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Colégio
PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2012
Disciplina:
Prova:
matemática
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Uma caixa contém 100 bolas apenas. Destas, 30 são brancas, 30 são verdes, 30 são azuis e,
entre as 10 restantes, algumas são pretas e outras vermelhas. O menor número de bolas
que devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos certeza de que, pelo menos, 10
delas são da mesma cor, é:
a) 11
b) 21
c) 33
d) 38
e) 48
RESOLUÇÃO:
Retirando-se 9 bolas brancas, 9 verdes, 9 azuis e as 10 restantes entre pretas e vermelhas,
num total de 37 bolas, ainda não temos a garantia de 10 serem da mesma cor, o que
ocorrerá a partir da retirada da 38a. bola.
Resposta: D
QUESTÃO 17
(UNESP) – Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil
(notebook) que custa R$ 3 250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao
grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do
computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que
cada pessoa pagaria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente programado para cada um
no primeiro grupo. O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
RESOLUÇÃO:
Sejam x > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor inicial da
parcela que cabe a cada um
3250
y = ––––––
x
x . y = 3250


3250
(x + 3) . (y – 75) = 3250
y = –––––– + 75
x+3
冦
冦
3250
3250
 ––––– = –––––– + 75  x2 + 3x – 130 = 0  x = 10
x
x+3
Resposta: B
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 18
(UNESP) – Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo
de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe 3 pontos positivos, se em todos os
dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele
chegou pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a
mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos.
Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se o número de pontos acumulados for
positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em
seu salário. Se um funcionário acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a
quantidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15
b) 20
c) 25
d) 26
e) 28
RESOLUÇÃO:
Seja x o número de meses com pontuação positiva e y o número de meses com pontuação negativa.
A partir do enunciado, temos:
冦 3x – 5y = 50
x + y = 30
冦 3x – 5y = 50 (II)
5x + 5y = 150 (I)

De (I) e (II), resulta: 8x = 200  x = 25.
Portanto, a quantidade de meses em que ele foi pontual (acumulou pontos positivos) foi
igual a 25.
Resposta: C
QUESTÃO 19
(UNESP) – Em um dado comum, a soma dos números de pontos desenhados em
quaisquer duas faces opostas é sempre igual a 7. Três dados comuns e idênticos são colados por faces com o mesmo número de pontos. Em seguida, os dados são colados sobre
uma mesa não transparente, como mostra a figura.
Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as faces livres é igual a 36, a
soma dos números de pontos das três faces que estão em contato com a mesa é igual a
a) 13
OBJETIVO
b) 14
c) 15
d) 16
2
e) 18
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
Sejam:
a) a, b e c os números marcados nas faces que estão em contato com a mesa.
b) 7 – a, 7 – b, 7 – c os números marcados nas faces superiores dos três dados.
c) x o número da face lateral esquerda do dado da esquerda e 7 – x o número da face
lateral direita do primeiro dado, que é também o da face lateral esquerda do 2°. dado.
d) x, analogamente, é o número da face lateral comum do 2°. e do 3°. dado.
e) 7 – x é o número da face lateral direita do terceiro dado.
f) 7 + 7 + 7 = 21 é a soma dos números das três faces da frente com as três faces de trás.
Assim: (x + 7 – x) + 7 + 7 + 7 + (7 – a) + (7 – b) + (7 – c) = 36 
 7 + 21 + 21 – (a + b + c) = 36  a + b + c = 49 – 36  a + b + c = 13
Resposta: A
QUESTÃO 20
Um feirante colocou à venda 900 ovos, distribuídos em caixas com 6 e 12 ovos. Se o
número de caixas com 12 ovos supera em 15 unidades o número de caixas com 6 ovos,
então o total de caixas utilizadas pelo feirante é
a) 80
b) 85
c) 90
d) 95
e) 100
RESOLUÇÃO:
Se s for o número de caixas com 6 ovos e d o número de caixas com 12 ovos, então:
d = s + 15
d = s + 15
d = s + 15
s = 40



 s + d = 95
6s + 12d = 900
6s + 12(s + 15) = 900
18s = 720
d = 55
冦
冦
冦
冦
Resposta: D
QUESTÃO 21
(FUVEST) – No vestibular FUVEST 90, exigia-se, dos candidatos à carreira de Administração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados,
verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em Matemática e 76 candidatos foram
eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas
disciplinas foi 219. Qual o número total de candidatos eliminados apenas pela Redação?
a) 24
OBJETIVO
b) 143
c) 32
d) 44
3
e) 99
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
Se x for o número de candidatos eliminados apenas na redação então
x + 176 = 219  x = 44
Resposta: D
QUESTÃO 22
(FUVEST) – Se f :  é da forma f(x) = ax + b e verifica (fof)(x) = x + 1, para todo x
real, então a e b valem, respectivamente:
1
a) 1 e –––
2
1
b) – 1 e –––
2
c) 1 e 2
d) 1 e – 2
e) – 1 e qualquer
RESOLUÇÃO:
I) f(x) = ax + b  f[f(x)] = a . f(x) + b  f[f(x)] = a(ax + b) + b  (f o f)x = a2x + (ab + b)
II) (fof)(x) = x + 1, "x  a2 . x + (ab + b) = 1 . x + 1, "x 
冦
a2 = 1

