Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie
Departamento de Engenharia Elétrica
Problemas
Problemas resolvidos
resolvidos –– Tensões
Tensõesde
deOrigem
OrigemTérmica
Térmica
EXEMPLO 1 (Beer, p.108, ex. 2.6) A barra de aço é perfeitamente ajustada
aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25οC. Determinar as
tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para temperatura de −50οC,
e verificar se ocorrerá risco de escoamento do material. Usar E= 200 GPa,
σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC.
400mm 2
800mm 2
300mm
300mm
Unidades consistentes: N / mm / MPa (=N/mm2)
400mm 2
RA
800mm 2
A
B
RB
B
RB
C
300mm
300mm
400mm 2
RA
800mm 2
A
C
300mm
300mm
Equação de Equilíbrio:
ΣH = 0
+
−R A + RB = 0
R A = RB = R
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Artifício: Princípio da Superposição dos Efeitos
400mm 2
800mm 2
A
B
C
300mm
300mm
T +δT
δAC
CB
A
R
A
T
T
δ T = δ AC
+ δ CB
= L AC ⋅ α ⋅ ∆T + L CB ⋅ α ⋅ ∆T
δ T = ( 300 + 300 ) ⋅ 0,000012 ⋅ ( − 50 − 25) = −0,54 mm
Equação de Compatibilidade:
δ = δT
R ⋅ L AC R ⋅ LCB
+
= δT
E ⋅ AAC E ⋅ ACB
R ⋅ 300
R ⋅ 300
+
= 0,54
200000 ⋅ 400 200000 ⋅ 800
R = 96000 N
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400mm 2
800mm 2
96 kN
96 kN
A
C
B
96
Diagrama
forças normais
N (kN)
+
A
C
B
240
A
Diagrama
tensões normais
σ (MPa)
120
+
+
C
B
σ AC =
NAC 96000
=
= 240 MPa < σ Y = 250 MPa ( não escoou !!!)
AAC
400
σCB =
NCB 96000
=
= 120 MPa < σ Y = 250 MPa ( não escoou !!!)
ACB
800
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EXEMPLO 2 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de
aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos
anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Determinar as tensões
atuantes no aço e no latão para temperatura de + 50οC, e verificar se
ocorrerá risco de escoamento dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa,
σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e
α=0,000020/ οC.
φ = 40mm
φ = 30mm
AÇO
A
LATÃO
B
C
300mm
200mm
Resp: δT = +0,19 mm ; R = 48864 N ; σaço = 38,9 MPa ;
σlatão = 69,1MPa (escoou ! ! ! ) compressão
EXEMPLO 3 (Beer, p.117, prob. 2.38 modif.) Duas barras cilíndricas, uma de
aço e outra de latão são ligadas em C e perfeitamente ajustadas aos
anteparos fixos quando a temperatura é de + 25οC. Qual a máxima
temperatura que poderá ser atingida para que não ocorra o escoamento
dos materiais. Utilizar para o aço E= 200 GPa, σY= 250 MPa e α=0,000012/ οC
e para o latão E= 105 GPa, σY= 65 MPa e α=0,000020/ οC.
φ = 40mm
φ = 30mm
AÇO
A
LATÃO
B
C
300mm
200mm
Resp: T max = 48,5 oC
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EXEMPLO 4 (Beer, p.122, prob. 2.57) Uma barra composta de duas porções
cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB
é de latão (E=105 GPa; α= 20,9 x 10−6/oC) e a porção BC é de aço (E=
200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem
tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC,
por uma temperatura aumentada de 30oC; (b) a correspondente deflexão
no ponto B.
A
LATÃO
φ = 75mm
760mm
B
AÇO
φ = 50mm
1000mm
Resposta: (a) σAB= −44,8 MPa ;
σBC= −100,7 MPa
(b) δB= 0,153 mm (↓)
C
EXEMPLO 5 (Beer, p.122, prob. 2.58) Uma barra composta de duas porções
cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB
é de aço (E=200 GPa; α= 11,7 x 10−6/oC) e a porção BC é de latão (E= 105
GPa; α= 20,9 x 10−6/oC). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem
tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC,
por uma temperatura de 50oC; (b) a correspondente deflexão no ponto B.
A
AÇO
φ = 30mm
250mm
B
LATÃO
φ = 50mm
300mm
C
Resposta: (a) σAB= −201,8 MPa ;
σBC= −72,6 MPa
(b) δB= 0,106 mm (↑)
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EXEMPLO 6 (Beer, p.118, prob. 2.43)
EXEMPLO 7 (Beer, p.124, prob. 2.63)
EXEMPLO 8 (Beer, p.124, prob. 2.62)
EXEMPLO 9 (Beer, p.124, prob. 2.64)
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EXEMPLO 10 (Beer, p.120, prob. 2.49)
EXEMPLO 11 (Beer, p.123, prob. 2.61)
EXEMPLO 12 (Beer, p.124, prob. 2.65)
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EXEMPLO 13 (Beer, p.117, prob. 2.38)
Respostas dos principais problemas
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