ISSN 1982 - 0283
SISTEMA DE
NUMERAÇÃO
DECIMAL NO CICLO
DE ALFABETIZAÇÃO
Ano XXIV - Boletim 5 - SETEMBRO 2014
S istema de N umeração D ecimal
A lfabetização
no
C iclo
de
SUMÁRIO
Apresentação........................................................................................................................... 3
Rosa Helena Mendonça
Introdução............................................................................................................................... 4
Cristiano Alberto Muniz
Texto 1A: Mediação Pedagógica: uma via de mão dupla ......................................................... 7
Elissandra de Oliveira de Almeida
Texto 1B: A criança ativa na construção do número no SND.............................................. 14
Sueli Brito Lira de Freitas
Texto 2A: Pega Varetas: construção da noção de valor para a aprendizagem do SND ...........22
Ana Maria Porto Nascimento
Texto 2B: O ensino do Sistema de Numeração Decimal .........................................................30
Nilza Eigenheer Bertoni
Texto 3A: A criança se percebendo como construtora do Sistema de Numeração Decimal ........37
Cristiano Alberto Muniz
Texto 3B: SND: conceitos matemáticos articulados com atividades pedagógicas .......................49
Eurivalda Santana
S istema
de N umeração
alfabetização
Apresentação
D ecimal
A publicação Salto para o Futuro comple-
A edição 5 de 2014 traz o tema Sistema de
menta as edições televisivas do programa
Numeração Decimal no ciclo de alfabetiza-
de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este
ção, e conta com a consultoria de Cristia-
aspecto não significa, no entanto, uma sim-
no Alberto Muniz, Doutor em Sciences de
ples dependência entre as duas versões. Ao
contrário, os leitores e os telespectadores
– professores e gestores da Educação Básica, em sua maioria, além de estudantes de
no ciclo de
l’Education pelo Université Paris Nord e
Professor Adjunto da Universidade de Brasília, que contribuiu com a organização da
presente coletânea e foi o Consultor desta
Edição Temática.
cursos de formação de professores, de Faculdades de Pedagogia e de diferentes licenciaturas – poderão perceber que existe uma
interlocução entre textos e programas, pre-
Os textos que integram essa publicação são:
1A. Mediação Pedagógica: uma via de
3
mão dupla
servadas as especificidades dessas formas
distintas de apresentar e debater temáticas
variadas no campo da educação. Na página
1B. A criança ativa na construção do número no SND
eletrônica do programa, encontrarão ainda
2A. Pega Varetas: construção da noção de
outras funcionalidades que compõem uma
valor para a aprendizagem do SND
rede de conhecimentos e significados que se
2B. O ensino do Sistema de Numeração Decimal
efetiva nos diversos usos desses recursos nas
escolas e nas instituições de formação. Os
3A. A criança se percebendo como constru-
textos que integram cada edição temática,
tora do Sistema de Numeração Decimal
além de constituírem material de pesquisa e
3B. SND: conceitos matemáticos articulados
estudo para professores, servem também de
com atividades pedagógicas
base para a produção dos programas.
Boa leitura!
Rosa Helena Mendonça1
1
Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).
Introdução
A criança como protagonista de sua aprendizagem
do sistema de numeração decimal
Cristiano Alberto Muniz1
Esperança... nossa palavra-chave maior
A construção do número e a compre-
nestas reflexões e proposições. Esperança de
ensão do SND é base para a compreensão da
que a aprendizagem do Sistema de Numera-
leitura e da escrita do número nos mais di-
ção Decimal (SND), eixo central do currículo
versos contextos socioculturais, favorecendo
da alfabetização matemática, não se resuma à
o desenvolvimento de procedimentos ope-
transmissão de conjunto de regras, fórmulas e
ratórios. Compreender a estrutura decimal
terminologias que, sem sentido para as crian-
tanto quanto a posicional do sistema numé-
ças, as coloca inertes no processo de assimila-
rico permite ao aluno desenvolver habilida-
ção dos conhecimentos matemáticos.
des nos processos de medições e expressão
de medidas, além de lidar com tratamento de
Esperança de que tenhamos uma es-
informação e de processos estatísticos. Isto
cola onde as crianças se enxerguem como se-
revela a importância do tema para o desen-
res profundamente ativos nos processos de
volvimento do currículo e para a formação
aprendizagem deste sistema, mesmo sendo
do professor alfabetizador em Matemática
um sistema numérico construído historica-
na escola básica.
mente pelas civilizações antigas. Buscaremos, nos textos que se seguem, alertar para
Os processos de mediação pedagógi-
o fato de que, mesmo constituindo-se num
ca ganham importância nas nossas reflexões,
sistema fechado de regras, as propostas pe-
revelando que qualquer aprendizagem sig-
dagógicas devem permitir que as crianças
nificativa da Matemática, do número ou de
em processos de alfabetização matemática
outro conceito, depende da qualidade da me-
se percebam como autoras das estruturas do
diação realizada pelo professor, sempre desa-
sistema de contagem na base dez.
fiando, estimulando e intervindo nos processos de construção da aprendizagem de cada
criança. É assim que Elissandra de Oliveira de
1
Doutor em Sciences de l’Education pelo Université Paris Nord, Professor Adjunto da Universidade de
Brasília e Consultor desta Edição Temática.
4
Almeida nos presenteia com o primeiro texto
o “um” pode significar plural, como ocorre
destacando o valor dos processos de media-
na pontuação dos palitos no jogo de pega-
ção nas aulas de Matemática. Este primeiro
-varetas. Se, no jogo, as crianças apresentam
texto, Mediação Pedagógica: uma via de mão
dificuldades para compreensão da noção de
dupla, nos revela que muitas das dificulda-
valor, Ana Porto demonstra que mediações
des de aprendizagens, dentre elas a constru-
pedagógicas podem se realizar, articulando
ção do número, podem ser ressignificadas se
as noções de valor-quantia com as de quan-
nós, educadores, assumirmos nosso papel de
tidade e utilizando como mediação material
mediadores pedagógicos.
de contagem, bolinhas ou semente de milho.
Esta noção de valor será de fundamental im-
Fazer das crianças protagonistas do
processo de estruturação do sistema de numeração é a proposta de Sueli Brito Lira de
Freitas, no texto A criança ativa na construção
do número no SND, que nos apresenta sugestões de construção de um projeto pedagógico
com efetiva participação de cada criança no
desenvolvimento de atividades que permitam
a gradativa aquisição de estruturas do sistema
de numeração decimal, fazendo com que os
portância para a construção, pela criança, da
ideia de ordens e classes, pois um dígito pode
assumir diferentes valores dentro da composição do número, segundo sua posição. Este
protagonismo acaba por nos conduzir a melhor compreender como as crianças são capazes de apresentar inusitados procedimentos
operatórios e registros nas operações aritméticas quando elas se apropriam efetivamente
da compreensão da estrutura do número.
aprendizes participem efusivamente dos embates, proposições e decisões, sempre trocan-
As relações da criança com o siste-
do e validando ideias no processo coletivamen-
ma de numeração decimal em seus contex-
te constituído. Sueli demonstra que materiais
tos socioculturais é o foco de Nilza Eigenheer
concretos e simbólicos, livres e estruturados,
Bertoni, nos trazendo, além de construções
pedagógicos e culturais participam da consti-
conceituais importantes, atividades do coti-
tuição deste ambiente alfabetizador da Mate-
diano escolar como “Quantos somos hoje?”,
mática no primeiro ciclo de escolarização.
revelando como estas permitem, à criança,
gradativamente, se apropriar dos sentidos das
Se a descoberta do agrupamento de-
regras do sistema de numeração, sempre de
cimal e posicional é importante, Ana Maria
forma reflexiva, socializada e colaborativa.
Porto Nascimento, em seu texto Pega Va-
Seu texto O ensino do Sistema de Numeração
retas: construção da noção de valor para a
Decimal propõe uma reflexão sobre aspectos
aprendizagem do SND, nos revela o quanto é
linguísticos e culturais da escrita e leitura dos
importante oferecer, às crianças, atividades
números e revela como os processos de apro-
que permitam a elas a noção de valor. Quan-
priação e aprendizagem dos números é um fe-
do uma unidade pode representar um grupo,
nômeno complexo.
5
Assim como outros autores desta pu-
blicação, Nilza nos traz exemplos de como o
serem realizadas paralelamente aos jogos, segundo proposta do autor.
conhecimento da estrutura do sistema numérico “empodera” a criança para produzir
procedimentos operatórios próprios, deveras
ricos e criativos.
Não apenas a leitura deste texto e as
gravações do Salto para o Futuro alimentam
nossas esperanças de um fazer diferente e melhor: a experiência e a construção coletiva com
Se o sistema de numeração decimal
os alunos e colegas professores da escola são
acaba por se constituir em estrutura fundada
fatores que podem ser a garantia da realização
em agrupamento decimal, valor posicional e
destas esperanças de que a aprendizagem do
registro, podemos favorecer a construção de
SND não se constitua em mais um obstáculo à
proposta pedagógica a partir de jogos que têm
alfabetização de nossas crianças.
como regras o agrupar de dez em dez, o posicionar e registrar com algarismos que mudam
O conjunto dos textos é concluído com
de valor conforme a posição. Cristiano Muniz
as contribuições de Eurivalda Santana, que
nos mostra, em seu texto A criança se perce-
põe acento à importância da resolução de pro-
bendo como construtora do Sistema de Nume-
blemas pelos alunos no ciclo de alfabetização,
ração Decimal, como o professor pode ensinar
com destaque aos papéis dos registros por eles
aos seus alfabetizandos jogos matemáticos,
realizados e para as trocas sociais. Eurivalda,
apoiados nas regras do sistema. Desta for-
no texto SND: conceitos matemáticos arti-
ma, aprender a jogar o jogo do professor,
culados com atividades pedagógicas ancora
implica, em última instância, assimilar as
suas colocações em importantes teóricos que
regras do SND, a partir das quais a atividade
apresentam conceitos para a compreensão
lúdica foi concebida.
dos processos de aprendizagem do número
pelas crianças em contextos de quantificação.
Com tais jogos, pensa-se na criança
como protagonista da aprendizagem do SND.
É possível também repensar a organização do
para os alfabetizadores, fonte de consulta e
trabalho pedagógico, favorecendo novas for-
reflexão sobre melhores estratégias de media-
mas de mediação pedagógica, de interações
ção pedagógica na construção das estruturas
em sala de aula, e mesmo formas alternativas
do sistema de numeração decimal, consi-
e importantes de se avaliarem os processos
derando as crianças em alfabetização como
de aprendizagem matemática, num ambiente
efetivamente autoras de seus processos de
pleno de trocas entre os alunos. Para a reali-
aprendizagem e de atribuição de significados
zação de tais jogos, materiais lúdicos passam
ao número, suas estruturas e validação no
a fazer parte do cotidiano pedagógico na al-
contexto sociocultural.
fabetização, assim como outras atividades, a
Esperamos que esta publicação seja,
6
texto 1a
M ediação P edagógica : uma via de mão dupla
Elissandra de Oliveira de Almeida1
Dentre as muitas frases que se torna-
professor como em direção ao aluno. Se por
ram comuns entre nós, professores, quando
um lado o professor parece não conseguir
o assunto é dificuldade em Matemática, po-
alcançar o aluno; do outro, o aluno, por ve-
de-se destacar uma, que talvez ainda percor-
zes, não consegue explicitar suas formas de
ra muitas salas de aula: “Não consigo enten-
pensar ou se sente inseguro, ou mesmo te-
der o que foi que esse aluno não entendeu!”
meroso, em se expor.
A frase acima encerra um dilema que
Parece que um impasse foi estabeleci-
parece ainda não ter sido resolvido entre as
do e que as possibilidades de solucioná-lo são
partes do processo educativo, sendo elas a
bastante limitadas, restando apenas manter a
relação entre ensino e aprendizado, entre
rotina padrão que se instaurou nas aulas de
professor e aluno, entre saber ensinar e sa-
Matemática: O professor dá um exemplo fácil na
ber como se aprende.
Não se trata de dizer quem é o culpa-
do, ou quais são os culpados nessa história.
Todavia, não se pode ignorar o fato de que há
uma brecha na relação entre o ato de ensinar
e o de aprender, o que acaba por aumentar
ainda mais a lista de temores em relação ao
ensino-aprendizado de Matemática.
As dificuldades que se notam nes-
se contexto apontam tanto em direção ao
hora da aula, mas na hora da prova passa uma
questão difícil. Daí, ninguém consegue resolver
(Ricardo2, 15 anos).
Ante o quadro exposto, é possível enu-
merar algumas indagações: por que os professores de Matemática continuam afirmando
que as dificuldades apresentadas pelos alunos
são decorrentes da falta de atenção destes?
Por que muitos alunos, em diferentes níveis
de escolarização, chegam à mesma conclusão
1
Mestrado em Educação pela Universidade de Brasília. Professora da Secretaria de Estado de Educação
do DF, Brasil.
2
Nome fictício. Transcrição do depoimento de um aluno do 1º ano do Ensino Médio. Relato obtido durante
conversa informal sobre a prova de Matemática que fizera no dia 06/03/2014.
7
que Ricardo? Em que medida os professores
Se essa análise tomar como ponto
entendem a natureza dos erros apresentados
de partida a dura realidade de muitas salas
em Matemática pelos alunos? Em que mo-
de aula, caracterizadas pelo alto número
mento professor e aluno interagem de modo
de alunos, professores com deficiências
que o incompreendido, de ambas as partes,
em seu processo de formação, escolas com
seja esclarecido?
estrutura física inadequada e sem suporte
material suficiente, com certeza chegamos
Tais questões apontam para a ne-
ao fim da linha.
cessidade permanente de se retomar a dinâmica da sala de aula, em busca de outro
Entretanto, sem descartar a necessi-
modo de se ensinar-aprender Matemática,
dade e relevância de uma estrutura físico-ma-
e de outro modo de se avaliarem as apren-
terial que melhore as condições de trabalho,
dizagens em Matemática.
tomemos por matéria-prima a diversidade
cognitiva presente nas salas de aula.
Considerando-se a relação entre os
conteúdos a serem ensinados e a duração
Essa diversidade é facilmente iden-
das aulas de Matemática, talvez alguns pro-
tificada por meio das várias formas de os
fessores, e até mesmo os próprios alunos, se
alunos expressarem os seus modos de fazer
comportem desconfiadamente quanto à pos-
Matemática, ainda que se supervalorize tão
sibilidade de se pensar uma estratégia que
somente o registro escrito formal.
modifique o quadro de descontentamento instaurado. Todavia, não dá para ignorar o fato
Nesse caso, sendo o registro escri-
de que a própria dinâmica estabelecida entre
to formal produzido pelos alunos durante
o ato de ensinar e o ato de aprender implica,
as aulas de Matemática o suporte material
obrigatoriamente, ainda que não se queira,
no qual o professor assente primeiramente
um conjunto permanente de transformações,
suas considerações avaliativas, tal conteú-
uma vez que o objeto do conhecimento é per-
do já é suficiente para se redesenhar a di-
cebido, sentido e concebido de maneiras di-
nâmica das aulas.
versas tanto pelo professor como pelo aluno.
Sem a pretensão de apresentar um
Mas de que maneira então poder-se-ia
“modelo” de como dar aulas de Matemática
mudar o quadro de descontentamento presen-
ou uma “fórmula” para melhorar a intera-
te nas aulas de Matemática? Como melhorar a
ção entre professor, aluno e conhecimento
relação professor-aluno de modo que um veja
durante as aulas, a orientação que se segue
no outro um parceiro na construção, sociali-
deve ser apreendida tomando por referência
zação e consolidação do conhecimento?
as reais necessidades do ensinar e do apren-
8
der, de modo que seja viável mudar, concei-
como estratégia indispensável às aulas de Ma-
tual e substancialmente, o processo avaliati-
temática, pois possibilita a troca de informa-
vo presente nas aulas de Matemática.
ções entre professor-aluno, aluno-professor
O
primeiro
passo, a partir do
qual todos os demais
serão dados, está diretamente relacionado ao que fazer com a
produção matemática dos nossos alunos.
Transcender a correção das atividades
para além do “certo”
“ A mediação pedagógica
precisa ser entendida,
assumida e realizada como
estratégia indispensável
às aulas de Matemática,
pois possibilita a troca
de informações entre
professor-aluno, alunoprofessor e entre alunoaluno.”
e entre aluno-aluno.
Ela favorece também
a socialização de estratégias e permite
uma melhor compreensão, especialmente
por parte do professor, da produção escrita do aluno, oferecendo-lhe uma rica
fonte de informações
sobre as necessidades
e “errado”, ainda tão
de aprendizagem que
comum, e identificar
o aluno apresenta.
9
possíveis lacunas na aprendizagem, expressas pelos registros dos alunos, é fundamental
Nesse sentido, a mediação pedagó-
para o (re)planejamento das aulas.
gica abre portas dantes fechadas. A primeira delas diz respeito à valorização do fazer a
Segundo Pais (2006, p. 33),
A diversidade da sala mostra diferentes ní-
NIZ, 2004). Por conseguinte, revela em que
veis de raciocínio, observação, argumenta-
medida as metodologias de ensino atentam
ção, análise, comunicação de ideias, formu-
para os valores e objetivos da aprendizagem
lação de hipóteses, memorização e trabalho
em equipe. Cada aluno tem melhores condições de atender uma ou outra dessas ações,
mas cada uma funciona como porta de entrada para a apreensão do saber.
Matemática por parte de nossos alunos (MU-
Aproveitar essa diversidade contribui
significativamente para a realização da mediação pedagógica. A mediação pedagógica
precisa ser entendida, assumida e realizada
(PAIS, 2001). Contribui ainda para que o professor reveja seus conceitos avaliativos, pois
muda o foco da avaliação centrado apenas na
correção da resposta para a compreensão da
lógica empregada pelo aluno (KAMII, 1990).
Vale destacar também que a realiza-
ção da mediação pedagógica permite abrir a
porta que diz respeito ao direito que o aluno
tem de ser ouvido, como já afirmara Paulo
Freire (1996, p. 113):
não é falando aos outros, de cima para
trito Federal, oferece subsídios para que seja
baixo, sobretudo, como se fôssemos os
possível elencar algumas respostas às ques-
portadores da verdade a ser transmitida
tões apresentadas.
aos demais, que aprendemos a escutar,
mas é escutando que aprendemos a fa-
Os resultados obtidos com a pesqui-
lar com eles. [...]. O educador que escuta
sa em campo permitiram identificar que
aprende a difícil lição de transformar o
o que estava sendo considerado “dificul-
seu discurso, às vezes necessário, ao alu-
dade” de aprendizagem, representava, na
no, em uma fala com ele.
verdade, uma não compreensão por parte
do professor quanto aos procedimentos de-
É a escuta sensível pautada na empa-
tia que reconhece a aceitação incondicional
senvolvidos pelas crianças (manifestação
de esquemas mentais).
do outro, que não julga, não mede, não compara, mas compreende o outro do ponto de
Buscando, pois, entender a natureza
vista do outro no lugar em que o outro se
dessas “dificuldades”, mediante a realização
encontra (BARBIER, 2004).
da mediação pedagógica, foi possível identificar os conhecimentos prévios e as habili-
Com base nisso, a realização da me-
dades de que as crianças dispunham para re-
diação pedagógica modifica tanto o compor-
solver determinados problemas, bem como
tamento do professor quanto ao saber ensi-
ajudá-las a compreender melhor o sentido de
nado, como modifica o comportamento do
suas ações nas situações propostas.
aluno em relação ao que é aprendido. Ela se
torna uma via de mão dupla.
Uma vez que, para a pesquisadora
e professora, ficava claro como as crian-
Mediação pedagógica: sinônimo de
ças estavam aprendendo e construindo o
acolhimento cognitivo
conhecimento matemático, o enfoque de
crianças com dificuldade para o entendi-
O que fundamenta a concepção de
crianças com dificuldades de aprendizagem?
mento de crianças em situação de dificuldade foi redirecionado.
Como atestar efetivamente que crianças tenham “dificuldades” de aprendizagem? O
que é aprender? Como se aprende?
tido, significa que podem existir lacunas, as
Apresentar dificuldades, nesse sen-
quais não devem ser identificadas tão somen
Pesquisa realizada por Almeida (2006),
te no processo de aprendizagem como se a
em escola da rede pública de ensino do Dis-
dificuldade fosse do aluno. Antes, porém, o
10
que os protocolos analisados mostraram é
Somente por meio da realização da
que tais lacunas não foram, na verdade, pre-
mediação pedagógica que se faz pelo sentar
enchidas durante o processo de ensino.
junto, quando se reconhece a complexidade
das produções das crianças, ao se oferecer
Vejamos o protocolo de Joyce (nome
estímulos ao aluno e pela sensibilidade em
fictício). Essa aluna era considerada pela pro-
ouvir a criança falar sobre a própria produ-
fessora com muitas dificuldades na aprendi-
ção – o que chamo de acolhimento cogniti-
zagem. Com um percurso estudantil marca-
vo - é que se constatou que Joyce empregou
do por sucessivas reprovações, chegou à 3ª
as regras ensinadas na escola para fazer o
série, em 2006, com 12 anos de idade.
cálculo. O risco feito sobre o algarismo 7 posicionado na unidade de milhar representa o
“não deu, pede emprestado”.
Figura 1. Joyce aplica a regra do “não deu, pede emprestado”.
A análise da produção de Joyce per-
mitiu identificar os seguintes aspectos:
• A aluna aplicou a usual regra ensinada na
escola “não deu, pede emprestado”, sem
levar em conta os valores posicionais dos
algarismos, isto é, na estrutura numérica;
• O registro pictórico que aparece ao lado
Mas não apenas isso, a realização
da mediação pedagógica lançou luz sobre a
produção de Joyce, ensinando à pesquisadora e à professora que primeiro seria necessário acolher o saber-fazer da aluna, aceitando
nessa situação as falhas da avaliação empregada. Também revelou para ambas que Joyce
não estava compreendendo a representação
dos valores posicionais na operação.
Por isso, ao fazer a subtração na or-
do algoritmo registrado por Joyce é um
dem da centena (4 - 8), retira do algarismo 7
indicativo de como ela pensou o procedi-
(unidade de milhar) a quantidade necessária
mento resolutivo da operação, revelando
para completar as 8 centenas (4 + 4), sendo en-
seu raciocínio.
tão, possível, dar prosseguimento ao cálculo.
Todavia, como avaliar o que Joyce
Pelo que se pode apreender, funda-
fez? Pautar a avaliação tão somente no re-
mentalmente, a realização da mediação
gistro escrito é suficiente para dizer o que
pedagógica mostra que é necessária a re-
a aluna sabe ou não sabe em Matemática?
construção dos alicerces da avaliação que é
Qual a necessidade de Joyce?
feita (ou tem sido feita) nas aulas de Matemática. Basicamente ela desconstrói o muro
11
da supremacia professoral, em termos de
detenção do conhecimento certo, exato e
acabado, sem, contudo, retirar do professor
a devida competência pedagógica e profissional, ao mesmo tempo em que desperta
no aluno a necessidade de se tornar mais
ativo no processo de construção do conhecimento, levando-o a refletir sobre a própria
maneira de pensar, sem menosprezar o valor social dos conteúdos trabalhados.
A realização da mediação pedagó-
gica constitui-se, pois, em desafio para
muitos professores porque não se trata inicialmente de ser feita “aluno a aluno”, no
horário de aula (o que é realmente inviável), mas em ser qualitativamente praticada, aproveitando as várias e ricas oportunidades que a sala de aula oferece e gerando,
ao final, benefícios para todos.
12
REFERÊNCIAS
ALMEIDA. Elissandra de Oliveira. Como as crianças constroem procedimentos matemáticos:
reconcebendo o fazer matemática na escola entre modelos e esquemas. (Dissertação de Mestrado). Brasília: Universidade de Brasília, 2006.
BARBIER, René. A Pesquisa-Ação. Brasília: Liber Livro Editora, 2004.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. 28 ed. São
Paulo: Paz e Terra, 1996.
KAMII, Constance. A criança e o número. 31ed. Campinas, São Paulo: Papirus, 1990.
MUNIZ, Cristiano Alberto. A criança das Séries Iniciais faz Matemática? In: PAVANELLO, Maria
Regina (org). Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: a pesquisa e a sala de
aula. São Paulo: Biblioteca do Educador Matemático. Coleção SBEM. Vol. 2. 2004, p. 37-48.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2 ed. Belo Horizonte: Autência, 2002.
______. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
13
texto 1b
A criança ativa na construção do número no SND
Sueli Brito Lira de Freitas3
é número. Seu papel está em promover siO que deve saber sobre números uma
tuações desafiantes que levem a criança a
criança que está no ciclo de alfabetização?
agir a fim de compreender o que é número,
O que pode ser feito em sala de aula?
através de uma construção interna. Esta é
Como integrar a Matemática com outras
uma tarefa individual do sujeito em ação,
áreas do conhecimento?
mas que depende das propostas didáticas
da professora. Então é
Para
iniciar
nossa conversa é preciso dizer que a construção da ideia de número e sua utilização no
dia a dia acontecem a
partir da interação do
sujeito com o mundo
através das possibilidades de quantificar,
enumerar,
codificar,
comparar, entre outras
“ (...) uma professora
não ensina o que é
número. Seu papel está
em promover situações
desafiantes que levem
a criança a agir a fim
de compreender o
que é número, através
de uma construção
interna.”
atividades, ou seja, é
preciso ofertar variadas
atividades,
com
objetivos bem determinados, ao longo dos
anos iniciais, para ajudar a criança a ter certo domínio da ideia de
número. Esta compreensão irá se ampliando
ao longo da vida escolar, em consonância
com as propostas didáticas, de um nível para
preciso estabelecer relações, num processo
outro de ensino, tendo em vista a comple-
de interação com outros sujeitos e objetos,
xidade do conceito de número.
para construir o conceito de número. Desta forma, uma professora não ensina o que
3
Mestrado em Educação pela Universidade de Brasília, Brasil. Professora da Secretaria de Estado de Educação
do DF, Brasil.
14
O que sabe de número uma criança
objetos que propiciem a aprendizagem dos
de 2 anos quando mostra dois dedos para
números: sucatas; coleções diversas feitas
responder a pergunta “quantos anos você
com a turma; fichas numéricas; cartazes
tem?” Ou que recita de 1 a 10? Em um pri-
com quantidades e registros corresponden-
meiro momento pensamos: tão pequena e já
tes, tanto nome quanto número; cartazes
sabe mostrar que tem 2 anos ou já sabe con-
com sequência numérica até 100; relógio;
tar até 10. Como é inteligente! Realmente, as
calendário; material dourado; jogos e etc.,
crianças são muito inteligentes e aprendem
podem ajudar neste processo.
quando estimuladas.
Em 1999 conheci a caixa matemáti-
A aprendizagem de número pres-
ca com o Professor Doutor Cristiano Alber-
supõe o uso da memória, seja para recitar
to Muniz, da Universidade de Brasília. Ela
uma sequência corretamente ou para iden-
é formada por uma caixa com objetos que
tificar um registro numérico, mas não so-
ajudam na aprendizagem matemática: ré-
mente. É muito provável que uma criança
gua, sementes, coleções, fita métrica, tre-
de 2 anos, ao responder a estas perguntas,
na, palitos, ligas, dados, 3 conjuntos de fi-
tenha recorrido
chas numéricas de 0 a 9, material dourado,
apenas à memória, não
compreendendo o significado do número
calculadora,
calendário, relógio... Novos
dois ou do que seja o dez.
objetos irão compondo a caixa na medida
em que vão sendo necessários para resolver
O que representa o ‘dois’ da idade
desafios propostos. A sugestão é que cada
ou o ‘dez’ da recitação numérica? Ativida-
criança da turma monte a sua caixa com a
des que envolvam contagem, sequência nu-
família e traga para a escola. Pode ser uma
mérica, inclusão hierárquica, comparação,
caixa de sapato, de ferramentas, de plástico,
quantificação, correspondência biunívoca,
como quiser. A cada proposta de atividade
uso de simbologia, formação de grupos, va-
matemática, a criança fica livre para usar os
lor posicional e princípio aditivo são neces-
materiais nela existentes, e então, procurar
sárias para compreender nosso sistema de
resolver as situações propostas. Ao manipu-
numeração decimal e seus diferentes usos:
lar o material, a criança tem a oportunidade
o número como quantificador, como orde-
de pensar para construir conceitos, seja de
nador ou como código.
número, geometria, medidas, etc. Não se
trata de uma aula de demonstração em que
A sala de aula deve se constituir
a professora mostra o material, explica e faz
num ambiente de alfabetização matemáti-
perguntas às crianças, mas de a professora
ca, um espaço em que a criança encontre
provocar uma situação, e cada criança, a
15
partir das elaborações que possui e das ne-
no colega; 3) as crianças em pé na roda
cessidades que tem, utilizar as ferramentas
e a primeira diz UM e senta, a segunda
da sua caixa a fim de desenvolver soluções
diz DOIS e senta, e assim até terminar ou,
para os problemas apresentados.
ao contrário, estão sentadas e vão levantando e dizendo a sequência numérica
Ao utilizar os materiais da caixa,
até terminar a contagem. Aqui fizemos
com frequência, vai aos poucos se libertan-
três sugestões que podem ser realizadas
do deles, ou seja, vai passando da necessi-
em momentos diferentes, observando as
dade do concreto para a abstração. Quando
necessidades da turma e sem nenhuma
a criança diz que não precisa mais usar o
confecção de material. Se uma criança
material para resolver a situação significa
está em dificuldade para recitar a sequ-
que ela alcançou um nível de abstração. É
ência numérica, numérica, faça com ela
como se o material estivesse dentro da sua
a sugestão número 2. Junto com a tur-
cabeça e assim é capaz de visualizar solu-
ma, ajude-a a recitar a ordem enquanto
ções sem precisar dos objetos concretos.
ela passa a mão na cabeça de cada colega
Os materiais da caixa podem ser usados
ou no ombro. Estas atividades ajudam na
também em grupo. Jogos com palitos e da-
contagem e na percepção de que existe
dos são feitos em duplas ou grupos de até
uma sequência numérica. As atividades
4 crianças. Eles ajudam a compreender os
de contagem são imprescindíveis na al-
agrupamentos que caracterizam o SND.
fabetização matemática. Para nominar a
quantidade de alunos da sala é preciso or-
Vamos pensar algumas sugestões
ganizar em grupos perceptivos no intuito
de atividades simples e importantes para
de quantificar. A contagem mais elemen-
gerar ideias e favorecer a construção do
tar é a de 1 em 1. As crianças usam os de-
conceito de número:
dos para contar, o que é muito natural e
retrata uma herança cultural. Nosso sis-
• Contar quantas crianças há na rodi-
tema é de base decimal porque se baseia
nha: 1) a professora vai passando a mão
nos 10 dedos das mãos. Contar nos dedos
na cabeça de cada criança e toda a tur-
faz parte da aprendizagem matemática.
ma pode contar junto; 2) uma criança vai
passando e contando cada membro da
rodinha apontando ou encostando a mão
• Brincar de formar grupos com
quantidades determinadas: a professora
2
No original: “students are also more motivated when the topics are personally interesting. There is considerable
evidence that when students read materials they find interesting they comprehend and remember the material better”.
16
escreve, em folhas de papel ofício, núme-
mal). Num primeiro momento as crianças
ros de 1 a 10. As crianças ficam de pé vi-
contarão de 1 em 1. Num outro momento
radas para a professora que mostra uma
farão contagem de 10 em 10. Cada saqui-
ficha com um número, por exemplo, o 5.
nho conta 10. Então, em dez saquinhos
Elas devem formar grupos de 5 crianças.
teremos quantas bolinhas? Elaborar situ-
Esta atividade é para trabalhar a relação
ações problema utilizando outras quanti-
símbolo X quantidade. Ou seja, as crianças
dades. Hoje formamos 6 saquinhos com
identificam o símbolo 5 e imediatamente
10 bolinhas cada. Se fizermos 8 saquinhos
formam um grupo de cinco se abraçan-
com 10 bolinhas cada quantas bolinhas
do ou dando as mãos. E assim com outros
teremos? Quantas bolinhas faltam para
números.
ficarmos com 80? As crianças podem manipular materiais, desenhar, escrever, usar
• Jogar queimada: a professora propõe
registros numéricos, operar...
o jogo e diz que precisa formar dois times
e pergunta quantas crianças irão ficar
• Usar jogos: jogos de memória, pega
em cada lado, ou ao fazer a escolha dos
varetas, dominó, jogos matemáticos pro-
times, as crianças percebem se ficaram
postos no material do PNAIC Matemáti-
iguais, com quantos cada time ficou, se
ca, entre outros, são procedimentos para
algum time ficou com mais ou com me-
provocar a aprendizagem de número.
nos. Tudo isso pode ser discutido. Estabelecer relações de equiparação, onde tem
mais ou onde tem menos são atividades
importantes para compreender número.
Como a compreensão da ideia de nú-
mero pressupõe o processo de ação-reflexão-ação sobre os objetos, o trabalho com material concreto é imprescindível. O número
• Fazer coleções: propor à turma fazer
por si só não existe, é uma ideia, e esta ideia
coleção de bolinhas de gude, por exemplo.
para ser compreendida, experienciada, vivi-
Pode-se ir juntando as bolinhas e fazendo
da. O trabalho com materiais ajudará nesta
contagem com seus respectivos registros
construção que, com o passar do tempo,
a cada dia. Desafios escritos podem ser
será dispensável, assim que ocorrer o pro-
elaborados pela professora para que as
cesso de abstração. Então, a criança pensa
crianças resolvam. Num dado momen-
numa quantidade e é capaz de representá-la
to, propor fazer grupinhos de bolinhas e
mentalmente ou compreender o seu signi-
colocar em sacos transparentes. Combi-
ficado. Neste momento ela diz não precisar
nar que cada grupo deve ter 10 bolinhas
mais do material. Quem determina até quan-
(princípio do Sistema de Numeração Deci-
do a criança precisará do material concreto?
17
Ela mesma. Estando sempre com o material
rado por eles. Para elaborar o cartaz fizeram
ao seu alcance ela decidirá se precisará dele
uso de medidas com a régua. Para utilizar o
para resolver o proposto ou se poderá fazê-lo
campo de areia da escola ao lado da nossa
sem. As crianças seguem em tempos e mo-
escrevemos uma carta à direção daquela ins-
dos de aprendizagem de maneira diferente,
tituição fazendo a solicitação de uso do cam-
não sendo possível determinar que aprende-
po de areia. Recebemos a resposta por meio
rão as mesmas coisas ao mesmo tempo.
de carta também. No dia marcado ocupamos o campo de areia. Crianças com trenas
E como promover a aprendizagem do
nas mãos para marcar o comprimento dos
número? São diversas as propostas. Lembro-
saltos, outras com pincel para anotar os nú-
-me que uma vez desenvolvemos um projeto
meros das medidas. Ao final, a comparação
na época das olimpíadas na Grécia. Visita-
entre os números registrados para determi-
mos a embaixada, lemos textos informativos
nar quem saltou mais longe e para qual equi-
e literários, estudamos sobre a saúde dos
pe iria a pontuação. A partir desta atividade
atletas, entrevistamos um atleta olímpico
vivenciada e discutida, outras foram sendo
que morava em nossa cidade e foi estudante
criadas para o registro das crianças: a resolu-
da escola pública em que trabalhávamos, en-
ção de situações problema sempre presente.
fim, foram muitas as atividades. E onde fica o
Muitas são as situações de vida que podemos
número? O número apareceu quase sempre.
usar para aprender conceitos matemáticos.
Por fim, resolvemos fazer uma mini olimpíada: salto a distância, cabo de guerra, corrida,
arremesso, etc.. Toda a proposta de como se-
de Numeração Decimal pressupõe a compre-
ria foi discutida em sala e as crianças se or-
ensão de alguns princípios:
Aprender números no nosso Sistema
ganizaram: montaram equipes, produziram
tabelas, prepararam materiais, realizaram a
1. Ser de base decimal: realiza agru-
olimpíada, construíram as medalhas, enfim,
pamentos de 10 em 10 e vai mudando confor-
realizaram cálculos de pontuação para saber
me a ordem.
qual equipe estava na frente.
Vamos detalhar uma das atividades
2. Basear-se na escrita de 10 símbo-
los: os algarismos de 0 a 9.
da mini olimpíada: o salto em distância.
3. Possuir valor posicional: o algaris-
A turma foi dividida em equipes. Ha-
mo recebe o valor da ordem que ocupa no
via o representante de cada equipe que par-
número. Ex: em 251, o 5 tem valor de 50; em
ticiparia desta prova. O cartaz com a tabela
502, o 5 vale 500; em 35, o 5 vale 5.
para anotar os resultados do salto foi elabo-
18
No trabalho com crianças, percebe-se
‘20+30=50
claramente a facilidade em operar quando se
50+30=80
tem uma boa compreensão dos números. A
80+30=110
forma como a criança compreende a estru-
1+8+1=10, e aí fica igual a 120’
tura numérica determina os modelos que irá
desenvolver para dar solução aos problemas
apresentados. Com isso, ao invés de imitar
modelos prontos, ela mesma apresentará
procedimentos operatórios próprios. Neste
sentido cabe à professora pedir explicações
sobre os procedimentos utilizados para que
A explicação demonstra o domínio
de número que ela possui. Sabe que o 2 e o 3
apresentam um valor posicional e ela soma-os com facilidade como 20 e 30. Sabe que ao
somar 1+8+1 forma uma nova dezena que se
junta ao 110 formando 120.
tenha clareza de como a criança pensou para
chegar àquela solução. E após isso, a pro-
Outra criança da classe resolveu assim:
fessora saberá como continuar provocando
novas aprendizagens.
Por fim, gostaria de refletir um pouco
mais sobre o papel da professora em sala de
19
aula. Um exemplo poderá simplificar o que
vamos dizer ao final. Ao somar alguns meses
contro do que a escola ensina. A criança utili-
do ano para saber quantos dias já haviam
za o vai 1. Quando perguntada como resolveu
passado, uma criança fez da seguinte forma:
ela explica: 1+8+1=10. Vai 1. 1+3+2+3+3= 12.
Seu modelo de resolução vai ao en-
Então pergunto: e por que colocou
este 1 aqui em cima do três? A resposta da
criança é a seguinte: ‘porque minha mãe
disse que tem que pôr’.
A criança não utiliza a forma tradicio-
Esta resposta me faz lembrar a
nal ensinada pela escola, ou seja, não há re-
criança de 2 anos que decorou a sequência
gistro da reserva, portanto, o 1 acima do três
até 10, que mostra os dois dedos para repre-
na casa das dezenas não aparece. Uma pri-
sentar a idade, mas que não compreende o
meira leitura da professora pode ser a de que
que está fazendo.
a criança copiou de algum colega. Ao perguntar como resolveu, a criança respondeu:
E agora, o que fazer? Que atitude a
professora deve ter frente à justificativa da
criança? O que ela faz é suficiente em ter-
explicá-la ou a segunda que reproduz o mo-
mos de aprendizagem matemática? Se não,
delo escolar ensinado pela mãe?
há algo a ser feito. Se não perguntássemos
como resolveu, não saberíamos que ela ha-
via apenas decorado um algoritmo.
desafios às crianças e colocar certo ou er-
Então, professora, não basta oferecer
rado, é preciso compreender as estratégias
Com isso, constatamos o quanto
o diálogo professora-aluno deve ser a base
da construção dos processos de aprendizagem mútua na aula de matemática, quando
a fala, as trocas, os registros e as argumentações devem tornar a aula de Matemática
viva, gerando um processo de aprendizagem
com produções mais coletivizadas, num
ambiente em que fazer Matemática não é
por elas utilizadas para saber como estão
pensando os conceitos matemáticos, quais
suas necessidades, que intervenções serão
necessárias para garantir aprendizagens que
tenham significado. Assim com os números,
assim com qualquer conceito matemático.
Se considerarmos estes fatos como
atividade solitária, mas de solidariedade en-
verdadeiros, já é suficiente para mudarmos
tre crianças e professora. Assim, as crianças
a configuração de nossas aulas de matemá-
aprendem matemática e a professora apren-
tica assumindo os alunos como sujeitos ati-
de a pensar novas organizações didáticas.
vos em suas construções, nas suas formas
de se apropriarem dos conceitos, de darem
Apesar de o modelo ser o tradicio-
significado aos números e suas formas de
nalmente ensinado nas escolas, a criança
operar com eles. Isso ressignifica o papel da
não consegue explicar por que colocou o 1
professora alfabetizadora como organizado-
acima das dezenas, não consegue compre-
ra deste ambiente na oferta de situações ma-
ender que aquele 1 representa um grupo de
temáticas, na abertura aos diferentes regis-
10 unidades, e que por isso precisa compor
tros, nas reflexões conjuntas, no confronto
junto com as dezenas.
de diferentes processos que irão enriquecer
os saberes de cada uma das crianças que esTodas as duas chegaram à resposta
tão em pleno processo de aprendizagem so-
120. Se fosse uma prova arriscaria dizer que
bre os números e as situações que mobiliza.
a primeira criança perderia ponto porque
não colocou o 1 da reserva e a segunda com
certeza ganharia um certo. E eu perguntaria: qual criança apresenta melhor estrutura
de número, a primeira que possui uma estratégia própria de resolução e é capaz de
20
REFERÊNCIAS
BOLETIM ELETRÔNICO SALTO PARA O FUTURO. Conhecimento matemático: desenvolvendo
competências para a vida. Rio de Janeiro: TVEscola, março 2004.
FREITAS, Sueli Brito Lira de. Da avaliação à aprendizagem: uma experiência na alfabetização
matemática. 2003. 186 folhas. Dissertação de Mestrado. Faculdade de Educação, Universidade
de Brasília, Brasília, 2003.
PAVANELLO, R. M. (org). - A criança das séries iniciais faz matemática? In: PAVANELLO, R. M.
