Sumário
• Teorema de Jevon
1
Igualdade de Jevon
• A isoquanta u(q1, q2) = k é uma equação
que define de forma implícita a função:
q2 = f(q1)
• A restrição orçamental Despesa(q1, q2) = R
é uma equação que define de forma
implícita a função:
q2 = g(q1)
2
Igualdade de Jevon
• Sendo que f e g são funções deriváveis,
• Então, no ponto óptimo,
• O declive da curva de indiferença é igual ao
declive da recta orçamental.
f’(q1) = g’(q1)
3
Igualdade de Jevon
4
Igualdade de Jevon
• A taxa de substituição entre os bens
• É igual
• Ao custo de oportunidade
– No caso dos bens serem comprados a dinheiro,
o custo de oportunidade (a inclinação da recta
orçamental) é o racio dos preços:
5
Igualdade de Jevon
• A recta orçamental será
R = p1.q1+p2.q2
q2 = R/p2 – p1/p2.q1
• Então a inclinação da recta orçamental será
dada pela relação dos preços
b = – p1/p2
6
Igualdade de Jevon
• Poderíamos aplicar os teoremas da função
implícita para deduzir como a função de
utilidade se relaciona com os preços.
– A desenvolver em Mat. I.
• Mas vamos antes utilizar uma dedução
gráfica.
7
Igualdade de Jevon
• A inclinação da curva de indiferença é
MENOS o racio dos AUMENTOS das
quantidades:
q2
I CI  
q1
• A inclinação da recta orçamental é MENOS
o racio dos preços:
P
I RO  
1
P2
8
Igualdade de Jevon
• Então, no ponto óptimo teremos que as
inclinações das duas funções são iguais:
q2 p1

q1 p2
9
Igualdade de Jevon
• Mas nós apenas temos u(q1,q2). Por
manipulação algébrica, obtemos
U
q2 q2 U
q1


U
q1 q1 U
q2
10
Igualdade de Jevon
• No limite, quando q10 e q20 temos
U
U
p1
p1
q1
q1



U
U
p2
p2
q2
q2
11
Igualdade de Jevon
• Podemos dar outra notação a este limite:
U
p1
U1 ' p1
q1



U
p2
U 2 ' p2
q2
12
Igualdade de Jevon
• Esta igualdade é conhecida por teorema de
Jevon
U1 ' U 2 '

p1
p2
• Para todos os consumidores e todos os BS, a
razão entre a utilidade marginal e o preço é
constante
13
Igualdade de Jevon
• Esta igualdade aplica-se a todos os BS
Un '
U1 ' U 2 ' U 3 '


 ... 
p1
p2
p3
pn
14
Igualdade de Jevon
• Traduz que
• o custo marginal de obter uma unidade
adicional (o preço) é igual ao
• benefício marginal de consumir essa
unidade adicional (a utilidade marginal)
15
Igualdade de Jevon
• Se a despesa fosse uma função ‘complicada’
(e.g., descontos com a quantidade) em
termos genéricos seria
U1 ' U 2 '

D'1 D'2
16
Exercício 1
• O preço do BS1 é 1€/u e o preço do BS2 é
2€/u
• A utilidade é u(q1,q2) = q1+q2+q1.q2
• Sendo o rendimento 5€, quanto comprará o
consumidor de cada BS?
17
Exercício 1
• O cabaz óptimo terá que satisfazer
1) A igualdade de Jevon
u(q1,q2) = q1+q2+q1.q2
2) A restrição orçamental
18
Exercício 1
• igualdade de Jevon
U1 ' U 2 '
1  q2 1  q1



p1
p2
p1
p2
 1  q2  p2  1  q1  p1
19
Exercício 1
2  2q2  1  q1
 q1  1  2q2
• Recta orçamental
q1. p1  q2 . p2  R
q1  2q2  5  q1  5  2q2
20
Exercício 1
q1  5  2q2
  


1  2q2  5  2q2
q1  1  2q2
q1  3

q 2  1
21
Comportamento óptimo
• O que deve fazer o consumidor quando está
num ponto em que a inclinação da função
utilidade é diferente da inclinação da recta
orçamental?
U1 ' U 2 '
U1 ' U 2 '

ou

p1
p2
p1
p2
22
Comportamento óptimo
23
Comportamento óptimo
• Como a utilidade marginal é decrescente
com a quantidade (?), deve-se
• aumentar o consumo do BSi em que Ui’/pi
for maior.
• diminuir o consumo do BSi em que Ui’/pi
for menor.
24
Soluções de canto
• São situações em que o consumidor apenas
adquire um dos BS
• Estas soluções acontecem em pontos que
não são diferenciáveis
• Não se verifica a igualdade de Jevon
25
Soluções de canto
26
Soluções de canto
27
Soluções de canto
• Será que se os BS forem substitutos
perfeitos a solução óptima será sempre uma
solução de canto?
• E se os BS forem complementares perfeitos
a solução óptima nunca será uma solução de
canto?
28