a
2 SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Caderno do Aluno
Volume 1
MATEMÁTICA
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
2a SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo
que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar,
refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi
elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.
O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos
matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua
vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas
simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas
automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para
estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.
Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe
as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que
você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que
também dê sua opinião.
Você estudará neste caderno os seguintes assuntos: periodicidade e o modelo da circunferência
trigonométrica, gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos, equações trigonométricas, matrizes (interpretação dos significados associados a cada elemento que as compõem e notação
matricial para representar figuras planas) e sistemas lineares (resolução de problemas que exigem a
determinação de mais uma incógnita).
Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como
organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um
horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude
e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.
Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 2a série – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
Leitura e análise de texto
O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras
O fenômeno periódico mais elementar que podemos observar é o movimento aparente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa
periodicidade pode ser realizado por intermédio da medição do comprimento da sombra
de uma estaca enfiada verticalmente no solo. Essa situação pode ter estimulado as pessoas
a elaborar os primeiros calendários e a reconhecer as estações do ano. Vamos imaginar um
experimento em que fôssemos medir o comprimento da sombra de uma estaca durante
a passagem de determinado período de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a
seguir ilustra aproximadamente essa situação.
© Conexão Editorial
zênite
caminho do
Sol no inverno
sombra
mínima
(solstício)
de verão
ima
sombra máx
verno)
in
de
(solstício
caminho do
Sol no verão
Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno é mais inclinado em relação à
linha zenital1 do que o percurso similar realizado durante o verão. O comprimento da
sombra da estaca em determinado horário do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia durante o ano desde um valor mínimo até um máximo, correspondendo às datas que marcam, respectivamente, o início do inverno (21 de junho) e o do verão (22 de dezembro),
denominados solstícios.
1
Zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.
5
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Imagine acompanhar o comprimento da sombra da estaca durante dois anos e que tais comprimentos foram registrados em uma tabela. A tarefa agora será imaginar como seria o formato de
um gráfico que representasse o comprimento da sombra de uma estaca em função da passagem
dos dias do ano, e desenhar aquilo que se imaginou para essa situação.
Utilize o espaço seguinte para desenhar seu gráfico, assumindo que o comprimento máximo da
sombra é de 60 cm, e que o comprimento mínimo é de 30 cm.
Tamanho da sombra (cm)
60
45
30
15
Estações do ano
6
Matemática – 2a série – Volume 1
2. Observe o gráfico a seguir, em formato de onda, obtido pela observação de um fenômeno
periódico.
y
4
3
2
1
A
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
P
–3
–4
Nesse gráfico aparecem em destaque dois conceitos importantes, associados a fenômenos
periódicos: a amplitude (A) e o período (P). Período é a distância horizontal entre dois picos
sucessivos da “onda”, e amplitude é a metade da distância vertical entre dois picos. No gráfico
que você desenhou na atividade anterior, deve ser possível identificar o período e a amplitude, mesmo que ele não tenha o formato semelhante ao gráfico apresentado nesta atividade.
Escreva a seguir o período e a amplitude do fenômeno que você registrou em seu gráfico.
Em seguida, escreva o período e a amplitude do gráfico anterior.
7
Matemática – 2a série – Volume 1
3. Imagem de uma função é o conjunto dos valores que a função assume, ou, em outras palavras,
é o conjunto dos valores de y correspondentes aos valores de x. Observe a imagem de cada uma
das seguintes funções representadas em seus gráficos.
y
4
FUNÇÃO 1
3
2
1
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
–3
–4
Imagem (Função 1) = {y 8 IR | –3 ≤ y ≤ 3}
y
4
FUNÇÃO 2
3
2
1
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
–3
–4
–5
Imagem (Função 2) = {y 8 IR | y ≤ 4}
Qual é o conjunto imagem do gráfico representativo do comprimento da sombra que você
desenhou anteriormente?
8
Matemática – 2a série – Volume 1
As sombras longas
© Conexão Editorial
4. Imagine agora se a mesma estaca fosse enfiada verticalmente no solo e a variação do comprimento da sombra fosse observada durante alguns dias. Quando o Sol nasce e lentamente vai se
elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente muito grande, passa
a diminuir até um valor mínimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.
Comprimento da sombra diminuindo
© Conexão Editorial
No período da tarde a sombra da estaca muda de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”,
o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, até tornar-se novamente muito grande e não
mais poder ser medido.
Comprimento da sombra aumentando
no sentido oposto ao inicial
9
Matemática – 2a série – Volume 1
a) Haverá um valor máximo para o comprimento da sombra? Por quê?
b) Assuma que o comprimento da sombra é positivo pela manhã e negativo à tarde, e utilize
o sistema de eixos seguinte para representar, em um gráfico, a variação do comprimento da
sombra durante dois dias.
Comprimento da sombra (m)
Hora do dia
c) O gráfico que você desenhou tem um “período”. Qual é ele?
10
Matemática – 2a série – Volume 1
5. Escreva o período, a imagem e a amplitude das funções representadas pelos gráficos seguintes:
a)
y
2
1
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
–3
b)
y
4
3
2
1
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
–2
–3
–4
–5
11
1
2
3
4
5
6
7
Matemática – 2a série – Volume 1
c)
y
6
4
2
x
–14
–12
–10
–8
–6
–4
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
–2
–4
–6
LIÇÃO DE CASA
© Conexão Editorial
6. Uma mola tem comprimento de 40 cm e está com uma de suas extremidades presa ao teto
(Figura 1). Na extremidade livre da mola é colocado um bloco de metal, de tal maneira que a
mola estique até que seu comprimento total atinja 60 cm (Figura 2). Se a mola for colocada
a oscilar, seu comprimento variará entre um valor máximo e um valor mínimo (Figura 3).
Figura 1
Figura 2
Figura 3
20 cm
40 cm
60 cm
a) Desenhe um gráfico para representar a variação no comprimento da mola, em 4 oscilações,
começando pelo momento em que a mola está com seu comprimento mínimo. Lance os
valores de comprimento no eixo vertical e coloque os valores de tempo no eixo horizontal,
supondo que cada oscilação completa da mola demore 2 segundos.
12
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Complete:
período
amplitude
7. Com base nas duas funções periódicas representadas a seguir, responda:
a) qual função tem o maior valor de período?
b) qual função tem o maior valor de amplitude?
y
4
3
2
FUNÇÃO 2
FUNÇÃO 1
1
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
–1
–2
–3
13
1
2
3
4
5
6
7
Matemática – 2a série – Volume 1
14
Matemática – 2a série – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
Leitura e análise de texto
Construindo o modelo
© Conexão Editorial
Retomando o experimento realizado na Situação de Aprendizagem anterior, vamos
agora fazer a sobreposição de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que a sombra da estaca “caminha”, de maneira que a origem do sistema coincida com a extremidade
final do comprimento da sombra nos equinócios2.
zênite
do bra
ção som
a
i
da
var
de ento
a
ix
Fa prim
m
co
do a
r
al
fin omb
s
de
s
da
da
mi nto ócio
e
tre
n
Ex rim equi
mp nos
co
2
caminho do
Sol no inverno
sombra
mínima
caminho do
Sol no verão
(solstício
de verão)
a
sombra máxim
inverno)
(solstício de
Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo
o dicionário Houaiss, equinócio refere-se ao momento em que o Sol, em seu movimento anual aparente, corta o equador
celeste, fazendo com que o dia e a noite tenham igual duração. (Instituto Antônio Houaiss)
15
Matemática – 2a série – Volume 1
O comprimento da
sombra é máximo
no solstício de inverno.
O comprimento da
sombra nos equinócios
é considerado nulo.
Faixa de variação do
comprimento da sombra
O comprimento da
sombra é mínimo
no solstício de verão.
Em seguida, a fim de acompanhar a evolução do comprimento da sombra de um
solstício a outro, pode-se associar o movimento do Sol ao movimento de um ponto sobre
uma circunferência centrada no sistema de eixos cartesianos, de maneira que o comprimento da sombra seja definido pela distância entre a origem e a projeção do ponto sobre
o eixo vertical.
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento da sombra em
um dia entre o equinócio de
outono e o solstício
de inverno
16
Matemática – 2a série – Volume 1
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento da
sombra no
solstício de
inverno
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento
nulo da sombra
no equinócio
de primavera
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento
da sombra em
um dia entre o
equinócio de
primavera e
o solstício
de verão
17
Matemática – 2a série – Volume 1
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento da
sombra no
solstício de verão
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento da
sombra em um dia
entre o solstício de
verão e o equinócio
de outono
Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferência corresponderá ao período
de um ano e, desenhando uma escala sobre o eixo vertical, será possível associar ângulos de
giro do Sol a medidas de segmentos. Veja como podemos implementar uma escala simplificada no eixo vertical, medida em frações do raio da circunferência (R):
R
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
18
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Imagine uma volta completa do Sol sobre a circunferência. Preencha a tabela seguinte
associando o ângulo de elevação do Sol (`) em relação ao eixo horizontal com a medida
aproximada da projeção no eixo vertical. Se achar necessário, utilize um transferidor.
R
60º
0,75R
0,5R
0,25R
45º
90º
`
30º
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
Ângulo (°)
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
300
315
330
360
Projeção (kR)
Ângulo (°)
210
225
240
Projeção (kR)
2. Há ângulos que permitem medidas iguais para a projeção vertical, como se pode perceber pelas
figuras seguintes.
R
0,75R
0,5R
`
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
19
30º
Matemática – 2a série – Volume 1
R
0,75R
0,5R
_
45º
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
Quais são as medidas dos ângulos _ e `?
3. Há pares de ângulos que permitem medidas simétricas para os valores da projeção horizontal,
como se pode perceber pelas figuras seguintes.
