Variáveis aleatórias –
Distribuições de Probabilidade
Distribuições de probabilidade
O que é uma distribuiç
distribuição de probabilidade?
Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um
modelo de descriç
descrição probabilí
probabilística de uma populaç
população.
ão
Distribuições de probabilidade de variáveis
discretas
Distribuições de probabilidade de variáveis
contínuas
População é o conjunto de todos os valores de uma
variável aleatória.
populaç
população
X=x
0
1
2
Σ
P(X=x)
0,1
0,6
0,3
1
Distribuiç
Distribuição de
probabilidade
1
2
Populaç
População e distribuiç
distribuição de probabilidade → indissociáveis
Distribuiç
Distribuições discretas
Modo como as probabilidades se distribuem aos valores
1. Distribuiç
Distribuição de Bernoulli
2. Distribuiç
Distribuição Binomial
Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a
individualização de um modelo (distribuição) em determinado
contexto
3. Distribuiç
Distribuição Hipergeomé
Hipergeométrica
4. Distribuiç
Distribuição de Poisson
No estudo de uma variável aleatória é importante saber:
5. Distribuiç
Distribuição Multinomial
1. O tipo de distribuiç
distribuição,
ão que é determinado pela
funç
função de probabilidade da variável
6. Distribuiç
Distribuição Geomé
Geométrica
2. Os parâmetros da distribuição
8. Distribuiç
Distribuição Hipergeomé
Hipergeométrica Negativa
3. As medidas descritivas da distribuição (média,
variância, ...)
9. Distribuiç
Distribuição Uniforme
7. Distribuiç
Distribuição Binomial Negativa
3
4
1
Distribuições de probabilidade de
variáveis discretas
Distribuiç
Distribuições contí
contínuas
1. Distribuiç
Distribuição Uniforme
2. Distribuiç
Distribuição Normal
1. Distribuiç
Distribuição de Bernoulli
3. Distribuiç
Distribuição Gama
Definiç
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente
os resultados de um experimento de Bernoulli.
4. Distribuiç
Distribuição Exponencial
5. Distribuiç
Distribuição Beta
6. Distribuiç
Distribuição Lognormal
O experimento (ou ensaio) de Bernoulli é definido
como o experimento aleatório que possui apenas
dois resultados possí
possíveis.
veis
7. Distribuiç
Distribuição Seminormal
8. Distribuição Weibull
9. Distribuiç
Distribuição Gumbel
5
Experimento: Uma semente é colocada para germinar
6
Se for conhecido o poder germinativo do lote de sementes,
por exemplo, 87%, podemos concluir que a probabilidade de
a semente germinar é 0,87.
S = {germinar, não germinar}
Consideramos um dos resultados como sucesso:
O evento {não germinar} é complemento do evento
{germinar},
{germinar} então sua probabilidade será 1– 0,87.
0,87
sucesso = germinar
fracasso = não germinar
Definimos a variável X como número de sucessos em uma
repetição do experimento.
X = nú
número de sucessos
X=
0
1
Σ
P(X = x)
0,13
0,87
1
probabilidade
de fracasso
0 , se não germinar
1 , se germinar
X=x
SX = {0,1}
7
probabilidade
de sucesso
8
2
Representaç
Representação analí
analítica
π = probabilidade de sucesso
P(X = x) = π x . (1− π )1− x,
1-π = probabilidade de fracasso
para SX = {0, 1}
parâmetro
Funç
Função de probabilidade
Parâmetro
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição
de Bernoulli, sua função de probabilidade será:
A distribuição de Bernoulli tem apenas um parâmetro:
X=x
0
1
Σ
P(X = x)
1-π
π
1
π = probabilidade de sucesso
Representaç
Representação
tabular
X ~ Ber (π)
X tem distribuiç
distribuição de Bernoulli com parâmetro π
9
Medidas descritivas
Variância
V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2
Média ou valor esperado
E(X) = µ =
∑ x p(x)
x∈S X
Para SX = {0, 1}
E(X) = µ =
10
Para SX = {0, 1}
X=x
0
1
Σ
P(X = x)
1-π
π
1
E(X2) =
∑x
x∈S X
∑ x p(x) = 0 × (1− π ) + 1× π = π
2
X=x
0
1
Σ
P(X = x)
1-π
π
1
p(x) = 0 2 × (1− π ) + 12 × π = π
V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2 = π − π 2 = π (1− π )
x∈S X
Teorema: E(X) = µ = π
Teorema: V(X) = σ2 = π (1(1- π )
11
12
3
2. Distribuição binomial
RESUMO - Distribuição de Bernoulli
Descreve probabilisticamente resultados de experimentos
que possuem apenas dois resultados possíveis.
