ISSNI41 3·3B9X
TemasemPsicalogiadaS8P·2ODO. VDIB .' 1. 93·1D9
"Este problema é difícil porque não é de escola!"
Acompreensão e a solução de problemas aritméticos verbais
por crianças da escola fundamental'
Márcia Itegina f . de Brito
Universidade Estadual de Campinas
Resumo
o presenle eSludo inveSligou como os c~ludanlcs solucionam pmblt'mas verbais não rotineIros, alguns dos
proccdlmcnlOS utilizados para a soloção e as principais dificuldad~s enoonlrada;; na, diferentes etapas de
solução. Os sujeitos foram 114 eSludantes. matriculados na quarta. quinta. sexta. sétima c oitava séries, que
foram ~olicitados a solucionar, usando lápis e p.lpel, dez problemas envolvendo operaçõcs aritméticas com
diferentes graus de difkuldade. A análise dos dados moslrou uma dircrcn~a significativa no desempenho dos
estudantes, quando foram considerudas as variáveis: escola e série. A análise qualitativa mostrou que os
problemas considerados mais dificcis envolviam divisãn; a Iransferência, quando ocorTia. estava atrelada aos
procedimentos ensinados pelos profcs.~orcs. Dois problemas eram desconhecidos pela maioria dos
estudantes, tendo sido analisados c comparados. A análise dos dados mostrou que o enlendimento dos
componenles verbais de wn problema é o primeiro passo para reconhecer o procedimentocorTeto que deverá
SCr lL'oado na solução c lambém para entender e reter o signilicado do problema.
PilmiH~aYI: solução de problemas. solução de problema~ com enredo, problemas não rotineiros
'lhisisdiHicult hecause it isnot aschool problem!"
Comprelenssionandsollltionof oral arithmeticprohlemsbyschoolchildren
Abslract
The presenl 'I"dy ha.~ inycstigaled Ihc way srodents solyc non·roUline pTOhlems, some oflhe procedurcs uscd
for that and the main diffieuhics found along the difTcrent solution stages. A hundred and fourteen students,
from the 3'" to lhe 8'" gra<:ks in hOlh privalc and public schools l'iere asked to solve 10 arithmetic prob1ems,
with difTcrcnt leveis ofdifficuity, usinga peneil anda piecc ofpapcr for lha\. Theanal ysis of data has shown a
significant difTerence in lhe srodents' performance relmed 10 the grude and school (private or public ones)
variables. Qualitative analysis has shown tllal problems considered lhe most difficult involved division; and
Il1ll1sfcr ...... lIen occurnng, was dealt wi th procedures 13Ughl hy lhe tçachers. Tl'io prohle ms ,,"eTe unknown to
Ihc majority of subjecls and wcrc anal)'7.ed and compared. The analysis nfthc data ha~ ~ hown lha! the flrst step
10 recognize lhe correCI procedurc to bc used lo solve a prnblem as l'iell a, lo lIlldeT>tand and retain ils meaning
involves lhe understanding ofit, verbal componenls.
h, WDrdl: problcm solying; verbal prob!em solving, non·roUlinc problcms
Os estudos a respeilo da cornpn;=1Silo e solução
de problemas aritméticos verbais sãu importantes pois
possibilitam a compreensão a respeito das representa·
ções cogn it ivas que são fonnadas a partir da leitura e
compreensão du texto que envolve a estrutura matemáti·
ca de um dado problema. Várias pesquisas têm colh ido
evidência empírica a respeito das di fi culdades encontra·
das por ctiam;as de diferentes idades ao solucionar pr0blemas de diversos tipos; quais procedim entos slo
es.:olhiôoo panl solucionar cada um desses lipos e q uais
os tipos de erros mais freqüt'Tltcs (Cummins. Kintsch,
Rcusscre Weimcr, 1998; K intsche Grceno, 1985)
l. Trahal ho apresentado nO Simpósio D",'"n""lvimenlo lógico-mmemálico: Compreensão. repre,'c"wçiio e re.m luçiin de
problemas ,. operaçô<'" "rirmélicas. na XXIX Reunião Aoual de Psicologia da Sociedade Brasileira de Ps icologia,
Campinas - SP, oulubro dc 1999.
Endereço paT3cOrTespond~ncia: Universidade ESladual de Campinas. Faculdade de Educa~ã".lXpartamen lode P~içologja
Educacional. Cai xa Poslal 6120 - CEI' 13 .084· 100 Campinas - SP e·mail: [email protected]
.II. I. F. lritt
Os curriculos escolares obrigatórios incluem,
dc:sdc as séries iniciais, o ensino da matemática c da
linguagem e, em sua maioria objetivam a fOrnlaç1lo
integral da criança. Este aspedO globalizador envolve
os diversos componentes da cultura, do desenvolvimento pessoal e social e também as necessidade vitais
do individuo. As diferentes experiências pelas quais o
indivíduo passa deve penllitir a ele desenvolver-se em
tcnnos dc habilidades, de~trezas e atitudes, fundamentais para seu desempenho fu1l.lro. Tanto a matemática
como a linguagem são consideradas rclc\antcs e
inter-rclacionadas nesta visão global de curriculo. São
conteúdos que devem levar os alunos a desen\'olvcr a
capacidade de pensamento e a reflexão lógica.
Também, através destas disciplinas, deve-se possibililar aoalunoaaquisiçi'lode um conjuntodeinstnnnentos
para cxplorar, explicar a realidade e fazer predições
sobre ela, criando condiçõcs de aluar nela e sobre ela.
Na escola, a Matemática e a Linguagem fazem pane
dos instrumentos que vão capacitar os individuos a
compreender c se relacionar eom o mundo
Dentro dessa estrutura curricular e dada a
importância atribuída à linguagem e à matemática, é
conveniente também assinalarmos o papel dos
problemas e da solução de problemas dentro das
matemáticas. Particularnlente no ensino elementar. a
solução de problemas funciona como o elo de ligação
entre as situações cotidianas e a matemática que se quer
ensinar. Os problemas aritméticos são os primeiros quc
a criança trabalha e, geralmente, estão associados a
situaçõcsque ela conhece.
Um problema aritmético pode ser considerado
como uma situação imaginária. possível de ser real,
apresentada em fonna de enunciado verbal ou escrito
e que': resolvido através de algumas operações
elementares. Um problema é constituído de duas
partes,aestruturaouesque/etoqucrepresentaaquilo
que é esscncial em um problema, as operaçõcs que
devem ser realizadas, os tipos de transfonnaçõcs
necessárias etc. e o em'o/tóriQ, que, como o próprio
nome diz, é aquilo que reveste o esquelcto e pode ser
mais ou menos supérfluo: a estória concreta, a linguagem utilizada. a representação através de gráficos
ou desenhos etc.
Além disso, pode-se diferenciar entre o pro-blema resoh·üJo. que é o conjunto fOrnlado pelo
enunciado do problema mais a resolução, e problemu
nào resolvido. que se refere apenas ao enunciado
DecolTCnte desta diferenciação, a Educação Matematica faz a seguinte distinção a respeito dos problemas
(a) Enunciado, que se referc ao problema sem
resolver: (b) Solução de problemas, referindo+se ao
proccsso mental desenvolvido pelo alunodepoisde ler
e interprctar o enunciado c (c) o problema que seria a
soma do enunciadO e da resolução.
Ao ler a estória de um problema, o aluno
necessita usar as habilidades verbais requeridas para
a compreensão do enredo e as habilidades matemáticas ncccssárias para perceber logicamente as
relações matemáticas que estão contidas na estrutura
do problcma. A compreensão do problema surge a
partir da leitura da situação proposta, que precisa
apresentar lógica e eoerência para o aprendiz.
NOrnlalmente, a história dos problemas verbais
usados naescola apresenta(a) um sujeito (que éaquele
que vai executaraação);(b)umverbo(que indica uma
"situação" atual ou anterior do sujeito: (c) objeto direto (indica uma colcção de objetos ou "coisas"); (d)
umaaç1io,quemudaasituaçãoanteriorouatualdosujeito para outra: (e) uma pergunta, com o obJctivo de
verificar logicamente as relações matemáticas dadas
ao problema. Um exemplo seria: "Maria tem uma dúzia de lápis. Deu meia dúzia para José, Com quantos
lápis ficou~", AqUI, é apresentado (a) sUJclto(Maria):
(b) verbo (tem): (c) obJcto (uma dúzia de lápis): (d)
ação (deu) e, (e) a pergunta (Com quantos lápis
ficou?). Embora apresente a estrutura sem§nlÍca
semelhante a outros trechos de histórias. o problema
verbalaritmeticorequeraconstruçJodeunmouvárias
rcpresentaçõcseadisponibllidadedeumOU1TOlipode
estrutura, esta última envolvendo o conhecimento
declarativo e o conhecimento de procedimcnto. De
acordo com KinlSCh e Grceno (1985, p. III), as
representações dos problemas nilo são construídas
imediatamente, mas através de várias ctapas do
processamento da infonnação, as quais não ocorrem,
necessariamente em uma seqUêneia rígida. A história
élidae transfonnadana represcntaçãoconceitualdo
seu significado, sendo construídas proposições, que
pennitem à estrutura cognitiva organizar os algoritmos exigidos para a soluç~u.
