QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Este CD contém 302 questões de vestibulares sobre os seguintes conteúdos:
Álgebra
Geometria
Porcentagem
Geometria Analítica
Trigonometria
Noções de estatística
Esse banco de questões é subsídio aos professores para elaborar revisão e
avaliação de conteúdos.
José Roberto Bonjorno
Sumário
Unidade A: Álgebra ............................................................ 1
Cap. 1: Revisão ................................................................... 1
Cap. 2: Conjuntos numéricos ............................................ 3
Cap. 3: Funções .................................................................. 3
Cap. 4: Função polinomial do 1º grau ............................... 5
Cap. 5: Função polinomial do 2º grau ............................... 6
Cap. 6: Função modular ..................................................... 7
Cap. 7: Função exponencial ............................................... 8
Cap. 8: Função logarítmica ................................................ 9
Cap. 9: Sucessão ou seqüência ........................................ 11
Cap. 10: Progressões aritméticas ..................................... 12
Cap. 11: Progressões geométricas ................................... 13
Cap. 12: Estudo das matrizes ........................................... 13
Cap. 13: Determinantes ................................................... 14
Cap. 14: Sistemas lineares ............................................... 14
Cap. 15: Análise combinatória ......................................... 16
Cap. 16: Binômio de Newton ........................................... 17
Cap. 17: Teoria das probabilidades ................................... 17
Cap. 18: O conjunto dos números complexos ................. 18
Cap. 19: Polinômios ......................................................... 20
Cap. 20: Equações polinomiais ou algébricas ................. 21
Cap. 4: Relações e identidades trigonométricas .............. 25
Cap. 5: Transformações trigonométricas ........................ 25
Cap. 6: Equações trigonométricas ................................... 25
Cap. 7: Inequações trigonométricas ................................ 26
Cap. 8: Resolução de triângulos quaisquer ..................... 26
Unidade D: Geometria ..................................................... 28
Cap. 1: Semelhança de figuras geométricas planas ........ 28
Cap. 2: Relações métricas no triângulo retângulo .......... 28
Cap. 3: Polígonos regulares inscritos na circunferência .... 29
Cap. 4: Área das figuras geométricas planas ................... 29
Cap. 5: Noções sobre poliedros ........................................ 32
Cap. 6: Estudo do prisma ................................................. 32
Cap. 7: Estudo da pirâmide .............................................. 34
Cap. 8: Estudo do cilindro ............................................... 35
Cap. 9: Estudo do cone .................................................... 35
Cap. 10: Estudo da esfera ................................................. 36
Unidade E: Geometria analítica ...................................... 37
Cap. 1: Introdução à Geometria analítica plana .............. 37
Cap. 2: Estudando a reta no plano cartesiano ................. 37
Cap. 3: Estudando a circunferência no plano cartesiano .... 40
Unidade B: Porcentagem ................................................. 21
Unidade F: Noções de estatística ..................................... 42
Unidade C: Trigonometria ............................................... 23 Cap. 1: Organizando dados em tabelas ............................ 42
Cap. 1: A trigonometria no triângulo retângulo ............. 23 Cap. 2: Média e mediana .................................................. 43
Cap. 2: Conceitos básicos ................................................. 24
Cap. 3: As funções circulares ........................................... 24 Respostas das questões .................................................... 46
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Plano B
Ideal para quem faz chamadas locais.
Mensalidade ................................. R$ 27,50
Custo das ligações p/min
Local Fixo .................................... R$ 0,33
Local Móvel .................................. R$ 0,44
Estadual ....................................... R$ 0,86
Nacional ....................................... R$ 1,00
Unidade A: Álgebra
Capítulo 1: Revisão
1. (PUC-SP) No esquema abaixo, o número
14 é o resultado que se pretende obter
para a expressão final encontrada ao efetuar-se, passo a passo, a seqüência de operações indicadas, a partir de um dado número x.
multiplicar
por 6
subtrair multiplicar
por 5
por 2
dividir
por 7
X
14
O número x que satisfaz as condições do problema é:
a) divisível por 6
b) múltiplo de 4
x c) um quadrado perfeito
d) racional não inteiro
e) primo
2. (UFP-RS) Dois usuários da mesma operadora de celular, um do plano A e outro do
plano B, gastaram, respectivamente,
R$ 43,50 e R$ 46,10 durante o mês de outubro. A conta desses usuários, nesse mês, foi
composta apenas pela mensalidade, ligações
locais fixas e nacionais. Sabendo que ambos
utilizaram o mesmo tempo em minutos para
ligações locais fixas e nacionais, e de posse
das tarifas dos dois planos (tabela abaixo),
calcule o tempo de uso, no mês de outubro,
para esses usuários. 32,4 min
Plano A
É o plano para quem mais recebe do que faz
ligações.
Mensalidade ................................. R$19,90
Custo das ligações p/min
Local Fixo ...................................... R$ 0,58
Local Móvel .................................... R$ 0,58
Estadual ......................................... R$ 0,90
Nacional ......................................... R$ 1,00
3. (UEL-PR) O percurso de Londrina a Floresta, passando por Arapongas e Mandaguari, será feito em um automóvel cujo consumo médio é de 1 litro de gasolina para cada 10 km.
Considere o preço de R$ 1,30 por litro de
gasolina e as informações contidas na tabela abaixo.
Distância entre
as cidades (km)
Tarifa do pedágio
no trecho (R$)
Londrina – Arapongas: 40
Arapongas – Mandaguari: 38
Mandaguari – Floresta: 60
2,30
2,30
3,60
Então, uma expressão para o cálculo do total de despesas, em reais, com combustível
e pedágios, para fazer essa viagem, é:
a) (40 2,30) 䡠 0,13 (38 2,30) 䡠 0,13 (60 3,60) 䡠 0,13
x b) 138 䡠 0,13 2,30 2,30 3,60
c) 138 䡠 10 1,30 8,20
d) 40 䡠 1,30 2,30 38 䡠 1,30 2,30 60 䡠 1,30 3,60
e) 138 䡠 1,30 2,30 3,60
4. (UFRN) Uma pessoa que pesa 140 quilos
submete-se a um regime alimentar, obtendo o seguinte resultado: nas quatro primeiras semanas, perde 3 quilos por semana; nas
quatro seguintes, 2 quilos por semana; daí
em diante, apenas 1 quilo por semana.
2
Calcule em quantas semanas a pessoa estará pesando:
a) 122 quilos 7 semanas
b) 72 quilos 104 semanas
Na questão 5 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
5. (UFAL) Analise as afirmativas abaixo, sendo
x e y números reais não-nulos e distintos
entre si. 55
(
)(
(00) x 2 7 x 7 䡠 x 7
(01) 2 2 1 1
2x
x
3x
)
1
José Roberto Bonjorno
8 :
4
2x
x y x 2 xy
(03) x 2x 3x 19x
3y
y
2y
6y
(04) x3y2 x2y3 x2y2 x2y2(x y)
6. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m, tal que 5 m 24 5 500 e
8 m 700 42 m, é: 16
5
7. (UFSCar-SP) Para as apresentações de uma
peça teatral (no sábado e no domingo, à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$ 4 560,00. O preço do
ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no
domingo, era de R$ 8,00. O número de ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nesta ordem, foi:
a) 300 e 200
d) 270 e 230
b) 290 e 210
e) 260 e 240
x c) 280 e 220
8. (UERJ) Utilize os dados abaixo para responder à questão:
(02)
Os ricos da receita
Entre os brasileiros, há 2 745 com rendimento superior a meio milhão de reais por ano. Apenas um
em cada 60 000 brasileiros está nessa categoria.
Veja como eles se dividem.
Renda anual
(em reais)
Total
Patrimônio
de pessoas médio (em reais)
Mais de 10 milhões
9
200 milhões
Entre 5 milhões
e 10 milhões
27
31 milhões
Entre 1 milhão
e 5 milhões
616
23 milhões
2 093
6 milhões
Entre meio milhão
e 1 milhão
Fonte: Receita Federal
(Adaptado de Veja, 12/07/2000)
a) Com os dados apresentados no texto
introdutório da tabela, calcule a população do Brasil considerada pela Receita
Federal. 164 700 000 habitantes
b) Suponha que cada uma das 9 pessoas
com renda anual de mais de 10 milhões
de reais ganhem, exatamente, 12 milhões
de reais em um ano.
Com a quantia total recebida por essas
9 pessoas nesse ano, determine o número aproximado de trabalhadores que
poderiam receber um salário mensal de
R$ 151,00, também durante um ano.
59 602 pessoas
2
9. (UERJ) Para a realização de um baile, foi
veiculada a seguinte propaganda:
Após a realização do baile, constatou-se que
480 pessoas pagaram ingressos, totalizando
uma arrecadação de R$ 3 380,00.
Calcule o número de damas e de cavalheiros que pagaram ingresso nesse baile. d 230; c 250
10. (UFPE) Em uma festa de aniversário cada
convidado deveria receber o mesmo número de chocolates. Três convidados mais
apressados se adiantaram e o primeiro comeu 2, o segundo 3 e o terceiro 4 chocolates
além dos que lhes eram devidos, resultando
no consumo de metade dos chocolates da
festa. Os demais chocolates foram divididos
igualmente entre os demais convidados e
cada um recebeu um a menos do que lhe
era devido. Quantos foram os chocolates
distribuídos na festa?
a) 20
c) 28
x e) 36
b) 24
d) 32
11. (Unama-AM) Um executivo contrata um táxi
para levá-lo a uma cidade que fica a 200 km
do local onde se encontra. Na metade da viagem, ao parar em um posto de gasolina,
encontra um amigo que lhe pede carona e
viaja com ele os últimos 100 km. Na viagem
de volta, retorna com o amigo, deixando-o
no mesmo local onde o tinha apanhado.
Chegando de volta a sua cidade, entrega ao
motorista a importância de R$ 240,00. Sabendo-se que o executivo e seu amigo contribuíram para a despesa, proporcionalmente aos respectivos percursos, calcule o valor
que cada um pagou. executivo: 4x R$ 160,00;
amigo: 2x R$ 80,00
12. (Vunesp-SP) Dois produtos químicos P e Q
são usados em um laboratório. Cada 1 g (grama) do produto P custa R$ 0,03 e cada 1 g
do produto Q custa R$ 0,05. Se 100 g de uma
mistura dos dois produtos custam R$ 3,60,
a quantidade do produto P contida nessa
mistura é:
c) 60 g
e) 30 g
x a) 70 g
b) 65 g
d) 50 g
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Capítulo 2: Conjuntos numéricos
Nas questões 13 e 14 a resposta é dada pela soma
das afirmativas corretas.
13. (UFBA) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi
feita uma pesquisa para saber o número de
pessoas matriculadas em alongamento,
hidroginástica e musculação, chegando-se
ao resultado expresso na tabela a seguir. 19
Atividade
Número de pessoas
matriculadas
(02) moças que trabalham e não estudam
é9
(03) rapazes que trabalham e estudam é 9
(04) moças que estudam e não trabalham
é4
15. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) o número de
elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A 6 B) 24, n(A B) 13
e n(B A) 9, então:
a) n(A 6 B) n(A 5 B) 20
b) n(A) n(B) n(A B)
c) n(A 5 B) 3
x d) n(B) 11
e) n(A) 16
Alongamento
109
Hidroginástica
203
Musculação
162
Capítulo 3: Funções
Alongamento e hidroginástica
25
Alongamento e musculação
28
Hidroginástica e musculação
41
As três atividades
5
Outras atividades
115
16. (Uepa-PA) O empregado de uma empresa ganha mensalmente X reais. Sabe-se que ele
paga de aluguel R$ 120,00 e gasta 3 de seu
4
salário em sua manutenção, poupando o
restante.
a) Encontre uma expressão matemática que
defina a poupança P em função do seu
salário X. P 4x 120
b) Para poupar R$ 240,00, qual deverá ser
o seu salário mensal? x R$ 1 440
17. (Furg-RS) Seja g uma função do tipo
g(x) ax b, com x R. Se g(2) 4 e
2g(3) 12, os valores de a e b são, respectivamente:
a) 1 e 0
2
b) 0 e 1
2
c) 0 e 2
d) 1 e 0
2
x e) 2 e 0
18. (UFOP-MG) Seja a função f: R
R, dada
por:
10x 5, se x 1
2
f(x) x 1, se 1 x 1
5x, se x 1
14243
Com base nessas informações, pode-se concluir:
(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas.
(02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.
(04) 259 pessoas estavam matriculadas em
alongamento ou musculação.
(08) 89 pessoas estavam matriculadas em
pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.
(16) O número de pessoas matriculadas
apenas em hidroginástica corresponde
a 28,4% do total de pessoas envolvidas
na pesquisa.
14. (UFAL) O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupo de 77 jovens, há: 11
– um total de 32 moças
– 4 moças que trabalham e estudam
– 13 moças que não estudam nem trabalham
– 15 rapazes que trabalham e não estudam
– 10 rapazes que estudam e não trabalham
– 25 jovens que não trabalham nem estudam
– 15 jovens que estudam e não trabalham
Nesse grupo, o número de:
(00) rapazes é 50
(01) rapazes que não trabalham nem estudam é 12
( ) ( )
Então, o valor de f 2 f 2 2 f
é um número:
a) inteiro
b) par
x c) racional
d) ímpar
e) irracional
2
2
3
José Roberto Bonjorno
19. (UFMG) Observe a figura.
(04) a função que ao peso x de uma carta,
0 x 50, associa o preço de sua postagem, em reais, tem o gráfico abaixo:
y
6
44
preço
5
4
3,50
3
2,50
2
1,70
1
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
x
1
0,50
2
0
3
Ela representa o gráfico da função y f(x),
que está definida no intervalo [3, 6].
A respeito dessa função, é incorreto afirmar
que:
a) f(3) f(4)
b) f(f(2)) 1,5
c) f(x) 5,5 para todo x no intervalo [3, 6]
x d) o conjunto {3 x 6 f(x) 1,6} contém exatamente dois elementos
20. (EEM-SP) Uma função f: R* R satisfaz à
seguinte propriedade: f(a 䡠 b) f(a) f(b).
a) Determine f(1). f(1) 0
b) Sabendo-se que f(2) 1, determine f(8).
f(4) 2; f(8) 3
Na questão 21 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
21. (UFAL) Tem-se abaixo parte da tabela de preços da postagem de cartas em uma Agência
dos Correios.
Peso x da carta
(gramas)
Preço da postagem
(reais)
0
x 10
0,50
10
x 20
1,00
20
x 30
1,70
30
x 40
2,50
40
x 50
3,50
Nessa agência:
(00) para postar duas cartas, com pesos de
25 g e 12 g, deve-se pagar R$ 2,70
(01) para postar três cartas, com pesos de
10 g, 30 g e 45 g, deve-se pagar R$ 5,70
(02) se uma pessoa pagou R$ 3,50 pela
postagem de duas cartas, uma delas
pode ter pesado 45 g
(03) paga-se R$ 5,40 para postar três cartas
de 32 g cada
4
1,00
10
20
30
40
x
50
22. (UFAC) O gráfico mostrado na figura é de
uma função f definida no intervalo [2, 4].
Observe-o atentamente e considere as afirmações.
4
2
1
0
1
4
2
I – A função é crescente somente no intervalo [2, 1].
II – A função g(x) f(x) 2, 2 x 4,
é tal que g(2) 0.
III – No intervalo [1, 1] a função é constante.
IV – A função possui exatamente três raízes
no intervalo [2, 4].
Com relação às afirmações I, II, III e IV, é
correto afirmar que:
a) todas são verdadeiras
b) todas são falsas
c) apenas a IV é falsa
x d) apenas a I é falsa
e) a I e a II são falsas
23. (UFSM-RS) Sendo as funções f: R R definida por f(x 5) 3x 8 e g: R R definida por g(x) 2x 1, assinale verdadeira
(V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações
a seguir.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
• f(x 6) 3x 11
1
• g x 1x 1
2
2
• f(2) g1(7) 10
A sequência correta é:
a) F – V – F
d) V – V – F
b) F – V – V
e) V – F – V
x c) F – F – V
24. (UFF-RJ) Dada a função real de variável real
f, definida por f x x 1 , x 1:
x1
a) determine (f o f)(x) (f o f)x x
b) escreva uma expressão para f1(x)
()
()
f1 (x) x 1
x1
25. (UFOP-MG) Sejam as funções:
2
4
V
f: V V e g: V 3
3
x
f(x) 2x 3 x
g(x) 3 4x
3x 4
2 3x
Então, resolva a equação:
x 1
2
(f o g)(x) 1 x
Capítulo 4: Função polinomial do
1o grau
27. (Unitau-SP) O gráfico mostra o custo de uma
linha de produção de determinada peça em
função do número de unidades produzidas.
Sabendo-se que o preço de venda de cada
peça é de R$ 5,00, determine o número mínimo de peças que precisam ser comercializadas para que haja lucro. x 750 peças
y 4x 40 000
30. (UFMG) A função contínua y f(x) está definida no intervalo [4, 8] por
x 6 se 4 x 0
f(x) ax b se 0 x 4
2x 10 se 4 x 8
sendo a e b números reais.
Calcule os valores de a e b e esboce o gráfico
da função dada no plano cartesiano representado na figura abaixo. a 2; b 6
14243
26. (UFF-RJ) Um motorista de táxi cobra, em
cada corrida, o valor fixo de R$ 3,20 mais
R$ 0,80 por quilômetro rodado.
a) Indicando por x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar pela
corrida, escreva a expressão que relaciona P com x. P 3,20 0,80x
b) Determine o número máximo de quilômetros rodados para que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultrapasse
R$ 120,00. x 146 O número máximo é 146 km.
28. (UERJ) Utilize o texto abaixo para responder à questão.
Uma calculadora apresenta, entre suas teclas, uma tecla D, que duplica o número
digitado, e uma outra T, que adiciona uma
unidade ao número que está no visor. Assim, ao digitar 123 e apertar D, obtém-se
246. Apertando-se, em seguida, a tecla T,
obtém-se 247.
a) Uma pessoa digita um número N, e, após
apertar, em seqüência, D, T, D e T, obtém
como resultado 243. Determine N. N 60
b) Determine o resultado obtido pela calculadora se uma pessoa digitar 125 e
apertar, em seqüência, D, T, D. D(251) 502
29. (FGV-SP) A receita mensal de vendas de uma
empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma
função do 1o grau. Quando a empresa gasta
R$ 10 000,00 por mês de propaganda sua
receita naquele mês é de R$ 80 000,00; se o
gasto mensal com propaganda for o dobro
daquele, a receita mensal cresce 50% em
y R$ 160 000,00
relação àquela.
a) Qual a receita mensal se o gasto mensal
com propaganda for de R$ 30 000,00?
b) Obtenha a expressão de y em função de x.
Ver resolução.
y
8
7
6
5
4
R$
3
2
1
1 512
4 3 2 1 0
1 506
1 500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
1
2
4
Número de
peças
produzidas
2
3
4
5
José Roberto Bonjorno
31. (Unicamp-SP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
Plano C
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os
outros dois? 51 minutos
34. (UFSM-RS) Na produção de x unidades
mensais de um certo produto, uma fábrica
tem um custo, em reais, descrito pela função de 2o grau, representada parcialmente
na figura.
C(R$)
1 300
Plano
Custo fixo
mensal
Custo adicional
por minuto
A
R$ 35,00
R$ 0,50
900
B
R$ 20,00
R$ 0,80
700
C
0
R$ 1,20
Capítulo 5: Função polinomial do
2o grau
32. (UFSCar-SP) Uma bola, ao ser chutada num
tiro de meta por um goleiro, numa partida
de futebol, teve sua trajetória descrita pela
equação h(t) 2t2 8t(t 0), onde t é o
tempo medido em segundos e h(t) é a altura
em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao
h(2) 8
solo. t 4
b) a altura máxima atingida pela bola.
33. (UFPB) Um míssil foi lançado acidentalmente do ponto A, como mostra a figura,
tendo como trajetória o gráfico da função
f(x) x2 70x, onde x é dado em km.
0
10
x
40
O custo mínimo é, em reais:
a) 500
c) 660
e) 690
x d) 675
b) 645
35. (UFAL) Sejam a parábola p e a reta r, representadas na figura abaixo.
y
p
R
1
1
3
1 0
2
1
x
y
Q
y f(x)
r
Determine os pontos Q e R, intersecções de
p e r. Q(2, 3) e R(2,5)
B
y
A
g(x)
40
x
Desejando-se destruí-lo num ponto B, que
está a uma distância horizontal de 40 km de
A, utiliza-se um outro míssil que se movimenta numa trajetória descrita, segundo o
gráfico da função g(x) kx. Então, para que
ocorra a destruição no ponto determinado,
deve-se tomar k igual a:
a) 20
d) 50
e) 60
x b) 30
c) 40
6
4
Na questão 36 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
36. (UFG) Uma agência de turismo deseja fretar um ônibus de 50 lugares. Duas empresas,
A e B, candidatam-se para fazer a viagem.
Se for contratada a empresa A, o custo da
viagem terá uma parte fixa de R$ 280,50,
mais um custo, por passageiro, de R$ 12,00.
Se for contratada a empresa B, o custo terá um valor fixo de R$ 250,00, mais um
custo (C), por passageiro, dado por
C(n) 35 0,5n, onde n é o número de
passageiros que fará a viagem.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
De acordo com essas informações, julgue os
itens a seguir. 8
(01) Se todos os lugares do ônibus forem
ocupados, será mais caro contratar a
empresa B.
(02) Caso contrate a empresa B, o custo máximo da viagem será de R$ 862,50.
(03) Para um mesmo número de passageiros, os valores cobrados pelas empresas A e B serão diferentes.
(04) Para um custo de R$ 700,50, a empresa A levará mais que o dobro de passageiros que a empresa B.
37. (UFMG) A seção transversal de um túnel tem
a forma de um arco de parábola, com 10 m
de largura na base e altura máxima de 6 m,
que ocorre acima do ponto médio da base.
De cada lado, são reservados 1,5 m para passagem de pedestres, e o restante é dividido
em duas pistas para veículos.
As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura de, no máximo, 30 cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para
veículos.
Calcule a altura máxima que um veículo
pode ter para que sua passagem pelo túnel
seja permitida. 2,76 m
4
39. (Furg-RS) Dadas as funções reais definidas
por f(x) x 2 e g(x) x2 x 12,
podemos dizer que o domínio da função
f(x)
é:
h(x) g(x)
x a) {x R x 2}
b) {x R x 2}
c) {x R 2 x 2}
d) {x R x 2}
e) {x R x 2}
40. (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguinte
promoção: “Para compras entre 100 e 600
%
reais compre (x 100) reais e ganhe x
10
Na questão 41 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
41. (UEM-PR) Considere uma parábola de equação y ax2 bx c, sendo a, b e c números reais e a 0. Se o seu gráfico é o dado a
seguir, assinale o que for correto. 61
y
0
A
1
B
5
x
V
(01) Sendo o vértice da parábola o ponto
V(p, q), o valor de p é 3.
(02) A soma das raízes da equação y 0 é 4.
(04) A área do triângulo ABV, sendo V o vértice da parábola, é dada por
S 29a 3 b c.
(08) O número b é negativo.
(16) O produto ac é positivo.
(32) Se o ponto P(6, 2) pertencesse à parábola, o valor de c seria 2.
Capítulo 6: Função modular
42. (UFF-RJ) Considere a função f definida por
f(x) 123
38. (UEL-PR) Sejam f e g funções tais que, para
qualquer número real x, f(x) x2 e g(x) f(x a) a2. O gráfico de g é uma parábola, conforme a figura a seguir. Então, o
valor de a é:
y
a) 0
b) 1
2
x c) 2
x
d) 3
e) 4
de desconto na sua compra”. Qual a maior
quantia que se pagaria à mercearia nesta
promoção?
a) R$ 300,50
d) R$ 304,50
e) R$ 305,50
x b) R$ 302,50
c) R$ 303,50
4x, x 4
x3, x 4
Pede-se:
a) f(0) f(0) 0
b) (f o f)(2) 512
c) o valor de m tal que f(m) 125 m 5
1
d) f 1 1 16
4
43. (UERJ) O volume de água em um tanque
varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:
V 10 4 2t 2t 6, t
R
Nela, V é o volume medido em metros cúbicos após t horas, contadas a partir de 8 h de
uma manhã. Determine os horários inicial
e final dessa manhã em que o volume permanece constante. entre 10 h e 11 h
7
José Roberto Bonjorno
44. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
27
(01) O domínio da função f : D R, D 3 R,
x 2 3x 10
,é
x6
R x 2 ou x 5} {6}.
definida por f(x) D {x
(02) A função inversa da função
g(x) 2x 1 é definida por
x3
1
g (x) 3x 1 .
x2
(04) A função f: R
R, definida por
f(x) x 2, é uma função decrescente.
(08) Sejam h e k duas funções dadas por
h(x) 2x 1 e k(x) 3x 2. Então,
h(k(1)) é igual a 9.
(16) A função g: R
R, definida por
g(x) x2 1, é uma função par.
(32) O conjunto-imagem da função h:
R R, definida por h(x) x2 4x 3, é Im(h) {y R y 1}.
45. (UFAC) Qualquer solução real da inequação
x 1 3 tem uma propriedade geométrica interessante, que é:
a) A sua distância a 1 é maior que 3.
b) A sua distância a 1 é maior que 3.
x c) A sua distância a 1 é menor que 3.
d) A sua distância a 1 é menor que 3.
e) A sua distância a 3 é menor que 1.
Na questão 46 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
46. (UFBA) Com base no gráfico da função
f : R R, pode-se afirmar: 50
y
1
0
1
2
3
x
(01) A imagem de f é o intervalo ]0, 1].
(02) A equação f(x) 1 tem infinitas soluções.
2
não tem solução.
(04) A equação f(x) 2
8
(08) A função f admite inversa.
(16) O ponto (0, 2) pertence ao gráfico de
g(x) 1 f(x 1).
(32) O gráfico da função f(x) é
y
1
3 2 1 0
1
2
3
x
Capítulo 7: Função exponencial
47. (Vunesp-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final
de n anos, o capital que esse cliente terá em
reais, relativo a esse depósito, é:
a) 1 000 0,15n
b) 1 000 0,15n
c) 1 000 0,15n
d) 1 000 1,15n
x e) 1 000 1,15n
48. (UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma
represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1 000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha que o
aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis
L(t) L010t e T(t) T02t, onde L0 é a população inicial de lambaris, T0, a população inicial de traíras, e t, o número de anos que se
conta a partir do ano inicial.
Considerando-se log 2 0,3, o número de
lambaris será igual ao de traíras depois de
quantos anos?
x e) 3
a) 30
c) 12
b) 18
d) 6
49. (Vunesp-SP) Uma fórmula matemática para
se calcular aproximadamente a área, em
metros quadrados, da superfície corporal de
2
uma pessoa, é dada por: S(p) 11 p 3 , em
100
que p é a massa da pessoa em quilogramas.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Considere uma criança de 8 kg. Determine:
a) a área da superfície corporal da criança.
b) a massa que a criança terá quando a área
de sua superfície corporal duplicar (use
2
a aproximação 2 1,4 ). a) 0,44 m
b) 22,4 kg
50. (UERJ) Utilize os dados abaixo para responder às questões.
Em um município, após uma pesquisa de opinião,
constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em
anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t) 2 䡠 105(1,6)t
B(t) 4 䡠 105(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t 0 refere-se ao dia 1o de janeiro de 2000.
candidato A: 200 000 eleitores; candidato B: 400 000 eleitores
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2000.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 6 meses
c) Mostre que, em 1o de outubro de 2000, a
razão entre os números de eleitores de A
e B era maior que 1o. 2 1
51. (UNI-RIO-ENCE-RJ) Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos
ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação y 30kx 10,
onde k 0, representada a seguir:
Capítulo 8: Função logarítmica
Nas questões 53 e 54 a resposta é dada pela soma
das afirmativas corretas.
53. (UFAL) Analise as afirmações seguintes.
(00) Se 5
2x
5
5
5 2x
5
99
, então 5 x 8.
(11) Para todo x real, logx x 1.
(22) A função dada por f(x) 4x é decrescente para todo x real.
(33) log4 9 log2 3.
(44) Um domínio para a função dada por
f(x) logx (x2 4) é o conjunto
{x R x 2}.
54. (UFMT) (...) A vantagem de lidar com
os logaritmos é que
eles são números
mais curtos do que
as potências. Imagine que elas indiquem a altura de
um foguete que, depois de lançado,
atinge 10 metros
em 1 segundo, 100
metros em 2 segundos e assim por diante. Nesse caso, o
tempo (t) em segun-
104 10 000 metros
103 1 000 metros
102 100 metros
101 10 metros
segundos após o lançamento
dos é sempre o logaritmo decimal da altura
(h) em metros.
Taxa (%)
(Adaptado da Revista SuperInteressante,
maio de 2000, p. 86)
A partir das afirmações dadas, julgue os
itens. 01
20
0
10 20 30 40 50 Tempo (anos)
a) Determine o valor de k. 30 1
3
b) Obtenha as taxas relativas aos anos de
1960 e 2020 (valor estimado), usando o
gráfico e a equação anterior. 40%; ⯝13,33%
52. (Unifor-CE) No universo R, a equação
3x 33x 6 admite:
a) duas raízes positivas
b) duas raízes de sinais contrários
c) uma única raiz, que é negativa
d) uma única raiz, que é um quadrado perfeito
x e) uma única raiz, que é um número primo
(00) Pode-se representar a relação descrita
por meio da função h log t.
(01) Se o foguete pudesse ir tão longe, atingiria 1 bilhão de metros em 9 segundos.
(02) Em 2,5 segundos o foguete atinge 550
metros.
55. (UFRN) Os habitantes de um certo país
são apreciadores dos logaritmos em bases
potência de dois. Nesses país, o “Banco ZIG”
oferece empréstimos com a taxa (mensal)
de juros T log8 225, enquanto o “Banco ZAG” trabalha com a taxa (mensal)
S log2 15.
9
José Roberto Bonjorno
T 2S
Com base nessas informações:
3
a) estabeleça uma relação entre T e S.
b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa
de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique. banco ZIG
56. (UFAC) Dadas as funções f(x) 2x, x real, e
g(x) log 1 x, x 0. Os gráficos de f e g
2
interceptam-se em um único ponto. Assim,
a equação f(x) g(x) possui uma única solução real. O intervalo a que a solução da
equação pertence é:
a) ]2, )
c) ]1, 2[
e) ( , 0[
1
1
b) ] , 1] x d) ]0, [
2
2
57. (UFP-RS) A intensidade de um terremoto, medida na escala Richter, é uma função logarítmica determinada por
E , em que E é a energia
I 2 䡠 log
3
7 䡠 103
liberada no terremoto, em kWh.
Magnitude Richter
Efeitos
Menor que 3,5
Geralmente não sentido, mas
gravado.
Entre 3,5 e 5,4
Às vezes sentido, mas raramente causa danos.
Entre 5,5 e 6,0
No máximo causa pequenos
danos a prédios bem construídos, mas pode danificar
seriamente casas mal construídas em regiões próximas.
Entre 6,1 e 6,9
Pode ser destrutivo em áreas
em torno de até 100 quilômetros do epicentro.
efeitos descritos pela notícia.
58. (UFOP-MG) Se f(x) log 2 1 , então
x
o domínio de f é:
a) ]1, [
b) ]0, [
c) ] , 0[6]0, [
x d) ] , 0[6[1, [
e) ] , 1[
59. (UFSCar-SP) A altura média do tronco de
certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático:
h(t) 1,5 log3 (t1),
com h(t) em metros e t em anos. Se uma
dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em
anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
a) 9
c) 5
e) 2
d) 4
x b) 8
Nas questões 60 e 61 a resposta é dada pela soma
das afirmativas corretas.
60. (UFBA) Considerando-se as funções
f(x) log3 (1 x2) e g(x) 27x 1, é correto afirmar: 54
(01) O domínio da função f é R* .
Grande terremoto; pode causar sérios danos numa grande faixa de área.
(04)
8,0 ou mais
Enorme terremoto; pode causar grandes danos em muitas
áreas, mesmo que estejam a
centenas de quilômetros.
(10)
“Um dos mais fortes terremotos das últimas décadas atingiu a Turquia na madrugada de ontem, causando a morte de pelo menos 2 mil pessoas e ferimentos
em outras 10 mil segundo cálculos iniciais [...] O tremor liberou uma energia de 7 102,4 kWh, de acordo
com o registro nos EUA, e foi sentido em várias cidades
vizinhas... Em pânico, a população da capital turca, de
7,7 milhões de pessoas, foi para as ruas. Cerca de 250
pequenos abalos se seguiram ao primeiro e mais intenso, que durou 45 segundos... pontes ruíram e fendas no
asfalto dificultaram a chegada do socorro...”
3 1 log 2
3
3
log (1 x 2 )
f(x) log 3
O conjunto-solução da inequação
g(x) 2 é o intervalo [0, [.
A função g é crescente em todo o seu
domínio.
g1 (x) log 3 3 x 1
(02) f
Entre 7,0 e 7,9
Analise o texto abaixo, adaptado do jornal O
Estado de S. Paulo, 1999.
10
Com base no cálculo da intensidade (magnitude) do terremoto, a ser medida pela escala Richter, verifique se o valor da energia
liberada, citado no texto, corresponde aos
efeitos descritos pela notícia. I 3,6 não corresponde aos
(08)
(32)
(64) g(f(x)) (
(x 1)
27
2
3
)
61. (UEM-PR) Dadas as funções f e g definidas
por f(x) log x e g(x) x2 1, é correto
afirmar: 71
(01) A imagem da função g é o conjunto
[1, ).
(02) g(x) x 2 䡠 g 1 , para todo x real, tal
x
que x 0.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
(04) f1 (0) 1
(08) f(g(3)) 10
(16) Os gráficos de f e g se interceptam no
ponto de abscissa x 10.
(32) (g o f)(x) (2 log x) 1
(64) f x f(x) f(y) , para todos x e y
y
reais, tais que x 0 e y 0.
62. (UFOP-MG) Resolva o sistema
14243
2 䡠 8 32 x 2 e y 1
ou
log 8 xy 1 x 3 e y 23
3
x
y
63. (UFF-RJ) Considere log b 1 x, sendo
a
a 0, a 1, b 0 e b 1. Calcule o valor
de loga b2. 2x
64. (PUC-SP) A energia nuclear, derivada de
isótopos radioativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode
ser descrito pela função exponencial
t
250
P P0 䡠 e
, na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um
veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a
partir de t0 0; e é a base do sistema de
logaritmos neperianos. Nessas condições,
quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo
espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: ºn2 0,693)
x e) 346
a) 336
c) 340
b) 338
d) 342
65. (Vunesp-SP) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h
30min o médico da perícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver,
que era de 32,5 C. Uma hora mais tarde,
tomou a temperatura outra vez e encontrou
31,5 C. A temperatura do ambiente foi
mantida constante a 16,5 C. Admita que a
temperatura normal de uma pessoa viva seja
36,5 C e suponha que a lei matemática que
descreve o resfriamento do corpo é dada por
D(t) D0 䡠 2(2 t),
onde t é o tempo em horas; D0 é a diferença
de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t 0; D(t) é a diferença
de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer; e é uma
constante positiva. Os dados obtidos pelo
médico foram colocados na tabela seguinte.
Hora
Temperatura Temperatura
Diferença de
do corpo ( C) do quarto ( C) temperatura ( C)
t?
morte
36,5
16,5
D(t) 20
t0
22h 30min
32,5
16,5
D(0) D0 16
t1
23h 30min
31,5
16,5
D(1) 15
Considerando os valores aproximados
log2 5 2,3 e log2 3 1,6, determine:
0,05
a) a constante
b) a hora em que a pessoa morreu 19h 30min
66. (Unicamp-SP) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) log8 (1 t)6 e
B(t) log2 (4t 4), onde a variável t representa o tempo em anos. Ver resolução.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t 1 e t 7?
b) Após certo instante t, a população de uma
dessas cidades é sempre maior que a da
outra. Determine o valor mínimo desse
instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.
67. (UFRJ) Resolvendo a inequação logarítmica
log 1 (x 3) 3 , qual a solução encontrada?
2
3 x 25
8
Capítulo 9: Sucessão ou seqüência
Na questão 68 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas. 66
68. (UFAL) Se n é um número natural não-nulo,
o termo geral da seqüência
(00)
1, 1 , 1 , 1 , ... é a n 1
2 3 4
n
(11)
1 , 1 , 1 , 1 ... é a 1
n
2
4 6
8
2n
(22)
1 , 2 , 3 , 4 , ... é a n
n
2 3 4 5
n1
(33)
1 , 1 , 1 , 1 , ... é a n n1
2 4
8 16
2
(44)
1, 1 , 1 , 1 , 1 , ... é
4
9 16
25
an (1)n
n2
11
José Roberto Bonjorno
Capítulo 10: Progressões aritméticas
69. (UFRJ) A concessionária responsável pela
manutenção de vias privatizadas, visando a
instalar cabines telefônicas em uma rodovia, passou a seguinte mensagem aos seus
funcionários: “As cabines telefônicas devem
ser instaladas a cada 3 km, começando no
início da rodovia”. Quantas cabines serão
instaladas ao longo da rodovia, se a mesma
tem 700 quilômetros de comprimento?
234 cabines
70. (UFMT) Suponha que a cada três meses o
número de cabeças de gado aumenta em
quatro. Em quantos trimestres serão obtidas 340 reses a partir de uma dúzia?
83 trimestres
71. (UERJ) Utilize a tabela abaixo para responder às questões,
FÁBRICA Y — ANO 2000
Produtos
Produção
(em mil unidades)
Preços unitários de venda
(em R$)
maio
junho
maio
junho
A
100
50
15
18
B
80
100
13
12
C
90
70
14
10
a) Considere que o acréscimo na produção
B, de maio para junho, seja estendido aos
meses subseqüentes. 220 produtos
Calcule a quantidade de produtos B que
serão fabricados em dezembro de 2000.
b) Todos os produtos A, B e C produzidos
nos meses de maio e junho foram vendidos pelos preços da tabela.
Calcule o total arrecadado nessa venda,
em reais. R$ 6 600,00
72. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para
jogar bolita (bola de gude); então pegou sua
coleção de bolitas e formou uma seqüência
de “T” (a inicial de seu nome), conforme a
figura:
...
Supondo que o guri conseguiu formar 10
“T” completos, pode-se, seguindo o mesmo
padrão, afirmar que ele possuía:
12
a) mais de 300 bolitas
x b) pelo menos 230 bolitas
c) menos de 220 bolitas
d) exatamente 300 bolitas
e) exatamente 41 bolitas
73. (Unifor-CE) Uma pessoa comprou certo artigo a prazo e efetuou o pagamento dando
100 reais de entrada e o restante em parcelas mensais que, sucessivamente, tiveram
seu valor acrescido de 20 reais em relação
ao do mês anterior. Se a primeira parcela
foi de 15 reais e o montante de sua dívida
ficou em 3 430 reais, quantas parcelas ela
pagou?
a) 12
c) 20
e) 36
d) 24
x b) 18
74. (Furg-RS) Sendo g: R R, definido por g(x)
2x 3, então g(1) g(2) .... g(30) é
igual a:
x c) 1 020
a) 525
e) 2 040
b) 725
d) 1 375
75. (UEL-PR) Qual é o menor número de termos que deve ter a progressão aritmética de
razão r 8 e primeiro termo a1 375,
para que a soma dos n primeiros termos seja
positiva?
a) 94
c) 48
e) 750
x b) 95
d) 758
Na questão 76 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
76. (UFBA) Um agricultor plantou uma série de
mamoeiros, distando 3 m um do outro e
formando uma fila, em linha reta, com
72 m de comprimento. Alinhado com os mamoeiros, havia um depósito, situado a 20 m
de distância do primeiro. O agricultor, para
fazer a colheita, partiu do depósito e,
margeando sempre os mamoeiros, colheu
os frutos do primeiro e levou-os ao depósito; em seguida, colheu os frutos do segundo, levando-os para o depósito; e, assim,
sucessivamente, até colher e armazenar os
frutos do último mamoeiro.
Considere que o agricultor anda 50 metros
por minuto, gasta 5 minutos para colher os
frutos de cada mamoeiro, e mais 5 para
armazená-los no depósito.
Nessas condições, pode-se concluir que o
agricultor: 25
(01) plantou 25 pés de mamão
(02) plantou o 12o mamoeiro a 56 metros
do depósito
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
(04) quando fez a colheita dos frutos do 10o
mamoeiro, havia passado 6 vezes pelo
5o mamoeiro
(08) ao completar a tarefa de colheita e armazenamento dos frutos de todos os
mamoeiros, tinha andado 2 800 metros
(16) para realizar toda a tarefa de colheita e
armazenamento, gastou 5 horas e 6
minutos
Capítulo 11: Progressões geométricas
77. (Mack-SP) A seqüência de números reais e
positivos dada por (x 2, x 2 11,
2x 2, ...) é uma progressão geométrica
cujo sétimo termo vale:
a) 96
c) 484
e) 384
x b) 192
d) 252
78. (PUC-SP) A soma dos n primeiros termos
da seqüência (6, 36, 216, ..., 6n, ...) é 55 986.
Nessas condições, considerando log 2 0,30
e log 3 0,48, o valor de log n é:
x a) 0,78
c) 1,26
e) 1,68
b) 1,08
d) 1,56
79. (UFSM-RS) Assinale verdadeira (V) ou falsa
(F) em cada afirmativa.
• No primeiro semestre do ano 2000, a produção mensal de uma fábrica de sapatos
cresceu em progressão geométrica. Em
janeiro, a produção foi de 3 000 pares e,
em junho, foi de 96 000 pares. Então,
pode-se afirmar que a produção do mês
de março e abril foi de 12 000 e 18 000
pares, respectivamente.
• A sequência (xn4, xn2, xn, xn2), x 0, é
uma progressão geométrica de razão x2.
• Uma progressão geométrica de razão q,
com 0 q 1 e a1 0, é uma progressão
geométrica crescente.
A seqüência correta é:
a) V – F – F
d) V – V – F
e) V – F – V
x b) F – V – F
c) F – V – V
80. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
15
(01) Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e
500.
(02) O valor de x que satisfaz a equação
(x 1) (x 4) (x 7) ... (x 28) 155 é x 1.
(04) O oitavo termo da P.G.
a8 16.
(
)
2, 2, ... é
(08) A soma dos termos da P.G.
1, 2,
3 9
4 , ...
é igual a 1.
27
81. (Furg-RS) Um quadrado tem lado m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um segundo quadrado e assim sucessivamente. Sabe-se que a área do décimo
quadrado vale 1 . Então o lado m do primei8
ro quadrado vale:
a) 4 cm
c) 4 2 cm
x b) 8 cm
d) 8 2 cm
e) 16 cm
82. (UFOP-MG) Sendo a, b, 10 uma progressão
aritmética e 2 , a, b uma progressão geo3
métrica, em que a e b são números inteiros
positivos, calcule a e b. a 2 e b 6
Capítulo 12: Estudo das matrizes
83. (UEL-PR) Sabendo-se que a matriz
5
x2 2 y
49
y
3x
1 21
0
é igual à sua transposta, o valor de x 2y é:
a) 20
c) 1
e) 20
x b) 1
d) 13
Na questão 84 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
84. (UFMT) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolve adultos e crianças de ambos os
sexos. A composição dos participantes no
projeto é dada pela matriz 2
Adultos
80
100
Crianças
120
200
Masculino
Feminino
O número diário de gramas de proteínas, de
gorduras e de carboidratos consumidos por
cada criança e cada adulto é dado pela matriz
Proteínas
20
10
Gorduras Carboidratos
20
20
20
30
Adultos
Crianças
13
José Roberto Bonjorno
Capítulo 13: Determinantes
85. (UFF-RJ) Numa progressão aritmética, de
termo geral an e razão r, tem-se a 1 r 1 .
2
a5 a4
Calcule o determinante da matriz
a 4 a 12
11
86. (UFRJ) Dada a matriz A (aij)2
2, tal que
87. (UFAC) Considere as afirmações:
I – O inteiro a 615, quando dividido pelo
inteiro b 3, deixa resto zero.
II – Seja qual for o valor de a, a real, o
determinante da matriz
a 1
nun1 a
ca se anula.
III – Os valores que a função f(x) x2 1,
x real, assume são todos os números
do intervalo [1, ).
Com relação a tais afirmações, é correto dizer que:
a) todas são verdadeiras
b) todas são falsas
c) a afirmação I é falsa
x d) as afirmações I e II são verdadeiras
e) as afirmações II e III são verdadeiras
sitivo sempre que:
a) x 0
x b) x 1
c) x 1
14
d) x 3
e) x 3
1
2
3
4
e B
1
3
2
1
o determinante da matriz A 䡠 B é:
x e) 14
a) 1
c) 10
b) 6
d) 12
90. (Unifor-CE) Seja a matriz A (aij)3
3, com
x j, se i j
aij i, se i j
Os números reais x que anulam o determinante de A:
a) são 4 e 9
x b) são menores do que 6
c) têm soma igual a 9
d) têm produto igual a 14
e) têm sinais contrários
91. (UFOP-MG) Considere a matriz
S11 S12 S13 S {x R 4 x 4}
S S21 S22 S23
S31 S32 S33
dada por
0, se i j
sij i j, se i j
i j, se i j
Então, resolva a inequação det S 3x2.
92. (UFP-RS) No triângulo retângulo isósceles
abaixo, a área é 8 u 䡠 a e os vértices estão
numerados no sentido horário. det A 128 2
1
3
2
Associe a essa figura uma matriz A, 3 3,
sendo aij igual à distância entre os vértices i
e j, e calcule det (A).
Capítulo 14: Sistemas lineares
93. (UEM-PR) Dado o sistema de equações lineares 7
14243
88. (UEL-PR) O determinante 1 0 1 é po0 x 0
x 0 1
A
14243
123
2, se i j
3i j, se i j, encontre o determinante da matriz At. 18
aij 89. (Vunesp-SP) Dadas as matrizes
123
A partir dessas informações, julgue os itens.
(00) 6 000 g de proteínas são consumidos
diariamente por adultos e crianças do
sexo masculino.
(01) A quantidade de gorduras consumida
diariamente por adultos e crianças do
sexo masculino é 50% menor que a
consumida por adultos e crianças do
sexo feminino.
(02) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13 200 g
de carboidratos.
4x 3y z 9
8x 6y 2z 18
x 3y z 6
sabe-se que (a, b, 20) é solução do mesmo.
Nessas condições, o valor a 4b é...
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
94. (UFRGS) Durante os anos oitenta, uma dieta alimentar para obesos ficou conhecida
como “Dieta de Cambridge” por ter sido desenvolvida na Universidade de Cambridge
pelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Para
equilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve que
recorrer à matemática, utilizando os sistemas lineares.
Suponha que o Dr. Howard quisesse obter
um equilíbrio alimentar diário de 3 g de
proteínas, 4 g de carboidratos e 3 g de gordura.
No quadro abaixo estão dispostas as quantidades em gramas dos nutrientes mencionados acima, presentes em cada 10 gramas dos
alimentos: leite desnatado, farinha de soja e
soro de leite.
Número de gramas de nutrientes em cada 10 gramas de alimento
Alimento
Leite
desnatado
Farinha
de soja
Soro
de leite
Proteína
3
5
2
Carboidrato
5
3
1
Gordura
0
1
7
Nutrientes
Obs.: as quantidades são fictícias para simplificar as contas.
14243
Calcule as quantidades diárias em gramas
de leite desnatado, farinha de soja e soro de
leite, para que se obtenha a dieta equilibrada, segundo Dr. Howard, verificando a necessidade de cada um desses alimentos na
dieta em questão. Ver resolução.
95. (Unicamp-SP) Uma empresa deve enlatar
uma mistura de amendoim, castanha de caju
e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de
amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos
ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75.
Além disso, a quantidade de castanha de caju
em cada lata deve ser igual a um terço da
soma das outras duas. Ver resolução.
a) Escreva o sistema linear que representa
a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada
ingrediente por lata.
96. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram
trocados por oito porcos. Em outra ocasião,
uma vaca foi trocada por um touro e um
porco. De acordo com a regra desses dois
“negócios”, uma vaca deve ser trocada por *
porcos; um touro, por * porcos.
Assinale a alternativa que preenche corretamente os espaços.
c) 2; 3
e) 5; 2
x a) 3; 2
b) 2; 5
d) 3; 4
97. (UFBA) Um teatro colocou à venda ingressos
para um espetáculo, com três preços diferenciados de acordo com a localização da poltrona. Esses ingressos, a depender do preço,
apresentavam cores distintas: azul, branco
e vermelho. Observando-se quatro pessoas
na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte:
a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2
brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a
segunda comprou 2 ingressos brancos e 3
vermelhos e gastou R$ 184,00; e a terceira
pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00.
Sabendo-se que a quarta pessoa comprou
apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais,
quanto ela gastou. R$ 84,00
98. (UNI-RIO-ENCE-RJ) No Censo 2000, uma
equipe era formada por um supervisor e três
recenseadores, João, Maria e Paulo, cada um
destes com uma produção horária média diferente (número de formulários preenchidos, em média, por hora).
O supervisor observou que:
I – se João, Maria e Paulo trabalhassem
por dia, respectivamente, 6, 8 e 5 horas, a produção total diária seria de 78
formulários preenchidos, em média.
II – se trabalhassem, respectivamente, 7, 6
e 8 horas diariamente, esta produção
total já seria de 83 formulários.
III – se trabalhassem 6 horas, diariamente,
cada um deles, este total seria de 72.
a) Calcule a produção horária média de
Maria. 4 h
b) Determine a menor carga horária diária
de trabalho (valor inteiro), comum aos
três recenseadores, para que a produção
total diária supere 100 formulários
preenchidos. 9 h
99. (Vunesp-SP) Dado o sistema de equações lineares S:
 1 2 C
x 2y cz 1
A  0 1 1


yz2
 3 2 2
3x 2y 2z 1, det A 6 3c
onde c R, determine:
a) a matriz A dos coeficientes de S e o
determinante de A
b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma única solução c 2
15
José Roberto Bonjorno
100.(UFMG) Considerando o sistema
14243
xyz8
2x 4y 3z a
3x 7y 8z 25
4x 6y 5z 36
a 20
determine o valor de a para que o sistema
tenha solução.
Usando esse valor de a, resolva o sistema.
101.(UFSC) Considere as matrizes:
22
1 1 1
0
0
0
A 1 2 2 , B 1
2
3,
1 4 4
1 2 3
C (1) 䡠 A e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
(01) A matriz A é inversível.
(02) (A 䡠 B)t Bt 䡠 At, onde At significa a
matriz transposta de A.
(04) A C é a matriz nula de ordem 3.
(08) O sistema homogêneo, cuja matriz dos
coeficientes é a matriz A, é determinado.
(16) A 䡠 C C 䡠 A.
102.(Furg-RS)
2x ky z 0
x y kz 0
x ky z 0
14243
O sistema
a)
b)
c)
d)
e)
x
é:
determinado para k 1
determinado para todo k R
impossível para k 1
indeterminado para k 1
indeterminado para k 1
Capítulo 15: Análise combinatória
103.(UFSC) Num camping existem 2 barracas
disponíveis. O número de modos como se
pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada
uma, é...
20 modos
104.(Uespi-PI) Resolvendo a equação An, 4 12 䡠 An, 2 , temos:
a) n 21
d) 2n 1 17
e) 5n 1 4
b) n2 25
c) n2 36
x
16
105.(UFMG) Um aposentado realiza, diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:
a) leva seu neto, Pedrinho, às 13 horas, para a escola
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica
c) passeia com o cachorro da família
d) pega seu neto, Pedrinho, às 17 horas,
na escola
e) rega as plantas do jardim de sua casa
Cansado, porém, de fazer essas atividades
sempre na mesma ordem, ele resolveu que,
a cada dia, vai realizá-las em uma ordem
diferente.
Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades,
em ordem diferente, é:
x c) 120
a) 60
b) 72
d) 24
106.(UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado
cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo
variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação
que escolhera como segredo, mas sabe que
atende às condições: 1 800
a) Se o primeiro algarismo é ímpar, então
o último algarismo também é ímpar.
b) Se o primeiro algarismo é par, então o
último algarismo é igual ao primeiro.
c) A soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Quantas combinações diferentes atendem
às condições estabelecidas pelo Dr. Z?
107.(Unifor-CE) Pretende-se selecionar 4 pessoas de um grupo constituído de 3 professores e 5 alunos, para tirar uma fotografia.
Se pelo menos 1 dos professores deve aparecer na foto, de quantos modos poderá ser
feita a seleção?
c) 330
e) 1 680
x a) 65
b) 70
d) 1 560
108.(ITA-SP) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se
apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?
a) 375
c) 545
e) 625
b) 465
d)
585
x
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
109. (Vunesp-SP) Uma grande firma oferecerá
aos seus funcionários 10 minicursos diferentes, dos quais só 4 serão de informática.
Para obter um certificado de participação,
o funcionário deverá cursar 4 minicursos
diferentes, sendo que exatamente 2 deles
deverão ser de informática. Determine de
quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de escolher:
a) os minicursos que não são de informática 15
b) os 4 minicursos, de modo a obter um
certificado 90
110. (UFSM-RS) Analise as afirmativas a seguir.
I. O número de comissões de 3 pessoas
que se pode formar num grupo de 5
pessoas é 60.
II. Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, podem-se
formar 125 números de 3 algarimos.
III. A quantidade de 7 bombons iguais pode
ser repartida de 6 maneiras diferentes,
em duas caixas idênticas, sem que nenhuma caixa fique vazia.
Está(ao) correta(s):
a) apenas I
x b) apenas II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
111. (Uepa-PA) Um organizador de eventos tem
à sua disposição 15 auxiliares, sendo 7 mulheres e 8 homens. Quantas comissões de
3 mulheres e 4 homens poderá formar?
2 450 comissões
112. (Furg-RS) Existem cinco livros diferentes
de Matemática, sete livros diferentes de Física e dez livros diferentes de Química. O
número de maneiras que podemos escolher
dois livros com a condição de que eles não
sejam da mesma matéria é:
a) 35
c) 70
e) 350
b) 50
x d) 155
113. (UFSCar-SP) Num acampamento, estão 14
jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4
mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2
paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos
ao acaso. O número de maneiras possíveis
para se formar essa equipe de limpeza é:
a) 96
c) 212
e) 256
x d) 240
b) 182
114. (Mack-SP) Unindo-se de todos modos possíveis 4 vértices de um cubo, obtém-se n
pirâmides distintas, sendo distintas as pirâmides que tenham pelo menos um vértice não comum. O valor de n é:
a) 54
e) 62
x c) 58
b) 56
d) 60
Capítulo 16: Binômio de Newton
115. (UERJ) Na potência, n é um número natural menor do que 100. 96
n
x 15
x
Determine o maior valor de n, de modo que
o desenvolvimento dessa potência tenha um
termo independente de x.
116. (Uepi-PI) O valor que deve ser atribuído a
k, de modo que o termo independente de
x, no desenvolvimento de x k
x
igual a 160, é igual a:
a) 1
d) 8
e) 10
x b) 2
c) 6
6
, seja
117. (UECE) Quando simplificado, o terceiro ter6
mo de
2
a) 6x9
a
2
b) 6x9
a
a x
a2
x
é:
c) 15
x
x d) 15
x
Capítulo 17: Teoria das probabilidades
118. (Mack-SP) A probabilidade de se obter um
triângulo retângulo, quando se unem de
modo aleatório três vértices de um hexágono regular, é:
1
5
d)
a)
6
6
1
3
b)
e)
4
20
3
x c)
5
17
José Roberto Bonjorno
119. (Vunesp-SP) Em um colégio foi realizada
uma pesquisa sobre as atividades extracurriculares de seus alunos. Dos 500 alunos
entrevistados, 240 praticavam um tipo de
esporte, 180 freqüentavam um curso de idiomas, e 120 realizavam estas duas atividades, ou seja, praticavam um tipo de esporte e freqüentavam um curso de idiomas.
Se, nesse grupo de 500 estudantes, um é
escolhido ao acaso, a probabilidade de que
ele realize pelo menos uma dessas duas atividades, isto é, pratique um tipo de esporte ou freqüente um curso de idiomas, é:
18
12
2
c)
e)
25
25
5
3
6
x b)
d)
5
25
120. (UFSCar-SP) Gustavo e sua irmã Caroline
viajaram de férias para cidades distintas. Os
pais recomendam que ambos telefonem
quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem
sempre Gustavo e Caroline cumprem esse
desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo
telefonar é 0,6, e a probabilidade de Caroline
telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais é:
x e) 0,92
a) 0,20
c) 0,64
b) 0,48
d) 0,86
a)
121. (FCAP-PA) Uma pesquisa sobre grupos
sangüíneos ABO, na qual foram testados
6 000 pessoas de uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o antígeno A, 2 234 o
antígeno B, e 1 846 não têm nenhum antígeno. Nestas condições, qual é aproximadamente a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos?
x a) 10%
c) 15%
e) 8%
b) 12%
d) 22%
122. (Unicamp-SP) O sistema de numeração na
base 10 utiliza, normalmente, os dígitos
de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como
o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:
a) Quantos são os números naturais de
cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? 27 216
18
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade
de que seus cinco algarismos estejam
em ordem crescente? 1
216
123. (UFF-RJ) Os cavalos X, Y e Z disputam uma
prova final na qual não poderá ocorrer empate. Sabe-se que a probabilidade de X vencer é igual ao dobro da probabilidade de Y
vencer. Da mesma forma, a probabilidade
de Y vencer é igual ao dobro da probabilidade de Z vencer.
Calcule a probabilidade de:
a) X vencer p(X) 74 c) Z vencer p(Z) 71
b) Y vencer p(Y) 2
7
124. (UFPE) Os times A, B e C participam de um
torneio. Suponha que as probabilidades de
A ganhar e perder de B são respectivamente 0,6 e 0,2, e as probabilidades de A ganhar
e perder de C são respectivamente 0,1 e 0,6.
Jogando com B e em seguida com C, qual
a probabilidade de A empatar os dois jogos?
a) 0,5
e) 0,03
x c) 0,06
b) 0,05
d) 0,04
Capítulo 18: O conjunto dos números complexos
125. (UFSCar-SP) Sejam x, y R e z x yi
um número complexo. (x y) (x y)i
a) Calcule o produto (x yi) 䡠 (1 i).
b) Determine x e y, para que se tenha
(x yi) 䡠 (1 i) 2. x 1 e y 1
126. (Furg-RS) Os valores reais de x, de modo
que a parte real do número complexo
z x i seja positiva, é:
xi
x a) {x R x 1 ou x 1}
b) {x R 1 x 1}
c) {x R x 1}
d) {x R x 1}
e) {x R x 1}
127. (Cesupa) Dados os números complexos
w a bi e z 2 i, e sendo z o conjugado de z, encontre a e b de modo que
z w 䡠 z. a 3 e b 4
5
5
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Na questão 128 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
128. (UFMS) Com relação às propriedades e representações dos números complexos, é
correto afirmar que: 03
(01) se z é o número complexo representado no plano complexo da figura 1,
então z 3 3 i.
Im
z
30º
2 3
Re
Figura 1
24
(02) o número 1 1 i
é real
2
2
(04) o lugar geométrico dos pontos z x yi
do plano complexo, tais que a parte
real do número (z 1) é igual a 2, é
uma reta paralela ao eixo horizontal
(08) se z1 e z2 são os números complexos
representados no plano complexo da
figura 2, então z1 䡠 z2 6 2i
130. (UEM-PR) Seja a matriz
A
27
z z i342
, onde z a bi é um
zz
z z
número complexo.
Sendo det A 27, o valor de a2 b2 é igual
a...
131. (UFSC) Determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 37
(01) O argumento principal do número
complexo z 1 3 i é 2 .
3
(02) O número racional representado por 1
3
também pode ser representado na forma decimal finita.
(04) O valor absoluto de um número real
menor que zero é o oposto dele.
(08) O número 437 é primo.
(16) A operação de subtração definida no
conjunto dos números inteiros possui
a propriedade comutativa.
(32) A diferença entre os números reais
75 e 5 3 é um número racional.
Nas questões 132 e 133 a resposta é dada pela
soma das afirmativas corretas.
132. (UFMT) Na figura, o ponto P é o afixo de um
número complexo z, no plano de ArgandGauss. 01
y
Im
0
3
x
z2
2
z1
2
1
P
1
3
Re
Figura 2
129. (UFPB) O número complexo z a ib,
onde a, b Z, é tal que (a, b) pertence à
reta 2x y 1 0. Sabendo-se que
z 2 , determine z. z 1 i
A partir das informações dadas, julgue os
itens.
(00) A forma trigonométrica de z é
2 cos 5 i sen 5
3
3
(01) Se Q é o afixo do número complexo
w z 䡠 i, sendo i a unidade imaginária,
então o ângulo PÔQ é reto.
4z z 2
(02) Sendo z o conjugado de z,
.
z
()
19
José Roberto Bonjorno
133. (UFAL) Na figura abaixo, os pontos P1 e P2
são, respectivamente, as imagens dos números complexos z1 e z2, representadas no
plano de Argand-Gauss. 55
Im(z)
P2
P1
2
2
60º
2
0
Re(z)
Use os dados da figura para a análise das
afirmações que seguem.
(00) O módulo de z1 é 8.
(11) A forma algébrica de z2 é 1 i 3.
(22) O argumento principal de z1 é 135 .
(33) O conjugado de z2 é 3 i.
(44) z12 é um número imaginário puro.
134. (UEL-PR) A potência (cos 60 i sen 60 )601
é igual a:
1 3i
a) 1 1 i 3
d)
2
2
1 1 i 3
1 3i
b)
e)
2
2
1 1i 3
x c)
2
(
(
(
)
)
(
(
)
)
)
Capítulo 19: Polinômios
135. (UFPE) Determine p e q reais, tais que
x(x 1)(x 2)(x 3) 1 (x2 px q)2.
Indique p2 q2. 10
136. (UFMG) Suponha que a equação
2
2
8ax bxc 43x5 䡠 25x x8
seja válida para todo número real x, em que
a, b e c são números reais.
Então, a soma a b c é igual a:
a) 17 x b) 28
c) 12
d) 5
3
3
3
137. (UFSC) Sendo a e b dois números tais que
o polinômio P(x) 2x3 ax2 bx 6 é
divisível por (x 3) e por (2x 1). Calcule
(a b). 14
138. (UFF-RJ) Considere os polinômios p(x) 2x3 2x2 7x 1 e q(x) 2x2 x 1.
Calcule:
a) os valores do número complexo z tais
que p(z) q(z) z 0 ou z 2i ou z 2i
20
b) o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x), tais que k 2
3
p(x) (x k) q(x) r(x)
19x
1
r(x) 2
2
139. (Furg-RS) Se o polinômio
p(x) x4 2x3 ax2 bx c
é divisível por q(x) x2 x 2, então
a b vale:
c) 0
e) 11
x a) 11
b) 1
d) 1
140. (Unifor-CE) Sabe-se que o polinômio
f 2x3 x2 4x 2 admite uma raiz
racional. As outras raízes desse polinômio
são números:
a) divisíveis por 2
b) fracionários
c) não-reais
d) primos
x e) irracionais
141. (UEL-PR) Considere os polinômios
p(x) x 1 e q(x) x3 x. É correto
afirmar:
a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem
raiz em comum.
b)
x O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de
q(x).
c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.
d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.
e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
142. (UFP-RS) Dada a matriz real A (aij)2
2,
com a ij (i j)log 2 3 , se i j
, determine
ln e5i 䡠 Rj , se i ⬆ j
o polinômio real de 4o grau que admite
det A, det At e (1 i)2 como raízes.
Ver resolução.
143. (UFF-RJ) Os gráficos da função polinomial
p e da reta r estão representados na figura.
y
r
4
2
0
1
3 4
p
x
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
a) Calcule o resto da divisão de p(x) por
x 3. 4
b) Escreva a equação de r. 3y 2x 6
c) Determine a expressão que define p, sabendo que as três únicas raízes de p são
reais. p(x) 1 (x 1)(x 3)(x 4)
3
Capítulo 20: Equações polinomiais
ou algébricas
144. (UFSM-RS) Se 1 e 5 são duas raízes da
equação x3 ax2 3x b 0, então a e b
valem, respectivamente, * e *, e a outra
raiz da equação é *.
Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas.
a) 6; 10; 2
b) 6; 10; 2
c) 6; 10; 2
d) 6; 10; 2
x e) 6; 10; 2
145. (UERJ) As equações a seguir, em que x C,
têm uma raiz comum. Determine todas as
raízes não-comuns.
1a equação:
{1 2i}
x3 x 10 0
2a equação:
{3, 5}
x3 19x 30 0
146. (Cesupa) A função polinomial
P(x) x3 6x2 3x k tem P(1) 8 e as
raízes em progressão aritmética. Determine essas raízes. 5; 2; 1
147. (ITA-SP) Seja m
sistema
R, m 0. Considere o
14243
2x (log4 m)y 5z 0
(log2 m)x y 2z 0
x y (log2 m2)z 0
O produto dos valores de m para os quais o
sistema admite solução não-trivial é:
c) 4
e) 2log25
x a) 1
b) 2
d) 8
148. (Unicamp-SP) Considere o polinômio
p(x) x3 2x2 5x 26.
a) Verifique se o número complexo 2 3i
é raiz desse polinômio. sim
b) Prove que p(x) 0 para todo número
real x 2. Ver resolução.
149. (UFRJ) Determine todas as raízes de
x3 2x2 1 0. Ver resolução.
150. (PUC-RJ) Quais as soluções de
x(x2 4x 4) 1? Ver resolução.
151. (Furg-RS) O polinômio
x3 7x2 16x 12 tem:
a) uma raiz real com multiplicidade 3
x b) uma raiz real com multiplicidade 2
c) raízes reais e distintas
d) uma raiz complexa
e) duas raízes complexas
Na questão 152 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
152. (UEM-PR) Considere o polinômio
86
p(x) x ax bx 8x c,
4
3
2
com x R, e a, b e c constantes reais.
Sabe-se que p(x) também pode ser escrito
como p(x) q(x)(x 2)(x 2) e, além disso, p(0) 16.
Nessas condições, é correto afirmar:
(01) q(0) 4.
(02) q(x) é um polinômio de grau 2.
(04) p(2) p(2)
(08) a soma das raízes de p(x) 0 é 2i, onde
i é a unidade imaginária.
(16) b2 8a c 0.
(32) x 2 é uma raiz de multiplicidade 2
de p(x) 0.
(64) p(x) tem dois zeros complexos.
Unidade B: Porcentagem
153. (EEM-SP) Uma lanchonete vende cada
quibe por R$ 0,19 e um copo com 300 mº
de refrigerante por R$ 1,00. Com o objetivo de estimular as vendas, a empresa
pretende vender um combinado constituído de 10 quibes e um copo com 480 mº
de refrigerante. Qual deve ser o preço a
ser cobrado, se a lanchonete deseja dar
10% de desconto? R$ 3,15
21
José Roberto Bonjorno
154. (UFAL) As quantias que Aldo, Bruno e César
tinham em suas carteiras totalizavam
R$ 179,00. Aldo deu 20% do que tinha a
Bruno e ficou com a mesma quantia de
César. Se Bruno ficou com R$ 51,00, determine as quantias que cada um tinha
inicialmente. Ver resolução.
155. (UERJ) Um grupo de alunos de uma escola
deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito
alunos foram visitar pelo menos um desses
museus; 20% dos que foram ao de Ciência
visitaram o de História, e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de
Ciência.
Calcule o número de alunos que visitaram
os dois museus. 6
156. (FGV-SP) No Brasil, quem ganha um salário mensal menor ou igual a R$ 900,00
está isento do pagamento de imposto de
renda (IR). Quem ganha um salário mensal acima de R$ 900,00 até R$ 1 800,00
paga um IR igual a 15% da parte de seu
salário que excede R$ 900,00; quem ganha
um salário mensal acima de R$ 1 800,00
paga um IR igual a R$ 135,00 (correspondente a 15% da parte do salário entre
R$ 900,00 e R$ 1 800,00) mais 27,5% da
parte do salário que excede R$ 1 800,00.
a) Qual o IR pago por uma pessoa que recebe um salário mensal de R$ 1 400,00?
b) Uma pessoa pagou um IR de R$ 465,00,
num determinado mês. Qual o seu salário nesse mês? a) R$ 75,00
b) R$ 3 000,00
157. (UFRN) Dois supermercados (X e Y) vendem leite em pó, de uma mesma marca, ao
preço de R$ 4,00 a lata. Numa promoção, o
supermercado X oferece 4 latas pelo preço
de 3, e o supermercado Y dá um desconto
de 20% em cada lata adquirida.
Responda, justificando, em qual dessas promoções você economizaria mais, se comprasse:
a) 12 latas Supermercado X
b) 11 latas Supermercado Y
158. (UFPE) O custo da cesta básica aumentou
1,03% em determinada semana. O aumento foi atribuído exclusivamente à variação
do preço dos alimentos que subiram 1,41%.
22
Qual o percentual de participação dos alimentos no cálculo da cesta básica (indique
o valor mais próximo)?
c) 75%
e) 77%
x a) 73%
b) 74%
d) 76%
159. (Unifor-CE) Tico resolveu economizar guardando, a cada semana, uma parcela de sua
mesada. Na primeira semana ele guardou
40 reais e, a partir de então, 10 reais por
semana. Se ele não usou o dinheiro guardado, a quantia que ele acumulou em 20 semanas corresponde a que porcentagem da
quantia que guardou na primeiro semana?
d) 400%
x a) 575%
b) 500%
e) 375%
c) 475%
Na questão 160 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
160. (UFG) De uma torneira, a água está pingando a uma freqüência constante de uma
gota a cada 25 segundos. Durante o período de 21h 30min até 6h 15min do dia
seguinte, um recipiente coletou 120 mililitros (mL) de água. 03
Conforme as informações apresentadas,
julgue os itens a seguir.
(01) No período mencionado, caiu no recipiente um total de 1 290 gotas d’água.
(02) Mantendo-se a mesma freqüência, o
volume de água coletado, durante 17 horas, será superior a 240 mL.
(03) O volume de cada gota d’água é menor que 0,1 mL.
(04) Se a freqüência fosse de duas gotas por
minuto, o volume de água coletado,
no mesmo período, seria 20% maior.
161. (Vunesp-SP) Os dados publicados na revista
Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100
pessoas com o ensino médio, apenas 54
conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3 000 pessoas, 25% têm ensino médio, o número provável de pessoas
do grupo, com ensino médio, que, de acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego, é:
a) 375
c) 450
e) 1 620
x b) 405
d) 750
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Unidade C: Trigonometria
Capítulo 1: A trigonometria no triângulo retângulo
162. (UFAC) Uma pessoa sobe uma rampa, que
forma com a horizontal um ângulo de 30 .
Admitindo que o terreno sob a rampa é plano, a que altura do solo se encontrará essa
pessoa quando tiver caminhando 15 m sobre ela?
a) 8,5 m
c) 9 m
x e) 7,5 m
b) 8 m
d) 7,9 m
ˆ
165. (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo ABC
é reto, BC 5 6 e cos (BÂC) 3 .
15
Considerando esses dados, calcule o comprimento do cateto AB. x 15
166. (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades
de um pedaço de arame reto, de 30 m de
comprimento, entre os pontos M e P de
um plano, o arame, por ser maior do que
o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo.
P
a) MS 10 5 3 ;
SP 5 10 3
163. (UFAC) Se a medida do ângulo BÂC é igual
a 60 , AB AC e BC 10, então a área do
triângulo ABC, da figura abaixo, vale:
b) 10 5 2 3
20
A
60º
N
60
T
10
30º
R
M
B
10
A partir desses dados, calcule, em metros:
a) o comprimento dos segmentos MS e SP
b) quanto o arame deveria medir para que
tivesse o mesmo tamanho do segmento
MP
d) 10 3
a) 10
3
b)
C
S
e) 5 3
x c) 25 3
164. (UEL-PR) Com respeito aos pontos A, B, C,
D e E, representados na figura abaixo, sabese que CD 2 䡠 BC e que a distância de D a
E é 12 m. Então, a distância de A a C, em
metros, é:
167. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD ,
ˆ mede 60 e os ângutal que o ângulo ABE
ˆ são retos. Sabe-se ainda que
ˆ e BCD
los EBC
AB CD 3 e BC 1. Determine a
medida de AD . 7
B
D
E
A
60º
A
C
30º
3
D
3
60º
B
E
a) 6
b) 4
x c) 3
d) 2
e) 1
1
C
168. (UEM-PR) No problema a seguir, considere
que qualquer trajetória do ciclista é feita
em linha reta e com velocidade constante e
igual a 10 m/s. 6 km
23
José Roberto Bonjorno
Duas rodovias H e R cruzam-se em um ponto A, segundo um ângulo de 60 . Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e,
após um terço de hora, atinge um ponto B,
de onde é possível seguir para a rodovia R,
percorrendo o menor caminho, atingindoa no ponto C. Para retornar de C ao ponto
A de origem, pela rodovia R, a distância que
o ciclista deve percorrer, em quilômetros,
é...
Capítulo 2: Conceitos básicos
169. (Fabrai-MG) Em uma competição de ciclismo eliminatória para as olimpíadas, um
atleta possuía uma bicicleta cujas rodas tinham 40 cm de raio.
Se o percurso percorrido na prova foi de
9 420 m, o número mínimo de voltas dadas
pela roda, considerando 3,14, é:
a) 3 700
c) 3 800
d) 3 850
x b) 3 750
170. (UFSCar-SP) Se o ponteiro dos minutos de
um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade
em 20 minutos é: (considere 3,14)
a) 37,7 cm c) 20 cm
e) 3,14 cm
x b) 25,1 cm d) 12 cm
171. (PUC-MG) Uma carta marítima circular é
graduada com 32 arcos iguais. A medida
de cada arco é:
a) 8 13’
c) 10 18’
e) 12 20’
b) 9 14’ x d) 11 15’
172. (Uneb-BA) Correndo numa praça circular
de raio igual a 117 metros, um garoto descreve um arco de 78 metros de comprimento.
A medida desse arco, em radianos, é:
3
2
2
x b)
3
a)
c)
3
3
d)
5
e)
4
173. (UCS-RS) O menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio quando marca
3 horas e 15 minutos é:
a) 0
c) 5
b) 3 9’
x d) 7 30’
24
Capítulo 3: As funções circulares
174. (UFRJ) Determine os valores reais de k, de
modo que a equação 2 3 cos x k 4
admita solução. 3 k 9
175. (UFP-RS)
45
“Josiane Soares, de Blumenau, é a dona da
marca no lançamento de dardo, com 53,1 m,
estabelecida durante a primeira etapa do troféu
Brasil de atletismo, encerrada neste domingo, em
Curitiba. Três outros recordes do campeonato foram quebrados e uma marca sul-americana juvenil também.” (Sydney – 2000)
Zero Hora, 2000.
Numa prova olímpica de lançamento de
dardo, a trajetória descrita é representada
graficamente por uma parábola. A distância atingida pelo dardo é dada por:
2
x v 䡠 sen 2
g
em que é o angulo de lançamento, v é a
velocidade inicial, x, a distância em relação à horizontal e g, o valor da gravidade
(considere g 10 m/s2).
Com uma velocidade inicial de 20 m/s, qual
a maior distância obtida em três lançamentos consecutivos, sabendo-se que os ângulos de lançamento foram 30 , 45 e 60 ?
176. (UEL-PR) O gráfico abaixo corresponde à
função:
d) y sen x
x a) y 2 sen x
2
b) y sen (2x)
e) y sen (4x)
c) y sen x 2
y
2
1
1
π
2
π
x
2
177. (UFPB) Um objeto desloca-se, de tal modo
que sua posição x em função do tempo t é
dada pela função x(t) 4 cos 2t ,
2
onde t é dado em segundos e x, em metros.
Acerca deste movimento são feitas as seguintes afirmações:
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
I – No instante t 0 o objeto ocupa a
posição x 4 m.
II – O valor máximo que a posição x pode
assumir é 5 m.
III – O valor mínimo que a posição x pode
assumir é 4 m.
IV – O móvel passa pela posição x 4 nos
com n 1, 2,
tempos t n 4
3, ...
Estão corretas:
a) I e III
d) II e III
x e) III e IV
b) II e IV
c) I e II
178. (Vunesp-SP) Uma equipe de mergulhadores,
dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno das marés em
determinado ponto da costa brasileira e
concluiu que o mesmo era periódico e podia
ser aproximado pela expressão:
P(t) 21 2 cos
t 5 ,
2
6
4
em que t é o tempo (em horas) decorrido
após o início da observação (t 0) e P(t) é
a profundidade da água (em metros) no
instante t.
t 5 1,
a) Resolva a equação cos
6
4
para t 0. Ver resolução.
b) Determine quantas horas após o início
da observação ocorreu a primeira maré
alta. 4,5 horas
Capítulo 4: Relações e identidades
trigonométricas
1k
e
2
tg x 1 k são satisfeitas para valores
k1
de k. O produto desses valores de k é:
c) 0
e) 2
x a) 2
b) 1
d) 1
179. (Furg-RS) As relações sen x 180. (Fuvest-SP) O dobro do seno de um
ângulo , 0 , é igual ao triplo do
2
quadrado de sua tangente. Logo, o valor
de seu cosseno é:
2
c) 2
e) 3
a)
3
2
3
1
3
x b)
d)
2
2
Na questão 181 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
181. (UEM-PR) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 43
(01) sen 4 cos 4 cos ( ) 0
2
3
(02) Em um triângulo no qual dois de seus
rad e 40 , o terângulos medem
3
ceiro ângulo mede 4 rad .
9
(04) (1 cos x)(1 cos x)tgx 䡠 cos x, para
x⬆
k , k Z.
2
(08) (sen x cos x)2 1 , para x 15
2
5
(16) tg
0
4
(32) 2 sen 53 cos 37 1
cos 37
Capítulo 5: Transformações trigonométricas
182. (UEL-PR) Para qualquer número real x,
sen x 2
é igual a:
a) sen x
b) 2 sen x
c) (sen x)(cos x)
d) 2 cos x
x e) cos x
183. (UFOP-MG) Considere a matriz
0
M sen 75
cos 75
0
sen 15
cos 15
2
1
1
Então, podemos afirmar que:
3
2
x b) M é inversível e det M 3
a) M é inversível e det M c) M é inversível e det M 0
d) M é inversível e det M 1
e) M é inversível e det M 1
2
Capítulo 6: Equações trigonométricas
184. (UFOP-MG) Resolva a equação trigonomé sen x 2.
trica sen x 4
4
2
S x 7 R x π 2kπ ou x 5π 2kπ, k 7 Z
6
6


25
José Roberto Bonjorno
185. (UFSM-RS) A soma das raízes da equação
cos2 x cos x 0, no intervalo 0 x 2 ,
é:
5
a)
e)
x c) 3
2
7
b) 4
d)
2
186. (Vunesp-SP) Considere a função
2
f(x) 9(sen x) 䡠 27(1 cos x), para x
2
R.
a) Mostre que f(x) 3(2 cos x3 cos x1).
b) Resolva a equação f(x) 1, para
x [0, ]. S 0, π 

3
187. (Cesupa) Sendo a a solução da equação
sen x 1 cos x 0 , no intervalo
, 3 , escreva a matriz
2 2
M
sen
tg
cos
2
sec
1 1
M 
;
0 1
e calcule det M2.
188. (UFSM-RS) Considere f: R
R, dada por
f(x) 4x2 4x tg2 , onde 0 2 .
Os valores de , para os quais f assume o
valor mínimo 4, são:
x a)
b)
c)
d)
e)
, 2 ,
3 3
, 3 ,
4 4
, 2 ,
5 5
, 4 ,
6 6
, 2 ,
7 7
4
3
5
4
3
5
5
6
3
7
, 5
3
7
,
4
4
,
5
, 4
3
5
,
7
189. (UFPA) Sendo a e b dois ângulos tais que a
tg a 1 e tg b 1 , encontre, em graus,
3
2
o valor do ângulo a b. 45 180 k, k 7 Z
190. (Unama-AM) Com relação ao sistema
123
x 䡠 cos
x 䡠 sen
y 䡠 sen cos
y 䡠 cos sen , pede-se:
a) os valores de x e y x cos 2 e y sen 2
b) resolver a equação x y para 0 2
Ver resolução.
191. (UEL-PR) Em relação à equação
cos x cos 2x, com x [0, 2 ], é correto
afirmar:
26
Possui uma solução no 3o quadrante.
Possui duas soluções no 2o quadrante.
Possui somente a solução nula.
Uma das suas soluções é .
e) A única solução não-nula é 2 .
3
x a)
b)
c)
d)
Capítulo 7: Inequações trigonométricas
192. (UNI-RIO) Obtenha o conjunto-solução da
inequação sen x 1 , sendo 0 x 2 .
2
Ver resolução.
193. (Unic-MT) A solução da inequação 2 䡠 sen x
1 0 para x pertencente ao intervalo
[0, 2 ] é:
a)
x7R
x b)
x7R
6
x 5
6
x 5
6
6
ou
7 x 11
6
6
c) {x 7 R 0 x }
d)
x7R
e)
x7R
3
x 2
3
x 2
3
3
ou
4 x 5
3
3
194. (Unicamp-SP)
a) Encontre todos os valores reais de x para
2
os quais 1 x 4 1 . x 2 ou x 2
4x
b) Encontre todos os valores reais de x e y
satisfazendo x2 4x cos y 4 0.
y h2 , h 7 Z
Capítulo 8: Resolução de triângulo
quaisquer
195. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC têm
4 cm2 de área e seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.
Matendo-se as medidas desses dois lados e
dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o
aumento percentual de sua área. 20%
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
196. (UERJ) Utilize os dados abaixo para responder às questões:
Distância de Natal
360 quilômetros
Tempo de
barco: 36 horas
avião: 1h 10min
197. (UFMT) Para determinar a altura de um
morro, um topógrafo adotou o seguinte
procedimento:
• Escolheu dois pontos A e B, situados no
mesmo plano vertical que passa por C.
• Mediu a distância AB encontrando 162 m.
Fernando de Noronha
CE
RN
Natal
PB
PE
Recife
BA
• Com auxílio de um teodolito mediu os
ângulos , e , encontrando, respectivamente, 60 , 90 e 30 .
A figura ilustra o procedimento descrito.
Distância de Recife
545 quilômetros
Tempo de
barco: 50 horas
avião: 1h 35min
AL
A vida lá é mais cara...
Só é possível chegar a Fernando de Noronha
de barco ou avião. Por isso, tudo fica mais
caro. Veja alguns exemplos:
Produto
Milheiro de tijolos
Mercurocromo
Quilo de sal
Quilo de tomate
Botijão de gás
Quilo de batata
Litro de gasolina
Diferença em
relação a Recife
+ 840%
+ 600%
+ 300%
+ 190%
+ 140%
+ 82%
+ 68%
(Veja, 12/07/2000)
a) Calcule a velocidade média de um barco
que faz a travessia entre Recife e Fernando de Noronha. 10,9 km/h
b) Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente, Natal, Recife e
Fernando de Noronha.
Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a
30 , calcule a medida aproximada do
segmento NR, distância entre as cidades de Natal e Recife. x ⯝ 295 km
c) A tabela abaixo apresenta uma lista de
produtos a serem comprados e seus preços na cidade de Recife. R$ 15,66
Itens
Preço por quilo
em Recife (R$)
Quantidade
sal
0,30
2 kg
tomate
1,20
5 kg
batata
1,50
2 kg
C
h
A
λ
β
Horizontal
α
B
D
Qual altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo? 81 m
198. (UFP-RS) Num relógio, o ponteiro que
marca minutos mede 10 cm, e o que marca horas mede 5 cm.
