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Capítulo 1
Carga axial
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
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Resistência dos Materiais II
Estruturas III
1.1 - Revisão
Definição de deformação e de tensão:
P



A
L
Da Lei de Hooke:
 P1 P
  E
 

E A E EA
Temos para o deslocamento:

Barra homogênea BC, de comprimento
L e seção uniforme de área A,
submetida a uma força axial centrada P
PL
EA
Com variações de carga, seção transversal
ou propriedades dos materiais,
Pi Li
 
i Ei Ai
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Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento;
e negativos causarão compressão e contração.
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1.2-Problemas hipestáticos
Barra sob carga axial fixada em uma única extremidade:
Isostático
Este problema é isostático, porque apenas as equações de equilíbrio
disponíveis são suficientes para determinar as reações de apoio.


  Fx  0:  R A  P2  P1  0
RA  P1  P2
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Hiperestático
Barra sob carga axial fixada nas
duas extremidades:
Neste caso o problema é
hiperestático, porque apenas as
equações de equilíbrio não
suficientes para determinar as
reações de apoio.
   F y  0: FA  FB  P  0
FA  FB  P (1)
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1.3-Equação de compatibilidade
É preciso criar uma equação adicional que
leva em conta a maneira como a estrutura se
deforma.
Este tipo de equação é chamado de equação
de compatibilidade (ou condição cinemática).
A  0
B  0
Neste problema como as extremidades A e
B são fixas, tem-se que o deslocamento
relativo entre A e B deve ser nulo.
 AB  0
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Equação de compatibilidade:
 AB   AC   CB  0
N AC .LAC NCB .LCB
 AB 

0
E. A
E. A
FA.LAC  FB .LCB

0
E. A
E. A
LAC
FB 
FA (2)
LCB
Substituindo (2) em (1):
FA  FB  P (1)
L
L
FA  CB P e FB  AC P
L
L
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Procedimento de análise:
1. Desenhar um diagrama de corpo livre da
estrutura, indicando todas as reações de
apoio e forças externas.
2. Aplicar as equações de equilíbrio
disponíveis.
3. Criar uma ou mais equações de
compatibilidade adicionais.
4. Resolver o sistema de equações: equilíbrio +
compatibilidade.
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Exercício de fixação
1)A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determine as reações
desses apoios quando se aplica o carregamento indicado. Eaço = 200 GPa
Respostas: RA=323kN↑ e RB=577kN ↑
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Estruturas III
Exemplo 1A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes
de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste.
Determine as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial
P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa)
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O equilíbrio da haste exige:
   Fx  0;
 FA  FB  20  103  0
(1)
A condição de compatibilidade para a haste é  B / A  0,001 m .
 AB  0,001m 
FALAC FB LCB

AE
AE
0,001AE  FA  0,4m   FB  0,8m 
0,001(m )    0,00252(m 2 )  200  109(N / m 2 )  FA  0,4m   FB  0,8m 
FA  0,4m   FB  0,8m   3.927 N.m
(2)
FA  FB  20  103 (1)
As equações (1) e (2) nos dá FA = 16,6 kN e FB = 3,39 kN
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Exercício de fixação
2)Calcular as reações em A e B, na barra do exercício anterior, supondo que
existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o
carregamento é aplicado. Adotar Eaço = 200 GPa
Respostas RA=784,6kN ↑ RB=115,4kN↑
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Exercícios de fixação:
3) As três barras de aço A-36 mostradas abaixo estão conectadas por
pinos a um elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15kN,
determine a força desenvolvida em cada barra. Cada uma das barras
AB e EF tem área de seção transversal de 25mm2, e a barra CD tem área
de seção transversal de 15mm2. Respostas: FA=9,52kN, FC=3,46kN e
FE=2,02kN
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1.4- Estruturas heterogêneas
quanto aos materiais
Outro tipo de problema estaticamente indeterminado: qual a
deformação da barra e do tubo quando uma força P é aplicada por
meio de uma placa rígida?
P1  P2  P
(1)
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No entanto, a geometria do problema nos mostra que as deformações
 1 e  2 da barra e do tubo devem ser iguais.
1=
P1L
E 1 A1
2 
P2L
E 2 A2
P1
E 1 A1