Funç
Função de probabilidade
Se X = Y1 + Y2 + ... + Yn
onde:
Yi ~ Ber (π) e independentes;
P(X = x) = π x (1− π )1− x , para SX = {0, 1}
Parâmetro:
Definiç
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os
resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli
independentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de
sucesso é constante em todas as repetições do experimento.
π = probabilidade de sucesso
então, a variável X tem distribuição binomial.
Medidas descritivas
E(X) = µ = π
Distribuiç
Distribuição binomial processo finito de Bernoulli
n experimentos de Bernoulli independentes, com
probabilidade de sucesso π constante para todos eles
V(X) = σ2 = π (1-π)
É importante no contexto de amostragem com reposiç
reposição
13
Experimento: Os bovinos de uma estância foram
vacinados contra uma determinada doença e 60% deles
ficaram imunes. Se um bovino dessa estância é escolhido
ao acaso e sua situação em relação a imunização é
registrada, temos um experimento de Bernoulli.
S = {imune, não imune}
14
#S = 23 = 8
I = imune
N = não imune
S = {III, IIN, INI, NII, INN, NIN, NNI, NNN}
Sucesso = imune
A variável X é definida como o número de sucessos em n
experimentos de Bernoulli independentes, com
probabilidade de sucesso igual a π.
onde:
p(imune) = 0,6
p(não imune) = 1 - 0,6 = 0,4
n=3 e π=0,6
Se três bovinos são escolhidos, um a um, e o resultado é
registrado, temos uma sequência de três experimentos de
Bernoulli independentes,
independentes pois, a cada escolha, a
probabilidade de sucesso permanecerá inalterada.
15
SX = {0, 1, 2, 3}
Qual é a função de probabilidade P(X=x) associada a
variável X?
16
4
Representaç
Representação tabular
S = {III, IIN, INI, NII, INN, NIN, NNI, NNN}
SX = {0,1,2,3}
P(X=x) = ?
2
3
Σ
P(X = x)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
P(X = x) = C3x 0,6 x (1− 0,6)3− x
P(X=2) = 3 × 0,62 × 0,41 = 3 × π2 × (1 – π)1 = 0,432
Número
de casos
P(X=3) = 0,63 = 1 × π3 × (1 – π)0 = 0,216
, para SX = {0, 1, 2, 3}
Probabilidade
de um caso
Funç
Função de probabilidade
Como podemos determinar de quantas maneiras diferentes
teremos x sucessos e 3-x fracassos?
3!
x! (3 − x)!
1
Representaç
Representação analí
analítica
P(X=1) = 3 × 0,61 × 0,42 = 3 × π1 × (1 – π)2 = 0,288
P3x,3− x =
0
X: nº bovinos imunes
P(X=0) = 0,43 = 1 × π0 × (1 – π)3 = 0,064
Permutaç
Permutação com repetiç
repetição
X=x
ou
C3x =
3!
x! (3 − x)!
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição
binomial, sua função de probabilidade será:
P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x
, para SX = {0, 1, ..., n}
17
18
Medidas descritivas
Parâmetros
Bernoulli
P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x
Média ou valor esperado
E(X) = µ =
parâmetros
µ=π
σ2 = π(1-π)
∑ x p(x)
x∈S X
Teorema: E(X) = µ = nπ
A distribuição binomial tem dois parâmetros:
n = número de repetiç
repetições do experimento de Bernoulli
π = probabilidade de sucesso
Variância
V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2
X ~ Bin (n,π)
X tem distribuiç
distribuição binomial com parâmetros n e π
Teorema: V(X) = σ2 = n π (1(1-π)
19
20
5
RESUMO - Distribuição binomial
Exercício proposto:
Descrição probabilística de uma sequência de experimentos
de Bernoulli independentes.
independentes Importante no contexto de
amostragem com reposiç
reposição.
ão
Funç
Função de probabilidade
Num determinado processo de fabricação 10% das peças
são consideradas defeituosas. As peças são
acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça
P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x , para SX = {0, 1, ..., n}
defeituosa numa caixa?
