MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Exercícios
1. Condução através de uma geladeira de
isopor. Uma caixa de isopor usada para manter
bebidas frias em um piquenique possui área total
(incluindo a tampa) igual a 0.80m2 e a espessura da
parede é de 2.0 cm. Ela está cheia de água, gelo e latas
de Omni-Cola a 00C. Qual é a taxa de fluxo de calor
para o interior da caixa se a temperatura da parede
externa for igual a 300C? Qual a quantidade de gelo
que se liquefaz durante um dia?
Dado: isopor=0.010 W/(m.K)
  14.965W
 aço 
14.965 
 aço  A   aço
eaço

46  2 102

2
10 102
14.965 10 102
46  2 102
  100   

2
 100   
81.3  100   
  100  81.3    18.7C
3. No exemplo anterior, suponha que as barras
estejam separadas. Uma extremidade é mantida a
1000C e a outra extremidade é mantida a 00C. Qual a
taxa total de transferência de calor nessas duas barras?
2. Uma barra de aço de 10.0 cm de comprimento
é soldada pela extremidade com uma barra de cobre de
20.0 cm de comprimento. As duas barras são
perfeitamente isoladas em suas partes laterais. A seção
reta das duas barras é um quadrado de lado 2.0 cm. A
extremidade livre da barra de aço é mantida a 1000C
colocando-a em contato com vapor d’água obtido por
ebulição, e a extremidade livre da barra de cobre é
mantida a 00C colocando-a em contato com o gelo.
Calcule a temperatura na junção entre as duas barras e
a taxa total da transferência de calor.
4. Radiação do corpo humano. Sabe-se que a
área total do corpo humano é igual a 1.20m2 e que a
temperatura da superfície é 300C = 303K. Calcule a
taxa total de transferência de calor do corpo por
radiação. Se o meio ambiente está a uma temperatura
de 200C, qual é a taxa resultante do calor perdido pelo
corpo por radiação? A emissividade e do corpo é
próxima da unidade, independentemente da cor da
pele.
Dados: Lei de Stefan-Boltzmann:
H  A  e    Ti 4
H  A  e    Ts4  Ti 4 
dQ   A  T


dt
e
 aço  46
RAço 
W
W
  Cu  401
m K
m K
e
R
A
eAço
 Aço  A
10 102
 RAço 
RAço  5.435
RCu
Constante de Stefan-Boltzmann:
46   2 102 
2
W
K
e
20 102
 Cu  RCu 
2
 Cu  A
401   2 102 
RCu  1.2468
W
K
Rs  Raço  RCu  Rs  5.436  1.2468
Rs  6.682

W
K
dQ T
100  0


dt
Rs
6.682
W
m K4
H  A  e    T 4  H  1.2 1 5.67 108  3034
H  573.5W
H  A  e    Ts4  Ti 4
  5.67 108

2


H  1.2 1 5.67 108   273  20   3034
4
H  1.2 1 5.67 108   2934  3034 

H  72W
5. Uma placa quadrada de aço, com lado igual a
10 cm, é aquecida em uma forja de ferreiro até uma
temperatura de 8000C. Sabendo que a emissividade é
igual a 0.60, qual é a taxa total de energia transmitida
por radiação?
10exp(-)2/(46*(2exp(-)2)^2)
1
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6. Um chip com embalagem de cerâmica de 40 pinos
possui rtérm = 40 K/W. Se a temperatura máxima que o
circuito pode tolerar com segurança não pode superar
1200C, qual é o mais elevado nível de potência que o
circuito pode tolerar com segurança para uma
temperatura ambiente igual a 750C?
7. Tira-se de uma fornalha uma peça fundida
pesando 50 kgf, quando a temperatura era de 400°C,
sendo colocada num tanque contendo 400 kg de óleo a
30°C. A temperatura final é de 40°C e o calor
específico do óleo, 0,5 cal-g-1 (0C)-1. Qual o calor
específico da peça fundida? Desprezar a capacidade
calorífica do tanque e quaisquer perdas de calor.
Qo  Qp  0  mo  co  o  mp  c p   p  0
Espectr
o
visível
Visible
Cores
(nm)
(1014 Hz)
c
f 

(eV)
1240
E  eV  
  nm 
Red –
Vermelh
o
622 -770
3,896 –
4,823
1,61 –
1,99
Orange
–
Laranja
597 - 622
4,823 –
5,025
1,99 –
2,08
Yellow
–
Amarelo
577 - 597
Green –
Verde
492 - 577
Blue –
Azul
455 - 492
Violet –
Violeta
390 - 455
E  h
400  0,5   40  30   50  c p   40  400   0
c p  0,11
cal
g 0C
Q  mc  Q  80000 11  80000cal
Q
80000
QL  mLv  m  L 
 138.65 g
Lv
577
9. Para as radiações abaixo, dados os
intervalos extremos de comprimento de onda, encontre
os intervalos correspondentes em freqüência (Hz) e
energia (eV).
f 
c

