segunda figura).
l
l
Área de um quadrado
l
Para calcular a área de um quadrado elevamos ao quadrado a
medida l de seu lado.
Aquadrado 5 l ? l 5 l 2
l
l
Área de um retângulo
A área de um retângulo é dada pelo produto entre a medida de
sua base e a de sua altura.
h
b
Aretângulo 5 b ? h
Área de um paralelogramo
Um paralelogramo com base medindo b e altura de medida h pode ser decomposto em um triângulo e um trapézio. Mudando esse triângulo de lugar, podemos
compor um retângulo com base e altura de medidas iguais às da base e altura do
paralelogramo inicial, conforme mostram as figuras a seguir.
h
h
b
b
Então concluímos que a área desse paralelogramo é igual à área do retângulo
de medidas b e h:
Aparalelogramo 5 b ? h
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Observação
Atividades
Áreas e volumes
Ao calcular áreas, é importante expressar as unidades corretamente. Se as medidas lineares estão em centímetros (cm), a área será dada em centímetros quadrados (cm2); se estão
em metros (m), a área será dada em metros quadrados (m2), e assim por diante.
1. Determine a área de um quadrado cujo lado
mede 12 cm.
será gasto sabendo que o metro quadrado
de carpete custa R$ 38,00?
2. Calcule a área de um retângulo com 7 cm de
base e 4 cm de altura.
11. Determine a quantidade necessária de lajotas para revestir um salão de 300 m2, sabendo que cada lajota mede 25 cm por 50 cm.
3. Calcule a área de um paralelogramo com
9 cm de base e 4,5 cm de altura.
4. Sabendo que o perímetro de um quadrado é
60 cm, qual é a área delimitada por ele?
12. A razão entre as medidas dos lados de um
3
retângulo é __ e seu perímetro é 48 m2. Qual
5
é a área desse retângulo?
5. Considerando dois quadrados, de maneira
que a medida do lado do quadrado maior
seja o triplo da medida do lado do quadrado menor, determine a razão entre a área do
quadrado maior e a área do quadrado menor.
13. Considere um retângulo com 4 cm de largura e 16 cm de comprimento. Qual deve ser a
medida do lado de um quadrado para que
ele tenha área igual à desse retângulo?
6. Sabendo que a razão entre as áreas de dois
2
quadrados é __, escreva duas possibilidades
5
de medidas para os lados desses quadrados.
7. Uma chácara retangular tem 57 456 m2 de área,
e seu comprimento é 342 m. Qual é a largura
dessa chácara?
8. Atendendo ao pedido do professor, um aluno deduziu uma fórmula para calcular a
área desta figura.
e
Capítulo 9
Responda sempre no caderno.
14. Determine a medida do lado de um quadrado para que tenha área igual à de um retângulo cujos lados medem 5 m e 45 m.
2
15. A altura de um paralelogramo é __ de sua base
3
e a soma das medidas da altura e da base é 30.
a) Qual é a medida da base e a da altura desse paralelogramo?
b) Qual é a área desse paralelogramo?
16. Calcule a área de cada uma das figuras coloridas representadas a seguir.
a)
A5c?b1e?f
f
a
d
1 cm
2,5 cm
b
1 cm
c
a) Você concorda com essa fórmula? Por
quê?
b) Escreva outra fórmula para o cálculo dessa área, usando as medidas a e d.
9. A área de um retângulo é 60 m2 e o seu comprimento é 4 m maior do que a largura. Determine as medidas desse retângulo.
10. Deseja-se colocar carpete em um dormitório
retangular de 2,40 m por 3,70 m. Quanto
2,5 cm
b)
1 cm
1 cm
1 cm
0,5 cm
0,8 cm
4 cm
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Área de um triângulo
Considere um triângulo com base medindo b e altura de medida h. Usando
outro triângulo congruente a ele, podemos compor um paralelogramo de base e
altura iguais às do triângulo original. Veja:
h
h
b
b
Como dois triângulos congruentes formam um paralelogramo de base e altura
iguais, concluímos que a área do triângulo de base b e altura h corresponde à metade da área do paralelogramo de mesmas dimensões.
b ? h Atriângulo 5 ____
2
Essa expressão é válida para qualquer triângulo. A seguir, veremos também
algumas expressões específicas para o cálculo da área de triângulos retângulos e
triângulos equiláteros.
triângulo retângulo
Considere o triângulo retângulo ao lado. A hipotenusa
está representada por a, e a altura do triângulo relativa à
hipotenusa está representada por h.
a ? h .
Assim, para sua área, podemos escrever: A 5 ____
2
Mas também podemos considerar como base desse
triângulo um de seus catetos, representado por b. Nesse
caso, a altura relativa a esse cateto é o outro cateto, c. Veja
na figura ao lado.
Então, para a área desse triângulo, podemos escrever
b ? c . Isso significa que a área de um triângulo retângulo
A 5 ____
2
pode ser calculada da seguinte maneira:
A
b
c
h
C
a
B
B
a
c
A
b
C
cateto1 ? cateto2
Anretângulo 5 _____________
2
triângulo equilátero
A
Observe este triângulo equilátero ABC de lado medindo l.
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo AMB, com M sendo o ponto médio do lado BC, obtemos sua altul dXX
3 
ra: h 5 ___
2 . Podemos então determinar a área do triângulo
l ? h , ou seja:
equilátero por ____
2
3 
l dXX
l ? ___
3   l 2d XX
2
______
Anequilátero 5
Æ Anequilátero 5 ____
4
2
l
C
l
h
M
B
l
194
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Atividades
18. Calcule a área dos seguintes triângulos:
a)
8 cm
24. Se um dos catetos de um triângulo retângulo
mede 8 cm e o ângulo oposto a ele mede
30°, qual é sua área?
25. Calcule a área das regiões dadas a seguir.
Capítulo 9
17. Calcule a área de um triângulo com 12 cm de
base e 6 cm de altura.
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
Dica: Decomponha cada figura em regiões
retangulares e triangulares.
a)
1,8 cm
2 cm
2 cm
b)
4 cm
b)
5 cm
7 cm
4 cm
3,5 cm
3 cm
c)
c)
3 cm
7,5 cm
1 cm
Imagens em
diferentes escalas.
19. Um triângulo equilátero tem lados medindo
10 cm.
a) Qual é a medida de sua altura?
b) Calcule sua área.
20. Se a área de um triângulo equilátero é
40dXX
3  cm2, quanto mede sua altura?
21. Considere um triângulo equilátero com lados
medindo 10 cm. Aumentando em 1 cm a medida de seu lado, quanto aumenta sua área?
22. Qual é a área de um triângulo isósceles cujo
perímetro é 27 cm e cuja medida da base excede em 3 cm a medida dos outros lados?
23. Calcule o perímetro deste triângulo.
A 5 8 cm2
0,8 cm
4 cm
8 cm
1,5 cm
1,5 cm
Imagens em
diferentes escalas.
26. Faça o que se pede.
a) Desenhe um par de retas paralelas r e s.
