Lugar das Raízes
Carlos Alexandre Mello
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1
Introdução
Lugar das raízes é um método de análise e projeto
para estabilidade e resposta de transiente
É uma representação gráfica dos polos de um sistema
de malha fechada à medida que os parâmetros do
sistema variam
A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho
de um sistema de controle e também serve como
uma ferramenta quantitativa que dá mais
informações do que os métodos já discutidos
A técnica pode ser usada para descrever
qualitativamente o desempenho de um sistema quando
vários parâmetros são mudados
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2
Introdução
Os polos de sistemas de malha aberta são
facilmente encontrados; o mesmo não acontece
com sistemas de malha fechada
Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de
serem encontrados, mas os polos de
[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração
do denominador e variam com K
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3
Introdução
Representação de números complexos como
vetores
a) s = σ + jω;
b) (s + a) = (σ + a) + jω;
σ+a
c) Representação
alternativa para (s + a);
d) (s + 7)|s→5 + j2
σ+a
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4
Introdução
No caso mais geral, considere a função:
Magnitude de F(s) em
qualquer ponto s
Ângulo θ de F(s) em
qualquer ponto s
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5
Introdução
Exemplo 1:
Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4
Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos
polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado
no plano complexo....
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Introdução
Exemplo 1 (cont.):
F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
s = -3 + j4
V1:
V2:
|V1| = √20
∠V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º
|V2| = √25=5
∠V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º
V3
V3:
V2
V1
∠V1
|V3| = √17
∠V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º
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Introdução
Exemplo 1 (cont.):
= √20
5√17
= 116º - (127º + 104º) = -115º
Assim, F(s) = 0,2169∠-115º no ponto s = -3 + j4
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Introdução
Exemplo 2: Dado
encontre F(s) para s = -7 + 9j
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Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
Considere o exemplo abaixo:
Variando K...
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Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
Considere o exemplo abaixo:
Plotagem dos polos da Tabela anterior
Lugar das raízes
Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K ≥ 0.
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Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
O lugar das raízes mostra as mudanças na
resposta de transiente com a variação de K
Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos
menores que 25
No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais
Sistema Sobreamortecido
Sistema Criticamente Amortecido
Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido
Observe que, nesse caso, a parte real do polo
permanece constante
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Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
Como a parte real do polo permanece constante, o
tempo de amortecimento também é constante
Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real
do polo
Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento
diminui e a porcentagem sobressinal aumenta
O tempo de pico diminui com o aumento do ganho
Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza
para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável,
independente do valor do ganho
A análise também é aplicável a sistemas com ordem
maior que 2
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Propriedades do Lugar das Raízes
A partir das propriedades do lugar das raízes, é
possível fazer seu rascunho para sistemas de alta
ordem sem precisar fatorar o polinômio do
denominador
Considere um sistema de controle de malha
fechada geral que tem função de transferência:
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Propriedades do Lugar das Raízes
Para tal sistema, um polo s existe quando o
polinômio no denominador é igual a zero, ou:
KG(s)H(s) = -1 = 1∠(2k + 1)180º , k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Onde -1 está representado em sua forma polar
Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um
número complexo e, se o ângulo desse número for um
múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para
algum valor de K
Se: |KG(s)H(s)| = 1 e ∠KG(s)H(s) =∠(2k + 1)180º
Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)
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Propriedades do Lugar das Raízes
Vamos considerar novamente o exemplo anterior e
a tabela associada ao valor de K:
Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.
KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]
Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1
K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1
K = 35 => KG(s)H(s) = -1
....
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1: Considere o sistema abaixo
A função de malha aberta é:
A função de malha fechada é:
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j
∠ = (θ1 + θ2) – (θ3 + θ4) = -70,55º
Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes
Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K
Para o ponto -2 + j√2/2
θ1 = 19,47º
θ2 = 35,26º
θ3 = 90º
θ4 = 144,73º
∠=(θ1 + θ2) - (θ3 + θ4) = -180º
Assim, -2+j√2/2 faz parte do
lugar das raízes
-2+3j
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho
K é:
K = L1L2/(L3L4) = (3/√2)(√3/√2)/[(√2/2)(√3/√2)] = 3
Assim, o ponto -2 + j√2/2 é um ponto do lugar das
raízes para um ganho de 3
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação
unitária que tem a seguinte função à frente:
Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)
Determine se o ponto está no lugar das raízes
Se sim, ache o ganho K
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 2 (cont.):
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Esboçando o Lugar das Raízes
O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se
todo ponto no plano s para localizar os pontos
cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180
Obviamente, essa tarefa é muito custosa
Podemos simplificar o processo com algumas
regras:
1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se
desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos
um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa,
então haverá um ramo para cada polo em malha
fechada
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao
número de polos em malha fechada
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação
ao eixo real
Os polos complexos sempre aparecem com seus
conjugados
3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade
que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para
determinar onde existem segmentos do eixo real que
fazem parte do lugar das raízes
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
3) Segmentos do Eixo Real:
Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos
P1, P2, P3 e P4 abaixo
A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é
nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam)
A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do
respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)
Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à
direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o
lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar
de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo
real
O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo
de 180º seja ímpar
No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar
das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
4) Pontos de Início e Término:
Início do lugar das raízes: ganho zero
Término do lugar das raízes: ganho infinito
O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de
G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)
Considere o sistema abaixo:
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
4) Pontos de Início e Término:
Considerando:
Temos:
Quando K → 0:
Quando K → ∞:
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N = Numerador
D = Denominador
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
4) Pontos de Início e Término:
Quando K → 0:
Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos
polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha
aberta
Quando K → ∞, os polos se aproximam à combinação
dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então,
termina nos zeros de G(s)H(s)
Observe que são os polos e zeros da função de malha
aberta!!