3 10
 f max  4,823 1014
622 109
f 
2
c

E  6, 62 1034 
8. A evaporação do suor é um mecanismo
importante no controle da temperatura em animais de
sangue quente. Que massa de água deverá evaporar-se
da superfície de um corpo humano de 80 kg para
resfriá-lo 1°C? O calor específico do corpo humano é
aproximadamente l cal g -1 • (°C) -1 e o calor latente de
vaporização da água na temperatura do corpo (37°C) é
de 577 cal • g -1.
Quantidade de calor perdida pelo corpo
humano na variação de 10C:
c  f  f 
min    max fmin  f  fmax Emin  E  Emax
8
3 108
 f min  3,89611014
770 109
E  h f
h  6, 62 1034  J  s 
EJ  
3 108
1,986 10
  m

25
1eV=1,6 10-19J
1
1,986 1025
  nm  1, 6 1019 109
1240
E  eV  
  nm 
1240
Emin  eV  
 Emin  eV   1, 61
770
E  eV  
10. Área do filamento de uma lâmpada de
tungstênio. A temperatura de operação do filamento
de tungstênio de uma lâmpada incandescente é igual a
2450K e sua emissividade é igual a 0.35. Calcule a
área da superfície do filamento de uma lâmpada de
150 W supondo que toda a energia elétrica consumida
pela
lâmpada
seja
convertida
em
ondas
eletromagnéticas pelo filamento. (Somente uma fração
do espectro irradiado corresponde à luz visível.)
11. Raios de estrelas. A superfície quente e
brilhante de uma estrela emite energia sob a forma de
radiação eletromagnética. É uma boa aproximação
considerar e = 1 para estas superfícies. Calcule os
raios das seguintes estrelas (supondo que elas sejam
esféricas):
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(a) Rigel, a estrela brilhante azul da
constelação Órion, que irradia energia com uma taxa
de 2.7.1032W e a temperatura na superfície é igual a
11000K.
(b) Procyon B (somente visível usando um
telescópio), que irradia energia com uma taxa de
2.1.1023W e a temperatura na sua superfície é igual a
10000K.
(c) Compare suas respostas com o raio da
Terra, o raio do Sol e com a distância entre a Terra e o
Sol. (Rigel é um exemplo de uma estrela supergigante
e Procyon B é uma estrela anã branca.
Lei de Stefan-Boltzmann
(a) H  A  e    T 4
A  4  R2
  5.6699 108
W  m2
K4
(constante de Stefan-Boltzmann para a radiação do
corpo-negro)
H  2.7 1032W
Emissividade e = 1
T = 11000K
H  4  R2  e    T 4
H
H
R2 
R
4  e    T 4
4  e    T 4
2.898
 mm  K 
T
Ache a que temperatura corresponde ao máximo
comprimento de max = 305 nm.
(b) Aplicando a Lei de Stefan-Boltzman:
max 
H  A  e   T 4
: constante de Stefan-Boltzmann.
  5.6699 108 WKm
Encontre a potência dissipada nessa temperatura,
assumindo área 20 cm2 e emissividade e = 1;
2
4
14. Duas barras metálicas, cada qual com 5
cm de comprimento e seção reta retangular de 2 cm
por 3 cm, estão montadas entre duas paredes, uma
mantida a 100 0C e outra a 0 0C. Uma barra é de
chumbo (Pb) e a outra é de prata (Ag). Calcular:
(a) A corrente térmica através das barras.
(b) a temperatura da superfície de contato das
duas.
Dado: Condutividades térmicas:
Pb = 353 W/(m.K)
Ag = 429 W/(m.K)
2.7 1032
4 1 5.6699 108 110004
Raiz(2.7EXP32/(4*Pi*1*5.6699exp(-)8*11000^4))
A é a área da esfera - R  1.6088 1011 m
DT-S=1.496.1011m
RS = 6.96.108m
RT = 6.37.106m
12. Determine o comprimento da barra
indicado para que o fluxo de calor seja de 250W.
R
15. As duas barras do exemplo anterior são
montadas como ilustra a figura a seguir. Calcular:
(a) A corrente térmica em cada barra
metálica.
(b) A corrente térmica total.
(c) A resistência térmica equivalente desta
montagem.
Dados: condutividade térmica:
cobre:  Cu  385,0 J(s m°C)-1
aço:  Aço  50,2 J(s m°C)-1
13. A Lei do deslocamento de Wien é
obtida, impondo-se
T
0

Para:
 T  d 
8hc

1
5
e
hc
 k T
d
1
Utilizando a Lei do deslocamento de Wien:
16. A temperatura superficial do Sol é cerca
de 6000K.
3
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(a) Se admitirmos que o Sol irradia como um
corpo negro, em que comprimento de onda max se
localizará o máximo da distribuição espectral?
(b) Calcular max para um corpo negro a
temperatura ambiente, cerca de 300 K.
17. Calcular a perda de energia líquida de
uma pessoa nua numa sala a 200C, admitindo que
irradie como um corpo negro de área superficial igual
a 1.4 m2, na temperatura de 33 0C. A temperatura
superficial do corpo humano é ligeiramente mais baixa
que a temperatura interna de 370C, em virtude da
resistência térmica da pele.
18. Na prática de construção civil, nos países
de língua inglesa, especialmente nos Estados Unidos,
é costume utilizar o fator R, simbolizado por Rf, que é
a resistência térmica por pé quadrado do material.
Assim, o fator R é igual ao quociente entre a espessura
do material e a condutividade térmica:
Rf 
e

