Caderno de Atividades:
GEOMETRIA ANALÍTICA
E ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Carlos Vidigal
Profª. Érika Vidigal
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
FINALIDADE:
Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica;
Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R 2 e R3 e estabelecer as
relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria
Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do
estudo dos vetores e resolução de exercícios.
EMENTA:
Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade
triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial
e misto.
Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.
Bibliografia Básica
[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 2008.
[2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo:
Pearson Makron Books, 2006.
[3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2008.
Bibliografia Complementar
- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo:
Makron Books do Brasil, 1997.
- CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed.
São Paulo: Prentice Hall, 2008
- CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores
geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984.
- NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
- POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson, 2004.
Este símbolo sugere uma
Leitura Obrigatória do livro
texto.
Este símbolo indica uma série de
Exercícios Sugeridos do livro
texto.
MATRIZES
[1] pág 369 a 392
Considere uma tabela de números dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parênteses ou
colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são numeradas de cima para baixo e as
colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n.
Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:
2 3 1 
7 6 8 : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)


4
1 3 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
0,4
 3  : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
 
5 
As matrizes são nomeadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas
por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
 a11 a12
a
 21 a22
A   a31 a32


am1 am 2
a13
a23
a33
am 3
... a1n 
... a2n 
... a3 n 


... amn 
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento
ocupa. Por exemplo, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
1 6


Na matriz B  2 5 temos, por exemplo, b12 = 6 e b32 = 4.


3 4
Algumas matrizes são constituídas por elementos cujos valores dependem da sua posição na matriz, isto
é, da linha e da coluna em que se encontra. Por exemplo, a matriz A=v(aij)2x3, em que aij = 2i – 3j é a matriz
 1 4 7 
A

 1 2 5 
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE!!!!
Uma matriz A é representada colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre
colchetes. NUNCA utilize barras no lugar dos parênteses ou dos colchetes .
 1 4 7 
 1 4 7 
A
 ou A  

 1 2 5 
 1 2 5 
Tipos de Matrizes
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
Matriz linha:
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A  1 2 3
4 é do tipo 1 x
4.
Matriz coluna:
 1
 
Matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, a matriz B   2  é do tipo 3 x 1.
3
 
Matriz quadrada:
Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz
1 2
 é de ordem 2.
3 4 
é de ordem n. Por exemplo, a matriz C  
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária:


A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j.
Na secundária, temos i + j = n + 1.
Exemplo:
OBSERVAÇÃO: AS DIAGONAIS SÃO CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS DE MATRIZES
QUADRADAS!
Matriz nula:
Matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 m x n. Por exemplo, 03 x 2
0 0


 0 0
0 0


. Matriz triangular:
Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaixo da diagonal principal.
1 0 0 
A  5  1 0
2 8 3
(Triangular Inferior)
1 6 3
B  0  1 7
0 0 0
(Triangular Superior)
Matriz diagonal:
Matriz quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são nulos. Por
exemplo:
Matriz identidade:
Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são
nulos.
Representamos as matrizes identidades por In, onde n é a ordem da matriz. Por exemplo:
1

0
I4  
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0

1
Matriz transposta
A matriz transposta de A, denotada por At, é a matriz obtida a partir da matriz A trocando-se
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Note que, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Além disso, a 1ª linha de A corresponde à 1ª
coluna de At , a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At, e assim sucessivamente.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se,
I.
II.
Possuírem a mesma ordem m x n e
Todos os elementos que ocuparem a mesma posição forem iguais.
Adição e Subtração de matrizes
A soma (subtração) da matriz A com a matriz B de mesma ordem é uma outra matriz C de mesma ordem
cujos elementos é igual à soma (subtração) dos elementos correspondentes das matrizes A e B.
 1 4   2 3  3 7 
2 3    1 5    1 2

 
 

 1 4 5   1 1 0  0 3 5 
2 3 6    2 5 1   4 2 7 

 
 

Note que para que seja possível a soma (subtração) de duas ou mais matrizes, necessariamente, as
matrizes devem possuir a mesma ordem.
Propriedades:
Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. São válidas as propriedades:
a) comutativa: A+B=B+A;
b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C);
c) elemento neutro: A+O=A;
d) elemento oposto: A+ (– A)=O;
e) transposta da soma: (A+B)T=AT+BT.
Multiplicação de um número (escalar) por uma Matriz
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n
obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k.
 1 0 6   3 0 18 
3


 2 1 3   6 3 9 
Propriedades:
Sejam A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e k e m números reais não nulo, valem as
propriedades
a) 1.A = A
b) (-1).A = -A
c) k.O = O
d) 0.A = O
e) k.(A + B) = k.A + k.B
f) (k + m).B = k.B + m.B
g) k.(m.A) = (k.m).A
Multiplicação de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido
por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de
B.
Note que:
1)
o produto existirá se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
Além disso, a matriz resultado terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da
segunda.
2)
se existe o produto A.B, não implica, necessariamente, na existência de B.A.
3)
a propriedade comutativa não é válida.
4)
se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja
 1 1
1 1
 e B  
 .
 1 1
  1  1
nula. Verifique isso com as matrizes A  
5)
Diferentemente da álgebra dos números reais em que a.b = a.c  b = c, para as matrizes a lei do
cancelamento não
é válida. Verifique
com as matrizes
 1 2 0
1 2 3 




A   1 1 0  , B   1 1  1
 1 4 0
2 2 2 




1 2 3 


C  1 1  1 que A.B = AC apesar de B ≠ C.
1 1 1 


Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: (A.B).C = A.(B.C)
b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C
c) elemento neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Matriz Inversa - Parte I
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível, ou não singular, se e somente se, existir uma
matriz que indicamos por A-1, tal que
A.A-1=A-1.A=In.
e
EXERCÍCIOS
ij,se
ij

.
ij,se
ij

1. Escreva os elementos da matriz A = (a ij)4x2 , definida por a

ij
i
j

2
se
i
j

a
2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por:
.

ij

i2
j
1
se
i
j

3. Sendo A = (aij)1x3 tal que aij 2i  j e B = (bij)1x3 tal que bij ij1, calcule A+B .
12
20




e
N

, calcule MN - NM .



