(professora Elisabete – [email protected])
A Transformação da Europa de Civilização
Antiga em Civilização Medieval
Os gregos referem-se,
coletivamente, à
Grécia, à Itália, ao
Egito e ao Oriente
Médio como
“Oikoumene” (mundo
habitado civilizado);
O Oikoumene
 Em 525 a.C. os persas conquistaram o Egito o que fez com que
as sociedades agrícolas ocidentais antigas se fundissem
política, social e economicamente;
 A fusão nunca foi total: a cultura egípcia se manteve distinta
da grega assim como a romana da dos árabes e dos judeus;
 No milênio que se seguiu até a queda de Roma a unidade se
manifestou através de coisas como: redes comerciais
partilhadas, sistemas econômicos semelhantes, religiões
relacionadas e muitas vezes uma hegemonia política única.
Civilização de Caráter Expansionista
 O Império Persa levou a cultura do Oriente Médio e do
Egito ao que hoje é o Irã;
 Os gregos colonizaram as costas de Chipre, da Líbia, da
Itália e da França no mar Mediterrâneo e as costas da
Turquia e da Rússia no mar Negro;
 Os romanos estenderam a civilização ocidental para o
resto da Itália e da França, noroeste da África, Espanha e
Inglaterra.
O Início do Império Romano
A história de Roma Antiga é fascinante em função da
cultura desenvolvida e dos avanços conseguidos por
esta civilização. De uma pequena cidade, tornou-se um
dos maiores impérios da antiguidade. Dos romanos,
herdamos uma série de características culturais. O
direito romano, até os dias de hoje está presente na
cultura ocidental, assim como o latim, que deu origem
a língua portuguesa, francesa, italiana e espanhola.
Origens de Roma e Monarquia Romana
(753 a.C a 509 a.C)
 Explicação Mitológica: Rômulo e Remo;
 Explicação Histórica: de acordo com os historiadores, a
fundação de Roma resulta da mistura de três povos que foram
habitar a região da península itálica: gregos, etruscos e
italiotas;
 Economia baseada na agricultura e nas atividades pastoris;
 A sociedade era formada por patrícios (nobres proprietários
de terras) e plebeus (comerciantes, artesãos e pequenos
proprietários);
Origens de Roma e Monarquia Romana
(753 a.C a 509 a.C)
 O sistema político era a monarquia, já que a cidade era
governada por um rei de origem patrícia;
 A religião era politeísta, adotando deuses semelhantes
aos dos gregos, porém com nomes diferentes;
 Nas artes destacava-se a pintura de afrescos, murais
decorativos e esculturas com influências gregas.
Formação e Expansão do Império
Romano
 Após dominar toda a península itálica, os romanos partiram para as conquistas
de outros territórios. Com um exército bem preparado e muitos recursos,
venceram os cartagineses nas Guerras Púnicas (séc. III a.C). Esta vitória foi
muito importante, pois garantiu a supremacia romana no Mar Mediterrâneo.
Os romanos passaram a chamar o Mediterrâneo de Mare Nostrum.
 Após dominar Cartago, Roma ampliou suas conquistas, dominando a, Grécia, o
Egito, a Macedônia, a Gália, a Germânia, a Trácia, a Síria e a Palestina.
 Com as conquistas, a vida e a estrutura de Roma passaram por significativas
mudanças. O império romano passou a ser muito mais comercial do que
agrário. Povos conquistados foram escravizados ou passaram a pagar impostos
para o império.
O Império Romano
Pão e Circo
Com o crescimento urbano vieram
também os problemas sociais para
Roma. A escravidão gerou muito
desemprego na zona rural, pois
muitos camponeses perderam seus
empregos. Esta massa de
desempregados migrou para as
cidades romanas em busca de
empregos e melhores condições de
vida.
Receoso de que pudesse acontecer alguma revolta de desempregados, o imperador
criou a política do Pão e Circo. Esta consistia em oferecer aos romanos alimentação
e diversão. Quase todos os dias ocorriam lutas de gladiadores nos estádios (o mais
famoso foi o Coliseu de Roma), onde eram distribuídos alimentos. Desta forma, a
população carente acabava esquecendo os problemas da vida, diminuindo as
chances de revolta.
