CAPÍTULO 1 - TENSÃO
EQUILÍBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL
TENSÃO
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
MATERIAL HOMOGÊNEO E ISOTRÓPICO
dF
P
A
A
P
A
dA
EXEMPLOS
1) A barra da figura tem largura constante de 35mm e espessura de 10mm.
Determine a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao
carregamento mostrado.
2) A luminária pesa 784,8N e é suportada por duas hastes AB e BC como mostra
a figura. Se AB tem diâmetro de 10mm e BC tem diâmetro de 8mm, determine a
tensão normal média em cada haste.
3) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de
3kN. Determine a posição ‘x’ de aplicação da força de modo que o esforço de
compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A
haste tem uma área de seção transversal de 400mm2 e a área de contato em C
é de 650mm2
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
V
Ac
CISALHAMENTO SIMPLES
CISALHAMENTO DUPLO
EXEMPLOS
1) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada de 40mm.
Supondo que seja aplicada uma força axial de 800N ao longo do eixo do
centróide da área da seção transversal da barra, determinar a tensão normal
média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material em: (a) no
plano da seção a-a e (b) no plano da seção b-b.
2) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço
de 10mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical
de 5kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo
das duas áreas sombreadas da escora.
3) O elemento inclinado da figura está submetido a uma força de compressão
de 2668,8N. Determinar a tensão de compressão média ao longo das áreas de
contato planas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao
longo do plano definido por EDB.
TENSÃO ADMISSÍVEL
F .S .
F .S .
F RUP
F ADM
RUP
ADM
F .S .
RUP
RUP
EXEMPLO
1) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco fixo como mostrado
na figura. Se a haste passa por um furo de 40mm de diâmetro, determinar o
diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco necessários
para suportar uma força de 20kN. A tensão normal admissível da haste é 60MPa
e a tensão de cisalhamento admissível do disco é 35MPa.
EXERCÍCIOS - TENSÃO
1) Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida pelo colar em C, que
está preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B. Determinar o maior
valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no colar
não exceda uma tensão de apoio admissível em C de ( b)adm=75MPa e que a
tensão normal média no eixo não exceda um esforço de tração admissível de
( t)adm=55MPa.
2) A barra rígida AB é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de
20mm e um bloco de alumínio que tem área de seção transversal de 1800mm2.
Os pinos de 18mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento
simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem ( aço)rup=680MPa e
( al)rup=70MPa, respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de
cada pino for rup=900MPa, determinar a maior carga P que pode ser aplicada à
barra. Aplicar F.S.=2.
CAPÍTULO 2 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO
EXEMPLOS
1) O diagrama tensão-deformação abaixo é representativo de uma liga de
alumínio. Supondo que um corpo-de-prova deste material seja tracionado com
600MPa, determinar a deformação permanente que ficará no corpo-de-prova
quando a força for removida.
2) A haste da figura abaixo tem seção transversal circular e está submetida a
uma carga axial de 10kN. A partir do diagrama tensão-deformação, determinar
o alongamento aproximado da haste quando a carga á aplicada. Se a carga for
removida, qual será o alongamento permanente da haste? Adotar E=70GPa.
COEFICIENTE DE POISSON
EXEMPLO
1) Uma barra de aço apresenta as dimensões mostradas na figura abaixo.
Supondo que uma força axial P=80kN seja aplicada à barra, determinar as
mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal. O
material comporta-se elasticamente.
ALONGAMENTO E ENCURTAMENTO
APLICAÇÃO
EXEMPLOS
1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área
da seção transversal de 400 mm2. Uma haste de aço de 10mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga
de tração de 80kN à ahaste qual será o deslocamento da extremidade C? Adotar
Eaço=200GPa e Eal=70GPa.
2) Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado na
figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20mm; BD é feito de alumínio e tem
diâmetro de 40mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB para o
carregamento aplicado. Adotar Eaço=200GPa e Eal=70GPa.
PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
=
EXEMPLO
1) A haste da figura tem diâmetro de 5mm e é presa À parede fixa em A e, antes
de ser carregada, mantém uma folga de 1mm em relação à parede B’.
