r
Graus e
Radianos
ca
e m á ti
M
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or
Dinâmica 7
Professor
1ª Série | 4º Bimestre
DISCIPLINA
Série
CAMPO
CONCEITO
Matemática
1a do Ensino Médio
Geométrico
Trigonometria da
Circunferência
DINÂMICA
HABILIDADE Básica
HABILIDADE Principal
CURRÍCULO MÍNIMO
Graus e Radianos.
H12 – Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas
no triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente dos ângulos de
30°, 45° e 60°).
H21 – Transformar grau em radiano e vice-versa.
Transformar a medida de um arco de grau para radiano e vice-versa.
1
Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos.
Professor
ETAPAS
ATIVIDADE
TEMPO
ORGANIZAÇÃO
REGISTRO
1
Compartilhar
Ideias
Vamos dar a
meia-volta,
volta e meia
vamos dar.
de 10 a 15 min.
Em dupla.
Individual
2
Um novo olhar...
Um é pouco,
dois é bom...
de 15 a 20 min.
Nos mesmos
grupos.
Individual
3
Fique por
dentro!
Radianos, por
quê?
de 25 a 35 min.
Nos mesmos
grupos.
Individual
4
Quiz
Quiz
10 min
Individual
Individual
5
Análise das
respostas ao
Quiz
Análise das
respostas ao
Quiz
15 min
Coletiva
Individual
Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica.
Para Saber +
O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler
antes da aula.
Agora, é com
você!
Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor, se tiver dúvidas.
Flex
Apresentação
Esta dinâmica apresenta duas unidades para medidas de ângulos: o grau, em
geral já bastante conhecido e utilizado por nossos alunos, e o radiano, uma novidade
para a maioria deles. Como justificativa para introdução de uma unidade tão estranha,
a dinâmica focaliza também a relação entre a medida angular e o comprimento de um
arco. A fim de estabelecer maior intimidade do estudante com o tema, a primeira etapa faz uma recordação da ideia de ângulo, sob dois pontos de vista: o geométrico, em
que os ângulos ficam entre o ângulo nulo e o ângulo de uma volta e o de giro, em que
podem ser considerados ângulos que envolvem mais voltas.
Como sempre, você conta com uma certa margem para administrar o tempo
gasto em cada atividade, de acordo com a necessidade dos seus alunos.
2
Atividade · Vamos
dar a meia-volta,
volta e meia vamos dar.
Objetivo
Rever exemplos de ângulos de menos e mais do que uma volta.
Descrição da Atividade
Você se lembra da ideia de ângulo? Geometricamente, você pode pensar que
o ângulo é uma figura formada por um ponto e duas semirretas com origem nesse ponto. E você se lembra de alguns ângulos especiais? Vamos a eles:
Figura
Questão
Resposta
Duas retas perpendiculares formam 4
ângulos iguais. Como
se chama cada um
deles?
Ângulo reto.
Um ponto numa
reta determina duas
semirretas opostas.
Essas semirretas são
lados de um ângulo
com vértice nesse
ponto. Como se chama este ângulo?
Ângulo raso ou de
meia volta.
E se as semirretas
coincidirem e considerarmos o maior
ângulo como indicado na figura, como se
chama este ângulo?
Ângulo de uma volta.
Matemática
Primeira Etapa
Compartilhar idéias
Você pode também pensar no ângulo como um giro, por exemplo, os ângulos
que um ponteiro de relógio (analógico) descreve num intervalo de tempo. As perguntas
a seguir dizem respeito ao movimento do ponteiro dos minutos de um relógio. Complete a tabela a seguir:
3
Intervalo de tempo (sempre no mesmo dia)
Ângulo percorrido pelo
ponteiro dos minutos
Ângulo reto.
Ângulo raso.
Professor
Ângulo de uma volta.
Ângulo de uma volta mais um ângulo
reto.
Ângulo de duas voltas e meia.
Ângulo de 3 voltas.
Recursos necessários
ƒƒ
4
Encarte do aluno.
ƒƒ
Professor, esta atividade foi planejada para a turma dividida em duplas ou, de acordo com a paridade do número de alunos, poderá haver um trio.
Intervenção Pedagógica
ƒƒ
Matemática
Procedimentos Operacionais
Professor, nesta etapa é abordada uma atividade que revê a ideia de
ângulos sob dois aspectos: o geométrico, em que os ângulos variam
do ângulo nulo ao ângulo de 1 volta e o de giro, em que ângulos com
mesmo aspecto geométrico podem “esconder” um certo número de
voltas intermediárias. Nesta revisão, a linguagem escolhida evitou
propositalmente considerar a medida destes ângulos. Em parte, para
não ter de escolher uma unidade, deixando o uso das medidas para
a terceira etapa. Em parte, para chamar a atenção do aluno para a
ideia de ângulo, antes mesmo da introdução da sua medida.
O exemplo escolhido do movimento de um ponteiro de relógio não
serve para ilustrar o ângulo em sentido contrário, que teria medida
negativa. Você pode, porém, já adiantar a possibilidade de giros em
duas direções, o que vai provocar medidas com sinal positivo e negativo. Um exemplo seria o movimento dos relógios modernos para os
ajustes devidos ao horário de verão. Usando o mínimo de movimento
dos ponteiros para ajustar o relógio ao horário de verão, no início do
horário, o ponteiro dos minutos dá uma volta no sentido horário e no
final do horário de verão, é preciso dar uma volta em sentido contrário, chamado sentido anti-horário.
Segunda Etapa
Um novo olhar ...
Atividade · Um
é pouco, dois é bom,
....
Objetivo
Introduzir as unidades de medida de ângulos, graus e radianos e trabalhar com
a transformação de medida de uma unidade para outra.
5
Descrição da atividade
As unidades grau e radiano serão apresentadas graficamente e o aluno será
convidado a calcular as medidas de ângulos numa unidade, partindo das medidas desses ângulos na outra unidade.
Caro estudante:
Você sabe que medir um ângulo envolve duas ações (como se faz para medir
qualquer outra grandeza):
1ª) escolher um ângulo que seja considerado padrão e que passa a ser uma
unidade;
2ª) procurar o número exato de vezes em que esta unidade cobre o ângulo
dado, sem superposições.
A medida do ângulo nesta unidade é este número. É importante lembrar que
uma medida é sempre composta de um número e uma unidade.
Para escolha do padrão, é necessário usar um ângulo conhecido. Esse ângulo
pode ser, por exemplo, o de 1 volta.
Professor
São duas as unidades mais usadas na medida de ângulos. Você vai trabalhar
com elas nas próximas questões.
1.
Você sabe quantos graus mede um ângulo de uma volta?
Resposta
360 graus.
E quantos radianos mede esse mesmo ângulo de uma volta?
Resposta
2 π vezes, o que é um pouco mais do que 6 vezes.
Achou estranho? Na próxima etapa, você vai compreender melhor a importância desta nova unidade, o radiano, e por que foi escolhido o número 2 π como medida em radianos do ângulo de 1 volta, apesar de ser um número irracional.
6
O grau é também indicado pelo sinal ° e o radiano pela abreviação rad.
Dá para perceber? Com vértice em V, o ângulo de 10 tem os lados passando
por duas divisões consecutivas da escala do transferidor.
E o radiano? Aproximadamente o seguinte:
Matemática
Veja, então, que unidades são essas, usando um transferidor para ter ideia do
ângulo de 1°:
Lembre que as figuras apresentam sempre alguma imprecisão e que os objetos da Matemática são abstratos. As figuras servem como meras ilustrações.
Agora que você já conhece as unidades, vamos ver como se passa de uma medida para outra. Veja: o dado importante é que o ângulo que mede 3600 mede também
2 π rad. Você pode dividir por 2 essas duas medidas e considerar que o ângulo (raso)
que mede 1800 mede também π rad. Outro dado importante é que se você dobra a
medida numa unidade, ela dobra também noutra. E isso acontece quando você multiplica a medida numa unidade por qualquer outra constante: a outra será também multiplicada pela mesma constante. Noutros termos, as medidas em graus e em radianos
são diretamente proporcionais. Então, você pode passar de uma para outra, certo?
Complete, então, a tabela seguinte:
Medida do ângulo em graus
180°
360°
90°
Medida do mesmo ângulo em radianos
π rad
2 π rad
π
2
rad
7
Medida do ângulo em graus
Medida do mesmo ângulo em radianos
60°
π
rad
3
30°
π
6 rad
270°
3π
2 rad
180
π
graus
10 ×180
π
≅
graus
57,3°
1 rad
≅
10 rad
573°
400π
≅ 2, 22 π rad
180
400°
Professor
7, 5 × 180
graus
π
≅
7,5 rad
430°
Recursos necessários:
ƒƒ
ƒƒ
Encarte do aluno.