01
11





4. Sabendo que M

2 1 0


5. Dada a matriz A1 0 0 , calcule A2.

0 0 1

1 2
eB=
3 4
6. Sendo A = 
2 0
T
T
T
1 2 , mostre que  A.B   B . A .


 1 2 3
1 0 0
 0 1 1






7. Sendo M1 0 2, N 0 1 0 e P2 0 1, calcule:
 4 3 5
0 0 1
3 2 0






a)
b)
c)
N–P+M
2M – 3N – P
N – 2(M – P)
a 0
1 b
B

e

b 1, determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz
0 a


8. Dadas as matrizes A
identidade.
43x 7x
3  4
 0 10
x
x

1



 B  5 0  C


10
9. Considere as seguintes matrizes: A 0
1 x1
 e D  10 5  .
,

,



2 2 
 1 4 
 5 4

Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D .
a a  0 3
 e 
 , determine o valor de a.
a 2 3 3
2
1 


 
11. Se A e B são matrizes tais que: A   1  e B   2  , então para qual valor de x a matriz Y  At .B será
 x 
 1 
10. Sabendo que as matrizes abaixo comutam, 
nula?
1
 
12. O produto M.N da matriz M   1  pela matriz N1 1 1;
1
 
a)
b)
c)
d)
e)
não se define.
É a matriz identidade de ordem 3
É uma matriz de uma linha e uma coluna.
É uma matriz quadrada de ordem 3.
Não é uma matriz quadrada.
13. Considere as matrizes:
A  aij , 4 x 7 onde aij  i  j
B  bij , 7 x 9 onde bij  i
C  cij , tal que C = AB.
O elemento C 63 :
a) é -112.
b) é -18.
c) é -9.
d) é 112.
e) não existe.
 2 0
2 1 
2, então a matriz -2AB é igual a:
1


8

2


 8 2
 8 2 




c) 
d)
e)
14 7
14 7 
14 7







14. Dadas as matrizes A
1 3
 e B
3



 8 2

14 7 



8 2


14 7 
b) 

15. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é:
a) A + B existe se, e somente se, n = p.
b) A  A t implica m = n
c) A.B existe se, e somente se, n = p
d) A.B t existe se, e somente se, n = p.
e) A t .B sempre existe.
16. Efetue:
5 3
 3
 
a) 
1 4

 2

2
 
b) 1 3 5 0
3
1
5 2
 2 




14

 0 3
c) 
1 1 0 


17. Dada a matriz A2 3 4 , obtenha a matriz X tal que X  AAt .

0 1 2

18. Numa fábrica de manipulação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico
das substâncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:
precisa
As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em
cada fornecedor, está expresso em reais na tabela seguinte:
Após construir a matriz cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os
valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
19. Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne,
cerveja e feijão. No 1° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de
cerveja e 20 kg de feijão. No 2° restaurante são consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150
garrafas de cerveja e 22 kg de feijão.
Existem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são:
A partir destas informações:
a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no 1° e no 2°
restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores;
b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada
restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no
fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.
RESPOSTAS:
2
1
1) 
2

3
3
4 
1

2
3  2 0


5) 2 1 0
0 0 1
 1 8 16 


2)  4 3 32
9 8 7 


2 3 2 


7) a)  1 1 - 3
7 - 5 6 


2  2

0  2
3) 2 2 2
4) 
-1 5 5 


b)  0 - 3 - 5
11 - 8 7 


 -1 -6 -4


6
c)  -2 1
-14 -10 -9


8) a = 1 e b = 0
9) x = 2
10) a = 1
11) x = - 4
12) D
13) E
14) E
15) C
 21 
16) a) 

11
b) [17]
18) F1: R$ 790; F2: R$ 830
10 1 
c) 

2 13
2 1 0 
17) X  1 6 5 


0 5  4
19) R$ 164
DETERMINANTES
[1] pág 423 a 461
1) Calcule:
2 4
3 1 2x2
R. : 10
2) Resolva a equação:
x3 2
0
x 1 5
 17 
R.: S   
 3
3) Resolva a equação:
x3
5
0
1
x 1
R.: S  4, 2
1 3
1 3
4) Sendo A  
e B

 , calcule:
0 2 
2 1
a) det(A+B).
R.: -6
b) det(A.B).
R.: -10
2 3  1
5) Calcule o determinante da matriz A  5 2 0 
1 4  3
R.: det A = 15
x
3 5
6) Resolva a equação x  1 2 1  0
3
2 4
R.: x 
23
4
R.: x 
13
2
 1  1 0
2 x 
7) Dada as matrizes A  
e B   2 3 x  , determine x para que det A = det B

3 9 
 1 2 1
x x x
8) Resolva a equação x x 4  0
x 4 4
R.: S  0,4
0, se i  j

9) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: mij  i  j , se i  j . Ache o valor do
i  j , se i  j

determinante de M.
R.: 48
 2

10)Calcule o determinante da matriz P , em que P é a matriz P   2
0

2
1
1
2
1 

1
2 
R.: 64
11)Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:
 2 1  1
a) A   0 3 4 
 1 0 3 
R.: det A = 11
2  1 3
b) A  0 4 5


6  2 1
R.: det A = -74
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
2
4
1
1
1 3
1
3 1
4
5 2 1
3  2 1
R.: -180
Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
2 3 1
4 2 1
1 5 2
0 3 2
0
3
1
6
R.: 13
Calcule os determinantes usando triangulação:
2 3  1
A  5 2 0 
1 4  3
R.: 15
 2 1  1
B   0 3 4 
 1 0 3 
R.:11
2  1
1

C   1  2  3
 4  1  1
R.: -36
2
4
D
 1

1
1 3
1
3 1
4 
5 2 1 

3  2  1
R.: -180
 5 8
Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 
.
 2 3
 3 8 
A-1 = 

 2  5
Determine a inversa das matrizes:
3 4
a) A  

1 0
0
R.:  1
 4
1 
3
 
4
 1 3  2


B

1

3
1


b)
 1 2 1


 1  1  3


R.:  0  1  1 
1 1 0 


1 1 2
C  2 3 4
1  2 1
C
1
2
 11 5

 2 1
0 
 7  3  1
1 2 3
D  1 1 2
0 1 1
R.: Não existe D 1
Aplicação
Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.
Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33
P U X 
16 21 24


assim:  A  V  , que usando a correspondência numérica fica: M =  1 0 22
 I D A 
 9 4 1 
1 1 0 
Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C =  2 1  2
 2 0 1 
 22 37  18
M  C   45 1
22 
  3 13  7 
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos
Transmitimos esta nova matriz M  C . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da
multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo M  C   C 1 e posterior transcrição dos
números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.