O fato de se trabalhar apenas com problemas
rotineiros pode produzir alteraçõcs nas caracteristieas da percepção mental dos alunos a respeito do
problema matemático. Muitos deles passam a
perceber o problema matemático apenas como uma
eoleyão de fatos sem relação, ao invés de urna
complexa cadeia de qu~ntidades imer-relaeionadas
A solução de problemas requer a utilização da
capacidade de predizer e formular hipóteses. Assim,
os professores deveriam incluir, nos obJetivos do
ensino da disciplina Matcmática, o uso dessa metodologia como situações de desafio que levem o aluno
a predizer, criar hipóteses e considerar situações
hipotéticas, bU.'..cando soluçõcs plausív.:!s para os
problemas formulados
Dentre os objetivos cognitivos que levam ao
desenvolvimento das habilidades básicas, a .>Ololj'ão de
problemas tem destaque especial. O uso desta met()dologia deve habilitar o aluno a solucionar problemas
em situações novas, cum as quais não tenha expcriência. levando-os a compreender os significados dos
cooccitos e princípios envolvidos e não apenas memorizando "modelos de problemas" e estratégias de
solução. Quando o aluno é, constantemente. submetido
aos mesmos exercícios e problemas rotineiros, ele
aprende os "passos" que levam à solução, menlOril.ll
esses procedimentos e passa a solucionar com facilidade apenas aqueles problemas que são iguais ou muito
semelhantes ao moddo. Skemp (1971) sintetizou essa
situação, quando afinnOll que o que é imposto:i grande
maioria das crianças c estudantes mais velhos é a
simples manipulação de símbolos com pouco ou
nenhum significado e ligados de aeordo com wn ceno
número de regras memorizadas mecanicamente. Proccdimentos repetidos de estratégias de solução levam o
estudante a desenvolver o pensamento n:produtivo,
muÍlas vezes ineapaeitando-o para encontrar soluções
originais para os problemas com os quais se defronta
De acordo com Ericsson e Hastie (1994), o
pensamento seria lima seqüência de afividades
simbólicas intemasque condu= a idéias e conclusões
nOVID' e produtivas. Essa definição dI.' pensamento
está rel~cionada não apenas à aquisição de coohecimentos acadêmicos complexos (por exemplo, o
raciocínio matemático altamente abstrato). mas
também às situ~Ij'õcS cotidianas (por exemplo, o
eákulo aritmético). Assim, é importantt: que a
P<'~quisa sobre pensamento c solução de problemas
não tique centrada apenas em tarefas nas quais o
pensamento é motivado a atingir um determinado
objetivo, mas também em tarefas que pcnnitam ao
indivíduo busear soluções originais a panir de
problemas relacionados a situalj'ões do dia a dia.
Um outro objetivo que também é de grande
importância, refere-se à aplicalj'ão da Matemática em
situações cotidianas, quer dizer, capacitar o estudante a
usar os conhecimentos de aritmética, álgebra e
geometria nas siruações cotidianas. O aluno precisa ser
capaz de transferir aquilo que aprende em sala de aula e
oprof=r, ao ensinar wn conteúdo, precisa rclacionar
o conhecimento escolar ii Matemática presente nas
diversas situações que os indivíduos enfrentam no
dia-a-dia. Os trabalhos de Acioly c Schilicmann(1987)
e Carraher, Carraher e Schieliman (1995) mostramm
como os sujeítos podiam resolver oorrctamcnte proolemas da vida diária, usando cstratégias que nilo haviam
sido aprendida.'S na esrula sem, contudo, conseb'llir
solucioná-los, quando apresentados no contexto escolar.
Por outro lado, Lindquist e cols. (1981) verificaram, usando dados da avalialj'ão nacional do
progresso educacional realizado com estudantes
nune-americanos, que o desempenho melhorava
quando o problema era apresentado de forma
semelhante aos livros didáticos c lista de exercícios
usados pela escola; por exemplo, quando "a conta
vinha aImada na forma tradiciunalmente apresentada
às crianças". Possivelmente por e-:sta razão, apenas
17% das crianças de nove anos que paniciparam deste
estudo responderam COTTCtamente:i questão "Subtraia
298 de 313", pois, como se tratava de um problema
não rotineiro, os sujeitos apresentavam maior dificuldad.: para encontrar a solução do mesmo.
VerschafTel, De Cone e Vierstracte (1999)
analisaram as dificuldadt:s encontradas por estudantes, quando solucionavam problemas verbais com
IU.I.BrilI
história, niio rotineiros, en . . ol . . endo a suhtração de
dois números, A grande maioria dos sujeitos encontrou dificuldades na solução desses problemas e os
autorcs atribuíram os erros e dificuldades à maneira
estereotipada e rotineira com a qual os sujcitos
analisaram e fonnularam as possíveis allemati .... as de
solução, além de erros conceituais ao lidar com us
números e as operaçõcs
Estudos como estes são fundamentais para a
compre",nsão da maneira como a criança é capaz de
pensar intuitivamente a matemática e como a matemiÍlÍea escolar pode estar distante da realidade dos
sujeitos. Porém, o ensino da matemática nãopod", ser
reduzido a apenas estes aspectos, pois, embora as
crianças mostrem uma grande capacidade para trabaIhar alguns problemas fora da escola, essas situaçõcs
são bastante especificas e envolvem conceitos aritiméticos relati .... amente simples. Além disso, a
transferênciaocorredasaladeaulaparaoeotidianoe
nilo do cotidiano para a sala de aula. O professorde . . e
usar as situações do dia-a-dia para motivar os alunos
e mostrar a utilidade da matemática, mas a transferêneia é uma operação cognitiva que depende
grandemente das habilidades matcmáticas que o
sujeito desenvolveu. A aplicação da matemátic •• ",m
situações cotidianas não é tarda fácil, mas O
professor deve desenvolver atividades que visem
capacitar o estudante a usar a matemática, ao lidar
com situações do dia-a-dia, em um mundo em
constante mudança. Como apontado anteriormente
(Brito. 1993), relacionar o ensino ao conhecimento
anterior do aluno e possibilitar a transferência para
situações cotidianas e um objetivo de mão-dupla,
pois o aluno precisa ser capaz de transferir aquilo que
aprende ",m sala de aula e o professor precisa relaclonar o conhecimento matemático à matemática
presente nas di . . ersas situaçõcs que os indi .... iduos
enmntam no dia-a-dia,
Alguns autores, corno Gagné (1983), trataram
a solução de problemas como um tipo diferente de
aprendizagem, o mais complexo dc todos os tipos,
que viria no topo da hierarquia de aprendizagem.
Aqui, a solução de problemas é entendida de uma
maneira diferente da proposta por esse autor, e será
tratada como um mêtudo de ensino. Quando se
defronta com uma detenninada situação e necessita
buscar alternati . . as para atingir uma meta, o sujeitosc
encontra frente a uma situação-prubh:ma. A solução
dc problemas e entendida como gcradora de um
proccsso através do qual oaprendi7 vai combinar, na
estrutura cognlli .... a, osconceitos, princípios, proccdimentos, técnicas, habilidades e conhecimentos
previamente adquiridos que são necessários para
encontrar a solução para a nu .... a situação. Não se pode
considerar a ocurrência de uma aprendizagem de
solução de problemas, pois não se trata de um "tipo·'
exclusivo de aprendi7.agem, mas sim de uma reformulação e ampliaçfto dos conceitos c principios milizados para solucionar determinados tipos li",
problemas. Porém, pode ser categorizada como um
tipo de aprendizagem, se for considerado que ocorre
a aprendi7.agem dos procedimentos de solução do
prohlema.
