Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
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CÁLCULO 3—EXERCÍCIOS PARA PROVA 2
Prof. Marianty Ionel
Material: Integral de linha, potencial e trabalho. Campos conservativos. Teorema de
Green (com prova). Parametrização de uma superfı́cie. Área de superfı́cies. Integral de
superfı́cie e fluxos. Integral de superfı́cie de um campo vetorial. Rotacional e divergencia.
Teorema de Stokes. Teorema de Gauss.
Exercı́cios:
1. Determine o valor da integral de linha
Z
(2x sin y + x3 )dx + (x2 cos y − y 3 )dy
γ
onde γ é parametrizada por γ(t) = (cos3 t, sin2 t), 0 ≤ t ≤ π2 .
Resp: − 21
2. Seja D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + xy + y 2 ≤ 1}. Calcule
RR
D
ex
2 +xy+y 2
dxdy.
3. Considere o segmento γ da reta y = x contido no interior da elipse 16x2 + 9y 2 = 1 e
orientado no sentido do x crescente. Calcule:
Z
(ex y − 4y)dx + ex dy
γ
Resp:
2
5
cosh 15
4. Calcular a integral de linha da função F~ = (ex (cos y − 1), 1 − ex sen y) sobre a curva
γ : x = x(t), y = y(t), com ponto inicial A(0, 0) e ponto final B(1, 1).
Resp: e cos 1 − e + 1
5. Calcular o trabalho do campo vetorial
y
−
1
−x
F~ =
,
x2 + (y − 1)2 x2 + (y − 1)2
nos casos:
(a) sobre qualquer circunferência com centro (0, 1) no sentido anti-horário;
2
2
(b) sobre elipse x19 + y11 = 1 no sentido anti-horário.
1
Resp: (a) −2π; (b) −2π
6. Calcular o trabalho do campo vetorial
2
2
F~ = (4y + 2xex −y , 6x − ex −y )
2
2
sobre a parte da curva x4 + y9 = 1 que se encontra abaixo da reta 3x + 2y = 6, percorrida
no sentido anti-horário.
Resp: 9π + e4 − e−3
7. Considere o segmento C1 da reta y = x contido no interior da elipse 16x2 + 9y 2 = 1 e
orientado no sentido
R de x crescente.
(a) Calcule I1 = C1 (ex y − 4y)dx + ex dy
(b) Seja C2 a parte da elipse 16x2 + 9y 2 = 1 contida acima do segmento
C1 e orientado no
R
x
sentido anti-horário. Use o teorema de Green para calcular I2 = C2 (e y − 4y)dx + ex dy.
Resp: (a) 52 cosh 51 ; (b) π6 − 25 cosh 51
8. Calcule a área da superfı́cie da esfera x2 + y 2 + z 2 = 12 que não se encontra no interior
2
2
do parabóloide
√ z =x +y .
Resp: 6(4 + 12)π
9. pCalcule a área do cı́lindro x2 + y 2 = 2x limitada pelo plano z = 0 e o cone
z = x2 + y 2 .
Resp: 8
10. Calcule a integal de superficie
4
Resp: 8πa
3
RR
11. Calcule a integal de superficie
definida por
S
(x2 + y 2 )dσ, onde S é a esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 .
RR
S
f (x, y, z)dσ, onde f (x, y, z) é a função escalar
f (x, y, z) = √
1
1 + 4z 3
e S é a porção da superficie dala pela equação z(x2 + y 2 ) = 1 contida no interior do
2
cilindro eliptico x4 + (y − 2)2 = 1.
Resp: 2π
12. Seja F (x, y, z) = (y 2 cos x, 2y sin x + e2z , 2ye2z ).
(a) Verifique se o campo vetorial F (x, y, z) é conservativo. Caso seja, determine uma
função potencial
para F (x, y, z)
p
H
(b) Calcule C F · dr onde C é a curva na interseção de z = 4 − x2 − y 2 com x + y = 2,
orientada positivamente de forma que a coordenada x seja crescente.
Resp: (b) −2
2
13. Considere o campo vetorial:
F (x, y, z) = −(
xy 2 z
x2 yz
2
4
+ y 3 + etan(1+x ) )i + (x3 −
)j + x2 y 2 k
5
5
5
Seja C a curva de interseção das superficies z = xy He x2 + y 2 = 1, orientada no sentido
anti-horário quando projetada no plano xy. Calcule C F · dr.
Resp: 3π
2
14. Determine o fluxo do campo vetorial
x
y
z
F (x, y, z) = (y 2 x + 2
, z2y + 2
, x2 z + 2
)
2
2
2
2
x +y +z
x +y +z
x + y2 + z2
através da superficie do sólido W limitado pelas esferas de equações x2 + y 2 + z 2 = a2 e
x2 + y 2 + z 2 = b2 com 0 < a < b, orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido
W.
5
5
Resp: 4π( b −a
+ b − a)
5
2
2
15. Seja C a curva de interseção do cı́lindro eliptico x4 + y2 = 1 com a hemisfera
2
x2 + y 2 +
H z = 4, com z ≥ 0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule C F · dr, onde F é o campo vetorial definido pelo:
F (x, y, z) = (2zy, x, xy +
x2
4z
+ z ln(4 + z 4 ))
2
+ 2y
√
Resp: −16 + 2 2π
16. Calcular o fluxo
RR
Σ
F · n dσ do campo vetorial
F (x, y, z) = (y − 1, −x, xy 2 ez + cos z)
sobre a parte da superficie x2 + y 2 = 4 limitada pelos planos x + y + z − 5 = 0 e
x − y + 2z + 6 = 0, orientada pela normal apontada para fora.
Resp: 2π
17. Calcular
H
C
F · dr do campo vetorial
2
F (x, y, z) = (cosx, 3x + sin y, ez )
p
2
sobre a curva definida como interseção das superficies z = x2 + y 2 e x3 + y 2 = 1, orientada de √
tal maneira que a sua projeção no plano xy seja orientada no sentido anti-horario.
Resp: 3 3π
18. Calcular o fluxo
RR
S
F · n dσ do campo vetorial
F (x, y, z) = (3x2 y 2 − 2xz + 2x + 1,
x2
+
2z
2y
− 2xy 3 , z 2 − 2
)
2
2
+z +1
x + y + z2 + 1
y2
3
sobre a parte da superficie x + 2y 2 + z 2 = 1 onde x ≥ 0, orientada pela normal com
primeira
√ componenta positiva.
Resp: 2π
19. Calcular
RR
S
F · n dσ, onde F (x, y, z) = (x, y, z) e S é a superficie do sólido
W = {(x, y, z)|x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}
com vetor normal
√ n exterior.
Resp: 4(8 − 3 3)π
RR
20. Calcule S rotF · n dσ, onde F (x, y, z) = (x − x2 z, yz 3 − y 2 , x2 y − xz) e S é qualquer
superficie cujo bordo seja uma curva fechada no plano xy.
Resp: 0
3
3
3
21. Calculo o fluxo do campo F (x, y, z) = ( x3 + y, y3 , z3 + 2) através da superficie S do
sólido
p
W = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≥ 1, x2 + y 2 + (z − 2)2 ≤ 4, z ≥ x2 + y 2 }
com campos de vetores
normais a S apontando para fora de W .
√
π
Resp: 15
(890 + 3 2)
22. Demonstre as seguintes formulas:
(a) ∇ · (f F ) = f ∇ · F + ∇f · F
(b)R∇ · (f ∇g) = ∇f · ∇g
R + f ∆g
(c) Ω (f ∆g − g∆f ) = ∂Ω (f ∇g − g∇f ) · dσ
23. Seja F : R3 − {(0, 0, 0)} → R3 dado por F (x, y, z) =
1
3
(x2 +y 2 +z 2 ) 2
(x, y, z).
(a) Calcule R∇ × F e ∇ · F .
(b) Calcule S F ·dσ, onde S = {(x, y, z) ∈ R3 | (x−401)2 +(y −402)2 +(z −403)2 = 7002 },
com normal exterior.
(c) Existe G : R3 − {(0, 0, 0)} → R3 tal que ∇ × G = F ? Justifique.
(d) Existe fR : R3 − {(0, 0, 0)} → R tal que ∇f = F ? Justifique.
(e) Calcule Σ F · dσ, onde Σ = {(x, y, z) ∈ R3 | (x − 2)2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0}, com normal
para cima.
4