FÍSICA 3
Potencial Elétrico
Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba
Potencial Elétrico
•
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•
•
•
Carga Elétrica
Campo Elétrico
Lei de Gauss
Potencial Elétrico
Capacitância
Corrente e resistência
Circuitos Elétricos em Corrente Contínua
Campo Magnético
Indução Magnética
Indutância
Magnetismo em Meios Materiais
Atividades
1
Potencial Elétrico
• Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo
exerce uma força que realiza trabalho sobre a partícula.
• O trabalho realizado é expresso em termos da energia potencial elétrica.
• A energia potencial elétrica (ou simplesmente potencial) é determinada em
função da posição da partícula no campo elétrico.
Conceito de Trabalho
Quando uma força F atua sobre uma partícula que se move de um ponto
a até um ponto b, o trabalho realizado pela força é calculado por uma
integral de linha:
r r
F
∫ ⋅ dl =
∫ Fcos (ϕ ) dl
a
a
b
Wa→b =
b
Onde dl é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória e φ é o ângulo
entre F e dl em cada ponto da trajetória.
2
Forças Conservativas
Uma força conservativa é definida como aquela, cujo trabalho realizado
ao mover uma partícula carregada entre dois pontos independe da trajetória
escolhida.
O trabalho realizado por essa força pode ser expresso em função de uma
quantidade conhecida como Energia Potencial elétrica.
Quando a partícula se move de um ponto no qual sua energia potencial é Ua
para um ponto no qual sua energia potencial é Ub, a variação em sua energia
potencial é: ∆U = Ub-Ua e o trabalho realizado pela força é:
Wa→b = Ua −Ub = − (Ub −U a ) = −∆U
Se Ua > Ub, então ∆U é negativa e Wab é positivo. Neste caso, a energia
potencial diminui.
Energia Potencial Elétrica
em Campo Uniforme
• Seja uma carga puntiforme
(positiva) se deslocando em um
campo
elétrico
constante,
formado por um par de placas
metálicas paralelas carregadas.
• Portanto, o campo exerce uma
força de cima para baixo com
módulo: F = q0 E. A força é
constante e não depende da
localização da carga.
Oy
• Assim, o trabalho realizado pela
força é: Wab=F d = q0 E d
3
Energia Potencial Elétrica
em Campo Uniforme
Calculando-se essa situação usando-se a expressão da integral de linha, obtém-se:
r r
r r
= ∫ F ⋅ dl = ∫ q E ⋅ dl =q ∫ [− E iˆ + E ˆj + E kˆ ] ⋅ [− dl iˆ + dl ˆj + dl kˆ ] =
b
W
a →b
b
a
[
0
a
b
(
b
0
a
b
x
b
y
z
) (
x
y
z
)
]
= q ∫ E dl iˆ ⋅ iˆ + ∫ E dl ˆj ⋅ ˆj + ∫ E dl kˆ ⋅ kˆ =
0
x
a
x
a
y
y
a
z
z
b
= q ∫ E dl = q E d
0
a
y
y
0
y
Assim, verifica-se que o trabalho realizado pelo campo sobre a carga q0 não depende
da trajetória descrita pela carga para ir do ponto a ao ponto b.
Observar no slide anterior que o eixo Oy tem sentido de baixo para cima.
Energia Potencial Elétrica
em Campo Uniforme
Quando uma carga se move em um campo elétrico constante de um ponto a
até um ponto b (usando o sistema de coordenadas do exemplo anterior),
o trabalho realizado pelo campo será:
Wa→b = −∆U = − (Ub −U a ) = − ( q0 E yb − q0 Eya ) = q0 E ( ya − y b )
4
Energia Potencial Elétrica
em Campo Uniforme
Carga positiva move-se de cima para
baixo; deslocamento possui a mesma direção
e mesmo sentido do campo. O trabalho
realizado é positivo e a energia U diminui.
Carga positiva move-se de baixo para
cima; deslocamento possui a mesma direção
e sentido contrário do campo. O trabalho
realizado é negativo e a energia U aumenta.
Energia Potencial Elétrica
em Campo Uniforme
Considera-se agora uma carga puntiforme NEGATIVA.
Carga negativa move-se de cima para
baixo; deslocamento possui a mesma direção
e mesmo sentido do campo uniforme. O trabalho
realizado é negativo e a energia U aumenta.
Carga negativa move-se de baixo para
cima; deslocamento possui a mesma direção
e sentido contrário do campo. O trabalho
realizado é positivo e a energia U diminui.
5
Situação Geral
Tanto para cargas positivas quanto para cargas negativas valem as seguintes
regras:
• U aumenta quando a carga de teste q0 se move em sentido contrário ao
da FORÇA ELÉTRICA.
•U diminui quando a carga de teste q0 se move no mesmo sentido da
FORÇA ELÉTRICA.
Energia Potencial em
Campo Não Uniforme
O conceito de energia potencial pode ser estendido para uma carga
puntiforme situada em um campo elétrico produzido por uma
distribuição estática qualquer de cargas.
Seja uma carga de teste q0 que se move no campo elétrico produzido por
uma única carga puntiforme estática q.
A força sobre q0 é dada pela Lei de Coloumb:
F=
qq0
4πε 0 r 2
1
6
Energia Potencial em
Campo Não Uniforme
O deslocamento de um ponto a para um ponto b ocorre no sentido radial
(ou seja, ao longo da direção que “une” as cargas).
Observa-se, entretanto, que a força exercida por q sobre q0 não é constante
ao longo do deslocamento. Assim, é necessário realizar uma integração para se
calcular o trabalho realizado por essa força sobre q0, quando esta se desloca
de a para b.
b
Wa→b =
r
r
a
=
b
 1
∫ F ⋅ dr = ∫  4πε
a
0
qqo 
qqo
rˆ  ⋅ dr rˆ =
2
r 
4πε 0
b
1
∫r
2
dr =
a
qqo  1 1 
 − 
4πε 0  ra rb 
Assim, o trabalho realizado para essa trajetória depende apenas do ponto inicial e
do ponto final.
Energia Potencial em
Campo Não Uniforme
Pode-se mostrar que o resultado anterior é válido para qualquer trajetória
entre a e b.
b
Wa→b =
r
r
a
=
qqo
4πε 0
b
 1
∫ F ⋅ dl = ∫  4πε
b
a
1
∫r
a
2
dr =
0
qqo 
qqo
rˆ  ⋅ ( cosϕ ) dl rˆ =
r2 
4πε 0
b
1
∫ r (cosϕ ) dl =
2
a
qqo  1 1 
 − 
4πε0  ra rb 
Notar que: dr = (cos φ) dl
Se o caminho consisitir de uma trajetória fechada,
verifica-se que o trabalho realizado será igual a zero.
7
Resumo
Em resumo, pode-se afirmar que a energia potencial U quando a carga de
teste q0 está em um ponto situado a qualquer distância r de q é expressa por:
U=
qq0
4πε 0 r
1
A energia potencial é definida em relação ao ponto no qual U = 0. Da equação
acima verifica-se que isto ocorre quando r
∞.
Portanto, U é igual ao trabalho realizado pelo campo elétrico produzido por q
para deslocar a carga q0 de uma distância inicial r até o infinito.
Notar que a energia potencial é propriedade comum de ambas as cargas.
Resumo
Quando q e q0 tem sinais iguais
a força é repulsiva e o trabalho
realizado é positivo.
Quando q e q0 tem sinais opostos
a força é atrativa e o trabalho
realizado é negativo.
8
Energia Potencial com
diversas Cargas Puntiformes
Supõe-se agora um campo elétrico que é produzido por um conjunto de
cargas puntiformes q1, q2, q3, …. Como visto anteriormente, o campo
elétrico total é dado pela soma vetorial dos campos elétricos produzidos
por cada uma das cargas individuais.
Assim, o trabalho total realizado sobre q0 em qualquer deslocamento é a soma
das contribuições individuais de cada carga. Portanto, a energia potencial
associada à carga q0 no ponto a será:
U=

