UNIVERSIDADE
CATÓLICA DE
BRASÍLIA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Curso de Física
ESTUDO SOBRE A POSSIBILIDADE DE
CONSTRUÇÃO DE UM EXPERIMENTO DE BAIXO
CUSTO EM RELATIVIDADE
Autor: Fabiane Cordova Tolentino
Orientadores: Prof. Dr. Cláudio Manoel Gomes de Souza
Prof. Dr. Ivan Ferreira da Costa
BRASÍLIA
2006
FABIANE CORDOVA TOLENTINO
ESTUDO SOBRE A POSSIBILIDADE DE UM EXPERIMENTO DE BAIXO CUSTO
EM RELATIVIDADE
Trabalho de Conclusão de Curso
submetido à Universidade Católica de
Brasília para obtenção do Grau de
Licenciado em Física.
Orientadores: Dr. Cláudio Manoel G. Souza
Dr. Ivan Ferreira da Costa
Brasília
Junho de 2006
RESUMO
Este projeto tem como finalidade analisar a possibilidade de construir um experimento de
baixo custo e com boa precisão para estudar os efeitos relativísticos da velocidade sobre a
dilatação do tempo. Idealizou-se um experimento para ser estudado, no qual dois relógios
são colocados em movimento rotacional por meio de um motor elétrico e dois relógios ficam
parados em relação a este motor. Dependendo da velocidade do motor e do tempo em que
ele ficar girando, é possível perceber uma diferença entre os pares de relógios devido aos
efeitos relativísticos. Os efeitos das relatividades especial e geral sobre os relógios em
movimento foram estudados e percebeu-se que este último efeito não tem influência sobre a
dilatação do tempo no experimento idealizado. O caso analisado foi o movimento com
velocidade angular constante, o que permitiu obter melhores resultados para a dilatação do
tempo, já que a aceleração angular diminui a dilatação do tempo. Para se obter um
experimento de baixo custo foi necessário pesquisar os preços dos equipamentos
envolvidos. Este trabalho mostra bons resultados para os relógios com precisão de 10 −6 s , o
efeito pode ser percebido na ordem de meses e, até mesmo, dias e os custos são baixos.
Para relógios com precisão de 10 −3 s é inviável a realização deste experimento, pois o efeito
é observado na ordem de anos e os custos relacionados ao tempo de utilização do motor
(consumo de energia) são altíssimos. Porém, realizar esta experiência tem certas
dificuldades de ordem prática, já que a velocidade adquirida pelos relógios em rotação é
muito alta e o espaço ocupado é grande, tornando o local indisponível por muito tempo.
Palavras Chaves: relógios de precisão, dilatação do tempo, relatividades especial e geral e
experimento idealizado.
1. INTRODUÇÃO
A Física Moderna é uma parte da Física que tem ganhado espaço nas escolas de
Ensino Médio. Cada vez mais, se ouve falar na inserção desta disciplina no ensino de
Física. Segundo Pinto e Zanetic (apud PENA, 2006), o ensino de Física atual precisa ser
transformado, pois o que se ensina hoje nas escolas não passa da Física do século XX. O
ensino da Física moderna permite uma nova visão de mundo e maior esclarecimento dos
fenômenos inerentes ao mundo de hoje.
Sendo assim, é interessante pensar em que recursos utilizar para aplicar estes
conteúdos em sala de aula. Assuntos referentes à Física Moderna são difíceis de serem
ensinados devido ao alto grau de abstração e a dificuldade de visualização. A dilatação do
tempo é um dos integrantes destes assuntos que dispõe de menos recursos para serem
ensinados. A construção de um experimento que permitisse visualizar este efeito poderia
atuar como auxiliador no processo de transposição deste assunto. Melhor seria, se
houvesse a possibilidade de construir um experimento de baixo custo, pois a disponibilidade
para o público seria maior. Sendo assim, o objetivo deste trabalho é pesquisar a
possibilidade de construir um experimento de baixo custo para testar a dilatação do tempo.
Até onde os autores conhecem não existe experimentos de baixo custo que
permitam estudos sobre esse assunto, o que justifica a análise contida neste trabalho.
Este trabalho mostra inicialmente os resultados da teoria da relatividade especial de
Einstein para a dilatação do tempo. Em seguida, apresenta alguns experimentos
desenvolvidos por outros autores para testar a dilatação o tempo.
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1.
Relatividade especial
Observadores em diferentes referenciais inerciais sempre medirão intervalos de
tempo diferentes entre um par de eventos, pois dois eventos simultâneos num referencial
não são, em geral, simultâneos num outro referencial que se move em relação ao primeiro.
A simultaneidade não é um conceito absoluto, mas depende do estado de movimento do
observador (TIPLER e LLEWELLYN, 2001).
Se um observador em um referencial S' se move com velocidade v em relação a
outro observador em um referencial S, o intervalo de tempo medido por seus relógios será
diferente do intervalo de tempo medido por relógios pertencentes a S (SERWAY, 1996).
Sendo que, inicialmente, foi estabelecido que todos os relógios envolvidos tenham o mesmo
andamento e estejam sincronizados entre si quando um estiver em repouso em relação ao
outro.
Para o referencial S':
Imagine que o observador S' produza um pulso luminoso que percorra uma distância
D até atingir um espelho. O pulso é refletido de volta, o intervalo ∆t', entre o momento em
que o pulso é gerado e o momento em que ele é detectado após ser refletido, é medido.
Figura 1: Pulso luminoso refletido observado pelo referencial S’.
Fonte: http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm
Como a luz viaja com velocidade c, se tem que ∆t ' =
2D
.
c
Para o referencial S:
Os eventos (geração e detecção do pulso refletido) ocorrem em locais diferentes
para este referencial já que o observador se desloca horizontalmente de uma distância
v ⋅ ∆t .
Figura 2: Pulso luminoso refletido observado pelo referencial S.
Fonte: http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm
Sendo assim, a luz percorre uma distância maior neste referencial e, portanto, o
intervalo de tempo ∆t para chegar ao espelho e voltar ao ponto de partida é maior em S do
que em S', sabendo que a velocidade é a mesma nos dois referenciais.
Calculando ∆t:
2
 v∆t 
 c∆t 
2