Com
base
nessas
informações,
supondo
11 34  33
M  C  10 35  30 , traduza a mensagem.
 2 17  17 
que

você
tenha
recebido
a
matriz
Exercícios Complementares
1
0
0 2
 e B  
 , calcule:
1) Dadas as matrizes A  
 2  1
1 3
a) det (A²)
b) det (B²)
c) det (A² + B²)
R.: a) 1 b) 4
c) 18
2) Determine a solução da equação
1
2
x 38
0
2 x
R.: {-2,2}
 0 1
 e B  
 , dê o valor de:
3) Sendo A  

1
3
2
1




a) det (A). det(B)
b) det (A.B)
R.: a) -10 b) -10
1, se i  j

4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que: aij  k , se i  j e k  R . Calcule k, de modo que o
 1 se i  j

determinante da matriz A seja nulo.
R.: k = 0
x

5) (UFPR) Considere as matrizes A   z
y

y
y
z
z

x  y
x  e B  
z y
x 
x  z
 4 6
 e C  
 . Sabendo que
z  x
 2 4
a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A.
R.: 72
  1
 
6) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo A   2  , B   2 3 5 e
3
 
 1 0 2


C    2 1 0 .
 3 1 4


R.: zero
2 3  1
4  2 1
7) Calcule o determinante da matriz A = 
1  5 2

0 3  2
0
3
, utilizando o método da triangulação.
1

6
R.: 13
1

1
8) Calcule o determinante da matriz 
2

2

1
2
3
1
1

3
, utilizando o Teorema de Laplace.:
5

0 
1
2
6
4
R.: -3
9) (UEL – PR) A soma dos determinantes
a b a b
é igual a zero

b a
b
a
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.
b) se e somente se a = b.
c) se e somente se a = - b.
R.: a)
d) se e somente se a = 0.
e) se e somente se a = b = 1.
1
2
3
10) (Mack – SP) A solução da equação x
1 5  0
2 / 3  1/ 2 0
a) 1
b) 58
d) 67
c) -58
9
e) 2
R.: d)
11) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é:
a) 0
b) 11
c) 2
d) 3
e) 4
R.: d)
12)
a) x  0
1 x
 , na qual x é um número real, é inversível se, e somente se:
 x 1
A matriz 
b) x  1
c) x 
1
2
1
2
d) x   e x 
1
2
e) x  1 e x  1
R.: e)
[1] pág.: 461 (1 a 22)
pág.: 499 (1 a 20)
SISTEMAS LINEARES
[1] pág 505 a 515
1) Expresse matricialmente os sistemas:
2 x  y  5
x  3 y  0
a) 
2a  b  c  1

b) a
c 0
 3a  5b  c  2

2) A expressão matricial de um sistema S é:
 2  5  a    4 
3 1  .b    7  . Determine as equações de S.

   
2 x  y  7
.
 x  5 y  2
3) Resolver o sistema 
R.: S  3,1
x  y  5
.
 x  y  2
4) Resolver o sistema 
R.: S  
 x1  2 x2  x3  0

5) Resolver o sistema 3x1  4 x2  5 x3  10 .
x  x  x  1
 1 2 3
R.: S  2,1,0
6) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
3 x1  4 x 2  0
 6 x1  8 x 2  0
a) 
R.: SPI
x  y  z  0

b) 2 x  2 y  4 z  0
 x  y  3z  0

R.: SPI
x  y  2z  0

c)  x  y  3z  0
x  4 y  0

R.: SPD
6 x  ay  12
seja indeterminado.
4 x  4 y  b
7) Determine a e b para que o sistema 
R.: a = 6 e b = 8
3 x  2 y  1
seja compatível e determinado.
ax  4 y  0
8) Calcule os valores de a para que o sistema 
R.: a  6
 y  az  2

9) Dê os valores de a para que o sistema  x  y  z  a
seja compatível e determinado.
ax  2 y  4 z  5

R.: a  R / a  4 e a  1
10)
ax  y  2  0

Dê o valor de a para que o sistema 2 x  y  z  a  0 seja impossível.
4 x  y  az  5  0

R.: a  4 ou a  1
11)
3z  4 y  1

Determine o valor de k para que o sistema 4 x  2 z  2
seja indeterminado.
2 y  3x  3  k

R.: k = 5
12)
2 x  y  3z  0

Ache m para que o sistema  x  4 y  5 z  0 tenha soluções próprias.
3x  my  2 z  0

R.: m 
3
13
Escalonamento de Sistemas Lineares
1) Resolva os sistemas:
3x  2 y  z  6

a)  4 y  2 z  0

5 z  10

S={(-2,1,2)}
9 x  2 y  3z  w  1

y  2 z  4w  6

b) 
5 z  2w  3


0w  9
S= 
x  y  z  0
 3y  6z  0
c) 
Solução geral: (-3k, 2k, k).
2 x  y  z  t  2
2 z  3t  1

d) 
1  3 
 2  5  3
, ,
, 
4
2


Solução geral: 
2) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
2 x  3 y  z  1

a) 3x  3 y  z  8
2 y  z  0

R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
x  y  z  2
2 x  3 y  2 z  5
b) 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}
x  y  z  3
2 x  3 y  z  0
c) 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
Aplicações
1. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão
esquematizadas na tabela a seguir:
Produto
Produto C
B
Elaine
1
2
2
Pedro
3
3
2
Carla
2
3
1
Sabendo que Elaine gastou R$ 33,00, Pedro gastou R$ 49,00 e Carla gastou R$ 36,00,
quanto custou o produto C?
Produto A
R.: R$ 8,00
2) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x, y e z,
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão
representados na tabela a seguir.
Com base nessa tabela, o valor de x + y + z é igual a:
a) R$ 30,00
b) R$ 25,00
c) R$ 20,00
d) R$ 15,00
e) R$ 10,00
Exercícios Complementares
1) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
x  2 y  5

 2 x  3 y  4
R.: {(1,2)}
3 x  4 y  1

x  3 y  9
R.: {(3,2)}
2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
x  2 y  z  2

2 x  y  3z  9
3x  3 y  2 z  3

R.: {(1,2,3)}
 x  y  10  0

x  z  5  0
y  z  3  0

R.: {(6,4,1)}
3) Resolva as equações matriciais:
2 1   x  9 

.   