R
R
0,75R
0,75R
0,5R
0,5R
60º
30º
0,25R
0,25R
–0,25R
–0,25R
`
_
–0,5R
–0,5R
–0,75R
–0,75R
–R
–R
20
Matemática – 2a série – Volume 1
Quais são as medidas dos ângulos _ e `?
4. Adotando a escala de 1 unidade de malha equivalente a 15° para a representação de valores no eixo
horizontal, e de 10 unidades de malha equivalentes a 1R para a representação de valores no eixo vertical, desenhe no sistema de eixos a seguir o gráfico da projeção vertical em função da medida
do ângulo de acordo com os valores da tabela que você preencheu na atividade 1.
21
Matemática – 2a série – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
5. Complete a tabela seguinte associando a medida do ângulo de elevação do Sol com a medida da
projeção sobre o eixo horizontal. Em seguida, desenhe um gráfico cartesiano para representar os
dados tabelados. Escolha a escala que julgar mais adequada para cada um dos eixos cartesianos.
–R
R
–0,5R
–0,75R
Ângulo (°)
0
30
45
60
90
0,5R
–0,25R 0,25R 0,75R
120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Projeção (kR)
22
Matemática – 2a série – Volume 1
6. Há pares de ângulos que alternam os valores das medidas das projeções horizontal e vertical, como
é o caso, por exemplo, da projeção vertical do ângulo de 60°, que é igual à medida da projeção
horizontal do ângulo de 30°. Encontre mais um par de valores nessas condições.
7. Há ângulos que apresentam valores iguais para projeções horizontal e vertical, como é o caso,
por exemplo, do ângulo de 45º. Encontre dois valores de ângulos nessas condições.
VOCÊ APRENDEU?
Os gráficos das funções y = senx e y = cosx
8. Observe como as razões trigonométricas seno e cosseno podem ser associadas ao ângulo de giro
de um ponto sobre a circunferência.
Raio (R)
Medida da projeção
vertical
Fração do
raio (kR)
kR
mR
Fração do raio (mR)
sen _ = kR = k
R
Medida da projeção
horizontal
cos _ = mR = m
R
Antes de continuar, será importante retomar os valores do seno e do cosseno de alguns ângulos,
chamados ângulos notáveis. São eles: 30°, 45° e 60°.
t Para cada item a seguir, calcule o valor de x em função de m (sugestão: utilize o Teorema de
Pitágoras).
t Em seguida, utilizando os valores encontrados, calcule seno e cosseno dos ângulos notáveis.
23
Matemática – 2a série – Volume 1
a) Ângulo de 45°.
m
sen 45° =
x
m
m
cos 45° =
45°
m
24
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Ângulo de 60°.
sen 60° =
30°
m
m
x
60°
60°
cos 60° =
m
___
m
___
2
2
m
25
Matemática – 2a série – Volume 1
c) Ângulo de 30°.
sen 30° =
30°
m
m
x
60°
60°
cos 30° =
m
___
m
___
2
2
m
26
Matemática – 2a série – Volume 1
9. Na malha quadriculada, desenhe uma circunferência trigonométrica de raio 10 unidades e, em
seguida, faça o que se pede.
a) Adotando a escala 1:10 unidades, divida os eixos cartesianos em subunidades, como, por
exemplo, de 0,1 em 0,1.
b) Assinale sobre a circunferência a extremidade final dos arcos de 30°, 45° e 60°, bem como
os simétricos em relação aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize compasso ou transferidor.
27
Matemática – 2a série – Volume 1
c) Complete a tabela a seguir, relacionando todos os arcos assinalados às medidas de seus senos
e cossenos, lembrando que
Ângulo (o)
0
30
45
60
90
e que
.
120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Seno
Cosseno
10. Desenhe os gráficos das funções y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos cartesianos. (Atenção à escala do eixo horizontal!)
28
Matemática – 2a série – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
11. Complete:
a) sen135° =
c) sen180° =
e) sen 300° =
b) cos 90° =
d) sen120° =
f ) cos 210° =
12. É verdade que:
a) o seno de 100° é negativo?
b) o cosseno de 350° é positivo?
c) o seno de 75° é maior do que o seno de 60°?
d) o cosseno de 125° é maior do que o cosseno de 100°?
VOCÊ APRENDEU?
O radiano
13. Com base na figura, responda:
a) Em uma circunferência, qual é a razão entre o comprimento e o diâmetro?
C
C
D
D
b) Em uma circunferência, qual é a razão entre o comprimento e o raio?
29
Matemática – 2a série – Volume 1
14. “Um radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência.”
Observe a imagem a seguir e responda às questões:
3,14 RAD
1 RAD
1 RAD
1RAD
0
R
R
a) Meia circunferência equivale a, aproximadamente, quantos radianos?
b) Quantos radianos mede um arco de semicircunferência?
15. O arco AB representado na figura a seguir mede 1,5 rad, e as três circunferências têm centro no
ponto O.
F
D
C
B
A
O
Quanto mede, em radianos, o arco:
a) CD?
b) EF?
30
E
Matemática – 2a série – Volume 1
16. Na circunferência da figura a seguir estão assinalados dois ângulos centrais: um de medida 60°
e outro de medida 120°.
N
Q
120°
60°
P
M
0
Quanto mede, em radianos e no sentido indicado, o arco:
a) MP?
b) MQ?
c) MN?
17. A circunferência do desenho apresenta-se dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B, C, D,
E, F, G e H.
C
D
B
`
A
E
H
F
G
a) Quanto mede, em graus, o ângulo central `?
31
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Quanto mede, em radianos, no sentido indicado no desenho, cada um dos arcos AB, AC,
AD, AF e AH?
18. Observe a circunferência do desenho a seguir. A medida do arco AB é igual à medida do raio
da circunferência.
r
B
C
A
r
D
Responda:
a) quantas vezes o arco AC é maior do que o arco AB?
b) quantas vezes o arco AD é maior do que o arco AB?
c) quantos arcos de medida igual ao arco AB são necessários para completar uma volta da
circunferência?
32
Matemática – 2a série – Volume 1
19. Considerando os giros no sentido anti-horário, assinale nas circunferências a medida em radianos do arco que tem extremidade inicial em O e extremidade final em cada ponto, de A a R.
E
F
A
B
O
45º
H
G
C
D
I
J
N
P
O
60º
O
36º
Q
L
O
30º
R
M
LIÇÃO DE CASA
20. Observe o gráfico da função y = senx, desenhado no intervalo [0, 4/]. Neste gráfico estão assi1
nalados quatro valores de x, que são soluções da equação senx = < no intervalo considerado.
2
y
1,0
1
__
2
0
1
__
2
7π /
11π 19π 2/
3/
1,0
33
23π 4/
x
Matemática – 2a série – Volume 1
Quais seriam as outras soluções dessa equação no caso dos intervalos a seguir:
a) [0, 6/]?
b) [0, 8/]?
21. Consultando o gráfico da atividade anterior, encontre a solução de cada equação no intervalo [0, 4/]:
a) senx = 1
b) senx =
c) senx =
d) senx = 0
34
Matemática – 2a série – Volume 1
35
Matemática – 2a série – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO
SENOS E COSSENOS
Leitura e análise de texto
Construção do gráfico a partir da tabela de valores
A elaboração da tabela para a construção do gráfico levará em conta os valores que mar___, 2/.
cam a divisão entre os quadrantes da circunferência trigonométrica, isto é, 0, _/_, /, 3/
2
2
Para começar a construir em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos de
y = senx e de y = 2senx, você pode elaborar a seguinte tabela de valores:
x
0
/
2
/
/
2
2/
y = senx
0
y = 2senx
0
1
2
0
0
–1
–2
0
0
Os dados tabelados permitem que seja desenhado o seguinte gráfico:
y
2
1
y = 2senx
y = senx
0
/
2
/
3/
2
2/
–1
–2
36
x
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Complete as tabelas e construa os gráficos, utilizando o papel quadriculado e um sistema de
eixos cartesianos para cada tabela.
Tabela 1
x
y = senx
Tabela 2
y = 1,5senx
x
0
/
__
2
0
/
2
/
/
2
/
/
2
2/
2/
Tabela 1
37
y = cosx
y = 3cosx
Matemática – 2a série – Volume 1
Tabela 2
2. Observando os gráficos construídos até agora nesta Situação de Aprendizagem, responda: qual
é a diferença entre o gráfico da função y = senx e o gráfico da função y = Asenx, onde A é um
número diferente de zero?
3. Observando os gráficos construídos na atividade 1, responda: qual é a diferença entre o gráfico
da função y = cosx e o gráfico da função y = Acosx, onde A é um número diferente de zero?
38
Matemática – 2a série – Volume 1
4. Observe a tabela a seguir. Nela estão registrados valores de pares ordenados das funções
y = sen2x e y = 2sen2x.
2x
x
y = sen2x
y = 2sen2x
0
0
0
0
/
__
/
__
1
2
/
4
/
__
2
0
0
/
2
/
4
–1
–2
2/
/
0
0
2
a) Perceba que a primeira coluna da tabela, à esquerda, contém os valores divisórios dos
quadrantes, que são adotados para facilitar a construção. Para demonstrar melhor a importância do fator 2, introduzido na sentença algébrica, desenhamos os gráficos de y = senx
e de y = 2sen2x em um único sistema de eixos cartesianos, conforme representado a seguir:
y
2
y = 2 sen2x
y = senx
1
x
0
/
2
/
3/
2
2/
–1
–2
39
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Complete a tabela e desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos, no papel quadriculado, os gráficos de y = cosx e de y = cos
x
__
2
, no intervalo [0, 4/].
x
y = cosx
⎛ x⎞
y = cos ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
0
/
2
/
/
2
2/
5. Escreva uma diferença entre os gráficos das funções y = cosx e y = cos
40
.