A solução de problemas é um processo cugnitivo que visa transfornJar uma dada situação cm urna
situação dirigida a um ohjetivo, qU<'lIldo um método
óbvio de solução não está disponiv",1 para o sujeito
que vai solucionar o problema, apresentando quatro
características básicas: é cognitiva, é um processo, é
dirigida a um objetivo e é pessoal, pois depende do
conhecimento prévio do indivíduo,
Os livros escolares de matem3tica estão repletos
de problemas, e c-abe aos professores tomá-los desafiadores para os estudantes. Atualmente existe uma
accntuadaênfasenomelododecnsinosegundooqualo
estudante deve propor os problemas c, muitas vezes, só
são considerados "problemas" aqueles propostos pelos
alunos. Possivelmente, este tipo de método gem urna
maiormotivaçãonosalunose estcs podcm até se sentir
mais predispostos a executar a tarefa; porém, os
problemas realmente desafiadores para os alunos são.
JXlr eles mesmos, moti . . adores. Isso significa que um
problema, pam ser desaliador, não p!"CCisa, neces.'i3riamente, partir do aluno; o estudante pode se sentir desafiado a buscar a solução de llIl1 problema encontrado
em um livro-texto ou em uma revista de variedades
Um outro aspecto a ser considerado é que existe
diferença entre os problemas verbais com história, os
problemas verbais eos exercícios. Um problema verbal
com história seria aquele que possui um enredo, onde
apareçe um sujcito, quepodeSl."ropróprio aluno,como
nos problemas personalizados; uma a,lio, que promove
uma mudança na situação; e uma questão que busca a
resposta ou finalização do problema. Os prohlcmas
verbaissãoaquelesqueniiopossuemeruedo,eaproposiçiio solicita ou determina ao sujcito que execute uma
açllo (por exemplo: "Arme e efetue"'). Os exerclcios
seriam as classieas listas que os estudantcs são
freqüentemente soliciudos a solucionar.
Asetapasdopensamentoduranteasoluçãodeproblemas
As etapas do pensamento dur,tnte a solu,<ão de
problemas tf:m sido tratadas por vários autores, cofocando difcrcntes aspectos (Dominowski e Boume,
1994; Echevmia e Pozo, 1988; Malloy e 10nes, 1998;
Mayer, 1992; Stemberg, 1992).
John Dewey, cm 19\0, publicou o livro "'How
we Ihink" e 11ele apresentou uma descrição das etapas
da solução de problemas, a saber: (a) reconhecimento
de um problema ou "sentir dificuldade" frente a uma
situação; (b) análise, que compreenderia a percepção,
a delimitação do problema e o '"isolamento" das
principais características do problema (daquilo que é
necessário pard a sulu~ão); (c) hipótese, formulação
das possíveis alternativas de solução; (d) dedução,
significando "'remoer" ou raciocinar sobre as várias
possibilidades, buscando chegar às soluções mais
prováveis; (e) verificação ou "'testagem"' das possibilidadesde solução.
Mais tarde, em 1926, Graham \Valias escreveu
sobre quatro estágios do pensamento criativo, que são
semelhantes aos propostos por Dewey. S~o eles: (a)
preparação, refere-se ao ato de compilar e agrupar as
infonnações relevantes do problema; (b) incubação,
que é um período no qual as idéias são ·"remoidas"; (c)
iluminação ou insight, que seria a concepção da
solução; c (d) verificação, que seria a tesugem para
comprovação da eficácia da solução, i~to ~, se a
solução reahnente funciona. Esses quatro estágios são
os mesmos propostos posteriormente por J. Hadamard,
em 1949, quando descreveu as etapas do pensamento
criativo. De maneira gcral, essas etapas permanecem
praticamente as mesmas, com um ou outro detaIhamcnlo.
Krutctskii (1976), na conclusão de seu estudo
longitudinal a respeito das habilidades matemáticas,
1:oncluiu pela existência de três estágios básicos na
atividade mental, durante a solução de prohlemas
matematicos. Estes estagios seriam os seguintcs: (a)
obtenção da infonnação matematica; (b) processarnento matemático da informaçãu e, (c)retenção da
infonnação matematica. A cada um destes estagios
corresponderia uma ou várias habilidades matematicas. A partir destes estágios esse autor estabeleceu
um modelo estrutural hierárquico, onde cada fator
corresponde a um dos estágios básicos da atividade
mental durantc a solução de problemas matemáticos,
além de um elemento geral que é identifiçado como o
componente sintético. Gagné (1983) salientou que
durante a solução de problemas, pode ser percebida a
existência de três fases: (a) traduzir de uma proposição verbal do problema para uma expressão malemátiça; (b) executar uma operação que modifique a
expressão e, (c) validar a solução
Mayer (1992), nest~ mesma linha, apontou
quatro tipos de conhecimento necessários para a
solução de problemas: (a) fatores fingüísticos:
compreensão do enunciado; (b) conhecimento de
e~'quema: conhecimento da relação entre problemas-tipo; (c) cunhecimenlo alJl.oritmico: como se
realizam os procedimentos de cálculo; (d) conhecimento esrratégico: como se enfocam os problemas.
Com base nestes quatro tipos de conhecimento
necessários à solução de problemas, pode-se dizer
que existem as seguintes fases na solu911.0 de um
problema: (a) leiturae compreensão do problema; (b)
fonnulação de um plano de solução, que inclui a
tradução do cnundado para a linguagem matematica,
a escolha de uma eslr~tégia, a resolução propriamente dita e a obtenção de um resultado concreto e,
(c) comprovação do resultado.
M.I.F.8ritI
[);: maneira geral, pode-se di7.er, usando tenninologia mais aNal, que o processo de solução de um
problema passa pela~ seguintes etapas: (a) representação; (b) planejamenlo: (c) execução e (d)
monitoramento. A análise da literatura mOSlrou que
OS diferentes alltores cOllcordam que a primeira etapa
do processo seria a u-aduçãoou o ato de converter as
infonnações contidas no problema em wna representação mental interna, nela inc1uindoos diversos
componentes do problcma: cmmciado, objetivos e
operadores necessários ã solução. Assim, a leitura e a
compreensão da história do proble~a aritmetico é
fundamental, pois pennile ao individuo elaborar urna
representação do problema e, em seguida, formular
wnplanodccxccução.
São vários e de diferente natureza os fatores
que influenciam na solução dos problemas matemáticos. Dentre esses fatores destacam-se as
habilidades matemática e verbal. Brito, Fini c
Newnann(1994) verificaram que o radocínio verbal
apresenta alguma relação com o fator matemático
geral,destacando que é provável que a compreensão
verbal do enunciado do problema seja anterior à
~ompreensão da natureza matemática do problema
Na primeira elapa da solução de problemas matemáticos, é requisitada a compreensão verbal da
proposição, pois, como os problemas são apresentados por escrito (enunciados verbais que encerram
problemas matemálÍcos), o estudante neccssita da
habilidade verbal (que pennite a ele lere compreender o problema) para compreender a natun:za
matcrnáticadomcsmo.
Stillman (1998), em uma pesquisa com
estudantes do último ano do ensino médio, verificou
que a maioria deles era capaz de identificar os
elementos essenciais do problema matemático
apresentado, bem como de \cmbraros procedimentos
e a fónnula necessária para a solução, mas tinha
grande dificuldade para eSlabclccer rclações entre os
dados,quandorcprescntava graficamcnte os procedimentos de solução. A autora verificou que os faton:s
que contribuíram para o insueesso na solução foram a
baixa habilidade de compreensão, a falta de treino
para inibir respostas não ponderadas e falta dc
compreensão dos conceitos .:nvolvidos, embora os
sujeitos fossem capazes de lemhrara fÓl"mula que cra
exigida para a solução.
A escola, muitas vezes, ocupa-se mais com o
ensino de fórmulas e modelos de problemas,
valori7..ando pouco ou quase nada a aprendizag.:m
significativa de conceitos c principios. O ideal seria o
desenvolvimento efetivo do conhecimento declarativoe o ensino de procedimentos adequados para a
solução dos problemas relacionados. Muitosproblemas matemáticos são resolvidos por métodos
especiais e não envolvem algoritmos, sendo que o
aluno que consegue encontrar uma maneira de
solucionar um problema usando procedimentos
distintos dos padrões convencionais evidencia um
dos aspectos essenciais do pensamento matcmátieo.
Aparentemente, o que ocorre na maior parte
do ensino de matcmática é um ensino centrado nos
algoritmos prontos c acabados, em situações onde o
professor elabora previamente o plano de solução
adequado a cada tipo de problema e apresenta os
"passos" da solução, deixando pouco espaço para os
alunos buscarem formas criativas de solução. Isso é
evidenciado por Cai, Moyer e Laughlin (1998), ao
tratarem da importância c do uso de algoritmos na
solução de problemas nilo rotineiros ou incomuns:
"Os algoritmos matemát icos silo
ferramentas poderosas que contribuem para
uma solução eficiente dos problemas. São
r.:gras que garantem a soluçilo quando
corretamentc aplicadas. Entretanto, existe
uma grande quantidade de evidencia
cmpirica mostrando que embora alguns
estudantes pareçam eonheccrum algoritmo,
eles não conseguem aplicar corretamente o
algoritmo para resolver um problema.