Calculadora e transferidor, se possível.
Procedimentos Operacionais
ƒƒ
A turma continuará dividida em duplas.
Intervenção Pedagógica
Professor
8
ƒƒ
Talvez seja preciso lembrar o conceito de proporcionalidade direta e
como se calcula um valor a partir de outra, sendo conhecida a constante de proporcionalidade.
ƒƒ
O aluno pode estar acostumado a usar a regra de três, em que uma
linha pode ser a relação
π ↔
180. Um outro modo, porém de li-
dar com esses números é lembrar-se de que 1 rad = 180 graus e que,
π
180
valor de qualquer outra medida.
ƒƒ
Uma observação importante é que o estudante costuma achar que a
medida de um ângulo em radianos tem de ser sempre alguma expressão em π . Isso porque as medidas de ângulos em radianos que sejam dadas por um número vezes π , equivalem a medidas em graus,
dadas por esse número vezes 180. Não só a medida em graus é um
número, por assim dizer, mais “simpático”, como pode ser mais fácil
a sua representação geométrica. É comum, então, que os exemplos
dados sejam desta forma, o que leva o aluno a criar o “preconceito”!
Matemática
portanto, 1° = π rad. Sabendo o valor da unidade, fica fácil saber o
Terceira Etapa
Fique por dentro!
Atividade · Radianos,
por quê?
Objetivo
Relacionar a medida de um ângulo central de uma circunferência com o comprimento dos arcos que ele determina.
Descrição da Atividade
Esta atividade pretende que os alunos compreendam melhor a importância do
radiano como unidade de medida de ângulo. Para isso, eles serão levados a concluir a
relação entre a medida de um ângulo em radianos e o comprimento de um arco.
Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois pontos A e B na
circunferência, esta fica dividida em duas partes, cada uma delas, denominada arco
de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades
sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa, ou arco nulo. Observe a
ilustração a seguir:
9
A cada arco de circunferência fica associado um ângulo com vértice no centro
desta circunferência. Os lados deste ângulo são os raios que passam pelas extremidades do arco e o ângulo é aquele que contém o arco no seu interior. Por exemplo, na
 de menor comprimento e o ângulo β corfigura, o ângulo α corresponde ao arco AB
 de maior comprimento.
responde ao arco AB
Para um arco de circunferência são definidas duas medidas: a medida angular
e seu comprimento. A medida angular do arco é a medida do ângulo central correspon ) = med( AOB
 ).
dente, isto é, medang ( AB
Questão 1
Em que unidades é dada a medida angular de um arco e em que unidades
deve ser dado o seu comprimento?
Professor
Resposta
Espera-se que o estudante perceba que, como medida de um ângulo, a medida
angular de um arco de circunferência dada em graus ou radianos. Já o comprimento
de um arco, como qualquer outra medida de comprimentos, pode ser dada em metros,
seus múltiplos ou submúltiplos.
E qual a relação entre as duas medidas de um mesmo arco?
Para obter esta relação, responda às seguintes questões.
Questão 2
 (menor do que a metade de uma circunferência) e seu
Considere um arco AB
ângulo α correspondente. Qual será o ângulo correspondente a um arco cujo compri?
mento seja o dobro do comprimento de AB
Resposta
Espera-se que o estudante perceba que o ângulo correspondente ao dobro do
arco é também o dobro do ângulo α .
10
Matemática
Questão 3
Você acha que isso se dá só com o dobro ou com qualquer outro número pelo
qual você multiplique o arco? O que isso significa em relação à dependência entre a
medida do ângulo e o comprimento do arco?
Resposta
Dá para perceber que isso vale para qualquer número e, então, o comprimento
de um arco e sua medida angular são diretamente proporcionais.
Questão 4
Tome, então, um arco numa circunferência de raio r > 0. Qual será a constante
de proporcionalidade entre o comprimento desse arco e sua medida angular?
Resposta
Ora, o arco do qual se conhecem as medidas de comprimento e angular é a
circunferência toda, à qual corresponde o ângulo de uma volta. O comprimento da circunferência é igual a 2 π r e a medida do ângulo de uma volta em graus é 3600 e, em
radianos, é igual a 2 π rad.
