Unidade teórica 2
Decisão financeira em incerteza
2009/10
05-11-2015
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1
Unidade teórica 2 – Decisão
financeira em incerteza
. Em que medida a incerteza influencia as
decisões?
. Como se formaliza a incerteza?
. Qual a atitude do investidor face ao risco?
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2
Motivação :

Problema:
– Os agentes económicos quase nunca têm
acesso a toda a informação sobre o ambiente
em que interagem
– O objectivo pretendido pode não ser obtido
pela acção tomada

Solução
– Construir uma teoria de decisão
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3
exemplo

Suponha que é condutor e se encontra num dilema neste
Portugal cheio de surpresas…

Isto é, tem de tomar uma decisão entre duas opções:
– Tomar a estrada A23.
– Tomar a estrada A24.

Deverá considerar o melhor entre dois planos
(hipóteses)possíveis:
- Tomar a A23
– Tomar a A24
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exemplo

Sabe todavia que
– Na estrada A23 o tráfego costuma ser lento.
– Na estrada A24 costuma circular ligeiramente melhor
que na A23.

No entanto o rádio informa-o do seguinte:
– Lento na A23, rápido na A24
Então
– Lento (x) => Evitar (x)
– Evitar(x) ^ Rápido(y) => selecionar (y)
– Deverá seleccionar a A24. Decidiu em certeza
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Incerteza

Pode, todavia, não possuir esta resposta isto
é,
– Não saber qual a estrada que é mais lenta
– Mas, estimar, por exemplo, que há 70% de
possibilidade que uma das estradas (A24)
seja lenta

A incerteza pode modificar a decisão de um
agente.
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Decisão em incerteza

Que decisão pode o condutor tomar?:
– Plano 1 – A23
 80% que seja bem sucedido
 A23 será relativamente rápida mas pára totalmente com um acidente
(cerca de 1 hora).
 Se plano 1 for bem sucedido o resultado será muito bom, mas se
falhar o resultado será muito mau.
– Plano 2 – A24
 70% de probabilidade de ser bem sucedido
 A circulação na estrada é relativamente rápida mas não será muito
má se houver problemas.
 Se o plano 2 for bem sucedido o resultado será bom (não tão bom
como o anterior) mas se houver problemas não será tão mau como o
anterior.
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Decisão em incerteza

Qual a escolha: Plano1 ou Plano2?
– Plano 1 porque tem uma probabilidade maior de sucesso?
– Plano 2 porque a consequência de falhar é menos má?

Então a escolha entre acções ou planos dados dois elementos
depende:
– Probabilidade de sucesso/falhanço
– Consequência do sucesso e do falhanço.
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CONCEITOS DA INCERTEZA

A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA
SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS
CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE
FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA
NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA

Encontra-se em situação de risco.
O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma
distribuição de probabilidades.
Probabilidade objectiva ou subjectiva?


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activos contingentes
Ano
1
Cashflow
2
E6
E6
3
E106
Cupões
zero
Ano
Terminal
Valor
nominal
1
1 ano
E6
2
2 anos
E6
3
3 anos
E 106
E100=
6.v1+6.v2+106.v3
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Activos financeiros e a incerteza
Preço Hoje
Cash flow
Boa conjuntura
Cash flow má
conjuntura
Cupão zero
unitário
v1
1
1
Acção
a
Cfa 1b
Cfa 1m
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Activos financeiros e a incerteza
V1= 1 / (1+rf)
 Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m
 Ra = (cfa1-a) / a
 a = cfa1 / (1+ra)

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Decisão
Teoria da decisão =
teoria de probabilidades (relativo às
hipóteses)+ teoria de utilidade (relativo aos resultados)

Ideia fundamental:
– Máxima utilidade esperada
– Ponderação decada resultado obtido pela probabilidade de
ocorrência.
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:

As preferências de um indivíduo têm uma
representação da utilidade esperada se existir
uma função u tal que um consumo aleatório x é
preferível a um consumo aleatório y se e só se :
E [u(x) ≥ E [u(y)]
 Onde E[.] é a expectativa de acordo com a
probabilidade subjectiva de cada indivíduo.

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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
(2)

Quais as condições necessárias e suficientes
para que as preferências de um indivíduo
possam ter uma representação na utilidade
esperada?