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
4) Pontos de Início e Término:
No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos
polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4
O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no
espaço entre esses polos indo de um para o outro
Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e
partem como números complexos conjugados até se
encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles
caminham em direção a esses zeros
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
4) Pontos de Início e Término:
3
5
5
1
4
1
2
3
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30
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras:
5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes
tende a retas assintóticas quando o lugar tende a
infinito. A equação das assíntotas é dada pela
interseção com o eixo real em σa com ângulo θa, como
segue:
# = Número de....
k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Observe que não faz sentido o número de polos ser igual
ou menor que o número de zeros
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Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o
sistema:
Polos: 0, -1, -2, -4
Zeros: -3
Primeiro, calculamos as assíntotas:
σa = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3
π/3,
θa = (2k + 1)π/(4 – 1) = (2k + 1)π/3 = π,
5π/3,
para k = 0
para k = 1
para k = 2
A partir daqui, os ângulos
se repetem....
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Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.):
O número de linhas é igual à diferença entre o número
de polos finitos e o número de zeros finitos
Polos e zeros
Assíntota
Assíntota
-4/3
Assíntota
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Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.):
Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta
e termina nos zeros de malha aberta
Existem mais polos do que zeros
Assim, devem existir zeros no infinito
As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito
A forma final pode ser vista a seguir....
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34
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.): Forma final
Inicia nos polos e termina nos zeros:
• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito
• Começa em -2 e termina em -3
• Começa em -4 e termina em infinito
Assíntota
Assíntota
Assíntota
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35
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o
sistema de re-alimentação unitária com função de
transferência à frente:
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36
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo 2 (cont.):
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Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Ponto de Saída
Ponto de Entrada
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Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um
ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de
polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou
chegando no ponto de entrada
Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de
180º/2 = 90º com o eixo real
Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e 2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse
ponto
O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes
caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo
nesse ponto em relação ao eixo real apenas
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39
Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho
mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros
Para encontrar os pontos:
Três soluções possíveis...
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40
Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída
sobre o Eixo Real
Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ
Exemplo:
Para todos os pontos no lugar das raízes:
Resolvendo para K:
σ1=-1,45
σ2 = 3,82
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Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída
sobre o Eixo Real
Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a
relação:
zi e pi são os negativos
dos zeros e polos!!!
Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
Polos: -1 e -2
Zeros: 3 e 5
σ1=-1,45
σ2 = 3,82
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42
Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída
sobre o Eixo Real
Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e
mínimo ganho através de recursos computacionais
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43
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo jω
Considere um exemplo anterior:
Como os polos estão no semiplano esquerdo, o ponto de
interceptação com o eixo
imaginário indica no lugar das
raízes o ponto que separa uma
operação estável do sistema de
uma operação instável do
sistema
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44
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo jω
Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω,
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte
maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser
nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando
uma linha para a equação de polinômios par e buscando
as raízes obtém-se a frequência de cruzamento com o
eixo imaginário
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45
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo jω
Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o
ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo
imaginário
Tabela Routh:
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Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo jω
Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que
pode ser completamente anulada é a de s1
No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0
Considerando esse valor de K e retornando para s2:
K = -74,65 e 9,65
Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de
sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim,
vamos usar K = 9,65
(90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0
s = ±j1,59
Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para
um ganho 9,65
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47
Refinando o Esboço
Ângulos de Chegada e Partida
É possível também calcular os ângulos de chegada e de
partida dos polos e zeros
Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é
mais apropriado
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48
Resumo
Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes
Número de ramos é igual ao número de polos em
malha fechada
O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real
No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à
esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros
finitos em malha aberta sobre o eixo real
O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos
de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de
G(s)H(s)
O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o
lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são
definidas por:
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49
Resumo
Regras Adicionais para Refinar o Esboço
O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o
ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o
ganho é máximo
O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto
onde ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de RouthHurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de
cruzamento
Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados
precisamente
Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à
relação ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:
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Exemplo 1
Considere o sistema abaixo:
Esboce o lugar das raízes e encontre:
a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω
b) O ponto de saída do eixo real
c) A faixa de K na qual o sistema é estável
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51
Exemplo 1 (cont.)
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 ± j4
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52
Exemplo 1 (cont.)
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 ± j4
O lugar começa entre os
polos e termina nos zeros
sendo simétrico em relação
ao eixo real
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53
Exemplo 1 (cont.)
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 ± j4
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54
Exemplo 1 (cont.)
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55
Exemplo 1 (cont.)
a) Cruzamento com o eixo imaginário
Tabela de Routh:
s2
(K + 1)
s1
(6 – 4K)
(20K + 8)
0
Essa linha pode ser
anulada com K = 3/2
s0
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56
Exemplo 1 (cont.)
a) Cruzamento com o eixo imaginário
Considerando a linha anterior de equação par para o
ganho definido, temos:
Assim, o cruzamento com o eixo imaginário
se dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2
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57
Exemplo 1 (cont.)
b) Pontos de entrada e saída
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 ± j4
σ1 = 5,28
σ2 = -2,88
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Pelo esboço do lugar
das raízes, só pode
ser esse valor
58
Exemplo 1 (cont.)
c) A faixa de K na qual o sistema é estável
Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5
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59
Lugar das Raízes para Sistema de ReAlimentação Positiva
Considere o sistema abaixo:
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60
Lugar das Raízes para Sistema de ReAlimentação Positiva
Regras:
1. Número de ramos: Mesmo que antes
2. Simetria: Mesmo que antes
3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para
sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda
de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha
aberta
4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes
5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:
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Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 8, Problemas:
1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)
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62
A Seguir....
Projeto Através do Lugar das Raízes
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63