MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal de Alfenas, Alfenas - MG
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RAFAEL TOMAZ DA SILVA
INDUÇÃO UNIPOLAR: ANÁLISE CONCEITUAL E
FENOMENOLÓGICA
Alfenas/MG
2013
RAFAEL TOMAZ DA SILVA
INDUÇÃO UNIPOLAR: ANÁLISE CONCEITUAL E
FENOMENOLÓGICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como parte dos requisitos
para a conclusão do curso de Física Licenciatura da Universidade Federal
de Alfenas.
Orientador: Prof. Dr. Hugo Bonette
de Carvalho.
Alfenas/MG
2013
RAFAEL TOMAZ DA SILVA
INDUÇÃO UNIPOLAR: ANÁLISE CONCEITUAL E
FENOMENOLÓGICA
A Banca examinadora abaixo assinada aprova o Trabalho de Conclusão
de Curso apresentado como parte dos
requisitos para a conclusão do curso
de Física - Licenciatura da Universidade Federal de Alfenas.
Orientador: Prof. Dr. Hugo Bonette
de Carvalho.
Aprovada em:
Profa. Dra. Juliana Maria Abreu da Silva
Morbec
Universidade Federal de Alfenas
Prof. Dr. Pérson Pereira Neves
Universidade Federal de Alfenas
Dedico este trabalho a Deus e aos meus pais,
sempre presentes na minha vida.
Agradecimentos
Agradeço em especial ao Prof. Dr. Hugo Bonette de Carvalho pela pressão, pela percussão e pela força centrípeta. Pressão no sentido de fazer algo bem feito, percussão com as
perguntas que me motivou e a força centrípeta no sentido de me fazer olhar sempre para o
problema central do trabalho, quando ameaçava a dispersar. Agradeço, também, pelo tempo cedido sempre que precisei e pela segurança que me passou durante todo o processo de pesquisa
e aprendizado, sem a qual esse trabalho não teria sido tão prazeroso e construtivo.
A minha família, sempre presente, que me incentivou e apoiou em todos os momentos
dessa caminhada.
Aos meus amigos de graduação que compartilharam comigo bons momentos de alegria
e entreterimento. Além disso, estiveram e me apoiaram nos momentos difíceis da vida.
Ao corpo docente do Curso de Licenciatura em Física da UNIFAL-MG que implementaram os conceitos básicos de física necessário para compreender partes dos assuntos envolvidos
neste projeto.
Gostaria de agradecer também à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas
Gerais pelo apoio finaceiro.
A todos vocês, manifesto meu profundo apreço.
Navegar é Preciso
Navegadores antigos tinham uma frase gloriosa:
“Navegar é preciso; viver não é preciso”.
Quero para mim o espírito [d]esta frase,
transformada a forma para a casar como eu sou:
Viver não é necessário; o que é necessário é criar.
Não conto gozar a minha vida; nem em gozá-la penso.
Só quero torná-la grande,
ainda que para isso tenha de ser o meu corpo
e a (minha alma) a lenha desse fogo.
Só quero torná-la de toda a humanidade;
ainda que para isso tenha de a perder como minha.
Cada vez mais assim penso.
Cada vez mais ponho da essência anímica do meu sangue
o propósito impessoal de engrandecer a pátria e contribuir
para a evolução da humanidade.
É a forma que em mim tomou o misticismo da nossa Raça.
Fernando Pessoa.
Resumo
Neste projeto propomos um estudo conceitual e fenomenológico da indução eletromagnética
pela translação e rotação. O estudo será realizado através de diferentes modelos físicos: a indução pela variação de fluxo magnético através de um circuito fechado proposta por Faraday
e adotada por Maxwell; pela força de Lorentz atuando sobre uma carga livre e utilizando a
transformação de campos proposta por Einstein em sua teoria da relatividade restrita e, por fim,
através da eletrodinâmica de Weber. Para o estudo da indução eletromagnética na translação tomamos uma espira retangular condutora, localizada nas proximidades de um fio condutor reto e
infinito portando uma corrente constante I. A indução ocorre sobre a espira metálica quando há
um movimento relativo de translação entre o fio reto condutor e a espira. A configuração pra o
estudo da indução na rotação utilizará duas cascas esféricas concêntricas dielétricas, carregadas
com cargas opostas girando com velocidades angulares constantes em relação ao laboratório. A
rotação gera um campo magnético constante no interior das cascas esféricas. Um disco metálico será colocado no equador das cascas, perpendicular ao campo magnético. Quando o disco
gira uma diferença de potencial é induzida entre o centro e a periferia do disco. Estas duas
configurações nos permitirá explorar as diferenças conceituais entre os três modelos teóricos e
suas consequentes implicações para a interpretação da realidade física.
Palavras-chave: Indução eletromagnética, transformação de campo, força de Weber.
Abstract
In this project we propose a conceptual and phenomenological study of electromagnetic induction due to translational and rotational relative motion. The study will be performed through
different physical models: by the Maxwell and Faraday’s law related to the rate of change in the
magnetic flux trough a closed circuit; by the Lorentz’s force acting over a free charge and the
transformation of fields proposed by Einstein in his special theory of relativity; and, finally, by
Weber’s electrodynamics. For the study of electromagnetic induction by translational motion
we will use a conductor rectangular wire loop located near an infinite straight wire carrying a
steady current I. The induction takes place over the wire loop when there is a relative translational motion between both parts. The study configuration for the case of electromagnetic
induction by rotational motion will use two dielectric concentric spherical charged shells spinning with constant angular velocities. The rotation leads to a constant magnetic field inside the
shells. A metallic disk will be placed perpendicular to the magnetic field. When there is a relative rotational motional between both parts an electric potential difference is induced between
the center and the periphery of the disc. With these two configurations we will explore the
conceptual differences between the three theoretical models and their consequent implications
to the interpretation of the physical reality.
Key words: Electromagnetic induction, field transformation, Weber’s force.
Lista de Figuras
Figura 3.1 Configuração dos circuitos utilizados na análise da indução por translação.
Figura 3.2 Arranjo para a modelagem da indução unipolar.
. 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 4.1 Configuração da análise da indução por translação no referencial O.
. . . . . . . 20
Figura 4.2 Configuração da análise da indução por translação no referencial O’.
. . . . . . . 21
Figura 4.3 Carga se movendo em direção a corrente I.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1
A INDUÇÃO POR TRANSLAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.1
A lei do fluxo proposta por Faraday e adotada por Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.2
A força de Lorentz e a transformação relativística dos campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.3
A indução pela eletrodinâmica de Weber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2
A INDUÇÃO POR ROTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1
Indução Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2
Indução Unipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3
Indução Weberiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Referências Bibliográficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9
10
1
Introdução
Um dos assuntos importantes do eletromagnetismo clássico é a indução eletromagnética. Este
fenômeno teve e tem implicações prático-tecnológicas extremamente importantes através do
desenvolvimento de geradores elétricos e sistemas de radiofrequência. A indução eletromagnética pode ser associada a movimentos de translação e rotação dos circuitos elétricos e imãs que
compõem o sistema. Neste trabalho pretendemos analisar diferentes modelos teóricos para a
explicação deste fenômeno, nos concentrando inicialmente na indução por translação e, em um
segundo momento, na indução por rotação.
A indução de corrente elétrica foi descoberta por M. Faraday (1791-1867) em 1831.
Ele descobriu que podia induzir uma corrente elétrica em um circuito secundário variando a
corrente em um circuito primário. Enquanto a corrente no primário permanecesse constante
nada era induzido no circuito secundário se não houvesse movimento entre eles. Ele também
verificou que ocorria indução mantendo-se a corrente no primário constante e movendo um
circuito em relação ao outro. Mais ainda, também podia obter a corrente induzida no secundário
aproximando ou afastando um imã permanente, ou mantendo o imã em repouso em relação
à terra e aproximando ou afastando o circuito secundário, este efeito é o que denominamos
de indução por translação. Desde a descoberta de tal fenômeno surgiram muitas teorias para
explicá-lo.
A indução por rotação, é usualmente conhecida por Indução Unipolar, sendo essa também descoberta por Faraday em 1832. Nesta experiência temos um imã permanente em forma
de um cilindro. Este imã pode girar em relação ao laboratório ao redor de seu eixo de simetria. Em cima do imã encontra-se um disco metálico que também pode girar em relação ao
laboratório ao redor do mesmo eixo de simetria do imã. Faraday colocava um galvanômetro
com contatos deslizantes entre o centro e a borda do disco, tal que pudesse medir uma corrente.
Obteve que quando todos eles estão em repouso nenhuma corrente é medida no galvanômetro.
11
Quando girava apenas o disco encontrava uma corrente. Quando girava o imã junto com o disco
(com as mesmas velocidades angulares) encontrava a mesma corrente. Já quando girava apenas
o imã não encontrava corrente. Essa é uma discussão em aberto a mais de 150 anos sem que
se chegue a uma conclusão definitiva. Faraday analisava suas experiências em termos de linhas
de força, porém entre 1832-1851 mudou de opinião se elas giravam ou não com o imã . Outras
explicações falam do campo magnético sem especificar as linhas de campo. Aqui a questão é
saber se quando giramos o imã simétrico ao redor de seu eixo de simetria, se ele gera ou não
um campo elétrico no espaço, e o valor deste campo elétrico. Como o problema envolve rotações e não apenas translações a velocidades constantes, a situação é relativamente complicada.
Uma questão similar é sobre a explicação deste fenômeno pela lei dos fluxos (a diferença de
potencial ou força eletromotriz induzida é igual à taxa em que muda o fluxo magnético através
do circuito condutor). Feynman, por exemplo, afirma que a experiência de Indução Unipolar
é uma exceção à lei dos fluxos, ou seja, é um exemplo onde ela não pode ser aplicada [1]. Já
outros autores discordam de Feynman neste ponto [2, 3].
12
2
Revisão Bibliográfica
Desde a descoberta da indução eletromagnetica surgiram muitas teorias para explicá-lo. Apresentaremos algumas delas: (1) A teoria de Faraday adotada também por Maxwell (1831-1879),
sobre a variação do fluxo das linhas de campo magnético no circuito secundário. (2) A relacionada com a formulação de H. A. Lorentz (1853-1928) para a força eletromagnética. Aqui surge
uma questão: em relação a qual referencial devemos associar a velocidade que nela aparece?
Dentro desta perspectiva e das consequências filosóficas relacionadas a ela, temos a formulação de A. Einstein que levou à teoria da relatividade restrita. Por fim, (3) a proposta dada pela
eletrodinâmica de W. Weber (1804-1891) que depende somente das distâncias relativas, das
velocidades relativas e das acelerações relativas entre as cargas interagentes.
A explicação de Faraday para a indução de corrente elétrica quando uma fonte de campo
magnético (imã permanente) se aproxima de um circuito, ou vice-versa, é baseada na existência
real de linhas de campo que cortam o circuito elétrico (variação do de fluxo magnético através
do circuito) [4]. Para Faraday, tais linhas de campo acompanham qualquer movimento translacional do imã. Ou seja, se o imã translada em relação ao laboratório com uma velocidade
constante de 5 m/s, as linhas do campo magnético vão se mover em relação ao laboratório com
5 m/s. Maxwell tinha o mesmo ponto de vista de Faraday. No §531 de seu famoso livro “Um
Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo”, resumiu as experiências de Faraday na seguinte
formulação [5]:
O conjunto destes fenômenos pode ser resumido em uma única lei. Quando
o número das linhas de indução magnética que atravessam um circuito secundário na direção positiva é alterado, uma força eletromotriz age ao redor do
circuito, a qual é medida pela razão de diminuição da indução magnética através do circuito (MAXWELL, 1954, p. 166).
Maxwell também afirmou que as linhas de força magnética acompanham o movimento
translacional de sua fonte em relação à Terra. No §541 do Tratado afirmou:
A concepção que Faraday tinha da continuidade das linhas de força exclui a
possibilidade delas começarem a existir repentinamente num lugar onde não
13
havia nenhuma antes. Se, portanto, o número de linhas que atravessam um
condutor é alterado, só pode ser devido ao movimento do circuito através das
linhas de força, ou, senão, de outro modo pelas linhas de força movendose através do circuito. Em qualquer caso uma corrente é gerada no circuito
(MAXWELL, 1954, p. 174).
Em 1895 o físico teórico H. A. Lorentz apresentou a seguinte expressão para a força
(~FL ) eletromagnética atuando sobre uma carga q:
~FL = q(~E) + q(~v × ~B) .
(2.1)
Nesta equação, ~E é o campo elétrico atuando sobre a carga e ~B é o campo magnético
atuando sobre ela quando se desloca com velocidade ~v. Hoje em dia esta expressão é conhecida
como força de Lorentz. Provavelmente Lorentz obteve a parte magnética a partir da força de
Grassmann entre elementos de corrente. Segundo Whittaker, os primeiros a chegarem à esta
força magnética foram J. J. Thomson (1856-1940) e O. Heaviside (1850-1925) em 1881 e 1889,
respectivamente [6]. Como dito anteriormente, nesta expressão surgem ambiguidades quanto a
que referencial devemos considerar a velocidade ~v. Ou seja, devemos considerar ~v como sendo
a velocidade da carga q em relação a qual corpo, grandeza ou referencial? No primeiro artigo
publicado por Thomson sobre este tema afirmou o seguinte [7]:
Deve ser observado que aquilo que por conveniência chamamos de velocidade
real da partícula é, de fato, a velocidade da partícula relativa ao meio através do
qual ela está se movendo, meio cuja permeabilidade magnética é µ (THOMSON, 1881, p. 248).
Para Thomson a velocidade não é relativa ao éter nem relativa ao observador. Quanto a
Heaviside, podemos assumir que seu ponto de vista é o mesmo de Thomson. Isto pode ser visto
pelo título de seu trabalho de 1889, “Sobre os efeitos eletromagnéticos devido ao movimento da
eletrificação [cargas elétricas] através de um dielétrico”. Lorentz também não fez nenhuma
alusão à questão quando apresentou a força magnética. Como Lorentz ainda aceitava o éter
de Maxwell, é natural que para ele esta velocidade fosse em relação ao éter e não em relação
a qualquer outro referencial. Uma prova conclusiva desta afirmação se encontra no posterior
trabalho de Lorentz publicado em 1931: Lectures on the Theoretical Physics [8].
14
Já em 1905, Albert Einstein publicou seu trabalho teórico da relatividade restrita [9]
tendo como motivação assimetrias encontradas a partir de diferentes referenciais adotados para
a velocidade da força magnética. Citando o próprio Einstein neste mesmo trabalho:
Como é sabido a Eletrodinâmica de Maxwell - tal como atualmente se concebe
- conduz, na sua aplicação a corpos em movimento, a assimetrias que não
parecem ser inerentes ao fenômeno (EINSTEIN, 1978, p. 47).
Tal assimetria citada por Einstein na verdade não existe na eletrodinâmica de Maxwell,
como vimos anteriormente. Ela só aparece como uma interpretação específica do significado
da velocidade que aparece na força de Lorentz. Para Einstein, fenômenos físicos deveriam ser
invariantes mediante a mudança de um referencial inercial para outro, o que não se constatava
a partir das transformações galileanas para as coordenadas espaciais e para o tempo aplicadas
na força de Lorentz. Einstein, em face às frustradas tentativas de se identificar o movimento da
Terra relativo ao éter, após obter as transformações de Lorentz para as coordenadas espaciais
e para o tempo, as aplicou para a componente magnética de força de Lorentz. Passa então a
interpretar ~v como sendo a velocidade em relação a um referencial inercial ou a um observador.
A diferença entre a antiga visão do eletromagnetismo e a visão baseada na teoria da relatividade
é que em um referencial onde uma carga se move com ~v na presença de um campo magnético,
atua sobre essa carga uma força magnética (~FL = q~v × ~B), já em um outro referencial inercial
que se desloca com a mesma velocidade da carga, isto é, em um referencial onde a velocidade da
0
~ 0 ). Einstein
carga é zero (~v0 = 0), a força que atua nesta carga será de natureza elétrica (~FL = qE
está introduzindo forças que dependem do sistema de referência, isto é, forças que dependem
do estado de movimento entre o observador e o corpo teste.
A eletrodinâmica de Weber é contemporânea aos trabalhos de Maxwell. Weber e Maxwell
mostraram que é possível derivar o conjunto das equações fundamentais do eletromagnetismo
(lei de Gauss, lei circuital magnética, lei da ausência de monopólos magnéticos e lei de indução de Faraday) a partir da força de Weber, sendo, portanto, completamente compatível com
o eletromagnetismo de Maxwell. Fundamentalmente a eletrodinâmica de Weber se distingue
da eletrodinâmica de Maxwell em dois pontos: primeiro com relação à força que atua sobre as
cargas e, em segundo lugar, com relação ao conceito de campo. A força de Weber entre cargas
15
elétricas leva em consideração não só as distâncias relativas entre as cargas como na força de
Coulomb, mas também as velocidades relativas e as acelerações relativas entre elas. Para Weber
não existem campos e todos os fenômenos eletromagnéticos são sempre deduzidos a partir das
forças de interação entre cargas diferentes do sistema [10].
16
3
Metodologia
Para implementarmos o estudo da indução elétrica por translação tomamos uma espira retangular condutora de dimensões a e b, localizada nas proximidades e no mesmo plano de um fio
condutor reto e infinito portando uma corrente constante I, Figura 3.1.
Figura 3.1: Configuração dos circuitos utilizados na análise da indução por translação.
Colocamos os dois circuitos em um plano xy, tendo ambos a liberdade para se movimentarem apenas na direção y. A principio admitamos um referencial (O) onde o fio condutor
esteja parado e a espira esteja em movimento de aproximação do fio com velocidade −v jˆ. Num
segundo momento admitimos um novo referencial (O’) onde a espira esteja parada e o fio se
aproximando com velocidade +v jˆ da espira. Nesta configuração a indução eletromagnética é
comumente denominada de indução por translação. Nas duas situações descritas anteriormente,
calculamos a força eletromotriz induzida (fem) na espira retangular vista no sentido anti-horário,
através dos três modelos propostos para o estudo.
No estudo da indução por rotação, para modelar teoricamente os casos em que o imã gira
utilizamos duas cascas esféricas dielétricas de raio R + dR e R concêntricas e carregadas com
cargas Q+ = Q e Q− = −Q respectivamente. Colocamos cada qual girando com velocidades
angulares ~Ω+ = Ω+ ẑ e ~Ω− = Ω− ẑ em relação ao laboratório. No interior das casacas teremos
17
um campo magnético uniforme na direção do eixo z de acordo com a física clássica dado por
[11]:
~B = µ0 Q(Ω+ − Ω− ) ẑ
6πR
(3.1)
Podemos relacionar ~Ω+ com a velocidade angular de rotação do imã e ~Ω+ − ~Ω− com a
velocidade angular de deriva dos elétrons responsáveis pela corrente que gera o campo magnético.
Colocaremos um disco metálico de raio r no equador das cascas, perpendicular ao campo
~ = ω ẑ. A figura 3.2 ilustra o arranjo. Utilizaremagnético e girando com velocidade angular ω
mos a força de Lorentz e a força de Weber para calcular a diferença de potencial induzida entre
a borda e o centro do disco. As forças em questão forçam as cargas livres no disco, elétrons, a
se concentrarem na periferia ou na borda do disco. Tal distribuição de cargas gera um campo
elétrico. No equilíbrio as forças de indução e elétrica se cancelam mutuamente. A força que
age em uma carga q na presença de um campo elétrico é ~F = q~E = −∇φ , onde φ é o potencial elétrico onde a carga é colocada. Perfazendo a integral de linha sobre ~E entre dois pontos
obtemos a diferença de potencial induzida:
∆φ = φb − φa =
Z b
~E · d~s .
a
Figura 3.2: Arranjo para a modelagem da indução unipolar.
(3.2)
18
4
Resultados e Discussão
4.1
A INDUÇÃO POR TRANSLAÇÃO
4.1.1
A lei do fluxo proposta por Faraday e adotada por Maxwell
Faraday sintetizou os resultados de suas experiências em uma lei, a chamada lei de Faraday
da indução. Esta lei diz que o valor da fem induzida em uma espira é igual a menos a taxa de
variação temporal do fluxo magnético (ΦB ) através da área delimitada pela espira. Assim
dΦB
f emF = −
=−
dt
I
∂ ~B
· d~s .
∂t
(4.1)
O vetor campo magnético ~B criado pelo fio portando corrente constante a uma distância
y = y1 − y2 sobre a espira é dado por
~B = µ0 I k̂ .
2π|y|
(4.2)
Aqui µ 0 = 4π ×10−7 Wb/Am é a permeabilidade do espaço livre e k̂ é o vetor de módulo
unitário apontando na direção positiva do eixo z. O fator 1/y indica que o campo normal ao plano
da espira varia ao longo da direção do eixo y. Definindo o elemento de área infinitesimal d~a
paralelo ao campo magnético ~B (Fig. 3.1), o fluxo magnético será
Z
ΦB =
~B · d~a = µ0 I ln 2|y| + a .
2π|y|
2|y| − a
(4.3)
Portanto, de acordo com a equação (4.1), a fem induzida na espira é
f emF = −
dΦB 2µ0 Iba(v1 − v2 )
=
,
dt
π(4|y|2 − a2 )
(4.4)
onde v1 = dy1 /dt e v2 = dy2 /dt são as velocidades da espira e do fio, respectivamente,
em relação a um referencial inercial.
19
No referencial O (Fig. 4.1) temos o fio parado, ~v2 = 0, e a espira se movendo com
velocidade ~v1 = −v jˆ. Neste referencial obtemos a fem da seguinte forma:
f emF = −
2µ0 Ibav
.
π(4|y|2 − a2 )
(4.5)
Já para o referencial O’ (Fig. 4.2) a espira se encontra parada,~v1 = 0, e o fio se aproxima
da espira com velocidade ~v2 = v jˆ. Temos então:
f emF = −
2µ0 Ibav
.
π(4|y|2 − a2 )
(4.6)
Observamos que os dois referenciais prevêem a mesma f emF . Isto nos leva a concluir
que a teoria de variação de fluxos de Faraday/Maxwell não depende do referencial de observação. Estes resultados estão em acordo com o que intuitivamente esperaríamos, pois a f emF não
pode depender do ponto de vista do observador e assim, ao contrário da afirmação de Einstein,
concluímos que não existem assimetrias no eletromagnetismo de Maxwell.
4.1.2
A força de Lorentz e a transformação relativística dos campos
Para o cálculo da fem utilizando a força de Lorentz devemos partir da definição fundamental de
fem, que é o trabalho por unidade de carga feito sobre uma partícula carregada. Assim,
I
f emL =
dW
=
q
I ~
FL
q
· d~s .
(4.7)
Aqui dW é o elemento de trabalho realizado pela força de Lorentz (FL ). Isto implica
que, para haver uma força atuando sobre a partícula carregada em movimento, deve haver no
espaço onde ela se encontra um campo elétrico ou um campo magnético.
Inicialmente consideramos um referencial inercial que se encontra sobre o fio portando
corrente, referencial O. Aqui o fio está parado, ~v2 = 0, e a espira se move com velocidade
~v1 = −v jˆ, (Fig. 4.1).
20
Figura 4.1: Configuração da análise da indução por translação no referencial O.
Nesta configuração, as cargas livres da espira percebem apenas um campo magnético
gerado pela corrente no fio condutor dado pela equação (4.2). Assim a força de Lorentz se
reduz a ~FL = q(~v × ~B). A f emL induzida na espira será dada, nestas condições, por
f emL =
I ~
FL
q
· d~s =
I vµ0 I
−
î · d~s .
2π|y|
(4.8)
Sendo d~s = dxî + dy jˆ reescrevemos a integral anterior como
Z (2) f emL =
(1)
Z (3) vµ0 I
vµ0 I
−
î · dxî +
î · dxî .
−
2π|y|
2π|y|
(4)
(4.9)
De onde obtemos
f emL = −
2µ0 Ibav
.
π(4|y|2 − a2 )
(4.10)
Valor igual ao obtido pela lei de indução de Faraday/Maxwell.
Vamos agora para o referencial O’. Aqui a espira se encontra parada, ~v1 = 0, e o fio se
move com velocidade ~v2 = −v jˆ. No referencial O’ que acompanha a carga na espira (Fig. 4.2),
a carga terá uma velocidade nula. O campo eletrostático continua sendo nulo. Portanto, deste
ponto de vista, a força de Lorentz é nula. Consequentemente, a fem induzida na espira também
será nula. Existe aqui um problema. No referencial O temos uma fem induzida na espira dada
pela equação (4.10). Já no referencial O’ não há nenhuma fem. A fem não pode depender do
sistema de referências adotado para observação.
21
Figura 4.2: Configuração da análise da indução por translação no referencial O’.
Para resolver esse problema, Einstein propôs que os campos têm que ser relativos. Ele
se apropria das transformações de Lorentz e as usa para os campos ~E e ~B. Estas transformações
são dadas por [1]:
~E 0 = ~Ek ,
k
0
~E⊥ = γ(~E +~v × ~B) ,
Aqui γ = 1/
~B0 = ~Bk ,
k
~
~B⊥ = γ ~B − ~v × E
c2
0
(4.11)
!
.
(4.12)
p
1 − v2 /c2 é o denominado fator de Lorentz, com c = 3 × 108 m/s sendo o valor
da velocidade da luz no vácuo.
Como não há campo elétrico no referencial (O) e o campo magnético é perpendicular
à velocidade, então as componentes paralelas da equação (4.11) são nulas. Somente as componentes perpendiculares são diferentes de zero. Como as velocidades envolvidas no problema
são muito menores que c, tomamos γ ∼
= 1. Utilizando o campo magnético dado pela equação
(4.2) obtemos
0
vµ0 I
~E⊥
=~v × ~B = −
î ,
2π|y|
(4.13)
~B0⊥ = ~B⊥ = − µ0 I k̂ .
2π|y|
(4.14)
Visto que a velocidade das cargas livres é zero neste referencial (O’), a força de Lorentz
22
somente terá uma componente elétrica. Assim
~ 0 = − qvµ0 I î .
~FL0 = qE
2π|y|
(4.15)
Usando a definição de fem dada pela equação (4.8), porém agora no referencial O’,
temos
f emL =
I ~0
F
L
q
· d~s =
I vµ0 I
−
î · d~s .
2π|y|
(4.16)
De onde finalmente obtemos
f emL = −
2µ0 Ibav
.
π(4|y|2 − a2 )
(4.17)
Mesmo resultado obtido para o referencial O (eq. 4.10), ou seja, outra vez obtém-se que
a fem é independente do referencial de observação. A femL possui ainda o mesmo valor obtido
pela variação de fluxo de Faraday/Maxwell. É importante observar que aqui foi necessário
adotar a ideia de campos dependentes dos referenciais.
4.1.3
A indução pela eletrodinâmica de Weber
Aqui não precisamos dos conceitos de campo elétrico e magnético, o fundamental é a força de
interação entre as cargas. A força de Weber ~F21 exercida pela carga q2 sobre a carga q1 é dada
por [10]:
2
~F21 = q1 q2 r̂12 1 − ṙ12 + r12 r̈12 .
2
4πε0 r12
2c2
c2
(4.18)
Aqui r12 = |~r12 | = |~r1 −~r2 | é a distância entre as cargas q1 e q2 , ṙ12 = dr12 /dt é a
velocidade relativa entre elas, r̈12 = d 2 r12 /dt 2 é a aceleração relativa entre elas, r̂12 = (~r1 −
~r2 )/r12 é o vetor unitário apontando de q2 para q1 , c é a velocidade da luz e ε0 = 8, 85 ×
10−12 C2 N−1 m−2 é a permissividade do espaço livre.
23
A única quantidade importante é a velocidade relativa entre o que chamamos tradicionalmente de fonte do campo magnético (ou circuito primário) e o circuito elétrico onde está
sendo induzida a fem. Assim, a indução é sempre interpretada da mesma maneira, sem nenhuma
distinção entre cada caso estudado.
Figura 4.3: Carga se movendo em direção a corrente I.
A força de um fio condutor eletricamente neutro carregando uma corrente constante (I)
que se move em um sistema de eixos cartesianos com velocidade constante ~v2 , sobre uma carga
q1 também se movendo em relação ao mesmo sistema com velocidade constante ~v1 (Fig. 4.3),
é dada por [10]
~FW = q1 ~EM + q1 (~v12 × ~B2 ) ,
(4.19)
µ0 I
µ0 I|VD |
~v12 =~v1 −~v2 , ~B2 =
φ̂1 e ~EM = −
ρ̂1 .
2πρ1
4πρ1
(4.20)
na qual:
Nas equações acima, escritas em coordenadas cilíndricas, temos que ~r1 = ρ1 ρ̂1 , φ1 é o
ângulo azimutal e ρ1 é a distância de q1 ao fio. A velocidade VD é definida como velocidade
de migração ou drifting dos elétrons. O termo associado com a grandeza ~B2 corresponde à
componente magnética obtida classicamente através da força de Lorentz (eq. 2.1). Observamos
então que a diferença básica entre Weber e Lorentz se resume a uma força adicional radial sobre q1 dada por q1 ~EM . Esta força não carrega dependência com a velocidade de q1 , de forma
que podemos interpretar ~EM como um campo elétrico. ~EM difere conceitualmente do campo
24
eletrostático, uma vez que admitimos inicialmente ser o fio eletricamente neutro. Este campo
tem sua origem nas diferenças de velocidades entre os portadores de carga elétrica no fio (elétrons negativamente carregados em movimento e íons positivos em repouso) e, portanto, não
tem análogo no eletromagnetismo clássico.
Calculamos a fem nos dois sistemas de referência descritos anteriormente, O (Fig. 4.1) e
O’ (Fig. 4.2). Observamos que a troca de um referencial por outro em nossas análises não
altera os campos ~EM e ~B2 da equação 4.20. Atenção especial deve ser dada a velocidade
~v12 . No referencial O a espira encontra-se parada (~v1 = 0) e o fio condutor em movimento
de aproximação da espira com velocidade ~v2 = v jˆ. Temos aqui que a velocidade relativa será
~v12 =~v1 −~v2 = −v jˆ. Já para o referencial O’ temos o fio parado (~v1 = 0) e a espira se movendo
com velocidade ~v1 = −v jˆ. Isto nos leva à mesma velocidade relativa obtida para o referencial
O, ~v12 = ~v1 −~v2 = −v jˆ. Dessa forma podemos concluir que a fem calculada para a força de
Weber será a mesma em ambos os referenciais. Outra vez a fem é independente do referencial
de observação. Assim a fem definida em (4.7) para a força de Weber integrada sobre todo o
circuito é dada por
I f emW =
µ0 IVD
µ0 Iv
−
k̂ −
î · [dxî + dy jˆ] .
4π|y|
2π|y|
(4.21)
De onde obtemos
f emW = −
2µ0 Ibav
.
π(4|y|2 − a2 )
(4.22)
O cálculo de femW tem como resultado um valor idêntico ao obtido através dos dois
modelos anteriores. A força eletromotriz femW é calculada a partir da força de Weber entre as
cargas elétricas em movimento tanto no fio quanto na espira e depende apenas das grandezas
físicas relativas: posição, velocidade e aceleração entre as cargas. Isto significa que a femW tem
o mesmo valor para todos os observadores, mesmo quando os observadores não forem inerciais.
Em resumo, na indução por translação os resultados obtidos pelos três modelos teóricos
estudados são idênticos, de modo que não podemos determinar a velocidade, do ponto de vista
conceitual, de cada um dos modelos propostos.
25
4.2
A INDUÇÃO POR ROTAÇÃO
Nesta parte de nosso trabalho apresentaremos o cálculo das diferenças de potencial induzidas no
disco metálico devido ao movimento de rotação. Inicialmente consideramos os efeitos inerciais,
depois faremos as contas respectivas utilizando apenas a força de Lorentz e a força de Weber.
Considerando que não há variações de fluxo magnético a partir dos quais poderíamos aplicar
a lei de indução de Faraday, como sugere Feynman [1], e nem deslocamentos relativos que
permitem aplicar as regras de transformações de campos defenidas na relatividade restrita de
Einstein. Em todos os casos supomos que a força elétrica devido à indução equilibra a força
mecânica que coloca as cargas em movimento de rotação.
4.2.1
Indução Inercial
Independente de termos forças externas agindo sobre as cargas do disco, o disco se torna polarizado devido a efeitos inerciais quando em movimento de rotação. Os elétrons passam a se
concentrar na periferia do disco deixando cargas positivas fixas no centro. A este efeito chamamos de Indução Inercial. Consequentemente podemos medir uma diferença de potencial entre
o centro e a borda do disco mesmo quando não há campo magnético externo ao disco.
Em coordenadas cilíndricas. Consideremos um elétron livre numa posição ρ a partir do
centro do disco em movimento circular com aceleração centrípeta dada por ~ac = −ω 2 ρ ρ̂. A
distribuição de cargas gerada pela inércia cria um campo elétrico ~EI . No equilíbrio, quando a
distribuição de cargas não muda mais com o tempo, temos q~EI = ~Fc = m~ac . A diferença de
potencial gerada entre a borda e o centro do disco será:
∆φI = φr − φ0 = −
Z r
0
2 2
~ = mω r .
~EI · dρ
2e
(4.23)
Podemos estimar a ordem de grandeza desta indução: tomemos um disco de r = 0.1 m
que rode com velocidade angular ω = 3000 rpm ∼
= 314 rad/s. Lembrando que para um elétron
q = −e = −1, 6 × 10−19 C e m = 9, 1 × 10−31 kg. Encontramos uma diferença de potencial da
26
ordem de ∆φI ≈ −3 nV, que é perfeitamente mensurável para os equipamentos que dispomos
atualmente.
4.2.2
Indução Unipolar
Como colocado anteriormente, no interior das cascas teremos um campo magnético uniforme
na direção do eixo z, que de acordo com a física clássica é dado pela eq. (3.1). Admitamos que
Ω+ = Ωi e Ω− = Ωi +Ω f . Portanto, dessa maneira consideramos o imã girando com velocidade
angular Ωi , uma vez que as cargas positivas permanecem imóveis em relação a rede atômica do
imã. Por sua vez, o campo magnético do imã é função diretamente apenas de Ω f , que pode ser
considerada a velocidade angular de deriva dos elétrons responsáveis pela corrente que gera o
campo magnético ~B. Nesses termos reescrevemos
~B = µ0 QΩ f ẑ .
6πR
(4.24)
Para calcular a diferença de potencial induzida no disco utilizamos a força de Lorentz,
considerando apenas a força magnética:
~FM = q~v × ~B .
(4.25)
Uma carga q no disco está em movimento circular com velocidade ~v = ωρ φ̂ . Assim
~FM = qµ0 ωρQΩ f ρ̂ .
6πR
(4.26)
No equilíbrio as forças de indução e elétrica são tais que ~Fe = −~FM , q~EM = −q~v × ~B
(lembrando que m~ac , a força centrípeta, já foi balanceada por q~Ei ). A partir da equação 3.2
chegamos a diferença de potencial induzida
∆φM = −
Z r~
FM ~
µ0 ωr2 Q+
ωr2
· dρ =
Ωf =
B.
0
q
12πR
2
(4.27)
27
Podemos estimar a ordem de magnitude deste efeito supondo um campo magnético de
100 G= 10−2 T. Com r = 0, 1 m e ω = 314 rads/s, como no caso da Indução Inercial, obtemos
∆φM = 15.7 mV, tal que ∆φM /∆φI = 5 × 106 . O que significa que na prática podemos desprezar
a Indução Inercial.
Observamos ainda que a diferença de potencial induzida no disco ∆φM , a Indução Unipolar, não depende da rotação do imã (Ωi ). Portanto, se mantemos o disco parado (ω = 0) não
teremos indução, independente se o imã esteja parado ou se movimentando com velocidade
angular igual ou mesmo diferente da do disco.
4.2.3
Indução Weberiana
Na eletrodinâmica de Weber uma casca esférica girante carregada exerce uma força sobre uma
carga elétrica, interna à casca, que tem uma velocidade ~v e uma aceleração, devido a uma força
externa, ~a dada por [14]:
~
~FW = µ0 qQ [~a + ~Ω × (~Ω ×~r) + 2~v × ~Ω +~r × d Ω ] .
12πR
dt
(4.28)
Em nosso sistema as velocidades angulares das cascas são constantes e as cargas livres
em questão estão contidas no disco metálico, de modo que a aceleração, a velocidade e a posição
de uma carga interna do disco são respectivamente ~ac = −ω 2 ρ ρ̂, ~v = ωρ φ̂ e ~r = ρ ρ̂. Nestas
condições a força das cascas sobre uma carga q é
~FW = − µ0 qρ [Q+ (ω − Ω+ )2 + Q− (ω − Ω− )2 ]ρ̂ .