 1  3   y    13 
 1 4 7   x   2

   
 2 3 6 . y    2 
 5 1  1  z   8 

   
 2
R.:  
5
 
1
 
R.:  2 
 1
 
x  y  2

4) Determinar m, de modo que o sistema  x  my  z  0 seja impossível.
 x  y  z  4

R.: m = -1
 px  y  z  4

5) Qual o valor de p para que o sistema  x  py  z  0 admita uma solução única?
x  y  2

R.: p  R / p  1
x  y  z  1

6) Para quais valores de k o sistema linear 3x  y  2 z  3 é possível e determinado?
 y  kz  2



1
4
R.: k  R / k  
7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
2 x  3 y  z  1

a) 3x  3 y  z  8
2 y  z  0

R.: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
x  y  z  2
2 x  3 y  2 z  5
b) 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-
4k, k)}
x  y  z  3
2 x  3 y  z  0
c) 
R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}
x  y  2z  5

d) 2 x  2 y  4 z  10
3x  3 y  6 z  14

R.: Sistema impossível
S 
8) Um agricultor plantou três diferentes culturas, cobrindo uma área total de 80 hectares
(ha). Para
isso, ele usou 2.800 kg do adubo A e 3.500 kg do adubo B, conforme mostrado neste
quadro:
Adubo A
Adubo B
(kg/ha)
(kg/ha)
Cultura I
20
30
Cultura II
30
10
Cultura III
40
60
Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$
200,00,
R$ 100,00 e R$ 400,00. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor.
R.:R$ 24.000,0
9) Matias quis saber quantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele próprio, mas
dispunha de uma balança que só era confiável para cargas com mais de 50 kg. Então:
- subiu na balança com o cachorro, sem o gato – ela registrou 95 kg;
- subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro – a balança acusou 54 kg;
- por último, ele colocou o cachorro e o gato na balança – ela marcou 51 kg.
Quantos quilogramas tem cada um?
R.: 49, 46,5
10)
Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele
convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00
ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de
R$50,00. Quantos arremessos ele acertou?
R.: 10 arremessos
11)
Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de
som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o
som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto
pagará um cliente que comprar os três produtos?
R.: R$1900,00
12)
Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que
qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um par de meias e um
conjunto de roupas íntimas.
R.: R$ 25,00
PRODUTO
Conj.
Par
Preço(R$)
Mochila de
Roupas Camisa Jeans
Meias íntimas
Tipo 1
2
2
4
2
250,00
Tipo 2
2
2
3
1
180,00
Tipo 3
3
3
5
3
345,00
Tipo 4
2
2
2
1
160,00
13)
No estacionamento de um shopping há 80 veículos, entre carros e motos. Sabe-se
também que o número de rodas é igual a 260. Determine o número de carros e motos.
R.: 50 carros e 30 motos
Não se esqueça de estudar o livro texto!!!
[1] pág.: 576 (1 a 23)
PONTOS EM R2 E R3
Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro
regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos,


expressos por meio de pares ordenados xp , yp , em que xp é a abscissa do ponto e yp é sua ordenada. Para
representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma:

sobre o eixo das abscissas, x, localizamos xp ;

por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eixo das ordenadas, y;

da mesma forma, em y, identificamos yp , por onde passamos uma nova linha tracejada, agora paralela
ao eixo x;



o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto P xp , yp .
Veja essa construção, na figura 1, a seguir:
Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas (0,0) e divide cada um
dos eixos x e y, em dois semi-eixos. À esquerda da origem, temos o semi-eixo negativo das abscissas; à direita,
o semi-eixo positivo das abscissas. Abaixo da origem, temos o semi-eixo negativo das ordenadas, acima dela,
temos o semi-eixo positivo das ordenadas. E cada parte é chamada de quadrante.
Veja essa construção, na figura 2, a seguir:
Posição de um ponto no plano

Como vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P xp , yp

localizam-se neste
plano, de acordo com os valores de xp e yp , da seguinte forma:

se xp  0 e yp  0 , então P pertence ao 1º quadrante;

se xp  0 e yp  0 , então P pertence ao 2º quadrante;

se xp  0 e yp  0 , então P pertence ao 3º quadrante;

se xp  0 e yp  0 , então P pertence ao 4º quadrante;

se yp  0 , então P pertence ao eixo das abscissas. P xp ,0 , com xp 

se xp  0 , então P pertence ao eixo das ordenadas. P 0,yp , com yp 




;
.
Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, então ele pertence, simultaneamente, a dois
quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes.
Distância entre dois pontos do plano
Dados os pontos A  x A ,y A  e B  xB ,yB  :
Se AB // Ox, temos: dAB  xB  x A .
Se AB // Oy, temos: dAB  yB  y A
Se AB não é paralelo a Ox, nem a Oy. Note que o triângulo ABC é retângulo:
y
B
yB
yA
A
xA
C
xB
x
Então, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
2
d2AB  d2AC  dBC
 dAB 
x
 x A    yB  y A 
2
B
2
O espaço tridimensional
Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para realizar representações no plano, também o
fazemos para representar sólidos e objetos.
Definição:
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço tridimensional, sendo
denotado por 3 . Cada tripla ordenada  x, y, z  é chamada de um ponto no espaço tridimensional.
Desta forma do plano para o espaço há o acréscimo do eixo z.
Para marcarmos um ponto no espaço, fazemos o seguinte procedimento, vamos usar o seguinte ponto como
exemplo A(3, 2, 4) :
1ª) marca-se o ponto A '(3, 2, 0) no plano xy.
2ª) desloca-se A’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo)
para obtermos o pontos A.
Os planos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional dividem o espaço tridimensional
em oito partes, chamadas de octantes. O conjunto de pontos com as três coordenadas positivas forma o
primeiro octante, os demais não têm uma enumeração padrão.
Z