 R A
A tabela ilustra os fatores de R para alguns
materiais de construção.
pudesse variar de ΔL quando sua temperatura varia de
ΔT, a tensão seria dada por:
 L

F  A Y  
   T 
 L0

Onde:
F: tensão na barra.
L0: comprimento original da barra.
Y: Módulo de Young.
Α: coeficiente de dilatação linear.
20. Uma placa quadrada de aço de 10 cm de
lado é aquecida em uma forja de ferreiro até 100 0C. Se
sua emissividade é e = 0.60, qual será a taxa total de
energia emitida por radiação ?
21. Determine:
(a) As resistências térmicas do cobre, do aço
e a equivalente.
(b) O fluxo de calor através da barra de cobre
de seção quadrada da figura. A temperatura na
interface.
Dados: condutividade térmica:
cobre:  Cu  385,0 J(s m°C)-1
aço:  Aço  50,2 J(s m°C)-1
Tabela 1 – Fatores R para alguns materiais
de construção.
e
Rf
Material
(in)
(h.ft2.F/Btu)
Chapas divisórias
0.375
0.32
Gesso ou estuque
Compensado
0.5
0.62
(pinho)
Painéis de madeira
0.75
0.93
Carpetes
1.0
2.08
Isolamento de teto
1.0
2.8
Manta asfáltica
1.0
0.15
Chapas de madeira
1.0
0.44
asfáltica
Um telhado de 60 ft por 20 ft é feito de chapa
de pinho, de 1 in, cobertas por chapas de madeira
asfáltica.
(a) Desprezando a superposição das chapas
de madeira, qual a taxa de condução de calor através
do telhado, quando a temperatura no interior da
edificação for de 70 0F e no exterior 40 F ?
(b) Calcular a taxa de condução de calor se à
cobertura anterior forem superpostas 2 in de
isolamento especial para telhados.
19. A equação:
F
 Y    T
A
Fornece a tensão necessária para manter a
temperatura da barra constante à medida que a
temperatura varia. Mostre que se o comprimento

dQ   A  T

dt
e
R
e
A
22. – O espectro típico de uma lâmpada
fluorescente está indicado abaixo:
(a) Utilizando a Lei do deslocamento de
Wien:
max 
2.898
 mm  K 
T
Ache a que temperatura corresponde ao máximo
comprimento de onda dessas lâmpadas. Observe que o
pico em comprimento de onda ocorre para essas
lâmpadas em torno de max = 305 nm.
(b) Aplicando a Lei de Stefan-Boltzman:
H  A  e   T 4
: constante de Stefan-Boltzmann.   5.6699 108 W m
2
K4
4
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Encontre a potência dissipada nessa
temperatura, assumindo área 20 cm2 e emissividade e
= 1;
23. As lâmpadas UV fluorescentes são
usualmente categorizadas como lâmpadas UVA, UVB
ou UVC, dependendo da região em que maior parte de
sua irradiação se situa. O espectro UV está dividido
dentro de três regiões:
 Região UVA, 315 a 400 nanômetros;
 Região UVB, 280 a 315 nanômetros;
 Região UVC, abaixo de 280 nanômetros.
Complete a relação da tabela.
Dados: f  c ; E  h  f h  6, 62 1034  J  s  ;

c= 3.108m/s;
1240
E  eV  
  nm 
24. – Se colocarmos as barras indicadas numa
ligação em paralelo encontre a resistência térmica
equivalente e o fluxo total de calor.
26. Determine o comprimento da barra
indicado para que o fluxo de calor seja de 250W.
27. Uma camada esférica de condutividade
térmica k tem um raio interno r1 e um raio externo r2.
A camada interna está a uma temperatura T1 e
a externa a uma temperatura T2. Mostre que a corrente
5

Região
f
(Hz)
E
(eV)
< 3 x 109
< 10-5
0
(A)
UVA
> 109
UVB
109 106
UVC
106 7000
10-5 - 0.01
3 x 1012
- 4.3 x
1014
4.3 x
1014 7.5 x
1014
Visível
térmica é dada por:
Dados: condutividade térmica:
cobre:  Cu  385,0 J(s m°C)-1

4 k  r1  r2 T2  T1 
r2  r1
aço:  Aço  50,2 J(s m°C)-1

dQ   A  T

dt
e
R
e
A
25. – Explique o mecanismo das brisas
oceânicas.


Solução:
k  A  T
kA
 dr 
dT
e

k  4  r 2
dr 
dT

dr 4 k

dT
r2

2-3
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R2

R1
dr 4 k 2

dT
r2
 T1
T
r R
1 2 4 k T T2


T
r r  R1
 T T1
1
1 4 k
 
T2  T1 
R2
R1

1 1 4 k
  
T2  T1 
R2 R1

R2  R1 4 k

T2  T1 
R1  R2

4 k  R1  R2

T2  T1 
R2  R1

28. O raio interno a de uma casca cilíndrica
está mantido a uma temperatura Ta enquanto seu raio
externo b está a uma temperatura Tb. A casca
cilíndrica possui uma condutividade térmica uniforme
k. Mostre que o fluxo sobre a casca cilíndrica é dada
por:
 T T 
  2  L  k  a b 
 ln  b a  
2  k  L
Tb  Ta 