q0  q1 q2 q3
q
q
 + + +L = 0 ∑ i
4πε 0  r1 r2 r3
 4πε0 i ri
As distâncias ri se referem à distância entre cada carga qi e a carga q0.
Energia Potencial associada
ao conjunto de cargas
Existe também uma energia potencial associada à presença do conjunto
das cargas no sistema. Se, inicialmente, as cargas q1, q2, q3, … estão separadas
por distâncias infinitas e, a seguir, aproximamos duas cargas quaisquer qi e qj
de modo que a distância entre elas seja rij, a energia potencial total U será dada
pela soma das energias potenciais das interações de cada par de cargas.
U=
1
4πε 0
∑
i< j
qi qj
rij
A soma é estendida para todos os pares de cargas, com exceção da interação
de uma carga com ela mesma. Considera-se i < j para garantir que se conta
apenas uma vez cada par de cargas.
9
Exemplo
Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo Ox de um sistema
de coordenadas cartesiano, q1 = -e no ponto x = 0 e q2 =+e no ponto x = a.
a) Calcule o trabalho realizado por uma força externa para trazer uma terceira
carga puntiforme q3 = +e do infinito até o ponto x = 2a.
b) Calcule a energia potencial total do sistema constituído pelas três cargas.
Solução item a)
Considerando no problema que:
a)q3 corresponde à carga de prova
b)q3 se encontra inicialmente no infinito
c) que a força total exercida sobre ela seja computada pela soma da
contribuição individual de cada carga. Assim, o trabalho total realizado
sobre q3 é a soma das contribuições individuais de q1 e q2:
Sabendo-se que r13 = 2a e r23 = a, obtém-se:
q3  q1 q2  +e  −e +e +e2
W =U =
 + =
 + =
4πε 0  r13 r23  4πε 0  2a a  8πε0 a
10
Solução item b)
A energia potencial total do conjunto das três cargas é dada por:
U=
=
1
4πε 0
∑
i< j
qi qj
1  q1 q2 q1 q3 q2 q3 
=
+
+