A divisão do Império Romano
 Teodósio foi o último imperador a reinar sobre todo o império. Após sua
morte em 395, seus dois filhos Arcádio e Honório herdaram as duas
metades: Arcádio tornou-se governando no Oriente, com a capital em
Constantinopla, e Honório tornou governante no Ocidente, com a capital
em Mediolanum (atual Milão), e mais tarde em Ravenna.
 O estado romano continuaria com dois diferentes imperadores no poder
até o século V, embora os imperadores orientais se consideravam
governantes do todo.
 O latim era usado nos documentos oficiais tanto, se não mais, que o
grego. As duas metades eram nominalmente, cultural e historicamente,
se não politicamente, o mesmo estado.
A divisão do Império após a morte de Teodósio Í, ca. 395 d.C.
sobreposta em fronteiras modernas.
██ Império Romano do Ocidente.
██ Império Romano do Oriente.
Fim do Império Romano
 O Império Romano do Ocidente sofreu invasão dos
povos bárbaros e, já enfraquecido internamente, caiu
em 476 com a deposição do imperador Rômulo
Augústulo.
 Outros reis estabeleceram-se em Roma, embora não
mais usassem o título de "Imperador Romano".
 O Império Oriental, com capital em Constantinopla,
continuou a existir por quase mil anos, até 1453.
As Invasões Bárbaras
 Dá-se o nome de invasões bárbaras à série de migrações de vários
povos que ocorreu entre os anos 300 a 900 a partir da Europa
Central e que se estenderia a todo o continente.
 A referência aos bárbaros, nome cunhado pelos gregos e que em
grego antigo significava apenas estrangeiro, foi usada pelos
Romanos para designar os povos que não partilhavam os seus
costumes e cultura (nem a sua organização política),pode induzir
alguns leitores, incorrectamente, na hipótese que as migrações
implicaram violentos combates entre os migrantes e os povos
invadidos, mas isso nem sempre ocorreu.
Início da Idade Média
 Habitando as regiões fronteiriças ao Império Romano, os povos
bárbaros foram penetrando os territórios de Roma em um
processo lento e gradual;
 Inicialmente os imperadores romanos realizavam acordos, pelos
quais os bárbaros ganharam o direito de habitar essas regiões.
Em troca, eles defendiam a fronteira da invasão de outros povos;
 Somente nos séculos IV e V que esse processo de invasão ganhou
feições mais conflituosas. Com a pressão exercida pelos tártaromongóis (hunos), os povos bárbaros começaram a intensificar o
processo de invasão do Império Romano.
Influência das Invasões Bárbaras na
Europa
 O Oeste se dividiu em duas áreas culturais muito distintas: o
mundo árabe-iraniano e a Europa;
 Partição da Europa em: ocidente germânico-latino e oriente
greco-eslávico (existente até hoje);
 Deslocamento gradual do centro político e cultural da
Europa: de Grécia e Roma para França, Inglaterra, Países
Baixos, Alemanha, Escandinávia, Polônia e Russia;
 Os grandes impérios deram lugar para baronatos feudais;
Influência das Invasões Bárbaras na
Europa
 Escravos e pequenos proprietários rurais foram substituídos por servos;
 Intelectuais e inventores deixaram de se interessar pela ciência pura e a
matemática e voltaram suas energias mais e mais para a engenharia e a
religião;
 Os “bárbaros” germanos e eslavos estabelecem o feudalismo no século V
d.C.;
 Com a derrocada do poder civil romano, a igreja católica alcança uma
importância crescente;
 Em 529 é fechada a Academia de Atenas, a única escola oriental de ciência
e filosofia remanescente.
A sociedade Feudal
 Por volta de 950 é estabelecido um segundo Sacro
Império Romano que, salvo exceções, tinha seus
imperadores como figuras decorativas eleitos pelos
vários senhores e barões germânicos;
 O Sacro Império Romano firmou a Alemanha como o
centro cultural e comercial do oeste europeu medieval,
o que perdurou, pelo menos nominalmente até 1806
com as invasões napoleônicas;
A sociedade Feudal
 A maior parte da população se constituía de camponeses pobres,
ou servos, que legalmente tinham a obrigação de cultivar as terras
dos senhores e pagar pelo seu uso com uma parte da colheira;
 Teoricamente, os senhores eram vassalos de um rei ou do Sacro
Império Romano;
 Havia uma classe média urbana formada de mercadores e artesãos;
 A ascensão social era mínima e a única porta de entrada para a
aristocracia era o berço;
 A instrução dos barões e duques era bastante reduzida, poucos
eram intelectuais esclarecidos.