2  k  L
ln  b a  
Tb  Ta 

ln b  ln a 
 T T 
  2  L  k  b a 
 ln  b a  
Fluxo de dentro para fora.
Fluxo de fora para dentro:
 T T 
  2  L  k  b a 
 ln  b a  
 T T 
  2  L  k  a b 
 ln  b a  
29. A seção de passageiros de uma avião a
jato tem a forma de uma tubulação cilíndrica com 35m
de comprimento e raio interno 2.50m. Sabe-se que a
espessura do tubo que compõe o avião é cerca de 6 cm
e tem uma condutividade térmica dada por 4.105
cal/(s.cm°C). A temperatura deve ser mantida dentro
em cerca de 25°C e fora do avião na altitude de
cruzeiro é cerca de -35°C. Que potência deve ser feita
para que se mantenha essa diferença de temperatura?

Solução:
 T T 
  2  L  k  a b 
 ln  b a  
30.
Um engenheiro desenvolve um
dispositivo para aquecer a água, como mostrado na
figura. A indicação do termômetro na entrada da água,
que flui a 0.500 kg/min é de 18°C. A indicação do
voltímetro é 120 V e a do amperímetro é 15 A.
Determine a indicação do termômetro na saída.


Solução:
k  A  T
kA
 dr 
dT
e

k  2  r  L
dr 
dT

dr 2  k  L

dT
r

T
b
dr 2  k  L b
a r   T dT
a
r b
ln r r a 
2  k  L T Tb
T T T
a


Solução:
P  V  i  P  120 15
P  1800W
Q m
Q  m  c   
  c  
t t
m
P   c  
t
6
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m
kg
m
1000 g
 0.500

 0.500
t
min
t
60s
m
g
 8.333
t
s
cal
J
c 1
 c  4.18
g C
g C
1800  8.333  4.18  
1800
 
   51.67
8.333
 4.18


34.833
31. Uma massa de 1 g de gelo a -30°C é
aquecida e transformada em 1g de vapor a 120°C.
Qual a quantidade de calor necessária para o processo
ocorrer?
Dados:
J
kg C
J
Calor específico da água: cg  4190
kg C
Calor específico do gelo:
cg  2090
 f  i  51.67   f  18  51.67
 f  69.67C
Calor específico do vapor dágua: cg
31. Explique como se dá o congelamento da
água na superfície de um lago com a diminuição
gradativa da temperatura, observando como varia a
densidade da água com a temperatura indicada na
figura a seguir.
LF  3.33 105
 2010
J
kg C
Calor específico latente de fusão do gelo:
J
kg
Calor específico latente de vaporização da água:
LV  2.26 106
J
kg
7
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32. Mostre que a temperatura T na interface
dos materiais de condutividades térmicas k1 e k2 é
dada por:
T
k1  L2  T1  k2  L1  T2
k1  L2  k2  L1
8
33. Determine a temperatura na interface
entre as barras de ouro e prata, de mesmo
comprimento e área, indicada abaixo.
34. Um fogão solar consiste em um espelho
na forma de um parabolóide onde o material a ser
aquecido é colocado em seu foco (no qual ocorre a
convergência dos raios solares refletidos pela
superfície parabólica do espelho), como ilustra a
figura. A potência solar incidente por unidade de área
no local em que é feito o aquecimento é de 500 W/m²,
e o fogão tem um diâmetro de 0.6 m. Assumindo que
40 % da energia incidente é transferida para a água,
quanto tempo levará para ferver 0.5 L de água
inicialmente a 20°C?
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
MHS - Pêndulo Simples e Energia Mecânica
1. A corda de um piano emite um dó médio
vibrando com uma freqüência primária igual a 220 Hz.
(a) Calcule o período e a freqüência angular,
(b) Calcule a freqüência angular de um soprano
emitindo um "dó alto", duas oitavas acima, que é igual
a quatro vezes a freqüência da corda do piano.
2. Um corpo é deslocado 0,120 m da sua posição
de equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a
zero. Depois de 0,800 s seu deslocamento é de 0,120
m no lado oposto e ultrapassou uma vez a posição de
equilíbrio durante este intervalo. Ache:
(a) a amplitude, (b) o período, (c) a freqüência.
9. Repita o Exercício anterior, porém suponha que
para t = 0s o bloco possua velocidade -4,00 m/s e
deslocamento igual+0,200 m.
10. A extremidade da agulha de uma máquina de
costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox
com uma freqüência igual a 2,5 Hz. Para t = 0 os
componentes da posição e da velocidade são +1,1 cm
e -15 cm/s.
(a) Ache o componente da aceleração da agulha
para t = 0.
(b) Escreva equações para os imponentes da
posição, da velocidade e da aceleração do ponto
considerado em função do tempo.
11.
3. Ao projetar uma estrutura em uma região
propensa à ocorrência de terremotos, qual deve ser a
relação entre a freqüência da estrutura e a freqüência
típica de um terremoto? Por quê? A estrutura deve
possuir um amortecimento grande 01 pequeno?
x
4. Um corpo de massa desconhecida é ligado a
uma mola k cuja constante é igual a 120 N/m.
Verifica-se que ele oscila com um com uma
freqüência igual a 6,00 Ache:
(a) o período, (b) a freqüência angular, (c) a
massa do corpo.
5. Um oscilador harmônico é feito usando-se um
bloco sem atrito de 0,600 kg e uma mola ideal cuja
constante é desconhecida. Verifica-se que ele oscila
com um período igual a 0,150 s. Ache o valor da
constante da mola.
Escreva as equações de x(t), v(t) e a(t).
6. Temos um oscilador harmônico possui massa
de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a
140 N/m. Ache (a) o período, (b) a freqüência, (c) a
freqüência angular.
7. A corda de um violão vibra com uma
freqüência igual a 40 Hz. Um ponto em seu centro se
move com MHS com amplitude igual a 3,00 mm e um
ângulo de fase igual a zero.
(a) Escreva uma equação para a posição do centro
da corda em função do tempo;
(b) Quais são os valores máximos dos módulos da
velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A
derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser
chamada de "arrancada". Escreva uma equação para a
arrancada do centro da corda em função do tempo e
calcule o valor máximo do módulo da arrancada.
8. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a
uma mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t
= O a mola não está imprimida nem esticada e o bloco
se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:
(a) a amplitude, (b) o ângulo de fase. (Escreva
uma equação para a posição em função do tempo).
12. Um certo pêndulo simples possui na Terra um
período igual a l,60 s. Qual é o período na superfície
de Marte onde g = 3,71 m/s2?
13. Escreva a equação diferencial do pêndulo
simples da figura e sua solução (t).
9
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14.
(c) Escreva uma equação para a posição em
função do tempo. (d) Escreva v(t) e a(t) em função do
tempo.
2
v 
xm  x   0  ;
 0 
2
0

v0 
;
  x0 
  arctg  
x  t   xm sen 0t    ;  
k
2
;T 
m

17.
10
Calcule o período, a freqüência angular para um
relógio típico.
15. MHS no motor de um carro. O movimento
do pistão no interior do motor de um carro é
aproximadamente um MHS. (a) Sabendo que o
percurso (o dobro da amplitude) é igual a 0,100 m e
que o motor gira com 3500 rev/min, calcule a
aceleração do pistão no ponto final do percurso, (b)
Sabendo que a massa do pistão é igual a 0,450 kg,
qual é a força resultante exercida sobre ele neste
ponto? (c) Calcule a velocidade e a energia cinética do
pistão no ponto médio do percurso, (d) Qual é a
potência média necessária para acelerar o pistão do
repouso até a velocidade calculada no item (c)? e) Se
o motor gira com 7000 rev/min, quais são as respostas
das partes (b), (c) e (d)?
16. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a
uma mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t
= O a mola não está imprimida nem esticada e o bloco
se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:
(a) a amplitude,
(b) o ângulo de fase
(a) Encontre as expressões para a posição,
velocidade e aceleração instantânea.
(b) Assumindo a massa do corpo 1 kg
encontre a energia cinética e potencial elástica para x
= A e x = A /2.
(c) Qual o valor da energia mecânica?
(d) Esboce os gráficos de Ec(t), Ek(t) e Em(t)
usando o programa disponível.
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Oscilações amortecidas
A
1. A figura mostra um tipo de oscilação
amortecida e as curvas x(t) para dois casos de
subamortecimento. Discuta quais deles possui maior
constante de amortecimento c.
x0 2  v0
v  x0 1
; B 0
2  1
2  1
Amortecimento crítico c = cc :
x(t )  ( A  Bt )e0t ; A 
x0 ;
B  v0  0 x0
Amortecimento subcrítico c < cc
x(t )  e
ou

c
t
2m
x(t )  xme
 A cos t  Bsent 

c
t
2m
11
sen(t   )
 c 

 cc 
2
  q  0 1  
2
c
   q  0 1    ;
 cc 
2.
 2m x0 
;
2
mv

cx
0
0

  arctg 
 2mv0  cx0 
xm  x02  

 2m 
2
Chamamos de período da vibração amortecida:
 
2

Discuta os casos possíveis de amortecimento em
função da constante de amortecimento crítica cc e
construa os gráficos de posição x(t), velocidade v(t) e
aceleração a(t) para os seguintes osciladores livres,
através
do
programa
do
site
www.claudio.sartori.nom.br:
(i) c = 0.
k (N/m)
m(kg)
x(t=0)
v(t=0)
i
(m)
(m/s)
400
1
0,50
1,00
1
1600
25
0,05
0,50
2
200
5
0,01
0,35
3
5000
12
0,25
0,50
4

k
Dados: 0 
; cc  2m0
m
Amortecimento supercrítico c > cc :
x(t )  Ae 1t  Be 2t ; Com:
2
1,2  
c
 c 
2
 