Matemática – 2a série – Volume 1
6. Observe a tabela a seguir, que contém valores de pares ordenados das funções y = sen4x,
/ , /, 3/
___ e 2/,
y = 2sen4x e y = 1 + 2sen4x. Perceba que foram atribuídos para 4x os valores 0, __
2
2
que são os valores que dividem os quadrantes da circunferência.
a) Complete a tabela:
4x
x
0
0
/
2
/
8
/
4
/
/
2
2/
y = sen4x
y = 2sen4x
y = 1 + 2sen4x
/
8
/
2
b) Desenhe os gráficos de y = senx e de y = 1 + 2sen4x em um único sistema de eixos coordenados.
41
Matemática – 2a série – Volume 1
Repare que, em relação ao gráfico de y = senx, o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado
verticalmente, 1 unidade para cima, e teve seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude dobrada, efeitos esses causados, respectivamente, pelas constantes 1, 4 e 2. A partir dessa observação,
complete a tabela a seguir:
Comparação entre os dois gráficos
Função
y = senx
y = 1 + 2sen4x
Período
Imagem
Amplitude
x
7. a) Complete a tabela a seguir e desenhe os gráficos das funções y = –1 + 2sen ⎛⎜ ⎞⎟ e de y = senx
⎝ 2⎠
em um mesmo sistema de eixos cartesianos.
x
2
⎛ x⎞
2sen ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
x
0
/
2
/
/
2
2/
42
⎛ x⎞
2
y = –1 + 2sen ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Complete a tabela com as características das funções cujos gráficos você construiu no
item anterior.
Comparação entre os dois gráficos
Função
y = –1 + 2sen
y = senx
Período
Imagem
Amplitude
8. Qual é a diferença entre os gráficos das funções y = senx e y = C + senx?
LIÇÃO DE CASA
9. Observe os gráficos seguintes e escreva, para cada um, o período e a amplitude. Escreva também
o conjunto imagem de cada função.
y
y
3
3
2
2
1
1
4/
0
/
2/
x
0
–1
43
2/
6/
8/
x
Matemática – 2a série – Volume 1
10. Quais são as sentenças das funções que podem ser associadas aos gráficos representados na
atividade 9
11. O gráfico seguinte é de uma função do tipo y = AsenBx. Descubra os valores de A e de B e
escreva a equação da função.
y
5
0
12/
x
24/
–5
PARA SABER MAIS
Construção de gráficos com o auxílio de um software
Alguns softwares livres, como, por exemplo, o Graphmatica ou o Winplot, podem
ser utilizados para construir gráficos de funções de vários tipos. Veja, por exemplo, os
gráficos seguintes, das funções y = senx, y = 2senx e y = 3senx, desenhados com o auxílio
do Graphmatica.
y
4
3
y = 3senx
2
y = 2senx
1
y = senx
x
–2,5/
–2/
–1,5/
–1/
0
–0,5/
–1
–2
–3
–4
–5
44
0,5/
1/
1,5/
2/
2,5/
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
12. Desenhe os gráficos das seguintes funções:
a)
y = senx
b)
y = 5senx
c)
y = –3senx
45
Matemática – 2a série – Volume 1
13. Observando os gráficos construídos, responda: qual é a alteração produzida no gráfico de
y = senx quando multiplicamos toda a função por um valor constante A &?
14. Observando todos os gráficos desenhados e responda:
a) Qual é o domínio de uma função do tipo y = Asenx?
b) Qual é a imagem de uma função do tipo y = Asenx?
c) Qual é o período de uma função do tipo y = Asenx?
15. Desenhe em um único sistema de eixos os gráficos:
a) y = senx
b) y = sen2x
c) y = sen4x
46
Matemática – 2a série – Volume 1
16. Você deve ter percebido uma diferença entre as formas “senoidais” dos três gráficos que você
desenhou na atividade anterior. Explique essa diferença.
17. Desenhe em um único sistema de eixos os gráficos das seguintes funções:
a) y = senx
b) y = sen
x
2
c) y = sen
47
Matemática – 2a série – Volume 1
18. Desenhe os gráficos:
a) y = cosx
b) y = cos2x
c) y = cos
19. Em funções do tipo y = AsenBx ou do tipo y = AcosBx, qual é:
a) o domínio?
b) a imagem?
c) o período?
20. Responda:
a) qual é o domínio da função y = – 4sen4x?
b) qual é a imagem da função y = 5sen
?
c) quais são os períodos das funções dos itens a e b?
48
Matemática – 2a série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Gráficos trigonométricos em função do tempo
Fenômenos periódicos se repetem a cada intervalo determinado de tempo, mantendo suas características básicas. Se queremos analisar os fenômenos periódicos, não
podemos deixar de considerar as funções nas quais uma grandeza varia periodicamente
em função do tempo.
Veja, por exemplo, o gráfico representativo de um fenômeno que se repete de 2 em
2 segundos, isto é, um fenômeno com período 2 segundos.
D (cm)
1
y = sen(/.t)
0
0,5
1
1,5
2 t (s)
–1
A equação da função que relaciona a grandeza D ao tempo é: D = sen(/ . t), para o
qual teremos as seguintes condições:
t %PNÓOJPIR +*
t *NBHFN<o>
t 1FSÓPEP / = 2s
/
21. Escreva o domínio, a imagem e o período das seguintes funções:
a) y = 2sen (2/x)
b) y = cos /x
2
c) y = 1 + 3sen /x
4
49
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
A partir dessa ideia de movimento periódico representado em função do tempo, resolva a
seguinte atividade:
22. Um pequeno corpo gira em torno de uma circunferência de raio 4 cm, no sentido indicado,
completando uma volta a cada 2 segundos. Considerando que o corpo parte do ponto O assinalado na figura, determine a equação matemática que permite calcular a medida da projeção
do ponto sobre o eixo vertical e, em seguida, desenhe o gráfico cartesiano representativo da
equação obtida.
O
50
Matemática – 2a série – Volume 1
"
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Leitura e análise de texto
Cálculo do período de claridade de uma cidade
A inclinação do eixo de rotação da Terra é o fator responsável pela alteração da quantidade de insolação que uma cidade recebe durante o ano. Essa alteração da quantidade
de horas de luz solar marca as estações: primavera, verão, outono e inverno.
Em cidades próximas à linha do Equador quase não se percebe a passagem das estações, pois o índice de claridade anual é praticamente o mesmo durante todo o ano, cerca
de 12 horas por dia, que também vale para a temperatura média mensal. Já em regiões
mais afastadas do Equador, a inclinação do eixo terrestre faz que o verão tenha dias bem
longos, com alto índice de insolação, enquanto no inverno a situação se inverte, com
dias bem curtos, e com poucas horas de claridade.
Em uma região um pouco afastada do Equador como, por exemplo, no Sul de
nosso país, se registrarmos durante um ano o número de horas de claridade diária, perceberemos que os dados obtidos podem ser ajustados por uma função trigonométrica,
isto é, que a quantidade de horas de claridade diária varia periodicamente em função
do tempo. A equação seguinte traduz essa situação para determinada localidade, que
chamaremos cidade B.
35 __
7 . sen /x
N ___
ቀ 365 ቁ
3
3
A variável x dessa equação corresponde ao número de dias contados a partir do dia
23 de setembro, quando começa a primavera no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinócio
2/x é medido em radianos e N é a quantidade de horas de claride primavera. O arco ____
365
dade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0 e o valor de N pode ser assim obtido:
35 ¡ 11,7 horas
35 __
35 __
7 . sen 2/x . 0 ___
7 . sen0 ___
N ___
3
3
3
3
3
365
51
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Como era de se esperar, nos dias de equinócio o número de horas de claridade é próximo da
metade da duração de um dia.
a) Qual é o número aproximado de horas diárias de insolação da cidade B no dia 21 de dezembro, dia de solstício, que marca a entrada do verão no Hemisfério Sul?
b) Qual é o número de horas diárias de insolação da cidade B no dia 21 de junho, solstício de
inverno no Hemisfério Sul?
c) De posse de uma tabela trigonométrica, ou de uma calculadora científica, determine os dias
do ano em que o número de horas de claridade na cidade B seja igual a 13 horas.
52
Matemática – 2a série – Volume 1
A periodicidade da pressão sanguínea
2. O gráfico a seguir representa a variação da pressão (P, em milímetros de mercúrio, mmHg)
nas paredes dos vasos sanguíneos em função do instante (t, em segundos) em que a medida da
pressão foi realizada.
P
120
100
80
t (s)
0,375
0,75
1,5
1,125
1,875
2,25
Observando que a imagem da função é o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e que o
3
período é 0,75 = , podemos escrever a equação da função:
4
8/t
P(t) = 100 – 20cos ቀ____
3 ቁ
a) Calcule a medida da pressão no instante 2 segundos.
b) Quais são os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a pressão sanguínea é igual a
100 mmHg?
53
Matemática – 2a série – Volume 1
Leitura e análise de texto
A temperatura pode ser periódica?
A temperatura de determinada localidade varia periodicamente, como, em geral,
ocorre em muitos lugares durante certas épocas do ano. Ao observar e anotar os valores de
temperatura dia a dia nesse local, percebe-se que é possível modelar a variação por intermédio da seguinte função trigonométrica:
t – 101 ) ቉ + 7
2/_(_______
T = 50sen ቈ __
360
Nessa equação, o tempo t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 1o dia de janeiro, e a
temperatura T é medida na escala Fahrenheit.
