Dinâmica Não Linear e Processamento
de Informação em Redes Neurais
Biológicas
Pedro Carelli
CURSO DE VERÃO – 2012
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - UFPE
Motivação:
Atividade irregular dos neurônios biológicos
5 mV
STG
1s
Circuito regular
Neurônio isolado irregular
Atividade espontânea
Potenciais de ação e rajadas/bursts longos com frequência bem diferente do
circuito original
Comportamento elétrico de neurônio
do STG
Rajadas de potenciais de ação
Dinâmica Rápida:
Potenciais de Ação
Dinâmica Lenta:
Platôs
e
Hiperpolarizações
Duas abordagens possíveis
●
●
Modelos detalhados
Baseados na fsiologia
dos neurônios
●
●
●
●
Modelos tipo HH
Modelos simplifcados
Baseados nas
propriedades do
espaço de fases dos
neurônios
Modelo HindmarshRose
Lorenz chamou sua descoberta de “efeito
borboleta”, título de um artigo publicado em 1979:
“… pode o bater de asas de uma borboleta no
Brasil desencadear um tornado no Texas?”
1975 => matemático James Yorke usou pela
primeira vez a palavra CAOS com o sentido de
“desordem ordenada”: um padrão de organização
existindo por trás da aparente casualidade.
Equações
precisas
+
Sensibilidade
às condições
iniciais
=
Comportamento
caótico
20
20
10
10
xn+300
xn+1
Quando não temos acesso a todas as variáveis dinâmicas:
Teorema de Takens (1981) 
Reconstrução do
espaço de fase !!!
0
-10
0
-10
(a)
-20
-20
-10
0
xn
10
(b)
-20
20
-20
-10
0
xn
10
20
Quando não temos acesso a todas as variáveis dinâmicas:
Teorema de Takens Reconstrução do espaço de fase
1,0
20
0,8
10
xn+25
C(θ)
0,6
0,4
-10
0,2
0,0
0
(a)
0
20
40
60
80
θ
100
120
140
(b)
-20
-20
-10
0
xn
10
20
Entretanto...
Teorema de Takens
É possível reconstruir o espaço de fase
Usando apenas uma variável dinâmica
Reconstrução do espaço de fase em sistemas
dinâmicos tipo “integra e dispara” (Sauer,
1997)
The 4D Hindmarsh-Rose (HR) model
x
y
z
w
Modelo de um neurônio do STG:
Extendendo o modelo HH
●
Correntes rápidas – Na, K;
●
Correntes lentas – CaS, CaT, K(Ca), A, H.
12 equações diferenciais
não lineares
Dinâmica obtida utilisando
o método de Voltage-Clamp
para cada uma das
correntes.
Equações do Modelo
Comportamento do modelo
100 mV
1s
Comportamento periódico
Separando as correntes para fcar com
“cara” de neurônio do STG
Comportamento do modelo com 2
compartimentos
Detectando os intervalos entre eventos
(ISIs – Inter Spike Intervals)
ISIN+1
ISIN
Diagrama de bifurcações para o
modelo HH 12D
Diagrama de bifurcações para o
modelo HR 4D
Rede HR com 2
neurônios
Rede HR com 3
neurônios
PARTE II
Comportamento do modelo
100 mV
1s
Comportamento periódico
Diagrama de bifurcações
Método patch-clamp
Prêmio Nobel 1991
E. Neher
B. Sakmann
caráter probabilístico dos canais iônicos
caráter probabilístico dos canais iônicos
Quando abertos
obedecem a lei de Ohm:
ou
Confabilidade da resposta de um
neurônio do córtex
Mainen 95
Limitações da modelagem HH
●
Todo o neurônio sob o
mesmo potencial
●
Ignora o caráter discreto e
probabilístico dos canais
iônicos
Patch do axônio
explica
experimento com
córtex do rato
Extraído de
Schneidman 95
Modelo de Hodgkin-Huxley
Expoentes ajustados
Funções ajustadas
Modelo Estocástico dos canais de K+
αn
β
unidade fechada
n0
n1
n2
n
unidade aberta
n3
n4
Modelo Estocástico dos canais de Na+
m0h1
m1h1
m2h1
m3h1
m0h0
m1h0
m2h0
m3h0
g K  V , t = gK n4
3
H-H
Determinístico
Expoentes ajustados
g Na V , t =g Na m h
dn
=n 1−n−n n
dt
dm
= m 1−m−m m
dt
dh
=h 1−h−h h
dt
H-H
Estocástico
g K V , t =K [m 4 ]
g Na V , t =Na [m3 h1 ]
olhar populações ao invés de cada canal:
Tornando a simulação mais rápida
Diminuição de 4 ordens de grandeza no tempo de simulação
Neurônios Isolados
DET
ESTOC
Estereótipo
Variabilidade
Confabilidade dos potenciais de ação
Rajadas sobrepostas
Mapas de retorno
Diagrama de bifurcação
DET
ESTOC
+0.4
+0.3
-0.3
-1.2
´
´
Número de canais do modelo:
Número efetivo de canais
Até amanhã...