Capítulo 4:
Carga axial
Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond
Princípio de Saint-Venant
•
Anteriormente desenvolvemos os conceitos de:
Tensão (um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo);
Deformação (um meio para medir a deformação geométrica de um corpo);
Relação entre tensão e deformação depende do tipo de material (Lei de Hooke).
•
Com essa idéia em mente,
considere o modo como
uma barra retangular que
se deforma elasticamente
quando submetida a uma
força P aplicada ao longo
do eixo de seu centróide.
Princípio de Saint-Venant
• Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse
efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais
distante das extremidades. Visto que a deformação está relacionada com a
tensão, em C-C a tensão quase alcança um valor uniforme.
Princípio de Saint-Venant
• O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas
nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se” a
uma distância suficientemente afastada dessas regiões. Como regra geral,
esta distância é no mínimo igual à largura da barra.
Princípio de Saint-Venant
• Esse princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos
de um corpo suficientemente distantes da região da aplicação da carga
serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer
carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente
equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região.
Deformação elástica de um elemento submetido a
carga axial
•
Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos
capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a
cargas axias.
•

Suponha um elemento sujeito a cargas,
= deslocamento de um ponto na
barra relativo a outro
L = distância original

Px
dδ
e ε
A x 
dx
L
P  xdx
 
A xE
0
  εE
P(x) = força axial interna na seção
A(x) = área da seção transversal
da barra
E = módulo de elasticidade
Carga constante e área de seção transversal
•
Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra,

PL
AE
Convenção de sinais
•
Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento; e
negativos causarão compressão e contração.
Exemplo
•
As forças axiais internas P são determinadas pelo método das seções para
cada segmento:
Exemplo 4.1
A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois segmentos,
AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600mm 2e ABD = 1.200mm2,
respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o
deslocamento de B em relação a C. Eaço= 210GPa
Exemplo 4.2
O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção
transversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração
de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C
da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa )
Exemplo 4.2
Diagrama de corpo livre do tubo: reação da porca à tração da barra
Diagrama de corpo livre da barra: tração da barra
Exemplo 4.3
Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na Figura.
AC é feito de aço e tem diâmtero de 20mm, e BD é feito de alumínio e tem
diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma
carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200GPa,
EAl = 70GPa.
Exemplo 4.4
Um elemento é feito de um material
com peso específico
e módulo de elasticidade E. Se esse
elemento tiver forma de um cone,
determine até que distância sua
extremidade se deslocará sob a força
da gravidade, quando suspenso na
posição vertical.
Resposta:

Princípio da superposição
• Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar
a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando
este estiver sujeito a um carregamento complicado.
• Pode-se determiná-los por cada componente da carga agindo
separadamente sobre o elemento.
• Então a tensão ou deslocamento resultante é determinado pela
soma algébrica das contribuições causadas por cada uma das
componentes das cargas.
• Para aplicar o princípio da superposição, duas condições devem ser
válidas:
Princípio da superposição
1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou
deslocamento a ser determinado:

P
A
 
PL
AE
2. A carga não deve provocar mudanças significativas na geometria ou
configuração original do elemento.
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Quando uma barra está presa somente em uma extremidade e é
submetida a uma força axial, a eq. de equilíbrio da força aplicada ao
longo do eixo da barra é suficiente para determinar a reação no
suporte (estaticamente determinado).
• Entretanto, se a barra estiver presa em ambas as extremidades,
então aparecem 2 reações axiais desconhecidas (estaticamente
indeterminado).
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• A barra é estatisticamente indeterminada quando as equações de
equilíbrio não são suficientes para determinar as reações.
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Para estabelecer uma equação adicional necessária para a solução,
temos que considerar uma equação adicional que indique as
condições de deslocamento: condição de compatibilidade ou
condição cinemática.
Como os apoios são fixos:
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
(1)
é tração: +
é compressão: -
(2)
(1) e (2) :
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Primeiro: a condição de equilíbrio:
Segundo: a condição de compatibilidade:
Exemplo 4.5
A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser
carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze o
tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa)
Exemplo 4.5
Exemplo 4.6
O poste de alumínio mostrado na Fig. é reforçado com um núcleo de latão, Se esse
conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P=45kN, aplicada na
tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere
EAl=70GPa e Elat=105GPa.
Exemplo 4.6
 Al = 5,09MPa
 lat = 7,64MPa
Método de análise de força para elementos carregados
axialmente
• Também é possível resolver problemas
estaticamente indeterminados
escrevendo a equação de
compatibilidade levando em
consideração a superposição das forças
que agem no diagrama de corpo livre:
método de análise de flexibilidade
ou de força.
Método de análise de força para elementos carregados
axialmente
Neste caso, para escrever a equação de compatibilidade é necessário
escolher um dos apoios como redundante.
Indica que o apoio não é necessário para manter a barra em equilíbrio
estável, e portanto quando ele é retirado a barra torna-se estaticamente
determinada.
Escolher qualquer um dos apoios como
redundante: anula temporariamente o efeito
que ele causa
Método de análise de força
para elementos carregados
axialmente
+
Método de análise de
força para elementos
carregados axialmente
Quando as duas cargas forem superpostas: não
ocorre nenhum deslocamento em B
Esta equação representa a equação de compatibilidade para
deslocamentos no ponto B
Método de análise de
força para elementos
carregados axialmente
+
P traciona o segmento Lac
Fb comprime o segmento L
Método de análise de
força para elementos
carregados axialmente
Primeiro: a condição de compatibilidade:
Segundo: a condição de equilíbrio:
Exemplo 4.9
A haste de aço A-36 tem
diâmetro de 5 mm. Está presa à
parede fixa em A e, antes de ser
carregada, há uma folga de 1
mm entre a parede em B’ e a
haste. Determine as reações em
A e B’. E=200GPa
Tensão térmica
• Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas
dimensões de um material: dilatação e contração
• Se o material for homogêneo e isotrópico,
T  TL

T
L
T
= coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material
= variação na temperatura do elemento
= comprimento inicial do elemento
= variação no comprimento do elemento
Tensão térmica
• A mudança no comprimento de um elemento estaticamente
determinado pode ser calculado diretamente pela eq.
T  TL
• Se o elemento for estaticamente indeterminado, esses
deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos apoios,
o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas no
projeto.
• O cálculo destas tensões térmicas pode ser feito pelos métodos
anteriores.
Exemplo 4.10
A barra de aço A-36 mostrada na figura está restringida para caber extamente entre
os dois suportes fixos quando T1= 30C. Se a temperatura aumentar até T2=60C.
Determine a tensão térmica normal média desenvolvida nas barra.  = 12x10-6/C,
E=200GPa
Diagrama de corpo livre
Apoio Redundante
  72MPa
Exemplo 4.12
Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço A-36 e
alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não
há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a
força suportada por cada poste se a barra for submetida a um carregamento
distribuído uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C.
Eaço=200GPa e Eal=73,1GPa; aço = 12x10-6/C, al = 23x10-6/C
2Faço + Fal – 90k=0
Faço=-16,4kN
Fal= 123kN
Exemplo 4.11
Um tubo de alumínio 2014-T6 com área de seção transversal de 600mm2 é
utilizado como luva para um parafuso de aço A-36 com área de seção transversal
de 400mm2, figura. Quando a temparatura é T1 = 15C, a porca mantém o conjunto
em uma posição precisa, de tal modo que a força axial no parafuso é desprezível.
Se a temperatura aumentar para T2 = 80C, determine a tensão normal média no
parafuso e na luva. aço = 12x10-6/C, al = 23x10-6/C