Marque em r dois pontos A e B. Na reta s,
marque os pontos C e D.
b) Nas retas paralelas, pinte os triângulos ABC
e ABD, cada um de uma cor.
c) Com um colega, demonstre que os dois
triângulos têm áreas iguais.
27. Calcule a área de um triângulo equilátero
nas situações a seguir.
a) Circunscrito a uma circunferência de raio r.
b) Inscrito em uma circunferência de raio R.
28. Determine a área do triângulo retângulo
cujos catetos medem x 1 3 e 5x 2 7 e a hipotenusa mede 2x 1 4 (medidas em cm).
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Área de um losango
Considere o losango representado a seguir, cuja diagonal maior mede D e a diagonal
menor mede d.
d
D
Podemos decompor esse losango em quatro triângulos retângulos cond
d , como o triângulo ao lado:
D e __
2
gruentes de catetos __
2 2
D
2
Como vimos anteriormente, a área de cada um desses triângulos retângulos pode ser escrita como a metade do produto entre seus catetos.
d D ? __
__
2
2
D?d
____
A 5 _____
2 5 8 Como a área do losango equivale a 4 vezes a área de um desses triângulos, escrevemos:
D ? d Alosango 5 4 ? ____
8
D ? d Alosango 5 ____
2
Ou seja, a área de um losango é igual à metade do produto das medidas de suas
diagonais.
Área de um trapézio
Para estudar a área de um trapézio podemos proceder como no caso de um triângulo qualquer. Vamos pensar em um trapézio cuja base maior mede B, a base menor mede
b e sua altura mede h. Usando outro trapézio congruente a esse, podemos compor um
paralelogramo com a mesma altura h e com base medindo (B 1 b). Veja:
b
b
B
h
h
B
B
b
Como o paralelogramo foi composto de dois trapézios congruentes, sua área é igual
ao dobro da área do trapézio original. Assim, podemos escrever que a área desse trapézio é igual à metade da área do paralelogramo.
(B 1 b) ? h
Atrapézio 5 _________ 2
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Atividades
35. Se a área de um trapézio retângulo é 120 m2
e seus lados paralelos medem 7,5 m e 4,5 m,
calcule a medida do lado perpendicular aos
lados paralelos.
1,5 cm
36. Calcule a área das seguintes figuras coloridas.
Dica: Decomponha as figuras em outras cujas
áreas você saiba calcular.
a)
2 cm
b)
14 cm
7 cm
5 cm
Capítulo 9
29. Calcule a área dos seguintes losangos:
a)
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
5 cm
8 cm
Imagens em
diferentes escalas.
b)
4 cm
2 cm
10 cm
30. Para construir uma pipa em forma de losango, foram usadas duas varetas, uma de 40 cm
e outra de 50 cm. Qual é a área dessa pipa?
31. Uma das diagonais de um losango mede
12 cm e sua área é igual à área de um retângulo com 8 cm e 6 cm de lado. Determine a
medida da outra diagonal.
32. Se a área de um losango é 1 620 cm2 e sua
diagonal menor mede 45 cm, calcule:
a) a medida da diagonal maior;
b) o perímetro desse losango.
33. Em um projeto para a entrada de uma empresa, um paisagista desenhou um gramado
em forma de losango, como mostra a figura.
3 cm
20 cm
c)
12 cm
4 cm
4 cm
Imagens em
diferentes escalas.
37. Considere um trapézio isósceles com 56 cm2
de área e 34 cm de perímetro. Para que sua
altura tenha 8 cm, qual deve ser a medida
de seus lados não paralelos?
38. A área do trapézio a seguir é 138 cm2.
10 cm
AMj Studio/ID/BR
8m
5,6 m
a
12 cm
B
2,8 m
1,5 m
a) Qual é a área do gramado?
b) Se o metro quadrado de grama custa
R$ 16,90, qual é o custo para gramar
essa parte do jardim?
34. Determine a área de um trapézio cujas bases
medem 5 cm e 9 cm e a altura mede 4,5 cm.
a) Qual é a medida B da base maior?
b) Calcule o perímetro desse trapézio.
39. A região colorida ao lado é
formada por três losangos
cuja diagonal maior mede
3  cm; sua diagonal me4dXX
nor é igual à medida de
seus lados. O perímetro de
cada um desses losangos
é 48 cm. Determine a área
dessa região colorida.
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Área de um círculo
Até aqui vimos como calcular a área de vários polígonos. Como se faz para calcular a área de um círculo? Pense um pouco antes de prosseguir a leitura.
Acompanhe as situações a seguir, que remetem ao cálculo da área de um círculo.
ƒƒ Considere um círculo de centro O e raio r. Vamos dividir esse círculo em
várias circunferências concêntricas. A região entre duas circunferências é denominada coroa circular, que estudaremos ainda neste capítulo. Depois,
fazemos um corte em cada uma dessas coroas circulares e as “esticamos”.
Veja essa situação ilustrada a seguir.
B
O
ID/BR
O
r
A
B’
A’
B’’
2pr
uanto maior for a quantidade de coroas circulares em que o círculo for diviQ
dido, mais a figura obtida com as circunferências “esticadas” se aproxima de
um triângulo.
Assim, a área do círculo corresponde à área do triângulo de base 2pr e altura r.
? r 
Acírculo 5 ______
​ 2pr  ​
 5 pr2
2
ƒƒ Outra maneira de analisar a área do círculo consiste em dividi-lo como uma
ID/BR
pizza em muitas partes, de modo que cada parte se aproxime de um triângulo com altura r. Rearranjando esses triângulos um ao lado do outro obtemos uma figura parecida com um paralelogramo, como é mostrado a seguir.
r
pr
uanto maior for a quantidade de triângulos em que o círculo for dividido,
Q
mais a figura obtida com os triângulos se aproximará de um paralelogramo.
Assim, a área do círculo corresponde à área do paralelogramo de base pr e altura r.
Veja também
o conteúdo
multimídia
“Área de um
círculo”.
Acírculo 5 pr ? r 5 pr2
A expressão obtida para a área de um círculo é válida para qualquer círculo.
198
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4/13/12 2:37 PM
Determinar a área da região colorida ao lado, sabendo que r 5 4,5 cm.
A área da região colorida é dada pela diferença entre a área dos dois
círculos.
Cálculo da área do círculo maior: Amaior 5 p ? (4,5)2 5 20,25p
Cálculo da área do círculo menor: Amenor 5 p ? (1,5)2 5 2,25p
Acolorida 5 Amaior 2 Amenor 5 20,25p cm2 2 2,25p cm2 5 18p cm2
Logo, a região colorida tem 18p cm2 de área.
r
r
3
Capítulo 9
Atividades
Áreas e volumes
Exemplo
Responda sempre no caderno.
40. Calcule a área de um círculo cujo raio mede
9 cm.
41. Determine a área de uma região circular
que tem 15 cm de diâmetro.
46. Os vitrais de uma catedral têm formato de um
retângulo justaposto a um semicírculo, conforme indicado nesta figura.
42. Qual é a área de uma região circular que
tem 27p cm de comprimento?
43. As figuras a seguir mostram circunferências
cujos raios medem 2 cm, inscritas em polígonos regulares. Calcule a área das regiões
coloridas.
a)
7m
c)
4m
a) Determine o perímetro de cada vitral.
b) Calcule a área da superfície de cada vitral.
b)
47. Determine as áreas das regiões coloridas,
sabendo que todas as linhas curvas são arcos de circunferência.
a)
d)
8 cm
44. Os docinhos de um aniversário foram arrumados em pratos circulares com 25 cm de
diâmetro. Que área ocupa cada um desses
pratos?
45. Determine a área da superfície circular da
piscina representada a seguir.
12 cm
b)
e)
8m
AMj Studio/ID/BR
7 cm
3 cm
3 cm
7 cm
c)
f)
2 cm
Imagens em
diferentes escalas.
4 cm
199
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Área de um setor circular
Definição
Setor circular é uma região de um círculo delimitada por dois
raios e um arco.
Uma fatia de pizza é um exemplo de
A
um setor circular. Veja:
r
D
O
Na figura ao lado vemos dois setores cira
b
B
culares, OABC e OCDA. O setor OABC está
associado ao ângulo central de medida a,
e o setor OCDA está associado ao ângulo
C
central de medida b.
Mas, dado um setor circular de raio r
associado a um ângulo central de medida a, como fazemos para
determinar sua área?
Vamos pensar assim: se o ângulo central mede 360°, então o
setor circular corresponde ao círculo inteiro, e sua área é a área do
círculo: pr2; se o ângulo central mede 180°, então o setor circular cor2
responde a meio círculo, e sua área é ___
​ pr ​ . Assim, para um ângulo
2
central de medida a qualquer, em graus, podemos estabelecer uma
regra de três simples, pois a área de setor circular é diretamente
proporcional à medida do ângulo central. Assim:
medida do ângulo central
área
círculo
360° pr2
setor
a Asetor
360° ? Asetor 5 a ? pr2
Asetor 5 ____
​  a    
​? pr2
360°
Área de uma coroa circular
Você sabe que uma coroa circular é a região delimitada por duas
circunferências concêntricas do raio R e r. Um exemplo é o CD. Veja
a figura:
R
r
Observe que a coroa circular, representada em verde, está delimitada pelas circunferências de raios r e R.
Para calcular a área dessa coroa circular, basta subtrair a área do
círculo menor da área do círculo maior:
Acoroa 5 Acírculo maior 2 Acírculo menor 5 pR2 2 pr2
Acoroa 5 p(R2 2 r2)
UM POUCO DE HISTÓRIA
Área do círculo
O Papiro Rhind (ou Ahmes) é
um texto matemático do Egito
antigo, datado de cerca de
1650 a.C.
O texto é uma espécie
de manual prático com
85 problemas que Ahmes
copiou, provavelmente de um
trabalho mais antigo.
Trata-se de uma rica fonte
da matemática egípcia
antiga. Em seus problemas
estão descritos os métodos
egípcios de multiplicação e
divisão, o uso que faziam de
frações, algumas questões de
geometria e muitas aplicações
da matemática a situações
práticas.
Nesse papiro, a área do
círculo é considerada igual
à área do quadrado que tem
8
lados medindo __
​   ​ do diâmetro
9
do círculo.
O interessante é que,
fazendo os cálculos,
percebe-se que seria
equivalente a adotar para o
número irracional pi um valor
de aproximadamente 3,16.
(  ) (  )
2
8
16 2 256 2
r
​   ​  ? 2r  ​​ ​5 ​​__
​   ​  r  ​​  ​5 ____
​   ​   
Acírculo 5 ​​__
9
81
9
256
p > ____
​   ​ 
 5 3,1604...
81
O Papiro recebeu o nome
Rhind, pois foi comprado no
Egito pelo escocês A. Henry
Rhind. Mais tarde foi vendido
ao Museu Britânico, e
publicado em 1927.
Fonte de pesquisa: H. Eves. Introdução
à história da matemática. Campinas:
Editora Unicamp, 2004.
200
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4/13/12 2:59 PM
Atividades
6,3 cm
49. Calcule a área pintada determinada pelos
seguintes setores circulares.
a)
c)
9 cm
O
200º
80°
O
d)
60°
3 cm
Determine a área de impressão.
55. A área da coroa circular a seguir é igual à
área de um círculo cujo raio mede r.
2,5 cm
b)
40°
6 cm
r
O
O
6 cm
50. O quadrado ABCD tem lado medindo 6 cm;
a linha curva representa um arco de circunferência.
A
Capítulo 9
1,8 cm
Cupertino/Shutterstock.com/ID/BR
48. Determine a área do setor circular de acordo com os dados de cada item.
a) r 5 2,5 cm e a 5 48°
b) r 5 8 cm e a 5 270°
c) r 5 3 cm e a 5 30°
d) r 5 4,5 cm e a 5 40°
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
B
4 cm
Determine a medida desse raio.
56. A área da coroa circular a seguir é igual à
área de um setor circular de raio (r 1 R).
R
r
D
6 cm
a
r1R
C
Determine a área da região colorida.
51. Se um setor circular com 4 m de raio tem
área 2p m2, qual é a medida do ângulo central correspondente a ele?
52. O quadrado desta figura tem 81 cm2 de área.
Calcule a área da região colorida.
Determine a medida a do ângulo central
desse setor.
57. Calcule as áreas das seguintes regiões coloridas:
a)
c)
3 cm
53. Calcule a área determinada pela coroa circular compreendida entre circunferências
cujos raios medem 10 cm e 5 cm.
54. A área de impressão sobre um CD está compreendida entre circunferências com raios de
6,3 cm e 1,8 cm, conforme indicado na figura
a seguir.
60°
3 cm
4 cm
b)
d)
3 cm
60°
Imagens em
diferentes escalas.
4 cm
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3/24/12 5:41 PM
Módulo
2
Área total da superfície de um sólido
Bloco retangular
A superfície de um bloco retangular é composta de seis faces
retangulares. Considere o bloco representado ao lado, de arestas
medindo a, b e c.
Observe que o bloco tem duas faces retangulares de medidas a e
b, duas faces de medidas a e c, e duas outras faces de medidas b e c.
Assim, a área total da superfície desse bloco é:
c
b
Ilustrações: ID/BR
Imagine que você tenha uma caixa no formato de bloco retangular de madeira e deseja recobri-la com papel colorido. Qual é a
quantidade mínima de papel que você precisa?
Para responder a essa pergunta, precisamos saber a área total
da superfície da caixa, ou seja, a soma das áreas das faces.
E se o objeto a recobrir tiver forma cilíndrica, como você faz
para calcular a quantidade mínima aproximada de papel necessária
para recobri-lo? Vamos estudar esses casos e determinar a resposta
para essas perguntas.
a
Abloco 5 2ab 1 2ac 1 2bc
Cubo
O cubo é um caso particular de bloco retangular. Você já conhece bem essa figura geométrica: ele possui seis faces quadradas.
Considere o cubo representado ao lado, com arestas medindo a; a
área de cada face é a2.