P2
E 2 A2
(2)
Resolvendo o sistema temos o valor de P1
e P2. Em seguida calculamos a deformação
da barra e do tubo pelas equações de
deslocamento citadas acima.
1
P1
1  =
L E 1 A1
e
2
P2
2  =
L E 2 A2
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Estruturas III
Exemplo 3O poste de alumínio mostrado abaixo é reforçado com um núcleo de latão.
Se este conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante
P=45kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no
alumínio e no latão. Considere E al  70GPa e E lat  105GPa
   F y  0;
 45kN  Fal  Flat  0 (1)
estaticamente indeterminado
 al = lat
FalL
E al Aal

Flat L
E lat Alat
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Fal 
Flat E al Aal
E lat Alat
Fal  2Flat
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2
2
70GPa  (0,05m )  (0,025m ) 
 Flat

105GPa
 (0,025m )2
(2)
Resolvendo o sistema:
Fal  30kN
Flat  15kN
A tensão normal média no alumínio e no latão é:
Fal
30kN
 al 

 5,09MPa
2
2
2
Aal  (0,05  0,0025 )m
 lat
Flat
15kN


 7,64MPa
2
2
A lat  (0,0025 )m
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Exercícios de fixação:
4) A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes
de reforço de aço A-36. Se ela for submetida a uma força axial de
30kip, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste.
Cada uma tem diâmetro de 0,75in.
E conc  4,2(103 )ksi e E aço  29(103 )ksi
Resposta:
 aço  3,14ksi e  conc  0,46ksi
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1.5- Tensões térmicas
A variação de temperatura provoca mudanças nas dimensões de uma
peça estrutural.
Quando a temperatura aumenta a estrutura sofre uma dilatação.
Quando a temperatura diminui a estrutura sofre uma contração.
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Estudos experimentais demonstraram que a
variação de comprimento provocada pela
temperatura em uma barra de material
homogêneo é dada por:
T   .T .L
 = propriedade do material denominada coeficiente de dilatação
térmica dado em 1/oC
T = variação de temperatura em oC
L = comprimento inicial da barra
T = variação algébrica no comprimento da barra
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Se a estrutura for isostática, e a variação de comprimento provocada pela
temperatura for livre, não surgirão tensões causadas pela variação de
temperatura.
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Se a estrutura for hiperestática, a variação de
comprimento da barra provocada pela temperatura
será impedida e surgirão tensões térmicas.
Estas tensões térmicas podem atingir valores
elevados, causando danos à estrutura ou mesmo
provocando sua ruptura.
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Por este motivo, em estruturas de grande porte, como pontes, são feitas
juntas de dilatação, para permitir a livre movimentação térmica da
estrutura.
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Cálculo do efeito da variação térmica em uma estrutura hiperestática
(variação de comprimento impedida).
Para a resolução deste tipo de problema, é possível considerar a
reação do apoio como reação redundante e aplicar o princípio da
superposição
Equação de equilíbrio:
 Fy  0: R A  RB  0
RA  RB (1)
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Equação de compatibilidade:
 AB  0 (2)
Variação de comprimento provocada pela
temperatura:
T   .T .L
Variação de comprimento provocada
reação RA:
R A .L
R 
E. A
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Equação de compatibilidade:
 AB  T   R  0 (2)
RA.L
 AB   .T .L 
0
E. A
RA  E. A. .T  RB
N  E. A. .T
N
 T   E. .T
A
Tensão térmica
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Exemplo 4A barra de aço mostrada na figura está restringida para
caber exatamente entre os dois suportes fixos quando
T1=30°C. Se a temperatura aumentar até T2=60°C,
determinar a tensão térmica normal média desenvolvida
na barra. Usar E=200GPa e   12 106 1/ C .
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   Fy  0: FA  FB  F
 AB  T   F  0
T  TL
F 
FL
AE
FL
TL0
EA
F  T AE
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F  T AE
T =60-30=30°C
A  10mm×10mm=100mm2
F  12  106 1/ C   30C  100mm2  200  103MPa
F  7200N  7,2kN
F 7200N
= 
 72MPa
2
A 100mm
 =-72MPa
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Exercício de fixação:
5) A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a
temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC
e CB da barra para a temperatura de -50°C.
Usar :E=200GPa e   12 106 1/ C
Respostas:
 AC  240MPa
CB  120MPa
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6) Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na
figura. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos
quando a temperatura é T1=70°F, determine a tensão normal média
em cada material quando a temperatura atingir T2=110°F .
alum  12,8  106 1/ F bronze  9,6  106 1/ F açoinox  9,6  106 1/ F
E alum  10,6(103 )ksi
Ebronze  15(103 )ksi Eaçoinox  28(103 )ksi
Respostas:
 alum  2,5ksi  bronze  5,5ksi  açoinox  22,1ksi
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7) Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e outro de
cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de
0,2mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de
30mm, determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 150°C.
alum  24  106 1/ C cobre  17  106 1/ C
E alum  70GPa
Ecobre  126GPa
Resposta:
  185,6MPa
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1.6 - Coeficiente de Poisson
Quando um corpo deformável é alongado em
uma direção, ele sofre uma contração na
direção transversal.
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Quando um corpo deformável sofre um
encurtamento em uma direção, ele sofre
uma expansão na direção transversal.
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Estruturas III
Nos anos de 1800, o cientista francês S. D. Poisson descobriu que a
relação entre a deformação transversal e deformação longitudinal era
constante no regime elástico.
 transversal
 