(32,81%)
Parâmetros: n = número de repetições no experimento
π = probabilidade de sucesso
(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças
Medidas descritivas
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa
E(X) = µ = n π
defeituosas numa caixa? (8,14%)
em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor
V(X) = σ2 = n π (1-π)
esperado da multa num total de 1000 caixas? (R$ 4.100)
21
1
1
4
(a) P(X = 1) = C5 .(0,10) (0,90) = 0,3281 = 32,81%
3. Distribuição hipergeométrica
(b) P(Duas ou mais defeituosas) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
Ao invés de calcular desta forma é mais conveniente utilizar o
complementar.
Assim:
22
P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)
= 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - (0,5905 + 0,3281] = 8,14%
(c) A probabilidade de uma caixa pagar multa é:
P(PM) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,5905 = 40,95%
Definiç
Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os
resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli
dependentes.
dependentes
Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas
sem reposiç
reposição,
ão onde a probabilidade de sucesso se altera
a cada retirada.
A Distribuiç
Distribuição hipergeomé
hipergeométrica se difere da
Distribuiç
Distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso
muda de um experimento para o outro
Neste caso tem-se uma nova Binomial com n = 1000 e π = 0,41. O
número esperado de caixas que vão pagar multa, isto é, com uma ou
mais peças defeituosas será:
E(PM) = µ = nπ = 1000 . 0,41 = 410 caixas
Essa distribuição é extremamente importante no contexto de
amostragem sem reposiç
reposição
Como cada uma paga R$ 10,00 de multa, o valor total da multa será:
PM = R$ 10,00 . 410 = R$ 4 100,00
23
24
6
subsub-populaç
populações
N2
N1
(sucesso) (fracasso)
populaç
população
N =N1+N2
π = N1
N
1-π = N2
N
X= nú
número de
sucessos em n
retiradas
n elementos
(sem reposiç
reposição)
Experimento: Uma bandeja contém 10 xícaras de
cafezinho, sete com açúcar e três com adoçante. Três
pessoas se aproximam da bandeja e se servem. Se a
variável aleatória X é definida como o número de
xícaras de café com açúcar, construa a distribuição de
probabilidade de X.
Açúcar
çúcar
N1=7
Xícaras
Adoç
Adoçante
N2 =3
N =10
Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerar
retiradas individuais sem reposição ou retirada conjunta de
grupos
3 xícaras (n=3
n=3)
X = número de xícaras de café com açú
car
açúcar
SX = {0, 1, 2, 3}
25
S = {A1A2A3, A1A2a1,A1A2a2, ..., a5a6a7}
3
= 120
# S = C10
a = açúcar
A = adoçante
X = número de xícaras de café com açú
car
açúcar
SX = {0, 1, 2, 3}
P(X =0) =
P(X =1) =
P(X =2) =
C07
C33
3
C10
C17 C32
3
C10
C27 C13
3
C10
=
1×1
1
=
= 0,0083
120 120
=
7 × 3 21
=
= 0,175
120 120
=
21× 3 63
=
= 0,525
120 120
26
Representaç
Representação tabular
X=x
0
1
2
3
Σ
P(X = x)
0,0083
0,175
0,525
0,2917
1
Representaç
Representação analí
analítica
P(X = x) =
C7x C33- x
3
C10
, para SX = {0, 1, 2, 3}
Funç
Função de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição
hipergeométrica, sua função de probabilidade será:
3
0
P(X =3) = C7 C3 = 35 ×1 = 35 = 0,2917
3
C10
120 120
P(X = x) =
27
CNx CNn- x
1
CNn
2
, para SX = {0, 1, ..., n}
28
7
Medidas descritivas
Parâmetros
P(X = x) =
CNx 1 CNn-2x
C
Média ou valor esperado
parâmetros
n
N
E(X) = µ =
∑ x p(x)
x∈S X
A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros:
Teorema: E(X) = µ = n
n = número de repetiç
repetições do experimento
N = tamanho da populaç
população
N1 = tamanho da subsub-populaç
população de interesse
probabilidade
de sucesso
N1
N
Variância
V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2
X ~ Hip (n,N,N1)
X tem distribuiç
distribuição hipergeomé
hipergeométrica com parâmetros n, N e N1
Teorema: V(X) = σ 2 = n
probabilidade
de fracasso
N1 N 2  N-n 


N N  N-1 
Fator de
correç
correção
29
RESUMO - Distribuiç
Distribuição hipergeomé
hipergeométrica
Descrição probabilística de uma sequência de experimentos
de Bernoulli dependentes.
dependentes Importante no contexto de
amostragem sem reposiç
reposição.