Assim, a área da superfície desse cubo é:
Cilindro
a
a
a
Acubo 5 6a2
Para estudar a área da superfície de um cilindro, vamos analisar as partes que compõem essa superfície. A superfície de um
cilindro é formada por duas bases circulares e pela superfície lateral não plana. Você já sabe calcular a área das partes circulares.
Mas como se determina a área da superfície lateral?
Planificando a superfície de um cilindro de altura h e raio r da
base, obtemos uma figura como a mostrada ao lado.
Pode-se observar que a parte lateral do cilindro nada mais é do
que um retângulo. Note que a altura desse retângulo é a altura h do cilindro, e seu comprimento é tal que, quando “enrolado”, encaixa perfeitamente nas bases circulares de raio r. Portanto, seu comprimento
corresponde ao comprimento de um círculo de raio r, ou seja, 2pr.
Assim, a área total da superfície do cilindro é:
Acilindro 5 2 ? Abase 1 Alateral 5 2 ? (pr2) 1 2pr ? h
r
h
r
h
r
Acilindro 5 2pr ? (r 1 h)
202
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Atividades
58. Determine a área da superfície do bloco retangular a seguir.
c)
6 cm
3 cm
3 cm
ID/BR
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
Capítulo 9
12 cm
7 cm
d)
4 cm
12 cm
63. Com uma folha de papel retangular, de
21,5 cm por 31,4 cm, é possível construir a
superfície lateral de um cilindro.
a) Qual é a área da superfície lateral desse
cilindro?
b) Qual é o raio aproximado da base e a altura do cilindro construído com essa folha
de papel?
a)
6 cm
12 cm
66. Determine a área do rótulo de uma lata de
tinta, sabendo que ele cobre totalmente a
superfície lateral da embalagem.
10 cm
T INTA
25 cm
67. Uma lata de tinta é suficiente para pintar
40 m2 de parede. Se o salão de um clube
tem o formato de um paralelepípedo de
10 m de comprimento, 7 m de largura e 3,5 m
de altura, quantas latas de tinta são necessárias para pintar todas as paredes, o teto e
o chão do salão?
68.
Com um colega, reúna algumas embalagens com formato de bloco retangular e de cilindro.
a) Classifique as embalagens encontradas
de acordo com a sua forma.
c) Determine a área total da superfície de
cada uma das embalagens.
5 cm
9 cm
2 cm
2 cm
65. Considere um paralelepípedo cuja área é
36 cm2, a profundidade é 3 cm e a medida de
sua altura equivale à metade da medida
da aresta da base. Determine as dimensões
desse paralelepípedo.
b) Registre as medidas de cada uma das embalagens.
12 cm
b)
Ilustrações: ID/BR
64. Calcule as áreas das superfícies dos sólidos,
a seguir. Considere que as bases dos sólidos
dos itens a e c são semicírculos congruentes, as dos itens b são trapézios congruentes, e as do item d são triangulos retângulos.
Imagens em
diferentes escalas.
2 cm
AMj Studio/ID/BR
59. Determine a área da superfície de um cubo
com arestas de 18 m de comprimento.
60. Considere dois cubos, um com arestas de
3 cm de comprimento e outro com arestas
de 9 cm de comprimento. Calcule a razão entre as áreas das superfícies desses cubos.
61. Responda sem fazer contas no papel. Se dobrarmos cada uma das medidas das arestas
de um bloco retangular, quanto aumentará
a área de sua superfície?
62. Considere um cilindro com 9 cm de altura,
cujo raio da base mede 6 cm.
a) Determine a área de sua base.
b) Determine a área de sua superfície lateral.
c) Determine a área total de sua superfície.
6 cm
4 cm
69. Uma caixa com formato de bloco retangular
tem o fundo com 288 cm2 de área; seus lados têm 264 cm2 e 132 cm2 de área. Determine as medidas para essa caixa.
Dica: Fatore as medidas da caixa.
203
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Módulo
3
Volume de um sólido
Você deve se lembrar de que, quando começamos a estudar a área
de figuras planas, usamos a malha quadriculada regular e contamos a
quantidade de quadradinhos que cabiam na figura.
Para estudar o volume de alguns sólidos, procedemos de maneira
similar: vamos preencher os sólidos com cubinhos; cada cubinho representa uma unidade de volume. Em seguida, contamos quantos cubinhos cabem nos sólidos, obtendo seus volumes. Nossa unidade será o
volume de um cubo com arestas de 1 cm. Esse volume corresponde a
1 cm3 (um centímetro cúbico). Você já conhece essa e outras unidades de volume, como o metro cúbico (m3) e o decímetro cúbico (dm3)
(1 m3 5 1 000 litros, 1 dm3 5 1 litro).
Link
O volume, como já
estudamos, é o espaço
ocupado por um objeto.
Bloco retangular
Ilustrações: ID/BR
Vamos calcular o volume de um bloco retangular, decompondo-o em cubinhos de uma unidade de volume. Observe:
4 cm
6 cm
Geometria das
embalagens
A geometria é bastante usada na produção de embalagens, pois
otimiza o custo e a quantidade de matéria-prima consumida em sua fabricação.
Para isso, são considerados
o produto, a maneira como
ele é transportado e armazenado e seu prazo de validade.
A intenção é armazenar o mesmo volume utilizando a menor
quantidade de material, o que
contribui também para a preservação do ambiente.
3 cm
Cada uma das camadas do bloc
co é composta de 18 cubinhos
(3 ? 6 5 18). Como são 4 camadas no
b
total, a quantidade de cubinhos no bloa
co é (3 ? 6) ? 4 5 18 ? 4 5 72. Dizemos
que o volume desse bloco é 72 cm3.
Para um bloco retangular com comprimento a, largura b e altuVbloco 5 a ? b ? c
ra c, o volume é:
Como a ? b é a área da base, concluímos que o volume de um
bloco retângular é igual ao produto entre a área de sua base e
sua altura.
Observe que, apesar de termos chegado à expressão para o volume do bloco retangular usando cubinhos de uma unidade de volume,
nessa expressão as letras a, b e c podem assumir quaisquer valores
positivos. Isso também é válido para as outras expressões que veremos adiante.
ƒ Pesquise sobre a mudança
na embalagem de alguns
produtos nos últimos anos.
ƒ Converse com seus colegas
sobre as matérias-primas
mais usadas na produção
de embalagens. Quais são
as que menos agridem o
meio ambiente após serem
descartadas?
Cubo
Calculamos o volume de um cubo
multiplicando a área da base pela altura. Como o cubo é um bloco retangular de seis faces quadradas, seu volume é dado pelo cubo de sua aresta.
ƒ Para você, por que é
Vcubos 5 a ? a ? a
Vcubo 5 a3
a
a
a
importante reciclar
materiais? Toda embalagem
pode ser reciclada? Quais
são os benefícios da
reciclagem?
204
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Atividades
b)
e)
Capítulo 9
Stephen Frink Collection/Alamy/Other Images
75. Qual é o volume de água que cabe em uma
piscina de 50 m de comprimento, 25 m de
largura e 2 m de profundidade?
Ilustrações: ID/BR
70. Considere que cada cubo que forma os sólidos a seguir tem 1 cm3 de volume. Qual é o
volume de cada um dos sólidos?
a)
d)
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
Competição de natação, Key Largo, Flórida, EUA, 2010.
c)
76. Responda sem fazer contas no papel: se dobrarmos a medida da aresta do cubo, quanto aumentará seu volume?
72. Determine o volume de uma caixa de sapatos, sabendo que suas dimensões são 34 cm,
18,5 cm e 12 cm.
73. Na entrada de uma casa há uma escada de
concreto com três degraus, conforme a figura.
14 cm
7 cm
5 cm
3,5 cm
6 cm
5 cm
embalagem 1
3 dm
1 dm
1 dm
1 dm
1 dm
1,5 dm
4 dm
Determine o volume de concreto usado para
fazer essa escada.
74. Um aquário de vidro em forma de paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 50 cm,
35 cm e 35 cm, conforme figura abaixo.
a) Calcule o volume desse aquário.
b) Sabendo que 1 dm3 5 1 litro, determine a
capacidade desse aquário, em litros.
embalagem 3
78. Considere dois cubos, um com arestas de
3 cm e outro com arestas de 9 cm. Determine a razão entre os volumes dos dois cubos.
79. Calcule o volume de cada um dos seguintes
sólidos.
1 cm
a)
b)
1 cm
3 cm
0,5 cm
4 cm
1,5 cm
4 cm
50 cm
embalagem 2
6 cm
a) Determine o volume de cada embalagem.
b) Qual embalagem necessita da maior quantidade de papelão para ser produzida?
35 cm
35 cm
2,5 cm
12 cm
1,5 cm
80. Determine o volume
de uma caixa de milho
em conserva, sabendo
que suas dimensões
são 8,5 cm, 9,5 cm e
4,3 cm.
1 cm
3 cm
3 cm
Fabio Yoshihito Matsuura/
Mosaico Fotografia/ID/BR
71. Qual é o volume de um cubo que tem arestas de 7 cm de comprimento?
77. Considere os três modelos de embalagens de
papelão na forma de paralelepípedo, encomendados por uma empresa.
205
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Cilindro
SaIBa MaIS
Embora um cilindro tenha lateral arredondada, seu volume
também pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela
altura.
Dado um cilindro de raio r e altura h, a área da base circular
é pr2, de modo que seu volume pode ser calculado por:
Ilustrações: ID/BR
r
h
ID/BR
Vcilindro 5 Abase ? h 5 pr2 ? h
Princípio de Cavalieri
O matemático italiano
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) estabeleceu, no século
XVII, um princípio que pode
ser enunciado da seguinte
maneira:
“Dois sólidos têm alturas
iguais e bases paralelas a
um mesmo plano. Se ambos
os sólidos são cortados por
qualquer plano paralelo às
bases e as secções planas
obtidas apresentam áreas
iguais, então os dois sólidos
têm volumes iguais”.
Como exemplo, veja os
sólidos abaixo.
prismas
Você sabe que os prismas são sólidos geométricos delimitados
por faces planas, cujas bases são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as faces laterais são quadrangulares. Veja
alguns exemplos:
prisma triangular
reto
prisma quadrangular
reto
Os três sólidos têm alturas
iguais e bases paralelas
a um mesmo plano. Suas
intersecções com planos
paralelos às bases são
polígonos de áreas iguais.
Assim, os três sólidos têm
volumes iguais.
prisma hexagonal
reto
O volume de um prisma pode ser obtido por meio do produto
entre a área da base e a altura, sabendo que a área da base depende
do polígono que a determina.
Vprisma 5 Abase ? h
Atividades
81. Uma lata de milho verde em conserva em formato cilíndrico tem como dimensões 8 cm de
diâmetro e 10 cm de altura. Calcule o volume
dessa lata.
82. Deseja-se construir um reservatório cilíndrico, de maneira que o diâmetro da base
tenha 5 m e sua capacidade máxima seja
50 000 L. Qual deve ser a altura desse reservatório?
Responda sempre no caderno.
83.
Como você pode perceber, o método de
multiplicar a área da base pela altura é válido para a determinação do volume de blocos retangulares, de cilindros e de prismas.
Porém, não é válido para sólidos como cones e pirâmides. Com um colega, pesquise a
expressão para o cálculo do volume de cones e pirâmides.
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Atividades
3 cm
3 cm
4 cm
10 cm
9 cm
91. Veja o bolo mostrado nesta figura.
15 cm
87. Determine, em litros, o volume de água que
cabe dentro de uma mangueira cilíndrica de
comprimento 12,5 m e raio 1,5 cm.
AMj Studio/ID/BR
86. O volume de um cilindro é 14p cm3 e o raio
de sua base mede 3,5 cm. Determine sua
altura.
1,5 cm
1,5 cm
ID/BR
85. Um cilindro tem volume de 125p cm . Sabendo que o diâmetro da base mede 10 cm, determine sua altura.
3
1,5 cm
Capítulo 9
84. Determine o volume de um cilindro com raio
da base de 3 cm e altura de 6 cm.
Áreas e volumes
Responda sempre no caderno.
88. Determine o volume dos seguintes cilindros:
a)
c)
4 cm
ID/BR
1,8 cm
1,5 cm
10 cm
3 cm
b)
a) Determine o volume ocupado pelo bolo.
1 cm
b) Determine a área da superfície do bolo
que pode levar cobertura (parte de cima
e lateral).
7 cm
Imagens em
diferentes escalas.
2 cm
1,5 cm
4 cm
ID/BR
Fotografias: Paulo Manzi/ID/BR
89. Considere uma lata de leite em formato cilíndrico com raio da base medindo 5 cm e
altura medindo 12 cm.
92. Observe as três possibilidades de embalagem para determinada marca de extrato de
tomate.
8 cm
rótulo
10 cm
9 cm
a) Qual delas permite embalar o maior volume de extrato de tomate?
b) Qual delas apresenta a maior razão entre o volume embalado e a quantidade
de material usada na fabricação da embalagem?
Determine:
a) a área do rótulo;
b) o volume que o leite pode ocupar na lata.
90. As duas peças a seguir são formadas por
um cilindro e um paralelepípedo. Qual delas
tem o maior volume?
93. Considere duas latas de leite em pó de alturas iguais. Em uma delas, o raio da base tem
5 cm; em outra, o raio da base tem 8 cm.
A primeira custa R$ 6,85; a segunda, R$ 7,29.
Qual dessas embalagens é economicamente
mais vantajosa para o consumidor, considerando que todo o volume delas é preenchido
com leite em pó?
207
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Mundo tecnológico
Responda sempre no caderno.