11
 ) e seu
Então, a constante de proporcionalidade entre a medida angular medAng ( AB
 ), calculada como
comprimento C( AB

C(AB)

medang (AB)
deve ser igual a
2 πr πr
= se a medida angu360 180
lar for dada em graus ou igual a 2 πr = r, se a medida angular for considerada em radianos.
2π
Resumindo:
O comprimento Cg de um arco de medida angular igual a g° é igual a:
Cg =
2 πgr
360
E o comprimento Cr de um arco de medida angular igual a m rad é igual a:
Professor
Cr = mr.
Bem mais simples calcular a medida de um arco a partir de sua medida angular
dada em radianos, certo?
Questão 5
Qual a unidade em que esse comprimento é medido?
Resposta
Em ambos os casos, a unidade é sempre aquela que foi usada para o raio.
Questão 6
Qual o comprimento de um arco de uma circunferência de raio r, determinado
por um ângulo central igual a 1 rad?
Resposta
Sendo 1 a medida angular, o comprimento do arco é igual a r.
12
Arco de uma
circunferência de
raio igual a
Medida angular do
arco em graus
Medida angular do
arco em radianos
Comprimento desse
arco
1m
180°
π rad
πm
3 km
60°
π
rad
3
π km
6 mm
90°
π rad
2
3
3m
270°
3π rad
2
4,5
≈ 19 cm
30°
π rad
6
3,5 m
≈ 114,6°
2 rad
5 cm
≈ 573°
10 rad
Matemática
Observe que essa pode ser uma outra definição de radiano: Radiano é o ângulo central correspondente a um arco de comprimento igual ao raio de uma circunferência.Com base no que você acabou de ver, complete a tabela a seguir:
π mm
πm
10 cm
7m
50 cm
Recursos necessários:
ƒƒ
ƒƒ
Encarte do aluno.
Calculadora, se possível.
Procedimentos Operacionais
ƒƒ
ƒƒ
Esta atividade está prevista para ser desenvolvida pelas mesmas duplas, por facilidade de organização.
As duplas podem discutir a questão entre si, mas pode haver uma
correção coletiva.
13
Intervenção Pedagógica
ƒƒ
Neste momento, é importante que os cálculos sejam feitos em grupo.
É interessante que, ao completar a tabela, os cálculos sejam repartidos entre os alunos ou que os mesmos façam os cálculos em conjunto.
ƒƒ
É importante que os alunos compreendam as relações existentes entre
as medidas dos ângulos. Auxilie-os no desenvolvimento da atividade.
Vale a pena observar que também o comprimento de um arco pode
envolver mais voltas. O arco descrito na última linha da tabela, por
exemplo, é um arco com mais de 1 volta. Com efeito, 10 é maior do
que 2 π , que corresponde a uma volta. De fato, o comprimento de
uma circunferência de raio igual a 5 cm é igual a 10 π ≅ 31,4 cm,
enquanto o comprimento do arco dado é igual a 50 cm, que envolve,
portanto, mais que uma volta.
Professor
ƒƒ
Quarta Etapa
Quiz
(Saerjinho – Questão 19 da Avaliação
Diagnóstica– C1001 – 3º bimestre – 2012)
Para calcular o valor de uma expressão trigonométrica, um aluno converteu
para graus as medidas de dois arcos de medidas
4π
9
rad e
5π
6
rad.
Os valores em graus das medidas desses dois arcos são, respectivamente:
14
a.
40° e 75°.
b.
80° e 150°.
c.
140° e 262°.
d.
160° e 300°.
e.
280° e 524°.
ao
Quiz
Resposta
A resposta correta é o item (B)
4 ×180°
= 80°
9
e
5 ×180°
= 150°
6
Distratores:
Matemática
Quinta Etapa
Análise das Respostas
O aluno que escolheu a letra A pode ter utilizado 90 como valor de π . O que
escolheu a letra C pode ter utilizado 315 como valor de π .
Já o aluno que escolheu a letra D pode ter tomado π como medida de uma
volta, 360, e o que escolheu a letra E pode ter considerado 630 para o valor de π .
Etapa Flex
Para saber +
Um é pouco, dois é bom, três é demais!
Parece que esse dito se aplica ao número de unidades para medidas de ângulos. Com efeito, na tentativa de criar uma unidade com um caráter decimal, foi instituído o grado, gr, que atribui a medida 100 ao ângulo reto. Neste caso, o grado é igual a
1
do ângulo de uma volta. Esta unidade ainda aparece em alguns documentos brasi400
leiros antigos, mas não foi adiante.