ab + b = 1
冦
a=1
1
b = –––
2
Resposta: A
QUESTÃO 23
Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma
determinada espécie reagem a esse fertilizante, apresentando um desenvolvimento em
altura y, conforme representado na figura.
O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quantidade de fertilizante
é adicionada, e m é a quantidade de fertilizante com a qual as plantas atingem altura
máxima. Acima de m, o fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em n, as plantas
não chegam a crescer. Supondo que a relação entre y e x se dá de acordo com a função
y = – 0,02x2 + 0,2x + 1,5
sendo y expresso em metros e x, em dezenas de quilos por hectare, então, os valores de
p, m e n são , respectivamente
a) –5; 5; 15
d) 0; 7,5; 15
OBJETIVO
b) 0; 10; 20
e) 1,5; 5; 20
c) 1,5; 5; 15
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
y = – 0,02x2 + 0,2x + 1,5
I) A parábola intercepta o eixo y no ponto (0; p), assim, p = 1,5.
II) De acordo com o texto
b
0,2
xv = m  m = – ––––  m = – –––––––––––  m = 5
2a
2 . (– 0,02)
III) As raízes são – 5 e 15, logo n = 15.
Resposta: C
QUESTÃO 24
Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa com formato
retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
=
=
=
=
=
2,5 e y = 7,5
3ey=9
4,5 e y = 10,5
5 e y = 15
3 e y = 10
RESOLUÇÃO:
I) Por semelhança de triângulos, podemos afirmar que
x
15 – y
––– = –––––––  3x = 15 – y  y = 15 – 3x
5
15
II) A área do retângulo é dada por A = x . y = x . (15 – 3x) = – 3 . x2 + 15 . x
III) A área é uma função do 2o. grau cujo gráfico é uma parábola com concavidade para
baixo (a < 0).
Portanto, a área máxima ocorre para
b
– 15
xv = – –––– = –––––– = 2,5
–6
2a
IV) Para x = 2,5, temos: y = 15 – 3 . (2,5) = 15 – 7,5 = 7,5
Resposta: A
QUESTÃO 25
A reta de equação y = a.x e a parábola de equação y = x2 + 2a.x + a têm dois
pontos distintos em comum. Sendo a um número real, pode-se afirmar que:
a) a > 1
d) a < 0 ou a > 4
OBJETIVO
b) 0 < a < 4
e) a < 4 ou a > 5
c) 1 < a < 5
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
I) Igualando as funções, temos: x2 + 2ax + a = ax  x2 + ax + a = 0
II) Para que os pontos comuns sejam distintos, devemos ter ∆ > 0  a2 – 4a > 0. As raízes
são 0 e 4 e o gráfico é do tipo
Logo, a < 0 ou a > 4.
Resposta: D
QUESTÃO 26
Considere que a representação gráfica da função f:  dada por
f(x) = mx2 – x + n, com m e n reais, é uma parábola com ordenada do vértice maior que
1
n. Se m.n > ––– , uma possível representação gráfica de f é
4
RESOLUÇÃO:
1
I) Como m . n > –––  4mn > 1  1 < 4mn  1 – 4mn < 0  ∆ < 0, logo a parábola
4
não intercepta o eixo x.
II) Como yv > n, uma possível representação gráfica é:
Resposta: C
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 27
Um decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para compor pares
de cerâmicas em uma parede. Uma das composições está representada pelas cerâmicas
indicadas por I e II.
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâmica
indicada por III?
RESOLUÇÃO:
Da figura I para a figura II foi feita a simetria em relação ao eixo horizontal que passa
pelo centro da figura.
Utilizando-se o mesmo tipo de simetria na figura III, obtemos a figura IV abaixo
Resposta: B
QUESTÃO 28
Uma das expressões artísticas mais famosas associada aos
conceitos de simetria e congruência é, talvez, a obra de Maurits
Comelis Escher, artista holandês cujo trabalho é amplamente
difundido. A figura apresentada, de sua autoria, mostra a
pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos escuros,
que são congruentes e se encaixam sem deixar espaços vazios.
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, entre as figuras abaixo, aquela
que poderia pavimentar um plano, utilizando-se peças congruentes de tonalidades claras
e escuras é
RESOLUÇÃO:
A figura que permite uma pavimentação deverá permitir um encaixe perfeito, sem
sobreposição e sem deixar sobras.
Das figuras apresentadas, apenas a da alternativa D satisfaz tal condição, como se vê no
esquema abaixo.
Resposta: D
QUESTÃO 29
Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de
polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as
combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que
haja falhas ou superposições de ladrinhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de
seus ângulos internos.
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos
entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá
ter a forma de um
a) triângulo.
d) hexágono.
b) quadrado.
e) eneágono.
c) pentágono.
RESOLUÇÃO:
Para que não haja falhas nem superposições, octógonos devem ser combinados com
quadrados, conforme a figura a seguir, pois 135° + 135° + 90° = 360°.
Resposta: B
QUESTÃO 30
(FUVEST) – A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E
—
está no segmento CD de maneira que CE = 1, F é o ponto de intersecção da diagonal
—
—
AC com segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale
OBJETIVO
6
a) –––
5
5
b) –––
4
7
d) –––
5
3
e) –––
2
9
4
c) –––
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
∆ECF ⬃ ∆BAF
x
5
–––
= ––––––  x = 15 – 5x 
1
3–x
 x + 5x = 15  6x = 15  x = 2,5
Área do ∆BCF = A∆ABC – A∆ABF
5.3
5 . 2,5
A = –––––– – –––––––– =
2
2
15
12,5
2,5 = 5
= –––– – ––––– = ––––
–––
2
2
2
4
Resposta: B
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE