Lógica Auto-epistémica
• Proposta por Moore (1985)
• Contempla reflecção sobre conhecimento
próprio (auto-epistémico)
• Permite falar não só do mundo exterior,
como também do conhecimento que tenho
dele.
Sintaxe de AEL
• Lógica de 1ª ordem, mais operador L
(aplicado a formúlas)
• L j significa “sei j”
• Exemplos:
lugar → L lugar (ou  L lugar →  lugar)
jovem(X)  L estuda (X) → estuda (X)
Significado de AEL
• O que é que sei?
– Aquilo que consigo derivar (em todos os
modelos)
• E o que é que não sei?
– Aquilo que não consigo derivar
• Mas aquilo que se deriva depende do que
sei
– Adiocinar conhecimento, e depois testar
Semântica AEL
• T* é expansão de teoria T sse
T* = Th(T{Lj : T* |= j}  {Lj : T* |≠ j})
• Assumindo a regra de inferência j/Lj :
T* = CnAEL(T  {Lj : T* |≠ j})
• Uma teoria AEL é sempre a dois valores em L,
ou seja, para toda a expansão:
 j | Lj  T*  Lj  T*
Conhecimento vs. Crenças
• Crenças é um conceito mais fraco
– Para toda a fórmula, ou sei ou não sei
– Podem haver fórmulas em que não acredito,
nem no seu contrário
• Lógica auto-epistémica de conhecimento e
crenças (AELB), introduz também operador
B j – acredito em j.
Exemplo AELB
• Alugo filme se acredito que nem vou ao baseball
nem ao futebol
Bbaseball  Bfutebol → alugar_filme
• Não compro bilhetes se não sei que vou ao
baseball nem sei que vou ao futebol
 L baseball   L futebol →  comprar_bilhetes
• Vou ao futebol ou ao baseball
baseball  futebol
• Não devo concluir que alugo filme, mas concluo
que não compro bilhetes
Axiomas sobre crenças
• Axioma da consistência
B
• Axioma de normalidade
B(F → G) → (B F → B G)
• Regra de necessitação
F
BF
Modelos minimais
• Em que é que eu acredito?
– Naquilo que faz parte de todos os modelos preferidos
• Quais os modelos preferidos?
– Os que para um mesmo conjunto de crenças, tem um
número mínimo de coisas verdadeiras
• Um modelo M é minimal sse não existe modelo
menor N, coincidente com M em átomos Bj e Lj
• Se j é verdadeiro em todos os modelos minimais
de T, escrevo T |=min j
Expansões AELB
• T* é expansão estática de T sse
T* = CnAELB(T  {Lj : T* |≠ j}
 {Bj : T* |=min j})
onde CnAELB denota o fecho usando os
axiomas de AELB mais a necessitação para
L
Caso particular de AEB
• Pelas suas propriedades, o caso de teorias
sem operador de conhecimento é
especialmente interessante.
• Nesse caso, a definição de expansão fica:
T* = YT(T*)
onde YT(T*) = CnAEB(T  {Bj : T* |=min j})
e CnAEB denota o fecho usando os axiomas
de AEB
Menor expansão
• Teorema: O operador Y é monotónico, i.e.
T  T1  T2 → YT(T1)  YT(T2)
• Logo existe sempre uma expansão mínima
de T, que se pode obter por indução
transfinita:
– T0 = CnAEB(T)
– Ti+1 = YT(Ti)
– Tb = Ua < b Ta (para ordinais limite b)
Consequências
• Toda a teoria AEB tem pelo menos uma
expansão
• Se a teoria é afirmativa (i.e. todas as
cláusulas têm pelo menos um literal
positivo) então tem pelo menos uma
expansão consistente.
• Há procedimento para calcular a semântica