Criptografia e a Matemática
embaralhar a posição das letras e números da
mensagem original. Pode-se, por exemplo,
Desde tempos remotos, governantes e che- agrupar os caracteres que estão em posições pafes militares têm necessidade de enviar men- res e depois os que estão em posições ímpares.
sagens para comandar suas operações com
Mensagem: Conta 0421 39 reais
sucesso. Mais que isso: em muitos casos, a conPosições pares: o t 4 1 3 e i
fidencialidade da mensagem é indispensável,
Posições ímpares: C n a 0 2 9 r a s
especialmente em tempos de guerra.
Mensagem criptografada: ot 413 eicna02 9ras
Criptografia é a arte de codificar uma menAs mensagens criptografadas são decifrasagem de maneira que somente as pessoas audas
pelo receptor, que precisa combinar pretorizadas consigam compreender seu conteúdo.
Atualmente, a necessidade de transmitir viamente com o emissor o tipo de criptografia
mensagens secretamente aparece também em usado. Mas as mensagens criptografadas dos
atividades importantes, como a comunicação exemplos acima seriam facilmente decifradas
bancária e o comércio eletrônico. Boa parte da por especialistas. Um avanço para fortalecer a
segurança dessas transações se deve à cripto- criptografia e dificultar a decodificação foi utiligrafia. Vejamos algumas técnicas para cripto- zar simultaneamente criptografia de substituição e de transposição.
grafar mensagens.
Outro avanço foi utilizar palavras-chave que
Criptografia de substituição: um exempodem
ser trocadas de tempos em tempos, alteplo simples consiste em substituir cada letra
rando
o
código de substituição. O uso de palavraou número da mensagem original pela letra
-chave consiste, por exemplo, em trocar as letras
ou número seguinte. Veja:
iniciais do alfabeto pelas letras dessa palavraMensagem original: Conta 0421 39 reais
-chave, completando o alfabeto com as letras
Mensagem criptografada: Dpoub 1532 40 sfbjt
restantes. Se a palavra-chave fosse CRIPTOGRACriptografia de transposição: consiste em FIA, descartando letras repetidas, teríamos:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
C
R
I
P
T
O
G
A
F
B
D
E
H
J
K
L
M
N
Q
S
U
V
W
X
Y
Z
Primeira letra do alfabeto ainda
não usada, e assim por diante
Palavra-chave sem repetir letras
Observe abaixo a codificação da mensagem BOM DIA, que usa a substituição das letras,
como exemplificado acima, e, como critério de transposição, troca de lugar uma letra com a
seguinte.
Exemplo de criptografia de substituição e transposição:
Mensagem:
Substituição:
Transposição:
BOM DIA
RKHPFC
KRPHCF
Em vez de enviar BOM DIA, o emissor envia a mensagem KRPHCF. O receptor, conhecendo
a palavra-chave e o método de criptografia usado, consegue decodificar o texto. Essa técnica foi
um passo na evolução da criptografia, que nos dias atuais é muito mais sofisticada e complexa.
Faça você
Considerando a palavra-chave PERNAMBUCO, e sem usar a técnica de transposição,
decifre esta mensagem criptografada: “IQHTGALIQBIVALHPGIGTHNI”. (Dica: É uma frase
do filósofo grego Platão.)
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Matemática e mapas conceituais
Responda sempre no caderno.
Áreas e volumes
Mapas de conceitos, uma ferramenta de aprendizagem
O
paRa o aluno
Esquematizar as aulas, elaborar
estratégias de aprendizagem, internalizar
os conteúdos, resolver problemas.
tem várias aplicações
MAPA CONCEITUAL
é uma
paRa o pRofESSoR
Planejar aulas, identificar problemas
de compreensão, reforçar tópicos
estudados, avaliar a aprendizagem.
FERRAMENTA DE ESTUDOS
que usa a
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
paRa aS pESSoaS EM gERal
Planejarem um consumo de acordo com
o orçamento (viagem, curso, compra)
ou uma situação que exige melhor
visualização para ser decidida.
para apresentar
CONCEITOS
são
conectados entre si por
denominados
LINHAS
NÓS
Capítulo 9
Conheça essa ferramenta de estudos, acompanhando o mapa conceitual (ou mapa de conceitos) a seguir. Lembre-se de que um conceito é a manifestação de uma ideia, significa definição.
são denominadas
ARCOS
Observe que há várias possibilidades de leitura do mapa; as cores das setas servem de guia
opcional. Nos mapas conceituais, o importante é obter frases curtas. Inicialmente se apresentam os conceitos mais gerais do tema em estudo; aos poucos se introduzem os conceitos mais
específicos.
O principal objetivo educacional dos mapas conceituais é desenvolver ambientes de aprendizagem significativa (permanente, não superficial) e de cooperação entre os alunos. A modelagem final da representação é menos importante do que as tentativas de organizar e ligar os
conceitos. Um aluno pode e deve sugerir nós e linhas no mapa de outro colega, agregando (juntando) seus conhecimentos aos dele. Pode-se ainda criar variações do mapa do colega. Quando
a modelagem é feita em grupos, todos os envolvidos devem cooperar com sugestões por meio
de palavras, desenhos, fórmulas ou equações. Esse ambiente de cooperação e de contrastes de
ideias geralmente produz discussões interessantes.
Pode-se usar mapa conceitual em todas as matérias escolares e também para organizar situações da vida pessoal. Experimente!
de olho no texto
Em dupla, explique por que a área do círculo corresponde à área de um triângulo de base
2pr e altura h. Para isso, copie o mapa conceitual a seguir, substituindo os símbolos pelas
palavras adequadas:
CÁLCULO DA ÁREA
DIVIDE-SE
o
CÍRCULO
de um
em várias
As regiões entre as
são denominadas
Fazendo um corte no sentido de um dos raios, as
ESTICADAS
§
são
e se aproximam de um
DE
BASE 2pr E
h
209
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DE
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ROTEIRO DE EStuDoS
Responda sempre no caderno.
autoavaliação
94. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
a) A área de um quadrado cuja diagonal mede 8 m é 32 m2.
b) A área de um retângulo de base 12 m
cuja diagonal forma com a base um
ângulo de 30º é 48dXX
3  m2.
c) A área de um triângulo equilátero de
altura 6 m é 12dXX
3  m2.
d) A área de um triângulo isósceles
de perímetro 32 cm cuja base excede 5 cm dos lados congruentes é
28dXX
2  cm2.
e) A área de um losango de 40 cm de perímetro e 12 cm de diagonal é 48 cm2.
95. A área de uma sala
com a forma da figura ao lado é:
a) 30 m2
b) 26,5 m2
c) 28 m2
d) 24,5 m2
e) 22,5 m2
3m
3m
3m
2m
5m
3m
96. Um hexágono regular com apótema
3   cm está inscrito em um
medindo 2dXX
círculo. Determine:
a) a área de circunferência;
b) a área do hexágono.
97. Considere a região R, pintada de preto
e exibida a seguir, construída no interior
de um quadrado de lado medindo 4 cm.
1 cm
4 cm
Sabendo que os arcos de circunferência
que aparecem nos cantos do quadrado
têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a área da região R.
98. Um cilindro cuja base é um círculo de
raio r 5 3 m tem 108p m3 de volume.
Então, a área total (em m2) desse cilindro é:
a) 126p
c) 72p
e) 108p
b) 81p
d) 90p
99. (PUC) O volume do prisma reto de
dXX
3  m de altura, cuja base é um hexágo2  m de lado, é:
no regular de dXX
a) dXX
3  m3
c) 9 m3
e) 8dXX
3  m3
3
3
b) 3dXX
3  m
d) 3 m
nota: Confirme se você acertou todas as questões dessa Autoavaliação. Se não acertou, faça
as atividades do Reforço e da Revisão antes do
Aprofundamento.
Reforço
A
x12
B
100. Qual das afirmações seguintes é falsa?
a) A área de um retângulo de diagonal
15 cm e perímetro 42 cm é 108 cm2.
b) A área de um triângulo retângulo cujo
cateto mede 10 m e o ângulo oposto a
3 
50dXX
ele mede 60° é _____ m2.
3
c) A área de um triângulo equilátero de
perímetro 48 cm é 64dXX
3  cm2.
d) A área de um losango cuja medida da diagonal maior é 24 m e a medida do maior
ângulo interno é 120° é 48dXX
3  cm2.
e) A área do hexágono regular de perí3  cm é 18dXX
3  cm2.
metro 12dXX
101. No trapézio a seguir, a área é 21 cm2 e a
altura, 3 cm. Quanto mede AB e DC?
D
x
C
102. Calcule a área pintada:
a)
b)
2m
2m
135o
2 cm
6 cm
Imagens em
diferentes escalas.
103. Em um tetraedro (pirâmide de base triangular), cada face lateral é um triângulo
equilátero de lados medindo 4 cm. Qual
é a área da superfície desse tetraedro?
Revisão: Refaça as atividades 12, 15, 16, 24, 25,
36, 37, 47, 57, 66, 67, 78, 79 e 93.
210
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3/24/12 5:41 PM
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área
da região destacada na figura é:
p
3  2 __ cm2
a) 9 ? 2dXX
6
p
___
b) 9 ? dXX
3  2
cm2
18
(
(
)
)
(
(
Áreas e volumes
104. (Udesc) Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos
médios de dois de seus lados, conforme
mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência.
c) 9 ? (dXX
3  2 p) cm2
p
d) 9 ? dXX
3  2 __ cm2
3
p
__
e) 9 ? dXX
3  2
cm2
6
)
)
105. (UFSC) Na figura ao
lado, que representa
um cubo, o perímetro
do quadrilátero ABCD
2  ) cm.
mede 8 (1 1 dXX
Calcule o volume do
cubo em cm3.
Capítulo 9
aprofundamento
B
A
C
D
106. (ITA) Dado um prisma hexagonal regular,
sabe-se que sua altura mede 3 cm e que
sua área é o dobro da área de sua base.
O volume deste prisma, em cm3, é:
a) 27dXX
3   b) 13dXX
2   c) 12 d) 54dXX
3   e) 17dXX
5 
Estratégias de aprendizagem
Novas possibilidades
Você chegou ao fim do Ensino Fundamental II. Seu caminho profissional agora se abre para
novas possibilidades, dentro e fora da escola. Difícil escolher ou você já sabe o que vai fazer
no próximo ano?
I. Pense em suas possibilidades de escolha. Para isso:
a) procure se informar sobre as matérias do Ensino Médio, perguntando para colegas da
escola (se nela houver Ensino Médio), professores, parentes, vizinhos, etc.;
b) descubra como, futuramente, sua entrada em uma universidade vai depender do Ensino Médio;
c) procure se informar sobre os Centros Federais de Educação Tecnológica (Cefets) da
região onde você mora. Eles oferecem cursos técnicos variados (de eletricista, mecânico, cabeleireiro, hotelaria, informática, entre muitos outros), que preparam os alunos para o mercado de trabalho;
d) descubra se, futuramente, um curso técnico permite a entrada em universidade.
II. Reflita sobre suas pretensões de estudo ou de trabalho ou de ambos para o próximo
ano. Faça um desenho sobre isso ou esboce um mapa conceitual como um caminho para
chegar onde pretende ou escreva um texto sobre suas reflexões.
III. Se você já tem uma previsão do que vai fazer no próximo ano, pense nessa situação e
também em como ela se impôs em sua vida (se a decisão foi sua, em que ela se baseou).
Procure mostrar isso por meio de desenho ou mapa conceitual ou texto.
Aprender é uma ação contínua — pois o conhecimento não se esgota, apenas se amplia — e muito pessoal —, pois cada pessoa tem sua própria estratégia de aprendizagem.
Conforme a pessoa vai amadurecendo, sua maneira de aprender, sua estratégia, também
se transforma. Desejamos que você encontre em seu caminho muitas oportunidades de
aprender e também de ensinar. E que seu aprendizado de Matemática até aqui realizado
contribua para você alcançar muitos objetivos, tanto relacionados à continuidade dos
estudos como ao início de uma vida profissional.
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pRoJE to
Responda sempre no caderno.
Jogo dramático: orçamento familiar,
poupança, consumo consciente
objetivo do projeto
Criar jogos dramáticos com temas da educação financeira, para uma reflexão sobre
como ser um consumidor exigente com preço e qualidade e preocupado com o cada vez
maior descarte na natureza de materiais que sobram do consumo exagerado de produtos.
organização da classe
Alunos distribuídos em quatro grupos, ou de acordo com a orientação do professor.
preparação para o jogo dramático
Com seu grupo, comece a atividade lendo o texto a seguir, em que a autora se dirige a educadores (professores, coordenadores pedagógicos, familiares ou responsáveis)
para explicar o significado da educação financeira na formação dos alunos.
4 Pontos Principais da Educação Financeira
A Educação Financeira não deve ser confundida com o ensino de técnicas ou macetes de bem administrar dinheiro. Tampouco deve funcionar como um manual de regrinhas moralistas fáceis – longe disso, aliás. O objetivo da Educação Financeira deve
ser o de criar uma mentalidade adequada e saudável em relação ao dinheiro. Educação
Financeira exige uma perspectiva de longo prazo, muito treino e persistência.
Em linhas gerais, uma Educação Financeira apropriada deve abarcar 4 pontos.
Como ganhar dinheiro
O grande desafio da educação não é educar para hoje, mas educar para que os
resultados possam florescer em 15, 20, 30 anos. Nos dias atuais, em que ocorrem
transformações tão abruptas e complexas, é preciso um grande esforço para educar as
crianças não para este mercado de trabalho, tal como conhecemos e fomos educados
para ele, mas para um mercado que mal podemos imaginar como será. Desenvolver o
espírito empreendedor e estimular modos inovadores de raciocínio, por exemplo, são
ferramentas essenciais à preparação de nossas crianças e jovens para o futuro.
Como usar o dinheiro
Muito da habilidade em lidar com finanças, tanto na infância quanto na vida adulta, depende de sermos capazes de diferenciar o “eu quero” do “eu preciso”. Gastar em
coisas que queremos é ótimo, divertido, saudável e é importante. Mas parte de nossas
responsabilidades, como pais e educadores, é ensinar que, na vida, as necessidades
vêm em primeiro lugar.
