MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
PESQUISA INDIVIDUAL (página 3)

Função de 1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0.
 Toda função do tipo f(x) = ax + b, com {a, b}   e a ≠ 0, é denominada função
polinomial do 1o grau ou função afim.

Demonstra-se que o gráfico de uma função polinomial f qualquer do 1o grau é uma
reta. Esse gráfico é obtido representando-se dois pontos distintos de f e traçando-se
a reta que passa por eles.1
 Função do 2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a ≠ 0.
 Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo f(x)= ax2 + bx + c, com a, b e c
constantes, a ≠ 0, é uma parábola. 1
 Função y = k/x, com k constante, x ≠ 0.
 A função é decrescente para x < 0 e x > 0.2
 O gráfico é uma hipérbole.
 Função exponencial: y= ax e função logarítmica: y = loga x
o Se a > 1 a função é crescente em todo seu domínio. 1
o Se 0 < a < 1 a função é decrescente em todo seu domínio.1

Funções trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = tg x
o São funções periódicas. (funções que repetem valores de y para um
determinado acréscimo no valor de x). 2
VOCÊ APRENDEU? (página 4)
1)
(I) O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2πx.
A função C = 2πx é do primeiro grau, logo o gráfico é representado por uma reta.
Observe que
quando o raio x é
igual a 1 o
comprimento da
circunferência C é
igual a 2π. Esta
situação está
claramente
representada no
y






x



gráfico.











1
Manoel Paiva, Matemática 1ª série Ensino Médio.
2
Gelson Iezzi, outros, Matemática Ciência e Aplicações 1ª série Ensino Médio.






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(II) A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2
A função é do segundo grau. O gráfico é representado por uma parábola.
y
y = x^2




x












(III) A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma função do tempo
-0,1t
de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo2
, onde mo é a massa
inicial e t o tempo de decomposição em horas.
A função m
= mo2-0,1t é exponencial.
y




x












(IV) Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica.
Afastada da posição O de equilíbrio, a uma distância a, a bola oscila em torno da mola,
deslocando-se em uma superfície lisa, horizontal. A distância x da bola até o ponto O depende do
instante t considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t).
No caso, temos x = a.cos(kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola
e da massa da bola.
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A função é trigonométrica. A representação é dada em gráficos que representam as funções periódicas.
(V) Mantendo-se constante a temperatura, a pressão P de um gás
interior de um recipiente de volume variável V é uma função d
V: P = f(V). No caso, temos P = k/v , onde k é uma constante. v
O gráfico é representado por uma
hipérbole.
2)
Dados: L = 40 m, f = 5m, hastes verticais igualmente espaçadas.
Da figura observamos: OB = 20 m (O está no centro do vão de 40 m)
A parábola é uma função do 2o grau: y = ax2 +bx + c
A parábola tem concavidade voltada para baixo, logo a < 0.
Para x=0 y=f=5m: f(0) = a(02) + b(0) + c  5 = c
O vértice da parábola tem coordenadas (0, 5). Lembrando que as coordenadas do vértice
da parábola é dado por
; então b = 0
Logo a equação dessa parábola é: y = ax2 + c
f(xB) = a(xB)2 + c
f(20) = a(202) + 5
0 = 400 a + 5
-5/400 = a
a = -1/80
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Como as hastes estão igualmente espaçadas, da figura, temos:
x1 = 5m ; x2 = 10m ; x3 = 15 m
Calculando os comprimento das hastes:
3)
Entre todos os retângulos de perímetro 24m, qual deles tem a maior área?
Perímetro: Rubrica: geometria.
linha que forma o contorno de uma figura traçada num plano ou numa superfície; soma de lados de
uma figura.
O perímetro do retângulo da figura será igual a:
x + x + y + y = 2x + 2y.
No caso particular do perímetro ser igual a 24m, temos:
2x + 2y = 24m  x + y = 12m
A área de um retângulo qualquer é dada por:
lado x lado. No caso da figura: A = x.y.
De x + y = 12 metros  y = 12m - x
Substituindo: A = x (12 – x)  A = 12x – x2  A = f(x) = -x2 + 12x . Essa função é do
segundo grau com a = -1, b =12 e c=0. Seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada
para baixo. Essa função possui ponto de máximo no vértice da parábola de coordenadas
(xv , yv) , isto é, (
√
)
(
(
)
)
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
y
A área máxima do nosso
retângulo deve ser 36 m2 e,
portanto, lado igual a 6m, isto
é, um quadrado.



x







Retângulo:






1
 substantivo masculino
Rubrica: geometria.
2 quadrilátero cujos ângulos são retos;
quadrilátero equiângulo.
Observe que todo quadrado é um
retângulo e nem todo retângulo é um
quadrado.
Quadrado:

1
2
adjetivo
que tem os lados e os ângulos iguais (diz-se de quadrilátero)
que tem a forma desse quadrilátero (diz-se de objeto)
p = 24 m
A = 36 m2
adjetivo
que tem ângulo(s) reto(s)
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4. a) Gráfico de N (população do município) como função de t (tempo
em anos). Sendo N
= 3000 . 100,1.t
(Sugestão: atribuir para t valores múltiplos de 10)
Valor
de t
N = 3000. 100,1t
0
N = 3000. 100,1 . 0  N = 3000. 100  N = 3000 . 1  N = 3000
1
N = 3000 . 100,1 . 1  N = 3000 .1,2589  N = 3776,7762
10
N = 3000 . 100,1 . 10  N = 3000 . 10  N = 30.000  N = 3 . 104
100
N = 3000 . 100,1 . 100  N = 3000 . 1010  N = 3 . 1013
1000
N = 3000 . 100,1 . 1000  N = 3000 . 10100  N = 3 . 10103
4. b) Valor da população N, 15 anos após a fundação do município.
N = 3000 . 100,1.t  N = 3000 . 100,1.15  N = 3000 . 101,5  3000 . 31,62277  N ≈ 94 868
c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingiu 216 000 habitantes?
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N = 3000 . 100,1.t  216.000 = 3000 . 100,1.t 
5) a) construção do gráfico de m como função de t;
Dados do problema:
a massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas.
m = mo . 2-0,25t (sendo mo o valor inicial da massa (t em horas)
Construir o gráfico a partir de 60g da substância.
y






x









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b) a massa m restante após 8horas
m = 60 . 2-0,25*8  m = 60. 2-2 
c) a expressão de t como função de m
m = mo . 2-0,25t 
( )
considerando log2 ≈ 0,3010, temos:
( )
(
( )
)
(
d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12g?
do item c) temos:
( ),
substituindo m=12g na função, temos:
(
)
)
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6. a) determinar o valor de k;
Dados do enunciado:
mola no comprimento normal: a bolinha fica em
equilíbrio, parada.
a mola fica esticada afastando-se a bolinha
10cm da posição de equilíbrio. Abandonando-se
a bolinha passa a oscilar em torno da posição
inicial, realizando um movimento de vai e vem.
x = 10.cos(kt) ; x em cm e t em segundos.
A bolinha retorna à posição em que foi
abandonada (x = 10cm) a cada 4 segundos.
Determinando o valor de k:
No instante t = 0 seg x = 10 cm (I)
No instante t = 4 seg x = 10 cm (II)
No instante t = 8 seg x = 10 cm (III)
No instante t = 12 seg x = 10 cm, (IV)
...
e assim a cada 4 segundos a mola está na posição x = 10cm.
(I)
(II)
x = 10.cos(kt)  10 = 10.cos(k.0)
x = 10.cos(kt)  10 = 10.cos(k.4)  cos(4k) = 10/10  cos(4k) = 1
Sabemos que o ângulo cujo cosseno é igual 1 é o ângulo de 0o ; 360o ou, em
radianos, 2π. Temos:
4k = 2π  k = 2π/4  k = π/2
b) calcule o valor de x para t=1s, t= 2s, t = 3s e t = 10/3 s;
t=1s
(
)
t=2s
(
)
t=3s
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
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c) construção do gráfico de x como função de t.

yx
(cm)














x t(s)































LIÇÃO DE CASA (PG 9) : LEITURA E ANÁLISE DE TEXTO.
(antes de resolver o próximo exercício é importante a leitura e compreensão do
texto proposto)
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1. Esboce o gráfico da função polinomial f(x) = x.(x+1).(x-2).(x-3) (pg. 11)
A função é de grau 4. As raízes, isto é, os pontos em que o gráfico corta o eixo
das abscissas (x) são os que o eixo das ordenadas é nulo, f(x) = 0
f(0) = 0.(0+1).(0-2).(0-3) = 0
f(-1) = -1.(-1+1)(-1-2)(-1-3) = -1(0)(-3)(-4) =0
f(2) = 0
f(3) = 0
y