Entender conceitualmenle um algoritmo
implica em conhecer os procedimentos
especificados pclo algoritmo c como esses
procedimentos podem ser aplicados". (Cai c
eols.,1998,p.218).
Krutetskii (1976, p.87) considerou que uma das
caractcrísticasdamatemáticaéaqualidadealgorítrnica
da solução de muitos de seus problemas. Paraesseautor,
"algoritmo é uma indicação precisa e
delimitada sobre quais operações realizare
em qual seqilência resolver qualquer
problema de um determinado tipo. Um
algoritmo é uma generalização, desde que
seja aplicãve1 a todos os problemas de um
determinado tipo."
A aquisição dos algoritmos essenciais para a
solução de problemas de aritmética ocupa boa parte
das aulas de matemática nas séries escolares iniciais.
Embora os alunos se empenhem em aprendê-los e
aplicá-los, muitos falham no reçonhecimento e uso
dos algoritmos adequados.
Dentre os conteúdos trabalhados nas séries
iniciais do primeiro grau, adivisãoéo queaprcscnta
maior dificuldade para os estudantes. Estes reproduzemosprocedimentosensinadospeloprofessorsem
umrealentcndimentodosconceitosnecessáriosparaa
execução destas operações. Muitas crianças wnsideram a divisão dificil, porque elas não conseguem,
efetivamente, entender o que é a divisão. Outras
consideram a subtração dificil, porque não conseguem
entender o conceito de valor posicional c as relações
entre o valor posicional ea subtração, apresentando
difieuldades na subtração de três dígitos, com ousem
reserva. De acordo com Re)"es, Su)"dam, Lindquist e
Smith (1998, p. 209), existem quatro razõcs principais
que levam os estudantes a ter dificuldade para
dominar o algoritmo da divisão e os problemas que
envolve m divisão. Em primeiro lugar, o cálculo ê
efetuado na dlreção contrária das demais operações,
poistodassãoefetuadasdadireitaparaacsquerdaea
divisão é da esquerda para a direIta: segundo, o
algoritmo da divisão envolve não apenas os fatos
básicos da divisão mas também a subtração e multiplicação: terceiro, existe inleração entre os algoritmos,
mas o padrão (o curso da ação em direção a um
resultado) muda de um de um foco para outro e, cm
quarto lugar, a divisão envolve estimativa, pemlilindo
ao estudante, alTavés de tentativa e erro, chegar ao
quoeiellte, embora possa não obter sucesso nas
primeiras tentativas.
MÉTODO
Sujeitos
Foram sujeitos 114 alunos, sendo 22 estudantes da quarta série de uma escola particular e 62
estudantesmatrieulados na quinta,sexta, sétima c
oitavasériesdeduasescolaspúblieas,earacterizando
uma amostra de conveniência. Com relaç~o ao
gênero, 60 penenam ao gênero masculino e 54 ao
feminino, e as idades variavam conforme a tabela a
seguir:
Tl.htlaI. Distribuiçâodo:ssujçito:sdeacordocomaidade
l6IIIt
I
II n
12
13
..
15
15
11
II ,..
•
1
.. 21
II
IJ
21
15
IJ
13
11
114
oinstrumento
o instrwnento usado no prese-llIe estudo foi um
teste de aritmética, tipo lápis c papel. elaborado com a
finahdadcdeatcnderosobjetivospreviamenteestabelecidos. O teste erol composto por nove problemas
verbais com hist6riae a décima questão referia-se ao
conceito de di\ isão. Os problemas ql.le compuseram o
teste foram selecionados por quatro professores de
matcmática, quc buscaram incluir problemas rotineiros
(iguais aos usados nas apostilas c livros-tcxto) c problemas não rotineiros (isto é, problemas com proposições
não usuais). Após solucionar os problemas propostos c
responder às duas questões sobre o conceito de divisão,
os sujeitos eram solicitados a infonnar sobre a
pert:epçilo que haviam tido sobre osproblemas,indieando qual eonsideravam mais dificil e qual a razão da
dificuldadc. Também foram qucstionadossobre o uso
dos conteúdos matemáticos, aprendidos em sal~ de
aula, em situações do dia-a-dia. Os problemas que
compunham O teste aritmético eram os seguintes:
I. No annazém da Dona Conceição, um pote de
Margarina CUSla RS 4,00. O pote de margarina no
amlaum do Nino custa R$O,SO menos que no
armaLém da Dona Conceição. Quanto você
r.I,l,f.lrill
"'
gastará, se precisar comprar três potes de margarina no annazém do Nino?
2. Eu tenho trinta e nove figurinhas cm um monte e
quero ficar só com dezenovc. Quantas figurinhas
preciso tirar?
3. Um homem comprou um par de sapatos por
R$60,OO c vendeu nu mesmo dia por R.$70,OO. No
dia seguinte comprou o par de sapatos de volta por
RS80,OO e vendeu novamente por R$90,OO.
Quanto ele ganhou neste negócio?
4. Dona Lucila conou um bolo em 16 pedaços
Marquinho já comeu
sobraram?
~
deles, quantos pedaços
professoras de matemática. O tempo gasto para a
rea\i?..ação da atividade foi, aproximadamente, uma
hora-aula (50 minutos). lniciahnente, foi informado
aos alunos o objetivo da tarefa. tendo sido enfatizado
que se tratava de uma atividade de pesquisa á qual não
seria atribuída nota, que era sigilosa, pois os nomes
dos alunos e o nome da escola seriam omitidos. Os
sujeitos também foram informados que se tl1lta\"a de
um teste de solução de problemas, tipo lápis e papel,
onde nilo poderiam utilizar calculadoras ou qualquer
outro tipo de material. Não houve nenhum tipo de
ajuda da professora ou dos aplicadores.
5. Uma criança tem 3 bennudas c4 camisetas _Oe
quantas maneiras ela p.odc combinar essas peças
para sair com uma roupa diferente de cada vez?
Análiudos dados
6. Quanto precisamos tirar de 39 para ficannos
com 19?
Em um primeiro momento, a prova foi
corrigida considerando apenas procedimentos e
respostas corretas e a cada questão foi atribuído I
7. Divida os quadrad inhos abaixo entre três
pessoas, de modo que cada uma delas receba o
mesmo numero de quadradinhos Quantos
quadradi nhos receberá cada uma')
11111111
8. O pade iro coloca os pães no fomo em assadeiras
com 24 pães cada uma. Hoje foram assados 293
pães. Quantas assadeiras serão necessárias para
co locartodosos piles, ao mesmo te mpo, no fomo?
9. Um fio de 8,70 m de comprimento Coi cortado
cm 6pedaços com o mesmo comprimento. Quanto
mede cada pedaço?
10. Como você faria se tivesse que explicar para o
seu vizinho o que é: "Fazer uma divisão" e "Fazer
umasubtraçãoT'.
Procedimento
o
instrume nto foi aplica do co l eti v3 m~nte,
durante o período nonnal de aulas, em cada uma das
c1as.~es seledonadas, com o aux ilio das respectivas
(um) ponto para a questão certa e zero para a resposta
incorrcta, ou para a resposta em branco, ou quando o
sujeito escrevia ''não sei". Foi somada a pontuação e
atribuida uma nota a cada prova.
Em um segundo momento, (;ada questão foi
pontuada considerando os seguintes aspectos: (a) procedimento utilizado para soluçilo; (b)utilização OO/TCta
de conceitos e princípios (escolha do operador) e (c)
re:sposta final dada ao problema (acerto, erro ou não
saJx,r a solução). Considerando que o aluno responder
''não sei" é uma situaçilo distinta de quando o aluno erra
ou deixa a questão em branco, foram atribuldos valores
diferentes para cada uma destas situações e calculada a
freqUência e porcentagL"1T1 em cada grupo. Quando O
sujeito começava a solucionar o problema usando uma
estmtégia correta, mas errava o cálculo, fornecendo
uma resposta incorreta, era pontuado como errado, pois
o sujeito não havia chegado à solução correta, enlbora a
estratégia inicial fosse adequada
RESULTADOS
A análise e5ta ti~ti ca dos dados obtidos apontou
diferenças significativas entre as médias, quando as
notas dos sujeitos foram agrupadas de acordo com a
111
StllÇl,.,,...bll~llrilMtitn"lhil
série à qual pertencem e também de acordo com a
escola. As tabelas a seguir referem-se à série, mas
pennilem visualizar também o resultado por escola, A
quana série e proveniente de uma escola panicular, a
quinta série, de uma escola pública e as outras três
séries (6' , 7' e 8' ), de uma outra escola públi~a. Nilo
foram encontradas diferenças significativas nas
médias, quando os sujeitos foram agrupados de
acordo com o gênero, a idade, capacidade detramferir
para situações do cotidiano e questão considerada
mais dificil.