3
º

O

2
º
4
º
Y
1º
8º
6º
X
5º
Fonte: Winterle (2000).
Visualização:
Fonte: Winterle (2000).
Região
Descrição
Plano xy
(x, y, 0)
Plano xz
(x, 0, z)
Plano yz
(0, y, z)
Eixo x
(x, 0, 0)
Eixo y
(0, y, 0)
Eixo z
(0, 0, z)
Sistemas de coordenadas retangulares no espaço
Representem no espaço tridimensional os pontos, faça cada exemplo em um espaço tridimensional:
Exemplo 1
A (2, 0, 0)
E (0, 0, 3)
B (2, 4, 0)
F (2, 0, 3)
C (0, 4, 0)
G (2, 4, 3)
D (0, 4, 3)
H (0, 0, 0)
z
y
x
Exemplo 2
A (0, 1, 0)
E (4, 1, -2)
B (4, 1, 0)
F (4, 6, -2)
C (4, 6, 0)
G (0, 6, -2)
D (0, 6, 0)
H (0, 1, -2)
z
x
y
Exemplo 3
A (3, 0, 4)
E (3, 0, 0)
B (3, 5, 4)
F (3, 5, 0)
C (0, 5, 4)
G (0, 5, 0)
D (0, 0, 4)
H (0, 0, 0)
z
D
C
A
B
H
G
E
x
y
F
Exemplo 4
Determine as coordenadas dos pontos:
Referencial
A  3, 0, 0  E  3, 0,5 
B  3, 4, 0  F  3, 4,5 
C  0, 4, 0  G  0, 4,5 
D  0, 0, 0  H  0, 0,5 
Cálculo da distância entre dois pontos no espaço
Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas
com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo. A distância entre os pontos A  x1 , y1 , z1  e
B  x2 , y2 , z 2  é:
dAB 
x
 x A    y B  y A    zB  z A 
2
B
2
2
Exemplo
Calcule a distância entre os pontos A  0,  1, 3 e B  4, 2, 3 .
dAB 
 4  0
2
  2  1   3  3 
2
2
dAB  9  16
dAB  5
Exemplo
Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de
distância do ponto A   1,  3,  2 .
Dados:
P  x, 0, z   P  x, 0, 2 x 
z  2x
d AP  5
5
 x  1
2
  0  3    2x  2 
2
2
5  x²  2x  1  9  4x²  8x  4
x²  2x  1  9  4x²  8x  4  25
5x²  10x  11  0
Δ  320
10  320 10  17,8

10
10
10  17,8
x' 
 0,78
10
10  17,8
x" 
 2,78
10
x
Desta forma o ponto P pode ser representado por:
x '  0,78  P  0,78;0;1,56 
x "  2,78  P  2,78;0;5,56 
Fórmula do ponto médio
O ponto médio do segmento de A  x1 , y1 , z1  e B  x2 , y2 , z 2  é:
x x y y z z 
PM   1 2 , 1 2 , 1 2 , 
2
2 
 2
Exemplo
Encontre o ponto médio do segmento AG, do exemplo 5.
 3 0 0 4 05   3 5 
PM AG  
,
,
   , 2, 
2
2  2 2
 2
EXERCíCIOS
1) Calcule a distância do ponto A  3, 4, 2  :
a) ao plano xy
b) ao plano xz
c) ao plano yz
d) ao eixo x
e) ao eixo y
f) ao eixo z
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de
medidas 1, 2 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A  2, 1, 2  :
3) Nas figuras a seguir, determine as coordenadas dos oito cantos da caixa:
4) Um cubo de lado 4 unidades tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos
coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos oito cantos.
5) Quais são as projeções do ponto (2,3,5) nos planos xy, yz e xz? Desenhe uma caixa retangular que tenha
vértices opostos na origem e em (2,3,5) e com faces paralelas aos planos coordenados. Nomeie todos os
vértices da caixa. Determine o comprimento da diagonal dessa caixa.
6) Mostre que o triângulo com vértices em P  2, 4, 0  , Q 1, 2, 1 e R  1,1, 2  é um triângulo eqüilátero.
7) Encontre o comprimento dos lados do triângulo com vértices A(1, 2, 3), B(3, 4, 2) e C (3, 2,1) . O triângulo
ABC é retângulo? È isósceles?
8) A figura abaixo mostra um paralelepípedo onde as dimensões das arestas estão indicadas na figura. No
centro da face EFGH deste paralelepípedo está a origem (0,0,0) de um sistema de eixos cartesianos xyz, que
são paralelos às arestas do sólido. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H localizados nos
vértices do paralelepípedo.
9) Determine o valor de a, para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere A  0,  1, 3 ,
B 1, a, 2 e C  1, 0, 1 .
RESPOSTAS
4)
a )2
b)4
c)3
1)
A  2, 2, 2 
E  2, 2, 2 
B  2, 2, 2 
F  2, 2, 2 
C  2, 2, 2 
G  2, 2, 2 
D  2, 2, 2  H  2, 2, 2 
d ) 20
e) 13
f )5
6) A distância entre cada lado é
A  2, 1, 2  E  3, 1,5 
B  2, 3, 2  F  2, 1,5 
2)
C  3, 3, 2  G  2, 3,5 
D  3, 1, 2  H  3, 3,5 
14 , portanto o
triângulo é eqüilátero.
7) d AB  3; d AC  6 e d BC  45
d BC ²  d AC ²  d AB ²
3)
A  0, 0, 0  E  3, 0, 4 
B  3, 0, 0  F  3,5, 4 
a)
C  3,5, 0  G  0,5, 4 
D  0,5, 0  H  0, 0, 4 
( 45)²  6²  3²
45  45
Plano xy: (2,3,0)
O triângulo é retângulo, provado através
Plano xz: (2,0,5)
do teorema de Pitágoras.
Plano yz: (0,3,5)
Diagonal:
8)
A  0,1, 0  E  4,1, 2 
B  0, 6, 0  F  4, 6, 2 
b)
C  4,1, 0  G  0, 6, 2 
D  4, 6, 0  H  0,1, 2 
A  2, 5, 5
E  2, 5, 0 
B  2,5, 5
F  2,5, 0 
C  2,5, 5
G  2,5, 0 
D  2, 5, 5 H  2, 5, 0 
9)Se o triângulo ABC é retângulo em A, então, o lado BC é a hipotenusa do triângulo, e AB e AC são os seus
catetos. Então, temos:
2
Por Pítagoras : dBC
 d2AB  d2AC