12πR
(4.29)
Aqui os elétrons livres do disco metálico serão acelerados para o centro ou para a borda
do disco dependendo do valor dos parâmetros a serem considerados. A nova distribuição de
cargas gera novamente um campo elétrico, cuja força equilibra a força de Weber ~FE = −~FW .
Perfazendo a integral da equação 3.2 novamente obtemos:
28
∆φW = −
µ0 r2
[Q+ (ω − Ω+ )2 + Q− (ω − Ω− )2 ] .
24πR
(4.30)
Lembrando que Q+ = Q, Q− = −Q e admitindo mais uma vez Ω+ = Ωi , imã girando
com velocidade Ωi , e Ω− = Ωi + Ω f , campo magnético função apenas de Ω f , a diferença de
potencial induzida por Weber fica:
∆φW ==
ωr2 B Ωi r2 B Ω f r2 B
−
+
.
2
2
4
(4.31)
Como Ω f está relacionada à velocidade angular de deriva dos elétrons no imã ela é
de ordem pequena. Lembrando que B é função direta de Ω f (equação 4.24), então o último
termo da equação anterior é proporcional a Ω2f , podendo ser desprezado. Assim a diferença de
potencial induzida por Weber no disco pode ser aproximada por
(ω − Ωi )r2 B
∆φW ∼
.
=
2
(4.32)
Observamos aqui que ∆φW depende das velocidades angulares relativas. Se mantemos
o imã parado (Ωi = 0) e rodamos o disco (ω = ω0 ) obtemos o mesmo valor para a diferença de
potencial induzida obtido pela força de Lorentz. Entretanto, diferente do ponto de vista clássico,
se mantivermos o disco parado (ω = 0) e rodarmos o imã com velocidade igual ao caso anterior,
porém, no sentido contrário (Ωi = −ω0 ) resgatamos o mesmo valor para a diferença de potencial
induzida. Ainda mais, se rodamos o disco e o imã com as mesma velocidade (ω = Ωi ) então
não há diferença de potencial induzida, deixando claro que na eletrodinâmica de Weber o que
realmente importa é o movimento relativo entre as partes envolvidas.
Portanto, diferentemente do caso da indução por translação, podemos prever teoricamente diferenças entre os resultados experimentais, de modo que poderíamos determinar a validade entre os modelos entre os modelos teóricos.
29
5
Conclusão
De maneira geral, o modelo proposto por Faraday/Maxwell pela variação do fluxo magnético
é relativamente simples e parte não só da concepção da existência dos campos, mas também
do movimento destes campos junto com suas respectivas fontes. Podemos classificar o modelo
proposto por Lorentz/Einstein como o mais complexo, uma vez que introduz a ideia de campos dependentes do referencial de observação. Apesar destas novas ideias, pouco intuitivas,
a proposta de Einstein é mais consistente em face das importantes consequências que traz em
outros campos da física. É importante ressaltar aqui que, uma vez cuidadosamente analisada a
proposta de Faraday/Maxwell, podemos concluir que foi infundada a colocação de Einstein a
respeito das “assimetrias que não parecem ser inerentes ao fenômeno". As assimetrias somente
aparecem a partir de uma interpretação específica do significado da velocidade que aparece na
força de Lorentz. Já a proposta de Weber é mais fundamental. Em seu modelo os campos
não têm realidade física e sua formulação lida somente com as forças de interação entre as
cargas. Entretanto, os cálculos matemáticas a que conduz seu modelo são sobremaneira mais
elaborados.
Nossos resultados obtidos para o cálculo da força eletromotriz induzida na indução por
translação demonstram que, do ponto de vista experimental, os três modelos em si são equivalentes e indistinguíveis apesar de serem conceitualmente distintos. Em face desses resultados
partimos para o estudo da indução por rotação. Na indução por rotação pelo ponto de vista
da física clássica, a Indução Unipolar, verificamos que a diferença de potencial induzida não
depende do movimento relativo entre o imã e o disco, dependendo somente da rotação do disco.
Porém pelo ponto de vista da eletrodinâmica de Weber, a Indução Weberiana, a diferença de
potencial induzida depende do movimento relativo entre o imã e o disco. Assim, pela medida
de diferença de potencial induzida pelo movimento de rotação podemos propor um experimento
através do qual podemos distinguir quais dentre os modelos teóricos analisados melhor se adequa a realidade física.
30
Referências Bibliográficas
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Mainly Electromagnetism and Matter, Seção 17-2: Exception of the "flux rule", AddisonWesley, Reading, 1964.
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em Física) - Instituto de Física Gleb Wataghin, Unicamp, 1993.
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Gulbenkian, 1978. p. 47-86.
[10] Assis, A. K. T. Eletrodinâmica de Weber: Teoria, Aplicações e Exercícios. Editora da
UNICAMP, Campinas, 1995.
[11] Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics, 3a ed., Pearson Education, 1999.
[12] Maxwell, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover, New York, 1954.
[13] Tolman, R. S.; Stewart, T. D. The electromotive force produced by the acceleration of
metals. Physical Review, v. 8, p. 97-116, 1916.
[14] Assis, A. K. T. Centrifugal Electrical Force. Commun. Theor. Phy., v. 18, n. 4, p. 475-478,
1992.