Esses TCsultados indicaram diferenças significativas entre as médias, quando os sujeitos foram
agrupados de acordo com a serie. Também foram
encontradas diferenças significativas entre as médias
(p < 0,05), quando os resultados foram agrupados de
acordo com a escola, sendo a média das notas da
escola particular superior às das duas escolas
públicas (p = 0,001; P #- 0,05).
O resultado da análise de variância apontou a
existência de diferenças significativas entre as ~éries.
Foiconstatadoqueamédiadaquartasérie(proveniente de uma escola particular) é inferior apenas à obtida
pela sétima scrie, ligeiramente superior ;i média da
oitava série e significativamente superior (p #- 0,05) à
daquintaescxtasérit:s.Esscresultadoapontouparaas
diferenças existentes entre o ensino público e o
particular. Tendocm vista esse resultado, a professora
da escola particular foi solicitada a emitir opinião
sobre o descmpenho de seus estudantes. Ela informou
dispor de ampla variedade de material de apoio para
ensinar matemàtka, usar a abordagem da solução de
problemas como principal método de ensino dessa
disciplina, huscando dar aos alunos oponunidade de
trabalhar com variados tipos de problemas verbais
com história. tentando apresentar problemas desafiadores que retratem situaçõcs próximas da realidade
desse grupo. Esse pode ser um indicador da influEncia
do profes;;or e do método do ensino sobre o desempenho c as atitudes em relação à matemática, porem,
um estudo delineado para essa finalidade precisaria
ser elaborado.
O problema considerado mais difícil foi a
questão 10(apontadapor 24sujeitus);em seguida foi
apontado o problema sobre produto cartesiano
(problema 5) c, depois, o problema dt divisão dos
quadradinhos (problema 7). Os problemas 7 e 10
referem-se à divisão, Além disso, os problemas de
divisão foram aqueles que aprestntaram a maior
incidência de erro
Aanãlisedosproblemaseasrespectimsoluções
Média
Oenilpadlãl
4'Jtrit
Selie
um
1.511&
5'slril
4.3115
2.1111
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1.1111
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5.5151
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um
um
5.4254
2.1111
.
,,
A seguir, cada problema foi analisado
individualmente e bu.'cou-se explicitar os diferentes
tipos de proct:dimentos usados e quando o sujeito
errava ou acertava, quando o problema tra considerado dificil e a razão pela qual havia sido considerado
dilicil. Para ilustrar. são transcritas algumas das
razões aprestntadas pelos sujeitos, tendo sido
reproduzida a forma original, tal como foi escrita,
Ta beh3. AJlálise dc variãncia (média x série)
Sala dos
_udrld.s
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513.111
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Mé4iad'l
qual!ri;IS.
11,166
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3.m
l.m
.8~g
Prohlemo I
No armazém da nona Conceição, um pote de
Margarina custa R$ 4,00. O pott dt: margarina no
armazém do Nino cust~ R$0,50 menos que no
annazém da Dona Conceição. Quanto você gastará,
se precisar comprar três pOles de margarina no
armazém do Nino?
IUf.Bntl
Trata-se de um problema simples e rotineiro
de subtração e mulliplicação de valor monetário.
Esse primeiro problema. cuja estrutura matemática
envolve as operações de subtraçãn e soma ou
multiplicação, é uma sirnação onde o sujeito precisa
pensar sobre a possibilidade de compra em dois lugares com preços diferentes. Trata-se de um problema
"personalizado", isto é, pertenee;i categoria de
problemas em que o suj~ito que está solucionando o
probl~ma é ~nvulvidu na história do problema,
aparecendo como per50nag~m.
O estudo desenvolvido por Wright e Wright
(1986) mostrou que o fato de usar problemas personaliLados levou a um melhor desempenho na escolha
dos procedimentos de solução. embora não lenha
re5ultado em uma melhoria na aplicação e efctivação
dos operadores, pois não houve aumento no número
de respostas corretas. Já Stern (1993) verificou queo
uso de problemas personalizados não era a fonte de
dificuldades dos sujeitos.
Ddibt:r~damt:nle, u pronum~ "você" fui colocado na pergunta do problcma. tendo eln vista que no
estudo de d'AilIy, Simpson e MacKinnon (1997) foi
verificado quc o uso de auto-referência em problemas verbais afetava tanto a maneira como o estudante processava a infonnação quanto o tempo gasto
para soluciooaros problemas propostos. Além destes
aspectos, os estudantes apresentavam soluções
melhor claboradas
Aper.sonalização, atrnvesda inclusão do "você'"
no problema 1 c no problema 10, foi fcita com o obje[ivodt:l~vaT(leSludanleaseidentificaresesemirpartc
da siruaç~o, pois, confonne os autores acima citados, o
uso d~ auto-refcrência nos problemas personalizados
toma mais próximas as cxpcriêneias cotidianas e a matemática infonnal que o sujeito retém. O uso do "você"
leva o sujeito aativar, com maior facilidade. amemória
referente a este conhecimento. ajudando, também, na
construçoo da representação mental do problema, que é
um passo essencial para a soluç~o.
Todos os sujeitos solucionaram o problcma
usando a aritmética, efetuando a sublração R$4,OO _
0,50 (usando eálculo mental ou cfctuando no papel).
Em seguida, ou sornavam o resultado da ~ubtra~~u,
efetuando uma adição com três parcelas, ou multiplicavam3,50portres.Nestas~gundaetapadasolução,
apenas alguns alunos da 5ctima e oitava séries
usaram cálculo menlal.
Apenas um sujeito (5' série) con5iderou diflçil
essa questão, mas não justificou ou explicitou a dificuldadc. Quando se considerou o desempenho no
item, verificou-seque 61,4% acertaram essa questão e
38,6% erraram ou não responderam, sendo a incidênc
cia maior de acertos na 4' ~crie, onde apenas 2 aluno;;
erraram a questão. O filtO de a questão apresentar wn
altoindicedeaeertoenãotetsidoapontadacomodificil pode serou porque é uma questão personalizada ou
porque é um problcrna muito próximo du cotidianu
dos alunos, mas apenas um esrndo controlado poderá
evidenciar cSle falO
Problemu 2 e Problemu 6
São dois problemas rotineiros que envolvem
pudt:ndu incluir prova.
2. Eu lenho trinta e nove figurinhas em um
monlee quero fícarsó com dezenove. Quantas figuri[maS preciso tirar?
6. Quanto precisamos tirar de 39 para fícannos
com 191
rx,issujeitos apontaram dificl.lldadena questão 2.
sendo queosujeito 52 (5'série) apontou as qucstões2 e 6
como as mais dificeis 'porque são conta~ que a gente
1100 deve esquecer". Esse cstudanlc acertou a 6 e errou a
2, pois rumou a operação 39- 12 = 27 (provavelmet1te
confllildiuonlÍlm:ro), cescrcveucomo resposta "eu tcria
que {irar 27 figurinhas". o que indica, possi\elmenle,
que ele não conferiu os resultados e não voltou aleI' com
atenção o enunciado do problema. Essa questão teve
92,1% de acerto e 7/1"/0 de erros, sendo que na 8'" série
teve 1!lO% de acerto. Já a ql.lcstão6 teve %,5% de acerto
e 3,5% erraram ou nào a fi7,cmm
subtr~çàu,
Problema 3
Um homem comprou um par de sapatos por
R$óO,OOevendeunomesmodiaporR$70,OO, Nodia
seguinte comprou o par de sapatos de volta por
R$80,00 e vendeu novamente por H.$90,OO. Quanto
ele ganhou neste negócio?
Trata·se de um problema não rotineiro que
envolve soma e subtraçllo e é uma adaptação do
problema usado no experimento realizado por Maicrc
Burke em 1967 (conforme citado por Mayer, 1992).
Em um primeiro estudo deSSC.'l autores, aparecia um
úni.co objeto na história do problema (no prescnte
caso, é sempre o mcsmo par de sapatos) e foi
vcrificado que apenas 40"10 dos sujeitos acertaram II
resposta. I'osterionnente, o problema foi dado a um
grupo diferente de sujeitos, Sl.'ndo que, nessa nova
situação, os autores incluíram dois objetos distintos de
compra e todos os sujeitos desse grupo acertaram a
qucstilo. Os autores concluíram que, quando a transa·
ção sc referia a um único ubjeto, os esrudantes
apresentavam wn grau maior de dificuldade para a
solução; quando os objetos cram distintos, parecia
ocorrcr uma maior discriminação, facilitando os
procedimentos de solução.