Quais as condições necessárias e suficientes
para que as preferências de um indivíduo
apresentem aversão ao risco tendo como
pressuposto a existência de uma utilidade
esperada?
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
(3)
Probabilidade objectiva (Von NeumannMorgenstern (1953) e probabilidade
subjectiva (Savage (1972): diferentes
aproximações á representação das
preferência através de uma função de
utilidade esperada.
 Uma relação de preferência é uma relação
binária que é transitiva e completa

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Princípio básico
Um agente tem de selecionar uma acção
 Considere Ac = {A1, A2,…Ai} um conjunto de
acções
 Considere Res = {res1, res2,…} um conjunto
de possíveis resultados
 Ex possiveis acções: plano 1 e 2.
 Possíveis resultados:
Chegar a casa cedo; Chegar a casa mais ou
menos cedo; Chegar a casa tarde por causa
do tráfego.

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Princípio básico

P(resj| Ai) =
Probabilidade de obtenção do resultado resj, dada a acção Ai:

U(resj) =
utilidade associada a cada resultado.

Utilidade
– Captura o desejo de realização de resj
– Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar maior
utilidade.
– U(resj) > U(resi)  resj é preferível a resi
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Continuação do exemplo



plano1 e plano2 são acções
Plano 1 considera a estrada A23
– P(casa cedo|plano1) = 0.8
– P(preso estrada A23|plano1) = 0.2
– Rápido se não houver problemas , 1 hora de paragem se houver
problemas.
– U(chegar a casa cedo) = 100
– U(preso na estrada A23) = -1000
Plano 2 utiliza a estrada a24
– P(chegar a casa mais ou menos cedo|plano2) = 0.7
– P(preso na estrada|plano2) = 0.3
– Mais ou menos rápido se não houver problemas, não tão mau se
houver problemas.
– U(de chegar mais ou menos cedo) = 50
– U(preso na estrada A24) = -10
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Princípio básico

Dada P(res1| Ai), utilidade U(res1),
P(res2| Ai), utilidade U(res2)…

A utilidade esperada (EU) de uma acção Aii:

EU(Ai) = S U(resj)*P(resj|Ai)
res-j  res
Escolher Ai tal que maximize EU
MEU = argmax S U(resj)*P(resj|Ai)
Ai  Ac
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resj  OUT
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Aplicação do princípio

EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) +
P(preso na A23 | plano1) * U(preso na A23)
=0.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -120

EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) *
U(casa mais ou menos cedo) +
P(preso na A24 | plano2) * U(preso na A24)
= 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32

EU (plano2) é maior , logo escolho o plano 2
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Another View: Decision Tree
0.80
Success
Reward: $100
0.20
Failure
Reward: -$1000
Plan1
0.70
Success
Reward: $50
0.30
Failure
Plan2
EU(Plan1):
100*0.8 –1000*0.2
= -120
EU(Plan2):
$50*0.7 -10*0.3
= 32
Reward: -$10
Decision node: You play
Chance node: Nature plays
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Bigger Trees Possible
0.80
Plan1
0.20
0.70
0.80
Plan2
0.30
Plan1
0.70
0.20
Dec
node
0.70
Plan3
Plan2
0.30
0.30
0.70
Plan3
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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O
PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO
(4)







Conceitos:
- Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e
t1)
A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da
natureza “incertos” a serem realizados em t1
Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a
ocorrer entre t0 e t1.
Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um
bem em diversos estados da natureza
Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo
que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo
Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo
X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou
Em termos de utilidade esperada:
E[u(x)] ≥ E[u(x´)]
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Formalização do risco







A decisão do investidor é subjectiva
Existem linhas de acção a tomar
O resultado futuro é função dos estados de
natureza considerados no momento da decisão.
Os estados da natureza deverão ser
mutuamente exclusivos e exaustivos
Os estados da natureza encontram-se fora do
controle do decisor.
Para cada linha de acção existe uma
consequência
Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)
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Payoff matrix
Estados da natureza
E1
E2
E3 …..
Ej ……… En
C11
C21
C12 C13 …… C1j ……….C1n
C22 C23 …… C2j ……….C2n
Linhas de acção
A1
A2
.
.
.Ai
.
.
.
Am
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Ci1
Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin
Cm1
Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn
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Payoff matrix
Exemplo