Quanto ao radiano, apesar de envolver um número irracional em sua definição, já se viu que ele serve muito bem ao cálculo de comprimentos. Isso não é tão estranho, pois o número irracional π aparece no cálculo do comprimento da circunferência. O radiano simplifica também o cálculo das derivadas das funções trigonométricas.
Em geral, esse não é assunto do nível médio, mas regras de derivação como “a derivada
do seno é o cosseno” são válidas para ângulos medidos em radianos. Esse é um cuidado que deve ser tomado com as fórmulas trigonométricas: se a expressão envolver
funções trigonométricas e os ângulos também, como por exemplo, x + sen x, é preciso
deixar claro qual a unidade em que se considera o valor de x. Esse é o caso da derivada
de uma função trigonométrica: o valor do ângulo pode não aparecer explicitamente,
mas uma derivada já envolve o quociente entre valores da função e da variável.
15
A seguir, sugerimos algumas aulas e recursos educacionais, que você pode
acessar pela Internet.
ƒƒ
Relação entre grau e radiano – O artigo proposto traz para o professor
uma sugestão de como trabalhar a relação básica entre as unidades de
ângulo.
Professor
Link: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/relacao-entregraus-radianos.htm
ƒƒ
Sugestão de aula no Portal do Professor.
ƒƒ
WebCalc – É um aplicativo (calculadora) que converte medidas em graus
para medidas em radianos.
ƒƒ
Laboratório de Ensino de Matemática – Neste site, encontram-se informações sobre projetos, pesquisas e cursos relacionados ao uso do computador no ensino/aprendizagem de Matemática. O objetivo do LEM é
desenvolver e difundir metodologias de ensino de Matemática, utilizando o computador.
Link: http://portaldoprofessor. mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula
=1477
Link:http://www.webcalc.com.br/frame.asp?pag=http://www. webcalc.
com.br/conversoes/angulo.html
Link: http://www.ime.usp.br/lem/
Agora,
é com você!
Os exercícios a seguir podem ajudá-lo a fixar o conteúdo trabalhado nesta dinâmica.
Questão 1 (adaptado
de ecalculo.if.usp.br)
Calcule em radianos: 75°, –120°, 136°, 1360°, –1360°.
Resposta
Já sabemos que a medida a, em graus, se relaciona com a medida x em radiaπa
rad
nos. Substituindo (a) em x =
180°
a = 75°,
temos x
=
75°× π
5π
=
rad
rad
180°
12
a = -120°, temos x =
16
−120°× π
2π
rad = −
rad
180°
3
−136°× π
34π
rad = −
rad
180°
45
a = 1360°,
temos x
=
1360°× π
68π
=
rad
rad
180°
9
Matemática
a = 136°, temos x =
−1360°× π
68π
rad = −
rad
180°
9
a = -1360°, temos x =
Questão 2(adaptado
de ecalculo.if.usp.br)
Calcule em graus: 3rad ,
5π
7π
rad ,
rad , 8rad
6
12
Resposta
Já sabemos que a medida, em graus, se relaciona com a medida x ,em radianos.
Colocando
180°.x  180.x 
=
a = 

π
 π 
°
Quando x = 3 rad, temos a=
180°.3 540°
=
≅ 172°
π
π
Quando x=
180° 5π
5π
a
. = 150°
rad temos =
π
6
6
Quando x=
180° 7π
7π
a
. = 105°
rad temos =
π 12
12
Quando x = 8 rad, temos a=
180°.8 1440°
=
≅ 458°
π
π
17
Questão 3
Professor
O ponteiro dos minutos de um relógio tem 6 cm de comprimento. Qual o comprimento percorrido pela extremidade deste ponteiro, de 10 h às 11 h 40 min?
Resposta
Às 10h, o ponteiro dos minutos está na posição 12 e, às 11 h, volta a essa
posição, dando uma volta completa. Entre 11 h e 11h 40 min, o ponteiro dos minutos
percorre ainda um ângulo que mede:
um ângulo de
40
4 π rad. O ponteiro percorreu, então,
× 2π =
60
3
4π
10 π rad
+ 2π =
3
3
Como a extremidade deste ponteiro percorre um arco de raio igual a 6 cm, o
comprimento total do arco percorrido por essa extremidade é:
10 π
× 6= 20 π ≅ 62, 8 cm.
3
18