(Org.) Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental: a pesquisa e a sala de aula. São
Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), 2004.
21
texto
2a
Pega Varetas: construção da noção de valor para a
aprendizagem do SND
Ana Maria Porto Nascimento1
Em nossa vivência com as crianças
percebemos as dificuldades de compreen-
rentes valores, a depender da posição que
ocupa na estrutura do número.
der os conceitos que constituem o Sistema
de Numeração Decimal. Esse é resultante
A criança, inicialmente, centra-se na
de um sistema de relações e generalizações
contagem um a um e será preciso explorar
contido nas palavras: “Sistema”, “Nume-
atividades de agrupamentos e trocas para
ração” e “Decimal”. É preciso entender o
que seja estruturada a ideia de um agrupa-
significado dessas três palavras para com-
mento conter dez, e esse dez pode ser re-
preender o conceito de Sistema de Numera-
presentado por um objeto de cor diferente,
ção Decimal. E, mais, esse conceito foi ou é
como ocorre no dinheiro chinês. Concorda-
determinado por um processo histórico cul-
-se com a afirmação de Muniz (2001), qual
tural, em que os diversos grupos culturais
seja: “Quando a estrutura requer a compre-
e as diferentes civilizações foram selecio-
ensão de valor, de grupo, muitas crianças aca-
nando o que era relevante. Seu significado
bam tendo por obstáculo de aprendizagem a
é fornecido ao sujeito pelo seu grupo cul-
compreensão de que um dígito pode assumir
tural, em um processo constante de signi-
valores diferentes.” Assim, propõe-se, para-
ficação e ressignificação operado em suas
lelamente às atividades mais estritamente
relações com os objetos de conhecimento.
associadas à estrutura do sistema de nume-
A ideia de sistema supõe um conjunto de
ração decimal, atividades lúdicas que possi-
regras que envolve a escrita das quantida-
bilitem a ampliação da noção de quantidade
des e tem como base os agrupamentos de
para a ideia de quantia, onde o valor assumi-
dez. Para compreender isso, deve-se enten-
do é fundamental na contagem.
der a noção de valor posicional, criada pelo
homem para facilitar o registro de grandes
quantidades com o uso de poucos símbolos.
de alfabetização matemática e tomar cons-
Um mesmo símbolo pode representar dife-
ciência da necessidade de auxiliar a crian-
1
O professor, ao estudar o processo
Mestrado em Educação pela Universidade de Brasília, Professora da Universidade Federal do Oeste da Bahia.
22
ça na construção dessas noções essenciais,
ção de acordo com as cores foi registrada
no quadro; Uma folha em branco para registro foi entregue a cada aluno; A professora explicou o procedimento, como seria
o jogo em duplas e, em seguida, o registro
poderá promover atividades lúdicas, como:
jogo de cartas, tiro ao alvo, boliche, entre
outros.
Aqui, trataremos mais exclusiva-
mente do jogo de pega varetas, onde cada
do total de pontos.
vareta tem um valor de acordo com sua cor
(como ocorre com o dinheiro chinês).
Ao percebermos a dificuldade em
copiar o nome das cores, fizemos um car
Os relatos seguintes fazem parte de
uma pesquisa realizada em uma turma de alfabetização. Entre as atividades propostas à
turma de alfabetização, destaca-se o jogo de
pega varetas. É um jogo bem conhecido pelas
crianças, de fácil aquisição e aparentemente
taz em que aparecia o nome da cor e um
quadrinho colorido correspondente (Anexo
B) e a pontuação. Assim, os alunos não precisariam preocupar-se em copiar, seria uma
dificuldade a menos.
simples. Mas, para crianças de seis anos de
Quando todos terminaram e se cansa-
idade, a construção da relação de valores foi
ram de jogar, sugerimos que fosse feita uma avaliação da atividade. A maior
parte da turma disse que tinha sido boa,
mas que é difícil anotar. Outros disseram que é difícil fazer as continhas.”
um obstáculo. As crianças encontravam-se
envolvidas na aprendizagem dos números e
da sequência numérica e foram desafiadas
pelo jogo de pega varetas a fazer a contagem
de pontos considerando o valor “relativo” de
cada vareta, que variava de acordo com a cor.
Os relatos mostram a dificuldade em “olhar
para uma vareta” – “ver uma vareta” e fazer
um registro, uma representação mental de
que o total de pontos obtidos será dois, três,
quatro, cinco ou dez, de acordo com a cor da
vareta. A ideia de que um objeto único pode
ter valores diferentes impôs ao grupo a construção de novas estruturas mentais e gerou a
necessidade de utilizar um recurso mediador,
no caso, os grãos de milho. Isso será detalhado no texto que segue.
A professora propôs a realização do jogo,
executando-se a seguinte seqüência: A turma foi dividida em oito grupos; A pontua-
Extrato do diário de campo:
Quando nos reunimos, avaliamos as
maiores dificuldades no desenvolvimento da
atividade: os alunos não sabem ler o nome
das cores; sentem-se muito inseguros em
relação à escrita dos números; ainda não conhecem suficientemente o jogo; teriam de
contar as varetas e associar, a cada grupo
de cores, determinado valor que seria resultante de uma multiplicação (4 varetas amarelas = 4 de 5 = 20 pontos) ou uma adição de
parcelas iguais (5 + 5 + 5 + 5 = 20); as crianças, apesar de estarem sempre sentadas em
grupo, não sabiam trabalhar em grupo, não
demonstravam uma atitude colaborativa.
23
1º. Brincar livremente;
cada cor da vareta ao seu valor (Vermelha
2º. Anotar a cor e a quantidade de varetas
= 2 pontos).
correspondente a cada cor;
Na aula do dia 20 de novembro, apresen-
3º. Contar os pontos; relacionar: cor/quanti-
tamos no quadro uma tabela semelhante
a que seria entregue aos alunos, mas que
estava preenchida. Explicamos que aquela
situação não era real, pois era quase impossível que todos os alunos obtivessem o
mesmo resultado no jogo, mas, para que
todos pudessem acompanhar uma situação, registrar a quantidade de varetas,
anotar a soma dos valores e calcular os
pontos obtidos em cada cor, iriam fazer
de conta que todos haviam conseguido a
mesma quantidade.
dade/pontuação correspondente a cada cor.
Algum tempo depois, distribuímos
vasilhames com alguns lápis nas cores das
varetas, um vasilhame para cada grupo e
uma folha para registro espontâneo.
Extrato do diário de campo:
As atividades com o pega varetas
continuaram e foram sendo aprimoradas,
sempre considerando o envolvimento, o
Assim, por exemplo:
interesse e também os questionamentos
dos alunos. Ouvir suas hipóteses e observar suas estratégias de contagem nos ensinou muito sobre sua aprendizagem. Seguem alguns registros:
CORES
QUANTIDADE
DE VARETAS
VALORES
PONTOS
VERMELHO
I I I I I
2 + 2 + 2+
2+2
10
VERDE
I I
3+ 3
6
Colocamos à disposição dos alunos
palitos de picolé e de fósforo para auxiliar
na contagem. Professora e alunos resolveram juntos a operação.
Quando terminamos de discutir com
eles com a “tabela simulada”, entregamos
uma tabela em branco, em que deveriam
registrar o jogo, anotar a soma dos valores
e calcular o total de pontos em cada cor.
Ressaltamos que um número reduzi-
Extrato do diário de campo:
do de alunos fazia os cálculos sem registro.
Durante o período de recuperação,
Assim, colocamos mais uma coluna na ta-
em que estavam na sala apenas 11 alunos,
bela (valor da vareta) para tentar diminuir
as atitudes de colaboração entre eles foram
a dificuldade demonstrada por grande parte
mais intensas, percebia-se uma vontade
da turma, que ainda não conseguia associar
de ajudar o colega e, ao mesmo tempo, de
24
mostrar o que já sabiam. O fato de estarem
aprendendo, construindo novos conceitos
numa melhor visualização, possibilitando
e superando as dificuldades causava muito
a construção de imagens que foram dando
entusiasmo. Teriam nova oportunidade de
suporte aos novos esquemas mentais que
aprender a sequência numérica, lidar com
estavam sendo construídos, ou seja, opor-
quantidades, realizar contagens, estabele-
tunizando a construção da ideia de que 1
cer relação de valores, escrever as somas e
representa 3, gerando o conceito de quan-
calcular o total de pontos.
A disponibilização dos grãos ajudou
tia, tão importante no processo de alfabetização matemática.
Vimos que, em algumas situações de
contagem, eles deixavam de fazer a correspondência biunívoca entre o grão apontado
e o número falado. A atenção dos colegas estava sendo importante, pois ao perceberem
o “erro”, eles diziam e apontavam: ‘Você esqueceu este..... conte de novo. Para não os esquecer, esforçavam-se para contar bem lentamente, colocando o dedo sobre cada grão.”
Colocamos à disposição dos alunos
palitos de picolé, palitos de fósforo e grãos
de milho para auxiliar na contagem. Assim,
se eles tiravam quatro varetas verdes ( valor 3) deveriam arrumá-las como na figura
1. A manipulação de material contribuiu
para a construção das relações necessárias
à compreensão da correspondência 3 para
1 ( 3 para cada uma vareta).
Figura 1
Em outra sequência de atividades,
eles estavam fazendo a contagem das varetas azuis. Primeiro, olharam o registro na
tabela, colocaram as varetas azuis da Sam
(07 anos) sobre a mesa (oito varetas). Cada
vareta azul tinha valor 4. Vimos:
A contagem feita por Daí (08 anos), de 1
a 24, não apresentou problemas. Quando
chegou no 24, ela disse: “24, 31, 32, 33...”
Pedimos que tentasse novamente. Ela recomeçou: “24, 41, 42...” Wand1 interferiu
dizendo que estava errado. Olhou para
mim e disse: “Tia, ela saiu do 24 e foi
para o 41, 42, 49..?” Sugerimos que eles
voltassem: “Ela estava no 24, então ajudem-na. Recomece daí bem devagar.” Ela
recomeça colocando o dedo sobre o grão
que correspondia ao 24 e disse 23. Wand1
(07 anos) disse impaciente: “É 24, menina!!” Enfim, eles decidem contar juntos
e chegam até o 29. Mas ainda faltaram
três grãos. Sugeri que arrumássemos novamente, colocando os grãos próximos às
varetas, formando grupos de 4. Eles recomeçaram. Novamente Daí (08 anos) diz a
sequencia correta até o 25, então “pula”
para o 29. Wand1 (07 anos) diz interrompendo: “Você pulou para o 29, agora é o
26!!”. Eles continuaram contando juntos
e chegaram até o 32. Essa sequência se
repetiu com outros alunos.
25
Extrato da transcrição da fita de
vídeo n. 01:
Destacou-se também
o momento
em que a professora colocou a escrita dos
números: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 e 80 em
cartaz e observamos que a Mael (06 anos),
uma menina muito tímida que quase não
falava durante as aulas, nos últimos dias
antes do período de recuperação, sempre
Então teria nova chance. Eles diziam que
ela deveria colocar o dedo sobre o grão,
um de cada vez.
Extrato da transcrição da fita de
vídeo n. 02:
As situações do jogo de pega varetas
envolveram-nos em problemas de contagem
que, como descreve Nunes (1997, p. 36), é
uma operação complexa:
se levantava para ajudar a mostrar como se
escreviam as dezenas exatas. Assim, sempre
Quando as crianças começam a contar,
elas têm que aprender sobre um sistema
que é, em parte, uma expressão de leis
universais sobre o mundo e, em parte, um
feixe de invenções convenientes porém
arbitrárias (...) Elas têm de lembrar os nomes dos números; elas têm de contar cada
objeto em um conjunto, uma vez e apenas
uma vez; elas têm que entender que o número de objetos no conjunto é representado pelo último número que produzem
quando contam o conjunto. Em outras palavras, elas têm que aprender a fazer isso
adequadamente.
que alguém perguntava como se escreve 45
(40 + 5) ela apontava para o número 40 no
cartaz. E durante as aulas de recuperação
ela continuou colaborando na descoberta
das regularidades da sequência numérica,
na contagem e na escrita dos números.
No grupo víamos o Rob (10 anos), a Daí
(08 anos), a Sam (07 anos), o Wand1 (07
anos). Inicialmente eles jogavam e pegavam as suas varetas, anotavam na tabela
“ampliada”. Quando todos registravam,
iniciava-se a contagem de pontos. Os
grãos estavam disponíveis em um pratinho sobre a mesa e os algarismos com
os valores de cada vareta também. Eles
olhavam na tabela, começando pela vareta vermelha: dispunham as varetas sobre
a mesa, colocavam a quantidade de grãos
correspondente a cada vareta, contavam
o total....1, 2 (1ª vareta), 3, 4 (2ªvareta), 5,
6 (3ª vareta) e assim sucessivamente (...).
Na contagem das varetas verdes vimos
que o Rob (10 anos) contou e o resultado
foi 15, a Sam (07 anos) contou e deu 15,
mas quando a Daí contou o resultado foi
12. Perguntamos o que poderia ter acontecido. Eles disseram: “- Ela saltou algum”.
Considerando o relato de Vergnaud
(1996) sobre o estudo do desenvolvimento de
um conceito, procuramos observar o sujeito
em ação. O jogo de pega varetas exigiu, entre
outras ações, a de contar, e possibilitou ao
aluno o aprendizado e o desenvolvimento das
habilidades enunciadas por Nunes (1997).
Numa dada situação, segundo Mu-
niz (2001c, p.3): muitos conceitos matemáticos e não matemáticos aparecem de forma
integrada e perpassando uns aos outros. A
26
situação dá vida e sentido aos conceitos, os
crianças, às vezes, mudam a estrutura lúdi-
quais não existem e não têm sentido de for-
ca do jogo em função das suas expectativas
ma isolada nem fora do contexto da ação.
sobre suas competências e habilidades na
realização de uma atividade, mas as mudan-
A ação de con-
tar para descobrir o
total de pontos em
uma jogada possibilitou a mobilização do
campo conceitual das
estruturas
aditivas.
