Teo. 13 - Torque magnético
S.J.Troise
13.1
Introdução
Sabemos que a força é capaz de produzir tanto movimento de translação como
movimento de rotação. Estudemos agora o fato de que a força magnética quando atua sobre
uma espira, isto é, qualquer caminho fechado percorrido pela corrente, produz o movimento
de rotação dessa espira. Para isto consideremos uma espira plana retangular, de dimensões
r
r
a e b, localizada num campo magnético uniforme vertical B = B.k (de sentido para cima
portanto), tal que o ângulo entre o plano da espira e o plano horizontal é φ . Seja ainda
I a corrente que circula pela espira. Calculemos a força de natureza magnética que atua
sobre a espira, isto é, sobre os quatro condutores retilíneos que a constituem.
Figura -1
13.2
Cálculo da força resultante sobre a espira
Calculemos a força resultante sobre a espira, calculando a força que atua sobre
r
r
cada um desses condutores retilíneos. Para isto devemos aplicar a F = I ⋅ µ T ∧ B ⋅ L ,
deduzida no capítulo anterior, em cada um dos lados retilíneos e somar os quatro
resultados obtidos. Observemos que para a aplicação desta equação devemos conhecer o
versor tangente a cada um dos lados e isto e conseguido simplesmente observando-se a
figura abaixo na qual os versores foram desenhados.
Figura - 2
Os versores tangentes aos lados AB e CD são imediatos pois estes dois lados são
r
r
r
r
paralelos ao eixo x : u AB = −i
e
uCD = i . Os versores aos lados BC e DA não são
imediatos pois a sua determinação depende da observação da figura em uma vista
particular. Olhando a figura no eixo x verificamos que esse versor tangente pode ser
decomposto em componentes, conforme indicado na figura abaixo, ou seja
r
r
r
r
r
u CD = u CD ⋅ cosφ(−j) + u CD ⋅ senφ(k).
Analogamente podemos determinar o versor tangente ao lado DA. Basta que observemos
na figura 13.2-1 que ele é oposto ao versor ao lado CD, ou seja:
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r
r
r
r
r
u DA = u DA ⋅ cosφ(j) + u DA ⋅ senφ(−k).
Devemos lembrar que estamos trabalhando com
unitários.
A) força sobre o condutor retilíneo AB
versores
e
portanto
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seus
módulo
são
[ ]
r
r
r
r
r
r
FAB = I.uAB ∧ Bk.LAB = I. − i ∧ Bk.b = I.B.b.(j)
Equação-1
B) força sobre o condutor retilíneo CD
r
r
r
r
r
r
FCD = I.uCD ∧ B.LCD = I.(i) ∧ Bk.a = IBa(−j)
Equação-2
C) força sobre o condutor retilíneo BC
[
]
r
r
r
r
r
v
r
FBC = I.uBC ∧ Bk.LBC = I.cosφ(−j) + senφ(k) ∧ Bk.b = I.B.b. cos φ.(−i)
Equação -3
D) força sobre o condutor retilíneo DA
[
]
r
r
r
r
r
v
r
FDA = I.uDA ∧ Bk.LDA = I.cosφ(j) + senφ(−k) ∧ Bk.b = I.B.b. cos φ.(i)
Equação -4
r r
r
r
r
A força resultante sobre a espira será F = FAB + FBC + FCD + FDA . Substituindo os
resultados acima teremos:
r
r
r
r
r
v
F = I.B.a.(j) + I.B.b. cos φ.(−i) + I.B.a.(−j) + I.B.b. cos φ.(i) = 0
Equação-5
ou seja, não existe força resultante sobre a espira. Isto significa que a espira se
encontra em equilíbrio de rotação pois não há excesso de força em nenhuma direção.
Por outro lado uma observação atenta das forças que atuam sobre os lados da espira
mostra que a espira não está em equilíbrio de rotação pois existe atuando sobre ela um
binário, isto é um sistema constituído de duas forças iguais e opostas com linhas da ação
não coincidentes. A figura abaixo coloca este fato em evidência.
Figura- 3
Podemos ainda obter uma nova visão do binário olhando-se novamente a figura na
direção do eixo x.
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Figura-4
Vê-se claramente a existência do binário atuando sobre a espira, mostrando uma
tendência de rotação no sentido anti-horário.
Para medir-se esta tendência de rotação a Mecânica define uma grandeza denominada
momento do binário ou torque ou ainda conjugado, medida em N.m, como sendo o produto da
força do binário pelo braço, isto é, pela distância entre as direções das duas forças,
que na figura acima está representada por h, ou seja:
r
r
Τ = FAB .h = FCD .h = I.B.a.h
Equação -6
Observando agora a figura 13.2-7 obtemos que
senφ =
h
h
h
=
=
BC
DA
b
donde
h = b.senφ
Substituindo na figura 13.2-8 teremos:
Τ = I.B.a.b.senφ
Equação -7
que é a expressão que permite calcular o torque que atua sobre a espira. Nesta expressão
observe que o produto a.b=S nada mais é do que a área da espira retangular que estudamos.
Assim
Τ = I.B.S.senφ
Equação -8
Nesta expressão aparece o produto I.S. sen φ que constituído de elementos que só
dependem da espira em estudo (a corrente que por ela circula, sua área e sua posição
através do ângulo φ ). A esse produto dá-se o nome de intensidade do momento magnético da
espira, representado por Μ , ou seja
Μ = I.S.senφ
Equação-9
que é medido em A.m
Desta forma o torque que atua sobre a espira é dado por
Τ = Μ ⋅ B
Equação-10
Podemos agora fazer um tratamento vetorial que leva ao mesmo resultado. Para isto
r
definamos um versor n , teoria à espira, cujo sentido é dado pela regra da mão direita: o
polegar indica o sentido desse versor quando os demais dados indicam o sentido da
corrente. Na figura abaixo é mostrado esse versor.
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Figura -5
Define-se então o vetor momento magnético da espira como sendo
r
r
Μ = I.S.n
Equação-11
Nestas condições, o torque vetorial que atua sobre a espira é dado por
r r r
Τ=Μ∧B
Equação-12
A importância desta ultima expressão está no fato que a direção do vetor torque
resultante é direção do eixo de rotação da espira. Observemos que conhecer a direção de
um eixo não significa que conheçamos o eixo. Ele dependerá do vínculo sofrido pela
espira, isto é, de como será permitida a rotação da mesma.
13.2.1
Exercícios
13.2.1.1 ( ) Calcule o módulo do vetor torque magnético dado pela Equação-12 e compare com o resultado da Equação-99.
Resp:
13.2.1.2 ( ) Avalie, teoricamente, o vetor torque magnético que atua sobre a espira do desenvolvimento teórico e verifique se o
mesmo tem a direção obtida na análise do exercício 13.2.1.1
Resp.:
13.2.1.3 ( ) Em cada uma das situações abaixo, determine o vetor momento magnético da espira e o vetor torque que atua sobre a
ela.
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Resp:
r
r
a) − 0,06k + 0,12j(N ⋅ m)
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b) 0 (N ⋅ m)
r
c) − 0,00j (N.m)
13.2.1.4 ( ) Em que condição o torque sobre uma espira mergulhada num campo magnético uniforme é nulo? Em que condição esse
torque é máximo?
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