 =D + 

 2 
 2 
∆t =
2
Como
4D 2
c2 − v2
(
)
2

→
c 2 ∆t 2
v 2 ∆t 2
= D2 +

→ c 2 ∆t 2 − v 2 ∆t 2 = 4 D 2
4
4
4D 2

→ ∆t =
2
c2 1− v
2
(
c2
)

→ ∆t =
2D
1
⋅
c
1− v2 c2
2D
= ∆t ' , se tem que :
c
∆t =
1
1− v2 c2
⋅ ∆t ' = ∆t = γ∆t '
(1)
∆t ' é o tempo medido por um observador que vê o dois eventos ocorrerem num mesmo
lugar do seu referencial, chamado de tempo próprio e gama é o fator de dilatação. A
equação acima mostra que para o referencial em que os eventos ocorrem em locais
distintos (referencial S), o intervalo de tempo medido por este é maior que o intervalo de
tempo próprio, medido pelo referencial S’, por um fator gama.
2.2.
EXPERIMENTOS REALIZADOS POR OUTROS PESQUISADORES PARA
TESTAR A DILATAÇÃO DO TEMPO.
Experimento com múons positivos e negativos em órbita circular
¾ Laboratório CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire)
A sigla significa Conselho Europeu para a Pesquisa Nuclear, mas hoje é conhecido
como Laboratório Europeu para Física de Partículas. Está localizado em Genebra, na Suíça
e foi criado com o intuito de entender a origem da matéria e as partículas infinitamente
pequenas. É um laboratório de grande porte e que permite pesquisadores de diversos
países trabalharem juntos, desenvolvendo projetos em um mesmo laboratório.
O primeiro acelerador de partículas desenvolvido por Cockcroft e Walton era
composto por um transformador e um retificador de corrente. Este era um acelerador linear
e acelerava prótons que colidiam com lítio, colocado como alvo no tubo. No parque
experimental do CERN, partículas elementares são produzidas e estudadas nos
aceleradores de partículas com túneis circulares. Um desses aceleradores é o LEP (Large
Electron Positron collider) que fica a 100 metros abaixo do solo, tem 4 metros de altura e 27
km de circunferência (ABDALLA, 2006).
A preferência por construir aceleradores circulares tem uma justificativa. Eles são
mais eficientes do que os aceleradores lineares, pois a energia das partículas que
percorrem o túnel é aumentada em cada volta devido a presença de campos elétricos que
as impulsionam. Como as partículas estarão em movimento circular dentro do túnel, é
necessário guiá-las através de campos magnéticos. Para que não haja interação entre
essas partículas e as partículas contidas no ar é necessário que haja vácuo de alta precisão
no interior do túnel.
Ao longo dos 27 km há quatro detectores que permitem os físicos obterem
informações sobre a estrutura da matéria. Estes detectores registram dados em
computadores referentes às colisões que permitem análises posteriores dos dados. É
possível assim, obter informações sobre, por exemplo, a massa, carga, spin, energia, entre
outras ( ABDALLA, 2006).
Vários aceleradores foram construídos no CERN que permitem desenvolver grandes
projetos. O túnel do LEP será desativado para construir o Large Hadron Collider (LHC).
Estima-se que em 2007 o LHC ficará pronto o que permitirá detectar a partícula de Higgs.
Antigos detectores estão sendo desmontados e outros mais sofisticados estão sendo
construídos para que se adequem às novas experiências.
¾ Os múons e a experiência no CERN
Anderson e Neddermeyer ao analisarem a radiação cósmica encontraram partículas
que tinham massa de repouso com valor entre a massa de repouso do elétron e a massa de
repouso do próton. Estas partículas estavam na composição da radiação cósmica e foram
chamadas de múons (EISBERG e RESNICK, 1979).
Os múons são produzidos pelo decaimento de píons e aparecem em dois tipos
µ + e µ − . Eles estão intimamente ligados aos elétrons e interagem através da interação
fraca. Eles são partículas instáveis e decaem com um tempo de vida conhecido. O tempo de
vida dos múons medido em um referencial em repouso em relação a eles é de apenas 2,2
microsegundos (BAILEY, et. al., 1977 ).
Assim, os píons se desintegram em múons, por exemplo:
π− 
→ µ − + ν µ
E os múons decaem em elétrons, neutrinos e anti-neutrinos, por exemplo:
µ− 
→ e − + v µ + v e
Quando os múons viajam a uma velocidade próxima à velocidade da luz, eles
deveriam percorrer uma distância, em média, de 650 metros antes de decair, mas o que se
observa é que a maioria dos múons atinge a Terra, ou seja, uma distância muito maior que
esta (4700 metros). Este fenômeno é explicado pela dilatação do tempo (SERWAY, MOSES
e MOYER, 1997).
“Um múon em cima de uma mesa desintegra-se em média, cerca de 2 µs . Mas,
movendo-se dentro de um acelerador a 99,7% da velocidade da luz, a vida do múon foi
alargada por um fator 12” (DAVIES, 2003).
Os tempos de vida dos múons positivo ( µ + ) e dos múons negativos ( µ − ) foram
medidos no armazenamento do CERN. Os resultados obtidos estão de acordo com a
relatividade especial. O fator de dilatação do tempo de Einstein concorda com o experimento
realizado no CERN (BAILEY et.al., 1977).
A medição do tempo de vida de uma amostra de um material radioativo com uma
velocidade conhecida é um meio de verificar a chamada dilatação do tempo. O experimento
realizado no CERN consistia em acrescentar partículas radioativas no grande anel do
