Probabilidade
1
Definição de Probabilidade
Probabilidade é um afirmação numérica sobre a
possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau
de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1
2
Probabilidade
A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações
de incerteza.
A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de
um dado resultado.
Exemplo:
•Tempo de vida de uma lâmpada,
•A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula;
•Preço das ações da petrobrás;
•Número da face exposta para cima no lançamento de um dado;
•etc
3
Probabilidade
Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em
jogos de azar;

Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem
acertar o valor da face exposta.
Qual seria a sua Aposta?
Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos.
Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas.
Qual seria a sua Aposta?
Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?
4
Probabilidade
Para apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos os resultados
possíveis.
Exemplo 1:
Face de um dado:
S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2:
Soma das faces de dois dados :
S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}
O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado
Espaço Amostral (S)
5
Probabilidade
Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento.
Exemplo 1:
A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5;
A={5}  evento simples;
B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5;
B = {1, 2, 3, 4};
Evento Simples: Evento que consiste de um único resultado.
6
Probabilidade
EXERCÍCIO:
Considere o seguinte experimento aleatório:
Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.
Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais
deles são eventos simples.
A = a soma das faces é maior que 9;
B= a soma das faces é igual a 7;
C = a soma das faces é maior que 12;
7
Modelo de Probabilidade
Se todos os elementos de S tem a mesma chance de
ocorrer  S é um conjunto equiprovável!!!
Nesse caso:
P(E)=
número de resultados em E
número total de resultados no espaço amostral
Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos
seguintes eventos.
1. Evento A: obter um 3.
2. Evento B: obter um 7.
3. Evento C: obter um número menor do que 5.
8
OPERAÇÃO COM EVENTOS
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral
•AB: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B
•AB: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
9
Probabilidade
EXERCÍCIO:
Considere o seguinte experimento aleatório:
Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.
Calcule a probabilidade dos eventos abaixo:
A = a soma das faces é maior que 9;
B= a soma das faces é igual a 5;
C = a soma das faces é maior que 12;
10
1) Determine o espaço amostral
Início
Dois dados são jogados.
Descreva o espaço amostral.
1
1 2 3 4 5 6
2
3
1 2 3 4 5 6
4
5
12 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
6
1 2 3 4 5 6
S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}
Todos os resultados sao
Equiprovaveis?
11
Espaço amostral e probabilidades
Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
3/36 = 1/12 = 0,083
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
2/36 = 1/18 = 0,056
12
Eventos complementares
O complemento do evento E é o evento E´.
E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral
que não estejam incluídos no evento E.
P(E´ ) = 1 – P(E)
13
Operações com eventos
A

não A
A
P ( A )  1  P ( A)
14
Teorema da adição
Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a
probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a
adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade
da intersecção do subconjunto A e B.
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
15
Operações com eventos

A
AB
B
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
16
OBSERVAÇÃO
Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui
a realização de B. Estes eventos são denominados
Mutuamente exclusivos
(ou disjuntos).
Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e
B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades
individuais.
P(A  B) = P(A) + P(B)
17
Exemplo: Lançamento de um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}.
Calcule as Probabilidades abaixo:
P(A)
P(A  C)
P(B)
P(A  B)
P(C)
P(A  C)
P(A  B)
P(AC)
18
Eventos independentes são aqueles que não exercem ação
entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da
maneira que lhe é própria.
A condição necessária e suficiente para que dois eventos
sejam independentes é que a probabilidade do produto seja
igual ao produto das probabilidades.
P(A  B) = P(A)  P(B)
19
Exemplo: Lançamento de um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}.
Calcule as Probabilidades abaixo:
P(A)
P(A  C)
P(B)
P(A  B)
P(C)
P(A  C)
P(A  B)
P(AC)
Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?
20
Construção de distribuições de
probabilidades
Sortear 2 bolas
com reposição
X = número de bolas pretas na amostra
21
Sortear 2 bolas
com reposição
(10)
(20)
Calcule a Probabilidade de:
a) 2 bolas pretas;
3/5
3/5
2/5
2/5
3/5
2/5
b) 2 bolas brancas;
c) 1 bola de cada cor;
d) 2 bolas pretas ou 2
brancas;
e) Os eventos a, b, c são
independentes?
22
Sortear 2 bolas
sem reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
(10)
(20)
Calcule a Probabilidade de:
a) 2 bolas pretas;
2/4
3/5
2/4
2/5
3/4
1/4
b) 2 bolas brancas;
c) 1 bola de cada cor;
d) 2 bolas pretas ou 2
brancas;
e) Os eventos a, b, c são
independentes?
23
Probabilidade condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer,
depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é
denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter
ocorrido.
24
Probabilidade Condicional e Independência
Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um
mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que
ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por:
P( A | B) 
P( A  B)
,
P ( B )  0.
(1)
P(B)
Exemplo 2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição;
(a) Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira
foi preta?
(b) O que acontece quando A e B São independentes?
25
Probabilidade condicional
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa
nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com calabresa supondo
que houvesse champignon
nele?
P ( Champignon
P ( Calabresa
| Calabresa ) 
| Champignon
)
P ( Champignon
 Calabresa )
P ( Calabresa )
P ( Champignon  Calabresa )
P ( Champignon
)


3/8
5/8
3/8
4/8


3
5
3
4
26
Probabilidade Condicional
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço com
calabresa supondo que houvesse
champignon nele?
P ( Champignon
| Calabresa ) 
P ( Champignon
 Calabresa )

P ( Calabresa )
P ( Calabresa
| Champignon
)
P ( Champignon
 Calabresa )
P ( Champignon
)

2/8

2
4/8
4
2/8
2
4/8

4
27
Probabilidades de eventos
1) Evento complementar:
P ( A )  1  P ( A)
2) Propriedade da soma:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
4) Propriedade do produto:
P ( A  B )  P ( A) × P ( B / A)
5) Propriedade do produto para eventos independentes
P ( A  B )  P ( A) × P ( B )
28
29
30
Variáveis aleatórias
Uma variável aleatória, X, é uma função que
associa um valor numérico aos possíveis
resultados de um experimento probabilístico.
31
Variável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos
eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
 = { (ca ra , ca ra ), (ca ra , co ro a ), { co roa , ca ra ), (co ro a , co ro a )}
X:
0
1
2
x
32
Exemplos de variáveis aleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor;

Número de peças com defeito em um lote produzido;

Número de veiculos que passam num pedágio num
determinado dia;

Numero de Caras no lançamento de 3 moedas
33
Tipos de variáveis aleatórias
1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de
resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Ex: número de mulheres em uma sala de aula;
2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de
resultados possíveis não pode ser listado.
Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;
34
Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados
estão contidos em um
conjunto finito ou
enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
contínua
os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo
de números reais
0
tempo de resposta de ...
35
Modelos de Distribuição de
Probabilidade
Distribuição Binomial: modelo probabilístico para
variáveis aleatórias discretas
Distribuição Normal: modelo probabilístico para
variáveis aleatórias contínuas
36