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Matemática
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer um determinado evento.
Vejamos alguns exemplos:
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?
3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana,
maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão?
Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a
Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado
evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras!
FATORIAL
Para o estudo da análise combinatória é de fundamental importância o conceito de fatorial. Isto ocorre devido ao fato de que
no estudo do princípio da contagem é muito comum aparecerem produtos de números consecutivos.
Definimos por fatorial de um número n (e indicamos por n!)
n! = n.(n - 1).(n - 2).... 3.2.1
OBS.: 0! = 1
1! = 1
Exemplos:
3! = 3.2.1= 6
5! = 5.4.3.2.1=120
6! = 6.5.4.3.2.1=720
ARRANJOS SIMPLES
Os Arranjos são agrupamentos em que os elementos ,se diferem pela ordem ou pela natureza.
Observe
(AMOR) ≠(ROMA)
Difere após a mudança das letras , obtendo outra palavra.
Então se ( a, b, c) ≠ (b,c ,a) temos um problema de arranjo simples.
Notação:
p
n
A
ou An, p com n ≥ p
O número de arranjos simples de um conjunto pode ser calculado com a seguinte fórmula:
Anp =
n!
(n − p )!
EXEMPLO:
Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os três primeiros
lugares?
Resolução:
Primeiro passo
Se formarmos um trio de primeiros lugares em ordem de posição:
1º Lugar = Palmeiras
2º Lugar = Coritiba
3º Lugar = São Paulo
e se invertermos as posições teremos:
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1º Lugar = Coritiba
2º Lugar = Palmeiras
3º Lugar = São Paulo
A ordem mudou, e , as posições dos times são relevantes no exercício , então temos um problema de arranjo simples:
36!
36.35.34.33!
=
= 36.35.34 = 42.840
(36 − 3)!
33!
A363 =
Portanto teremos 42.840 maneiras diferentes de se obter os três primeiros lugares.
COMBINAÇÕES SIMPLES
As combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não altera o conjunto.
Observe:
Seja um trio escolhido , entre um conjunto de pessoas para formação de uma comissão.
(Márcia, Luiza,Ricardo)= (Luiza, Márcia, Ricardo)
A ordem foi alterada mas a natureza (trio) é a mesma
Notação
p
n
n, p
C
ou C
com n ≥ p
O número de combinações pode ser calculado da seguinte forma:
Cnp =
n!
p!(n − p)!
Exemplo:
De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito?
Lembre-se : Comissões é combinação:
C85 =
8!
8.7.6.5! 8.7.6
=
=
= 56
5!(8 − 5)!
5!.3!
6
Portanto teremos 56 comissões.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
A Permutação Simples (Pn) é um arranjo de n elementos tomados n a n., ou seja:
Ann =
n!
n! n!
= = = n!
(n − n)! 0! 1
Com isso
Pn = n! = n.(n - 1).(n - 2)....3.2.1
Exemplo:
1) Determine o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra OCA.
Resolução:
Como temos uma palavra com três letras e sem repetição de nenhuma letra temos:
P3 = 3!
P3 = 3.2.1 = 6
Portanto temos 6 anagramas da palavra OCA.
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PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÂO.
Entretanto existem casos onde os elementos podem repetir dentro de um mesmo agrupamento. Neste caso temos a
permutação com repetição.
Definimos como permutação com repetição a seguinte relação:
Pnα , β ,γ =
n!
α! β !γ !...
onde n é o número total de elementos a serem agrupados e
α , β ,γ
é a quantidade de elementos que se repetem.
Exemplo:
Determine o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra URUBU.
Neste caso temos uma permutação com repetição e então, calculamos da seguinte forma:
Observe que a letra U repete-se 3 vezes então:
P53 =
5! 5.4.3!
=
= 20
3!
3!
Portanto temos 20 anagramas da palavra URUBU.
Exercícios
Calcule:
a) C5, 3
c) C6, 2
b) C7, 5
d)
C10,3
C 5,3
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas
moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
02.O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que
somente as moças fiquem todas juntas é igual a:
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
03 Faça a soma da (s) alternativa (s) correta (s) :
1 - Com um grupo de 6 pessoas podem ser formadas 15 comissões de 4 pessoas cada.