=
rij
4πε 0  r12
r13
r23 
1  ( −e) ( e) ( −e) ( e) ( e) ( e)  −e2
+
+

=
2a
a  8πε0 a
4πε 0  a
Como U é negativo, o sistema possui energia potencial mais baixa do que
teria se as distâncias entre as cargas fossem infinitas.
Exercício
Uma carga puntiforme é q1 = +2,4 µC é mantida em repouso na origem.
Uma segunda carga puntiforme q2 = - 4,3 µC se desloca do ponto
(x =0,150, y=0) m até o ponto (x =0,250, y=0,250)m. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica sobre a carga q2?
11
Solução do Exercício
Uma carga puntiforme é q1 = +2,4 µC é mantida em repouso na origem.
Uma segunda carga puntiforme q2 = - 4,3 µC se desloca do ponto
(x =0,150, y=0) m até o ponto (x =0,250, y=0,250)m. Qual é o trabalho
realizado pela força elétrica sobre a carga q2?
Wa→b =
−6
−6 
1  1 1  +2, 4 ×10 x (−4, 3×10 ) 
 −  =

4 πε 0  ri r f 
4πε 0

1
2
( 0,150 − 0) + ( 0 − 0)
2
−


2
2 
( 0, 25 − 0) + ( 0, 25 − 0) 
1
Conceito de Potencial Elétrico
De maneira análoga à definição de campo elétrico (partindo-se do conceito
de força elétrica), pode-se definir o conceito de potencial elétrico, em qualquer
ponto de um campo elétrico, como a energia potencial U por unidade de carga,
associada a uma carga de teste q0 naquele ponto.
V≡
U
q0
O potencial elétrico é uma grandeza escalar. No sistema internacional (SI) de
unidades o potencial elétrico é expresso em volt (1 V).
1 V = 1 J / C = 1 joule / coulomb
12
Potencial Elétrico
Partindo-se da noção de variação de energia potencial elétrica (associada
ao trabalho realizado pelo campo elétrico para deslocar uma partícula
carregada q0 de um ponto a até um ponto b, pode-se calcular o trabalho
por unidade de carga:
Wa→b U a −U b
(U −Ua ) = − ∆U
=
=− b
q0
q0
q0
q0
Fazendo:
Obtém-se:
Va ≡
Ua
q0
e Vb ≡
Ub
q0
Wa→b
= Va −V b
q0
Va e Vb representam a energia
potencial elétrica, por unidade
de carga, no ponto a e b,respectivamente.
Voltagem
A diferença Vab = (Va – Vb) denomina-se potencial de a em relação a b.
Em circuitos elétricos, tal diferença é chamada de VOLTAGEM.
Duas interpretações possíveis:
1) Vab é igual ao trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga unitária q0
se desloca de a para b.
2) Vab é igual ao trabalho realizado (por uma força externa!), contra a força elétrica,
para deslocar lentamente uma carga unitária q0 de b para a.
13
Potencial Elétrico
de uma carga puntiforme
O potencial elétrico produzido por uma carga puntiforme q (cujo campo elétrico
atua sobre uma carga de teste q0) é expresso por:
 1 qq0 