A questilo uts foi indicada como a mais dificil
{XlI" oito alunos, sendo que 41.2% deles acertaram,
cnquanto 58,8% erraram. O maior número de erros fOI
na 5' série (nove acertaram e 23 erraram) e n~ 7' série
(seis acertaram e 14 erraram). Quando perguntados por
que consideravam a questão dificil fonlm encontradas
as seguintes justificativas: "não en/endi" e 'porquefaz
confosão e li complicada". "A 5 e j porque são de
pegadinho" (92, 7' sáie)."Eu achei mab' dificil a
queslão 3, pois não consegui fceer lima COII/a qlle
I'u<ks.sc dcmomtraro queeupel1.fei.~{I02, 8' série); "A
n" 3 pob' exigiu muilo e muitaJ' <-.::cs as pessoas lião
l!!em oproblema o que difiroltaa operaçiio". (104, 8'
série)"; ''foi a número 3 !)()is não conseguia monlar a
con/d' (SI08, S' série). Este último sujeito, embora
tenha considerado o problema dificiL usou as estralé·
gias ad«}uadas e acertou a resposta
De mn modo geral, os resultados obtidos no
problema 3 p'l.xkm seratribufdosao fato de o csrudantc
usar a estratégia de buscar palavras-chave que estão
relacionadas aos procedimentos matemáticos ne.::essários:l. solução, sendo que este problema presta,se a
este tipo de cstratégia. As razões apresentadas pelos
alunos que consideraram esse problema dificil cviden·
ciaram que uma má compreensão do enunciado do
problema dificulta a representação do mesmo, isto é,
todas as operações de compra c vcnda referem·se aum
mesmo objeto, o que pode ter dificultado a "visualização" da seqUência de passos do problema.
Problema 4
Dona Lucila cortou um bolo em 16 pedaços
Marquinho já comeu Y. deles, quantos pedaços
sobraram? Trata-se de um problema rotineiro sobre
fraçõcs, envolvendo divisão c subtração. Váriosestudantes deixaram no papel apenas a conta 16 - 4 = 12,
sem terem anteriormente efetuado a divisão. Não
pode ser verificado se esscs alunos usaram o cálculo
mental ou outra estratégia que, embora inadequada,
levou ao resultado correto.
Essa questão foi considerada a mais dificil por
dez sujeitos e foi respondida corretamcnte por 44,7%
dos estudantes, cnquanto 55,2% erraram o resultado.
Nenhum estudante da quarta série considerou esta
questão dificil e treze deles acertaram a questão
Apenas seis sujeitos da 6' série accnaram a questilo,
enquanto tre:t:e e!Tanlm. Aparentemente, por envolver
frações, foi comidcrada de dificil solução. As razõcs
que os IC'varam a considerar C-'iSlI questão como a mais
dificil foram: "é muito complicada" (S.26, 5' série);
"porque não enrendt·(S.28, 5' série); "an. 04. porque
li meio dificil o achar o resultado sem saber fo::er a
conla" (S.34, 5' série); "o 4, porquê eu não entendi
dereito" (S.4O, 5' slirie); "a quata por que eu nào lava
cOl/Seguido fu;er" (S.4I, 5' série).
Os esrudantes das séries mais avançadas, particulannente us da oitHva série, que apontaram o proolema quatro como scndoo mais dificil,atribuíram a dificuldade ao fato de nào possuírem o conceito de fmção.
1"'<;0 foi mostrado cm respostas como: "A questdo n° 4
(dificuldades em fração)" (%, 8" série); "A IIIÍmero 4.
Não sei direita mecheI' comfraçâa" (III, 8' série).
Exemplos como esse indicam aexistênçia dc uma cena
dependência entre o conhecimento declarativo (o
conhecimentodoconccito)eoconhecimentodcprocedimentos, pois esses estudantes sequer tentaram solueionar o prubkma, apenas escreveram "ndo ser no
espaço reSl:rvado para solução
'M
Problema 5
Uma criança tem 3 bcmludas e 4 camisetas
De quantas maneiras diferentes ela pode combinar
essas peças para sair com uma roupa difercnte de
cada vez?
Trata-se de um problema sobre produto
cartesiano,quecnvolve a construção de urn conjunto
de pares ordenados, onde cada elemt:nto do primeiro
conjunto é combinado çom cada elemento do
segundo conjunto. Nesse tipo de problt:ma, o
estudante precisa representar, mentalmente, que o
produto é um par de coisas, sendo que cada membro
do par é rctirado de cada um de dois conjunlOs dados.
Em um outro estudo usando esse mesmo problema
(Brito e Taxa, 1999), foram comparados os procedi-
mentos de solução, utilizados por dois grupos de
sujeitos de quarta serie. usando material concreto
para um grupo e prova tipo lápis e papel para outro.
Foi verificado que 15% dos sujeitos que Ulilizaram
material concreto foram capazes de resolver o
problema e dar a resposta correta, enquanto, no
segundo grupo, 68,3% chegaram à solução e, destes,
50% representaram graficarnente o problema.
A análise dos procedimentos usados pelos
sujeitos do presente estudo também mostrou uma
tendência à utilização de alguma fonna de represenlação gráfica para a solução. Alguns sujeitos nllo
realizaram as opemções e também não efetuaram o
eálçulo mental, escrevendo respostas como: "De
modo cada dia ela fue 1 bermllda e J camiseta mm'
.wlJrani I camiseta es/o sera usada com J o bermuda
que usou.'" (S. 70, 6' série). Essa aluna considerou
difieil o problema 5 e a ruJo apontada foi que "não
tem como fazer conta'"; "a 5. Porque eu nào
conseguiria arrumar" (S.54, 5' série); "a 5 porque
nüo tem o mesmo tunto de bermuda paro colocar
com ocamise/a" (5.65, 6' série); "a 5 pq euja lemei 3
vezes e não L'onsigo resolver" (S.70,6· série);
Prohlema7
Divida os quadrad inhos entre três pessoas, de
modo que cada uma delas receba o mesmonÚfiero de
quadradinhos. Quantos quadradinhos recebcrá cada
uma?
M.•. F.JritI
11111111
Esse problema tmla da divisão, usando uma
figura que permite ao estudante representar graficamenle a soll.lçllo. A ql.leslão foi considerada correta
quando os 2R quadrados foram divididos por três
resultando 9,mesmo sem referência ao quadradinho
restante, sendo que a resposta completa 9D foi pouco
cncontrada. Esse problema foi considerado dificil
porql.linzc sujeitos c, paraalgl.lns deles, a dificuldade
estava relacionada direlamente ao tipo de problema
(divisão) e ao fato de ser uma divisão com resto
(sobra um quadradinho) que, cm um segundo
momcnto, necessita ser dividido novamente. O
Indiee de solução desse problema foi o mais baixo:
47,4% dos estudantes acertaram e 52,7% erraram,
sendo ql.le a quinta e a sexta série foram as que
apresentaramopiordcscmpenho
Na quarta série, doze alunos acertaram a
questão c dez erraram. Apenas um sujeiloaprcscntou
a resposta que inc luía 9[" ou a representação da
divisão na própria figura; os demais responderam
"cada um recebeni 9 quadrados e sobrará J".
Quando pergl.lntados por ql.le consideravam
esscproblemaomaisdificil,várioscstudantesesereveram: "porque ti complicado", "porque ti dificif',
"jXJr causa dus qlladradinhos que não dl!u (~'ic)
certo", cnquanto outros deram respostas como:
"poNjUe meche (sic) L'um divisão" (SI06, 8' série);
"não entendi o prohfemo "($45, 5' série); "porque os
números nã%ram exalOs" (S76, 7' série).
ProblemaS
O padeiro coloca os pães no fomo em assadeirascom 24 pães cada uma. Hoje foram assados 293
pães. Quantas assadeiras serão necessárias para coloçar todos os pãcs, ao mcsmo tempo, no fomo?
Estet ipo dc problcma enfatiza uma silUação real,
cotidiana c o sujeito ncccssita não apcnas cncontrar a
soluçilo, ma~ também forneccr uma rcsrosta plausível,
pois o resultado da operação 293 + 24 - 12,208333
precisa ser considerado de acordo com a história do
problema, Quando o estudante executa a ação efetuando o cálculo, obtém um resultado quc, em si, não
fornece aresposta correta, sendo requerida aelaboração
de uma estratégia adicional que forneça wna resposta
adequada (VerschalTel e cols. 1999).