Um vendedor de jornais vende ao preço
de 5 euros uma revista que ele adquire ao
preço de 3 euros. A sua experiência
permite-lhe considerar que as vendas
deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4
exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a
certeza de que vende pelo menos um
exemplar.
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Payoff matrix
Exemplo
Nº exemplares vendidos
1
2
3
4
5
Nºde exemplares
armazenados
1
2
2
2
2
2
2
-1
4
4
4
4
3
-4
1
6
6
6
4
-7
-2
3
8
8
5
-10
-5
0
5
10
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Payoff matrix
Exemplo
Qual a melhor decisão?
 Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza
seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha
e tomar a que der média mais elevada.
 Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a
situação mais desfavorável e decidir pela menos
desfavorável
 Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação
mais favorável e menos favorável e faz-se a media
aritmética (ponderada). O factor de ponderação é
efectuado pelo decisor.
 Critério de regressão – Procede a um regressão entre o
valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os
parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as
decisões futuras.
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Activos financeiros e a incerteza
C1b>C1m>F
Boa conjunt.
Má conjunt.
Valor mercado
Cash flow
C1b
C1m
D=F.v1b+
F.v1m
Dívida
Acções
F
F
C1b-F
C1m-F
C1b>F>C1m
Cash flow
Dívida
Acções
Boa conjunt.
Má conjunt.
C1b
C1m
F
C1m
C1b-F
0
Valor mercado
D=F.v1b+C1m.
v1m
A=(c1bF).v1b
A=(c1bF).v1b+(c1mF).v1m
Valor da empresa com
dívida=A+D
=C1b.v1b+C1m.v1m
=valor da empresa sem dívida
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Decisão de investimento e mercado
completo
Preço
hoje
Cash
flow
boa
conj
Cash
flow má
conj
Cupão zero
unit
0,95
1
1
Acção
1,45
2
1
Activos
contingentes B
Activos
contingentes
M
Cupão zero
unit
1
1
Acção2
2
1
0,95=1.v1b+1.v1m
1,45=2.v1b+1.v1m
V1b = 0,5 v1m = 0,45
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Aversão ao risco, exemplo…

Suponha que a um agente económico é dada a escolha de
uma das seguintes hipóteses:

Escollha 1: obter certo $1,000,000
– Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar
 Se sair cara, ganhar $3,000,000
 Se sair coroa, não ganhar nada

Cálculo da utilidade esperada:
– EU(escolha1) = $1,000,000
– EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = $1,500,000

Porque muita gente prefere a escolha 1?
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Aversão ao risco


Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco”
As funções de utilidade poderão ser :
– Para o primeiro milhão U($1M) = 10
– Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20)
– Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30)
– ….
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Aversão ao risco

If we plot amount of money on the x-axis and utility on the
y-axis, we get a concave curve
25
Utility
20
15
10
5
0
0
1M
2M
3M
4M
Money



EU(choice1) = U($1M) = 10
EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9
That is why we prefer
the sure $1M
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Atitude face ao risco

Indiferença (neutro ao risco)

Aversão ao risco

Propensão ao risco
Nota: Há uma função de utilidade associada
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Indiferença ao risco

Utilidade (U)
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propensão ao risco

Utilidade

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Riqueza
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Aversão ao risco

Utilidade

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Riqueza
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Risk Averse, Risk Neutral
Risk Seeking
25
15
Utility
Utility
20
10
5
0
0
1M
2M
3M
4M
Money
EU(Choice1) = 10
EU(Choice2) = 9
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RISK SEEKER
RISK NEUTRAL
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
120
100
Utility
RISK AVERSE
80
60
40
20
0
0
1M
2M
3M
4M
0
1M
2M
3M
4M
Money
Money
EU(Choice1) =10
EU(Choice2) =15
EU(Choice1)=10
EU(Choice2)=25
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conclusão
Os activos financeiros são activos de risco.
 Há todavia activos de maior ou menor risco e
activos sem risco.
 Os indivíduos têm um grau de maior ou menor
aversão ao risco traduzido pela utilidade
esperada do ganho obtido.
 Os pagamentos são incertos o que envolve que
as escolhas sejam designadas de lotarias mas o
princípio de maximização da utilidade esperada
é uma decisão racional.