U  4πε 0 r 
1 q
V= =
=
q0
q0
4πε 0 r
r é a distância entre a carga q e o ponto onde o potencial está sendo calculado.
O potencial é positivo quando a carga q for positiva e negativo quando q for
negativa. O potencial é nulo quando r = ∞.
Potencial Elétrico
de uma carga puntiforme
Ao se mover uma carga de prova no mesmo sentido do campo elétrico E,
obtém-se valores decrescentes de V e, movendo-se em sentido oposto ao de E,
obtém-se valores crescentes de V.
14
Potencial Elétrico
de um conjunto
de cargas puntiformes
O potencial elétrico porduzido por um conjunto de cargas puntiformes qi
é expresso por:
 q
q
 0 ∑ i
U  4πε 0 i ri
V= =
q0
q0



=
1
4πε 0
qi
∑r
i
i
ri é a distância entre cada carga qi e o ponto onde o potencial está sendo calculado.
Potencial Elétrico
de uma distribuição
contínua de cargas
O potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua de cargas
é expresso por:
 q0
dq 


∫
r 
U  4πε 0
1
V= =
=
q0
q0
4πε 0
∫
dq
r
r é a distância da distribuição de cargas até o ponto onde o potencial está sendo
calculado.
15
Determinação do potencial
a partir do campo elétrico
Em vários problemas pode ser mais fácil e útil calcular o potencial elétrico a
partir do campo elétrico gerado pela distribuição de cargas, se este último for
conhecido.
Lembrar que:
Wa→b = U a −Ub =
b
r r
F
∫ ⋅ dl =
r r
q
E
∫ 0 ⋅ dl
a
a
b
Retomando a definição de potencial, onde V = U / q0, tem-se:
r r
∫ E ⋅ dl =
∫ Ecosϕ dl
a
a
b
Va −Vb =
b
O valor de Va-Vb não depende do caminho escolhido para ir de a até b.
Interpretação Alternativa
r r
Va −Vb = ∫ E ⋅ dl =
b
Seja a equação:
a
b
∫ Ecosϕ dl
a
r r
Va −Vb = − ∫ E ⋅ dl
a
Tal equação pode ser reescrita como:
b
Do ponto de vista matemático são equivalentes.
Entretanto, pode-se interpretar a segunda equação, que representa o
potencial de a em relação a b, como o trabalho necessário realizado
sobre a carga de prova q0, por uma força externa,
para deslocá-la do ponto b até a.
16
Unidade Alternativa para E
As equações que determinam Vab em função do campo elétrico mostram que
a diferença de potencial (1 V) é igual à unidade de campo elétrico (1 N / C)
multiplicada pela unidade de distância (1 m).
Assim, a unidade de campo elétrico pode agora ser definida como:
1 V/m (1 volt / metro) = 1 N / C (1 newton / coulomb)
Tal unidade é muito usada na prática !
Definição de ElétronElétron-Volt
Quando uma carga q de módulo e (carga do elétron = 1,6x10-19 C) se move
de um ponto no qual o potencial é Va para um ponto no qual o potencial
é Vb, a variação da energia potencial dessa carga é dada por:
U a −U b = q(Va −Vb ) = e(Va −Vb )
Se a diferença de potencial Vab = 1 V, então Ua – Ub será calculada como:
U a −Ub = (1, 602 ×10 −19 C) (1V ) = 1, 602 ×10 −19 J
Esta quantidade é denominada de 1 elétron-volt: 1 eV = 1,602x10-19 J.
Na prática, utiliza-se múltiplos de eV: meV, keV, MeV, GeV e TeV.
17
Exemplo 1
Um próton (e = 1,602x10-19 C) se move ao longo de uma linha reta de um
ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear. Sendo d = 0,50 m
a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo da trajetória e
possui módulo E = 1,5x107 V/m no sentido e a para b. Determine:
a)A força sobre o próton;
b)O trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico;
c)A diferença de potencial Va-Vb.
Solução do Exemplo 1
A força possui a mesma direção e o mesmo sentido do campo e
seu módulo é calculado por:
a)
r
r
F = e E = (1, 602x10−19 C) (1, 5x10 7 N / C) = 2, 4x10−12 N
O trabalho realizado é calculado por Wab= F d (força possui mesmo
sentido do deslocamento.
b) Wa←b = F d = ( 2, 4x10 −12 N ) ( 0, 50 m) = 1, 2x10 −12 J = 1, 2x10−12 J
1eV
= 7, 5MeV
1, 602x10 −19 J
A diferença de potencial será:
Va −Vb =
Wa→b
1, 2x10 −12 J
=
= 7, 5x10 6 V
e
1, 602x10−19 C
18
Exemplo 2
Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes qq= +12 nC e q2 = -12 nC,
sendo a distância entre elas igual a 10 cm. Calcule os potenciais e o módulo do
campo elétrico nos pontos nos pontos a, b e c, como mostra a figura abaixo.
Solução do Exemplo 2
Deve-se calcular a contribuição individual de cada carga no ponto mencionado
e realizar a soma das contribuições.
V=
1
4πε0
qi
∑r
i
i
No ponto a, tem-se:
 +12x10 −9 −12x10−9 
V = ( 9x10 9 Nm2 / C2 ) 
+
 = 1800 + (−2700) = −900V
0, 04 
 0, 06
No ponto b, tem-se:
 +12x10 −9 −12x10−9 
V = ( 9x10 9 Nm2 / C2 ) 
+
 = 2700 + ( −770) = 1930 V
0,14 
 0, 04
No ponto c, tem-se:
 +12x10−9 −12x10−9 
V = ( 9x10 9 Nm2 / C2 ) 
+
 = 830 + ( −830 ) = 0 V
0,13 
 0,13
19
Solução do Exemplo 2
Uma vez que o valor do potencial elétrico em cada ponto é conhecido,
pode-se calcular a intensidade do campo elétrico por:
No ponto a:
r V
E=
d
1 q1
 +12x10 −9 C 
1 q1
4 πε 0 r1
 = 3x10 4 N / C
Eq1 =
=
= ( 9, 0x10 9 Nm2 / C2 ) 
2 
r1
4 πε 0 r12
 ( 0, 06m) 
1 q2
 −12x10 −9 C 
1 q2
4 πε 0 r2
 = 6,8x10 4 N / C
Eq2 =
=
= ( 9, 0x10 9 Nm2 / C2 ) 
2 
2
r2
4 πε 0 r2
 ( 0, 04m) 
Etot = (+3, 0x10 4 + 6,8x10 4 N / C) = 9,8x10 4 N / C
Exemplo 3
Dada a expressão para da variação do potencial elétrico
produzido por uma carga puntiforme q positiva, como função do campo elétrico,
determine o potencial a uma distância r da carga.
b
Va −Vb =
∫
r r
E ⋅ dl
a
20
Solução do Exemplo 3
Primeiramente, deve-se escolher quais os pontos entre os quais a integral
deve ser calculada. Va pode ser considerado como o potencial a uma
distância r da carga, enquanto que Vb é o potencial a uma distância infinita
da mesma.
Como a integral não depende do caminho, pode-se escolher o segmento dl
de modo que esteja ao longo da direção radial do campo elétrico (ou seja, ambos
são paralelos).
∞
Va −V∞ =
∫
a
r r
E ⋅ dl =
∞
∫
r
q
∞
1
q 1
rˆ ⋅ rˆ dr = −
2
4πε 0 r
4πε 0 r r

