6ª Lista de Probabilidade I – Professor: Spencer
1) Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas
defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma,
Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma
caixa?
b) Qual a probabilidade de haver 2 ou mais peças defeituosas em uma
caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver
alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de
1.000 caixas?
2) Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50
defeitos em cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de
Poisson. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2
defeitos?
b) Qual a probabilidade de um dado apresentar no mínimo 2 defeitos?
c) Qual a probabilidade de pelo menos 5 faces serem perfeitas?
d) Lançado o dado, qual a probabilidade de que a soma do ponto com o
número de defeitos da face obtida ser menor do que 3?
3) Um automóvel viaja sempre equipado com dois pneus novos nas rodas dianteiras e
dois pneus recauchutados nas rodas traseiras. Sabe-se que os pneus novos dessa
marca costumam furar em média à razão de uma vez a cada 50.000 km rodados,
ao passo que os pneus recauchutados furam, média, uma vez a cada 30.000 km.
Admitindo-se que os pneus que furam são logo consertados e recolocados na
mesma posição, deseja-se saber a probabilidade de que, em cada viagem de 20.000
km:
a) O pneu traseiro direito fure uma única vez;
b) O pneu dianteiro esquerdo fure uma única vez;
c) Haja pelo menos um pneu furado.
4) A Indústria Controlada S.A. tem dois eventuais compradores de seu produto, que
pagam preços em função da qualidade:
a. O comprador A paga R$150,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças não
encontrar nenhuma defeituosa e R$50,00 por peça,caso contrário;
b. O comprador B paga R$200,00 por peça, desde que encontre no máximo uma peça
defeituosa em 120 peças e R$30,00 por peça,caso contrário.
Para qual dos dois compradores o empresário deveria vender se ele sabe que na
produção 3% das peças são defeituosas?
5) Suponha que a variável aleatória X possui distribuição de Poisson com média
Sabendo-se que P(X=1)=P(X=2), pede-se calcular P(X=0).
6) Se a variável aleatória
que:
possui distribuição de Poisson com média
.
, mostre
7) Uma vacina contra a gripe é eficiente em 70% dos casos. Sorteamos, ao acaso, 20 dos
pacientes vacinados e pergunta-se a probabilidade de:
a) Pelo menos 18 imunizados.
b) No máximo 4 imunizados.
c) Não mais do que 3 não imunizados.
8) Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo o modelo
Poisson com taxa de 1 por minuto.
a) Determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico.
b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto,qual a probabilidade de haver aviões
sem atendimento imediato?
c) Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto,
enquanto a capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%.Como
ficará a probabilidade de espera por atendimento?
9) Considere uma variável aleatória
. Construa uma nova variável tal
que
para os valores 0,1,2,...,5 e
para
. Dessa forma, corresponde
ao truncamento de a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a função de
probabilidade de e calcule:
a)
b) O valor da função de distribuição( acumulada ) no ponto 2,5.
c)
.
d)
10) Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5
bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25 e meu colega tem outros 5 bilhetes com os
números 1, 11, 29,68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Justifique.
a) Defina a variável aleatória X em questão e o modelo de distribuição de probabilidades
mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
11) Uma urna contém apenas 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída,
observada sua cor e reposta na urna. Numa única extração somente dois resultados
podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca.
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
12) A probabilidade de um produto fabricado não atender as especificações de projeto é
igual a 5% (produto não conforme). São selecionadas ao acaso 8 unidades deste
produto. Qual a probabilidade de no mínimo 3 serem conforme as especificações?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
13) Uma companhia de avião chegou à conclusão de que 5% das pessoas que fazem
reserva num dado vôo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a
política de vender 70 lugares para um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de
que não haja excesso de lotação?
14) Num lote de 40 peças há três que são defeituosas. Qual a probabilidade de, em cinco
peças extraídas, se encontrar pelo menos uma peça defeituosa?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
c) Responda a questão do enunciado.
d) Neste caso, poderíamos ter utilizado uma aproximação pelo modelo binomial,
considerando constante a probabilidade de um sucesso individual como
?
Justifique.
15) Deve-se constituir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e
cinco físicos.Determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no
comitê. Faça o gráfico da função de probabilidade de X e o da função distribuição de X.
16) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela
empresa contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para
encontrar um com perfil desejado?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
17) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela
empresa contratante. Num grupo de 15 candidatos, qual a probabilidade de se ter que
entrevistar dez candidatos para encontrar um com perfil desejado?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas.
18) Dada uma máquina que produz 20% de peças defeituosas, qual a probabilidade de
ter que se fabricar 8 peças para se conseguir 5 boas?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
19) A probabilidade não conforme de um produto é igual a 5%. Pede-se:
a) Qual a probabilidade de que um lote com dez unidades contenha três não conformes?
b) Qual a probabilidade de que se tenha de inspecionar oito unidades para se encontrar
duas não conformes?
20) Nos sinais de um transmissor ocorrem distorções aleatórias a uma taxa média de 1
por minuto.Qual a probabilidade de o número de distorções em uma mensagem de 3
minutos ser 3 ou mais?
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição
de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico.
c) Determine a função distribuição de X e seu respectivo gráfico.
d) Determine a esperança e a variância de X. Interprete essas medidas.
21) O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de
funcionamento dessa máquina) Calcule a probabilidade de:
a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes;
b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2 vezes.
22) Ao decolar de um porta-aviões, determinado tipo de avião tem probabilidade p =
0,0002 de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade de 2 ou mais acidentes
desta natureza, em 500 decolagens?
23) Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir 3 peças complicadas. A
probabilidade de se conseguir um molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído
quando da retirada da peça) O custo de cada molde é de R$ 500,00 e se o molde não for
adequado, a peça é refugada, perdendo-se R$ 700,00 de material.
a) Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças para atender a encomenda?
b) Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucro esperado de R$ 1000,00
na encomenda?