x












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(pg. 14) Você aprendeu?
1. Esboce os gráficos das funções seguintes. Use o mesmo sistema de
coordenadas.
a) f(x) = x2 + 9
c) h(x) = 9 – x2
b) g(x) = x2 – 9
d) m(x) = -9 – x2
2. Esboce os gráficos das funções
a) f(x) = cosx
b) g(x) = 5 + cosx
c) h(x) = -3 +cosx
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3. Construção do gráfico f(x) = (x-3)2 e f(x) = x2
4. Gráficos de g(x) = 3(x+2) e f(x) = 3x
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5. Gráficos das funções: f(x) = log2(x) ; g(x) = log2(x-5) e h(x) = 4+log2(x-5)
6. Construção do gráfico seguindo os passos:
 y = x2
 y = x2 + 1
 y = 1/(x2 + 1)
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7. Fazer o esboço do gráfico y = 1/x seguindo os passos descritos no exercício:
Lição de casa páginas 18 e 19:
1. g(x) = 3senx e f(x)= senx
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2. Construção dos gráficos:
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 3(x-1)
c) h(x) = 3(x+1)
d) m(x) = 3(-x)
e) n(x) = 3(-x+1)
Situação de aprendizagem 3: (páginas 21,22,23)
A forma padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b
Desafio!
a) No país A. ;
e) No país F. ;
i) No país H. ;
b) No país B. ;
f) No país E. ;
j) No país I.
c) No país D. ;
g) No país J. ;
d) No país C.
h) No país G.
Antes de resolver as questões da página 27 realizar a leitura e análise de texto (páginas 24;
25 e 26)
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1)
Com base nos conhecimentos na seção Leitura e Análise de Texto, retome o
Desafio! e corrija suas respostas, se necessário.
2)
a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.
b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.
c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.
d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12.
e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8.
f) A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento
de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.
g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento
de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.
h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é
encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.
i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o gráfico está
encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12.
j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é
encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.
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k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico
é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.
3) Enunciado no caderno
a) Gráfico de v como função de t
Da função v = 40 – 10t,
temos:
t(s) v(m/s)
0
40
1
30
2
20
3
10
4
0
b)
Gráfico de h como função de t
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c) valor máximo de h(t)
h= 45+ 40t – 5t2 (a= -5; b=40 e c=45)
O vértice da parábola é dado por (
(
)
(
)
)
A altura máxima é 125m.
d) determinar o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posição inicial.
h= 45 + 40t - 5t2 ( a pedra passa pela posição inicial em h= 45m)
45 = 45 + 40t – 5t2  45 – 45 = 40t – 5t2  0 = 40t – 5t2  0 = t(40 – 5t)
t = 0 s e t = -40/-5  t = 8s, isto é, a pedra partiu do instante 0s da altura h=45m
e passou novamente pela posição de partida no instante 8
segundos.
e) Calcular depois de quanto tempo a pedra atinge o solo:
0 = 45 + 40t – 5t2 
√
√
√
Obs.: consideramos apenas o tempo positivo.
f) Observando os gráficos h(t) e v(t) assinalar V ou F nas frases:
“A velocidade decresce à taxa constante.” (V) (o gráfico v como função de t
mostra que a frase é verdadeira).
“A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo depois
decresce cada vez mais rapidamente.” (V) (a altura decresce mais lentamente
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pois está sob ação da gravidade e na descida mais rapidamente pois tem a
gravidade a seu favor ).
“ A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a
taxas crescentes.” (V) (mesmos motivos da frase anterior).
Lição de casa página 31
1) Gráfico no caderno
a) intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0
f(x) > 0 para x > 5 e para x < -1
f(x) < 0 entre -1 e 5 .
b) intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente
f(x) crescente para x > 2
f(x) decrescente para x < 2
c) Qualificar o crescimento
para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes e para x < 2 a taxas decrescentes.
2) Construir os gráficos das funções:
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a) f(x) = 3x ; b) g(x) = 3-x ;
a) f(x) cresce a taxas crescentes;
c) h(x) cresce a taxas decrescentes;
c) h(x) = log3 x ; d) m(x) = log1/3 x
b) g(x) decresce a taxas decrescentes;
d) m(x) decresce a taxas decrescentes.
Você aprendeu? página 33
1) Construir, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções
f(x) = sen x e g(x) = cos x entre x = 0 e x = 2π
a) f(x) é crescente (considerando-se entre x = 0 a x = 2π) entre x = 0 a x = π/2
MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