q 1
q 1
= 0 − −
=
 4πε0 r  4πε 0 r
Exemplo 4
Determine o potencial em qualquer altura y entre duas placas paralelas
Carregadas com cargas opostas.
21
Solução do Exemplo 4
Superfícies Equipotenciais
O valor do potencial elétrico pode ser representado graficamente por
curvas que representam superfícies equipotenciais.
As curvas são agrupadas com distâncias menores entre si, em regiões
onde ocorrem maiores variações dos valores de potencial
Uma superfície equipotencial é uma superfície em três dimensões, sobre
a qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus
pontos.
Quando uma carga de teste q0 se desloca de um ponto a outro sobre essa
Superfície, a energia potencial elétrica q0 V permanece constante.
22
Superfícies Equipotenciais
Como a energia potencial não varia quando uma carga de prova se desloca
sobre uma superfície equipotencial, o campo elétrico não pode realizar
trabalho sobre essa carga.
Neste caso, E deve ser perpendicular à superfície em todos os seus pontos,
de modo que a força elétrica gerada pelo campo será sempre perpendicular
ao deslocamento de uma carga que se move sobre a superfície.
Portanto, as linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são
sempre mutuamente perpendiculares.
Superfícies Equipotenciais
Nessa figura, as superfícies equipotenciais foram desenhadas de modo que
mantenham constante a diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes.
Em regiões nas quais o módulo de E é grande, as superfícies ficam agrupadas mais
compactamente. Nas regiões em que o campo elétrico é fraco, o espaçamento entre
as superfícies é maior.
23
Condutores e
Superfícies Equipotenciais
Quando todas as cargas estão em repouso, a superfície de um condutor é
sempre uma superfície equipotencial.
Quando todas as cargas estão em repouso,
o campo elétrico nos pontos próximos da
superfície externa de um condutor deve
ser sempre perpendicular em todos os
pontos da superfície.
Condutor com Cavidade
em seu interior
Em equilíbrio eletrostático, se um condutor possui uma cavidade, e se não existe
nenhuma carga no interior da cavidade, então não pode existir carga sobre
qualquer ponto da superfície da cavidade.
Assim, se você está no interior de um
condutor (cavidade), você pode tocar
qualquer ponto da parte interna de suas
paredes sem levar choque.
Se houvesse uma diferença de potencial entre
a superfície condutora A e uma superfície
equipotencial B, o fluxo de campo elétrico através
da superfície gaussiana não seria igual a zero!
Neste caso, deveria haver uma carga no interior da
cavidade, o que contraria a hipótese inicial. Assim,
A densidade de cargas sobre todos os pontos da
parede da cavidade é igual a zero.
24
Esclarecimento
Superfícies Equipotenciais versus superfícies gaussianas
Uma superfície gaussiana é uma construção geométrica imaginária, que
circunda e delimita uma região do espaço, e nos auxilia na aplicação da
Lei de Gauss. Pode-se escolher qualquer superfície que seja conveniente.
Uma superfície equipotencial é aquela sobre a qual o potencial elétrico
apresenta o mesmo valor. Neste caso, sua forma é determinada pela distribuição
de cargas.
Gradiente de Potencial
Quando se conhece E em diversos pontos, pode-se calcular uma
diferença de potencial através da expressão:
r r
Va −Vb = ∫ E ⋅ dl =
b
a
b
∫ Ecosϕ dl
a
Na equação acima Va-Vb representa a variação do potencial quando uma
carga de prova se desloca de b até a.
a r
r
Va −Vb = − ∫ E ⋅ dl =
b
a
∫ dV
b
dV representa uma variação infinitesimal do potencial que acompanha um
elemento da trajetória dl de b até a. Notar que V é função de x, y e z.
25
Gradiente de Potencial
Da equação anterior verifica-se que:
r r
−dV = E ⋅ dl
Considerando que E = Ex i + Ey j + Ez k e dl = dx i + dy j + dz k , obtém-se:
−dV = Ex dx + Ey dy+ Ez dz
Gradiente de Potencial
Supõe-se agora o deslocamento apenas ao longo do eixo x. Ou seja,
dy = dz = 0. Assim,
−dV = Ex dx
ou
 dV 
Ex = − 