Enfatiza-se
que
tal
“A ação de contar para
descobrir o total de
pontos em uma jogada
possibilitou a mobilização
do campo conceitual das
estruturas aditivas.”
contagem está apoia-
ças na estrutura lúdica
não eliminam as atividades
matemáticas.
Elas apenas tomam formas diferentes.
A atividade matemática está ricamente presente no jogo realizado
da na noção de valor, o que se apresenta
pela criança (...) Os estudos sobre as rela-
como um desafio no processo de alfabeti-
ções entre jogos e aprendizagem matemá-
zação. Eles faziam a correspondência do
tica têm apontado para o grande potencial
número de grãos de acordo com a cor da
educativo das atividades lúdicas, em que as
vareta, contavam o total de grãos em cada
crianças podem agir de maneira mais autô-
cor, juntavam todos para totalizar os pon-
noma e confrontar diferentes representa-
tos em uma jogada. Comparavam as dife-
ções acerca do conhecimento matemático.
rentes quantidades obtidas pelos colegas
(Muniz, 2001, p.61).
do grupo para saber quem obtivera o maior
número de pontos.
Observamos que, ao iniciarmos as
atividades com o pega varetas, o interesse
Na ação de jogar, tiveram de criar es-
era brincar, ou seja, alterar a estrutura rí-
tratégias que permitissem “pegar” uma va-
gida da aula. Ao perceberem que, além do
reta sem “mexer” as que estavam próximas.
brincar, existiam possibilidades de aprender
Isso exigiu a construção de algumas relações
conceitos matemáticos, eles começaram a
espaciais: observar a disposição das varetas
questionar: “Que número vem agora?”, “Estou
sobre a mesa, tentar pegar as mais afastadas,
no 32, e agora?”, “Como se escreve 58, tia?”.
considerar a distância entre elas, etc.
Alguns começaram a pedir ajuda em casa
para aprender o nome dos números.
Em uma discussão sobre possibilida-
des e limites dos jogos para a aprendizagem
da Matemática, Muniz (2001a) nos diz que as
dáticas propostas, ocorreram o que Brous-
Acreditamos que nas situações di-
27
seau (1996) chama de devolução, porque os
alunos tomaram para si os desafios. Várias
situações didáticas ocorreram quando eles
se mobilizavam para saber o que poderiam
conseguir naquele jogo e, independentemente da ordem do professor, buscavam
meios de aprender a sequência numérica, a
relação de valor, exercitar a contagem e totalizar os pontos.
28
REFERÊNCIAS
BROUSSEAU, G. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, C. SAIZ, I. (Orgs.) Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
MUNIZ, C. A. Educação matemática na educação infantil. Faculdade de Educação. Brasília: UnB, 2001.
NUNES, T. e BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.
VERGNAUD, G. A trama dos campos conceituais na construção dos conhecimentos. Revista
do GEEMPA, p.6-19.1996.
29
texto
2b
O ensino do Sistema de Numeração Decimal
Nilza Eigenheer Bertoni2
Apesar da opção, nas propostas e prá-
tentar entendê-los por representações. O mes-
ticas elaboradas ao longo de anos de atividade
mo deve ser feito para o sistema de numera-
profissional, pelo uso de materiais didáticos,
ção decimal, possibilitando um reconhecimen-
somos levados à integração de algo novo.
to estruturado e quantificador desse sistema
em si, em visualizações e mentalizações que
Mesmo com uma razoável dose de re-
favoreçam comparações e cálculos. Essas con-
flexão sobre os materiais e seus resultados, e
siderações conduzem à justificativa de novas
buscando que fossem um elo entre as vivên-
ênfases que concebemos em nossas propostas,
cias no cotidiano e o encaminhamento para
e foram narradas, com relação a frações, em
ideias mais elaboradas da Matemática, per-
Bertoni (2008). Com relação ao SND, preten-
cebemos que o uso precoce do material pode
demos narrar e expor ideias neste texto. Existe
tolher um conhecimento mais vivo da realida-
uma lacuna: se a contagem tem raízes eviden-
de matemática que impregna o mundo e as
tes na realidade, o SND não tem. Mas ele tem
relações humanas. Esse fato é minimizado na
articulações, principalmente com o sistema
aprendizagem dos números naturais, se priori-
monetário. Nosso intuito não é apenas de es-
zamos materiais soltos, como tampas e canu-
tabelecer ligações com o cotidiano, mas, mais
dos, que as crianças contam e passam a juntar
do que isso, buscar um enraizamento em si-
em recorrentes grupos de dez, para facilidade
tuações e demandas do cotidiano na direção
da quantificação; e é mais acentuado no caso
da Matemática, que impregnam a sociedade
de frações, geralmente feito com uso de fichas
e que os homens devem conhecer para viver
inteiras e em partes, que não refletem objetos
nela. Podemos falar em um apoio realístico
nem atividades do cotidiano.
para a proposta. Seria um chão a percorrer
propositadamente com poucos materiais, ape-
Assim, consideramos relevantes vivên-
cias mais reais sobre esses números, antes de
2
nas aqueles que se tornam naturais e necessários nas atividades, de forte cunho cotidiano.
Doutor Honoris Causa pela Universidade de Brasília (2010).
30
As ideias fundamentais para o conhe-
cimento do SND são bem conhecidas: a per-
mudança de colunas, é sonegar à mente infantil a realidade de um mundo fabuloso.
cepção da importância de agrupamentos de
potências de 10 para contar e avaliar quan-
tidades; o reconhecimento, na composição
sistema, a criança percebe a importância
de um número, de posições dos algarismos
de alguns objetos que serão intrínsecos à
para indicar cada tipo de agrupamento; além
essa construção: as quantidades dez, cem,
do papel chave do zero. A nosso ver, elas são
mil, atraem-na de modo especial, mesmo
imensamente
úteis
para o entendimento
representacional desse sistema, mas ainda
não
são
suficientes
para que as crianças
possam
Antes de começar a entender esse
“O sistema de numeração
decimal constitui-se em
um arcabouço estrutural
para o universo dos
números naturais.”
isoladas,
sem
cone-
xão com a estrutura
das quais serão peças-chave. A criança, com
apenas cerca de ano e
meio, já conta atabalhoada um – dois – cin-
configurar
co – DEZ! - colocando
mentalmente um panorama desse sistema.
ênfase e alegria ao pronunciar o final. No
O Sistema de Numeração Decimal,
a criança e sua relação com ele
caso de ir mostrando, desordenados, os dedos das mãos, sabe que o dez corresponde
ao completamento daquele pequeno mun-
O sistema de numeração decimal
do de todos os dedos expostos.
constitui-se em um arcabouço estrutural para
o universo dos números naturais. Sua apren-
Em crianças por volta de 5, 6 e pouco
dizagem é construída a partir de experiências
mais anos, o fascínio começa a ser pelo cem,
do cotidiano, estruturação numérica, visuali-
o mil, o milhão. Nessa época, geralmente a
zações, mentalizações, percepção de quanti-
professora está trabalhando as unidades ou
dades que são vigas e amarras sustentatórias,
algumas poucas dezenas. Ou seja, profes-
tudo isso podendo refletir-se em uma escrita
sores e livros querem ensinar o sistema de
numérica, capaz de expor um pouco, sem des-
numeração decimal passo a passo, de modo
velar totalmente, a riqueza do universo numé-
controlado e sequencial, fazendo uso, ou
rico modulado e estruturado na base decimal.
não, de material concreto. Mas isso é tolher
o entusiasmo e o interesse infantis, reter as
Assim, querer reduzir essa riqueza de
crianças em partes tediosas ou não tão inte-
conhecimento às regras da escrita numérica,
ressantes do sistema. Mais ainda: é querer fa-
ao conhecimento do C–D–U, ou à ênfase na
zê-las registrar no plano uma estrutura que
31
ainda não percebem bem, ou querer que co-
Assim, antes de qualquer introdução
nheçam essa estrutura por meio das sombras
forçada a um termo pouco usado na vida
numéricas que elas projetam na folha escrita.
real, impõe-se uma convivência lúdica com
os “dezes”, o que pode ser feito, por exem-
A escrita numérica decimal dos nú-
plo, pela atividade a seguir.
meros naturais impõe uma estrutura no universo linear e pulverizado desses números.
Quantos somos hoje?
Uma estrutura que se revela imensamente
útil em prover uma escrita para eles, mas
partir dos 4 ou 5 anos, a ser feita uma ou
que, para isso, deve ser vislumbrada an-
duas vezes por semana, em sala de aula.
teriormente a essa escrita. A intenção de
A professora diz que os alunos irão verifi-
construir na criança esse conhecimento de-
car quantos estão na sala, mas combina
manda um olho atento para os interesses
de contarem de dez em dez. À medida que
demonstrados por ela pelas quantidades-
ela aponta os alunos sucessivamente, eles
-chave dessa escrita. Implica muita paciên-
se contam: o primeiro diz “um”, o seguinte
cia para não querer impor logo tudo que,
“dois”, até o que diz “dez” (em poucos dias,
para os adultos, é tão óbvio. Implica saber
farão isso comandados por um dos cole-
dar insights até onde for possível, fazendo
gas). Nesse momento, todos os contados se
preenchimentos gradativos de lacunas ou
juntam, formando um grupo compacto em
interrogações. Algumas possibilidades nes-
torno do que falou “dez”. Eles gostam de ser
sas direções são apresentadas a seguir.
o número dez, constroem essa expectativa
Trata-se de atividade adequada a
na contagem, criando certo clima no “oito”,
A estruturação dos números naturais, como pode ser vista em seres
e objetos da vida
“nove”, e finalmente “dez”. Permanecem
assim unidos e a professora aponta o seguinte, que recomeça a contagem do “um”,
até chegar novamente ao “dez”, quando
A vivência dos sucessivos dez
formarão um segundo grupo. Formados to-
As crianças que têm o inglês como lín-
dos os grupos, podem restar alguns alunos.
gua materna são mais felizes que as nossas
Eles se contam do mesmo modo, mas não
– elas falam ten para o dez e têm o plural tens
formam grupo. O último poderá ser qual-
para ele. É como se nossas crianças pudessem
quer número entre um e nove. Ou zero, se
falar em “dezes”. As crianças de lá não têm
não houver ninguém fora dos grupos.
uma palavra matemática para o dez, como
nós temos o vocábulo dezena. Para elas, o ten
da vida é o mesmo ten da Matemática.
A professora explica que esse resul-
tado será marcado em um placar na pare-
32
de – um dispositivo formado por dois bolsos
com as fichas 3 e 4, o aluno pode reco-
transparentes lado a lado, onde podem ser
nhecer imediatamente que o 3 indica o nú-
inseridas fichas numéricas de 0 a 9. No bolso
mero de grupos de dez alunos e o 4 indica
da esquerda, vai uma ficha marcando quan-
alunos fora dos grupos, independente do
tos grupos foram formados. No bolso da di-
manuseio de material ou dos agrupamen-
reita, a ficha colocada deve indicar quantos
tos feitos anteriormente.
alunos ficaram fora dos grupos, ou “soltos”.
Tudo o que se sabe é que indicam, por exem-
Esse conhecimento de que os pe-
plo, dois grupos de dez e sete soltos. Algum
núltimos números representam as quan-
aluno poderá reconhecer a representação e
tidades dez, vinte, etc (sem passar pelo
dizer que são vinte e sete. A professora pro-
conceito de dezenas) foi demonstrado pelo
põe que contem o total. Ela dará sustentação
Evanilson, testemunhado e narrado por
à contagem linear, orquestrando o coro, que
Nascimento, 2002. O menino, espevitado e
alguns sabem, outros não. É o momento de
de 6 anos, foi posto em situação de calcu-
fazer uso da sequência numérica decorada,
lar o resultado de uma adição do tipo
sequenciada, que se diz mesmo cantada, tão
ao gosto das crianças (e também de muitos
33
pais). Ao contrário da cantilena por si, a contagem sequenciada, nesse momento, começa a dar sentido aos nomes pronunciados.
Partiu resolutamente do 2, no nú-
Os alunos percebem que, no primeiro grupo,
mero 28. Disse 20 e subiu na vertical, pro-
contam de 1 a 10; no segundo, começam do 11
curando outras quantidades a adicionar.
e atingem o 20; depois, vem o 21, o 22, etc.
Encontrou 30, 10 e 30 e já foi adicionando
e dizendo os resultados: 50, 60, 90. Lá em
Aos poucos, percebem a sequência
cima, virou-se para a esquerda e começou a
do dez e do vinte, entendendo que são co-
descida adicionando cada quantidade, com
locados dez a mais. A professora pode falar
ligeiras paradas e contagem nos dedos: 92,
em salas grandes, onde muitos grupos de
97, 103, 107, 115. Pronto!
dez são formados, e introduzir aos poucos a
contagem das dezenas que vão aparecendo.
Essa é a ideia central desse texto: an-
tecipar com atividades mais reais a vivência
Uma aprendizagem importante de-
de agrupamentos com material manipulati-
corrente dessa atividade é a interpretação
vo. Com isso, chegar à mentalização do SND
correta do valor dos algarismos, em um
associado a quantificações no mundo.
número com dois deles. Olhando o placar
Como atividades complementares
já conhecem – formando vinte, trinta, ...
para a vivência dos sucessivos dez, pode-
noventa e depois? Será um ótimo momento
-se providenciar vendinhas, com dinheiro
para descobrirem, ou aprenderem, que dez
de mentirinha, feito de notas de dez reais
notas de dez formam 100.
e moedas de 1 real, com a finalidade de entender o significado dos preços. O aluno é
convidado a pegar a quantia correspondente
a um preço. Mais do que nunca, o professor
precisa de paciência. Aprender a conter-se
para não dizer o que deve ser feito, seguido
do indefectível não é? - como se o aluno já
soubesse tudo que o professor lhe diz. Crianças pouco acostumadas ao manuseio do dinheiro hesitam ao pegar a quantia indicada
pelo preço – podem ser tentadas a pegar, na
caixa de moedas de 1 real, de uma em uma,
até formarem o preço indicado. A professora
pode indagar se ele não poderia usar notas
de dez, e deixá-lo pensando, se for o caso.
Aos poucos, a analogia de dois algarismos
lado a lado, como no Quantos somos hoje?
transfere-se para a leitura de preços. Serão
alguns grupos de dez e alguns soltos.