  0
2m
 2m 
Para cada caso, encontre:
(a) A freqüência f, a freqüência angular
0 ,o
período T.
(b) A velocidade máxima e a aceleração
máxima.
Construa os gráficos de posição x(t),
velocidade v(t) e aceleração a(t) para os seguintes
amortecedores:
v(t=0)=v0
(m/s)
x(t=0)=x0
(m)
c
(N.s/m)
m(kg)
k (N/m)
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
400
1
8
0,50
1,00
400
1
40
0,50
1,00
400
1
80
0,50
1,00
1600
25
65
0,05
0,50
200
5
1200
0,01
0,35
5000
12
356
0,25
0,50
Para cada caso, encontre:
(a) A freqüência f, a freqüência angular
1
2
3
4
5
6
0 ,o
12
período T.
(b) A velocidade máxima e a aceleração
máxima.
3. A figura mostra a ponte de Tacoma
Narrows, destruída 4 meses e 6 dias após sua
inauguração, devido à vibrações de torção e com
freqüência de ressonância de aproximadamente 0.2
Hz.
Faça uma pesquisa sobre esse caso na
internet comentando sobre a aplicação de vibrações
forçadas.
Dilatação Térmica
1. O pêndulo de um relógio é feito de alumínio.
Qual a variação fracional do seu comprimento, quando
ele é resfriado, passando de 25°C para 10°C?
2. Uma trena de aço de 25 m está correia à
temperatura de 20°C. A distância entre dois pontos,
medida com a trena num dia em que a temperatura é
de 35°C, é de 21,64 m. Qual a distância real entre os
dois pontos?
3.
Na figura:
Este tipo de dispositivo pode ser utilizado na
fabricação de um termoestato.
Suponha que a 300C a separação das
extremidades do aro circular da figura a seguir é de
1.600 cm. Qual será a separação a uma temperatura de
1900C?
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
4. A figura ilustra como varia o volume da água
com a temperatura.
13
Esboçando um gráfico da densidade em
função da temperatura, teremos:
Analise a frase: “Devido a esse comportamento
da água, houve vida no planetaTerra”.
5. Um termômetro a gás a volume constante é
calibrado no ponto de fusão do gelo seco, CO2, a 800C e na temperatura de ebulição do álcool etílico, a
700 C. A figura ilustra um modelo do tipo, juntamente
com a extrapolação linear feita para outros gases.
Construa a relação P versus T do termômetro
mencionado, sabendo que as pressões correspondentes
são, respectivamente, 0.900 atm e 1.635 atm .
6. Um estudante ingeriu em um jantar cerca de
200 Cal (1 Cal =1 000cal e 1 cal = 4.18 J). Ele deseja
“queimar” essa energia adquirida, fazendo o
levantamento de peso de 50 kg em uma academia.
Quantas vezes ele deve levantar esse peso? Assuma
que a cada “puxada” no aparelho, o peso levanta-se
cerca de 2.0 m.
7. Uma placa de metal de 0.05kg é aquecida a
2000C e em seguida colocada em um recipiente com
0.400 kg de água a 200C. A temperatura de equilíbrio
térmico é de e = 22.40C. Determine o calor específico
do metal. Dado: cágua = 4186 J/(kg.K)
8. Um cowboy atira com uma arma sobre uma
moeda colocada em uma parede. A bala sai da arma a
200 m/s. Se toda a energia do impacto for convertida
na forma de calor, qual será o aumento de temperatura
da bala? Dado: calor específico do material que
constitui a bala: cb = 234 J/(kg.K).
9. Determine a quantidade de calor para se
elevar de 25 0C a temperatura de 5 kg de cobre.
Dado: cCu = 0.386 kJ/(kg.K)
10. Colocam-se 600 g de granalha de Pb a uma
temperatura inicial de 100 0C, num calorímetro de
alumínio, com a massa de 200 g, contendo 500 g de
H2O, inicialmente a 17.3 0C. A temperatura final de
equilíbrio do calorímetro com a granalha é de 20.0 0C.
Qual o calor específico do chumbo?
Dado: cAl = 0.9 kJ/(kg.K).
11. Qual a quantidade de calor necessária para
aquecer 2kg de gelo, à pressão de 1 atm, de -25 0C, até
que toda a amostra tenha se transformado em vapor de
água?
Dados:
Calor específico latente de fusão da água:
Lf = 333.5 kJ/kg
Calor específico latente de vaporização da
água:
Lv = 2257 kJ/kg
Calor específico do gelo:
cg = 2.05 kJ/(kg.K).
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12. Um jarro de limonada está sobre uma mesa
de piquenique a 33 0C. Uma amostra de 0.24 kg desta
limonada é derramada num vaso de espuma de
plástico e a ela se juntam 2 cubos de gelo. (cada qual
com 0.,025 kg a 00C). (a) Admita que não haja perda
de calor para o ambiente. Qual a temperatura final da
limonada ? (b) Qual seria a temperatura final se
fossem 6 cubos de gelo ? Admita que a capacidade
calorífica da limonada seja a mesma da água.
14
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Espectros de estrelas
(Adaptado de:
http://docs.kde.org/stable/pt_BR/kdeedu/kstars/aicolorandtemp.html)
As estrelas parecem ser exclusivamente
brancas a primeira vista. Mas se olharmos
cuidadosamente, podemos notar uma faixa de cores:
azul, branco, vermelho e até dourado. Na constelação
de Orion, um bonito contraste é visto entre o vermelho
de Betelgeuse no "sovaco" de Orion e o azul de
Bellatrix no ombro. O que faz estrelas exibirem cores
diferentes permanecia um mistério até dois séculos
atrás,
quando
físicos
obtiveram
suficiente
conhecimento da natureza da luz e propriedades da