 2
2
2
2
2
  a    1   
 
1
2
5  a2  1  a2  2a  1  1  1  1  4
0  4  2a
2a  4  a  2
2
2
2
  a  1   1   
 
 1
2
2
2
 1   2  

2
38
Vetores: Tratamento Geométrico
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
p) | AC || FP |
a)AB  OF
f )AO  MG
k )AB  EG
b)AM  PH
g)KN  FI
l)AM  BL
c )BC  OP
h)AC // HI
m)PE  EC
r ) | AJ || AC |
d)BL  MC
i)JO // LD
n)PN  NB
s) AO  2 NP
e)DE  ED
j)AJ // FG
o)PN  AM
t ) | AM || BL |
q) IF  MF
2) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os
com origem no ponto A:
a)AC  CN
e)AC  EO
i)MO  NP
b)AB  BD
f )AM  BL
j)BC  CB
c )AC  DC
g)AK  AN
k )LP  PN  NF
d)AC  AK
h)AO  OE
l)BL  BN  PB
3) Dados os vetores , , ,
.
a)
Capítulo 1:
Vetores
= +
e , abaixo representado, obtenha graficamente os vetores
+
- Págs.: 14 a 17 ( 1,2,3,4,5,12)
b)
=2
-
+
e
VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO
1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem:
a)  5, 2, 2 
b) 2i  3 j  4k
c)  3, 4, 1
d) 2i  5 j  5k
2) Determine as componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem:
3) Determine o módulo de v :
a) v   2, 1
b) v  7i  j
c) v   3, 1,5
d) 2i  3 j  k
4) Determine os vetores unitários que satisfazem as condições dadas:
a) mesma direção e sentido que i  4 j
b) sentido oposto a 6i  4 j  2k
c) mesma direção e sentido que o vetor do ponto A  1, 0, 2  até o ponto B  3,1,1
5) Dado o vetor v   2, 1, 3 , determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ;
b) o mesmo sentido de v e módulo 4;
c) sentido contrário ao de v e módulo 5;


1 3
2 4
6) Determinar o valor de n para que o vetor v   n,  ,  seja unitário.
7) Dados os pontos A(1, 0, 1), B  4, 2,1 e C 1, 2, 0  , determinar o valor de m para que v  7 , sendo
v  m. AC  BC .
8) Diz se que um vetor w é uma combinação linear dos vetores v1 e v2 se w puder ser expresso como
w  c1 v1  c2 v 2 onde c1 e c2 são escalares:
a) Determine os valores dos escalares c1 e c2 para expressar o vetor 4 j como combinação linear dos
vetores v1  2i  j e v 2  4i  2 j .
b) Mostre que o vetor  3, 5  não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores v1  1, 3 e
v 2   2, 6 .
9) Efetue as operações indicadas com os vetores u  3i  k , v  i  j  2k e w  3 j :
a) w  v
b) 6u  4w
c) v  2w


e) 8  v  w  2u
f) 3w   v  w
d) 4 3u  v
10) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0), determinar o ponto D de modo que
CD 
1
AB
2
11) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em
três segmentos de mesmo comprimento.
12) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).
13) Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do
triângulo relativa ao lado AB.
14) Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se | v | = 13.
15) Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y.
RESPOSTAS
1)
2)
3)
a) v  5
b) v  50
c) v  35
d) v  14
4)
9)
a) 
b)
a) i  4 j  2k
i
4j

17
17
b) 18i  12 j  6k
6i  4 j  2k
2 14
c) i  5 j  2k
d) 40i  4 j  4k
4i  j  k
c)
3 2
e) 2i  16 j  18k
f) i  13 j  2k
5)
a)  6,3,9 
4
12 
 8
b) 
,
,

14
14 
 14
10)
5
15 
 10
c)  
,
,

 14 14 14 
11)
6) 
12)
3
4
7) 3 ou 
13)
13
5
14)
8)
15)
a) c1  2 e c2  1
b) Não representa uma combinação linear.
Capítulo 1:
Vetores
- Págs.: 40 a 45 (1 a 14, 16 a 23, 29 a 35, 37 a 40, 43 a 47, 49 a 56)
PRODUTO ESCALAR


1) Sejam os vetores u = (3,2,1) e v = (-1, -4, -1). Calcular:

a) 2 u




b) ( u + v ).(2 u – v )


c) < u , u >
 
d) 0. u

e) 0. u




2) Dados os vetores u = 3i -5j + 8k e v = 4i -2j – k, calcular u . v .
3) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular








AB . BC


4) Sendo | u | = 4 e | v | = 2 e u . v = 3, calcular (3 u – 2 v )(- u + 4 v ).




5) Sendo | u | = 2, | v | = 3 e 60º o ângulo entre u e v , calcular:


a) u . v


b) | u + v |2
6) Dados os vetores v  (1,3, 5) e u  (4, 2,8) , decomponha v como v  v1  v2 sendo v1 / /u e v2  u .
7) Um triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices A 1, 2,3 , B  2, 2, 0  e C  3,1, 4  .
Determine o ponto H, pé da altura relativa ao lado AB.
EXERCíCIOS COMPLEMENTARES
1) Determinar o vetor v , sabendo que v  5 , v é ortogonal ao eixo Ox , v w  6 e w  i  2 j .
2) Dados os pontos A  m,1, 0  , B  m  1, 2m, 2  e C 1, 3, 1 , determinar m de modo que o triângulo ABC seja
retângulo em A. Calcular a área do triângulo.
3) Determinar o vetor u tal que u  2 , o ângulo entre u e v  1, 1, 0 é 45º e u é ortogonal a w  1,1, 0  .
4) O triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices A 1, 2,3 , B  2, 2, 0  e C  3,1, 4  , determine
os ângulos formados por estes vértices e classifique-os em agudo, obtuso ou retângulo.
5) Use vetores para mostrar que A  2, 1,1 , B  3, 2, 1 e C  7, 0, 2  são vértices de um triângulo retângulo.
Em qual vértice está o ângulo reto?
6) Sabendo que o vetor v   2,1, 1 forma um ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos
A  3,1, 2  e B  4, 0, m  , calcular o valor de m.
7) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores u  1, 2,1 e v   2,1, m  1 .
8) Uma força de F  4i  6 j  k newtons é aplicada a um ponto que se move uma distância de 15 metros na
direção e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realizado?
9) Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 lb em um ângulo de 60º
com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa a uma distância de 15 pés?
Referencial de respostas:
1) v   0,3, 4 
30
2
2) m  1 e A 