A temperatura do dia 11 de maio, por exemplo, 131 dias após 1o de janeiro, pode ser
assim prevista:
2/(131 101)
T = 50sen ቈ _____________቉ + 7
360
2/30 ቉ + 7 = 50sen __
/ +7
T = 50sen ቈ_____
360
6
π 1
1 + 7 = 32 °F
Uma vez que sen = , temos que T = 50 . __
2
6 2
Lembrando que a conversão entre °C e °F é feita de acordo com a expressão:
T(°F) = 1,8 u T(°C) + 32. Sendo T (°F) = 32 °F, temos que: 32 = 1,8 u T (°C) + 32 =
= 1,8 u T (°C) = 32 − 32 = 1,8 u T (°C) = 0 ‰ T(°C) 0 = 0.
1,8
VOCÊ APRENDEU?
3. A cidade em que a temperatura diária obedece a essa equação deve estar bem afastada da linha do
Equador, uma vez que 11 de maio é dia de outono no Hemisfério Sul e de primavera no Hemisfério
Norte, não sendo comuns, nessa época, temperaturas tão baixas em cidades próximas ao Equador.
a) Qual é a temperatura da referida cidade, em °C, em 26 de maio, 15 dias após a data do
2
exemplo anterior? (Lembre-se de que sen45° =
≅ 0, 7 .)
2
54
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Qual é a temperatura máxima dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?
c) De acordo com o resultado obtido no item anterior, é correto afirmar que a referida cidade
está situada no Hemisfério Sul, assim como o Brasil?
Leitura e análise de texto
O fenômeno das marés
A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-Lua-Sol e a
rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocorrência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e
mínimos com determinada regularidade.
As atrações gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés
altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã, por exemplo, a próxima maré alta, no mesmo
ponto, ocorrerá por volta de 22h12min, ou seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas
de diferença.
Lua cheia
Lua nova
Sol
Atração lunar
Atração solar
55
© Conexão Editorial
A Lua, por estar muito mais perto da Terra do que o Sol, tem maior influência sobre
as marés, como representado na figura a seguir:
Matemática – 2a série – Volume 1
No entanto, quando Sol e Lua se alinham com a Terra, nas condições de lua cheia
ou de lua nova, as atrações dos dois astros se somam e são observadas as marés mais altas
dentre todas.
O subir e descer das marés é registrado por uma medida de comprimento, relativa
às alturas, máxima e mínima, que a água atinge em relação a um valor médio. Em um
intervalo aproximado de 12 horas, a altura máxima corresponde à maré alta e a altura
mínima à maré baixa.
Escolhidos um porto e um período e selecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e
apenas delas, organizadamente e de acordo com a ordem de observação, é possível desenhar um
gráfico que reflita a periodicidade e que pode ser modelado por uma função trigonométrica.
Observe, por exemplo, o gráfico do porto do Recife durante um período de dois meses. No eixo
horizontal estão assinalados os números de observações, cujo valor máximo chega próximo de
120, o que é razoável, visto que ocorrem, em média, duas marés altas por dia e o período do gráfico compreende 2 meses.
Tábua de marés - Recife
agosto/setembro 2004
altura (m)
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1 11
21
31
41
51
61
71 81
91 101 111
Podemos obter a equação desse gráfico, do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas simplificações:
t Adotar que o gráfico é uma senoide.
t Traçar uma linha horizontal para identificar a constante C da equação. No caso, C  1,8.
t Identificar o valor da amplitude A  0,5.
t Deslocar a origem do sistema para o ponto de observação no 25, de maneira que todos os
demais valores de observação passam a ser subtraídos de 25.
t Identificar o período do gráfico, correspondente, nesse caso, a 26 observações. Como, em
média, são duas observações por dia, o período do gráfico, em dias, é aproximadamente
igual a 13 dias. Assim, a constante B =
.
56
Matemática – 2a série – Volume 1
Desafio!
Tábua de marés - Recife
agosto/setembro 2004
altura (m)
2,5
2
A
1,5
1
51 – 25 = 26
0,5
0
1 11
21
31
41
51
61
71 81
91 101 111
4. De acordo com as simplificações realizadas, qual é a sentença algébrica da função que
pode ser representada por esse gráfico?
5. Qual será a altura da maré no 39o dia de observação?
6. Em que dias a maré alta atingiu 2,05 m de altura?
57
Matemática – 2a série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
MATRIZES: DIFERENTES SIGNIFICADOS
VOCÊ APRENDEU?
Operações entre duas matrizes
1. Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano:
y
6
F
5
4
B
3
G
E
2
1
0
H
C
A
1
2
D
3
4
5
6
7
8
9
x
Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma
translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movimentações de
ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.
a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical do polígono ABCD devem
ser deslocadas para que, ao final, coincidam com o polígono EFGH?
58
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na
primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
c) Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na
primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
d) Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B.
2. Na representação a seguir de um plano cartesiano, podemos observar três triângulos congruentes. O triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que, por sua
vez, se transladado, poderá coincidir com o triângulo GHI.
59
Matemática – 2a série – Volume 1
y
5
4
D
3
A
2
E
1
B
F
–3
0
–1
–2
G
1
C 2
3
4
x
–1
–2
H
–3
I
a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo DEF?
b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo DEF, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?
c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que, ao final, ele coincida com o triângulo GHI?
60
Matemática – 2a série – Volume 1
d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a
ordenada na segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M,
a matriz referente ao triângulo DEF pela letra N, e a matriz referente ao triângulo GHI pela
letra P.
e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N.
f ) Escreva uma matriz R, tal que N + R = P.
g) Escreva uma matriz T, tal que M + T = P.
61
Matemática – 2a série – Volume 1
3. No Campeonato baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes
resultados pelas cinco equipes participantes:
Equipe
Vitória
Empate
Derrota
Barro Vermelho
3
2
0
Resultado
Pontos
Carranca
2
1
2
Vitória
3
Veneza
2
0
3
Empate
1
Colonial
1
1
3
Derrota
0
Olaria
1
0
4
Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em uma
matriz de ordem 5x1.
4. O proprietário de duas cantinas, em escolas diferentes, deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são
consumidos, por semana, 40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de presunto. Na cantina da escola B são consumidos semanalmente 50 dúzias de
laranjas, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário
das cantinas compra os produtos que revende de dois fornecedores, cujos preços, em reais, são
expressos na tabela a seguir:
62
Matemática – 2a série – Volume 1
Produtos
Fornecedor 1
Fornecedor 2
1 dúzia de laranjas
1,20
1,10
1 garrafa de água mineral
0,80
0,90
1 quilo de queijo
5,00
6,00
1 quilo de presunto
9,00
7,50
Com base nessa informações, responda:
a) Uma matriz 2x4 em que esteja registrado o consumo semanal dos produtos listados na
cantina A e também na cantina B.
b) Uma matriz 4x2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2
para os produtos listados.
63
Matemática – 2a série – Volume 1
c) Uma matriz 2x2 contendo os preços totais cobrados por fornecedor para cada cantina.
d) Quanto o proprietário economizará comprando sempre no fornecedor mais barato, para os
dois restaurantes.
LIÇÃO DE CASA
5. No período de Páscoa, Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos
de chocolate. Para planejar seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes
planilhas com quantidades necessárias e custo de material para quatro tipos de ovos.
Tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação
de uma unidade de cada tipo de ovo
Itens
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
Tipo 4
Chocolate (gramas)
120
250
180
160
Açúcar (gramas)
100
120
100
80
Recheio (gramas)
160
180
200
100
Embalagem (folhas)
0,5
1,5
1,0
1,0
64
Matemática – 2a série – Volume 1
Tabela 2 – Custo de cada tipo de material (R$)
Chocolate (kg)
Açúcar (kg)
Recheio (kg)
Embalagem (folhas)
12,00
1,50
28,00
1,20
a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de
chocolate.
b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas
na tabela a seguir, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com
200 unidades de cada tipo de chocolate.
Tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido
Tipo de chocolate
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
Tipo 4
Margem de lucro (%)
60
80
100
100
65
Matemática – 2a série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Matriz de compensação
Podemos utilizar matrizes para registrar a frequência com que acontecem dois eventos
que se complementam. Por exemplo, vamos supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário, que
disputam entre si várias partidas de três jogos diferentes, A, B e C. Jonas ganha 37% das
partidas do jogo A, 62% das partidas do jogo B e 45% das partidas do jogo C. Com base
nesses dados, podemos escrever uma tabela e/ou uma matriz 2x3:
Porcentual de vitórias de cada jogador
Jogador
Jogo A
Jogo B
Jogo C
Jonas
37
62
45
Mário
63
38
55
M
37 62 45
63 38 55
Vale ressaltar, entretanto, que os valores alocados na segunda linha, referentes às porcentagens de ganho de Mário, poderiam ter sido suprimidos da matriz, visto que a soma
dos elementos de cada coluna é sempre 100. Em outras palavras, se sabemos a porcentagem
de vitórias de um jogador, sabemos também sua porcentagem de derrotas. Bastaria, portanto, escrever a seguinte matriz 1x3:
Jonas
A B C
(37 62 45)
A esse tipo de matriz dá-se o nome de “matriz de compensação”, porque os resultados
favoráveis a um elemento “compensam” os resultados, não registrados na matriz, favoráveis
ao outro.
VOCÊ APRENDEU?
6. Duas redes de televisão A e B competem entre si tentando obter o maior índice de audiência em cada
horário. Neste momento, as duas redes planejam levar ao ar programas com uma hora de duração
para o mesmo horário noturno. A rede A dispõe de 2 opções de programas (A1 e A2), enquanto a
rede B dispõe de 3 opções de programas possíveis (B1, B2 e B3). Tentando fazer a melhor opção,
66
Matemática – 2a série – Volume 1
as redes contrataram um instituto de pesquisa de opinião para avaliar como se divide a preferência do público quando cada opção da rede A for colocada em confronto com cada opção
da rede B. Assim, o instituto avalia, por exemplo, que, se os programas A1 e B1 forem ao ar
simultaneamente, 60% do público assistirá ao A1 e 40%, ao B1. Na tabela seguinte estão representados esse e os demais resultados dos confrontos entre as opções de programas de A e B.
Tabela: porcentagem de audiência para a rede A
Programas da rede B
Opções
Programas da rede A
B1
B2
B3
A1
60
20
30
A2
40
75
45
Responda:
a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual será a porcentagem de audiência prevista
para cada programa?
b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quanto por cento
a mais?
67
Matemática – 2a série – Volume 1
c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença
entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?
7. Duas indústrias de automóveis (A e B) disputam a preferência dos consumidores. Os modelos
produzidos por uma e outra indústria são semelhantes, sendo um deles um modelo popular; o
outro, um modelo médio; e o último, uma van para 8 passageiros. A preferência porcentual da
população de uma cidade pelos modelos de uma ou outra indústria está registrada na tabela de
compensação a seguir:
Tabela: porcentagem de preferência para veículos produzidos pela indústria A
Veículos da indústria B
Modelos
Veículos da indústria A
Popular
Médio
Van
Popular
15
25
65
Médio
70
75
45
Van
80
64
42
Responda:
a) Qual dos três modelos, popular, médio ou van, apresenta porcentual favorável à indústria A,
quando comparado com modelo correspondente da indústria B?
68
Matemática – 2a série – Volume 1
b) Analise o porcentual de preferência na comparação entre modelos diferentes das duas
indústrias. Qual é a maior diferença de preferência, considerando-se o mesmo modelo?
Leitura e análise de texto
Resolução de imagens: os pixels
© Medioimages/Photodisc/Thinkstock/Getty Images
O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido a partir da
reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas
uma cor e é denominada pixel (picture element). O conjunto dos pixels dá a impressão de
algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da
gradação de cores, como se pode observar na figura a seguir.
Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma área,
quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, implicando uma foto de
melhor qualidade ou de maior resolução.
69
Matemática – 2a série – Volume 1
Ao adquirir uma máquina fotográfica digital, uma das primeiras características avaliadas pelo comprador são os megapixels. Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divide
determinada área em 6 milhões de pixels (6x106), enquanto outra, de 7.1 MP, é
capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e 100 mil pixels (7,1x106). Assim, apenas por
esse quesito, é possível avaliar que a qualidade da segunda câmera é superior à da primeira.
Uma fotografia, dessa maneira, pode ser entendida como uma matriz formada por
n elementos em que cada um deles é um pixel de imagem. Quanto mais elementos a
matriz contiver em uma mesma área, melhor será a resolução da fotografia. Observe,
por exemplo, os desenhos dos retângulos seguintes, nos quais foi inserida a letra R. Acima
de cada retângulo aparece registrada a quantidade de pixels. Nesta ilustração, fica claro
como a qualidade da imagem é superior com o aumento da quantidade de pixels.
1x1
2x2
5x5
10 x 10
20 x 20
50 x 50
100 x 100
© iStockphoto/Thinkstock/Getty Images
O tamanho de uma imagem digital é definido pela ordem da matriz, isto é, pela
quantidade de linhas e colunas que a forma. Por exemplo, se uma imagem tem 119 linhas
e 116 colunas de tamanho ela terá um total de 119 . 116 = 13 804 pixels.
Determinado modelo de máquina digital pode alterar a resolução da foto. À escolha
do fotógrafo, as fotos podem ser produzidas com as seguintes especificações:
t.1Ypixels
t.1Ypixels
t.1Ypixels
t.1Ypixels
t.1Ypixels
70
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
8. Considere uma foto de 7.1 MP de resolução (3072x2304 pixels) em que a linha 1 000 da matriz
seja formada apenas por pixels de cor verde, divididos igualmente entre 3 tonalidades em ordem
crescente de posição nas colunas:
Tonalidade 1
Tonalidade 2
Tonalidade 3
n
primeiros são verdes na tonalidade 1,
Assim, dos n elementos da 1 000a linha da matriz, os
3
n
n
os
seguintes são verdes na tonalidade 2 e os
últimos são verdes na tonalidade 3. Nessa
3
3
condição, qual será a tonalidade do pixel ai,j, isto é, do elemento da matriz que ocupa a linha i e a
coluna j nos seguintes exemplos?
a) a1 000, 1 000
b) a1 000, 500
c) a1 000, 2 000
71
Matemática – 2a série – Volume 1
9. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução em que todos os elementos bi,j da matriz sejam
pixels de cor azul, de modo que cada elemento bi,j, isto é, o elemento que ocupa na matriz a
posição dada pela linha i e pela coluna j, seja representado pela sentença bi,j = 2i – j e as tonalidades sejam associadas ao pixel de acordo com o seguinte código:
tTFCi,j ≤ 200
tTFCi,j ≤ 320
tTFCi,j ≤ 1 000
tTFCi,j > 1 000
Tonalidade 1
Tonalidade 2
Tonalidade 3
Tonalidade 4
Nessas condições, qual é a tonalidade do elemento:
a) b40, 100?
b) b1 000, 1 000?
c) Que estiver na 1 200a linha e 1 200a coluna?
d) Quantos pixels da 300a linha vão ter tonalidade 3?
PESQUISA INDIVIDUAL
Há diferenças entre os diversos modelos de televisão fabricados por determinada indústria e mais ainda entre modelos de fabricantes diferentes. As medidas das telas, que normalmente são expressas em polegadas, são apenas uma das diferenças, talvez a mais simples
de identificar. Outra diferença, também muito importante para que a imagem da TV seja
a mais perfeita possível, é a resolução da imagem projetada.
Pesquise sobre as diferenças entre as resoluções dos diversos modelos de TV de plasma
ou de LCD fabricados atualmente. Nessa pesquisa, você, com certeza, se deparará novamente
com os pixels. Elabore uma tabela com os dados obtidos, em folha avulsa, para comparar com
os resultados das pesquisas dos demais colegas.
72
Matemática – 2a série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Matrizes e o princípio da tomografia
A tomografia computadorizada é uma moderna técnica da medicina que permite visualizar o interior do corpo de uma pessoa por meio de uma série de imagens que possibilitam
aos médicos identificar diversos tipos de problemas, como, por exemplo, a existência de
regiões cancerígenas. Na atividade a seguir, aproveitaremos o modo como são produzidas
as imagens de uma tomografia para simular situações-problema envolvendo matrizes.
© Conexão Editorial
O funcionamento de um tomógrafo computadorizado consiste, basicamente, na emissão de feixes de raios X que não atravessam todo o organismo da pessoa, mas fazem varreduras em um único plano. Desse modo, um feixe de raios, ao varrer um plano ou uma
“fatia”, projeta ao final uma imagem que é unidimensional, isto é, uma tira com trechos
claros e escuros, conforme aquilo que tenha encontrado pelo caminho (órgãos, ossos etc.).
O desenho seguinte representa o momento em que uma pessoa é exposta aos feixes de raios
de um tomógrafo.
Quem já passou por esse tipo de exame sabe que, durante cerca de meia hora, um grande
equipamento executa movimentos circulares e ruidosos, como se estivesse, de fato, “fatiando” nosso corpo com os feixes unidimensionais de raios X. O feixe de raios X, emitido
em um único plano, projeta uma tira com trechos claros e escuros, como neste desenho:
73
Matemática – 2a série – Volume 1
À medida que o tomógrafo se movimenta, outros feixes de raios X são emitidos e
novas tiras são geradas. A reunião dessas tiras em uma única imagem forma uma “chapa”
semelhante à que é mostrada no desenho a seguir:
Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos pontos escuros ou claros, respectivamente.
Além disso, simplificando a constituição dessas microrregiões claras ou escuras, vamos supor
que todas tenham o formato de pequenos quadrados, de maneira que uma região plana possa
ser, de fato, uma região quadriculada, em que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n,
conforme a seguinte representação, em que a malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Nesse caso, podemos associar ao desenho uma matriz 8x8 formada por elementos que
são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e regiões escuras ou claras.
Quando nosso tomógrafo simplificado efetuar um corte, ou, em outras palavras, gerar
uma tira de regiões claras ou escuras, serão lançados valores das quantidades de cada tipo
de região, sem que, no entanto, sejam ainda conhecidas quais regiões têm esta ou aquela
74
Matemática – 2a série – Volume 1
característica. Se isso for feito como no exemplo a seguir, saberemos que 4 quadrículas
dessa linha deverão ser escuras. Mas quais?
4
Registrando simultaneamente a quantidade de quadrículas escuras ou claras de cada
coluna, é possível reconstituir a “imagem”, como no caso do desenho abaixo:
1
0
0
1
0
1
0
1
4
Observe o exemplo a seguir, da recomposição de uma imagem em um quadriculado
de 3x3.
0
3
1
1
Respeitando as quantidades
registradas na vertical e horizontal,
será esta a imagem.
2
1
Observe nestes outros exemplos como podemos associar a reconstituição da “imagem”
a uma matriz.
1
2
1
3
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
3
2
2
3
1
75
0
1
1
1
1
1
0
1
0
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
10. Determine as regiões “escuras” de cada caso seguinte e escreva também uma matriz associada
à composição.
Problema 1
Problema 2
0
0
1
2
1
1
2
2
1
0
0
Problema 3
Problema 4
2
1
0
2
3
4
3
1
2
1
0
3
2
1
Problema 5
4
2
0
5
4
2
4
2
4
76
Matemática – 2a série – Volume 1
Problema 6
5
3
4
0
5
0
5
2
2
0
1
5
1
10
4
8
5
6
77
Matemática – 2a série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES
Leitura e análise de texto
Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. A matriz M, escrita a seguir,
por exemplo, tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, ela é de ordem 2x3 (dois por três) e seus
elementos respeitam a seguinte relação:
Cada elemento da matriz é igual à soma dos índices (i, j) que definem sua
posição matriz.
i=1
i=2
1+1 1+2 1+3
2+1 2+2 2+3
j=1
j=2
=
2
3
4
3
4
5
j=3
Exemplo 1
Obter a matriz A assim definida: A = (ai,j)3x3, tal que ai,j = i + 2j
A ordem dessa matriz é “3x3”, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de
cada termo, enquanto o índice j indica sua coluna. Sabendo disso, vamos atribuir a i e j os valores
possíveis e calcular cada termo identificado por ai,j.
a11 = 1 + 2 . 1 = 3
a12 = 1 + 2 . 2 = 5
a13 = 1 + 2 . 3 = 7
a21 = 2 + 2 . 1 = 4
a22 = 2 + 2 . 2 = 6
a23 = 2 + 2 . 3 = 8
a31 = 3 + 2 . 1 = 5
a32 = 3 + 2 . 2 = 7
a33 = 3 + 2 . 3 = 9
E temos a matriz A:
3 5 7
A 4 6 8
5 7 9
78
Matemática – 2a série – Volume 1
Exemplo 2
Obter a matriz E assim definida:
E = (ei,j)2x3, tal que ei,j =
2 se i + j <
−3
2i + j se i + j > 3
A matriz E tem ordem “2x3”, isto é, tem 2 linhas e 3 colunas. Para obter seus elementos, é preciso considerar, de início, se a soma dos índices que definem a posição de cada um é maior, menor
ou igual a 3.
Soma menor ou igual a 3
Soma maior do que 3
e11 = 2 (pois 1 + 1 = 2 ) 3)
e13 = 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 >3)
e12 = 2
e22 = 2 . 2 + 2 = 6
e21 = 2
e23 = 2 . 2 + 3 = 7
Portanto, esta é a matriz E:
2 2 5
2 6 7
E
Exemplo 3
Observe os 5 pontos numerados de 1 a 5. Vamos ligá-los de determinada maneira, obedecendo
a um código estabelecido por intermédio dos elementos colocados em uma matriz.
1
2
5
4
3
A matriz seguinte, formada apenas por “1” ou “0”, determinará a ordem e a maneira como
devemos ligar esses pontos.
1
0
C 1
1
0
0
1
0
1
1
79
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
Matemática – 2a série – Volume 1
O código é o seguinte:
t4FPFMFNFOUPci,j = 0, não devemos unir i com j.
t4FPFMFNFOUPci,j = 1, devemos unir i com j.
Destaquemos 3 elementos da matriz C a fim de exemplificar a ligação dos pontos.
c13 = 1 (ligar 1 com 3)
c14 = 1 (ligar 1 com 4)
c15 = 0 (não ligar 1 com 5)
1
2
5
4
3
Continuando a obedecer à regra estabelecida e completando todas as ligações permitidas entre
os 5 pontos, teremos formado um pentagrama.
1
5
2
4
3
VOCÊ APRENDEU?
Unindo pontos a partir de código registrado em uma matriz
1. Dada a matriz D e os pontos desenhados, você deve uni-los ou não a partir do seguinte código
estabelecido para os seus elementos:
t4FEij = 1, unir i com j.
t4FEij = 0, não unir i com j.
80
Matemática – 2a série – Volume 1
2
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
D 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
1
3
6
4
5
Codificando um desenho por uma matriz
2. Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho foram unidos a partir de código definido em uma
matriz. Escreva essa matriz.
1
2
3
4
5
7
6
8
9
10
11
12
13
Criando um código e um desenho
3. Observe os 7 pontos representados abaixo. Você deve escrever uma matriz de codificação, com
“1” ou “0”, de maneira que, ao ligar os pontos na ordem determinada, seja produzida a representação de um cubo.
5
2
4
3
6
7
1
Criando um desenho e codificando-o com uma matriz
4. Imagine um desenho que possa ser obtido a partir da união de, pelo menos, 8 pontos. Marque
apenas os pontos no papel e numere-os, sem, todavia, uni-los. Escreva a matriz de codificação
para a união de pontos em seu desenho. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega,
81
Matemática – 2a série – Volume 1
de maneira que, enquanto você une os pontos do desenho dele, ele une os pontos de seu desenho. Por fim, peça que seu colega corrija seu trabalho enquanto você corrige o dele.
82
Matemática – 2a série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
SISTEMAS LINEARES EM SITUAÇÕES-PROBLEMA
VOCÊ APRENDEU?
1. Duas locadoras de automóveis A e B estipulam a remuneração de seus serviços da seguinte
maneira:
t-PDBEPSBA: valor fixo de 80 reais mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.
t-PDBEPSBB: valor fixo de 120 reais mais 1 real por quilômetro rodado.
Com base nesses dados, determine:
a) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 140 km.
b) O valor a ser pago às locadoras A e B pelo aluguel de um veículo que rodou 300 km.
83
Matemática – 2a série – Volume 1
c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o automóvel em
B do que em A.
2. Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois
tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga:
tSFBJTQPSVNGPSOPEFNJDSPPOEBTFVNBTQJSBEPSEFQØ
t3QPSVNGPSOPEFNJDSPPOEBTFVNBHFMBEFJSB
t3QPSVNBTQJSBEPSEFQØFVNBHFMBEFJSB
Quanto a loja está cobrando por tipo de aparelho?
84
Matemática – 2a série – Volume 1
3. Um funcionário recém-contratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela, contendo
as quantidades de 3 tipos de produtos, A, B e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa,
acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação.
Quantidade
Valor da transação (em mil R$)
Tipo
A
B
C
Total
Loja 1
3
4
–1
8
Loja 2
4
5
2
20
Loja 3
1
–2
3
6
Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto.
4. Quatro escolas participaram de um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram
disputadas. Aos vencedores de cada prova foram atribuídas medalhas de ouro, prata ou bronze,
dependendo da classificação final, respectivamente, 1o-, 2o- ou 3o- lugares. A quantidade de
medalhas de cada escola, ao final da competição, é apresentada na tabela seguinte, assim como
o total de pontos conseguidos pelas escolas, considerando-se que a cada tipo de medalha foi
atribuída uma pontuação.
85
Matemática – 2a série – Volume 1
Escolas
Medalhas
Pontuação final
Ouro
Prata
Bronze
A
4
2
2
46
B
5
3
1
57
C
4
3
3
53
D
3
3
7
53
Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo de medalha?
5. O técnico de uma equipe de futebol estima que, ao final de 12 partidas, sua equipe consiga
24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por
derrota é 0, determine:
a) O número de pontos da equipe se vencer 4 jogos, empatar 4 e perder 4.
86
Matemática – 2a série – Volume 1
b) O número máximo de pontos que a equipe pode conseguir.
c) Uma combinação possível de números de vitórias-empates-derrotas para que a equipe consiga os almejados 24 pontos.
d) Todas as possibilidades para que a equipe consiga atingir 24 pontos.
6. Na feira livre da quarta-feira, Helena foi comprar ingredientes para fazer um bolo. O kit de
ingredientes continha farinha de trigo, fubá e chocolate em pó, totalizando 2 kg, pelo custo de
4 reais. Intrigada com o valor do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada
produto, ouvindo dele que o quilo da farinha de trigo custava 1 real, que o quilo do chocolate
em pó custava 20 reais, e que o quilo do fubá custava 2 reais. Quanto de cada produto havia
no kit que Helena?
87
Matemática – 2a série – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
7. Paulo realizou uma prova de Matemática formada por três partes. Paulo acertou 25% das questões
da primeira parte, acertou 50% das questões da segunda parte e acertou 75% das questões da terceira parte, totalizando 120 pontos. O total máximo de pontos que qualquer aluno poderia obter
na prova era igual a 230.
a) Escreva uma equação linear que relacione a quantidade de pontos conseguidos por Paulo
nessa prova ao porcentual de acertos em cada parte.
(Sugestão: chame de x, y e z os totais de pontos máximos possíveis em cada uma das três partes.)
b) Se o total máximo de pontos da primeira parte da prova é 60 e o total máximo da segunda
é 90, quantos pontos Paulo fez na terceira parte?
88
Matemática – 2a série – Volume 1
8. Observe a tabela a seguir, que contém os dados sobre a audiência de 3 redes de televisão em
3 períodos do dia.
Audiência
Manhã
Tarde
Noite
Total de pontos
Rede 1
2
4
–1
11
Rede 2
4
3
2
27
Rede 3
3
–2
2
10
Nessa tabela, cada ponto positivo indica que 1 000 pessoas estão com a televisão conectada
à rede, e cada ponto negativo indica que 1 000 pessoas deixaram de sintonizar a rede no período
avaliado.
Considerando que são atribuídos diferentes pesos à audiência, em função do período do dia,
descubra o peso atribuído a cada um dos períodos.
89
Matemática – 2a série – Volume 1
90
Matemática – 2a série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:
ESCALONAMENTO X CRAMER
Leitura e análise de texto
Escalonamento e situações-problema
Um sistema linear pode ser resolvido de mais de uma maneira. Uma delas consiste
em utilizar o método da adição, exemplificado na resolução do sistema seguinte, de duas
equações.
2x – 3y = 11
x + 2y = 2
2x – 3y = 11
‰
u(–2)
‰
–2x – 4y = – 4
0x – 7y = 7
Se y = –1 ‰ x + 2 . (–1) = 2
+
x=4
‰ y = –1
S = {(4, –1)}
Esse procedimento, de multiplicar as equações por números diferentes de zero para, em
seguida, adicioná-las com o objetivo de eliminar uma incógnita, é generalizado para a resolução de sistemas de duas ou mais equações e é denominado método de escalonamento.
Ao resolvermos sistemas pelo método de escalonamento, utilizamos, normalmente,
matrizes formadas pelos coeficientes numéricos presentes nas equações.
Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada matriz
completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizamos combinações
lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos ai,j da matriz
em que i > j. O exemplo seguinte retoma a resolução do sistema de equações anteriormente
resolvido, explicitando o escalonamento.
Exemplo 1
Vamos resolver por escalonamento o sistema apresentado:
2 – 3 11
L1 2 – 3 11
1
L2 1
2 2
Esta é a matriz completa do sistema, formada pelos coeficientes das incógnitas
e pelos termos independentes das duas
equações. Para escaloná-la, devemos
tornar nulo o elemento a21 = 1, que é o
único elemento ai,j em que i > j.
L1 2 – 3 11
L1 – 2 u L2
2 2
Aqui está a combinação
linear entre as linhas 1 e 2
da matriz, gerando uma
nova linha 2.
91
0 –7 7
A matriz do sistema foi escalonada.
Na nova equação da linha 2 da
matriz, temos:
0x – 7y = 7 ou y = –1.
Substituindo esse valor em uma das
equações iniciais, obtém-se x = 4.
Matemática – 2a série – Volume 1
Exemplo 2
1
1
3
Mcompleta = 2 – 1 – 2
2
x+y+z=3
2x – y – 2z = 2
x + 2z = 4
L1
1
1
1
1
3
L2
2 –1 –2
2
L3
1
4
0
2
–2L1 + L2
–L1 + L3
1
0
2
4
1 1
1
3
Na matriz escalonada, deverão ser
nulos os elementos destacados.
1 1
1
3
0 –3 –4 –4
0 –3 –4 –4
0 –1 1
1
–L2 + 3L3
0 0
7
7
A última linha da matriz nos fornece a equação: 7z = 7 ‰ z = 1.
Substituindo o valor encontrado para z na segunda equação da matriz final, temos:
–3y – 4z = – 4
–3y – 4 . 1 = – 4 ‰ y = 0
A primeira linha da matriz nos ajuda a calcular o valor de x:
x+y+z=3
x+0+1=3‰x=2
Assim, a solução do sistema é apresentada por: S = {(2, 0, 1)}.
Observe, no próximo exemplo, como podemos utilizar o método de escalonamento sem, todavia, escrevermos a matriz completa do sistema.
Exemplo 3
x – 3y = – 6
Reduziremos o sistema de três equações a um sistema equivalente de duas equações, tornando
nulos os coeficientes de uma das incógnitas. Considerando que o coeficiente de z é nulo na
primeira equação, combinaremos as duas outras equações com o objetivo de tornar nulo o
coeficiente de z.
2x + y + z = 1
–x + 2y – 2z = 6
x – 3y = – 6
x – 3y = – 6
2x + y + z = 1
2L2 + L3
3x + 4y = 8
A nova combinação linear entre as
equações permitirá tornar nulo o
coeficiente de outra incógnita.
–x + 2y – 2z = 6
x – 3y = – 6
–3L1 + L2
3x + 4y = 8
13y = 26 ‰ y = 2
Determinada uma das incógnitas, as demais podem ser obtidas por
substituição. A solução do sistema, nesse caso, é: S = {(0, 2, –1)}.
92
Matemática – 2a série – Volume 1
Os exemplos que analisamos anteriormente foram formados por sistemas lineares possíveis e
determinados, isto é, sistemas que apresentam uma única solução. Há, porém, sistemas que apresentam mais de uma solução, chamados sistemas possíveis e indeterminados. O sistema seguinte, por
exemplo, é um desses casos.
x+y=5
2L1 – L2
2x + 2y = 10
0x + 0y = 0
Há infinitos pares (x, y) que satisfazem esta condição.
Nesses casos, a solução do sistema deve ser escrita em função de um parâmetro ou de uma das
incógnitas, como, por exemplo:
x+y=5‰y=5–x
Nessa condição, a solução do sistema, escrita em função de x, é:
S = {(x, 5 – x), x Dr}
Assim, para cada valor de x real, teremos um par ordenado (x, y) como solução. Veja alguns
desses pares:
Para x = 0: (0, 5)
Para x = 1: (1, 4)
Para x = –2: (–2, 7)
Para x = 2,4: (2,4; 2,6)
Observe agora um exemplo de sistema indeterminado de três equações:
Exemplo 4
x+y+z=3
2x – y + 3z = 4
–3L1 + L2
–x – 4y = –5
–x – 4y = –5
–x – 4y = –5
Temos um sistema de duas equações idênticas,
o que nos permite concluir que o sistema é indeterminado. Nesse caso, podemos determinar
duas incógnitas em função de uma terceira. Escolhemos determinar x e z em função de y.
–x – 4y = –5 ‹ x = 5 – 4y
Assim, as infinitas soluções desse sistema podem ser escritas dessa forma, trocando y por k.
x+y+z=3
S = {(5 – 4k, k, –2 + 3k) k DIR}
(5 – 4y) + y + z = 3 ‹ z = –2 + 3y
Por fim, vamos considerar a “discussão” de um sistema com base em parâmetros. Em outras
palavras, vamos classificar o sistema (determinado, indeterminado ou impossível) de acordo com o
valor dos parâmetros introduzidos nas equações.
Consideremos como exemplo de discussão de um sistema linear a situação-problema seguinte,
apresentada originalmente no vestibular da Unicamp (Universidade Estadual de Campinas):
93
Matemática – 2a série – Volume 1
Exemplo 5
(Comvest/Vestibular Unicamp – 1995) Encontre o valor de a para que o sistema a seguir seja
possível. Para o valor encontrado de a, ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que
representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.
2x – y + 3z = a
x + 2y – z = 3
7x + 4y + 3z = 13
Escalonando o sistema, temos:
2 –1
2 –1 3 a
3
1
2 –1 3
2L2 – L1
0
7
4
7L2 – L3
0 10 –10
3 13
2 –1
a
5 –5 6 – a
2L2 – L3
8
3
a
0
5 –5 6 – a
0
0
0 4 – 2a
Como podemos ver, a última equação do sistema escalonado ficou reduzida a 0x + 0y + 0z =
= 4 – 2a, ou, simplificadamente, 0 = 4 – 2a.
Assim, se a = 2, o sistema é possível e indeterminado, pois a igualdade anterior se reduziria
a 0 = 0, que é verdadeira sempre. No caso em que a & 2, o sistema é impossível.
Para obter a solução geral do sistema, considere a = 2 e z = k e escreva as respostas em função
de k, de acordo com o seguinte procedimento:
2a- equação:
5y – 5z = 6 – a ‰ 5y – 5z = 4
1a- equação:
4 + 5k
5
2x – y + 3z = a ‰ 2x – y + 3z = 2
5y – 5k = 4 ‰ y =
Substituindo y por 4 5k , obtém-se x = 7 – 5k .
5
5
Assim, a resposta geral do sistema é:
7 – 5k 4 5k
, k൱, k 8 r
S= ൭
,
5
5
Atribuindo valores a k, podemos obter algumas das soluções, como:
7 4
t1BSBLS = ൭ , , 0൱ .
5 5
t1BSBLoS = ൭
12
1
, – , –1൱ .
5
5
94
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Resolva os seguintes sistemas lineares:
a)
b) x + 2y – 3z = 4
x – 2y + 2z = 4
2x + y + z = –1
–3x – 4y + z = 0
–3x – 14y + 19z = 63
5x + 3y – 10z = 1
95
Matemática – 2a série – Volume 1
c) 2x – y = 2
d) x – 3y + 5z = 2
3y + z = 2
3x – y + 3z = 4
–3x + 2z = 1
–2x + 2y – 4z = –3
96
Matemática – 2a série – Volume 1
2. Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em função do parâmetro m.
a)
mx + 2y = m – 1
2x + 4y = 3m
b)
3x – 2y + mz = 0
x+y+z=0
2x – y – z = 0
97
Matemática – 2a série – Volume 1
3. Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis.
3x – y + 2z = 0
–x + y – 3z = m
x + y – kz = 2
4. Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois
disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois
conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações.
a + b + 2c = 1
a–b–c=0
ma – b + c = 2
98
Matemática – 2a série – Volume 1
5. Ana, Beto e Cadu foram comprar enfeites para a festa junina da escola. Em meio às compras,
eles se perderam um do outro e resolveram, cada qual por sua conta, comprar aquilo que haviam combinado: pacotes de bandeirinhas, chapéus de palha e fantasias para a quadrilha.
Quando se encontraram no dia seguinte na escola e perceberam que haviam comprado muito
mais do que pretendiam, cada um tratou de se defender, argumentando sobre o quanto haviam
gastado. Primeiro foi Ana:
– Gastei 62 reais, mas comprei 4 pacotes de bandeirinhas, 4 montões de chapéus e 4 fantasias.
Depois, veio Beto:
– Eu comprei a mesma quantidade de enfeites que você, mas gastei menos, porque consegui
10% de desconto no preço dos chapéus. Quer dizer, gastei 60 reais.
Por último, falou Cadu:
– Pois é, gente, eu comprei apenas a metade de cada enfeite que cada um de vocês comprou,
mas, comparativamente, gastei bem menos, porque consegui 20% de desconto no preço das bandeirinhas e 10% no preço dos chapéus. Daí, gastei 29 reais.
Sabendo que o preço pago pela unidade de cada artigo foi o mesmo para os três jovens, responda:
Quanto custou para Ana cada pacote de bandeirinhas, cada montão de chapéus e cada fantasia?