A vivência dos sucessivos cem
Um comentário de aluno sobre
algo comprado pelos pais, por uma quantia
como cento e oitenta reais, mesmo antes da
aprendizagem formal do cem, pode propiciar um insight, sem maiores aprofundamentos, sobre essa quantidade. Eles têm
a caixa com notas de 10 e moedas de 1, e
podem ser instigados a tentar tirar da caixa
essa quantidade. Se algum aluno disser que
é necessária uma nota de cem reais, pode-se
questionar se é possível pagar, mesmo sem
ela. Aos poucos, eles juntarão os dez como
Além de cédulas, pode ser manipu-
lada a corrente/colar inspirada em Maria
Montessori (1934) formada pela junção de
dez pulseiras de dez contas cada, que eles
próprios devem construir, aos poucos. A
adequação ao menino ou a menina pode
ser feita pela cor e tipo da conta, ou pela
agregação de um pingente apropriado. Aos
5 anos, eles ou elas já expõem com orgulho:
“Sabe quantas contas tem na minha corrente (ou colar)? São 100!”. Incansavelmente,
dispõem-se a recomeçar a contá-las. Se não
ocorreu antes, em algum momento, ocorre
a descoberta: o cem é dez de dez.
Mencionar mercadorias que custa-
ram algumas centenas de reais é propício à
exploração dos sucessivos cem, ainda que o
aluno não saiba ler a quantia 645, nem saiba que o pagamento desse preço envolve 6
notas de cem, ou seu equivalente. Pode ser
lembrada a atividade Quantos somos hoje?
Lá, se chegam a formar dez grupos de 10,
esses alunos formarão um grupo maior, e já
contaram que a quantidade total nesse grupo é cem, e que ele será representado em
um novo bolso, à esquerda dos outros. Se
o placar da atividade indicasse 145 alunos,
como seriam os grupos formados? E se os
alunos formassem 2 grupos de cem? Ou 6
grupos de cem? Por analogia, os alunos percebem que a quantia 645 indica 6 vezes a
34
quantia cem, 4 vezes a quantia 10 e 5 vezes a
quantia 1. Isso deve ser verificado, tomando-se notas progressivamente e formando as
quantidades cem, duzentos, ..., seiscentos,
seiscentos e dez, seiscentos e vinte, até seiscentos e quarenta e cinco.
Em uma primeira vez, o que ocorre
na sucessão pode ser apenas mencionado:
depois do cem, tem que formar outros dez de
dez para formar mais cem, e aí, quando formar duas de cem, o número chama-se duzentos (o que é muito diferente de dizer “depois
do 100 vem o 200”). O uso de dois colares,
dos já mencionados, permite a observação
de que no primeiro há cem contas, depois
vem o cento e um, cento e dois, ... até o cento e dez (ao fim da primeira pulseirinha); depois o cento e onze, cento e doze, ... cento e
vinte (ao fim da segunda pulseirinha, ou do
segundo grupo de dez). Uma grande descoberta será a de que a quantidade mil corresponde a dez de cem.
O que estamos construindo, na men-
te infantil, é uma estruturação no universo
infinito da sucessão de naturais, fazendo-os
perceber as “marcas” de dez, e, a partir delas, as de cem, mil, etc., com seus acúmulos
e números intermediários. Algo que lhe dará
uma sensação de conhecido ou significativo
ao acumular unidades de material concreto
para formar essas marcas, e lhe propiciará
presteza em cálculos mentais com números
maiores, porque a estrutura relacional entre
os números está configurada em sua mente.
35
REFERÊNCIAS
BERTONI, Nilza Eigenheer. A Construção do Conhecimento sobre Número Fracionário. In BOLEMA: Boletim de Educação Matemática, Ano 21, n. 31. Rio Claro: UNESP, 2008.
MONTESSORI, Maria. Psico Aritmética. Barcelona: Araluce, 1934.
NASCIMENTO, Ana Maria Porto. A pesquisa como instrumento de mediação num ambiente
de aprendizagem matemática: aprende a criança, aprende a professora e aprende a pesquisadora. (Dissertação de mestrado). Faculdade de Educação, Universidade de Brasília. Brasília:
Mimeo, UnB, 2002.
36
texto
3a
A criança se percebendo como construtora
Sistema de Numeração Decimal
do
Cristiano Alberto Muniz 1
Como tratado nos textos anteriores
sua presença no mundo do comércio, espor-
desta proposição de alfabetização matemática
tes, jogos, meios de comunicação, dentre ou-
nos anos iniciais, o ensino do Sistema de Nu-
tros, devem ser matéria prima para o trabalho
meração Decimal não pode ser sintetizado na
pedagógico voltado à aprendizagem escolar
transmissão mecânica e sem significados de
no Sistema de Numeração Decimal. Assim, a
estruturas, tais como as ordens, classes, valor
criança vivencia, em sala de aula, práticas e re-
absoluto, valor relativo, imposição de termi-
flexões sobre os números, já presentes em seu
nologias como milhar, centena, dezena e uni-
cotidiano, o que permite, a cada uma, levantar
dade, assim como não podemos mais aceitar
hipóteses sobre suas escritas e leituras, seus
que alfabetizar em matemática implique na
significados diferenciados em cada contexto
redução ao objetivo de “escrita por extenso”
de uso e sua apropriação pelo sujeito social.
dos números e saber decompor em ordens e
classes de forma estática.
Refletir sobre as práticas pedagógi-
cas voltadas à aprendizagem das estruturas
Sistema de Numeração Decimal
como estrutura matemática a ser
ensinada e a criança como agente ativo na construção de suas
aprendizagens.
do número no Sistema de Numeração Decimal deve nos remeter, necessária e desejavelmente, à possibilidade de termos acesso
aos conceitos até então construídos pelos
alunos, os significados atribuídos às suas estruturas e suas motivações para a quantifica-
Devemos partir do pressuposto fun-
ção, como base para conceber a construção
damental de que toda criança está mergulha-
de um projeto didático-pedagógico, em que
da num contexto sociocultural no qual os nú-
cada aluno se veja como ser ativo na cons-
meros, suas leituras e escritas, sua utilização
trução do conhecimento do número no con-
social (quantificador, ordenador ou código) e
texto do Sistema de Numeração Decimal.
1
Doutor em Sciences de l’Education pelo Université Paris Nord, Professor Adjunto da Universidade de
Brasília e Consultor desta Edição Temática.
37
Não pretendemos assumir o sistema
que, ao compreender um novo jogo, ou seja,
como objeto de ensino a partir do qual cabe-
assimilando as regras que sustentam a ati-
ria, a cada alfabetizador, explicitar as regras
vidade lúdica proposta pelo alfabetizador, o
formais matemáticas de sua estruturação
aluno estará ludicamente assimilando tais
e organizar o trabalho pedagógico visando
estruturas, tão importantes para a apren-
à assimilação das mesmas pelos alunos, de
dizagem e construção da ideia do número
forma que eles sejam capazes de ler e escre-
no sistema decimal. Para tanto, tais jogos
ver números de forma competente. Objetiva-
devem incorporar, em sua estrutura, seja a
mos, ao contrário, pensar numa organização
ideia de agrupamento, seja a ideia de posi-
pedagógica em que nossas crianças se vejam
cionamento. É mister considerar que o po-
como sujeitos ativos na construção destas re-
sicionamento é decorrente da ideia do agru-
gras e das estruturas gradativas do sistema,
pamento, podendo o agrupamento existir
de modo que, a cada aula, possam atribuir
sem a noção de posicionamento. Portanto,
novos e mais complexos significados às re-
tratemos de jogos voltados primeiramente
gras que alicerçam o sistema numérico.
para a estrutura de agrupamento, para, em
um segundo momento, tratarmos de jogos
Ao assumir o agrupamento, posi-
com valor posicional. É interessante obser-
cionamento e registros formais como ba-
var que devemos propor uma evolução dos
ses para a estrutura do sistema numérico,
jogos, cada vez com uma nova estrutura
intentamos que a escola favoreça, aos alfa-
matemática incorporada na versão anterior,
betizandos, experiências em que, de forma
permitindo que os mesmos acabem por se
ativa, crítica e criativa, os alunos possam se
constituir em uma sequência didática, mui-
sentir, de certa forma, autores da proposi-
to útil para o desenvolvimento de um pro-
ção das estruturas numéricas.
jeto pedagógico voltado à aprendizagem do
número na estrutura decimal.
As regras do Sistema de Numeração Decimal como bases para a
construção de jogos de alfabetização matemática.
Quanto ao agrupamento, temos
duas instâncias de aprendizagem do ato de
agrupar (lembremos que podemos mesmo
explorar a ideia de que o agrupamento é um
Nosso maior objetivo é propor jogos
ato espontâneo do ser humano na busca de
matemáticos que tenham, como regras, es-
quantificar uma quantidade não percepti-
truturas do Sistema de Numeração Decimal,
va): inicialmente, o agrupamento simples,
especialmente o agrupamento, o posicio-
e, na sequência, o agrupamento complexo.
namento e o registro simbólico. Pensamos
38
No agrupamento simples, dada uma
a escola tem que disponibilizar material
quantidade, o sujeito realiza agrupamento,
que permita ao aluno agrupar fisicamen-
permanecendo fixa a quantidade de elemen-
te o material de contagem. Assim, vemos
tos dos grupos, até que não possamos mais
como os treze palitos ficam organizados
formar grupos. Assim, o que resta sem agru-
em 4 montinhos de 3 palitos cada, e sobra
par deve ser sempre inferior ao número de
1 sem estar amarrado. Se fossem 14 palitos,
objetos de cada grupo. Para tanto, pensamos
ficariam 2 palitos soltos.
no jogo “Ganha quem resta mais”, em que
cada um pega, aleatoriamente, sem contar,
O agrupamento complexo trata não
certa quantidade de objetos. Um dado, por
apenas de fazer grupos, mas de realizar gru-
exemplo, indica quanto deve haver nos gru-
pos de grupos. Ou seja, se na atividade está
pos (valor fixo para todos os participantes).
determinado que cada 5 objetos formam um
Assim, cada participante deve fazer grupos
grupo, quando o jogador tiver 5 grupos, es-
(amarrando-os) até não ser mais possível
tes formam um grupo de grupo. O agrupa-
fazê-los. Os objetos restantes, sem partici-
mento complexo requer, além da formação
par da formação de grupo, correspondem
do grupo de objetos, a formação de grupos
aos pontos ganhos pelo jogador. Para cada
de grupos, ao obtermos uma quantidade de
objeto restante, ganha-se uma prenda. O ga-
grupos equivalente à quantidade de referên-
nhador é aquele que, ao final de um certo
cia. Por exemplo, se estivermos agrupando
número de rodadas, tiver mais prendas.
de 5 em 5, ao obtermos 5 grupos, estes terão
de ser agrupados formando, portanto, um
O agrupamento simples é aquele em
grupo de 5 grupos, com 5 objetos cada. As-
que a regra é a da formação de grupo, as-
sim, teremos uma estrutura que prevê, tan-
sim que tivermos a quantidade predetermi-
to a formação de grupos de objetos como
nada de objetos. Nessa lógica, por exemplo,
de grupos de grupos, ou ainda de grupos de
se estamos com agrupamento simples de 3,
grupos de grupos, e assim sucessivamente.
numa situação com treze palitos, teremos:
Como fica, então, um agrupamento complexo de treze, com grupos de três?
Amarrar os palitos tem um significa-
do importante na construção da represen-
Como você pode perceber, professor,
tação mental da criança. Para ela, apenas
teremos um grupo de três grupos, com três
estar junto não é formar grupo. Portanto,
palitos cada, um grupo de três palitos e um
39
palito solto; tendo formado três grupos, es-
Num segundo estágio, é inserida nes-
ses três têm de ser agrupados formando um
te jogo uma plataforma onde são posiciona-
grupão – grupo de grupo.
dos os soltos e os grupos, tendo como referência o sentido e a direção da direita para a
Por que isso é importante? Ao viven-
esquerda (assim como é feito no nosso siste-
ciar atividades dessa natureza, os alunos vão
ma de numeração). Assim, a nova regra diz
assimilando estruturas próprias do sistema de
que, a cada formação de um grupo, este será
numeração. Contudo, devemos buscar trans-
posicionado na casa da esquerda, ficando os
formar tais atividades em jogos, em momen-
soltos na da direita. Ganha o jogo aquele que
tos lúdicos, de forma tal que aprender a jogar
ganhar a corrida, ou seja, conseguir colocar
implique assimilar as regras do jogo, que são,
um grupão na casa da esquerda.
em última instância, as regras básicas do processo histórico de quantificação de grandes
quantidades. Se a atividade lúdica no agrupamento simples induzia a formar grupos, agora, no agrupamento complexo, o objetivo é
formar grupo de grupos. Assim, o jogo “Quem
tem um grupão primeiro” aparece como uma
proposta interessante que tem como regra
aqui fique evidenciado o quanto a suces-
tais objetivos. Cada jogador, na sua vez, lança
são de jogos se constitui em sequência di-
um lado. O valor indicado pelo dado deve ser
dática, apoiando a constituição do projeto
tomado em palitos. Cada jogador, ao obter 5
pedagógico), são inseridas representações
palitos, deve formar um grupo de 5, amarran-
simbólicas no jogo. Por exemplo, uma ficha
do-os. Para tanto, o jogador pode utilizar os
vermelha para cada solto, uma ficha verde
palitos soltos da rodada anterior. Quando o
para cada grupo e, finalmente, uma ficha
jogador conseguir formar 5 grupos de 5 pali-
dourada para o grupão formado. Portanto,
tos cada, deve juntar os 5 grupos, amarrá-los,
as fichas vermelhas ficam sempre na casa
formando um grupão de cinco grupos. É hora
da direita, as vermelhas na casa central e a
de levantar a mão, mostrando o montão,
dourada (indicando o vencedor) na casa da
declarando-se ganhador(a), mediante a frase:
esquerda. O professor que quiser expandir
“Ganhei, tenho um montão”. Caso faça isso
sem ter amarrado os grupos, perde um grupo. Ganha o primeiro que formar o montão
de 5 montinhos. O valor pode variar de jogo a
jogo, podendo em outra oportunidade, estar
formando grupos de 8 palitos, por exemplo.