O problema foi solucionado corretamente por
apenas vintc e cinco sujeitos (21,9%), enquanto
setenta (61 ,5%) apresentaram algum tipo de erro que
não pennitiu atingir algum resultado aceitável; doze
estudantes (10,5%) deixaram a questão em branco e
sete deles (6, 10/.) escreveram "'não sei", Muitos
sujeitos executaram 3 estratégia correta de solução.
efctuaram corretamente os cálculos, mas não utilizaram a estratégia adicional necessâria para chegar a
um resultado adequado.
Um procedimento usado foi tentar, por ensaio
e erro, chegar a uma solução aproximada, por cxcmpIo, multiplicando 24 por 11= 264 e, em seguida,
subtraindo esse resultado de 293, obtendo 29 (5.66,
6' série) e dando a resposta "serão nece.uário II
tahuleiros e sobraram 29 pães". Aparentemente, por
não ler atentamente o problema, o sujeito foi incapaz
de perceber que seria possível completar mais urna
bandeja e sobrariam cinco p~es para os quais seria
utiliwda mais uma assadeira, perfazendo 13. Esse
mesmo sujeito apontou o problema 8 como o mais
dificil de todos "pois ele nào ede escola".
O procedimento utilizado pelo sujeito 77 da 7'
série mostrou urna maneira original de solução, pois
escreveu 24 (correspondente ao numero de pães em
cada assadeira) 12 vezes. annando uma adição.
Sornou as doze parcelas de 24, obtendo 264 e, a esse
resultado adicionou mais 24, obtendo 288, tendo
respondido que "usaria /3 assadeiras sendo uma
incompleta"'.
Alguns estudantes apresentaram soluções
algorítmieas que apontam para a ausência de uma
leitura cuidadosa do enunciado do problema. por
exemplo,5.62,6' série,quemultiplicou293por24e
obteve 7022, tendo colocado corno resposta: "Serão
necesmrios 7022". Outros sujeitos somaram 293 e
24, enquanto outros subtraíram 24 de 293. Um
grande número de sujeitos, particularmente na 6'
série, alem de escolher a estratégia algorítmica incorreta, também errou ao efetuar as operações. Alguns
sujeitos apontaram essa questão como a mais dificil
pelo fato de não terem cntcndido o enunciado.
Um dos sujeitos da 6' série não solucionou
esse problema no papel e escreveu a seguinte justificativa "não sei, eu acho diflcil a divisão". Esse
mesmo estudanh: também considerou esse problema
como o mais dificil, afirmando: "O oito porque ele
sobra resto na divisão" (S.55, 6" serie). O fato de ser
wna operação com resto foi apontada como causa da
dificuldade,emafinnaçõescomo"aoilopoiselanão
da exala" (5,66, 6' série); "o oilo pois não dá para
dividir 293 por 24" (5. 99, 8' série)
A análise das respostas dadas pelos sujeitos da
quarta série (n=22) ao problema 8, mostrou que Sele
deles responderam que serão necessárias 12 assadeiraso isto é, estes sujdtos efctuaram a divisão e ignoraramos5pi1csrestantes;doissujeitosresponderamque
seriam necessárias 12 assadeiras e restariam 5 piles;
cinco sujeitos deixaram a questão em branco; um
deles respondeu 12.2 e outro, 122. Como a história do
problema continha a palavra assadeira e depois
tabuleiro, seis deles nilo reso~vefllm o problema e
escreveram respostas corno "'niJo usou labuleiro e sim
assadeiras", "ele nào usou nenhum tabuleiro",
"nenhum, porque II:m de ~'erassadeira", "ele nao flSOU
nenhum tabuleiro IH)rque não são IObuleiros, ~'ão
assadi!ira:/'. Nenhum aluno da quarta série respondeu
que seriam necessárias treze assadeiras.
A maioria dos estudantes que efctuou a
divisão e infonnou como resposta serem necessârios
doze assadeiras escolheu a estratégia correta de
solução, mas apresentou uma ação incompleta,
provavelmente por não terem retido todos os procedimentos necessários para se chegar a um resultado
final satisfatório. Para esses sujeitos, o procedimento
foi interrompido quando, para execução da açilo
seguinte, era necessário o emprego da virgula.
Prob/ema9
Um fio de 8,70 m de comprimento foi cortado
em 6 pedaços com o mesmo comprimento, Quanto
mede cada pcdaço?
'"
Esse é um problema rotineiro de divisão que
foi solucionado pela maioria dos 114 sujeitos, sendo
que setenta e três ddes (64%) acenaram; vinte e oito
alunos (25,4%) erraram e treze (I 0,5%) deixaram de
responder à questão. Dentre aqueles que deixaram a
questão cm branco, a maioria escreveu quc nào sabia
solucionar o problema, ou então que não havia entendido. Esse problema foi apontado como dificil por
apenas quatro sujeitos, todos eles da quinta série.
Também foram os sujeitos dessa série que apontaram
as maiorcs dificuldades na divisão, tendo sido vcrificados erros na escolha das cstratégias de solução e de
cálculu. O sujeito 45 da 5' série, que deixou essa
questão cm branco, nilo esboçou. no papel, nenhum
procedimento de solução, afirmou "achei difici/ a
quesfão 9 porque não entendi o problema"
confirmando que, quando n1l0 entende a história do
problema, o sujeito não consegue buscar a cstrutura
matemática subjacente. Um dos estudantes (S. 51 da
5' série) subtraiu 6 de 8,70 e forneceu corno resposta:
"Cada pedaço mede 2,7(T', evidencümdo u exposto
acima. Um outro aluno da mesma série (S. 47) armou
corrctamente a operação, obteve 145 como resultado,
ignorando a virgula, e na resposta escreveu "Foi
cortado em 1.45 pedaços", mostrando que não
ocorreu uma leitura cuidadosa do enunciado, pois o
número dc pedaços já constava no mesmo.
Alguns resultados mOSlraram qut: us sujeitos
não conseguiam empregar a virgula na divisão, sendo
esSl;: erro mais comum na quarta c quinta séries.
Alguns sujeitos efetuanun apenas o cálculo mental,
sendo que os da oitava série que utilizaram essa estralégia acertaram o cálculo, enquanto que os da quaJta
série erraram o resultado. Dois sujcitosda quarta série,
que erraram esse problema, consideraram as questões
que envolviam divisão as mais diliceis.
Problema 10
Naquestllodez,oscstudantesforamsolicitados
aescrevercomofariamsetivessemqueeJlplicarparao
vizinho o que seria: "Fazer uma divisão" e "Fazer uma
subtração"
A correção dessa questão foi feita considerando
que não seriam aceitas respostas como "t dividir" ou
II. I. r. lritt
"É subtrair, ou ainda a simples indicação da operação. 76,3% dos sUjeitos não deram uma resposta satisfaloria e apenas 17,5% dt:1es conseguiram explicar de
maneira adequada, sendo que 3,5% afinnaram não
saber responder c 2.6% deixaram em branco. Quando
foram comparadas as médias das notas obtidas pelos
sujeitos que acertaram esta questão e a daqueles que
nãoacenaram,foramobservadasdifcrcnçassignificativas entre os dois gropos (p;(l,0002).
Várias respostas apontardJll pant a dificuldade
que aparece quando se é solicitado a explicar lUl1
procedimento para outra pessoa. Esta questilofoi a que
apresentou o maior número de sujeitos indicando-a
como a mais dificil. Algumas razões apontadas foram:
"A 10 porque eu sei (XJI'a mim agora para explicar
paraosowrosédificif'.(S.9S,S'série); '"Ofazerllma
divisão. Porque a divúàa ti mais complicada." (S. IS,
4' série); "DiI'ÍJâo porque SI! vuçê não souber a
tabuada nào se consegue resoll'cr" (S. 57, 6' série); "a
di~isãa porque é mai~' comp{jcada" (S.72, 5' série);
Com o objetivo de verificar \:omo os sujeitos
deste grupo transferem a matemática aprendid3 na
sala de aula para sitU3ÇÕCS do cotidiano, foi feita a
seguinte pergunta "Quando você está fora da escola,
você usa o que você aprende na aula de matemáticaT'. E, logo em seguida "Se você usa. dê um
4:l!mplo". O resultado obtido foi que 68 estudantes
(59,6%) afirmaram usar o que aprende na aula em
situações práticas, enquanto 34 (29,8%) afirmaram
que não usam e 12 (10,5%) disseram que apenas
algumas vezes usam a Matemática fora da escola.