99
Matemática – 2a série – Volume 1
6. Ernesto e Adamastor participaram de uma competição que avaliou suas pontarias. Tudo era
muito rápido. Eles ficavam em uma sala, com várias bolas de borracha na mão, enquanto três
alvos eram projetados rapidamente em uma parede. O objetivo era acertar em cada alvo a maior
quantidade de bolas que conseguissem.
Primeiro foi Adamastor. Ele acertou três bolas no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e apenas uma
bola no alvo 3. Ernesto, por sua vez, acertou uma bola no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e duas bolas no alvo 3. Cada bola certeira valia uma quantidade de pontos que dependia do alvo acertado.
Quer dizer, o alvo 1 não tinha a mesma pontuação do alvo 2 nem do alvo 3, assim como os alvos 2
e 3 também tinham pontuações diferentes.
Ao final da prova, Adamastor e Ernesto terminaram empatados, com 40 pontos cada um, mas
ficaram sem saber quanto valia cada bola acertada em cada alvo.
a) É possível que cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tenha valido, respectivamente, 4, 16 e
3 pontos?
b) Supondo que cada bola certeira no alvo 1 tenha valido x pontos, encontre, em função de x,
o total de pontos de cada bola certeira no alvo 2 e também no alvo 3.
100
Matemática – 2a série – Volume 1
LIÇÃO DE CASA
7. Resolva os sistemas:
a)
x + 7y – 3z = 0
3x – 2y + z = 1
7x + 3y – z = –1
b)
2x – 6y = 10
–3x + 9y = –15
101
Matemática – 2a série – Volume 1
8. Em uma compra de 3 quilos de batata, 0,5 quilo de cenoura e 1 quilo de abobrinha, Arnaldo
gastou R$ 14,45, porque não pediu desconto ao seu Manuel, dono da barraca na feira livre.
Juvenal, por sua vez, comprou 2 quilos de batata, 1 quilo de cenoura e 2 quilos de abobrinha,
pediu desconto de 50 centavos no preço do quilo da batata e de 20 centavos no preço do quilo
da abobrinha, e gastou R$ 11,50. Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto
de 1 real no preço do quilo da batata, 50 centavos de desconto no preço do quilo da cenoura,
e 20 centavos de desconto no preço da abobrinha, gastando, no total, 18 reais pela compra de
3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem descontos, pelo quilo da batata?
Leitura e análise de texto
Método de Sarrus e áreas de polígonos representados no plano cartesiano
O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático para ser utilizado em outras situações que não envolvam resolução de sistemas lineares. Um desses casos
consiste no cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são conhecidas
as coordenadas de seus vértices.
Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado
no plano cartesiano, é possível calcular sua área por intermédio da composição e/ou decomposição de polígonos auxiliares. Consideremos o caso do triângulo de vértices com coordenadas A(1, 1),
B(3, 2) e C(2, 4).
y
C
4
3
B
2
1
0
A
1
2
102
3
4
x
Matemática – 2a série – Volume 1
y
4
F
C
E
3
B
2
1
A
0
D
3
2
1
4
x
Contornando o triângulo ABC por um retângulo ADEF, podemos determinar a área de ABC
subtraindo as áreas dos triângulos retângulos AFC, ABD e BCE da área do retângulo ADEF.
Área(ADEF) = 2 u 3 = 6 u
(3 u 1)
Área(AFC) = _____ = 1,5 u
2
(2 u 1)
Área(ABD) = _____
= 1u
2
(2 u 1)
Área(BCE) = _____
= 1u
2
A área do triângulo ABC será igual a:
Área(ABC) = 6 – (1,5 + 1 + 1) = 2,5 unidades de área.
Nesse processo é realizada uma série de multiplicações entre resultados de subtrações entre abscissas
e entre ordenadas dos pontos A, B e C, além de uma divisão por 2. As etapas desse cálculo podem ser
resumidas a um determinante de ordem 3, formado pelas coordenadas desses pontos, da seguinte forma:
1 1 1
Área(ABC) = metade do valor absoluto de 3 2 1 =
2 4 1
2 + 2 + 12 – (4 + 4 + 3)
5
2, 5
2
2
Deve ficar claro que a disposição das coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo no determinante é feita obedecendo à seguinte formatação:
xA
xB
xC
yA 1
yB 1
yC 1
103
Matemática – 2a série – Volume 1
Além disso, o cálculo do determinante obedece à mesma sequência de passos do cálculo da área
por composição e decomposição, conforme podemos constatar pela representação a seguir:
y
yA
D
A
E
B
yB
yC
C
0
xC
F
xA
xB
x
Área(DEFC) = (xB – xC) u (yA – yC)
Área(BFC) = [(xB – xC) u (yB – yC)] ÷ 2
Área(ABE) = [(xB – xA) u (yA – yB)] ÷ 2
Área(ADC) = [(xA – xC) u (yA – yC)] ÷ 2
Área do triângulo ABC:
Área (ABC) = (xB – xC) u (yA – yC) – {[(xB – xC) u (yB – yC)] ÷ 2 + [(xB – xA) u (yA – yB)] ÷ 2 +
+ [(xA – xC) u (yA – yC)] ÷ 2}
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e reduzindo os termos semelhantes, obtemos:
Área do triângulo ABC = [ xA uyB + xC uyA + xB uyC – (xC uyB + xA uyC + xB uyA)] ÷ 2
Essa expressão é, de fato, equivalente à que se obtém do cálculo do determinante mencionado anteriormente, apenas com a diferença do “valor absoluto”, que deve ser incluído a fim de permitir que seja escolhida qualquer ordem para efetuar as subtrações entre valores de abscissas ou
de ordenadas.
A área de um polígono representado no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coordenadas de cada vértice, baseando-se no princípio de que um polígono pode ser dividido em vários
triângulos, como no exemplo a seguir, em que calcularemos a área do quadrilátero ABCD.
104
Matemática – 2a série – Volume 1
y
7
A
6
B
5
D
4
3
2
1
0
–1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
Dividiremos o quadrilátero em dois triângulos: ABD e BCD. A área de ABCD será a soma das
áreas dos triângulos ABD e BCD.
y
A(2;6)
C(2;1)
B(8;5)
D(5;4)
7
A
6
B
5
D
4
3
2
1
–1
0
C
1
2
3
4
–1
105
5
6
7
8
x
Matemática – 2a série – Volume 1
Área(ABCD) = Área(ABD) + Área(BCD)
2 6 1
8 5 1
1
1
Área(ABCD) =
8 5 1 +
2 1 1 =
2
2
5 4 1
5 4 1
Área(ABCD) =
=
1
1
|[(10 + 30 + 32) – (25 + 8 + 48)]| + |[(8 + 25 + 8) – (5 + 32 + 10)]| =
2
2
1
1
9 6 15
(72 – 81) + (41 – 47 ) = + =
2
2
2 2 2
Área(ABCD) = 7,5 unidades de área.
De outra maneira, em uma extensão da regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de
n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como se segue, sendo xi e yi as coordenadas
de cada vértice do polígono com n vértices.
1
1 n
A = ∑ ( x i y i+1 – y i x i+1 ) ou A =
2
2 i =1
x1
y1
x2
y2
x3
y3
.
.
.
xn
yn
x1
y1
Nos produtos indicados pelas setas, é possível seguir o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus: para a direita conserva-se o sinal, para a esquerda troca-se o sinal. Em seguida,
somam-se os resultados. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono
de n lados. O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono, e o sentido, horário ou
anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
Observe que, na expressão anterior, o ponto (xn + 1; yn + 1), que é o último da parte inferior, é igual ao
ponto (x1; y1), que é o primeiro da parte superior. Isso é necessário para caracterizar o “fechamento”
do polígono, isto é, para que todas as coordenadas sejam multiplicadas entre si.
106
Matemática – 2a série – Volume 1
Retomando o exemplo anterior, do quadrilátero ABCD, vamos utilizar essa expressão para
calcular novamente sua área, porém sem a necessidade de dividi-lo em triângulos.
y
A(2;6)
C(2;1)
7
B(8;5)
D(5;4)
A
6
B
5
D
4
3
2
1
C
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
2 6
1
Área(ABCD) =
2
Área(ABCD) =
8
2
5
2
5
1
1 = |(2 . 5 + 8 . 1 + 2 . 4 + 5 . 6) – (6 . 8 + 5 . 2 + 1 .5 + 4 . 2)| =
2
4
6
1
1
15
|10 + 8 + 8 + 30 – 48 – 10 – 5 – 8| = |56 – 71| =
= 7,5 u.a.
2
2
2
Evidentemente, o resultado obtido para a área do polígono ABCD seria o mesmo se o cálculo
fosse realizado por composição ou decomposição de figuras. A opção por este ou aquele procedimento dependerá das circunstâncias do problema.
107
Matemática – 2a série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
9. Qual é a área do triângulo BAH de vértices B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema
de eixos cartesianos da figura a seguir:
y
H
6
5
4
A
3
2
1
0 B
1
2
3
108
4
5
6
x
Matemática – 2a série – Volume 1
10. Calcule a área do pentágono COISA, representado a seguir:
y
O
11
10
9
C
8
7
6
5
I
4
S
3
2
A
1
–1
0
1
2
3
4
–1
109
5
6
7
8
x
Matemática – 2a série – Volume 1
Desafio!
Qual dos polígonos, DECO ou LINA, tem a maior área?
y
8
D
E
6
I
4
2
C L
–4
–2
O
0
2
4
6
–2
N
A
–4
110
8
x
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro,
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley
Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Plural Indústria GráÅca Ltda.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Presidente da Diretoria Executiva
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão,
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento,
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier,
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo,
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e
Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e
Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design projeto gráÅco!.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
coordenadora! e Ruy Berger em memória!.
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva,
Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins,
Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos
Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
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Direitos Autorais.
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indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos
(escala, legenda e rosa dos ventos).