3) u  1, 1,  2

â  39º (agudo)
^
4) b  96º (obtuso)
^
c  45º (agudo)
5) É retângulo no vértice B.
6) m  4
7) m  0 ou m  18
8) 5 3J
9) 375 pés lb
Capítulo 2:
Produto
Escalar
- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)
PRODUTO VETORIAL
1) Mostre que u  v é ortogonal a u e a v sendo u  5i  4 j  3k e v  i  k .
2) Dados os vetores u  1, 1,1 e v  (2, 3, 4) , calcule:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v .
b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u .
3) Dados os vetores u   2,1, 1 e v  (1, 1, a ) , calcular o valor de “a” para que a área do paralelogramo
determinado por u e v seja igual a
62 .
4) Sejam os vetores u  1, 1, 4  e v  (3, 2, 2) . Determinar um vetor que seja:


a) ortogonal a u e v .


b) ortogonal a u e v e unitário.


c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4.




5) A operação u . v + u x v é possível ou não? Justifique sua resposta.




6) A operação u .[( v + u ) x v ] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor ou um
escalar?
EXERCíCIOS
1) Determine u  v , e em seguida verifique que é ortogonal a ambos os vetores u e v .
a) u  1, 2, 3  ; v   4,1, 2 
b) u   0,1, 2  ; v   3,0, 4 
2) Determine a área do paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes: u   j  2k e v  3 j  k .
3) Determine a área do triângulo de vértices P 1,5, 2  , Q  0, 0, 0  e R  3, 5,1 .
4) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinados por u   m, 3,1 e v  1, 2, 2 seja
26 .
igual a
5) Dados os pontos A(2,1,1) e B(0, 2,1) , determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo
ABC seja 1,5 u.a.
6) Calcular z, sabendo-se que A  2, 0, 0  , B  0, 2, 0  e C  0, 0, z  são vértices de um triângulo de área 6.
7) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A  2, 4, 0  e B 1, 3,  1 e o ponto médio das
diagonais é M  3, 2, 2  . Calcular a área do paralelogramo.
RESPOSTAS
u  v   7,10,9 
 
v u  v   0
1) a) u u  v  0
2)
59u.a.
374
3) A 
u.a
2
u  v   4, 6, 3
 
v u  v   0
b) u u  v  0


5
2


5) C  0,1, 0  ou C  0, , 0 
6) 4 ou -4
7) 2 74
4) 0 ou 2
Capítulo 3:
Produto
Vetorial
- Págs.: 87 a 89 (1 a 3, 8, 9, 12, 14 a 17, 20, 21, 23 a 25, 27)
PRODUTO MISTO
1) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u  2i, v  3 j e w  5k .
2) Determine o volume da caixa, em forma de um paralelepípedo, de lados adjacentes AB, AC e AD , sendo
A  2,1, 1 ; B  3, 0, 2  ; C  4, 2,1 e D  5, 3, 0  . Calcular a altura desta caixa relativa à base definida por
AB e AC .
3) Para que valor de m os pontos A  m,1, 2  ; B  2, 2, 3 ; C  5, 1,1 e D  3, 2, 2  são coplanares?
4) Sabendo que os vetores AB   2,1, 4  , AC   m, 1,3 e AD   3,1, 2  determinam um tetraedro de
volume 3, calcular o valor de m.
EXERCÍCIOS
1)
Utilizando o produto misto, determine o volume do paralelepípedo que tem u,w e v como arestas
adjacentes:
a) u   2, 6, 2  ,v   0, 4, 2  e w   2, 2, 4 
b) u   3,1, 2  ,v   4,5,1 e w  1, 2, 4 
2)
Determine o volume do tetraedro formado pelos vértices P  1, 2, 0  ; Q  2,1,3 ; R 1, 0,1 e S  3, 2,3  .
3)
Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(2, 4, 1) , B  3, 2,3 e C 1, 2,  1 . Determinar o quarto
vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
4)
Dados os pontos A  2,1,1 ; B  1, 0,1 e C  3, 2, 2  , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do
paralelepípedo determinado AB, AC e AD seja igual a 25 u.v.
5)
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u   0, 1, 2  ,
v   4, 2, 1 e w   3, m, 2 seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por
u e v.
6)
O ponto A 1, 2,3 é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são
B  2, 1, 4  ; C  0, 2, 0  e D  1, m,1 . Determinar o valor de m para que o volume do paralelepípedo seja igual a
20 u.v.
RESPOSTAS:
4) D  0,0, 10  ou D 0,0,15 
1)
a) 16 u.v
5) m  4 ou m  
b) 45 u.v
2)
2
u.v
3
17
33
eh
2
89
6)6 ou 2
3) D  0, 2,0  ou D 0, 4,0 
Capítulo 4:
Produto
Misto
- Págs.: 99 a 101 (1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18)
Algumas Aplicações
1. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um paralelepípedo determinado pelos
vetores