Os resultados obtidos com os sujeitos que
afirmaram usar a Matemática fora da escola
mustraram que estes conseguiam perceber o uso das
operações c destacavam quase sempre situações de
compra evenda e contagem, sendo poueososque índicaram a uti1izaç~u de Oi.ltras conct:itos. Um outro
aspecto evidenciado foi que a maiona das slluaçõcs
fornecidas como exemplo do uso que estes sujeitos
fazem da matemática envolvia apenas a aritmética
São mostrados, a seguir, alguns cxcmplos (copiados
conforme o original) com os quais os estudantes
buscaram retratar como a matemática é usada cm
situações do dia-a-dla:
Slllçli" "MIr&lllri!JI6tictl ftrUis
"Vw. Uso a porcentagem, a tabuada a divisão
multiplicação adição, .whrração. fração numeras
decimais etc." (5. 38, 5' série);
"Usosim.ljuando rou ao mercado compar (.~ic)
alguma coLm precisa .mmar quanto que da sim uso
bastantea.roma2+2 =4 2· 2 + r(S.51. S'série);
"Sim. Quanto eu mujUnlOlJo meupaiabarlecero
carro e vejo que a garoIina subia (sic) por exemplo subi!
(.~ic) 1,3" (5.52, 5' série);
"Sim, uso a porcentagem, o meu pai fála, ganhei 10"/ade um negócio de 20.000,00". (5,60, série);
"Sim, quando vou ao mercado comprar
alguma coisa e levo 5,00 reai~' e o !(uaranú é 1,00
(5,00 - 1,00) ela tem que me devolH'r 4,00 reais"
(S. 61, 6série);
"Só oque eu aprendi de '"a 4 aserie, Noexempio armou a operação 12 dividido por 2 6." (S.R3,
7'série);
"As \lCZes, ensinando minha irmã, porque eu
quero ser professoradoprimtirio." (S.75, 7' série);
"Sim. se eu Tenho uma certa quantia no banco
e eu quero sober quantos porcento meu dinheiro vai
ler vou ter que aplicar a regra dus porcentm." ($.88,
7'série);
"Usei com meu pai. o saldo dele no banco ti x.
e ele gastou y: ele queria ~,(Jber quanto sobrava para
comprar mura coisa, então eujiz as contas." (S,l 01,
8'série);
"Sim, quando ajudo meu pai /10 !"er,iço, por
exemplo qualldo qjudu ele a cubrir um telhado, remos
que ler a medida certa paro. não dar infiltração 110 CaslL "
(S.lll,R'série);
"Sim, Por exemplo no Cem"a qual!dn enCn,\'IO
um caminhiio de tomale eu mul/iplico a al/ura pela
buse de umafiada econta, ore~'lIltadoell somo com o
restante dasjhJdas." (S.113, 8' série)
OuU"OS sujeitos, como o do exemplo abaixo,
incluíram 3 conta no ext:Illplo:
"Sim, Vou comprar lima calça de R$25,OO e
tenho R$JO,OO parapo.ga" (S.5S, 6' série)
R$50,OO
-25,00
25,00
IIJ
O exemplo mostrado a seguir ilustra como o
sujeito 92 (7' série), transforma 3 situação em um
problema tal como é apresentado na escola, tentando
aplicar os procedimentos aprendidos:
··Sim. Quando rou comprar alguma coisa, uso
vária.!' operações matemáticos, inc/"sive juro'
Comprei um obje/o por 200,00, coloquei 20% de
Juros, arrependi e Tirei 20%, quanto fique!?"
200
~
4000
40,00
240
192
240
~
~
48,00
192
DlSCUSSAO
Os resultados apomaram diferenças significativas na média das notas obtidas no teste de matemática, quando são consideradas as variáveis serie c
escola. Não foram eneontnldas diferenças significativas que pudessem ser atribuídas ao gêneru. A
análise qU31itativa mostrou que os sujeitos encontraram mais dificuldades n .. primeira etapa da
solução dos problemas, quando necessitavam ler o
problema e extrair a informação matemática para a
construção ue uma representação do problema.
Aparentemente, isso ocorreria porque o estudante
não consegue entender a história do problema, ou
porque n~o prestava atenção na seqüêneia das
operações qlJe estavam sendo solicitadas. De
maneira geral, os sujeitos que conseguiram entender
a historia do problema, elaborar uma representação
do mesmo e disponibilizar, na estrl.llura cognitiva, os
algoritmos corretos para a solução, chegaram a uma
resposta adequada e matematicamente correta.
Embora o tempo gasto em cada etapa do
processo de solução dos problemas propostos não
tenha sido previamente selecionado como variável,
pode ser notado que os alunos despenderam muito
tempo em cada etapa da tarefa. Apesar disso, as
respostas não evidenciamm uma leitura cuidadosa
dos problemas. De uma maneira gemi, parece existir
uma expectativa de que os estudantes aprenuam
como solucionar problemas pela mera atividade de
IU.F.1ritt
lU
solucioná· los, sem, contudo, serem ensinados a
como proçeder para cncomraruma solução. O ensino
cuidadoso dos algoritmos é um passo importante
paraodesenvolvimento das habilidades matemáticas
nos estudantes. Devem ser ensinados não apc:nas os
conceitos e princípios inerentes a um problema, mas
também os vários procedimentos que podem levar à
solução. Alêm disso, os estudantes devem ser ensina·
dos e incentivados a ler cuidadosamente as histórias
dos problemas, buscando procedimentos originais de
solução.
Muitos dos problemas ensinados pelos
professores silo simples e podem ser solucionados
rapidamente (isso pode ser obselVado nos problemas
1,2 c 6), scndo que os estudantes reeonheeem·nos
como problemas fáceis. Quando o aluno se defronta
com um prublema cuja solução não está evidente,
impossibilitando a rápida escolha de uma estratégia
de: solução, esse problema passa a ser visto como
impossivel de ser solucionado. Muitas vezes, o aluno
não tem nenhuma persistência, desistindo após a
leitura do enunciado. A compreensão do enunciado e
a representação do problema constituíram fatores
importantes na escolha dos procedimentos de solu·
ção. A comparação entre as representações gr.ificas
elaboradas pelos sujeitos mostrou que o entendi·
mento da história do problema afetava a escolha das
ações e, conseqüentemente, o resultado. Isso ficou
evidenciado no problema nove, no caso do estudante
que afirmou que não havia entendido o enredo do
problema e, efetivamente, somou os dois números.
Ocorreram muitos erros ou porque os sujeitos
c){eeutar.tm erroneamente as operações, ou porque
escolheram a estratégia incorreta de solução. A
escolha ineorreta da estratégia de solução pode ter
ocorrido porque os sujeitos não consideraram se a
escolha era ou não apropriada ao espaço do
problema. Os protocolos mostraram que os
problemas sobre divisão ou aqueles que, de alguma
maneira, envolviam esse algoritmo, foram considerados mais difíceis e tiveram grande incidência de
erros, apontando para as razões pelas qua is a divisão
é considerada difícil (Reyes e cols., 1998)
Com relação ao uso de problemas não rOli·
neiros no presente estudo, pode ser verificado que os
estudantes não estão familiariudos com esse tipo de
atividade. Além disso, quando solicitados a descrever
como ensinariam a subtração e a divi~o, afirmaram
ter grande dificuldade, particulanneme nesta última
Os protocolos dos sujeitos evidenciaram que a divis~o
c um dos tópicos nos quais encontraram as maiores
dificuldades. Também pode ser verificado que,
embora os problemas envolvessem quantidades
pequenas, os estudantes apresentaram dificuldades
para efetuar os cáleulos necessários. Poucos sujeitos
(tudos da oitava scrie) efetuaram cálculos mentais e
chegaram aos resultados corretos, sendo que a maioria
tratou de representar graficamente o problema.
Nos exemplus dados pelos sujeitos, a respeito
da aplicação cm situaçõcs do dia~a-dia, sempre são
le:mbradas situações extremamente simples envol·
vendoasoperaçõeseosistemamooetário,tendosido
encontrado apenas um sujeito que se referiu ao uso da
álgebra; quatro deles fizeram referência ã geometria
e uns poucos ao sistema métrico. Isso parece
eonfinnar a idéia segundo a qual a transferência das
situações escolares para a \'ida fica limitada apenas
àquelas mais simples e que as siruações cotidianas
nilo silo ge:nt:raliz~veis às situações de sala de aula.
Seria adequado que os problemas fossem bem
contextualizados para os alunos, relacionando
situações práticas com os conteúdos que estão sendo
aprendidos, mas particular atenção deve ~er dada à
fonnulação de objetivos de ensino voltados para o
desenvolvimento da habilidade de transferir de uma
situação para outra c para o desenvolvimento dos
algoritmos de soluç~o.
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