O Poder da Igreja Católica na Idade
Média
 O Papa exercia suas funções na cidade de Roma, assistido por uma
burocracia integrada;
 Nas principais cidades, os interesses da Igreja eram fiscalizados pelos
bispos;
 A cidade de Roma e suas cercanias eram um reino independente
governado pelo Papa;
 A igreja era proprietária de bens patrimoniais vultosos em toda a Europa
Ocidental e alguns de seus bispos participavam da eleição dos
imperadores sacro-r0manos que, significativamente, até o século XVI,
eram coroados pelo próprio Papa.
A Educação na Idade Média
 Toda região rural da Europa Ocidental estava pontilhada de monastérios,
conventos e instituições religiosas engajadas nos misteres da Igreja;
 Os monastérios eram os únicos locais da Europa Ocidental onde se cultivava o
saber;
 Os monges consideravam o estudo da ciência incompatível com a religião e a
filosofia e preferiam estudar estas duas últimas;
 A Idade Média produziu vários teólogos afamados, mas quase não produziu
nenhum cientista ou matemático;
 O homem medieval tinha muita habilidade para a engenharia que usavam para
construir catedrais imensas e graciosas, porém não tinham formação universitária
plantada na ciência pura. Eles eram artesãos e mecânicos de parcos
conhecimentos teóricos.
A Matemática na Europa de 500 a 1600
 Os romanos nunca tiveram inclinação para a matemática abstrata
se interessando apenas por aspectos práticos dessa ciência;
 Durante a Idade Média, afora a elaboração do calendário cristão,
muito pouca matemática foi feita;
 Dentre as pessoas a quem se creditam, com muito boa vontade, um
certo papel na história da matemática na Baixa Idade Média (da
queda do Império Romano, na metade do século V, até o século XI)
estão: Boécio, Beda, Alcuino e Gerbert (que se tornou o papa
Silvestre II).
Anício Mânlio Torquato Severino Boécio
(Roma 475 – 524)
Anício Mânlio Torquato Severino Boécio
(Roma 475 – 524)
 Seus livros de geometria e aritmética foram adotados , por
muitos séculos nas escolas monásticas;
 Embora muito fracos, esses trabalhos acabaram se
constituindo no sumo do conhecimento matemático na
Baixa Idade Média;
 A geometria de Boécio se resume ao enunciado das
proposições do livro I e numa proposições escolhidas dos
livros III e IV dos Elementos de Euclides, juntamente com
algumas aplicações à mensuração;
Anício Mânlio Torquato Severino Boécio
(Roma 475 – 524)
 Sua aritmética se baseava na de Nicômano escrita quatro
séculos antes, um trabalho enfadonho e meio místico;
 Há quem defenda que pelo menos parte da geometria é
espúria;
 Boécio tornou-se o fundador da escolástica medieval;
 Devido a seus ideais elevados e integralidade rígida teve
problemas políticos, após ser preso e condenado, sofreu
morte cruel, razão pela qual foi proclamado mártir da igreja.
Beda Venerabilis
(673 – 735)
 Nascei em Northumberland,
Inglaterra ;
 Foi um dos maiores eruditos da Igreja
nos tempos medievais e sua vasta obra
inclui alguns trabalhos de matemática;
 Podemos destacar um tratado sobre o
calendário e outro sobre a contagem
com os dedos.
Santo Alcuíno de York
(735 – 804)
Santo Alcuíno de York
(735 – 804)
 Nasceu em Yorkshire, Inglaterra;
 Foi convidado por Carlos Magno para desenvolver seu
ambicioso projeto educacional;
 Escreveu sobre muitos tópicos matemáticos;
 Consta como sendo dele (embora haja dúvidas a respeito)
uma coleção de problemas em forma de quebra-cabeça que
exerceu muita influência nos autores de textos escolares
por muitos séculos.
Gerbert de Aurillac
(950 – 1003)
Gerbert de Aurillac
(950 – 1003)
 Nasceu em Auvergne, França;
 Em 999, foi eleito papa e usou o nome de Silvestre II;
 Foi um dos primeiros cristãos a estudar nas escolas muçulmanas da
Espanha;
 Há indícios que ao retornar tenha introduzido na Europa cristã os
algarismos indo-arábicos (sem o zero);
 Atribui-se a ele a construção de ábacos, globos terrestres e celestes, um
relógio e, talvez, um órgão;
 Considerado um erudito profundo, escreveu sobre astrologia, aritmética e
geometria, embora sua obra matemática seja de pouco valor.
O Período de Transmissão
 Pela época de Gerbert começaram a penetrar na Europa os clássicos gregos de
ciência e matemática;
 Seguiu-se um período de transmissão durante o qual o saber grego, preservado
pelos muçulmanos, foi passado para os europeus ocidentais;
 As traduções se faziam mais freqüentemente do árabe para o latim, mas havia
também algumas do hebreu para o latim e do árabe para o hebreu e algumas,
mesmo, do grego para o latim;
 Em 1085, os cristãos retomaram Toledo dos mouros e houve um influxo de
intelectuais cristãos rumo àquela cidade, visando adquirir o saber muçulmano;
 Coisa semelhante aconteceu em outros centros mouros da Espanha, o que faz
com que o século XII, na história da Matemática, seja conhecido como um século
de tradutores.
Adelardo de Bath
(1080 – 1152)
Adelardo de Bath
(1080 – 1152)
 Monge nascido na Inglaterra;
 Um dos primeiros intelectuais a se engajar na tarefa das
traduções;
 Esteve na Espanha entre 1126 e 1129 e viajou extensamente pela
Grécia, Síria e pelo Egito;
 Atribui-se a ele as traduções latinas dos Elementos de Euclides e
das tábuas astronômicas de Al-Khowârizmî;
 Conta-se que teria se disfarçado de estudante árabe para
conseguir chegar à aquisição do conhecimento graduado árabe.
Savasorda
(Abraham bar Hiyya) (1070 – 1136)
Savasorda
(Abraham bar Hiyya) (1070 – 1136)
 Matemático judeu nascido em Barcelona;
 Seu livro Geometria Prática, escrito em hebreu, foi
traduzido para o latim por Platão de Tivoli, provavelmente
num trabalho conjunto com o autor;
 Foi através dessa obra que o Ocidente teve conhecimento,
pela primeira vez, da solução completa da equação
quadrática, o que provocou grande impacto.
A Ilha de Sicília
A Ilha de Sicília
 Foi um ponto de encontro do Oriente com o Ocidente
 Inicialmente era uma colônia grega, depois tornou-se parte do
Império Romano. Ligou-se a Constantinopla com a queda de
Roma. Esteve nas mãos dos árabes por quase 50 anos. No
século IX, foi recapturada pelos gregos e então passou para as
o controle dos normandos;
 No último período era comum as línguas grega, árabe e latina;
 Enviados diplomáticos constantemente viajavam para
Constantinopla e Bagdá trazendo e traduzindo para o latim
muitos manuscritos gregos e árabes.
Período de Transmissão
(950 a 1500)
 Período de disseminação dos numerais indo-arábicos pela Europa;
 Dentre as primeiras cidades a estabelecer relações mercantis com o
mundo árabe estavam os centros comerciais italianos de Gênova,
Pisa, Veneza, Milão e Florença;
 Os mercadores italianos entraram em contato com grande parte da
civilização oriental da qual captaram informações aritmética e
algébricas úteis;
 Esses mercadores tiveram um papel importante na disseminação
dos numerais indo-arábicos .
 Nesse período a Espanha tornou-se o mais importante elo de
ligação entre o islamismo e o mundo cristão.
Rotas de Transmissão do Saber Grego e
do Saber Hindu Antigos para a Europa
Ocidental
Europa Ocidental
Pérsia
Grécia
Sicília
Bagdá
Índia
Espanha
Norte da África
Leonardo Fibonacci
(1175 – 1250)
Leonardo Fibonacci
(1175 – 1250)
 O matemático mais talentoso da Idade Média;
 Também conhecido por Leonardo de Pisa (ou Leonardo de Pisano);
 Leonardo Fibonacci era Leonardo, filho de Bonaccio;
 Nasceu em Pisa, importante centro comercial onde seu pai era ligado aos
negócios mercantis;
 Recebeu parte da sua educação em Benjaia, norte da África;
 As atividades do pai despertaram no garoto um interesse pela aritmética;
 Fez extensas viagens ao Egito, à Sicília, à Grécia e à Síria, onde pode entrar
em contato direto com os procedimentos matemáticos orientais e árabes;
 Em 1202, convencido da superioridade dos métodos indo-arábicos,
escreveu sua famosa obra Liber Abaci.
Outras Obras de Fibonacci
 1220 – Pratica Geometriae
 1225 – Liber Quadratorum
 1225 - Flos (“floração” ou “flor”)
Sentença de Abertura do Liber Abaci de Fibonacci (1202)
• Estes são os nove algarismos indianos:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
• Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os árabes
chamam de zephirum, pode-se escrever qualquer
número, como se demonstrará a seguir.
Matemática no Século XIV
 Século da Peste Negra que varreu
mais de um terço da população da
Europa;
 Século relativamente estéril,
matematicamente falando;
 Neste século aconteceu a maior
parte da Guerra dos 100 anos (1337 –
1453) que provocou grandes
transformações políticas e
econômicas no norte da Europa.
Nicole Oresme
(1323 – 1382)
Nicole Oresme
(1323 – 1382)
 Maior matemático do Século XIV;
 Nasceu na Normandia;
 Sua carreira foi do magistério ao bispado;
 Escreveu cinco trabalhos matemáticos e traduziu algo de Aristóteles;
 Num dos seus opúsculos encontra-se o primeiro uso conhecido de
expoentes fracionários;
 Noutro, faz a localização de pontos por coordenadas, antecipando a
Geometria Analítica;
 Um século mais tarde, esse último trabalho teria várias edições
influenciando Matemáticos renascentistas e até mesmo Descartes.
 Num dos seus manuscritos obteve a soma da série
faz dele um dos precursores do cálculo infinitesimal.
o que
Thomas Bradwardine
(1290 – 1349)
 Ao falecer era arcebispo de
Canterbury;
 Foi mais matemático no sentido
convencional;
 Fez especulações sobre os
conceitos básicos de contínuo e
discreto e infinitamente grande e
infinitamente pequeno;
 Além disso, escreveu quatro
opúsculos sobre aritmética e
geometria.
O Século XV
 Início do Renascimento Europeu na arte e no saber;
 1453: Queda de Constantinopla e afluxo de refugiados para
a Itália;
 Entrada dos clássicos gregos no Ocidente. Essas obras, até
então, só eram conhecidas pelas traduções (nem sempre
fiéis)árabes e a partir de então passam a ter os originais
acessíveis aos europeus do Ocidente;
 Na metade do século é inventada a imprensa de tipos
móveis e começa a comercialização de livros o que ajuda a
disseminar o conhecimento mais rapidamente;
O Século XV
 Ao final do século a América já havia sido descoberta e logo
se faria a circunavegação da Terra;
 A atividade matemática centrou-se nas cidades italianas e
nas cidades de Nuremberg, Viena e Praga na Europa
Central e girou em torno da aritmética, da álgebra e da
trigonometria;
 A matemática floresceu principalmente nas cidades
mercantis em desenvolvimento, sob a influência do
comércio, da navegação, da astronomia e da agrimensura.
Nicholas Cusa
(1401 – 1464)
Nicholas Cusa
(1401 – 1464)
 Nascido em Cuers, junto ao Rio Mosela;
 Filho de um pescador pobre chegou a cardeal na Igreja;
 Em 1448 tornou-se governador de Roma;
 Realizou um trabalho na reforma do calendário;
 Fez tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo.
Greg von Peurbach
(1423 – 1463)
 Ex-aluno de Nicholas Cusa e matematicamente superior a esse;
 Ensina matemática na Itália e depois se estabelece em Viena,
fazendo da universidade local o centro matemático de sua
geração;
 Escreveu uma aritmética, alguns trabalhos de astronomia e
coligiu uma tábua de senos;
 A maioria dos seus trabalhos só foram publicados após a sua
morte;
 Iniciou uma tradução latina do grego Almagesto de Ptolomeu.