 longitudinal
Coeficiente de Poisson  (ni)
para alguns materiais:
• Aço: 0,30
• Concreto: 0,20
• Plástico: 0,34
• O valor máximo para  é 0,5.
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A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal
(deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e
vice-versa.
 longitudinal


L
transversal
'

r
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1.7-
Estados Múltiplos de Carregamento –
Generalização da Lei de Hooke
Até agora, nosso estudo se limitou à análise de barras delgadas
submetidas a cargas axiais, isto é, dirigidas ao longo de um eixo
somente.
Tensão normal em cubo elementar
Tensão normal em um elemento plano
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Passamos agora a considerar elementos estruturais sujeitos à ação de
carregamentos que atuam nas direções dos três eixos coordenados,
produzindo tensões normais  x , y e  z .
Temos então um ESTADO MÚLTIPLO DE CARREGAMENTO
OU CARREGAMENTO MULTIAXIAL.
Cubo elementar original de arestas de
comprimento unitário
Cubo elementar deformado
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Para escrevermos as expressões das componentes de deformação em função
das tensões, vamos considerar separadamente o efeito provocado por cada
componente de tensão e superpor os resultados (princípio da superposição).
Considerando em primeiro lugar a tensão  x :
causa uma deformação específica de valor  x / E na direção do eixo x e de
 x / E na direção y e z.
 x  y  z
x  


E
E
E
 x  y  z
y  


E
E
E
 x  y  z
z  


E
E
E
Generalização da Lei de Hooke para
carregamento multiaxial
Lembrando:
Válido para o regime elástico e
deformações pequenas!
Deformação positiva – expansão
Deformação negativa - contração
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1.8-Dilatação volumétrica
Volume :   (1   x )(1   y )(1   z )
Mudança de volume:
e    1  (1   x )(1   y )(1   z )  1
As deformações específicas são muito menores
que a unidade e os produtos entre elas podem
ser desprezados.
e  x   y  z
Dilatação volumétrica específica
Aplicando a Lei de Hooke Generalizada:

 x   y   z  2  x   y   z 
e

E

1  2 

e
E
E
x
 y  z

e
V
V
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Pressão hidrostática uniforme:
z  p
x  y z  p
3(1  2 )
e
p
E
Módulo de elasticidade de volume:
k
E
3(1  2 )
p
e
k
x  p
y  p
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Exercício de fixação:
8) Um círculo de diâmetro d=230mm é desenhado em uma placa de
alumínio livre de tensões de espessura t=20mm. Forças atuando no
plano da placa posteriormente provocam tensões normais  x  84MPa
e  z  140MPa . Para E=70GPa e 𝜈=0,33, determine a variação (a) do
comprimento do diâmetro AB, (b) do comprimento do diâmetro CD,
(c) da espessura da placa e (d) a dilatação volumétrica específica.
Respostas: (a)δAB=122,6μm (b)δCD=368 μm (c) δt=-21,2 μm
(d) 0,00107
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Exercício de fixação:
9) A figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão
uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB,
que foi de -24μm. Determinar: (a) variação do comprimento das outras
duas arestas (b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar
E=200GPa e ν=0,29.
Respostas: (a)δy=-12μm (b)δz=-18 μm (c) p=-142,9MPa
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Exercício de fixação:
10) Um bloco cilíndrico de latão, com 160mm de altura e 120mm de
diâmetro é deixado afundar num oceano até a profundidade onde a
pressão é de 75MPa (cerca de 7500m abaixo da superfície). Sabendose que E=105GPa e ν=0,35, determinar: (a) variação do altura do
bloco (b) sua variação do diâmetro (c) sua dilatação volumétrica
específica (d) variação do volume
Respostas: (a) δh=-34,2μm (b)δd=-25,7 μm (c) e=-6,42(10-4) (d)ΔV=
-1161mm3