Por que poupar
Existem várias razões para se aprender a poupar. A ideia mais imediata que ocorre é
a da segurança. Embora seja uma ideia correta, é preciso levar em consideração algumas
outras. Ter uma poupança – ou ser educado para isso – cria disciplina, dá limite e ensina
autorrespeito.
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Áreas e volumes
Como doar tempo, talento e dinheiro
Capítulo 9
[…]
Acima de tudo, a Educação Financeira deve ensinar que a responsabilidade social
e a ética precisam estar sempre presentes no ganho e uso do dinheiro.
Disponível em: Cássia d’ Aquino. <www.educacaofinanceira.com.br/conteudo.asp?id_conteudo=55>.
Acesso em: 10 out. 2011.
Planejamento e instruções
Distribuídos os temas, cada grupo escolhe um coordenador e um redator. O coordenador marca as datas e o local das reuniões do grupo, verifica se as etapas decididas
pelos membros estão sendo cumpridas no tempo determinado. O redator vai registrar
os passos da atividade e anotar os resultados das reuniões do grupo. A primeira reunião
é para conversar e elaborar o roteiro da dramatização.
O roteiro é como um mapa ou caminho a ser seguido para atingir determinado ponto, certo objetivo. No roteiro estão previstos os diálogos (muitas vezes até a entonação
de voz das personagens), a cenografia (arrumação do palco), a iluminação da cena, os
efeitos sonoros e visuais.
Pelo roteiro se pensa nos materiais e, se for o caso, no figurino.
Grupo 1: “Empreendedor do futuro”.
Futuro empreendedor de 34 anos de idade, que trabalha com a construção de painéis de energia solar, respeitado pela qualidade do serviço e pelas soluções que oferece
em suas instalações. Hoje ele teria 14 anos de idade, estaria cursando o fim do 9o ano do
Ensino Fundamental e recebendo orientações básicas sobre educação financeira para,
no mínimo, não se deixar enganar como consumidor, ter sucesso como empreendedor
e reconhecer a prática da responsabilidade social e ética em seus ganhos e usos do
dinheiro.
Grupo 2: “Família poupadora”.
Família que pratica a poupança, que coloca as necessidades básicas em primeiro
lugar, deu limites, disciplina e autorrespeito aos envolvidos. Todos participam das decisões econômicas, administram os bens comuns e escassos, programam as férias em
conjunto (duração, lugar, meio de transporte, hospedagem), entre outros aspectos de
compromisso e criatividade na elaboração do orçamento desse grupo.
Grupo 3: “A família consumista”.
Famílias em que o “eu quero” suplanta o “eu preciso”. As pessoas são individualistas,
não se importando se determinado consumo cabe no orçamento. A situação propicia a
falta de limites, de disciplina e de autorrespeito entre os membros dessa família, com as
previsíveis consequências desse comportamento.
Grupo 4: “Ou isto ou aquilo” — interpretação dramática de poema.
Para desenvolver a interpretação, o grupo vai pesquisar o poema “Ou isto ou aquilo”,
de Cecília Meireles (1901 - 1964). Esse poema compõe o livro Ou isto ou aquilo, da editora
Nova Fronteira.
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Sinopse: Um livro de aventuras cujo enredo demonstra como a
Matemática pode ser útil para tirar a garotada de enrascadas.
Polígonos, centopeias e outros bichos, de Nilson José Machado.
São Paulo: Scipione. Coleção Vivendo a Matemática.
Sinopse: Parábola intrigante para trabalhar a noção de polígonos e
o significado de “saber fazer e falar“.
Semelhança, de Luiz Márcio Imenes, José Jakubo e Marcelo Lellis.
São Paulo: Atual. Coleção Pra que serve Matemática?
editora
da
Ática/Arquivo
da editora
da editora
Saída pelo triângulo, de Ernesto Rosa.
São Paulo: Ática. Coleção A Descoberta da Matemática.
/Arquivo
Sinopse: O leitor vai conhecer como foi escrita a primeira equação
do 2o grau, no Egito, há 4 000 anos, em uma placa de argila.
Scipione
História da equação do 2o grau, de Oscar Guelli.
São Paulo: Ática. Coleção Contando a História da Matemática.
Atual/A
Sinopse: O autor usa a ficção científica para levar o leitor a valorizar
um conhecimento matemático. Três amigos, em visita a uma
exposição de Ciência e Tecnologia, inesperadamente percebem
que estão fazendo uma viagem espacial. E só conseguem
encontrar o caminho de volta à Terra lançando mão do que
aprenderam sobre coordenadas.
Ática/Arquivo
Em busca das coordenadas, de Ernesto Rosa.
São Paulo: Ática. Coleção A descoberta da Matemática.
Ática/Arquivo da editora
Livros
a
rquivo da editor
Leituras e sites indicados aos alunos
Para você ampliar seus conhecimentos sobre temas estudados neste livro, sugerimos a
seguir alguns livros e sites úteis e interessantes.
Sinopse: Trabalhar com o conceito da semelhança, usar recursos
visuais, partes da história da Matemática, quebra-cabeças e
charadas, tornando esse conhecimento agradável e interessante.
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da editora
Zahar/Arquivo
Mania de Matemática: diversão e jogos de lógica e Matemática,
de Ian Stewart.
São Paulo: Jorge Zahar.
Mágicas, Matemática e outros mistérios, de João Carlos Vieira
Sampaio e Pedro Luiz Aparecido Malagutti.
São Paulo: EdUFSCar. Coleção Matemática.
Sinopse: Um livro lúdico, que trabalha com a teoria dos números
por meio de truques aritméticos de “efeitos mágicos“,
dirigidos a todas as idades. Pequenas oficinas compõem a
obra, apresentando brincadeiras com a geometria, a topologia
geométrica e a lógica.
Scipione/Arqu
ivo da editora
Sinopse: O autor usa uma linguagem bastante acessível para
apresentar conceitos simples de lógica, seu uso no dia a dia e
sua aplicação na Matemática.
EdUFSCar/Arqu
Lógica? É lógico!, de Nilson José Machado.
São Paulo: Scipione. Coleção Vivendo a Matemática.
ivo da edito
ra
Sinopse: Raciocínios incomuns, desafios, contos de mistério
e problemas cotidianos remetem a importantes problemas
matemáticos e a personagens curiosas, nesse interessante
relato.
Sites
Arte & Matemática. <http://www.tvcultura.com.br/artematematica/home.html>
Brasil Escola. <http://www.brasilescola.com/matematica/>
IBGE Teen. <http://www.ibge.gov.br/ibgeteen>
iMática. <http://www.matematica.br/>
Klick Educação. <http://www.klickeducacao.com.br>
Matemática Interativa Linux. <http://mil.codigolivre.org.br/>
Olimpíada Brasileira de Matemática. <http://www.obm.org.br>
Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. <http://www.obmep.org.br>
Só Matemática. <http://www.somatematica.com.br/>
Testes matemáticos. <http://www.testonline.com.br/matematic.htm>
Acesso em: set. 2011.
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