armazenamento e colocá-las em órbitas circulares fechadas, para que fosse possível
simular o paradoxo de gêmeos. A velocidade alcançada pelos múons era cerca de 0,9994c
(onde c é a velocidade da luz)
Como foi visto, múons decaem em elétrons, neutrinos e anti-neutrinos. Estes elétrons
são detectados por contadores em volta do anel, permitindo os cientistas medirem a taxa de
decaimento. Como a velocidade da amostra é conhecida, é possível determinar o tempo de
vida no laboratório.
τ = γτ 0 =
τ0
v
1−  
c
2
onde τ 0 é o tempo de vida da partícula parada.
+
−
Neste experimento foram calculados os tempos de vida separados dos µ eµ para
obter valores mais precisos e mostrar que as predições da relatividade especial valem
também para grandes acelerações e distâncias pequenas. Os múons circulam no anel do
armazenamento do CERN em órbitas de 14 metros de diâmetro, ou seja, raio de 7 metros,
em um campo magnético uniforme. Assim, os resultados obtidos para o tempo de vida dos
múons em órbita foram comparados com o tempo de vida dos múons em repouso, sendo
possível perceber o efeito da dilatação do tempo.
Experimento de Hafele e Keating
Este foi o primeiro experimento feito para testar a dilatação do tempo. Neste
experimento foram utilizados relógios atômicos de césio. Quatro relógios foram colocados
para voar em volta da Terra, por meio de um jato. Estes relógios foram, inicialmente,
sincronizados com relógios atômicos localizados no U. S. Naval Observatory em
Washington. Foram realizadas duas experiências, uma os relógios voavam na direção leste
em volta da Terra e a outra na direção oeste. Após o vôo, os relógios retornavam para o
observatório (TAYLOR e ZAFIRATOS, 1991).
Os intervalos de tempo medidos pelos relógios em vôo foram comparados com os
intervalos medidos pelos relógios localizados no referencial parado. Muitos fatores têm que
ser considerados, por exemplo, o período de acelerações e desacelerações do jato em
relação à Terra, as variações nas direções da viagem dos relógios e a ação do campo
gravitacional mais fraco experimentado pelos relógios em movimento (SERWAY, MOSES e
MOYER, 1997). Assim, foi possível perceber uma boa concordância destes resultados com
as predições da teoria da relatividade especial. O efeito gravitacional, calculado pela
relatividade geral, é o responsável pela maior parte da diferença dos tempos medidos pelos
dois referenciais. Sendo assim, com este experimento é possível confirmar tanto a
relatividade especial quanto a relatividade geral.
Experimento na Torre de Harvard
Em 1959, realizou-se uma experiência na torre da Universidade de Harvard. Esta
experiência consistia em perceber a dilatação do tempo causada pelo efeito da gravidade.
Assim, há uma pequena diferença no tempo entre a parte de baixo e o topo da torre. A
diferença de altura foi de 22,5 metros, sendo possível medir o fator de distorção do tempo. O
resultado mostrou que o tempo retardou em 2,57 × 10 −13 % . A diferença entre os tempos
medidos pelos dois referenciais foi pequena, mas suficiente para comprovar a teoria da
relatividade geral de Einstein, com um erro de apenas 1% (DAVIES, 2003).
3. MONTAGEM
Gedanken experiment é um termo alemão utilizado por Einstein para designar uma
experiência imaginária que respeita todas as leis da Física, mas que não pode ser realizada
devido a dificuldades práticas (EISBERG e RESNICK,1979). O experimento idealizado neste
trabalho para análise consiste em um motor elétrico, um disco metálico e quatro relógios de
boa precisão. O esquema experimental, representado na figura 3, mostra dois relógios
colocados em movimento rotacional por meio de um motor elétrico estático a um laboratório
e dois relógios parados em relação ao laboratório. A placa metálica é colocada sobre o
motor, sendo utilizada como base para os relógios.
Pensou-se nos relógios girando sobre um disco metálico para que a resistência com
o ar fosse mínima. Além do mais, o disco permite que o aparato tenha maior estabilidade.
Figura 3: Experimento imaginado para construção.
Observando a figura acima é possível perceber a presença de um ”trilho” que permite
os relógios se locomoverem. Sendo assim, é possível variar a distância r entre os relógios e
os motores e simular situações com valores de r variáveis. No desenho acima, há também a
presença de duas chaves, uma para acionar os relógios e a outra para ligar o motor elétrico.
Estas chaves foram conectadas separadas para que o motor elétrico fosse acionado antes
dos relógios. Os relógios só começarão a medir o tempo quando a aceleração angular for
igual à zero, ou seja, quando não houvesse variação da velocidade angular. Como foi visto
anteriormente, a aceleração angular diminui a dilatação do tempo e por isso, optou-se por
iniciar os relógios quando a velocidade angular fosse constante, o que facilita a medida e
permite ter a maior dilatação possível. É importante destacar que os relógios têm que estar
inicialmente sincronizados entre si para que seja possível perceber a diferença no tempo
medido pelos pares de relógios.
Para analisar o custo do experimento foram feitas pesquisas dos preços dos