 dx y,z constan tes
Tal expressão representa uma derivada espacial, de V em relação a variável x.
 dV 
 dV 
Ey = −  
e Ez = −  
 dz  x, y constan tes
 dy  x,z constan tes
26
Gradiente do Potencial
Assim, pode-se escrever E como:
r
 dV dV
dV 
E = Ex iˆ + Ey jˆ + Ez k̂ = −  iˆ +
jˆ +
k̂ 
dy
dz 
 dx
Em notação vetorial, denomina-se gradiente a operação:
 d
d
d
∇ ≡  iˆ + jˆ + k̂ 
dz 
 dx dy
Gradiente
Finalmente, o gradiente do potencial nos fornece o campo elétrico:
r
 dV
dV
dV 
E = −∇V ( x, y, z) =  iˆ
+ jˆ
+ k̂

dy
dz 
 dx
Em cada ponto o gradiente aponta no sentido para o qual V cresce mais
rapidamente com a variação da posição.
Da mesma forma, em cada ponto a direção e o sentido de E correspondem
à direção e ao sentido em que V decresce mais rapidamente.
27
Exemplo
Seja o potencial de uma carga puntiforme q a uma distância radial r, cujo
valor é dado pela expressão V = q/(4πε0r). Calcule o campo elétrico a partir
dessa expressão.
Como nesse caso, o campo E possui uma direção radial em relação à carga,
pode-se obter o mesmo derivando-se V em relação a r. Assim,
1 q
dV
d  1 q
=− 
=
dr
dr  4πε 0 r  4πε0 r 2
r
1 q
rˆ
∴ E=
4πε 0 r 2
Er = −
Solução Alternativa
Ao invés de se utilizar r, pode-se usar para a distância radial a função
r = √(x2+y2+z2) e calcular as derivadas de V em relação a x, y e z. Neste caso,
dV d  1
=
dx dx  4πε0

−1
 = q d ( x2 + y2 + z2 ) 2 =
 4πε dx
x +y +z 
0
q
2
2
2
q  1  2 2 2 −3 2
1
qx
1 qx
=−
 − 2x ( x + y + z ) = −
4πε0  2 
4πε0 x2 + y2 + z2 3 2
4πε 0 r 3
(
)
Lembrar que:
d
cxn ) = ncxn−1
(
dx
28
Solução Alternativa (cont.)
De forma análoga, obtém-se:
dV
qy
=−
dy
4πε 0 r 3
e
dV
qz
=−
dz
4 πε 0 r 3
Portanto, o campo elétrico é dado por:
 
r
qx  ˆ 
qy  
qz 
E = − iˆ  −
+
j
−
+
k̂
−
=




3
3
3
  4πε 0 r   4πε 0 r   4πε 0 r 
=
 xiˆ + y jˆ + zk̂ 
1 q
rˆ

=
2
4πε 0 r 
r
 4 πε 0 r
q
2
Exemplo 2
Uma carga elétrica está distribuída uniformemente em torno de um anel fino
de raio a, com uma carga total Q. O potencial em um ponto P ao longo
do eixo do anel e situado a uma distância x do seu centro é dado por:
V=
1
Q
4πε0
x2 + a2
Determine o campo elétrico no ponto P.
29
Solução do Exemplo 2
Para este caso particular (determinação de V ao longo do eixo x), basta
realizar a operação de derivada unicamente em relação a x, como segue:
dV
Q d 2 2 − 12
=−
(x + a ) =
dx
4 πε 0 dx
Q  1  2 2 −3 2
x
Q
=−
 − 2x ( x + a ) =
4πε 0  2 
4πε 0 x2 + a2 3 2
(
)
Ex = −
Esta expressão é válida somente para pontos ao longo do eixo x, (onde y=z=0)!
Exercício
Uma esfera metálica com raio ra está apoiada sobre uma base isolada no
centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb. Existe uma carga
+q na esfera interna e uma carga –q na esfera externa. Determine o
potencial V(r) para as regiões:
a)r < ra;
b)ra < r < rb;
c)r > rb
Considere V igual a zero para r infinito. Lembrar que o potencial total é dado
pela soma dos potenciais de cada esfera.
30
Solução do Exemplo 3
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