Num terceiro estágio (espero que
poderá ir inserindo novas casas à esquerda, o que implicará maiores quantidades.
É importante ressaltar que o uso das fichas
numeradas com os dez algarismos deve ser
realizado tão somente com o agrupamento
decimal, e não antes disto.
40
A esta altura da sequência didática,
Objetivo do jogo:
as estruturas fundantes do sistema de nu-
Ganha quem primeiro formar o grupão: o
meração já estão assimiladas pelos partici-
amarrado de dez grupos de dez palitos cada
pantes enquanto regras de jogo. Não saber
um. Quem primeiro formar o grupão, levan-
jogar é não saber respeitar tais regras mate-
ta a mão com ele e declara em voz alta: “ga-
máticas. Ao longo do desenvolvimento das
nhei CEM primeiro”.
atividades, é importante a mediação pedagógica realizada pelo professor, questionan-
Materiais:
do, animando, instigando: “Quanto falta
- ao menos 100 palitos por jogador
para formar um novo grupo?” “Quantos sol-
- ao menos 12 liguinhas elásticas (tipo aque-
tos e quantos montões você tem a mais?”
la de amarrar dinheiro) por jogador
- dois dados, de preferência com algarismos.
O professor deve se preocupar com
a evolução para uma linguagem científica
somente quando a criança já demonstra
essa conservação – quando pega um grupo
que ela própria amarrou e, sem contar novamente, afirma categoricamente que são
DEZ. Mas, mesmo diante dessa evolução da
conservação, a terminologia nunca deve ser
dada de graça para a criança. A terminologia deve ser gradativamente construída pela
Se for com bolinhas, de preferência que não
seja o tradicional, isto é, sem constelação
(sem a distribuição clássica das quantidades),
fazendo com que a criança tenha que contar
a quantidade indicada em cada dado. Os dados podem ter quantidades maiores que seis
- 1 pote (que pode ser copo plástico ou embalagem de sorvete)
Número de jogadores: entre dois e quatro alunos.
criança e sempre com significado:
Indicação: para alunos do 1º e 2º anos
Grupinhos de DEZ: é o de DEZ: é DEZena
Regras:
Soltos são de UM: é um a um: é Unidade
Os grupões são dez de dez: é cem: é CENtena
dores. Na primeira rodada:
Vamos então, concretamente, à
sugestão de um jogo que muito contribui
com a construção do SND, proposto também pelo material do PNAIC de Matemática
(MEC, 2014), o “Quem ganha cem primeiro”:
O grupo define a sequência dos joga- cada jogador, na sua vez, lança os
dois dados e pega a quantidade em palitos
de acordo com o valor indicado pelo total de
pontos dos dados. Todos os palitos devem
estar inicialmente depositados no pote;
- se o resultado for igual ou maior
que 10, a criança deverá usar a liga elástica
para amarrar 10 palitos e formar um grupo.
41
Se houver sobra, ela ficará na mesa sem
e para não haver mistura, afinal, a escola
amarrar para se juntar aos palitos ganhos
deve fornecer meios para ajudar a criança
nas próximas rodadas, a fim de fazer novos
pequena, em processo de alfabetização, a
grupos. Caso o resultado seja menor que
se organizar.
10, o jogador deixa-os na mesa sem amarrar, esperando a próxima rodada na espe-
- ao obter DEZ grupos de dez paliti-
rança de formar um grupo de 10.
nhos, usar uma liguinha elástica para agrupar
os dez grupos, formando um grupão. Assim
- ao concluir a organização de seus
feito, a criança levanta o grupão e declara em
palitos soltos e de seus grupos, passa os dois
voz alta: “Ganhei CEM primeiro”. Caso levan-
dados para o colega seguinte dizendo: “EU
te os dez grupos sem agrupá-los em um gru-
TE AUTORIZO A JOGAR”. Isto faz com que
pão, perde um grupo, que volta ao pote.
cada jogador tenha sua rodada garantida, e
que os demais observem as contagens, cor-
- Quando um aluno se declarar ga-
respondências e agrupamentos, aprendendo
nhador, os colegas devem conferir se está
e refletindo, não apenas com suas próprias
tudo certo, ou seja, se o grupão é formado
ações, mas com as dos colegas também.
de dez grupos amarrados, e se cada grupo
tem dez palitinhos.
Nas rodadas seguintes:
- O jogo não termina com a declara-
- proceder do mesmo modo: lançar
ção do primeiro ganhador. O professor deve
os dados e cada vez que obtiver DEZ pali-
estimular os demais jogadores a continua-
tos, usar a liguinha elástica para formar um
rem o jogo para ver quem ficará em segundo
grupo, podendo ficar, no final da rodada,
e terceiro lugares, e assim por diante. Quem
com palitos soltos e grupos.
já ganhou fica ajudando a conferir as quantidades que cada jogador está obtendo e or-
- se estiverem soltos, estes palitos
ganizando em grupos.
ficam acumulados para serem acrescentados aos que serão ganhos nas rodadas posteriores, sendo que os mesmos ficam na
carteira do aluno, organizados, de forma
Evolução dos materiais para a
construção gradativa de sentidos
e representações mais complexas
a não se misturarem com os dos colegas
(isto também é matemática) ou com os do
Os jogos, que inicialmente são reali-
pote. Os palitos inicialmente devem ficar
zados agrupando palitos, devem mobilizar,
no pote, visando à organização do material
gradativamente, materiais mais estrutura-
42
dos e simbólicos, favorecendo a quantifica-
Seria muito interessante propor, neste
ção de quantidades maiores, sem perder de
contexto, jogos socioculturalmente mais sig-
vista a construção de significados pelas crian-
nificativos a partir deste momento. O mesmo
ças. Os materiais a serem realizados sobre os
jogo da última etapa poderia ser realizado,
tapetinhos podem assim evoluir:
mas com notinhas de $1, $10 e $100, quando
ganharia que formasse primeiro $100, como
- palitos, com elástico amarrando. A
propôs Nilza E. Bertoni em seu texto.
cada dez, amarra-se com a liga elástica e passa o novo grupo para o campo da esquerda.
- material dourado montessoriano,
sem necessidade de elástico, pois ao invés de
amarrar, ao ter dez unidades, troca-se pela
unidade seguinte e posiciona este no campo
da esquerda seguinte;
- dinheiro chinês, que é qualquer
tipo de material, diferenciado, por exemplo,
pela cor. A turma estabelece, para cada cor,
um valor. Por exemplo, vermelho = 1, ama-
A organização do trabalho pedagógico da aula da Matemática quando o jogo para a construção do SND
é o centro da proposta pedagógica
O processo didático-pedagógico pau-
tado na utilização de jogos para favorecimento de aprendizagens matemáticas constitui-se fundamentalmente em três etapas:
1º) Ensino de um novo jogo para a aprendizagem das regras; 2º) Desenvolvimento do
relo = 10, azul = 100 e verde = 1000. Assim
jogo pelas crianças; e 3º) Discussão coletiva
a cada dez peças de uma cor, troca-se pela
do jogo, socializando situações.
cor correspondente seguinte, sempre posicionando, no tapetinho, as peças, de acordo
No primeiro momento, que é o en-
com a sua cor-valor.
sino de um novo jogo a toda a turma, é importante que o processo pedagógico seja
Assim, observa-se que a ação de
centrado no grande grupo. Há de se conce-
amarrar dez é substituída pela ação da troca
ber estratégias de organização da classe, de
por uma peça que vale dez da peça anterior.
forma que todos possam assimilar as regras
A ação da troca é cognitivamente mais com-
do novo jogo, observando uma, duas ou três
plexa que a contagem e consequente amarra-
crianças jogando com orientação do pro-
ção dos “dez”. Assim, atividades lúdicas com
fessor. Assim, a explicação de um novo jogo
a troca devem vir quando as crianças estão
pode acontecer com os alunos organizados
bem familiarizadas com o amarrar, e a alfa-
em “rodinha”, sendo que o alfabetizador vai
betizadora deve estar especialmente atenta
“ensinar” o novo jogo (antes de a atividade
para a evolução de um material para o outro.
ser realizada em pequenos grupos), chaman-
43
do por vez, duas crianças para jogar, com a
que o professor faça questionamentos que
participação dos demais dando palpites. O ob-
busquem elucidar os conceitos matemáticos
jetivo neste momento não é concluir o jogo,
que são buscados para se trabalhar no jogo.
mas oferecer, aos alunos, a oportunidade de
compreender suas regras, ou seja, de apren-
O terceiro momento é aquele em que,
depois de concluídos
der a jogar. O número
de rodadas a serem realizadas dependerá da
turma. Sugerimos que
ocorra
um
número
de rodadas suficiente
para que todos tenham
compreendido
“ (...) a escola deve estar
especialmente atenta
em oferecer às crianças
um ambiente rico em
estímulos.”
os jogos nos grupos, o
professor pode discutir
ideias matemáticas coletivamente, retomando
algumas situações para
a socialização.
como
se joga, ganhando autonomia para a realização da atividade lúdica em pequenos grupos.
A sala de aula como ambiente numerizador para além dos jogos.
Muitas vezes é quando as crianças dizem “tá
bom professora, chega, já entendemos, agora
Além da oferta de jogos estruturados
deixa a gente jogar sozinho”.
a partir das regras do SND, a escola deve estar
especialmente atenta para oferecer às crian-
No segundo momento, após apren-
ças um ambiente rico em estímulos, para
derem como se joga, a atividade lúdica se
que, no cotidiano, coletivamente, as crianças
desenvolve em pequenos grupos, de acordo
em alfabetização possam vivenciar situações,
com a realidade de cada sala de aula. Duran-
contextos e materiais que as levem a explo-
te a atividade, o professor visita cada grupo,
rar, cada vez mais, de forma rica, complexa e
orientando as regras, instigando e colocando
significativa, os números, suas escritas, leitu-
questões. Para os jogos aqui indicados suge-
ras e usos. Por exemplo, temos a propor:
rimos questões do tipo: por que amarrou (ou
não amarrou)? Quantos faltam para fazer um
• Medir distâncias com passos – cami-
novo grupo? Quantos faltam para formar o
nhando junto, contando degraus, sempre
grupão? Quem está ganhando? Com quantos
em voz alta e compassada...
a mais? Quem está perdendo? Quanto falta
para alcançar os demais? O 1 do grupo tem o
mesmo valor que o 1 dos soltos? E outras provocações que pareçam pertinentes em cada
situação e contexto. É importante também
• Registrar a passagem do tempo com
o movimento de uma sombra, por meio
do deslocamento da sombra da janela no
chão do quarto ou da sala, colando uma
44
fita, colocando uma graduação de hora
proporcionalidades, possibilidades, façam
em hora, de 30 em 30 minutos, exploran-
parte da estrutura lúdica do jogo. Impor-
do a ampulheta em jogos, ensinando a
tante também, além da oferta, é a parti-
usar calendários...
cipação do adulto-educador no jogo. Ele
poderá colocar questões para que a crian-
• Participação em pequenas atividades
rotineiras – colocando a mesa (pondo pratos e talheres de acordo com o número de
pessoas), fazendo juntos pequenas receitas, medindo os ingredientes e medindo o
tempo e temperatura de cozimento...
• Participação nas compras, mesmo
que em situações de simulação, como a
vendinha – acompanhando a composição
da lista de compras, lendo junto as indicações das embalagens, vendo o preço de
ça realize uma reflexão sobre sua própria
ação, justifique e explique suas ações, e, a
partir daí, situações mais complexas podem ser criadas. Brincar com jogos que
necessitem da relação dos algarismos
com as quantidades numéricas, comparar
quantidades...
• Explorar as matemáticas nos espor-
tes – na análise das tabelas de campeonatos, comparando os pontos de cada equipe, na medição de tempos e espaços...
cada produto e comparando, tentando
prever o custo total da lista, ajudando a
• Construir e participar de jogos cultu-
pagar, fazendo composições aditivas das
rais e construção de brinquedos – propon-
cédulas e conferindo o troco, participan-
do e participando de jogos e brincadeiras,
do do preenchimento do cheque...
tais como a amarelinha (que trabalha
conceitos topológicos, ordem crescente e
• Manipulando
pequenas
quantias
de dinheiro – possibilitar a manipulação
de pequenos valores, estimulando a realização de pequenas economias coleti-
decrescente, os algarismos, etc.); bolinha
de gude, construção de pipa, carrinho de
rolimã, pequenas receitas, confecção de
roupas, construção de acampamentos...
vas, realizar pequenos projetos, juntando
“dinheirinho” para compras simbólicas,
• Ensinar e cantar músicas que possu-
sempre contabilizando o que já conseguiu
am a sucessão numérica – canções cujas
e o quanto ainda falta...
letras e compassos baseiem-se na contagem dos números, seja em ordem cres-
• Explorar jogos matemáticos, ofere-
cendo jogos de plataforma, cartas e outros, em que ferramentas matemáticas,
tais como números, operações, medidas,
cente ou decrescente, tais como: Mariana conta.... Um elefante incomoda muita
gente, Um elefante se pendurou numa
teia de aranha...
45
• Quantificar e comparar conjuntos de
- Relógio digital;
rinhas, carros amarelos que passam, dias
- Calendário dos aniversariantes or-
que faltam para o aniversário, pessoas da
ganizados por mês;
objetos – como pequenas coleções, figu-
família, peças do vestuário...
• Realizar classificações – por meio das
- Lista de produtos da cantina com
preços indicativos;
cores, funções, tamanho, tipo de material...
• Manipular instrumentos de medidas
– uso de régua e trena, balança, relógio,
- Fita métrica colada na parede
para que, sempre que necessitem, meçam
suas alturas;
termômetro, velocímetro...
• Explorar os números no endereço,
no telefone, nas placas dos veículos, nos
- Cartazes com as diferentes compo-
sições de um real com moedas:
canais de TV ou rádio, nas programações,
na numeração da roupa, nas placas de
trânsito e no odômetro do carro...