Se f(x) determina a distância entre as extremidades livres dos ponteiros, em função
do ângulo x entre eles, conforme a figura,
então: Ver resolução.
a) obtenha a expressão analítica para f(x)
e calcule f(270 )
b) determine o domínio e a imagem dessa
função
x
f(x)
Considere que duas pessoas, uma em
Fernando de Noronha e outra em Recife, tenham feito essa compra.
Determine a diferença, em reais, entre
a maior e a menor despesa.
27
José Roberto Bonjorno
Unidade D: Geometria
Rua A
20
Capítulo 1: Semelhança de figuras
geométricas planas
199. (EEM-SP) Pelas extremidades A e B de um
segmento AB , traçam-se perpendiculares, e sobre elas tomam-se os segmentos
AC 2 cm e BD 3 cm. Em AB toma-se
o ponto E tal que os ângulos AÊC e BÊD
sejam congruentes. Calcule os comprimentos dos segmentos AE e BE , sabendo-se que AB 10 cm. AE 4 cm e BE 6 cm
200. (UFSC) Na figura abaixo, AC é paralelo a
DE . Nessas condições, determine o valor
de x y. 29
C
10
E
x
15
10
y
A
D
201. (UFMG) Observe a figura.
A
E
18
b
Rua
a) 40, 40 e 40 m
b) 30, 30 e 60 m
c) 36, 64 e 20 m
c
B
x d) 30, 36 e 54 m
e) 30, 46 e 44 m
Capítulo 2: Relações métricas no
triângulo retângulo
203. (UFSM-RS) Na construção proposta, o ponto A representa o número zero e o ponto B,
o número 1. Ao construir BC de forma perpendicular a AB e de comprimento 1, obtém-se AC . Após, ao construir CD , também
de comprimento 1 e perpendicular a AC ,
obtém-se AD . Marcando, na reta r, AE de
mesmo comprimento que AD , o ponto E
representará o número:
D
88
3
C
r
s
G
A
B
0
a) 1,0
C
r
3
e) 2,0
d) 1,8
t
Nessa figura, as retas r, s e t são paralelas; a
distância entre r e s é 1; a distância entre s
e t é 3; EF 2 e FG 5.
Calcule a área do quadrilátero ABCD.
202. (Faap-SP) O proprietário de uma área quer
dividi-la em três lotes, conforme figura a
seguir. Os valores de a, b e c, em metros,
sabendo-se que as laterais dos terrenos são
paralelas e que a b c 120 m, são,
respectivamente:
28
E
1
x c)
2
b)
D
36
a
B
B
F
24
204. (UFOP-MG) O valor de x na figura, onde b é
conhecido, é dado por:
b
b
b
b
x
b
b
a) b 30
b) b 2
x c) b 30
6
d) 2b
e) b 5
6
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
205. (PUC-SP) Uma estação de tratamento de
água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localizase nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA.
Pretende-se construir um restaurante, na
estrada, que fique à mesma distância das
duas estações. A distância do restaurante
a cada uma das estações deverá ser de:
a) 575 m x c) 625 m
e) 750 m
b) 600 m
d) 700 m
Capítulo 3: Polígonos regulares inscritos na circunferência
206. (UFMG) Observe esta figura:
B
C
a)
x b)
c)
d)
e)
(5,338) 102 km
(5,338) 103 km
(5,338) 104 km
(5,338) 105 km
(5,338) 106 km
208. (Unitau-SP) Um terreno tem forma retangular. Sabe-se que seus lados são dois números inteiros consecutivos e sua área é de
20 m2. Quais as dimensões desse terreno?
4me5m
209. (UEL-PR) O comprimento de um retângulo é 10% maior que o lado de um quadrado. A largura desse retângulo é 10% menor que o lado do mesmo quadrado. A razão entre as áreas do retângulo e do quadrado é:
201
200
101
b)
100
90
c)
110
199
200
99
x e)
100
d)
a)
A
210. (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de
um trapézio retângulo ABCD, conforme
mostra a figura, e as seguintes dimensões:
AB 25 m, BC 24 m, CD 15 m.
Nessa figura, o triângulo ABC está escrito
em um círculo.
Os lados AC e BC medem, cada um deles,
D
C
4 14 , e o lado AB mede 8 10 .
Considerando esses dados, determine a
medida do raio desse círculo. r 14
A
Capítulo 4: Área das figuras geométricas planas
207. (UFSCar-SP) A Folha de S. Paulo, na sua
edição de 11/10/2000, revela que o buraco que se abre na camada de ozônio sobre a Antártida a cada primavera no Hemisfério Sul formou-se mais cedo neste
ano. É o maior buraco já monitorado por
satélites, com o tamanho recorde de
(2,85) 107 km2. Em números aproximados, a área de (2,85) 107 km2 equivale
à área de um quadrado cujo lado mede:
B
a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor do terreno? R$ 24 000,00
b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça uma
figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no
lado AB. Ver resolução.
211. (UFMT) Dado que um hectare corresponde
a 10 000 m2, determine o número de quilômetros quadrados que correspondem a uma
fazenda com 1 000 hectares. 10 km2
29
José Roberto Bonjorno
212. (UFMG) Observe as figuras:
Sabe-se que a medida do lado do quadrado
é 2 m e que a do segmento AB é 1 m.
Determine:
30
a) o raio do círculo
 2 1 m


2
b) a área, em m , a ser colorida de azul
4 π 2 1
2
214. (UERJ) Utilize os dados abaixo para responder à questão.
90
40
Uma piscina, cujas dimensões são 4 metros de largura por 8 metros de comprimento, está localizada no centro de um
terreno ABCD, retangular, conforme indica a figura abaixo.
40
A
16 m
B
M
1m
C
1m
10 m
D
12
110
Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira
para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que
o telhado avança 12 cm na parte da frente
da casa.
Considerando-se os dados dessas figuras,
a área total do telhado dessa casa é de:
c) 1,44 m2
a) 0,96 m2
2
d) 0,72 m2
x b) 1,22 m
213. (UFF-RJ) Paulo deve colorir um painel quadrado, com um círculo centrado, usando as
cores azul, verde e cinza, conforme indica a
figura.
Cinza
B
Azul
A
30
b) Considere que uma pessoa se desloca
sempre do ponto M, médio de CD, em
linha reta, numa única direção, a um
ponto qualquer do terreno.
Determine a probabilidade de essa pessoa não cair na piscina. 15
32
215. (UFRN) Em cada um dos subitens abaixo,
faça o que se pede.
a) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero em função do lado. 3 º
2
b) Calcule a área de um triângulo eqüilátero em função do lado. º 2 3
4
Azul
Verde
a) Calcule a razão entre a área ocupada pela
piscina e a área ABCD. 15
Verde
c) Use o Teorema de Pitágoras para mostrar que, num triângulo retângulo, a
área do triângulo eqüilátero construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos eqüiláteros construídos sobre os catetos
(veja figura). Ver resolução.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
218. (UFAC) Na figura, ABCD é um retângulo e
E é um ponto do segmento AB.
A
b
E
B
a
c
C
216. (UFF-RJ) As circunferências de centro O e
O’ possuem, ambas, 1 cm de raio e se interceptam nos pontos P e P’, conforme mostra a figura.  3 π  u.a.
3
P
O
60
60
O’
P’
Determine a área da região hachurada.
217. (UFSCar-SP) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída
no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm.
1
4
D
Da figura, podemos concluir que:
I – Se AE EB, então a área do triângulo ACE é um quarto da área do retângulo ABCD.
II – O valor da área do triângulo CDE é o
mesmo da soma das áreas dos triângulos ACE e EBD.
III – A área do triângulo CDE é metade da
área do retângulo ABCD, independentemente da posição em que o ponto E
esteja no segmento AB.
Com relação às afirmações I, II e III, podese dizer que:
x a) todas são verdadeiras
b) todas são falsas
c) apenas I é verdadeira
d) as afirmações II e III são falsas
e) apenas II e III são verdadeiras
219. (UFMT) A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular
cujo diâmetro da circunferência externa
mede 11,8 cm e da circunferência interna
3,6 cm. Considerando 3,14, determine
o número inteiro mais próximo da medida
(em cm2) da área da etiqueta. S 99,1298 cm2
ou S 99 cm2
Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado
têm seus centros nos vértices do quadrado
e que cada raio mede 1 cm, pede-se:
a) a área da região interna ao quadrado,
complementar à região R 8 b) a área da região R 8 3,6 cm
11,8 cm
31
José Roberto Bonjorno
220. (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado
cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e
o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a.
A área da região hachurada é:
a) um quarto da área do círculo de raio a
x b) um oitavo da área do círculo de raio a
c) o dobro da área do círculo de raio a
2
d) igual à área do círculo de raio a
2
e) a metade da área do quadrado
A
D
B
C
Capítulo 5: Noções sobre poliedros
221. (Uniube-MG) Um poliedro convexo é formado por 6 faces quadrangulares e 8 triângulares. O número de vértices desse poliedro é:
a) 8 b) 10 x c) 12 d) 16 e) 24
222. (ITA-SP) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares,
o número de faces retangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética. O número de arestas é:
a) 10 b) 17 x c) 20 d) 22 e) 23
223. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces
e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se
12 pirâmides congruentes. As medidas das
1
arestas dessas pirâmides são iguais a da
3
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo
de poliedro usado na fabricação de bolas.
Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um
artesão usa esse novo poliedro, no qual cada
gomo é uma face. Ao costurar dois gomos
para unir duas faces do poliedro, ele gasta
7 cm de linha.
32
Depois de pronta a bola, o artesão gastou,
no mínimo, um comprimento de linha
igual a:
a) 7,0 m x b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m
Capítulo 6: Estudo do prisma
224. (UFMG) Um lago tem superfície de área
12 km2 e 10 m de profundidade média.
Sabe-se que o volume do lago é dado pelo
produto da área de sua superfície por sua
profundidade média.
Uma certa substância está dissolvida nesse
lago, de modo que cada metro cúbico de
água contém 5 g da substância.
Assim sendo, a quantidade total dessa substância no lago é de:
a) 6 䡠 109 g
c) 6 䡠 1011 g
10
b) 6 䡠 10 g
x d) 6 䡠 108 g
225. (UERJ) Na construção de um hangar, com
a forma de um paralelepípedo retângulo,
que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas a seguir.
V 140 392 m3
Airbus A3XX-100
envergadura
79,8 metros
comprimento e altura total
24,1 metros
73 metros
(Adaptado de Veja, 14/06/2000)
Calcule o volume mínimo desse hangar.
226. (UFMT) De uma folha de cartolina com a
forma de um quadrado foram recortados
quadrados de 1 cm2 de área de seus quatro
cantos. Dobradas as abas nas linhas pontilhadas e coladas umas às outras, obteve-se
uma caixa no formato de um paralelepípedo reto-retângulo de 16 cm3 de volume,
conforme a figura. 36 cm2
A partir das informações dadas, determine,
em cm2, a área da folha de cartolina.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Na questão 227 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
227. (UEM-PR) Uma piscina com 18 m de comprimento, 8,7 m de largura e 1,2 m de profundidade foi azulejada de modo que seu
fundo foi revestido com o menor número
possível de azulejos quadrados. Supondo
ser desprezível o espaçamento dos rejuntes
entre os azulejos, é correto afirmar: 53
(01) São necessários 156 600 litros de água
para que o nível fique a 20 cm da borda superior.
(02) O volume total da piscina é 156,6 m3.
(04) São necessários 72 m de cordões de
bóias para dividir a superfície da piscina em 5 partes, colocando os cordões
paralelos ao lado maior da piscina.
(08) A área do fundo da piscina é 53,4 m2.
(16) O azulejo usado no fundo da piscina
tem 30 cm de lado.
(32) Foram utilizados 1 740 azulejos para
revestir o fundo da piscina.
(64) A área de cada azulejo é 0,9 m2.
230. (UFPA) A aresta de um cubo mede 4 cm. O
ponto O é o centro de face e AB uma aresta
da face oposta. Determine a razão entre a
área do triângulo AOB e a área de uma das
faces do cubo. 5
4
O
C
D
P
A
M
B
231. (UEL-PR) Na figura abaixo, a aresta do cubo
maior mede a, e os outros cubos foram
construídos de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade da aresta do
cubo anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma dos
volumes de todos os cubos será:
228. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as
medidas das arestas estão em progressão
aritmética de razão 3. A medida, em centímetros, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede
132 cm2, é: 2 cm
229. (UFSM-RS) Observe o sólido representado
na figura, formado por cubos de aresta a.
r
a) 0
s
b) 1 a3
2
a
2
Considerando que ele é simétrico ao plano
definido pelas retas r e s e que o bloco central é um paralelepípedo retângulo, podese afirmar que a área total da peça é:
c) 24a2
e) 42a2
x a) 46a2
2
2
b) 58a
d) 60a
c) 7 a 3
8
8
x d) a 3
7
e) 2a3
232. (UFRN) Um jogo consiste em um prisma
triangular reto com uma lâmpada em cada
vértice e um quadro de interruptores para
acender essas lâmpadas.
Sabendo que quaisquer três lâmpadas podem ser acesas por um único interruptor
e cada interruptor acende precisamente
três lâmpadas, calcule:
a) quantos interruptores existem nesse
quadro 20 interruptores
b) a probabilidade de, ao se escolher um
interruptor aleatoriamente, este acender três lâmpadas numa mesma face
70 %
33
José Roberto Bonjorno
233. (UFAL) Na figura seguinte tem-se um
prisma reto de base triangular, no qual
AC 6 2 cm, CD 12 cm, e as arestas
AC e CB formam entre si um ângulo de
45 .
D
A
E
45
B
C
Determine o volume, em centímetros cúbicos, desse prisma. V 108 2 cm3
234. (Vunesp-SP) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura
G
C
H
B
F
D
4m
3m
A
6m
J
α
x d) 128 144 2
a) 128
c) 128 36 2
237. (UEL-PR) Considere uma pirâmide regular,
de altura 25 m e base quadrada de lado
10 m. Seccionando essa pirâmide por um
plano paralelo à base, à distância de 5 m
desta, obtém-se um tronco cujo volume,
em m3, é:
200
1 220
F
e) 1 220
a)
x c)
3
3
1 280
b) 500
d)
3
238. (UFF-RJ) A figura mostra a pirâmide regular OABCDEF de base hexagonal, cuja altura tem a mesma medida das arestas da
base.
O
I
E
onde ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo, EFGHIJ, um prisma
cuja base EHI é um triângulo retângulo
(com ângulo reto no vértice H e ângulo
no vértice I, tal que sen 3 ). A super5
fície interna do tanque será pintada com
um material impermeabilizante líquido.
Cada metro quadrado pintado necessita de
2 litros de impermeabilizante, cujo preço é
R$ 2,00 o litro. Sabendo-se que AB 3 m,
AE 6 m e AD 4 m, determine:
a) as medidas de EI e HI EI 5 m e HI 4 m
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais 104 m2; R$ 416,00
C
235. (Unitau-SP) A aresta da base e a altura de
uma pirâmide regular de base quadrada
medem 6 cm e 2 cm respectivamente. Determine o valor do apótema e das arestas
das faces triangulares dessa pirâmide.
g 13; a 22
236. (UFOP-MG) Se a base de uma pirâmide reta
é um quadrado inscrito numa circunferência de raio 8 cm, e a altura dessa pirâmide
é 7 cm, então a área total, em cm2, é:
D
B
E
Q
A
F
Pelo ponto médio M, da altura OQ , traçase o segmento MN perpendicular à aresta
MN .
Sabendo que MN mede 5 cm, determine o
volume da pirâmide. V 1 000 6 cm 3
239. (UFOP-MG) Considere o tetraedro OABC,
em que as arestas OA, OB e OC são perpendiculares entre si.
Capítulo 7: Estudo da pirâmide
34
e) 256 144 2
b) 144 2
C
13
z
5
x
A
y
B
O
10
Determine:
a) x2 y2 z2 14
b) o volume do tetraedro
V1
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Capítulo 8: Estudo do cilindro
240. (Vunesp-SP) Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h completamente cheia
de um determinado líquido. Este líquido
deve ser distribuído totalmente em copos
também cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da lata e cujo raio é dois terços
do raio da lata. Determine:
a) os volumes da lata e do copo, em função de r e h VL πr2h e VC 19 πr2h
b) o número de copos necessários, considerando que os copos serão totalmente
cheios com o líquido 9
241. (UFBA) Um recipiente em forma de um cilindro circular reto, com dimensões internas de 20 u.c. de diâmetro e 16 u.c. de altura, está completamente cheio de argila que
deverá ser toda usada para moldar 10x bolinhas com 2 u.c. de raio. Calcule x. x 15
Em que altura (h), a partir da base do cone,
ficará o nível do champanhe nessa nova posição? h ⯝ 0,44 cm
Considere 3 7 1,91
5
10
5
10
h
figura 1
figura 2
245. (EEM-SP) Um cilindro circular reto de altura h e raio r da base está inscrito em um
cone circular reto de altura H e raio R da
base. Sendo R 2r, determine a relação
entre os seus volumes. 3h
4H
242. (Cesupa) Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cilindro circular
reto de 4 m de altura e 50 cm de raio. Calcule:
2 3
a) o volume da pirâmide Vp 3 m
b) o que acontece com a altura do cilindro
se aumentarmos o raio em 100% e quisermos manter o volume Ver resolução.
243. (Fuvest-SP) Na figura ao
B
lado, tem-se um cilindro
circular reto, onde A e B
são os centros das bases e
C é um ponto da intersecção da superfície lateral
com a base inferior do ciA
C
lindro. Se D é o ponto do
segmento BC, cujas distâncias a AC e AB
são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total
(área lateral somada com as áreas das bases), em função de d. V d
At
2
Capítulo 9: Estudo do cone
244. (UFRJ) Uma taça em forma de cone tem
raio da base igual a 5 cm e altura 10 cm.
Coloca-se champanhe em seu interior até
que a altura, a partir do vértice da taça,
atinja 5 cm, conforme mostra a figura 1.
Tampando-se a taça e virando-a para baixo, conforme mostra a figura 2, pergunta-se:
246. (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura
e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m3, temos que o raio
da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8
d) 9 e 6
x b) 8 e 6
e) 10 e 8
c) 8 e 7
247. (Unifor-CE) Dois cones retos, C1 e C2,
têm alturas iguais e raios da base de medidas r1 cm e r2 cm, respectivamente. Se
r1 4 r2 , então a razão entre os volumes
5
de C1 e C2, nessa ordem, é:
16
25
18
b)
25
4
c)
5
x a)
22
25
24
e)
25
d)
35
José Roberto Bonjorno
248. (UFPE) Um cone reto tem altura 12 3 2 cm
e está cheio de sorvete. Dois amigos vão
dividir o sorvete em duas partes de mesmo
volume, usando um plano paralelo à base
do cone. Qual deverá ser a altura do cone
menor assim obtido?
x a) 12 cm
c) 12 3 cm e) 10 3 cm
b) 12 2 cm d) 10 2 cm
deve ser de 50 m3 e o raio da base do
cilindro deve ser de 2 m. O material usado na construção custa R$ 100,00 por
metro quadrado. Qual o custo do material utilizado? R$ 7 512,00
253. (UERJ) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em
uma semi-esfera, cujo raio OA forma um
ângulo com a base do cilindro. • r2
A
249. (UEL-PR) Um cone circular tem volume V.
Interceptando-o na metade de sua altura
por um plano paralelo à base, obtém-se um
novo cone cujo volume é:
V
V
V
V
V
x d)
b)
c)
e)
a)
2
3
4
8
16
250. (Vunesp-SP) A base e a altura de um triângulo isósceles medem x e 12 centímetros
respectivamente. Girando-se o triângulo
em torno da altura, obtém-se um cone cuja
base é um círculo de área A. Seja y o volume do cone. Lembrando que y A 䡠 h ,
3
onde h denota a altura do cone, determine:
a) o volume y em função de x y x2 (cm3)
b) considerando a função obtida no item
(a), os valores de y quando atribuímos a
x os valores 1 cm, 2 cm e 3 cm. Esboce
um gráfico cartesiano desta função, para
todo x 0. 1 cm3; 4 cm3; 9 cm3
Capítulo 10: Estudo da esfera
251. (Furg-RS) Uma esfera de metal é mergulhada num recipiente cilíndrico de 40 mm
de raio que contém água. O nível da água
do recipiente sobe 22,5 mm. Se V representa o volume da esfera em mm3, o valor
V é:
numérico de
1 000
a) 0,9 mm3 c) 36 mm3 e) 3 600 mm3
x b) 36 mm3 d) 810 mm3
252. (FGV-SP)
a) Um cubo maciço de metal, com 5 cm de
aresta, é fundido para formar uma esfera
também maciça. Qual o raio da esfera?
b) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com tampa, para armazenar
certo líquido. O volume do reservatório
36
a) R 5 • 3 3
4π
O
r
θ
varia no intervalo ]0, [ e o raio da
2
semi-esfera mede r, calcule a área lateral
máxima desse cilindro.
Se
Na questão 254, a resposta é dada pela soma
das afirmativas corretas.
254. (UEM-PR) Os comprimentos, em centímetros, de uma seqüência infinita de circunferências, são dados pela P.G. 29
(8 , 4 , 2 , ,
, ...).
2
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
(01) Os raios das circunferências decres1
cem segundo uma P.G. de razão .
2
(02) Os diâmetros das circunferências decrescem segundo uma P.G. de razão 1.
(04) A soma das áreas dos círculos correspondentes às circunferências é
64 cm 2
.
3
(08) O termo geral da P.G. dada é an 24 n.
(16) A circunferência de comprimento
250 cm é o 54o elemento da P.G.
dada.
(32)O volume da esfera de raio igual ao raio
da 3a circunferência da P.G. dada é
4 cm 3.
3
255. (Unicamp-SP) A base de uma pirâmide é um
triângulo eqüilátero de lado L 6 cm e
arestas laterais das faces A 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide. h 2 cm
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? R 4 cm
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
256. (UFMG) Observe esta figura:
a)
x b)
c)
d)
e)
B
menos que 32
mais que 32 e menos que 48
48
64
mais que 64
E
D
A
C
F
Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3 cm e ADEF é um quadrado, cujo
lado mede 1 cm.
Considere o sólido gerado pela rotação de
360 , em torno da reta AB, da região hachurada na figura.
Sabe-se que o volume de uma esfera de raio
3
r é igual a 4 r .
3
Assim sendo, esse sólido tem um volume de:
x c) 17 cm3
a) 15 cm3
3
b) 16 cm
d) 14 cm3
257. (Unama-AM) Determine o volume da esfera inscrita em um cilindro reto de volume V. 23 do volume do cilindro
Unidade E: Geometria analítica
Capítulo 1: Introdução à Geometria
analítica plana
258. (FEI-SP) Num sistema de coordenadas
cartesianas são dados os pontos A (0, 0)
e P (3, h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P
ao ponto A em função de h.
x a) d 9 h 2
b) d h 3
c) d 3h
d) d 9 6h h 2
e) d 9 h
259. (Fisa-SP) Dados 2 pontos A(x 1, y 1 ) e
B(x2, y2), a distância entre eles é dada pela
260. (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as
seguintes coordenadas no plano cartesiano:
(0, 0), (m, 8), (n, n 3). Se Z é o ponto médio do segmento XY, então:
d) m 5
x a) m 2
b) m 1
e) n 2
c) n 3
261. (PUC-RS) Um segmento de reta RV tem
pontos internos S, T e U. Sabendo que S é
o ponto médio de RT, U é o ponto médio
de TV , a medida de RV é 69, e a medida de
RT é 19, então a medida de UV é:
x a) 25
b) 35
c) 45
d) 50
e) 55
Capítulo 2: Estudando a reta no plano cartesiano
262. (Cesgranrio) Uma barra de ferro com temperatura inicial de 10 C foi aquecida até
30 C. O gráfico representa a variação da
temperatura da barra em função do tempo
gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a
temperatura da barra atingiu 0 C.
temperatura (ºC)
30
fórmula d(A, B) (x1 x 2 ) (y1 y 2 ) .
O produto dos lados do pentágono desenhado no eixo cartesiano abaixo vale:
2
2
y
tempo (minutos)
5
1
10
1
1
1
2
2
3
x
a) 1min
b) 1min 5s
c) 1min 10s
x d) 1min 15s
e) 1min 20s
37
José Roberto Bonjorno
263. (Puccamp-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave,
de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.
265. (Fafeod-MG) Suponha que o preço p (em
dólares) de um determinado computador
diminua linearmente com o passar do tempo t (em anos), de acordo com o seguinte
gráfico.
p
y (km)
N
875
B
525
A
x (km)
M
0
Se os quatros pontos pertencem à reta de
equação 4x 3y 1 200 0, a distância
entre as cidades A e B, em quilômetros, é
de aproximadamente:
a) 50
d) 5 000
e) 8 000
x b) 500
c) 800
264. (Unama-AM) O período de incubação do cólera pode ser de algumas horas a até 5 dias,
porém sua disseminação ocorre com mais
facilidade onde as condições de higiene são
precárias. Analisando uma colônia de vírus
do cólera, um pesquisador registrou a disseminação do número desses vírus durante algumas horas e verificou um crescimento linear conforme o gráfico abaixo, o qual
apresenta duas dessas observações. Esse
registro poderia também ser feito através
da equação dessa reta, que é:
a) N T 3 0
b) T N 3 0
c) N 3T 4 0
x d) T N 2 0
t
2
Desse modo, é correto afirmar que o número de anos necessários para que esse
computador não tenha valor algum é:
c) 4
x a) 5
b) 6
d) 7
266. (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r
uma reta de equação ax 2y 2 0. Sabendo-se que P (1, 1) é um ponto de r,
determine:
a) o valor de a a 4
b) o coeficiente angular de r r 2
267. (UEL-PR) No gráfico abaixo, os pontos
A(1, 1) e B(3, 1) são vértices do quadrado ABCD. A respeito da reta de equação
y x, é correto afirmar:
y
D
C
N (milhares de vírus)
5
x
O
A
3
0
38
1
3
T (horas)
a)
b)
c)
x d)
e)
B
Contém o vértice D.
Contém o lado BC.
É paralela ao eixo x.
Contém o centro do quadrado.
É perpendicular à reta 2x 2y 1 0.
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
268. (UFPA) Dados os pontos A(2, 6) e B(4, 3),
determine a equação da mediatriz do segmento AB. 4x 4y 15 0
269. (UFF-RJ) Considere as retas r, s e t cujas
equações são, respectivamente, x y 1;
p
x py p; e 2x 3y 6, com p 0.
Determine:
a) o valor de p para o qual r, s e t interceptam-se em um único ponto M p 3
b) as coordenadas do ponto de interseção M
(3, 0)
Na questão 270 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
271. (Unifor-CE) Os gráficos das retas de equações 3x 2y 3 0; 5x 2y 7 0;
x 2 e y 3 :
2
a) não se interceptam
b) interceptam-se em mais de três pontos
c) interceptam-se em apenas três pontos
d) interceptam-se em apenas dois pontos
x e) interceptam-se em um único ponto
Na questão 272 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
272. (UFAL) Na figura abaixo têm-se o ponto
P(3; 2) e a reta r, que intercepta os eixos
coordenados nos pontos A(1; 0) e B(0; 2).
55
y
270. (UEM-PR) Considere as retas r, s e t, dadas
no gráfico a seguir. 90
P
B
y
0
A
x
3
r
s
r
C
0
B
x
A
t
Sabe-se que a equação de r é 2y x 3;
que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas; que as retas r e
s são paralelas; e que t é perpendicular a r.
Nessas condições, é correto afirmar que:
(01) o ponto A sobre o eixo x, interseção
de r e t, é (2, 0)
(02) o ponto C é 0, 3
2
(04) a distância entre r e s é 3
(08) os coeficientes angulares das retas r,
s e t, são, respectivamente, 1 , 1 e 2
2 2
(16) a equação da reta t é y 2x 6
(32) a equação da reta horizontal que passa por A é x 0
(64) a equação da reta vertical que passa
por A é x 3
Use as informações dadas para analisar as
afirmações seguintes.
(00) A equação da reta paralela à r, traçada
pela origem do sistema de eixos cartesianos, é 2x y 0.
(11) A distância AB é igual a 5.
(22) A equação da reta perpendicular à r,
traçada por P, é x 2y 7 0.
(33) A distância de P a r é 6 5 .
5
(44) O ponto médio do segmento AP é
(2, 1).
273. (Unama-AM) Os coeficientes angulares das
retas r e s, representadas na figura, são
mr 1 e ms 1, respectivamente. Determine:
y
6
s
P
θ
x
2
r
a) as coordenadas do ponto P P (4, 2)
b) o ângulo indicado na figura 90
39
José Roberto Bonjorno
A 15 u.a.
2
274. (Uema-MA) Seja H a área limitada pelas retas 3y 2x 0, y x 5 0 e pelo eixo
dos y. Identifique a área H em um sistema
de eixo cartesiano e calcule o seu valor.
y
Q
275. (Unicamp-SP) Considere, no plano xy, as
retas y 1, y 2x 5 e x 2y 5 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices
do triângulo ABC formado por essas retas? A(3; 1), B(3; 1), C(5; 5)
b) Qual é a área do triângulo ABC? 12 u.a.
276. (UFPB) A melhor arma contra o câncer é
identificar precocemente a doença. Em um
exame de rotina, foi encontrado em um
paciente um pequeno nódulo, cuja área é
equivalente à do triângulo cujos vértices
são os pontos de interseção das retas x 1,
x y 1 0 e x y 2 0. Qual a área
ocupada pelo nódulo? 1
60
O
x
30
P
Determine a distância entre P e Q.
2 3
280. (UFMG) Observe a figura:
y
B
4
r
A
277. (Uepa-PA) Com relação à figura abaixo, calcule:
y
y3x
θ
yx3
y2
A
x
B
x
C
A (1, 2)
a) as coordenadas de A e B B (5, 2)
b) área do triângulo ABC 4 u.a.
278. (UFRN) Considere, no plano cartesiano, a
reta de equação 3x 4y 12. Sejam P e Q,
respectivamente, os pontos de interseção
dessa reta com os eixos das abscissas e das
ordenadas.
Utilizando esses dados, determine:
a) as coordenadas de P e Q P(4, 0) e Q(0, 3)
b) um ponto R (a, b) sobre a reta de equação 2x 5y 4, com a 0, b 0, de
modo que o triângulo PQR tenha área
máxima R  57 , 1 
 26
Nessa figura, a reta r determina uma corda
AB, de comprimento 4 6 , na circunferência de equação x2 18x y2 16y 96 0.
Além disso, a reta r faz com o eixo x um
ângulo , tal que tg 3 e intercepta o
4
eixo y em um ponto de ordenada positiva.
Determine a equação da reta r. 3x 4y 30 0
281. (UFP-RS) Uma porta giratória de uma joalheria nos dá a idéia de dois planos, perpendiculares entre si, girando em torno da reta
de intersecção desses planos, a qual coincide com o eixo do cilindro de revolução.
13
Capítulo 3: Estudando a circunferência no plano cartesiano
279. (UFF-RJ) Considere os pontos P e Q pertencentes à circunferência de centro na
origem e raio 1, conforme representação a
seguir.
40
A figura a seguir é uma adaptação da área
do piso ocupada pela referida porta ao sistema ortogonal cartesiano. Determine a área
(hachurada na figura) destinada ao acesso
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
a essa joalheria, sendo (r) y x 2 a reta
suporte do segmento AE ; (s) y x 8 a
reta suporte do segmento BD ; e C o centro
da circunferência que contém os pontos A,
B, D e E. S 9π dm2
(02) A equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta s é
x y 3 0.
(04) A menor distância do ponto P à circunferência C é de 3 unidades de comprimento.
(08) A área do triângulo, cujos vértices são
o ponto P, o centro da circunferência
C e o ponto Q de coordenadas (1, 2),
é de 6 unidades de área.
2
y
(dm)
D
E
C
0
A
B
x (dm)
282. (UFSM-RS) As retas r e s tangenciam a circunferência da equação x2 y2 4x 3 0,
respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale:
a) 15
c) 45
e) 90
b) 30
x d) 60
283. (Unitau-SP) Determine a equação da reta
que passa pelo centro da circunferência
x2 y2 4x 2y 4 0 e é perpendicular à reta de equação y 1 x 3 .
3
3x y 5 0
284. (UFRN) Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação x2 y2 25
no ponto de abscissa 4 e ordenada positiva. 4x 3y 25 0
285. (UFES) Dada a circunferência de equação
(x 1)2 (y 2)2 100, determine as
equações das tangentes paralelas à corda
cujo ponto médio é M (4, 6). Ver resolução.
286. (UFPB) A reta 2 3 x 6y 2 3 0
tangencia a circunferência de centro no
ponto P0 (1, 0). Encontre o ponto de
tangência. P  1 , 3 
2
2 
287. (UFSC) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, o ponto P de coordenadas
(1, 2), a reta s de equação x y 1 0 e a
circunferência C de equação
x2 y2 4x 4y 4 0. 12
Determine a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
(01) Com relação à posição de C e s, podese afirmar que C e s são tangentes.
288. (FGV-SP)
a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x2 y2 4x 0 e
o ponto P(3, 3 ). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência. P pertence à circunferência.
b) Dada a circunferência de equação
x2 y2 9 e o ponto P(3, 5), obtenha
as equações das retas tangentes à circunferência, passando por P. Ver resolução.