2 - Com os dígitos 5, 6, 7, 8 podem ser formados 64 números de 3 algarismos.
4 - O número de anagramas da palavra “caneta” em que as vogais aparecem juntas é 72.
8 - Com os elementos do conjunto {–3, 1, 2, 3, 5}, podem ser formados 6 produtos negativos de 3 fatores distintos.
16 - A solução da equação C n,3 = A n-1,2 é um numero múltiplo de 2.
04.Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco
crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é
dado por:
a) 5.400
b) 6.200
c) 6.800
d) 7.200
e) 7.800
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05.Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por
um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da
diretoria, onde José não é o presidente, será:
a) 120
b) 360
c) 60
d) 150
e) 300
06. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no
mínimo um diretor?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
07. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de
10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C10,10
e) C20,20
08. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de
10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C15,5
e) C20,20
09.Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do
desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro
das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente,
Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
10Um estádio de futebol é composto por n cadeiras numeradas. De quantas maneiras diferentes os sete primeiros
torcedores que chegarem para assistir a um jogo de futebol nesse estádio podem escolher seus lugares?
a) A n,7
b) n
c) A 7,7
d) 7n/n+1
e) n(n+7)
11.Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, .. ,
60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as
seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18,
32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para
ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8
b) 28
c) 40
d) 60
e) 84
12. A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra
qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou
não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos.
Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes
senhas possíveis é dado por:
26 10
a) 2 3
b) 262 103
c) 226 210
d) 26! 10!
e) C26,2 C10,3
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13. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio
de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de
tentativas para abrir os cadeados é
a) 518 400
b) 1 440
c) 720
d) 120
e) 54
14. Uma confeitaria produz 6 tipos diferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela
pode formar, sabendo que em cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é:
a) 10
b) 30
c) 120
d) 45
e) 15
15.Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti
fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
16. Com os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7 , sem repeti-los , podemos formar n números de três algarismos divisíveis por
5. Então n, é igual a:
a) 12
b) 16
c) 25
d) 60
e) 80
17. Marcam-se 20 pontos em uma circunferência. O número de cordas que esses pontos determinam é:
a) 380
b) 190
c) 160
d) 120
e) 80
18. Numa clínica oftalmológica, foram catalogados 20 clientes e encontrados oito mulheres com visão normal, cinco
mulheres daltônicas e um homem daltônico. De quantas maneiras podem ser selecionados três desses clientes,
sendo duas mulheres e um homem, todos com visão normal?
a) 6
b) 28
c) 168
d) 336
e) 1008
19. Para se cadastrar em determinado site, é necessário criar uma senha numérica de seis dígitos. Pedro vai utilizar
os algarismos da data de nascimento de seu filho, 13/05/1997. Se Pedro resolver fazer uma senha com algarismos
distintos e iniciada por um algarismo ímpar, serão n possibilidades. Pode-se concluir que n é igual a
(A) 600
(B) 720
(C) 1.440
(D) 2.880
(E) 6.720
20. (MACK-SP) Temos seis cartões postais distintos e queremos enviá-los para seis pessoas, um cartão para cada
pessoa. O número de maneiras diferentes de fazê-lo é:
a) 72
b) 6
c) 36
d) 720
e) 10
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21. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares indicados pelos três
partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10
parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C
tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040.
22. O número de maneiras pelas quais seis pessoas podem ser distribuídas em três grupos, cada um formado por
duas pessoas, é:
a) 60
b) 75
c) 80
d) 85
e) 90
23. A quantidade de números de três algarismos que têm pelo menos dois algarismos repetidos é:
a) 38
b) 252
c) 300
d) 414
e) 454
24 Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as
10 questões?
25. Dezoito equipes disputam um torneio de futebol, no qual cada participante enfrenta todos os outros uma só vez.
Quantas partidas deverão ser disputadas?
a) 153
b) 170
c) 242
d) 306
e) 492
26. Uma prova compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha tendo cada uma 4 alternativas distintas. Se todas
as 20 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de resposta será:
4
a) 20
b) 20!
c) 116.280
d) 4.845
e) 420
27. Cinco bandeiras coloridas e distintas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais
podem ser feitos com sete bandeiras de cores diferentes?
a) 5.040
b) 120
c) 480
d) 2.520
e) 1.250
28. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que
podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
a) 120
b)240
c)480
d) 2.500
e) 1.250
29. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa cena
ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o n0 máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o
cofre?
a) 17.576
b 2.600
c) 26!
d) 15.600
e) 10.000
30. De quantos modos diferentes se podem vestir 3 meninos do mesmo tamanho, cada um com uma calça e uma
camisa, dispondo-se de 5 calças e 4 camisas de cores diferentes?
a) 40
b) 1.440
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c) 84
d)14
e) 584
31. Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho
dispostas lado a lado, como mostra a figura.
As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes.De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas
para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas
devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?
(A) 612
(B) 556
(C) 448
(D) 392
(E) 336
32. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na
estante indistintamente?
33. Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na
vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas
são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas
diferentes com essas faixas.
34. Um cofre possuiu um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras.Quantas tentativas
podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?
a) 125
b) 12!
c) 95.040
d) 792
e) 512
35. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens?
a) 1.693.440
b) 876.000
c) 11.760
d) 1.450
e) 720
36. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca
pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de
telefones será:
a) 408.240
b) 81.000
c) 810.000
d) 9.000.000
e) 8.100.000
37. Uma sociedade é composta de 7 dentistas, 5 escritores e 8 médicos. Quantas comissões de 7 membros podem
ser formadas de tal modo que se tenha 2 dentistas, 4 escritores e 1 médico.
a) 840
b) 40.320
c) 8.100
d) 90.450
e) 58.100
38. Uma prova compõe-se de 10 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma 5 alternativas distintas. Se
todas as 10 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de
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respostas será:
a) 105
b) 10!
c) 30.240
d) 10!
5! . 5!
10
e) 5
39. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos distintos. Sabendo que o primeiro dígito
nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos distintos, o aumento possível na
quantidade de telefones será:
a) 408.240
b) 81.000
c) 810.000
d) 9.000.000
e) 8.100.000
40.Com as letras da palavra LUGARES pode-se montar vários anagramas. De acordo com as afirmações, julgue os
itens.
I – Com a utilização de todas as letras é possível formar 2 500 anagramas.
II – Com 5 letras e começando com a letra A é possível formar 360 anagramas.
III – O número de anagramas com sete letras que começam com S e terminam com E é de 720.
IV – O número de anagramas com sete letras que começam com UA e terminam com E é de 24
a) Somente as afirmativas I e II estão corretas
b) Somente as afirmativas II e IV estão corretas
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas
d) Somente as afirmativas II e III estão corretas
e) Somente as afirmativas III e IV estão corretas
41) Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco
A, B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0,2, 4, 6 e 8.Se entre as letras puder haver repetição,
mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis será superior a 15.000.
Com respeito aos princípios básicos da contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens de 42 a 49.
42-Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras
e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e
6
dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 10
43-A quantidade de números divisíveis por 5 existente entre 1 e 68 é inferior a 14.
44-Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79
apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos
distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 21 deles não
precisaram ser utilizados.
45- Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o
funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação,
sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da
repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.
46-Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro, que poderá ser em uma das 6
modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem aplicações iniciais
de pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número de opções de investimento desse correntista é inferior a 12.
47-Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma
senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que todos os
algarismos de sua senha serão diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para essa senha é
igual a 8!
48-Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 modalidades diferentes de
cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um
Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.
49-Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que é
possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105
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50-Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo
que cada agência receba 4 funcionários
51. Quantos grupos diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acesas num galpão que tem 10 lâmpadas?
52. Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de 6 elementos?
53. (FAAP-SP) O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n.
54. Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembléia de 12 participantes?
55. Uma papelaria tem 8 cadernos de cores diferentes, e quero comprar 3 de cores diferentes. Quantas
possibilidades de escolha eu tenho?
56. Quantos produtos de 2 fatores podemos obter com os divisores naturais do número 12?
57. (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de base. O número total de lutas que podem ser realizadas entre
os inscritos é:
a) 12
b) 24
c)33
d) 66
e) 132
58. (Cesgranrio-RJ) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele
possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais
número de calças) de que precisa é:
a) 24
b) 11
c) 12
d) 10
e) 8
59. (Fuvest-SP) Calcule quantos números múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4,
6 e 9?
60. (FGV-SP) Seis pessoas decidem formar 2 comissões com 3 pessoas cada. De quantas formas diferentes isso
pode ser feito?
a) 20
b) 120
c) 10
d) 22
e) 48
61. (PUC-SP) Pretende-se formar uma comissão de 5 membros a partir de um grupo de 10 operários e 5
empresários, de modo que nessa comissão haja pelo menos 2 representantes de cada uma das 2 classes. O total de
diferentes comissões que podem ser assim formadas é:
a) 1000
b) 185
c) 19400
d) 1750
e) 1650
62. Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia. Se 6 funcionários
se candidatarem para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formas distintas
essas vagas podem ser preenchidas?
a) 30
d) 11.200
b) 240
e) 16.128.000
c) 1.120
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GABARITO
1 D
2 C
3 25
4 A
5 E
6 D
7 B
8 D
9 A
10
A
11
B
12
B
13
B
14
E
15
E
16
A
17
B
18
C
19
A
20
D
21
V
22
E
23
B
24
C15,10
25
A
26
E
27
D
28
C
29
D
30
B
31
D
32
5040
33
V
34
A
35
C
36
E
37
A
38
E
39 A
40 B
41 F
42 V
43 V
44 V
45 F
46 V
47 F
48 F
49 V
50 F
10
51. 210
52. 15
53. n = 6
54. 792
55. 56
56. 15
57. d
58. d
59. 72
60. a
61. e
62. d
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PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}
Conceito de probabilidade
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
P( A) =
Numero de casos favoraveis
Numero de casos possiveis
Exemplo:
No lançamento de um dado, um número ímpar pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, então,
P=
3 1
= = 50%
6 2
Propriedades Importantes:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre ∅ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do
evento certo).
0 ≤ P( S ) ≤ 1
Eventos independentes
Sendo os eventos A e B , de um espaço amostral, são independentes quando o fato de ocorrer A ,não altera a probabilidade
de B então,
P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
Ex.:A probabilidade de que um aluno A resolva um problema é
aluno C resolva este mesmo problema é de
1
1
,a de que um aluno B resolva é
5
2
, e de que um
1
.Qual a probabilidade de que os três resolvam o problema?
6
A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é
4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
União de dois Eventos
É a reunião dos eventos A e B de um espaço amostral S, subtraído da interseção de A com B.
P ( A ∪ B) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B)
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Aplicação:
De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20 ,retira-se ao acaso uma bolinha.Qual a probabilidade desta bolinha
retirada ter um número divisível por 2 ou por 3.
EXERCICIOS
1) Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para
duas diferentes crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das duas crianças). A probabilidade de que as
duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 40%
2.) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para
participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
3.) Um professor de matemática apresentou oito cartões iguais para seus alunos. Em cada cartão estava escrito um
polinômio diferente, como mostrado abaixo.
P(x) = 3x2 + 5
P(x) = 3x – 1
P(x) = x3 – x2 + 1
P(x) = 3x – x4
P(x) = x4 + x3 + x
x3
2
P(x) =
P(x) =
x + x2
2
+ 10x
P(x) = (x2 + 1)3
Se o professor pedir a um aluno que, sem ver o que está escrito nos cartões, escolha um deles aleatoriamente, a
probabilidade de o aluno escolher um cartão no qual está escrito um polinômio de 3º grau será de:
(A)
1
4
(B)
3
8
(C)
1
2
(D)
5
8
(E)
3
4
4.) Dez fichas são numeradas de 0 a 9 e colocadas em uma urna. Escolhida uma aleatoriamente, determine a
probabilidade de sair:
a.) o número 3
b.) um número ímpar
c.) um número menor que 4
d.) o número 10
5.) A turma de Marcelo foi dividida em 4 grupos. Cada grupo deverá fazer um trabalho sobre um derivado do
petróleo: diesel, gasolina, nafta ou óleo combustível. Se a professora vai sortear um tema diferente para cada
grupo, qual é a probabilidade de que o primeiro grupo a realizar o sorteio faça um trabalho sobre gasolina e o
segundo, sobre diesel?
(A)
12
1
4
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(B)
1
6
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(C)
1
8
(E)
1
16
(D)
Matemática
1
12
6.) De um lote de 10 fusíveis. testa-se um. Determine P(defeituoso) se:
a) 1 fusível é defeituoso.
b) 2 fusíveis são defeituosos.
c) 3 fusíveis são defeituosos.
7.) Um motor tem seis velas e uma está defeituosa, devendo ser substituída. Duas estão em posição de difícil
acesso, o que toma difícil a substituição.
a) Qual a probabilidade de a vela defeituosa estar em posição “difícil"?
b) Qual a probabilidade de a vela não estar em posição “difícil”?
8.) Um rapaz esqueceu o último algarismo do número do telefone da namorada e resolveu tentar falar com ela
escolhendo
ao
acaso
o
último
algarismo.
então a probabilidade de que ele acerte o número na primeira tentativa é de 1/10.
9.) Uma urna contém quatro fichas numeradas, sendo:
• A 1ª com o número 5
• A 2ª com o número 10
• A 3ª com o número 15
• A 4ª com o número 20
Uma ficha é sorteada, tem seu número anotado e é recolocada na urna; em seguida outra ficha é sorteada e anotado
seu número. Então a probabilidade de que a média aritmética dos dois números sorteados esteja entre 6 e 14 é de
56 %.
10.) No lançamento de um dado equilibrado, qual a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada?
11.) Qual a probabilidade de extração de uma carta de copas ou uma carta de paus de uma baralho?
12.) Qual a probabilidade de extração de uma carta de copas ou um dez de uma baralho?
13.) No almoxarifado de uma oficina de conserto de eletrodomésticos existe um estoque de 50 peças novas e 10
usadas. Uma peça é retirada ao acaso e, em seguida, sem a reposição da primeira, outra é retirada. A probabilidade
das duas peças serem usadas nas duas retiradas é:
a) 1/ 60
b) 3/118
c) 9/60
d) 6/68
e) 90/60
14.) Joga-se um par de dados equilibrados:
a) Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?
b) Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?
c) Qual a probabilidade de ambas as faces serem números pares?
15.) Joga-se três dados equilibrados:
a) Qual a probabilidade das 3 faces serem seis?
b) Qual a probabilidade das 3 faces serem dois?
c) Qual a probabilidade das 3 faces serem números pares?
16.) Determine a probabilidade de extração de um valete de ouros de um baralho de 52 cartas.
17.) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e se suas
respectivas probabilidades de falha são 1%, 2%, 5% e 10% em determinado dia, calcule as probabilidades:
a) De todas falharem em determinado dia
b) De nenhuma falhar.
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18.) Uma urna contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida aleatoriamente e observado seu
número então a probabilidade de o número dessa bolinha ser múltiplo de 5 é 25 %
19.) Joga-se uma moeda três vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa nas três vezes? Qual a probabilidade de
não aparecer coroa nas três vezes?
20.) Se três lotes de peças contêm cada um 10% de peças defeituosas, qual a probabilidade de um inspetor não
encontrar nenhuma defeituosa ao inspecionar uma peça de cada um dos três lotes?
21.) Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?
22.) Jogam-se três moedas equilibradas. Qual a probabilidade das 3 darem cara?
23.) De um mesmo baralho de 52 cartas, retira-se uma carta ao acaso. Qual a probabilidade de se obter dama? Do
mesmo baralho, retirando-se duas cartas ao acaso, qual a probabilidade de se obter 2 valetes?.
a) 1/13, 1/169
b) 1/13.1/221
c) 1/13, 1/26
d) 1/13, 12/169
e) 1/13, 13/169
24.) Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Tirando-se 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de sair as
bolas 1,2,3?
a) 15%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 1,67%
25.) Felipe Oberg, o professor gay do aprovação convida duas jovens, Vera e Luiza, para um passeio no final de
semana. Sabe-se que a probabilidade de Vera aceitar o convite é 0,7, de Luiza aceitar é 0,4 e que a probabilidade de
qualquer uma delas aceitar ou não o convite independe da resposta da outra. Nessas condições:
a) determine a probabilidade de apenas Vera ou apenas Luiza aceitarem o convite;
b) determine a probabilidade de Vera ou Luiza aceitarem o convite.
26.) Qual a probabilidade de extração de uma dama ou um cinco de um baralho?
a) 30,77%
b) 25%
c) 7,69%
d) 32,69%
e) 15,38%
27.) Qual a probabilidade de extração de uma dama ou um cinco de um baralho?
a) 15,54%
b) 25%
c) 7,69%
d) 32,69%
e) 15,38%
28.) Um casal planeja ter 3 filhos. Sabendo que a probabilidade de cada um dos filhos nascerem do sexo masculino
ou feminino é a mesma, considere as seguintes afirmativas:
I. A probabilidade de que sejam todos do sexo masculino é de 12,5%.
II. A probabilidade de o casal ter pelo menos dois filhos do sexo feminino é de 25%.
III. A probabilidade de que os dois primeiros filhos sejam de sexos diferentes é de 50%.
IV. A probabilidade de o segundo filho ser do sexo masculino é de 25%.
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Assinale a alternativa correta:
A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
E) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
29.) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de obtermos soma de pontos iguais a 7 ou 10?
a) 31,25%
b) 25%
c) 40%
d) 37,50%
e) 50%
30.) Um casal deseja ter 4 filhos: 3 homens e uma mulher. Qual a probabilidade de ocorrer o que o casal deseja?
a) 31,25%
b) 25%
c) 40%
d) 37,50%
e) 50%
31.) Lança-se uma moeda 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer 3 caras e duas coroas?
a) 31,25%
b) 25%
c) 40%
d) 37,50%
e) 50%
32.) Um grupo de 150 pessoas é formado por 28% de crianças, enquanto o restante é composto de adultos.
Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que 1/3 dentre os de sexo masculino é formado por crianças e que 1/5
entre os de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo, a
probabilidade dessa pessoa ser uma criança do sexo feminino será menor que 10%.
33.) (TFC.) Num sorteio, concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo
de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
a) 15%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 20%
34.) (TFC.) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 6/8
d) 8/6
e) 8/3
35.) Entre doze candidatos que participaram de um teste, quatro foram reprovados. Se três dos candidatos fossem
selecionados, aleatoriamente, um após o outro, qual a probabilidade de que todos esses alunos tivessem sido
aprovados?
a) 14/55
b) 8/55
c) 8/27
d) 27/55
e) 16/27
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36.) Uma firma exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 25% de encontrar
petróleo. Ela perfura quatro poços, aos quais atribui as probabilidades; 0,3, 0,4, 0,7 e 0,8.
a) Determine a probabilidade de nenhum dos poços produzir petróleo, com base nas estimavas firma.
b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo.
c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidade 0,3 e 0,7 produzirem petróleo?
37.) Márcio tem dois velhos automóveis. Nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de um deles não “pegar” e 30%
de o outro não “pegar".
a) Qual a probabilidade de nenhum "pegar"?
b) Qual a probabilidade de apenas um "pegar"?
38.) Em uma urna há 10 cartões, cada qual marcado com apenas um dos números: 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 19, 21 e 24.
Para compor uma potência, devem ser sorteados sucessivamente e sem reposição dois cartões: no primeiro o
número assinalado deverá corresponder à base da potência e no segundo, ao expoente. Assim, a probabilidade de
que a potência obtida seja equivalente a um número par é de 40%.
39.) Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 são jogados simultaneamente. Multiplicam-se os números sorteados.
A probabilidade de que o produto seja par é inferior a 50%.
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
16
D
B
A
a.) 1/10
b.) 5/10
c.) 4/10
d.) 4/10
e.) 0/10
D
a.) 1/10
b.) 2/10
c.) 3/10
a.) 2/6
b.) 2/6
V
F
2/6
26/52
16/52
B
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14.
15.
16.
17.
a.) 1/36
b.) 1/36
c.) 9/36
a.) 1/216
b.) 1/216
c.) 27/216
1/52
a.) 0,000001
b.) 0,83
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
F (20%)
1/8 e 7/8
72,9%
1/4
1/8
B
C
26.
E
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35
36.
37.
38.
39.
A
A
B
B
A
V ( 8% )
C
A
A
a.) 0,0252
b.) 0,0672
c.) 0,0252
a.) 0,06
b.) 0,38
V
F ( 75%)
a) 54% b)
82%
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