equipamentos necessários para o experimento. A pesquisa foi feita em lojas de
equipamentos específicos e pela Internet. Os aspectos pesquisados estão relacionados nos
itens abaixo.
Finalmente, foram feitos cálculos dos custos em função do tempo do experimento, o
que permitiu analisar a viabilidade do experimento.
3.1.
Relógios
Os relógios foram pesquisados pela Internet.
-6
-3
Figura 4: Relógio com precisão de 10 .
Fonte: http://www.laurels.com/stopwatch.htm
Figura 5: Relógio SC505 com precisão de 10 .
Fonte: http://www.goalsports.com/refgear/timers.htm
Os aspectos pesquisados foram:
9 preço;
9 massa;
9 precisão dos relógios.
O preço foi pesquisado para que fosse possível fazer os cálculos dos custos, já a
massa foi pesquisada para que se pudesse analisar a possibilidade de colocar os relógios
para girarem, pois dependendo da massa, uma grande por exemplo, haverá uma dificuldade
de colocar os relógios em movimento. Os relógios precisam ter uma boa precisão para que
se possa perceber uma dilatação no tempo considerável. Os dados obtidos encontram-se
relacionados na tabela abaixo.
Tabela 1: Preço e precisão dos relógios
Relógio
Relógio 01 (SC505)
Relógio 02 (SC707)
Relógio 03
Relógio 04 (SA556)
Precisão
Preço
(s)
(U$)
10
-3
21,95
10
-3
29,99
10
-6
220,00
10
-6
0,54
Fonte: Referências encontram-se na bibliografia.
Os valores das massas não foram encontrados para todos os relógios, apenas o site
do relógio 03 informou a massa. Esta é de aproximadamente 2kg. Assim, por estimativa
pode-se observar que a massa do microchip (Relógio 04) é menor do que a massa dos
outros relógios. Comparando a massa desse relógio com a massa da plataforma perceberá
que esta tem um valor muito menor com relação àquela. Além do mais, o custo deste relógio
é menor quando comparado com o custo dos outros relógios. Por isso, o microchip é o mais
indicado.
No entanto, quando o tempo marcado por estes relógios são muito grandes, como
acontece em um experimento de dilatação do tempo, estes deixam de ter precisão.
3.2.
Motores Elétricos
A pesquisa dos motores elétricos foi feita na Casa dos Parafusos, loja específica
para este tipo de equipamento. Os dados pesquisados foram referentes à velocidade de
rotação dos motores, aos preços e à potência do motor e encontram-se listados na tabela
abaixo.
Tabela 2: Preço e velocidade de rotação dos motores elétricos monofásico
Velocidade de Rotação (rpm)
Potência (hp)
Preço (R$)
1800
½
437,14
1800
1
631,14
1800
2
924,57
1800
3
1.023,94
3600
½
438,79
3600
1
534,32
3600
2
762,42
3600
3
892,20
3600
5
1.832,81
3600
7/2
2.326,74
3600
10
2.651,15
Fonte: Casa dos Parafusos.
Os motores monofásicos funcionam na rede de Brasília a uma voltagem de 220V. A
tabela abaixo contém informações sobre os motores elétricos trifásicos pesquisados. Os
motores trifásicos funcionam a uma voltagem de 380V.
Tabela 3: Preço e velocidade de rotação dos motores elétricos trifásico
Velocidade de Rotação (rpm)
Potência (hp)
Preço (R$)
1800
½
363,69
1800
1
440,20
1800
2
554,16
1800
3
640,63
1800
4
879,74
1800
5
909,12
1800
7/2
1.329,35
1800
10
1.588,98
1800
12/2
1.762,81
1800
15
1.881,36
3450
4
946,00
3465
2
400,00
3600
12/2
1.731,78
3600
15
1.953,54
3490
5
946,00
3490
7/2
1.400,00
Fonte: Casa dos Parafusos.
3.3.
Cálculo do Consumo de Energia
Este tipo de experimento leva um tempo maior para ser realizado, ou seja, não é
possível fazer uma experiência de poucas horas ou um único dia. Além do mais, quando os
motores forem acionados, eles não poderão ser desligados até que seja possível perceber a
dilatação do tempo. Como o tempo estimado para o experimento não é pequeno, é
importante levar em conta o gasto de energia do motor elétrico.
Sabendo a potência do motor elétrico é possível determinar o consumo de energia. A
energia consumida (W) é diretamente proporcional à potência (P) e ao tempo (T) de
utilização do motor (PEZENTE).
W = PT
(5)
O tempo de utilização deve ser convertido para horas. Como a potência do motor
está em cavalos é preciso converter esta unidade para Watts. Fator de conversão:
1 hp = 745,7 W
Assim, a energia consumida tem a unidade de Wh. Para obter em kWh é necessário
dividir por 10 3 . Para saber o custo em dinheiro, basta multiplicar pelo preço de 1kWh
fornecido pela companhia energética da cidade correspondente. No caso de Brasília, o
custo de 1kWh é de aproximadamente 0,3871142 reais para gastos acimas de 1000 kWh
por mês (estima-se que este seja o gasto de um laboratório típico no qual será possível
realizar este experimento).
4. EFEITOS RELATIVÍSTICOS SOBRE A DILATAÇÃO DO TEMPO PARA OS
RELÓGIOS ACELERADOS PELO MOTOR ELÉTRICO
4.1.
O fenômeno da dilatação do tempo da relatividade restrita para os relógios
acelerados pelo motor
A relação entre o intervalo de tempo medido pelo par de relógios em repouso e o par
de relógios em movimento, dependerá da velocidade angular deste último.
De acordo com a equação da dilatação do tempo:
 v2 
γ = 1 − 2 
 c 
∆t = γ ∆t '
−
1
2
.
Com a expansão binominal, para v<<c, se tem:
(1 + x )n
= 1 + nx + n(n + 1)
x2
+ ...
2
Substituindo na equação da dilatação do tempo:

v2

∆t = γ∆t' = 1 + 2
 2c
 v2
∆t − ∆t' ≅ ∆t'  2
 2c

 v2
∆t' → ∆t = ∆t'+ ∆t'  2

 2c




.

Com velocidade igual a v = ω ⋅ r :
(∆t − ∆t ') ≅ 
∆t '
4.2.
v2
 2c 2


(∆t − ∆t ') = ϖ 2 r 2 .
 
→
∆t '
2c 2

(2)
Efeitos da aceleração centrípeta sobre a dilatação do tempo para os
relógios acelerados pelo motor
Para avaliar a possibilidade de que a variação temporal seja afetada pela aceleração
centrípeta, devemos recorrer à relatividade geral (que trata dos problemas que envolvem
aceleração). Para tanto, utilizaremos a métrica para rotação:
[
ds 2 = − H 2 dt 2 + Q 2 dr 2 + r 2 K 2 dθ 2 + sin 2 θ (dϕ − Ldt )
2
]
onde H, Q e K são funções da métrica que devem ser obtidas pela resolução das equações
de Einstein para o problema específico, e r , θ , ϕ e t são as variáveis para as coordenadas
esféricas e o tempo.
Abrindo os termos desse elemento de linha, pode-se encontrar os elementos da
matriz que corresponde à métrica:
(
ds 2 = − H 2 dt 2 + Q 2 dr 2 + r 2 K 2 dθ 2 + r 2 K 2 sin 2 θ dϕ 2 − 2 L dϕ dt + L2 dt 2
)
= − H 2 dt 2 + Q 2 dr 2 + r 2 K 2 dθ 2 + r 2 K 2 sin 2 θ dϕ 2 − 2r 2 K 2 L sin 2 θ dϕ dt + r 2 K 2 L2 sin 2 θ dt 2
= −( H 2 − r 2 K 2 L2 sin 2 θ )dt 2 + Q 2 dr 2 + r 2 K 2 dθ 2 + r 2 K 2 sin 2 θ dϕ 2 − 2r 2 K 2 L sin 2 θ dϕ dt .
Dessa métrica, pode-se descrever o tensor métrico g µν , que não será resolvido neste
trabalho, mas que leva à construção das equações de Einstein. A parte legada à rotação
será:
R03 = 8πGT03 .
Sendo que, as quatro velocidades são:
u µ = (u t , u r , u θ , u ϕ ) = (u 0 ,0,0, u 3 ) .
Para rotações, considera-se:
dϕ
=Ω
dt
dϕ = Ωdt
⇒
u3 = Ωu0
⇒
onde a última foi obtida dividindo-se dϕ = Ωdt pelo tempo próprio dτ .
Com isso, se tem que:




 0
u =

u1 = u 2 = 0
(
u3 = Ωu0
1
.
− g 00 + 2Ωg 03 + Ω 2 g 33
(3)
)
De onde se pode ver que a parte temporal ( u 0 ) não depende de acelerações
centrípetas, que apareceriam em u 0 na forma de uma derivada radial de u 1 .
Iorio (2005) mostra em seu artigo que a aceleração centrípeta não tem influência na
dilatação do tempo. Neste artigo, Iorio analisa uma versão particular do paradoxo dos pulsos
de disparos. Como a maioria dos estudos analisa apenas as situações ligadas aos
problemas gravitacionais, Iorio analisa uma situação física relacionada com referenciais
acelerados, na qual pulsos de disparos experimentam um movimento circular.
4.3.
Efeitos da aceleração angular sobre a dilatação do tempo para os relógios
acelerados pelo motor
Quando os relógios são colocados em movimento pelo motor elétrico, a velocidade
angular não é constante e, portanto, há uma aceleração angular que também é responsável
pela dilatação do tempo.
Partindo da equação conhecida ∆t = γ ∆t ' , pode-se calcular o efeito da aceleração
angular sobre os relógios em rotação.
Para um tempo infinitesimal:
dt = γ dt '
v2
dt ' = 1 − 2 dt .
c
Com v = ω ⋅ r e ω = ω 0 + α ⋅ t temos:
(ω r )
2
T2 = ∫
T
0
1−
c2
→ T2 = ∫
dt ' 
T
0
1−
(r (ω
+ α t ))
2
0
c2
dt '
onde T2 é o tempo medido pelo referencial S’, ou seja, o referencial que vê os eventos
ocorrerem em um mesmo lugar ( “referencial em movimento” ).
Assumindo que a velocidade angular inicial é zero, ou seja, ω 0 = 0 , se tem:
T
T2 = ∫
0
 r α t' 