Determinar as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial de
P=20kN. Desprezar o tamanho do colar e adotar E=200GPa.
CAPÍTULO 3 – TORÇÃO
FÓRMULA DA TORÇÃO
T
máx
J
c
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA
EIXO SÓLIDO:
J
c
EIXO TUBULAR:
4
4
J
2
2
(ce
4
ci )
DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO
EXEMPLOS
1) A distribuição de tensão em um eixo maciço foi esquematizada graficamente
ao longo de três retas radiais arbitrárias como mostrado na figura abaixo.
Determinar o torque interno resultante na seção.
1ksi = 6,895MPa
1 pol = 2,54 cm
2) O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a três
torques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A
( =c=0,75”) e B ( =0,15”), localizados na seção a-a do eixo.
1kip = 4,4487kN
1” = 2,54cm
3) O tubo mostrado na figura tem diâmetro interno de 80mm e diâmetro
externo de 100mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio
em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento
desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte
central do tubo quando são aplicadas forças de 80N ao torquímetro.
ÂNGULO DE TORÇÃO
TL
JG
CONVENÇÃO DE SINAIS
EXEMPLO
1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa
estão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo G=80GPa e que o eixo
tenha diâmetro de 14mm, determinar o deslocamento do dente P da
engrenagem A. O eixo gira livremente no mancal em B.
ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
M
T
x
TA
A/B
TB
0
T A L AC
T B L BC
GJ
GJ
0
EXEMPLO
1) O eixo de aço mostrado na figura tem diâmetro de 20mm. Se for submetido
aos dois torques, quais serão as reações nos apoios fixos A e B?
CAPÍTULO 4 – FLEXÃO
EXEMPLOS
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
FÓRMULA DA FLEXÃO
VALE A LEI DE HOOKE
VARIAÇÃO LINEAR DA DEFORMAÇÃO NORMAL
VARIAÇÃO LINEAR DA TENSÃO NORMAL
E
y
( )
c
máx
M
máx
c
I
M
y
I
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
ORIENTAÇÃO DOS EIXOS
ATENÇÃO AOS SINAIS
EXEMPLOS
1) Para a viga, determinar a tensão de flexão máxima absoluta na viga e
desenhar a distribuição de tensão na seção transversal.
2) A viga abaixo tem área da seção transversal com perfil em U. Determinar a
tensão de flexão máxima que ocorre na seção a-a da viga.
3) O elemento de seção transversal retangular foi projetado para resistir a um
momento de 40 N.m. A fim de aumentar sua resistência e rigidez, propõe-se
acrescentar duas pequenas nervuras na sua parte inferior. Determinar a tensão
normal máxima no elemento para ambos os casos.
FLEXÃO ASSIMÉTRICA
ATÉ O MOMENTO:
NOVA SITUAÇÃO:
Momento fletor não aplicado no eixo neutro
M
Iz
z
M
y
y
Iy
z
ORIENTAÇÃO DO EIXO NEUTRO
=?
y
=0
M yIz
z Como M
M zIy
y
(
Iz
tg ) z
Iy
y
Como tg
tg
Iz
Iy
z
tg
z
M cos
e M
y
M sen
EXEMPLOS
1) A seção transversal retangular mostrada na figura está sujeita a um momento
fletor M=12 kN.m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da
seção e especifique a orientação do eixo neutro.
2) Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15kN.m, como mostra a
figura. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo
neutro.
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
VQ
Ib
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES
EXEMPLOS
1) A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma força
cortante (cisalhamento) resultante V=3kN. Determine (a) a tensão de
cisalhamento na viga no ponto P e (b) a tensão de cisalhamento máxima na
viga.
2) Uma viga I de aço tem as dimensões mostradas na figura. Se for submetida a
uma força de cisalhamento V=80kN, (a) trace uma curva da distribuição da
tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga.
CARGAS COMBINADAS
EXEMPLO
1) Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura.
Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
2) O bloco retangular de peso desprezível mostrado na figura está sujeito a uma
força vertical de 40kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da
tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD.