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Prova da UFSM - 07/12/2012 - PS1
01. O turismo é uma atividade econômica muito importante em várias cidades brasileiras. Supõese que, numa determinada cidade, o número de turistas, em milhares, pode ser representado por
Com t = 0 correspondendo a 2000, t = 1, a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo,
qual é, em milhares, o número máximo de turistas nessa cidade?
a) 50,2.
b) 59,8.
c) 63,0.
d) 69,8.
e) 109,0.
Resolução:
Veja que N(t) representa o número de turistas, em função do ano. Para obter o número máximo
de turistas, precisamos encontrar o valor máximo da função, ou seja, o y do vértice. Analisando
o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o número de turistas em função do tempo
descreve um arco de parábola com concavidade para baixo.
É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:
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Temos:
02. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5%
ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões
de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano
anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo
t (em anos), por V = 6,775(1,05)t - 1 com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por
diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,5 bilhões de dólares?
Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02
a) 2015.
b) 2016.
c) 2020.
d) 2025.
e) 2026.
Resolução:
Na função exponencial dada, temos que encontrar o tempo para que o valor movimentado pelo
Ecoturismo seja igual a 13,5 bilhões de dólares. Para isso, vamos substituir V por este valor.
Assim:
Para obtermos o t, teremos que aplicar logaritmo nos dois membros da equação exponencial
resultante. Assim:
log 2 = log (1,05)t - 1
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Utilizando uma das propriedades dos logaritmos (log an = n.loga), vem:
log 2 = (t - 1)log 1,05.
Veja que o log 2 é igual a 0,3 e o de log 1,05 vale 0,02. Logo:
0,3 = (t - 1)0,02
Resolvendo, temos:
Veja que o tempo t = 1, corresponde a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Este percentual de
crescimento, expresso pela função exponencial dada, incide sobre a movimentação do ano anterior, ou
seja, no t = 1, este valor será em relação a 2010. Logo, o valor de 13,5 bilhões de dólares será
movimentado em 2010 + 16 = 2026.
03. Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), em dezembro de 2008, foram
registrados, no setor de turismo (ACTs - Atividade Características de Turismo), 879.003
empregos formais. Já na economia como um todo (incluindo setores estatutários e militares),
esse número foi de 30.862.772. De acordo com os dados, a razão entre o número de empregos
formais na economia como um todo e em ACTs é igual a
a) 9/316.
b) 10/351.
c) 158/45.
d) 351/10.
e) 316/9.
Resolução:
Razão significa divisão. Logo, a ordem dos termos da divisão é importante. Na pergunta, a razão
é entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs, nesta ordem.
Logo, pelos valores apresentados no texto da perguta, temos:
Veja que o resultado é uma dizíma periódica simples. Dentre as alternativa apresentadas, a que pode
representar uma dízima periódica simples é a letra c ou a letra e, pois possui denominadores 45 e 9. No
entanto, pelo valor encontrado na divisão, a letra correta é a letra e, ou seja, 316/9.
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Outra forma de encontrar a resposta é analisar as alternativas. Veja que a razão possui o numerador
muito maior que o denominador. Logo, a fração resultante simplificada, deve possuir essa mesma
condição. Com isso, dava para eliminar as alternativas a e b. A letra d poderia ser eliminado por outra
condição: como o denominador 879.003 não é divisível por 10, não poderíamos ter como fração 351/10.
Sobraria as letras c e e. Mas veja que a razão 30862772/879003 apresenta o numerador muito maior que
o denominador (dá prá ver que mais do 10 vezes). No entanto, a fração 158/45 apresenta o numerador
pouco maior que o denominador (dá prá ver que menos do que 4 vezes). Dessa forma, sobraria como
única alternativa a letra e.
04. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas
estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande
parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a
uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.
Fonte: Disponível em http://www.copa2014.gov.br. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado)
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção
para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero – Empresa
Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for
igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.
Resolução:
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O ponto de interseção das retas nos diz que função capacidade (C) é igual a função demanda (D).
Logo, teremos que encontrar as leis das funções capacidade e demanda. Como os gráficos são
retas, essas funções são do tipo y = ax + b (função afim). Para encontrar esse ponto de interseção
devemos determinar as leis dessas funções.
Função capacidade (C):
Veja que esta reta possui os pontos (0; 4) e (4; 8), supondo que o ano de 2010 seja x = 0 e o ano
de 2014, x = 4. Do ponto (0, 4) temos b = 4. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente
a. Logo:
8 = a.4 + 4 → a = 1. Assim, a função capacidade é y = x + 4 (C), onde x é o tempo e y o número
de passageiros.
Função demanda (D):
Veja que esta reta possui os pontos (0; 6,7) e (4; 7,2).
Do ponto (0; 6,7) temos b = 6,7. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo:
7,2 = a.4 + 6,7 → a = 1/8. Assim, a função capacidade é: y = x/8 + 6,7 (D).
Queremos encotrar o y, que representa o número de passageiros. Vamos isolar x na função
capacidade (C) e substituir na função demanda (D). Assim:
Este valor é em milhões. Portanto, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à
capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 7,0857 milhões, ou seja, sete milhões,
oitenta e cinco mil e setecentos.
05. O gráfico a seguir mostra a distribuição percentual do valor da produção gerada pelas Atividades
Características do Turismo no Brasil por atividade, em 2007.
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Fonte: Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 15 jun. 2012. (adaptado)
Sabe-se que, em 2007, as Atividades Características do Turismo geraram uma produção de 168,8 bilhões
de reais. Qual é, aproximadamente, em bilhões de reais, a produção gerada pelas Atividades recreativas,
culturais e desportivas?
a) 13,1.
b) 16,0.
c) 22,4.
d) 33,4.
e) 67,4.
Resolução:
Pelo gráfico de setores, vemos que o percentual da produção gerada pelas Atividades recreativas,
culturais e desportivas é igual a 13,27%. Logo, este valor em bilhões de reais é obtido calculando
13,27% de 168,8. Assim:
0,1327 . 168,8 = 22,39. Por aproximação temos 22,4 bihões de reais.
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Prova da UFSM - 2013 - 08/12/12 - PS2
01. Trigonometria
Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a
toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera,
favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.
Suponha que a função
represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Sáude, com
x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março,
maio e julho é igual a
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
Resolução:
Temos que encontrar N(1), referente ao número de pessoas com doenças respiratórias registrado
em janeiro, N(3), referente ao mês de março, N(5), ao mês de maio e N(7), ao mês de julho.
Somando, temos: 126 + 153 + 207 + 234 = 720.
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02. Trigonometria no triângulo
A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz
na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna
ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Dado: √3 = 1,7
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?
a) 2,29.
b) 2,33.
c) 3,16
d) 3,50
e) 4,80.
Resolução:
Como o triângulo não é retângulo (o triângulo é obtusângulo) e conhecemos 2 lados e o ângulo entre
eles, vamos aplicar a lei dos cossenos para conhecermos o lado BC, que iremos simbolizar por x. Assim:
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Portanto, o total do trajeto é: 0,8 + 1 + 1,7 = 3,5 km.
03. Análise Combinatória
As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As
cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que
um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentores que
fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardiácas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4
instrumentadores?
a) 220.
b) 300.
c) 600.
d) 720.
e) 1.200.
Resolução:
Temos que escolher 3 cardiologistas de um total de 5, 1 anestesista de um total de 2 e 4
instrumentores de um total de 6. Como a ordem da escolha não determina uma equipe diferente,
aplicamos combinação simples, ou seja:
Vamos quantificar os grupos de 3 cardiologistas, entre os 5 disponíveis:
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Agora vamos quantificar os grupos de anestesistas. Se são 2 e temos que escolher 1, temos apenas 2
possibilidades, ou seja, C2,1 = 2.
Por fim,vamos ver quantos possibilidades temos de escolher 4 instrumentores de um total de 6:
Como a equipe é formado por cardiologistas e anestesista e instrumentores, multiplicamos as
combinações. Assim:
C5, 3 x C2, 1 x C6,4= 10.2.15= 300.
04. Progressão
A tabela mostra o número de pessoas que procuram serviços de saúde, segundo o local, numa
determinada cidade.
Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se
as seguintes afirmações:
I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão
geométrica de razão 2.000.
II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual
a 112.200.
III. Em 2011, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 827.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
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c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
Resolução:
Afirmação I:
O número de pessoas que procuraram atendimento em Postos e Centros de Saúde cresceu da
seguinte forma, conforme tabela: 2.000, 4.000, 8.000, 16.000, ...
Este crescimento é geométrico, pois a divisão de termos consecutivos resulta sempre num
mesmo valor. Se dividirmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão q desta PG, ou seja:
Logo, a afirmação está errada.
Afirmação II:
O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas cresceu da seguinte forma,
conforme tabela: 4.200, 5.400, 6.600, 7.800, ... .
Este crescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo
valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:
r = a2 – a1 = 5400 – 4200 = 1200.
Para sabermos o total de pessoas de 2001 até 2011, devemos aplicar a fórmula da soma dos termos da
PA. Antes disso, devemos determinar a quantidade de pessoas que procuraram atendimento em 2011, ou
seja, o último termo. Veja, com cuidado, que este termo ocupa a 11ª posição. Assim:
a11 = a1 + 10r → a11 = 4200 + 10.1200 = 4200 + 12000 = 16200.
Agora vamos determinar a soma, usando a fórmula
Como de 2001 a 2011 temos 11 termos, o n = 10, a1= 4200 e a11 = 16200. Assim:
Logo, a afirmação está correta.
Afirmação III:
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O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Odontológicas descresceu da seguinte
forma, conforme tabela: 857, 854, 851, 848, ... .
Este descrescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo
valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:
r = a2 – a1 = 854 – 857 = –3.
Devemos encontrar o número de pessoas em 2011, ou seja, o décimo primeiro termo. Assim:
a11 = a1 + 10 r → a11 = 857 + 10(–3) = 857 – 30 = 827.
Logo, a afirmação está correta.
05. Sistemas Lineares.
Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58 hospitalizações para
tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos para esses pacientes
foi de R$ 39.200,00.
Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$ 450,00,
para a doença B é R$ 800,00 e para a doença C é R$ 1.250,00. Observa-se também que o número
de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a, b e c
representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de
a - b - c é igual a
a) 14.
b) 24.
c) 26.
d) 36.
e) 58.
Resolução:
O número de pacientes com as doenças A, B e C é representado, respectivamente, por a, b e c.
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Logo, c = 12.
Substituindo c = 12 na eq. (III), temos: a = 3.12 → a = 36.
Substituindo c = 12 e a = 36 na eq. (I), temos: 36 + b + 12 = 58 → b = 10.
Portanto: a - b - c = 36 - 10 - 12 = 14.
Prova da UFSM - 2013 - 09/12/12 - PS3
01. Geometria Analítica
O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica,
é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de
combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em
uma estação de energia eólica, os cataventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o gráfico a
seguir.
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Prova comentada
Para que um catavento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o catavento C1 e com o ponto
médio do segmento C2C3 , é necessário e suficiente que
a) 2x + 15y = 850.
b) 5y - x + 50 = 0.
c) 55y - 26x + 2.050 = 0.
d) 4x + 5y = 450.
e) 5y - 6x + 550 = 0.
Resolução:
Dado o triângulo com vértices em C1, C2 e C3, devemos encontrar a equação da reta mediana m em
relação ao lado C2C3, conforme figura abaixo:
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Prova comentada
Vamos encontrar o ponto médio do lado C2C3, que é obtido pelas médias aritméticas de suas
componentes, ou seja:
Temos os pontos M(125, 40) e C1(100, 10) que pertencem a mediana m. Assim:
02. Função polinomial
O lixo ainda é um dos principais desafios dos governos na área de gestão sustentável. Na última
década, o Brasil deu um salto importante no avanço para a gestão correta dos resíduos sólidos.
O gráfico mostra dados do Ministério do Meio Ambiente sobre o número de programas de coleta
seletiva, em 2000 e 2008.
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Prova comentada
Supõe-se que o número de programas de coleta seletiva é expresso por f(x) = ax3 - x2 + 12x + b,
a, b ∈ R, em que x é o tempo em anos, x = 0 corresponde a 2000, x = 1 corresponde a 2001 e
assim por diante. De acordo com esse modelo, o número de programas de coleta seletiva em
2012 é igual a
a) 1.538.
b) 1.728.
c) 1.858.
d) 2.178.
e) 2.228.
Resolução:
Para responder a pergunta, devemos completar a função f(x) = ax 3 – x2 + 12x + b, isto é, encontrar a e
b. Pelo gráfico, encontramos o valor do b, pois o termo independente da função polinomial representa o
valor onde a curva intercepta o eixo y. Assim, b = 450.
Veja que x = 0 corresponde a 2000. Portanto, x = 8 corresponde ao ano de 2008. Para encontrar a,
devemos substituir o ponto (8, 994) na função:
a.83 – 82 + 12.8 + 450 = 994 → 512a – 64 + 96 + 450 = 994 → 512a + 482 = 994
512a = 512 → a = 1.
Para encontrar o número de programas de coleta seletiva em 2012, fazemos x = 12 e substituimos na
função f(x) = x3 – x2 + 12x + 450. Assim:
f(12) = 123 – 122 + 12.12 + 450 = 1728 – 144 + 144 + 450 = 2178.
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03. Geometria Espacial
Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio
ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição
causada pelo plástico. Uma dessa alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de
embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de uma prisma hexagonal regular com
10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150√3 .
b) 1.500.
c) 900√3.
d) 1.800.
e) 1.800√3.
Resolução:
O prisma hexagonal regular possui duas bases congruentes e paralelas que são hexágonos
regulares. Esta base hexagonal pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros. Como o volume do
prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura, temos:
04. Números Complexos
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Os edifícios "verdes" têm sido um nova tendência na construção civil. Na execução da obra
desses prédios, há uma preocupação toda especial com o meio ambiente em que estão inseridos e
com a correta utilização dos recursos naturais necessários ao seu funcionamento, além da correta
destinação dos resíduos gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será construído um edifício "verde" foi feita através dos pontos
P1, P2, P3 e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, medidas em
metros. Sabendo que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos complexos
qual é a área, em m2, desse terreno?
a) 1.595.
b) 1.750.
c) 1.795.
d) 1.925.
e) 2.100.
Resolução:
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05. Matemática Financeira
No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas.
Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na
compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no
primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de
0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é
a) 100.600[(1,006)n - 1].
b) 100.000[(1,06)n - 1].
c) 10.060[(1,006)n - 1].
d) 100.600[(1,06)n - 1].
e) 100.000[(1,006)n - 1].
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Prova comentada
Resolução:
A aplicação financeira descrita no problema recebe o nome de montante de uma sequencia uniforme de
depósitos, muito comum em poupanças de depósitos fixos mensais, onde há débito automático em
conta-corrente para crédito em conta-poupança.
Usamos a fórmula do montante composto V = Vo(1 + i)t, em que Vo = 600, i = 0,6% = 0,006 e V o
montante após n meses:
V = 600 + 600(1 + 0,006) + 600.(1 + 0,006)2 + ....
V = 600 + 600(1,006) + 600(1,006)2 + .... em n meses, após ter sido feito o último depósito de número
n.
Veja que os depósitos 600, 600(1,006), 600(1,006) 2, ... estão em progressão geométrica de razão
Para sabermos o montante final V, aplicamos a fórmula da soma dos termos da PG:
Mas devemos lembrar que é pedido a expressão que representa o saldo ao final de n meses. Logo,
sobre esse montante é aplicado o 0,6% do mês. Para ver isso, fazemos: 1,06.100000[(1,006) n – 1] =
100600[(1,006)n – 1].
Também podemos obter a expressão final supondo o a1 = 600.1,006.
Questão perigosa, pois normalmente se pede o montante ao final do depósito de data n (isto é, logo
após ter sido feito o último depósito), que não é o caso desta pergunta.
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