Johann Müller
(1436 – 1476)
Johann Müller
(1436 – 1476)
 Conhecido como Regiomontanus;
 Nasceu em Königsburg (“montanha do rei”);
 Estudou com Peurbach em Viena e mais tarde completou a
tradução do Almagesto iniciada por este;
 Traduziu, também do grego para o latim trabalhos de Apolônio,
Herão e Arquimedes;
 A mais importante de suas obras é o tratado De triangulis omni
modis, escrito por volta de 1464 e publicado em 1533. Trata-se da
primeira exposição européia sistemática da trigonometria plana e
esférica, num tratamento independente da astronomia;
Johann Müller
(1436 – 1476)
 Em 1471 se estabeleceu em Nuremberg, onde montou um
observatório, instalou uma prensa tipográfica e escreveu
alguns trabalhos de astronomia;
 Em 1475 é convidado pelo Papa Sisto IV para participar da
reforma do calendário se estabelecendo em Roma onde
morre pouco tempo depois aos 40 anos oficialmente
vitimado pela peste, mas há rumores que tenha sido
envenenado por um inimigo.
Nicolas Chucket
(1445 - 1488)
Nicolas Chucket
(1445 - 1488)
 O mais brilhante matemático francês de século XV;
 Nasceu em Paris, mas viveu e se dedicou à medicina em Lyon;
 Em 1484 escreveu uma aritmética intitulada Triparty em la science des
nombres que só foi publicada no século XIX;
 Esse trabalh0 era dividido em três partes: cálculo com números racionais,
cálculo com números irracionais e teoria das equações;
 Ele admitia expoentes inteiros, positivos e negativos e parte da sua
álgebra era sincopada;
 Seu trabalho era demasiado avançado para a época, razão pela qual
acabou não exercendo praticamente nenhuma influência sobre os seus
contemporâneos.
Lucca Paccioli
(1445 – 1509)
Lucca Paccioli
(1445 – 1509)
 Frade franciscano nasceu em Sansepulcro na Itália;
 Escreveu a obra Summa de arithmetica, geometrica,
proportioni et proportionalita, comumente conhecida por
Süma;
 Esta obra é uma compilação simples de muitas fontes que
pretendia ser um sumário da aritmética, da álgebra e da
geometria da época;
 Embora tenha pouco que não se encontre no Liber abaci de
Fibonacci, emprega uma notação superior.
A Obra Süma
 Na parte aritmética tem algoritmos para as operações fundamentais
e a extração da raiz quadrada;
 A aritmética mercantil é focalizada extensamente e ilustrada com
várias problemas;
 A regra da falsa posição é discutida e aplicada;
 A álgebra chega até equações quadráticas com problemas que levam
a essas equações;
 Usa a álgebra sincopada usando as abreviações: p (piu) = mais, m
(meno) = menos, co (cosa) = incógnita, ce (censo) = x². cu (cuba) =
x³ e cece (censo-cens0) =
igualdade.
, ae (aequalis) às vezes indicava
A Obra Süma
 Tem pouca coisa que interesse de geometria;
 Usava a álgebra na resolução de problemas geométricos;
 Depois da Süma, a álgebra, que por dois séculos fora
negligenciada, experimentou um crescimento intenso na Itália,
progredindo também na Alemanha, na Inglaterra e na França;
 Em 1509 Paccioli publicou sua “De divina proportione” com
ilustrações dos sólidos regulares desenhados por Leonardo da
Vinci durante o tempo em que ele recebeu lições de matemática de
Paccioli.
O Método da Falsa Posição
 O método da falsa posição foi empregado para resolver
equações lineares a partir de um "chute inicial".
 Neste período a incógnita x era chamada de "aha" e o
método consistia da escolha de um número arbitrário como
valor para x. A partir deste valor a "expressão à esquerda"
era computada e seu resultado comparado ao "lado direito"
da mesma. Para finalizar, calculava-se um fator de correção
para obter o valor correto para a incógnita x satisfazer a
expressão original.