289. (UFRN) Observando a região quadriculada
no plano cartesiano inserido na moldura:
a) esboce o quadrado contido nessa região,
no qual as extremidades de um dos lados são os pontos (4, 2) e (2, 0) e
determine as coordenadas dos outros
vértices desse quadrado
b) esboce os gráficos das retas y x e
yx2
c) esboce o círculo de centro no eixo x que
seja tangente a ambas as retas do subitem b Itens a, b e c: ver resolução.
d) determine o raio do círculo esboçado no
subitem c r 2
2
e) determine as coordenadas do centro do
círculo esboçado no subitem c C (1, 0)
y
5
4
3
2
1
0
x
1
2
3
4
5
5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
41
José Roberto Bonjorno
290. (UFRJ) Um avião taxia (preparando para
decolar) a partir de um ponto que a torre
de controle do aeroporto considera a origem dos eixos coordenados, com escala
em quilômetros. Ele segue em linha reta
até o ponto (3, 1), onde realiza uma
curva de 90 no sentido anti-horário, seguindo, a partir daí, em linha reta. Após
algum tempo, o piloto acusa defeito no
avião, relatando a necessidade de abortar
a decolagem. Se, após a mudança de direção, o avião anda 1(um) km até parar, para
que ponto do plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate? Ver resolução.
291. (UEL-PR) Uma circunferência de raio 2 tem
centro na origem do sistema cartesiano de
coordenadas ortogonais. Assim, é correto
afirmar:
a) Um dos pontos em que a circunferência
intercepta o eixo x é (0, 1).
x b) A reta de equação y 2 é tangente à
circunferência.
c) A equação da circunferência é
x2 y2 4 0.
d) A reta de equação y x 2 não intercepta a circunferência.
e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.
292. (UFP-RS) Uma pista de dança retangular,
de 12 16 m, possui, em seu centro, um
desenho em forma de duas circunferências
concêntricas. A área de cada uma delas é
de 12,56 m2 e 78,50 m2, respectivamente.
Essa pista foi representada na figura, sobre um plano cartesiano.
Determine as duas equações gerais das
circunferências que formam o desenho
( 3,14). Ver resolução.
Unidade F: Noções de estatística
Capítulo 1: Organizando dados em
tabelas
293. (UERJ)
Municípios do Rio de Janeiro
enriquecem com dinheiro
proveniente da
exploração de petróleo
Por um feliz acaso da geografia, eles estão situados em frente à Bacia de Campos, responsável por 80% da produção
nacional de petróleo. E recebem royalties
por isso.
CIDADE
QUANTO ENTROU EM ROYALTIES
(em reais)
1997
1999
CAMPOS
3,9 milhões
45 milhões
MACAÉ
8,2 milhões
32 milhões
QUISSAMÃ
2,3 milhões
13,4 milhões
y
(Adaptado de Veja, 12/07/2000)
16
Determine a porcentagem aproximada do
aumento de royalties recebidos pela cidade de Campos no período considerado na
tabela. 1 053%
0
42
12
x
294. (Unicamp-SP) A tabela abaixo fornece as
áreas, em hectares, ocupadas com transgênicos em alguns países do mundo, nos anos
de 1997 e 1998:
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
País
1997
1998
Estado Unidos
8,1 106
20,5 106
Argentina
1,4 106
4,3 106
Canadá
1,3 106
2,8 106
Outros países
2,0 105
3,4 105
Fonte: O Estado de S. Paulo, 18/07/1999
Considerando apenas o que consta nessa
tabela, pergunta-se:
11,0 • 106
a) Qual era a área total, em hectares, ocupada com transgênicos em 1997?
b) Qual foi o crescimento, em porcentagem, da área total ocupada com transgênicos de 1997 para 1998? 154%
295. (FGV-SP) O gráfico abaixo fornece o número de unidades vendidas de um produto em função do tempo (dados trimestrais).
600
Se os 46 bilhões de reais gastos com a previdência fossem totalmente repassados aos
demais setores, de modo que 50% fossem
destinados à saúde, 40% à educação e os
10% aos outros, determine o aumento que
o setor de saúde teria:
a) em reais 23 bilhões
b) em porcentagem, em relação à sua dotação inicial, aproximadamente 121%
Capítulo 2: Média e mediana
297. (UERJ) O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês,
em um ambulatório, durante o período de
6 meses de determinado ano.
y (nº de pacientes)
80
60
400
300
40
200
100
20
0
I/97 II/97 III/97 IV/97 I/98 II/98 III/98 IV/98
Trimestre
a) Qual o aumento porcentual de unidades vendidas no quarto trimestre de 98
(IV/98) em relação às do mesmo período do ano anterior (IV/97)? 33,33...%
b) Qual o aumento porcentual de unidades vendidas do ano de 98 em relação às
do ano de 97? 30%
296. (Vunesp-SP) O gráfico, publicado pela revista Veja de 28/7/99, mostra como são divididos os 188 bilhões de reais do orçamento
da União entre os setores de saúde, educação, previdência e outros.
19
108
15
saúde
educação
previdência
outros
jan.
x (meses)
mai. jun.
50 pacientes
298. (Vunesp-SP) O gráfico indica o resultado
de uma pesquisa sobre o número de acidentes ocorridos com 42 motoristas de táxi
em uma determinada cidade, no período
de um ano.
14
12
12
10
9
8
10
5
6
4
3
2
0
46
fev. mar. abr.
a) Determine o número total de pacientes
atendidos durante o semestre. 300 pacientes
b) Calcule a média mensal de pacientes
atendidos no período considerado.
número de motoristas
Vendas
500
0
1
4
2
3
número de acidentes
2
5
1
6
43
José Roberto Bonjorno
Com base nos dados apresentados no gráfico, e considerando que quaisquer dois motoristas não estão envolvidos num mesmo
acidente, pode-se afirmar que:
x a) cinco motoristas sofreram pelo menos
quatro acidentes
b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes
c) a média de acidentes por motorista foi
igual a três
d)
o
número total de acidentes ocorridos
x
foi igual a 72
x e) trinta motoristas sofreram no máximo
dois acidentes
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(02) A freqüência relativa da temperatura
de 31 C é igual a 10%.
(04) Representando-se a freqüência relativa por meio de um gráfico de setores,
a região correspondente à temperatura de 27 C tem ângulo de 36 .
(08) A média aritmética das temperaturas
indicadas no quadro corresponde a
29,5 C.
(16) A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal.
(32) A amplitude das temperaturas é de
32 C.
Na questão 299 a resposta é dada pela soma das
afirmativas corretas.
Aracaju
27 C
Fernando de Noronha
30 C
Fortaleza
31 C
João Pessoa
30 C
Maceió
27 C
Natal
30 C
Recife
30 C
Salvador
26 C
São Luís
32 C
Teresina
32 C
O gráfico abaixo representa a distribuição
de freqüência das temperaturas.
freqüência
4
3
2
1
26
44
27
28 29
30
31
temperatura em C
32
300. (UFSCar-SP) Num curso de iniciação à
informática, a distribuição das idades dos
alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico
seguinte.
meninas
meninos
4
números de alunos
299. (UFBA) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de junho de 2000,
o quadro abaixo apresenta a temperatura
máxima, em graus Celsius, registrada em
Fernando de Noronha e nas capitais da Região Nordeste do Brasil. 27
3
2
1
0
14
15
16
17
idades dos alunos em anos
18
Com base nos dados do gráfico, pode-se
afirmar que:
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de
meninos nesse mesmo intervalo de
idades
b) o número total de alunos é 19
c) a média de idade das meninas é 15 anos
x d) o número de meninos é igual ao número de meninas
e) o número de meninos com idade maior
que 15 anos é maior que o número de
meninas nesse mesmo intervalo de
idades
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Na questão 301 a resposta é dada pela soma das afirmativas corretas.
301. (UFMT) Observe a figura.
00
A partir das informações dadas e utilizando aproximação de duas casas decimais, julgue os
itens.
(00) No período de janeiro/1999 a agosto/2000, a variação do menor valor do barril de petróleo para o maior foi de 193,92%.
(01) A média aritmética dos valores do barril de petróleo dos meses relativos ao 2o trimeste de
1999 é US$ 15,41.
(02) Se a variação do valor do barril de petróleo de julho de 2000 a agosto de 2000 se mantivesse
constante para os meses seguintes, o valor do barril ultrapassaria US$ 40,00 em fevereiro de
2001.
302. (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times
era 1,72 m.
Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu
lugar, entrou um outro que media 1,68 m de altura.
No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso.
Ao terminar a partida, a altura média dos 10 jogadores desse time era:
a) 1,69 m
b) 1,70 m
d) 1,72 m
x c) 1,71 m
45
José Roberto Bonjorno
RESPOSTAS DAS QUESTÕES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
a) P x 120
4
b) x R$ 1 440
e
c
d
a) f(1) 0
b) f(4) 2; f(8) 3
44
d
c
a) (f o f)x x
b) f1(x) x 1
x1
x 1
2
a) P 3,20 0,80x
b) x 146
O número máximo é
146 km.
x 750 peças
a) N 60
b) D(251) 502
a) y R$ 160 000,00
b) y 4x 40 000
a 2; b 6
32. a) t 4
b) h(2) 8
65. a) 0,05
b) 19h 30min
33. b
66. a) t(1) A: 2 mil hab.;
B: 3 mil hab.;
t(7) A: 6 mil hab.;
B: 5 mil hab.
b) t 3; após 3 anos a
população de A é
sempre maior que a
de B.
67. 3 x 25
8
68. 66
34. d
35. Q(2, 3) e R(2, 5)
36. 8
37. 2,76 m
38. c
39. a
40. b
41. 61
42. a) f(0) 0
b) 512
c) m 5
d) 1
16
2
100. a 20
101. 22
102. e
103. 20 modos
104. c
105. c
71. a) 220 produtos
b) R$ 6 600,00
107. a
72. b
109. a) 15
73. b
110. b
44. 27
74. c
111. 2 450 comissões
45. c
75. b
112. d
46. 50
76. 25
113. d
47. e
77. b
114. c
48. e
78. a
115. 96
49. a) 0,44 m2
b) 22,4 kg
79. b
116. b
80. 15
50. a) Candidato A:
200 000 eleitores;
Candidato B:
400 000 eleitores
b) 6 meses
117. d
81. b
118. c
82. a 2 e b 6
119. b
83. b
120. e
84. 2
21
121. a
85. 11
122. a) 27 216
1
b)
216
43. entre 10 h e 11 h
c)
1
3
b) 40%; ⯝13,33%
51. a)
30
86. 18
87. d
88. b
52. e
89. e
53. 99
90. b
54. 01
55. a) T 2 S
3
b) banco ZIG
56. d
57. I 3,6 não corresponde aos efeitos descritos pela notícia.
60. 54
61. 71
62. x 2 e y 1 ou x 3
e y 2
3
63. 2
x
64. e
91. S {x R 4 x 4}
92. det A 128 2
93. 7
94. 7,1 g de leite desnatado; 0 g de farinha;
4,2 g de soro de leite
95. a) 5,00a 20,00c 16,00p 5,75
a c p 0,5
c 1 (a p)
3
b) 250 g de amendoim;
125 g de castanha
de caju; 125 g de
castanha-do-pará
C
1 ;
2
det A 6 3c
b) c 2
106. 1 800
59. b
46
1
99. a) A 0 1
3 2
70. 83 trimestres
58. d
31. a) Plano C
b) 51 minutos
69. 234 cabines
14243
30.
c
32,4 min
b
a) 7 semanas
b) 104 semanas
55
16
c
a) 164 700 000 habitantes
b) 59 602 pessoas
c 250; d 230
e
executivo:
4x R$ 160,00;
amigo: 2x R$ 80,00
a
19
11
d
108. d
b) 90
123. a) p(X) 4
7
b) p(Y) 2
7
c) p(Z) 1
7
124. c
125. a) (x y) (x y)i
b) x 1 e y 1
126. a
3
4
127. a e b 5
5
128. 03
129. z 1 i
130. 27
131. 37
132. 01
133. 55
96. a
134. c
97. R$ 84,00
135. 10
98. a) 4 h
b) 9 h
136. b
137. 14
QUESTÕES DE MATEMÁTICA
RESPOSTAS DAS QUESTÕES
138. a) z 0 ou z 2i ou
z 2i
b) k 2
3
r(x) 19x 1
2
2
139. a
140. e
166. a) MS 10 5 3 ;
SP 5 10 3
216.
198. a) f(x) 125 100 cos x ;
f(270 ) 5 5 cm
b) D R;
b) 10 5 2 3
167.
197. 81 m
7
[
169. b
170. b
199. AE 4 cm e
BE 6 cm
171. d
200. 29
143. a) 4
b) 3y 2x 6
c) p(x) 1 (x 1)
3
(x 3)(x 4)
172. b
201. 88
3
202. d
144. e
176. a
145. 1a equação: {1 2i};
2a equação: {3, 5}
177. e
141. b
142. P(x) x 10x 29x2 40x 100
4
3
146. 5; 2; 1
173. d
174. 3 k 9
9
R t 2
h 䡠 12, h N}
b) 4,5 horas
178. a) {t
147. a
148. a) sim
b) Se
x 2 x 2 0,
então p(x) 0, visto
que x2 4x 13 0,
?x R
149. 1; 1 5 ;
2
1 5
2
150. S 1, 3 5 ,
2
3 5
2
151. b
152. 86
153. R$ 3,15
154. Aldo: R$ 80,00;
Bruno: R$ 35,00;
César: R$ 64,00
155. 6
156. a) R$ 75,00
b) R$ 3 000,00
157. a) Supermercado X
b) Supermercado Y
158. a
159. a
160. 03
161. b
162. e
163. c
164. c
165. x 15
45
175.
]
Im 5 5 , 15
168. 6 km
3
180. b
u.a.
217. a) 8 b) 8 218. a
219. S 99,1298 cm2 ou
S 99 cm2
220. b
221. c
222. c
223. b
224. d
203. c
225. V 140 392 m3
204. c
226. 36 cm2
205. c
227. 53
206. r 14
228. 2 cm
207. b
229. a
208. 4 m e 5 m
179. a
3
5
4
209. e
230.
210. a) 24 000,00
231. d
181. 43
232. a) 20 interruptores
b) 70%
182. e
233. V 108 2 cm3
b)
183. b
R x 184. S {x
2k
ou
x 5 2k , k
6
185. c
6
235. g 13; a 22
236. d
Z}
187. M 1 1
;1
0 1
213. a)
(
239. a) 14
b) V 1
Z
214. a)
c)
(
)
21
1
15
e b)
5
32
3º
2
b) º 2 3
4
215. a)
)
21 m
b) 4 188. a
190. a) x cos 2 e
y sen 2
, 5 ,
b) V 8 8
9 , 13
8
8
191. a
238. V 1 000 6 cm3
212. b
3
189. 45 180 k, k
237. c
211. 10 km2
186. a) demonstração
b) S 0,
234. a) EI 5 m e HI 4 m
b) 104 m2; R$ 416,00
2
240. a) VL r2h e
Vc 1 r 2 h
9
b) 9
241. x 15
242. a) Vp 2 m3
3
b) A altura se reduz de
4 m para 1 m.
243.
V d
At
2
rad 6
5
x rad
6
193. b
244. h ⯝ 0,44 cm
194. a) x 2 ou x 2
b) y h2 , Z
247. a
195. 20%
249. d
196. a) 10,9 km/h
b) x ⯝ 295 km
c) R$ 15,66
250. a) y x2 (cm3)
b) 1 cm3; 4 cm3; 9 cm3
192.
x
R
245.
3h
4H
246. b
248. a
251. b
47
José Roberto Bonjorno
RESPOSTAS DAS QUESTÕES
252. a) R 5 䡠
3
3
4
b) R$ 7 512,00
253.
䡠 r2
254. 29
283. 3x y 5 0
284. 4x 3y 25 0
285. t1 3x 4y 39 0;
t2 3x 4y 61 0
286. P 1 ,
2
255. a) h 2 cm
3
2
287. 12
288. a) P pertence à circ
cunferência.
2 do volume do cilinb) t1 x 3 0 e
3
t2 8x 15y dro
51 0
a
289. Itens a, b e c: ver fib
gura.
a
a
d
b
d
a
a) a 4
b) r 2
d
2
d) r 4x 4y 15 0
2
e) C (1, 0)
a) p 3
b) (3, 0)
10 ,
90
290. P 3 10
e
55
1 3 10
10
a) P (4, 2)
291.
b
b) 90
292. x2 y2 12x 16y A 15 u.a.
96 0 e
2
x2 y2 12x 16y a) A(3; 1), B(3; 1),
75 0
C(5; 5)
b) R 4 cm
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
b) 12 u.a.
1
4
277. a) A (1, 2)
B (5, 2)
b) 4 u.a.
278. a) P(4, 0) e Q(0, 3)
b) R 57 , 1
26
13
276.
279.
2 3
280. 3x 4y 30 0
9 dm 2
281. S 2
282. d
48
293. 1 053%
294. a) 11,0 䡠 106
b) 154%
295. a) 33,33...%
b) 30%
296. a) 23 bilhões
b) 121%
297. a) 300 pacientes
b) 50 pacientes
298. a, d e e
299. 27
300. d
301. 00
302. c