2.1
2.1A
Diferenciabilidade
Um campo escalar f é de…nido em Rn pela equaçãof (x) = ha; xi, onde a é um vetor constante.
Calcule a derivada direcional Dv f (x) no ponto x e direção v arbitrários.
2.1B
Resolva o exercício precedente no caso em que f (x) = kxk4 : Considere n = 2 e determine
todas as direções v para as quais Dv f (2; 3) = 6:
2.1C
Considere uma transformação linear T : Rn ! Rn e de…na o campo escalar f em Rn por
f (x) = hT x; xi. Calclule Dv f (x) :
2.1D
Suponha que um campo escalar f tem a seguinte propriedade: Dv f (x) = 0, em qualquer
direção v e em todos os pontos da bola B (a). Mostre que f é constante nessa bola. O que se pode
deduzir no caso em que a propriedade é válida em todo ponto de B (a), mas em uma direção …xa?
2.1E
Prove que não existe um campo escalar f tal que Dv f (a) > 0; em um ponto …xo a e toda
direção não nula v. Dê exemplo de uma campo escalar com a seguinte propriedade: Dv f (x) > 0, em
uma direção …xa ~v e todo ponto x:
2.1F
Considere a função f (x; y) = 3x2 + y 2 , restrita ao círculo x2 + y 2 = 1: Determine os pontos e
as direções para os quais a derivada direcional de f é máxima.
2.1G
Determine os valores das constantes a; b e c de modo que a derivada direcional de f (x; y; z) =
axy 2 + byz + cz 2 x3 no ponto (1; 2; 1) tenha valor máximo 64, na direção do eixo z:
2.1H
Em R3 seja ~r (x; y; z) = x~i + y~j + z~k e deixe r representar a norma de ~r, isto é, r = k~rk :
Mostre que: (a) rr (x; y; z) é um vetor unitário colinear com ~r; (b) r (rn ) = nrn
2.1I
2~
r.
Suponha que f é diferenciável em cada ponto da bola B (a) e que v1 ; v2; : : : ; vn são n vetores
linearmente independentes tais que Dvj f (x) = 0; para cada j = 1; 2; : : : ; n; em qualquer ponto x de
B (a) : Mostre que f é constante em B (a) :
2.1J
Seja f um campo escalar diferenciável em cada ponto da bola B (a).
COMPLEMENTOS 2
CAMPOS DIFERENCIÁVEIS
7
(a) Se rf (x) = 0 para todo x em B (a), mostre que f é constante em B (a) ;
(b) Se f (x)
2.1K
f (a) para todo x em B (a) ; mostre que rf (a) = 0:
Mostre que r (kxk) é um vetor unitário na direção de x e que
r kxkk = k kxkk
2
x;
k = 1; 2; 3; : : : :
Calcule r (1= kxk) ; para x 6= 0:
2.1L
A Regra da Cadeia Seja h (x) = f [g (x)], onde g = (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) é um campo diferen-
ciável em a; e f é um campo escalar diferenciável em b = g (a). Mostre que:
rh (a) =
2.1M
n
X
k=1
Dk f (b) rgk (a) :
Considere dois campos diferenciáveis ' : Rn
Rn por (x0 ; xn ), sendo x0 = (x1 ; x2 ; : : : ; xn
1 ).
1
! R e f : Rn ! R e represente os pontos do
: Rn
Se
1
! Rn é de…nida por
(x0 ) = (x0 ; ' (x0 )),
mostre que:
D (g
2.2
) x0 =
@g
(x)
@x0
+
1 (n 1)
@g
(x) r' x0 :
@xn
Exemplos do Cálculo
2.2A
xy
De…na os campos f e g em R2 por: f (x; y) = p
x2 + y 2
e g (x; y) =
xy x2 y 2
; se
x2 + y 2
(x; y) 6= (0; 0) ; e f (0; 0) = g (0; 0) = 0: Calcule as derivadas parciais fx (0; 0) ; fy (0; 0) ; gxy (0; 0) e
gyx (0; 0) : O campo f é diferenciável na origem? E o campo g?
2.2B
Determine um vetor V (x; y; z) normal a superfície z =
genérico (x; y; z) 6= ~0. Se
p
x2 + y 2 + x2 + y 2
3=2
, em um ponto
(x; y; z) representa o angulo entre V (x; y; z) e o eixo z, determite o limite
de cos quando (x; y; z) ! ~0:
2.2C
Considere as funções u (x; y) e v (x; y) de…nidas pelas equações x = eu cos v e y = eu sen v.
Mostre que os vetores gradientes ru (x; y) e rv (x; y) são perpendiculares em cada ponto (x; y) ; com
x > 0:
2.2D
Seja f (x; y) =
p
jxyj:
(a) Veri…que que @x f (0; 0) = 0 e @y f (0; 0) = 0;
8
CÁLCULO AVANÇADO
MARIVALDO P. MATOS
(b) A função f admite plano tangente na origem? (sugestão: considere a seção da superfície com
o plano x = y):
2.2E
Encontre a equação do plano tangente à superfície xyz = a3 ; a > 0; no ponto (x0 ; y0 ; z0 ) e
mostre que o volume do tetraedro limitado por este plano e os três planos coordenados é 9a3 =2:
2.2F
Se rf (x; y; z) é sempre paralelo ao vetor x~i + y~j + z~k, mostre que f assume valores iguais
nos pontos (0; 0; a) :
2.2G
As equações u = (x
y) =2 e v = (x + y) =2 transformam f (u; v) em F (x; y). Use uma forma
apropriada da regra da cadeia para expressar as derivadas Fx e Fy em termos das derivadas fu e fv :
2.2H
Seja f : Rn ! R dada por f (x) =
1
2
kxk2 . Mostre que f é diferenciável e calcule a derivada
Df (x) :
2.2I
Sejam f; g : Rn ! Rn dois campos vetoriais diferenciáveis e de…na F : Rn ! R por F (x) =
hf (x) ; g (x)i. Mostre que F é diferenciável e calcule a derivada DF (x) :
2.2J
Mostre que a função f : R2 ! R de…nida por
8
x jyj
>
< p
; se (x; y) 6= (0; 0)
x2 + y 2
f (x) =
>
: 0; se (x; y) = (0; 0)
é do tipo considerado no exercício precedente, e conclua que f não é diferenciável na origem.
kxk2 ; 8x; mostre que f é diferenciável na origem.
2.2K
Se f : Rn ! R satisfaz à condição jf (x)j
2.2L
Considere a função f : R2 ! R de…nida por
8
1
>
< x2 + y 2 sen p
; se (x; y) 6= (0; 0)
2
x + y2
f (x; y) =
>
: 0; se (x; y) = (0; 0) :
Mostre que f é diferenciável em (0; 0) e que as derivadas parciais de primeira ordem de f , embora
existam em todo R2 , não são contínuas na origem.
2.2M
Dê exemplo de um campo escalar f : R2 ! R, descontínuo na origem, mas com derivada
direcional D~v f (0; 0) em qualquer direção ~v :
Respostas & Sugestões