matéria em temperaturas imensamente altas.
Especificamente, foi a física da radiação dos
corpos negros que nos possibilitou entender a variação
das cores estelares. Logo após o entendimento do que
era a radiação dos corpos negros, notou-se que o
espectro das estrelas parecia extremamente similar as
curvas da radiação dos corpos negros em várias
temperaturas, variando de poucos milhares de Kelvin
até 50.000 Kelvin. A conclusão óbvia é que estrelas
são semelhantes a corpos negros, e que a variação de
cor das estrelas é uma consequência direta da
temperatura de sua superfície.
Estrelas frias (isto é, Espectro Tipo K e M)
irradiam a maior parte de sua energia na região
vermelha
e
infravermelha
do
espectro
electromagnético e assim parecem vermelhas,
enquanto estrelas quentes (isto é, Espectro Tipo O e
B) emitem principalmente em comprimentos de onda
azul e ultravioleta, fazendo-as parecerem azul ou
brancas.
Para estimar a temperatura superficial de uma
estrela, podemos usar a conhecida relação entre
temperatura de um corpo negro e o comprimento de
onda da luz no pico de seu espectro. Isto é, conforme
você aumenta a temperatura de um corpo negro, o
pico de seu espectro move-se para um menor (mais
azul) comprimento de onda luminoso. Isto é ilustrado
na Figura 1 abaixo onde a intensidade de três estrelas
hipotéticas é plotada contra o comprimento de onda. O
"arco-íris" indica a faixa de comprimento de onda que
é visível ao olho humano.
Figura 1 – Espectro de estrelas de diferentes
cores.
Este método simples é conceitualmente
correto, mas não pode ser usado para obter
temperaturas
estelares
precisas,
porque
estrelas não são corpos negros perfeitos. A presença
de vários elementos na atmosfera estelar fará com que
alguns comprimentos de onda sejam absorvidos.
Devido a estas linhas de absorção não serem
uniformemente distribuídas no espectro, elas podem
inclinar a posição do pico espectral. Além disso, obter
um espectro estelar é um processo de tempo intensivo
e é proibitivamente difícil para grandes amostras de
estrelas.
Um método alternativo utiliza a fotometria
para medir a intensidade da luz passando por
diferentes filtros. Cada filtro permite apenas uma
parte específica do espectro passar enquanto todas as
outras são rejeitadas. Um sistema fotométrico muito
utilizado chama-se sistema UBV Johnson. Ele
emprega três filtros de banda: U ("Ultra-violeta"), B
("Azul"), and V ("Visível"), cada uma ocupando as
diferentes regiões do espectro eletromagnético.
O processo de fotometria UBV envolve usar
dispositivos foto sensíveis (como filmes ou câmeras
CCD) e mirar um telescópio em uma estrela para
medir a intensidade da luz que passa por cada filtro
individualmente. Este processo fornece três
luminosidades aparentes ou fluxos (quantidade de
energia por cm2 por segundo) designados por Fu, Fb e
FV. A relação dos fluxos Fu/Fb e Fb/Fv é uma medida
quantitativa da "cor" da estrela, e estas relações podem
ser usadas para estabelecer uma escala de temperatura
para estrelas. Falando genericamente, quanto maiores
as relações Fu/Fb e Fb/Fv de uma estrela, mais quente
é sua temperatura de superfície.
Por exemplo, a estrela Bellatrix em Orion
tem um Fb/Fv = 1,22, indicando que é mais brilhante
pelo filtro B que pelo filtro V. Além disso, sua razão
Fu/Fb é 2,22, então é mais brilhante pelo filtro U. Isto
indica que a estrela deve ser muito quente mesmo,
pois seu pico espectral deve estar em algum lugar na
faixa do filtro U, ou até mesmo em comprimentos de
onda mais baixos. A temperatura superficial de
Bellatrix (determinada por comparação de seu
espectro com modelos detalhados que conferem com
suas linhas de absorção) é perto de 25.000 Kelvin.
Podemos repetir esta análise para a estrela Betelgeuse.
Suas razões Fb/Fv e Fu/Fb são 0.15 e 0.18
respectivamente, então ela é mais brilhante em V e
mais opaca em U. Então, o pico espectral de
Betelgeuse deve estar em algum lugar na faixa do
filtro V, ou mesmo em um comprimento de onda
superior. A temperatura superficial de Betelgeuse é de
apenas 2,400 Kelvin.
Os astrônomos preferem expressar as cores
estelares em termos de diferença em magnitudes, do
que uma razão de fluxos. Assim, voltando para a azul
Bellatrix temos um índice de cor igual a
B - V = -2.5 log (Fb/Fv) = -2.5 log (1.22) = -0.22,
15
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Similarmente, o índice de cor para a vermelha
Betelgeuse é
B - V = -2.5 log (Fb/Fv) = -2.5 log (0.18) = 1.85
Os índices de cores, como a escala de
magnitude ,correm para trás. Estrelas Quentes e
azuis têm valores de B-V menores e negativos que as
mais frias e vermelhas estrelas.
Um Astrônomo pode então usar os índices de
cores para uma estrela, após corrigir o
avermelhamento e extinção interestelar, para obter
uma precisa temperatura daquela estrela. A relação
entre B-V e temperatura é ilustrada na Figura 2.
Figura 2 – Relação B-V e temperatura.