ão
Funç
Função de probabilidade
P(X = x) =
Parâmetros:
CNx CNn- x
1
CNn
2
,
para SX = {0, 1, ..., n}
n = número de repetições do experimento
N = tamanho da população
N1 = tamanho da sub-população de interesse
Medidas descritivas
N
E(X) = µ = n 1
N
V(X) = σ 2 = n
N1 N 2  N-n 


N N  N-1 
30
Exercício proposto: Pequenos motores são guardados em
caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina
cada caixa testando 5 motores. Se nenhum for defeituoso, a
caixa é aceita. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos 50 são
testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a
probabilidade de que seja necessário examinar todos os
motores desta caixa?
Tem-se N1 = 6 , N = 50 , n = 5,
P(X = 0) =
P(X ≥ 1) = ?
C06C544
1086008
=
= 0,51257
2118760
C550
P(examinar tudo) = 1 - P(X = 0) =0,48743
31
32
8
Exemplos:
4. Distribuição de Poisson
Definiç
Definição: descreve probabilisticamente a sequência de um
grande nú
número de fenômenos independentes entre si, cada
um com probabilidade de sucesso muito pequena.
pequena
número de peças defeituosas observadas em uma linha de
produção num determinado período de tempo;
número de acidentes de trabalho ocorridos numa grande
empresa num determinado período de tempo;
Ocorre naturalmente quando se deseja contar o número
de um tipo particular de eventos que ocorrem por unidade de
tempo,
tempo de superfí
superfície ou de volume.
volume
número de ciclones ocorridos em certa região num
determinado período de tempo;
Pode ser considerada como uma binomial onde o número
de experimentos (n
n) é grande, π é pequeno (sucesso raro)
e nπ (média de sucessos) é constante.
número de bactérias por unidade de área em uma lâmina com
extratos de uma planta;
Distribuiç
Distribuição de Poisson processo infinito de Bernoulli
A distribuição de Poisson tem inúmeras aplicações na simulaç
simulação
de sistemas modelando o número de eventos ocorridos num intervalo
de tempo, quando os eventos ocorrem a uma taxa constante.
número de formigueiros por unidade de área em uma região;
33
Parâmetros
Funç
Função de probabilidade
De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição
de Poisson, sua função de probabilidade será:
P(X = x) = e −λ
34
λ x , para S = {0, 1, 2, ...}
X
x!
P(X = x) = e
−λ
λx
parâmetro
x!
A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro:
espaç
espaço amostral
infinito
onde:
X: número de sucessos
e = 2,718 (base dos logaritmos neperianos)
λ = nú
número mé
médio de sucessos
X ~ Poi (λ)
λ: nú
número mé
médio de sucessos (sempre maior que zero)
35
X tem distribuiç
distribuição de Poisson com parâmetro λ
36
9
Solução: Neste caso, tem-se:
Exercício proposto:
λ = 1 (taxa de defeitos a cada 2000 metros)
Em um certo tipo de fabricação de fita
magnética, ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada
2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo
com 2000 metros de fita magnética:
X = nº de defeitos a cada 2000 metros
Então:
P(X = x) =
e−λ λ x , para x = 0, 1, 2, 3, ...
x!
−1 0
(a) P(X = 0) = e 1 = e-1 = 36,79%
(a) Não tenha defeitos?
0!
−1 0
e−112 5e −1
e−111
(b) P(X ≤ 2) = e 1 +
+
= 2 = 91,97%
1!
2!
0!
(b) Tenha no máximo dois defeitos?
(c) Tenha pelo menos dois defeitos?
−1 0
−1 1
0!
1!
(c) P(X≥2) = 1-P(X≤1) = 1- [ e 1 + e
1 ]=1- 2e-1 = 26,42%
37
Medidas descritivas
38
RESUMO - Distribuição de Poisson
Média ou valor esperado: E(X) = µ =
∑ x p(x)
Descrição probabilística da sequência de um grande nú
número
de fenômenos independentes,
independentes todos com probabilidade de
sucesso constante e muito pequena.
pequena
x∈S X
Teorema: E(X) = µ = λ
Funç
Função de probabilidade
Variância: V(X) = σ
2
P(X = x) = e −λ
= E(X ) − µ
2
2
λ x , para S = {0, 1, 2, ...}
X
x!