1 − 

c


2
dt ' .
(4)
Pela equação acima pode-se perceber que o tempo medido pelo relógio em
movimento depende da aceleração.
Para aceleração angular igual à zero não haverá movimento, portanto de acordo com
a equação acima T2 = T . Para aceleração diferente de zero pode-se perceber que T2 será
sempre menor que T , qualquer que seja a aceleração, ou seja, o intervalo de tempo medido
pelos relógios em movimento será menor que o intervalo medido pelos relógios parados1.
5. CÁLCULO DAS DILATAÇÕES DO TEMPO E ANÁLISE DOS PREÇOS
Como visto nos itens 3.2, a aceleração centrípeta não afeta a dilatação do tempo. A
aceleração angular tem um pequeno efeito na dilatação do tempo, mas não foi levado em
conta neste trabalho, pois se considerou o movimento com velocidade angular constante.
Sendo assim, o único responsável pela dilatação do tempo foi o efeito da relatividade
especial, conforme item 3.1.
A expressão para o cálculo da dilatação do tempo é a equação 2. Os cálculos foram
feitos no Maple e encontram-se em anexo. Os resultados encontram-se na tabela 4.
Tabela 4: Tempo total do experimento
Experimento
Freqüência de
Velocidade linear do
Precisão dos
Tempo em que o
Rotação do motor
motor em um 1m de
relógios
relógio deve ficar
(rpm)
raio. (m/s)
Experimento 01
1800
188,50
10
-6
58,635 dias
Experimento 02
1800
188,50
10
-3
58.634,9 dias
girando
(160,5 anos)
Experimento 03
3450
361,28
10
-6
15,961 dias
Experimento 04
3450
361,28
10
-3
15.961,1 dias
(43,7 anos)
1
Lorenzo Iorio mostra a dependência da dilatação do tempo com a aceleração angular em seu artigo intitulado:
On the clock paradox in the case of the moving clock. Eur. J. Phys. 26, p. 535-541.
Experimento 05
3465
362,85
10
-6
15,823 dias
Experimento 06
3465
362,85
10
-3
15.823,2 dias
(43,3 anos)
Experimento 07
3600
376,99
10
-6
14,659 dias
Experimento 08
3600
376,99
10
-3
14.658,7 dias
(40,1 anos)
Experimento 09
3490
365,47
10
-6
15,597 dias
Experimento 10
3490
365,47
10
-3
15.597,3 dias
(42,7 anos)
Os resultados da tabela acima foram encontrados para um raio de 1m. Para raios
menores a velocidade linear diminui, já que esta é diretamente proporcional ao raio, e a
dilatação do tempo diminui mais ainda, pois esta é diretamente proporcional ao quadrado da
velocidade. Assim, para se obter melhores resultados para a dilatação do tempo é
interessante aumentar o raio. Como este projeto tem como finalidade sugerir um
experimento de baixo custo, um valor sugerido para o raio foi de um metro (1m). Este valor
para o raio permite obter bons resultados, como observado na tabela acima. Além do mais,
é preciso ter espaço amplo para desenvolver este experimento, pois a área ocupada por
este aparato é grande.
A tabela acima mostra que é possível verificar a dilatação do tempo em alguns
meses e até mesmo em alguns dias dependendo da precisão dos relógios e a velocidade do
motor. Estes resultados encontrados na ordem de meses e dias foram conseguidos com
relógios com precisão na casa dos microsegundos. É possível perceber também que quanto
maior a velocidade de rotação dos motores, maior é a dilatação.
Para os relógios com precisão na casa dos milisegundos, os resultados obtidos para
a dilatação do tempo foram da ordem de anos, mesmo com altas velocidades de rotação
dos motores elétricos, o que não é tão viável.
O consumo de energia foi calculado de acordo com o item 4.3 deste trabalho e
apresenta os resultados abaixo.
Tabela 5: Custo do Consumo de Energia.
Experimento
Velocidade de
Tempo do
Potência do motor
Custo
Rotação do
experimento
(hp)
(R$)
motor (rpm)
Experimento 01
1800
58,635 dias
1
4.062,29
Experimento 02
1800
58.634,9 dias
1
Inviável
(160,5 anos)
Experimento 03
1800
58,635 dias
2
8.124,58
Experimento 04
1800
58.634,9 dias
2
Inviável
(160,5 anos)
Experimento 05
1800
58,635 dias
3
12.186,87
Experimento 06
1800
58.634,9 dias
3
Inviável
(160,5 anos)
Experimento 07
3450
15,961 dias
4
4.423,21
Experimento 08
3450
15.961,1 dias
4
Inviável
(43,7 anos)
Experimento 09
Experimento 10
3465
15,823 dias
2
2.192,50
3465
15.823,2 dias
2
Inviável
(43,7 anos)
Experimento 11
3600
14, 659 dias
1
1.015,57
Experimento 12
3600
14.658,7 dias
1
Inviável
(40,1 anos)
Experimento 13
3600
14, 659 dias
2
2.031,15
Experimento 14
3600
14.658,7 dias
2
Inviável
(40,1 anos)
Experimento 15
3600
14, 659 dias
5
5.077,86
Experimento 16
3600
14.658,7 dias
5
Inviável
(40,1 anos)
Experimento 17
3600
14, 659 dias
10
10.155,77
Experimento 18
3600
14.658,7 dias
10
Inviável
(40,1 anos)
Experimento 19
3600
14, 659 dias
15
15.233,59
Experimento 20
3600
14.658,7 dias
15
Inviável
(40,1 anos)
Experimento 21
3490
15,597 dias
5
5.403,00
Experimento 22
3490
15,597,3 dias
5
Inviável
(42,7 anos)
Os resultados da tabela 5 mostram que quanto mais potente for o motor, maior é o
consumo de energia. Os custos para os relógios com precisão de 10 −6 s são razoáveis. Já,
os custos para os relógios 10 −3 s são inviáveis devido ao tempo utilizado para se realizar o
experimento.
O gasto para os motores com maior potência é maior, mas há vários fatores que
favorecem seu uso. Alguns fatores podem ser considerados:
¾ O tempo que o motor leva para atingir velocidade angular constante é menor.
Assim, pode-se aproveitar melhor o movimento do motor.
¾ Quando a velocidade é constante, o desgaste do motor mais potente será menor,
pois ele terá mais “facilidade” para girar do que o motor menos potente. Sendo