Pirômetros
Um pirómetro (também denominado de
pirómetro óptico) é um dispositivo que mede
temperatura sem contacto com o corpo/meio do qual
se pretende conhecer a temperatura. Geralmente este
termo é aplicado a instrumentos que medem
temperaturas superiores a 600 graus celsius. Uma
utilização típica é a medição da temperatura de metais
incandescentes em fundições.
Um dos pirómetros mais comuns é o de
absorção-emissão, que é utilizado para determinar a
temperatura de gases através da medição da radiação
emitida por uma fonte de referência, antes e depois da
radiação incidir sobre o gás (que absorve parte da
radiação). É através da análise das diferenças do
espectro do gás que se consegue determinar a sua
temperatura. Ambas as medições são feitas no mesmo
intervalo de comprimento de onda.
Outra aplicação típica do pirómetro é a
medição da temperatura de metais incandescentes.
Olhando pelo visor do pirómetro observa-se o metal,
ajustando-se depois manualmente a corrente elétrica
que percorre um filamento que está no interior do
pirómetro e aparece no visor. Quando a cor do
filamento é idêntica à do metal, pode-se ler a
temperatura numa escala disposta junto ao elemento
de ajuste da cor do filamento.
16
MHS e Termodinâmica: Exercícios e Exemplos Resolvidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Descoberto por acaso o sucessor das
lâmpadas incandescentes
Redação do Site Inovação Tecnológica
25/10/2005
http://www.inovacaotecnologica.com.br/
Pegue um LED que produza uma luz azul
intensa. Recubra-o com uma finíssima película de
cristais microscópicos, chamados pontos quânticos, e
você terá a próxima revolução tecnológica na
iluminação, que poderá substituir virtualmente todas
as atuais lâmpadas.
Esse LED híbrido, descoberto por acaso pelo
estudante Michael Bowers, da Universidade
Vanderbilt, Estados Unidos, é capaz de emitir luz
branca verdadeira, similar à emitida pelas lâmpadas
incandescentes, com uma leve tonalidade de amarelo.
Até agora os pontos quânticos têm recebido
atenção graças à sua capacidade de produzir dezenas
de cores diferentes simplesmente variando-se o
tamanho dos nanocristais individuais: uma capacidade
particularmente adequada à marcação fluorescente de
células em aplicações biomédicas.
Mas os cientistas agora descobriram uma
nova forma para construir pontos quânticos capazes de
produzir espontaneamente luz branca de largo
espectro.
Até 1993 os LEDs só produziam luzes
vermelha, verde e amarela. Foi então que o
pesquisador japonês Isamu Akasaki descobriu como
fabricar LEDs que emitiam luz azul. Combinando
LEDs azuis com outros verdes e vermelhos - ou
adicionando-se fósforo amarelo aos LEDs azuis - os
fabricantes conseguiram criar luz branca, o que abriu
uma gama totalmente nova de aplicações para essas
fontes de luz, por natureza extremamente econômicas
e duráveis. Mas a luz emitda pelos "LEDs brancos" é
apenas ligeiramente branca, apresentando um forte
tom azulado.
Os pontos quânticos de luz branca, por outro
lado, produzem uma distribuição mais suave dos
comprimentos de onda do espectro visível, com uma
leve tonalidade amarela. Desta forma, a luz produzida
pelos pontos quânticos se parece mais com as luzes de
"espectro total" utilizadas para leitura, um tipo de
lâmpada disponível no mercado que produz uma luz
com um espectro mais próximo ao da luz do Sol do
que as lâmpadas incandescentes ou fluorescentes.
Além disso, os pontos quânticos, como
acontece também com os LEDs, têm a vantagem de
não emitir grandes quantidades de luz infravermelha,
como acontece com as lâmpadas incandescentes. Essa
radiação invisível produz grandes quantidades de calor
e é responsável pela baixa eficiência energética desse
tipo de lâmpada.
Bowers estava estudando com seu colega
James McBride, procurando entender como os pontos
quânticos crescem. Para isso eles estavam tentando
criar pontos quânticos cada vez menores. Foi então
que eles criaram um lote desses nanocristais de
cádmio e selênio. Esses elementos contêm 33 ou 34
pares de átomos, o que é justamente o "tamanho
mágico" no qual o cristais preferencialmente se
formam. Assim, esses minúsculos pontos quânticos
são fáceis de serem produzidos, ainda que tenham
apenas metade do tamanho dos pontos quânticos
normais.
Quando esses pontos quânticos foram
iluminados com um laser, ao invés da luz azul que os
estudantes esperavam, eles se encantaram com o
branco vivo que iluminou a mesa onde faziam seu
experimento.
A seguir os estudantes dissolveram seus
pontos quânticos em uma espécie de verniz para
madeira e "pintaram" um LED. Embora isso seja o
que se poderia chamar de uma típica uma idéia de
estudante, eles estavam, na verdade, montando sua
descoberta sobre uma fonte própria de luz,
dispensando o laser. O resultado não é nenhum primor
de acabamento, mas demonstra claramente que a
junção dos dois pode gerar uma nova fonte de luz
branca que poderá revolucionar todo o setor de
iluminação.
A descoberta foi descrita em um artigo
publicado no exemplar de 18 de Outubro do Jornal da
Sociedade Americana de Química.
17