46
Além disso, como já indicado por
Bertoni, a presença do cartaz “Quantos somos hoje”, deve estar presente no ambiente
matematizador da sala de aula das crianças
que incluirá, ainda:
- lista de composição da turma, or-
ganizada em ordem alfabética e numérica;
- calendário do mês e calendário anual:
- Cartazes que apoiem a leitura e sequ-
ência numérica de dezenas e centenas exatas:
- Cartaz com a contabilidade do va-
lor arrecadado para a poupança coletiva:
Assim, além da presença de jogos
que favoreçam a aquisição das estruturas do
número no sistema decimal, a sala de aula e
a escola, como um todo, devem ser espaços
que promovam o interesse da criança pelos
processos de matematização de sua realidade, onde o professor alfabetizador aparece
como provocador e mediador dos processos
instaurados num cotidiano pedagógico rico
em estímulos e trocas.
47
REFERÊNCIAS
Módulo de Sistema de Numeração Decimal do PNAIC-MEC, 2014.
48
texto
3b
SND:
conceitos matemáticos articulados com
atividades pedagógicas
Eurivalda Santana 2
O Sistema de Numeração Decimal é
da escolarização não atentam a essa neces-
uma criação realizada num percurso de mi-
sidade de articulação e de compreensão dos
lhares de anos. Em seu processo de criação,
conceitos inerentes ao Sistema de Numera-
buscou atender às necessidades sociais das
ção Decimal com a compreensão das regras
civilizações. Neste contexto, o seu ensino foi
dos algoritmos das operações fundamentais.
enraizado na cultura escolar e, em diferentes
Esta falta de compreensão dos conceitos ine-
momentos, foi sendo apresentado de maneira
rentes ao sistema dificulta a aprendizagem
praticamente automática, ou seja, sem se pro-
dos agrupamentos e das trocas necessárias
por à verdadeira compreensão dos conceitos
para efetuar as operações.
inerentes a este Sistema e sem a preocupação
de diferenciá-lo dos demais sistemas que fo-
Não podemos esquecer as dificulda-
ram criados por diferentes povos e não univer-
des que o professor dos anos iniciais possuem
salmente adotados. Para Toledo e Toledo
para o trabalho com áreas específicas do co-
(1997, p. 58, grifo dos autores):
nhecimento. Como bem colocou Polya (2006):
Professores habituados a trabalhar com
[...] A Matemática tem a duvidosa honra
crianças que apresentam dificuldades em
de ser a matéria menos apreciada do cur-
“fazer contas” com os números naturais
rículo [...]. Os futuros professores passam
sabem que, na verdade, uma das principais
pelas escolas do Ensino Básico e apren-
causas do problema está no aprendizado do
dem a detestar a Matemática [...]. Depois
Sistema de Numeração Decimal.
voltam a estas escolas para ensinar a nova
geração a detestá-la.
Não concordo integralmente com os
autores, pois acredito que, muitas vezes, os
Muitas vezes, essa aversão à disci-
professores que trabalham no nível inicial
plina interfere de modo direto no trabalho
2
Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo e Professora
Adjunta da Universidade Estadual de Santa Cruz , Brasil.
49
com os conceitos matemáticos. Mas, a quais
- Todo e qualquer número pode ser
conceitos matemáticos estamos nos referin-
representado usando o princípio aditivo – o
do quando falamos do Sistema de Numera-
valor do numeral pode ser dado pela adição
ção Decimal?
dos valores posicionais dos símbolos. Exemplo: 14 = 10 + 4
A base dez é o alicerce do Sistema de
Numeração Decimal (SND). O pressuposto
- Cada algarismo pode ser repre-
primordial dessa base é ter em mente que
sentado usando o princípio multiplicativo
todas as operações são realizadas a partir de
– cada algarismo representa o produto dele
agrupamentos de 10 em 10. Podemos afir-
mesmo pelo valor de sua posição. Exemplo:
mar que o SND tem características próprias,
escrever o número 532:
que envolvem diferentes conceitos, os quais
precisam ser apropriados pelos estudantes
para que se dê a compreensão desse sistema, a saber:
- O SND tem 10 símbolos – 0, 1, 2, 3,
Usando os princípios aditivo e mul-
4, 5, 6, 7, 8 e 9 – a partir dos quais pode cons-
tiplicativo, podemos escrever 532 da se-
truir todo e qualquer numeral ;
guinte forma:
532 = 5 X 10² + 3X 10¹ + 2 X 10º.
Nestas características, é possível
3
- O SND utiliza a base 10 - por isso ele
é chamado de sistema decimal;
- O Zero é um símbolo importantíssi-
mo para representar a ausência de quantidade;
- Os símbolos possuem valores distin-
tos, segundo sua posição no número – a posição onde se encontra um símbolo é que define o seu valor, ou seja, um mesmo símbolo
pode ter valores diferentes, de acordo como a
destacar os conceitos4 que se fazem necessários ao se trabalhar, em sala de aula, com
o Ciclo de Alfabetização, a saber: os símbolos envolvidos, a contagem, a base dez, os
agrupamentos de dez em dez, o valor posicional (ordens e classes), o princípio aditivo,
o significado do zero.
posição em que ele se encontra no número;
3
Alguns autores fazem diferença entre “número” e “numeral”, considerando número como a ideia de
quantidade e numeral como a representação dessa ideia. Por entendermos que um está implicitamente imbricado
com o outro, optamos por não diferenciá-los.
4
Assumimos conceito como feito por Santana (2012, p. 23): “[...] conceito como a formulação de uma ideia
através das palavras e do pensamento”.
50
Para Santana (2012), quando esta-
com uma única situação”. Utilizando esta
mos na prática de sala de aula, é possível ob-
afirmativa no ensino do Sistema de Nume-
servar que um conceito não tem sentido em
ração Decimal e dos principais conceitos a
si mesmo, mas adquire sentido quando en-
serem focados nas ações pedagógicas, po-
volvido em situações-problema.
(1996,
Vergnaud
p.156)
coloca
que “este processo de
elaboração
pragmá-
tica é essencial para
a psicologia e para a
didática”. Assim, em
sua essência, as situações pedagogicamente
demos elencar alguns
“ (...) as situações
pedagogicamente
apresentadas em sala de
aula necessitam ter foco
para a aprendizagem dos
conceitos inerentes às
mesmas.”
apresentadas em sala
de aula necessitam ter foco para a aprendizagem dos conceitos inerentes às mesmas.
Segundo a abordagem de Vergnaud (1996),
uma única situação envolve diferentes conceitos e um conceito se associa a diferentes
situações. Assim, as atividades postas pedagogicamente precisam focar o conceito a ser
abordado num dado momento.
Mas como articular conceitos mate-
máticos, inerentes à estrutura do Sistema de
Numeração Decimal, com atividades pedagógicas a serem apresentadas aos estudantes no
exemplos de articulação entre conceitos e
atividades pedagógicas.
Vale
ressaltar
que
as crianças constroem
seus conhecimentos a
partir da coordenação
das relações que vão
criando entre os obje-
tos e suas ações sobre esses objetos. Essas
atividades podem partir do lúdico, envolvendo: desafios, contação de história, música, arte, história da matemática e brincadeiras infantis, passando pela socialização
e alcançando o registro.
Para compreender as características
do Sistema de Numeração Decimal, dentre outros fatores, a criança precisa: usar
os números em situações pedagógicas que
apontem sentido para elas; refletir sobre as
Ciclo de Alfabetização? Este questionamento
situações e os números envolvidos; obser-
pode conduzir a uma reflexão do nosso fazer
var as regularidades e os padrões numéricos
pedagógico: proporcionamos essa articula-
existentes na situação; e utilizar o número
ção em nossa prática?
em suas diferentes funções. Estas são articulações que podem facilitar, para a criança, o
Para Santana (2012, p. 24), “a com-
preensão de um conceito pelo estudante
não se dá quando este é confrontado apenas
domínio dos conceitos inerentes às características do Sistema de Numeração Decimal.
51
Para Moreno (2006, p. 71), “restringir
todas a possam visualizar e tocar sempre que
[...] o campo numérico impede as crianças de
sentirem necessidade (MORENO, 2006). A dis-
pôr em prática aquilo que sabem [...]”. Outros
ponibilização de linhas e colunas na cartela
autores, como Mabel Panizza, também afir-
numérica favorece a observação das regula-
mam que não se faz necessário restringir o
ridades, padrões numéricos e a organização
campo numérico a ser trabalhado, visto que
própria do Sistema de Numeração Decimal,
as crianças são confrontadas diariamente
a base dez, bem como os agrupamentos de
com as mais diversas ordens e classes numé-
dez em dez, o significado do zero, a leitura
ricas, o que implica que não podermos ensi-
e a escrita dos números, a comparação e a
nar um número isoladamente. Por exemplo,
sucessão, dentre outros conceitos.
para se ensinar o símbolo 8 não podemos fazer de maneira isolada, negando a sua ligação
Atividades pedagógicas que confron-
com o 7 e com o 9. Além disso, a criança pode
tem as crianças com situações que partem
conhecer o número em suas experiências fora
do reconhecimento do próprio corpo e nu-
da escola. Por exemplo, seu irmão mais ve-
meração das próprias vestimentas, também
lho tem 18 anos, sua avó tem 80, sua data de
são sugeridas para o trabalho inicial com
nascimento é 28 do mês 08 de 2008. Em que
conceitos iniciais do Sistema de Numeração
se diferenciam esses usos do 8 em questão? É
Decimal. Esse tipo de atividade facilita o tra-
importante valorizar suas experiências e não
balho com os conceitos como: contagem,
negar os conhecimentos já existentes.
valor posicional, base dez e comparação de
quantidades, dentre outros.
Neste caso, indicamos o uso de carte-
la numérica, desde o início do Ciclo de Alfabe-
tização. A amplitude da cartela vai variar com
sugerido que os conceitos sejam abordados
o nível de conhecimento que a turma possui.
partindo-se do lúdico (SANTANA et.al, 2013).
Por exemplo, se o professor diagnostica que
Para o ensino de conceitos de agrupamentos
as crianças conseguem, pelo menos, recitar
e trocas sugerimos atividades lúdicas, como
os números até dez, é indicado que ele utilize
jogos que usam dados e/ou que envolvam
a cartela numérica de zero a trinta. Esta seria
contagem de objetos, trilhas, etc. Todos estes
construída com dez colunas e quatro linhas. possibilitam a articulação entre os conceitos
À medida em que as crianças ampliam seu
e a atividade pedagógica, motivando as crian-
domínio, devem ser apresentadas novas fa-
ças. A resolução de situações-problema que
mílias de números, de modo que a cartela
envolvam a composição e a decomposição de
contenha de zero até 100. É importante que a
números pode facilitar o foco nos conceitos
crianças tenha fácil acesso à cartela, ficando
que definem o princípio aditivo.
esta disposta na sala de aula de forma que
Durante o Ciclo de Alfabetização é
52
Outra atividade pedagógica que facili-
ta a compreensão dos conceitos é o momento
buscar a interface entre as notações pessoais
e a formalização matemática.
de socialização das atividades desenvolvidas.
Ao se colocar para o grupo, a criança utiliza
Sugiro que um bom caminho para
a expressão oral, realiza reflexões, organiza
um trabalho em sala de aula, que articule os
seus pensamentos para efetivar a comunica-
conceitos matemáticos próprios da estrutu-
ção e esta é uma atividade que contribui para
ra do Sistema de Numeração Decimal com
que o grupo de alunos de uma sala possa tro-
atividades pedagógicas a serem ofertadas
car informações e colaborar para expressar
pelo alfabetizador, perpasse a utilização de
suas concepções espontâneas acerca de um
atividades lúdicas, evidenciando-se momen-
determinado quadro de conceitos. A media-
tos de socialização do grupo de crianças e
ção do professor e do próprio grupo que in-
dando a devida atenção aos registros e às
terage e propõe novas argumentações diante
representações utilizadas. O professor deve
do que foi realizado no tempo anterior (jogos
agir sempre na condição de mediador desse
e desafios), possibilita a compreensão de con-
processo de compreensão do Sistema de Nu-
ceitos. Enquanto mediador, o professor pre-
meração Decimal.
cisa explicitar, nesse momento, os conceitos
matemáticos que estão no foco, não precisando chamar a atenção das crianças que erram.
Precisa apenas trabalhar as diversas maneiras
de se representar de forma correta, incentivando e mediando as discussões de modo a
conduzir os alunos para o acerto.
Um terceiro passo que sugerimos para
ser colocado como rotina em sala de aula de
alfabetização é o momento do registro. Neste
momento, a atividade pedagógica prioriza o
fazer matemático por meio do registro individual da criança. A produção da criança pode
ser valorizada respeitando-se diferentes tipos
de representação numérica, como o uso de
desenhos, tracinhos e bolinhas para representar quantidades e números. Contudo, o professor, enquanto mediador deste processo, vai
53
REFERÊNCIAS
MORENO, B. R. de. O ensino do Número e do sistema de numeração na educação infantil e na
1ª série. In: PANIZZA, M. Ensinar Matemática na Educação Infantil e nas séries iniciais: análise
e propostas. Tradução: FELTRIN, A. Porto Alegre: Artmed, 2006.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Tradução: ARAÚJO, H. L. de. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
SANTANA, E. R. dos S. Adição e Subtração: o suporte didático influencia a aprendizagem do
estudante? 1. ed. Ilhéus: Editus, 2012. v. 1. 235p.
SANTANA, E. R. dos S. et al. Alfabetização Matemática: manual do professor. Salvador: Secretaria da Educação do Estado da Bahia – Instituto Anísio Teixeira, 2013. Disponível em: < http://
vleditora.com.br/alfabetizacaomatematica>.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática: como dois e dois. A construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.
54
VERGNAUD, G. A. Teoria dos Campos conceituais. In. BRUN, J. Didáctica das matemáticas.
Tradução: FIGUEIREDO, Maria José. Lisboa: Intituto Piaget, 1996. p. 155-191.
Presidência da República
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Básica
TV ESCOLA/ SALTO PARA O FUTURO
Coordenação Pedagógica
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Acompanhamento pedagógico
Grazielle Bragança
Copidesque e Revisão
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55
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Setembro 2014