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
Anexo – about uncertainty measure
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Economist’s jargon

Economists call a lottery a situation which
involves uncertain payoffs:
– Cultivating apples is a lottery
– Cultivating pears is another lottery
– Playing with a fair die is another one
– Monthly consumption

Each lottery will result in a prize
Drawing an indifference curve
X2
Line of lotteries without risk
Convex Indifference curves
Important to understand that:
EU3 EU1 < EU2 < EU3
EU2
EU1
X1
05-11-2015
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Indifference curve and risk aversion
X2 Line of lotteries without risk
3125/0.25
3125
500
05-11-2015
These indifference curves belong
to a risk averse individual as the
Lottery A is on an indifference
curve that is to the right of the
indifference curve on which
Lottery B lies.
Lot. A
Lot. B
3125
We had said that if the individual
was risk averse, he will prefer
Lottery A to Lottery B.
4000
Lot A and Lot B have the same
expected value but the individual
prefers A because he is risk
averse and A does not involve
risk
3125/0.75
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X1
44
What shape is the utility function of a
risk averse individual?
U(x)
X=money


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U’(x)>0, increasing
U’’(x)<0, concave
Carlos Arriaga Economia Bancária e
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45
Indifference curves and risk aversion


We have just seen that if the indifference curves are
convex then the individual is risk averse
Could a risk averse individual have concave indifference
curves? No….
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Does risk aversion imply anything about the
sign of U’’(x)
dx2
p1
U '( x1 )

*
dx1
(1  p1 ) U '( x2 )
d 2 x2
p1
U ''( x1 )

*
2
dx 1
(1  p1 ) U '( x2 )
Convexity means that the second derivative is positive
In order for this second derivative to be positive, we need
that U’’(x)<0
A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0
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Financeira unidade 2
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Geometric property
A risk-averse utility function U is concave
 Such a function satisfies:

– U[(1 - p) x + p y] ≥ (1 - p) U(x) + p U(y)
– For each x, y, and p  [0,1]
– (Not just p = ½, which is where we started)

Geometrically, the curve lies on or above a
line through any two of its points
05-11-2015
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Measuring Risk Aversion

The most commonly used risk aversion
measure was developed by Pratt
U "( X )
r( X )  
U '( X )

For risk averse individuals, U”(X) < 0
– r(X) will be positive for risk averse
individuals
05-11-2015
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49
Now take wealth into account

The coefficient a(x) helps measure what a
person would pay to avoid a gamble:
– That payment is approximately a(x) times ½
the variance of the gamble

What fraction of wealth would the person
pay to avoid a gamble?
– Where wealth is given by x > 0
05-11-2015
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The Arrow-Pratt Measures of
Risk Aversion
Absolute risk aversion
 - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W)
 Relative risk aversion
 -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W)
 Risk aversion means U΄(W) > 0 and
U΄΄(W)  0
 The inverse of these measures gives
a measure of risk tolerance

05-11-2015
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Risk Aversion

If utility is logarithmic in consumption
U(X) = ln (X )
where X> 0
 Pratt’s risk aversion measure is
U "( X ) 1
r( X )  

U(X ) X

Risk aversion decreases as wealth
increases
05-11-2015
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Risk Aversion

If utility is exponential
U(X) = -e-aX = -exp (-aX)
where a is a positive constant
 Pratt’s risk aversion measure is
U "( X ) a 2e aX
r( X )  
  aX  a
U(X )
ae

Risk aversion is constant as wealth
increases
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Willingness to Pay for Insurance

Consider a person with a current wealth
of £100,000 who faces a 25% chance
of losing his automobile worth £20,000

Suppose also that the utility function is
U(X) = ln (x)
05-11-2015
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Willingness to Pay for Insurance

The person’s expected utility will be
E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000)
E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000)
E(U) = 11.45714

In this situation, a fair insurance
premium would be £5,000 (25% of
£20,000=expected loss)
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Financeira unidade 2
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Willingness to Pay for Insurance

The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the
gamble. How much will he pay?
E(U) = U(100,000 - y) = ln(100,000 - y) = 11.45714
100,000 - y = e11.45714
y= 5,426

The maximum premium he is willing to pay is £5,426

The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000)

Though this is just an example, this shows a general result. Risk averse
individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance
is not too large
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