f(x) é decrescente entre x = π/2 e x = 3π/2.
g(x) é crescente entre π e 2π
g(x) é decrescente entre 0 e π.
b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = π/2 e o valor mínimo
ocorre no ponto x = 3π/2 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o
valor máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2π, e o valor mínimo, no
ponto x = π; nesses pontos, temos f(x) = 0.
c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto
x = π, em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de g(x) passa de
voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = π/2, máximo para f(x), e volta a se
tornar voltado para baixo no ponto x = 3π/2, mínimo de f(x).
(pg. 36) Você aprendeu?
1. Completar a tabela
x
3x
f(x+1) – f(x)
0
1
2
3
4
5
1
3
9
27
81
243
3-1=2
9-3=6
27-9=18
81-27=54
243-81=162
729-243=486
Observamos pela tabela que a taxa de variação unitária de f(x) = 3x é igual a 2f(x).
2. Po = 1000; P = f(t) = 1000.2t (t em horas)
a) Calcular a taxa de variação unitária nos instantes t = 1 hora e t = 2 horas
para t =1 hora , temos P = 1000. 21  P = 2000 bactérias
para t = 2 horas, temos P = 1000. 22  P = 4000 bactérias.
b) Mostrar que o aumento de P entre os instantes t = 6 horas e t = 7 horas é igual ao valor
da população para t = 6 horas.
MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
O aumento de P entre t =6 h e t=7h é: f(7) – f(6) = 1000.27 – 1000.26 = 1000(27 – 26) =
6
1000.26 (21 – 20) = 1000 .26 (2-1) = 1000. 2 = f(6) = população para t = 6 horas.
(pg 37) Lição de casa
1) N = 600.10t , sendo t em décadas.
a) Cálculo da taxa de variação unitária para t =2 décadas.
f(2) = f(2+1) – f(2) = 600.103 – 600.102 = 600.102 (101 -100) = 60.000 x 9 =
540.000
b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t =7 e t =8 é igual a 9 vezes o
valor da população para t = 7
f(8) – f(7) = 600. 108 – 600 . 107 = 600. 107( 101 – 100) = 600 . 107(9) = 9.f(7), isto é, a
taxa de variação unitária para t =7 é 9 vezes o valor de f(7)
(pg. 44)
1) Um investidor aplica uma quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 12%
ao ano. Calcule o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo
que:
a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros
simples);
J = C.i%.n  J = 1.000,00 . 0,12 .1  J = 120,00  M = 1.000,00 + 120,00  M
=1.120,00.
b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao
final de cada mês;
i = 12% a.a. = 1% a.m.
FV= PV(1+i%)n  FV = 1.000,00 (1,01)12  FV = 1.000,00 . 1,12682  FV
1.126,82.
MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao
longo do ano. (Dado: e0,12 = 1,1275)
Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t.
Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja,
C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50.
2) Um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano.
Calcule depois de quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo
que:
a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;
C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos.
Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t.
2Co = Co(1,12)t  2Co/Co = (1,12)t  2 = (1,12)t  log 2 = log (1,12)t 
log 2 = t. log(1,12) 
Como o juros só é incorporado ao final de cada ano, o capital só poderá ser resgatado
após o sétimo ano.
b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;
2Co = Co(1,01)t  2Co/Co = (1,01)t  2 = (1,01)t  log 2 = log (1,01)t 
log 2 = t. log(1,01) 
ou aproximadamente 5 anos e 10
meses.
c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos)
Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t, com t
em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t.
Daí, segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos.
(pg. 45- 46) Lição de casa
1. mo = 60 g reduz-se à metade a cada 4 horas, determinar a expressão de sua massa m
em função do tempo t em horas:
a) supondo que m(t) = mo . 2bt , determinar o valor de b
do enunciado sabemos que mo = 60g e que m = 30g após 4 horas, temos:
m(t) = mo . 2b.t  m(4) = mo . 2b.4  30 = 60.24b 
MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
( )
( )
b) Supondo que m(t) = mo . eat , determinar o valor de a;
m(4) = mo .ea4  30 = 60. e4a  ½ = e4a  ln(1/2) = ln(e4a) 
ln(1/2) = 4.a ln e  -0,6931 = 4.a  a
≈ -0,17329
c) mostrar que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes:
em a) temos: m(4) = 60.24(-0,25)  m = 60.2-1  m = 30g
em b) temos: m(4) = 60.e4(-0,17329)  m = 60.e -0,69316  m = 30g
de forma geral 2(-0,25) = e(-0,17329) = 0,840896
d) calcule a massa restante após 8 horas:
Como demonstramos que as expressões dos itens a e b são equivalentes,
podemos utilizar uma delas para o cálculo da massa restante após 8 horas.
MATEMÁTICA – CADERNO DO ALUNO E.M. 3ª série VOLUME 3
m(8) = 60.28(-0,25)  m(8) = 60. 2-2  m(8) = 60/4  m(8) = 15 g
e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?
m(t) = 60. 2(-0,25t)  12 = 60.2(-0,25t)  12/60 = 2(-0,25t)  0,5 = 2(-0,25t) 
ln (0,2) = -0,25t . ln2  -1,609437= -0,25t . 0,69314 
aproximadamente 9horas e 17 minutos. (cuidado! a parte decimal de
t= 9,28771 não corresponde a 28 minutos e sim 0,28771 x 60 ~17 minutos)