v1  (0, -1, 2), v2  (-4, 2, -1) e v3  (3, 4, -2). Extraiu-se desse paralelepípedo
uma peça no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do
paralelepípedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro?
11
u. v.
2
2. Na figura, a seguir, é possível verificar a trajetória descrita por uma partícula. As várias
posições que ela ocupou estão indicadas por letras seguidas de números que representam
os instantes, em segundos, da passagem da partícula por esses pontos.
Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partícula.
R: 5m
3. Determine a distância(d) necessária para posicionarmos a piscina junto ao prédio, de
forma que a mesma receba o sol da manhã a partir das 8:00hrs. O desenho abaixo mostra
de forma esquemática a situação descrita, onde os pontos A(-25,15,23), B(-30,-5,3) e
C(10,-5,3) são conhecidos.
R: 35m
4. O seguinte sistema de forças atua sobre uma partícula: F1 = 4j+5k, F2 =-5i +j + 3k, F3 =i 2j + 4k, F4 = 4i - 3j- 2k. Ache a resultante deste sistema de forças. A partícula estará em
equilíbrio? Qual o efeito da força resultante sobre a partícula?
5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele
precisaria pegar no depósito para emassar uma área triangular de uma rampa inclinada.
O engenheiro determinou através das coordenadas cartesianas os três vértices desse
triângulo: (4,2,1), (1,0,1) e (1,2,0). Sabendo que cada galão de massa corrida rende o
equivalente a 10 metros quadrados para cada demão, quantos galões o pintor precisará
para emassar essa área aplicando duas demãos?
R. 1 galão
6. Uma caixa de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode movê-la para o ponto
B (-1,0) ou para o ponto C = (-3,2). Utilizando seus conhecimentos de álgebra linear,
chegou a conclusão que
. Nessas condições, quais as coordenadas do ponto A?
R: (1/3, -4/3)
7. Na torre da figura abaixo, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC.
R: Aprox. 41,69o
8. Um ônibus parte em linha reta do ponto (1,2,3) ao ponto (3,1,5). Se o gasto é de R$10,00
por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento?
R: R$30,00
9. Uma molécula de metano tem quatro átomos de hidrogênio (H) nos pontos indicados na
figura abaixo e um átomo de carbono (C) na origem. Determine o ângulo de ligação H-CH.
R: Aprox. 109,47º
10. A figura abaixo representa uma cozinha que deve ter as paredes revestidas de azulejos até
o teto. Sabendo que cada porta tem 1,60m2 de área e que a janela tem uma área de 2m2,
quantos metros quadrados de azulejos são necessários para a realização do revestimento?
Dados:
A(3, -3, 2)
B(3, -1, 2)
C(2, -1, 2)
D(2, -1, 5)
E(3, -1, 5)
R: 12,80m2
A RETA
1) a) Determine equações da reta r que passa por A(1, 1, 4) e é paralela a v  (2,3, 2) .
b) Para t = 1, t =-3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r.
2) Dado o ponto A(2,3, 4) e o vetor v  (1, 2,3) , pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v .
b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é -1.
c) Verificar se os pontos D  (4, 1, 2) e E (5, 4,3) pertencem a r.
d) Determinar para que valores de m e n o ponto F (m,5, n) pertence a r.
3) Verifique se as retas L1 e L2 são paralelas, em cada caso.
1
L1 : x  1  3t ; y  2  2t ; z  3  t
2
a)
3
L2 : x  2  9t ; y  1  6t; z  1  t
2
L1 : x  3  2t; y  1  3t; z  2  4t
b)
L2 : x  1  t ; y  4  t ; z  8  3t
4) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 1, 2) e B(1, 2, 4) .
5) Dadas as equações simétricas
x 3 y z 5
. Determine o ponto inicial, o vetor diretor da reta e
 
2
2
1
equações paramétricas da reta.
6) Seja r :
x2 y 4 z 3
, determine as equações reduzidas na variável x.


1
2
3
7) Determine o ângulo  entre as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s:
x 3 
y 1 z  3

2
3 .
8) Determine o valor de “m”, para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e s :
ortogonais.
x 1 y z  3
sejam
 
m2
2
3
EXERCÍCIOS
1)
Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por  1, 2, 4  e é paralela a 3i  4 j  k .
2)
Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por
 2, 0,5
e é paralela a reta
x  1  2t; y  4  t; z  6  2t .
3)
Em que ponto a reta x  1  3t; y  2  t , z  0 intersecta:
a)
o eixo x
c) a parábola y  x²
b) o eixo y
4)
Encontre as interseções da reta x  2; y  4  2t; z  3  t com o plano xy, o plano xz e o plano yz.
5)
Sejam L1 e L2 as retas cujas equações paramétricas são:
L1 : x  1  2t ; y  2  t ; z  4  2t
L2 : x  9  t ; y  5  3t ; z  4  t
a)
Mostre que L1 e L2 intersectam no ponto  7, 1, 2  .
b)
Determine o ângulo agudo formado entre L1 e L2 em seu ponto de interseção.
c)
Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a L1 e L2 e que passa no seu ponto de
interseção.
RESPOSTAS:
 1  85 43  85 
,

6
18 

1)
c) 

x  1  3t
y  2  4t
z  4t
4) Plano xy:  2,10, 0  ; Plano xz:  2, 0, 5  ; Plano
yz: a reta não intersecta o plano yz.
2)
x  2  2t
y  t
z  5  2t
5) b)   84, 23º
3)
a)  7, 0 


7
3
x  7  7t
c) y  1
z  2  7t
b)  0, 
Capítulo 5:
A reta
- Págs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28)
O PLANO
1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1,3) e tem n  (3, 2, 4) como
vetor normal.
 x  5  3t

2) A reta r :  y  4  2t é ortogonal ao plano  que passa pelo ponto A(1,3,2) . Determine a
 z  1 t

equação geral de  .
3) Escreva uma equação geral do plano  que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralelo ao plano
 : 3x  4 y  2 z  5  0 .
4) Determine a equação geral do plano  representado na figura a seguir:
5) Dado o plano  determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2,1, 3) e C (1, 2, 6) obtenha um
sistema de equações paramétricas e uma equação geral de  .
EXERCÍCIOS
1) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor n como um vetor normal:
a) P  2,6,1 ; n  1, 4, 2 
b) P 1,0,0  ; n   0,0,1
2) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados: A  2,1,1 ; B  0, 2,3 e C 1, 0, 1 .
3) Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois:
a)
2x  8 y  6z  2  0
 x  4 y  3z  5  0
b)
3x  2 y  z  1
4x  5 y  2z  4
c)
x  y  3z  2  0
2x  z  1
4) Determine o ângulo formado entre os planos: x  0 e 2 x  y  z  4  0 .
5) Determine a equação do plano que passa pela origem e que é paralela ao plano 4 x  2 y  7 z  12  0 .
6) Determine a equação do plano que passa pelo ponto  1, 2, 5  que é perpendicular aos planos
2x  y  z  1 e x  y  2z  3 .
Referencial de respostas:
1) a) x  4 y  2 z  28  0
c) Nenhum dos dois
b) z  0
4)   35º
2) 10 y  5 z  5  0
5) 4 x  2 y  7 z  0
3) a) Paralelos
6) x  5 y  3z  6  0
b) Perpendiculares
Capítulo 6:
O plano
- Págs.: 141 a 149 (1 a 23)