Parâmetro: λ = número médio de sucessos
Teorema: V(X) = σ2 = λ
Medidas descritivas
Na Poisson mé
média e variância são iguais!!
E(X) = µ = λ
39
V(X) = σ2 = λ
40
10
Exercício proposto:
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos?
Um dado é formado por chapas de plástico de
10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos por m2 de
plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
Em média aparecem 50 defeitos/m2 = (50/10000) defeitos/cm2
Como cada face tem 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então:
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face
λ = (50/10000) defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face.
apresentar exatamente 2 defeitos? (7,58%)
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo
A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será:
dois defeitos? (80,08%)
P(X = 2) =
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam
e−0,5 (0,5)
2!
2
= 7,58%
perfeitas? (24,36%)
41
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos?
42
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas?
No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e o
número médio de defeitos será então:
A probabilidade de uma face ser perfeita é a probabilidade de
ela não apresentar defeitos, isto é:
−0,5 ( 0,5)
P (X = 0) = e
= 60,65%
0
λ = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos
0!
A probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos será:
dado) e π = 60,65%(probabilidade de uma face ser perfeita)
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... = 1 - P(X ≤ 1)
Então a probabilidade de pelo menos 5 perfeitas, será:
= 1 - [P(X = 0) + P(X =1)] =
=1-[ e
−3 0
3
0!
+ e
Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do
−3 1
1!
P(Y ≥ 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)
3 ]=
 6
5
 6
 6
=  . (0,6065)5 .(0,3935)1+   .( 0,6065)6 .(0,3935)0 = 24,36%
= 1 - [0,0498 + 0,1494] = 80,08%
43
44
11
Distribuições de probabilidade de
variáveis contínuas
Distribuição Normal
É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa
importância se deve a um conjunto de aspectos:
É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade
de uma variável contínua
pesquisa bibliográfica
observação do campo de variação da variável
Existem vários tipos de distribuições contínuas:
Propriedades matemáticas
É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos
naturais físicos, ambientais, etc.
Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias
convergem para a distribuição normal
Muitas variáveis não normais podem ser tratadas como normais
após transformações simples
Distribuiç
Distribuição gama: descrição probabilística de
variáveis que assumem valores positivos.
Distribuiç
Distribuição beta: descrição probabilística de variáveis
que assumem valores no intervalo [0, 1].
Distribuiç
Distribuição normal → mais importante
Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de
inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição
básica
O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição
normal forma a chamada Estatí
Estatística Clá
Clássica ou Estatí
Estatística Paramé
Paramétrica.
trica
45
46
Funç
Função densidade de probabilidade
Distribuição normal
Definiç
Definição: É uma distribuição teórica de frequências, onde a
maioria das observações se situa em torno da média (centro) e
diminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos.
A distribuição normal é representada graficamente pela curva
normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simé
simétrica
em relação ao centro, onde se localiza a média µ.
De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição
de normal, sua função densidade de probabilidade será:
−
1
f(x) =
e
σ 2π
(x −µ)2
parâmetros
2 σ2
,
para SX = (-∞
∞,+∞
∞)
Parâmetros
A distribuição normal tem dois parâmetros:
µ = média (determina o centro da distribuição)
σ2 = variância (determina a dispersão da distribuição)
X ~ N (µ, σ2)
X tem distribuiç
distribuição normal com parâmetros µ e σ2
47
48
12
Populaç
Populações normais
com mé
médias diferentes
e mesma variância
Populaç
Populações normais
com variâncias
diferentes e mesma
média
Existe um nú
número infinito de curvas normais
49
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Propriedades da distribuiç
distribuição normal
2. A distribuição é simétrica em relação ao centro onde
coincidem a média, a moda e a mediana.
1. O máximo da função densidade de probabilidade se dá
no ponto x=µ .
máximo
Md=µ=Mo
µ
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13
3. Os pontos de inflexão são exatamente µ-σ e µ+σ.
4. Verifica-se na distribuição normal que:
P(µ
P(µ-σ < X < µ+σ) = 0,6825
P(µ
P(µ-2σ < X < µ+2σ
+2σ) = 0,9544
µ-σ
µ
µ+σ
P(µ
P(µ-3σ < X < µ+3σ
+3σ) = 0,9974
Ponto de inflexão: ponto onde a concavidade à direita tem sinal
diferente ao da concavidade à esquerda
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Cálculo de áreas
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Distribuição normal padrão
Para cada valor de µ e de σ,
existe uma distribuição normal
diferente
Definiç
Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem
média igual a zero (µ
µ=0)
σ=1).
=0 e desvio padrão igual a um (σ
=1
O cálculo de áreas sob a
curva normal, deverá ser feito
sempre em função dos
valores particulares de µ e σ
Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi
determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida
As áreas sob a curva normal padrão foram calculadas e
apresentadas numa tabela
A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas
áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela.
Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar
as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a z.
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Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z).
P(0 < Z < z)
Os valores negativos não são apresentados na tabela
porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes
a esses valores são exatamente iguais às dos seus
simétricos positivos, por exemplo P(P(-1<Z<0)=
1<Z<0)=P(0<Z<1).
P(0<Z<1)
Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z
vão de 0 a 3,9 . Este limite é estabelecido com base na
quarta propriedade da distribuição normal.
P(0 < Z < 0,62) = ?
P(0 < Z < 0,62) = 0,2324
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58
P(-2,17 < Z < 0) = ?
0,4850
0,4850
Exercício proposto:
=
-∞
-2,17
+∞
0
-∞
0
+∞
2,17
Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão.
Determine as seguintes probabilidades:
P(-1 < Z < 2) = ?
0,4772+0,3413
= 0,8185
0,4772
=
-∞
-1 0
2
+∞
0,3413
a) P(0 < Z < 1,73)
0,4582
b) P(Z > 0,81)
0,2090
c) P(-1,25 ≤ Z ≤ -0,63)
0,1587
+
-∞
0
+∞
2
-∞
0
1
+∞
P(Z > 1,5) = ?
0,5-0,4332
= 0,0668
=
-∞
0 1,5
+∞
0,5
-∞
0
0,4332
_
+∞
-∞
0 1,5
+∞
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Através da distribuição normal padrão é possível estudar
qualquer variável X que tenha distribuição normal, com
quaisquer valores para µ e σ.
Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizar
a variável X, ou seja, transformar X em Z.
A transformação muda as variáveis, mas não altera a
área sob a curva.
X ~ N (µ
(µ, σ2)
X ~ N (µ
(µ, σ2)
transformar
→
Z=
X −µ
σ
Z ~ N (0
(0, 1)
Z ~ N (0
(0, 1)
Após a transformação, procuramos na tabela a área
compreendida entre 0 e z, que corresponderá a área entre µ e x.
P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2)
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Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da
distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a
transformação da variável X para a variável Z.
Exemplo:
Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente
distribuídas, com média µ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28,
determine:
a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;
b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.
z=
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4,27 − 3,9
= 1,32
0,28
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16
b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.
P(Z > 1,32)
= P(Z > 0) – P(0<Z<1,32)
= 0,5 – 0,4066 = 0,0934
P(X > 4,27) = 0,0934
No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo
assim, através de uma regra de três simples, podemos
determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma
população de 450 estudantes.
Esse valor pode ser obtido facilmente multiplicando o tamanho
da população pela probabilidade de ocorrer uma nota maior que
4,27.
Assim, temos:
450 × 0,0934 = 42,03
Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota
superior a 4,27.
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Exercício proposto: Uma fábrica de carros sabe que os
Solução:
motores de sua fábrica tem duração normal com média de
a) P(X < 170.000) = P(Z < (170.000-150.000)/5.000)
= P(Z < 4) = 1 = 100%
150.000km e desvio padrão de 5.000km. Qual a
probabilidade de que um carro escolhido ao acaso, tenha um
b) P(140.000<X<160.000) = P(-2<Z<2) =
motor que dure:
= 0,4772+0,4772 = 0,9544 = 95,44%
a) menos de 170.000km?
b) entre 140.000 e 160.000km?
c) Seja G o valor de garantia
c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele
tenha que substituir no máximo 1% dos motores, qual deve
ser o valor desta garantia?
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P(X<G) = P(Z < (G-150)/5) = 0,01 = P(Z < -2,33)
G − 150
= −2,33 ⇒ Garantia tem que ser de 138.350km.
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