assim, o desempenho do motor mais potente é melhor.
¾ Como o desgaste é menor, haverá uma maior durabilidade do motor.
Porém, o objetivo deste trabalho é um experimento de baixo custo e os motores de
menor potência apresentam um gasto de energia menor. Assim, estes são os mais
indicados para este projeto.
Para cálculo do custo total levou-se em conta o preço de cada motor e o custo de
energia do motor ligado durante o tempo do experimento. Sendo assim, para o custo de
cada experimento não foi levando em conta os custos dos relógios, pois este é o mesmo
para todos os experimentos. O relógio mais indicado é o Relógio 4 da Tabela 1, este
microchip é mais leve (estimativa), o que facilita o desenvolvimento do experimento e
apresenta menor custo. O custo para cada experiência imaginada está na tabela abaixo.
Como as experiências de números pares, feitas com relógios com precisão de 10 −3 s , foram
inviáveis devido ao tempo de cada experimento ser grande, não será possível obter o custo
destes experimentos. Assim, a tabela abaixo mostra os custos para os experimentos de
número ímpar que estão relacionados com os relógios com precisão de 10 −6 s .
Tabela 6: Custo do experimento
Experimentos
Custos (R$)
Experimento 01
4.502,49
Experimento 03
8.678,74
Experimento 05
12.827,50
Experimento 07
5.369,21
Experimento 09
2.592,50
Experimento 11
1.549,89
Experimento 13
2.793,57
Experimento 15
6.910,67
Experimento 17
12.806,98
Experimento 19
17.233,59
Experimento 21
5.989,00
De acordo com a tabela acima, o experimento 11 é o que apresenta o custo menor,
sendo o mais indicado. O motor elétrico referente a este experimento é o de 3600 rpm com
1 hp de potência.
O cálculo para os custos dos relógios foi baseado na cotação do dólar no dia 30 de
maio de 2006 (Banco do Brasil). O valor do dólar comercial para compra é R$ 2,3310. Como
são quatro relógios, o custo total dos relógios é de R$ 5,03 e deve ser acrescentado na
tabela acima. Nos cálculos acima não foi levado em conta o custo da base para o motor, o
custo do disco metálico e o custo das ligações das chaves para acionar os relógios e o
motor. Dessa forma, para se obter um valor mais preciso do custo total deve-se levar em
conta o custo do aparato mais o apresentado na Tabela 6, referente a cada experimento.
CONCLUSÃO
Este projeto cumpriu o objetivo proposto de estudar a possibilidade de se construir um
experimento de baixo custo para testar os efeitos da dilatação do tempo. Alguns resultados
importantes foram obtidos.
Como visto no item 3.2, a aceleração centrípeta não tem efeito sobre a dilatação do
tempo, ou seja, não é necessário levar em consideração os efeitos da relatividade geral. Já
a aceleração angular tem efeito sobre a dilatação do tempo, como foi mostrado no item 3.3,
mas não foi levada em conta neste trabalho, pois esta diminui a dilatação do tempo.
Considerou-se apenas o movimento com aceleração angular igual à zero.
O cálculo da dilatação do tempo, considerando o movimento com velocidade angular
constante, depende apenas do efeito da relatividade especial. Assim, a equação
responsável pela dilatação do tempo, quando a aceleração angular é zero, é
(∆t − ∆t ') = ϖ 2 r 2
∆t '
2c 2
.
Para se obter bons resultados para os cálculos da dilatação do tempo é importante que o
raio do disco seja grande, o que aumenta o valor da velocidade e, consequentemente, a
dilatação do tempo. No entanto, é preciso levar em conta o espaço físico disponível.
A construção do experimento tem certas dificuldades. Por exemplo, colocar uma placa
circular de metal para girar por um motor é uma tarefa que dispõe de muitos cuidados. Além
do mais, é preciso de um espaço relativamente grande, pois a área ocupada pela plataforma
é grande, além de ficar ocupada por vários dias ou, até mesmo, meses.
As massas dos relógios é outro fator importante, dependendo da massa é muito difícil,
senão inviável, colocar os relógios para girar. Por esta razão optou-se pelo microchip
SA556, pois é o relógio com uma massa estimada de menor valor.
Para desenvolver este projeto é necessário criar um circuito no qual seja possível
acionar todos os relógios ao mesmo tempo. Como a precisão do relógio viável para
realização deste experimento é de 10 −6 s , é importante que os quatros relógios iniciem a
contagem em um tempo zero até a casa dos microsegundos. Além do mais, as chaves que
acionam o motor e os relógios devem ser colocadas separadas para que seja possível
acioná-las em tempos diferentes, já que será considerado um movimento com velocidade
angular constante. Assim, o tempo em que o motor adquire velocidade angular constante
deve ser calculado, para que seja possível acionar a chaves dos relógios após esse tempo.
Em alguns meses é possível perceber o fenômeno da dilatação do tempo sobre os
relógios na casa dos microsegundos. O custo total para os experimentos com relógios com
precisão de 10 −6 s é viável e é possível fazer estes experimentos, pois os gastos não são
absurdos.
Para os relógios com precisão de 10 −3 s é totalmente inviável fazer os experimentos. O
tempo para realização do experimento é muito grande, da ordem de anos. Sendo assim, os
custos são muito altos, principalmente o que se refere ao consumo de energia. Se fosse
possível deixar um motor funcionando perfeitamente por, por exemplo, 40 anos, o consumo
de energia seria altíssimo. No anexo é possível ver os valores desses custos, a título de
curiosidade, para estes relógios.
Sendo assim, o experimento que apresentou um melhor resultado foi o experimento 11.
Neste experimento foi utilizado o relógio com precisão de 10 −6 s , o relógio mais indicado é o
microchip, e o motor de 3600 rpm, por disponibilizar o menor tempo para realização do
experimento. O motor escolhido tem potência de 1 cavalo, por apresentar o menor custo. O
custo total deste experimento é de aproximadamente R$ 1.549,89. Neste cálculo não foi
levado em conta os custos dos relógios, da plataforma e nem das ligações. . No entanto,
não é possível realizar este experimento com este relógio, pois a precisão diminui para
tempos elevados.
Se for conveniente, pode-se colocar mais um par de relógios para girar. Dessa forma,
coloca-se um par para girar em um raio maior e outro em um raio menor e, assim, perceber
que a dilatação é maior para os relógios que se movem a uma velocidade maior. Porém, se
o
raio
for
diminuído
para
um
dos
relógios,
a
dilatação
do
tempo
diminuirá
consideravelmente, dificultando a realização deste tipo de experiência. Assim, o melhor
seria aumentar o raio para um dos relógios, mas a realização se tornaria mais difícil, pois o
espaço ocupado seria ainda maior.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me dado a oportunidade para cursar esta graduação e por
me capacitar para desenvolver este trabalho. Por ter me dado força, pois sei que sem Ele eu
nada poderia fazer. Agradeço a minha família que, em nenhum instante, deixou de acreditar
em mim. Pelo contrário, esteve sempre presente me incentivando e dando forças para
prosseguir, não permitindo nunca que desistisse dos meus sonhos. Agradeço aos
professores orientadores, Prof. Dr Cláudio Manoel e Prof. Dr. Ivan Ferreira da Costa, pela
contribuição e paciência no desenvolvimento deste trabalho e ao colega de curso, Hugo
Alves Dutra, pela contribuição no desenho do experimento.
BIBLIOGRAFIA
ABDALLA, M.C.B.; KON S. (ilustrações). O discreto charme das partículas elementares. São
Paulo: Editora UNESP, 2006. 344 p. ISBN 85-7139-641-8
BAILEY, J. et al. Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons
in a circular orbit. Nature, volume 268, 28 july 1977.
Banco do Brasil. Disponível em: <http://www21.bb.com.br/appbb/portal/iec/iece.jsp >.
Acesso: 30 de maio de 2006.
DAVIES, Paul. 2003. Como construir uma máquina do tempo. Disponível em:
<http://www.gradiva.pt/capitulo.asp?L=2123> . Acesso em: 24 de maio de 2006.
EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Física quântica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos
e partículas. 7. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1979. 928p ISBN 85-7001-309-4
IORIO, Lorenzo. On the clock paradox in the case of circular motion of the moving clock.
Eur. J. Phys. 26, 2005. 535- 541 p.
PENA, F. L. A. Por que, nós professors de Física do Ensino Médio, devemos inserir tópicos
e idéias de Física moderna e contemporânea na sala de aula? Revista Brasileira de Ensino
de Física, volume 28, nº 1, 2006. 1-2 p.
PEZENTE, J.H. Consumo de energia. Disponível em: <http://www.escolher-econstruir.eng.br/Dicas/DicasI/Kwatt/pag1.htm>. Acesso em: 24 de maio de 2006.
PINET, J. Teoria da relatividade. Disponível em: <http://www.geocities.com/pinetjax/5.htm>.
Acesso em: 25 de março de 2005.
Relógio01. Disponível em: <http://www.goalsports.com/refgear/timers.htm>. Acesso: 31 de
maio de 2006.
Relógio02. Disponível em: < http://www.amazon.com/gp/product/B0007SXJSU/1032999411-5632619?v=glance&n=3375251>. Acesso: 31 de maio de 2006.
Relógio03. Disponível
dezembro de 2005.
em:
<http://www.laurels.com/stopwatch.htm>.
Acesso:
10
de
Relógio04: Disponível em: <http://focus.ti.com/docs/prod/folders/print/sa556.html>. Acesso
em: 17 de maio de 2006.
SERWAY, R. A.; MOSES, C.J,; MOYER, C. A. Modern Physics. 2. ed. Saunders College
Publishing, 1997. 666 p. ISBN 0-03-001547-2.
SERWAY, Raymond A.; MACEDO, Horácio (Trad.). Física: para cientistas e engenheiros :
com física moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. ISBN 8521610750.
TAYLOR, John R.; ZAFIRATOS, Chris D. Modern Physics for scientistis and engineers. New
Jersey, Prentice Hall, Englewood Cliffs., 1991. 576 p. ISBN 0-13-589789-0.
TIPLER, Paul Allen; LLEWELLYN, Ralph A.; BIASI, Ronaldo Sérgio de. (Trad.). Física
moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2001. 515 p. ISBN
8521612745
ANEXO
> restart:
Abaixo está o programa feito para calcular a dilatação do tempo e o custo para cada
experimento.
Como parâmetros de entradas, se tem:
A velocidade angular do motor em rotações por minuto (rpm), a potência do motor, o raio em
que os relógios serão colocados em relação ao centro do disco e a precisão dos relógios.
> dilatacao:=proc(omegaRpm,P,r,deltaT)
> local TE,omega, c, W, custo;
Conversão de unidade da velocidade angular, transformando para radianos por segundo
(rad/s).
> omega:=evalf(omegaRpm*2*Pi/60);
Velocidade da luz
> c:=3e8;
Equação da dilatação do tempo.
> TE:=evalf((2*c^2*deltaT)/(omega^2*r^2))/(3600*24);
Energia gasta pela rotação dos motores elétricos. O fator 745,7 é o fator de conversão de
unidade da potência, transformando para Watts (W).
> W:=P*745.7*TE*24;
O custo foi dividido por 100 para que fosse possível obté-lo em reais.
> custo:=W*0.3871142/100;
Parâmetros de saída:
> print("A velocidade angular, em rad/s, é", omega);
> print("O tempo para perceber a dilatação especial, em dias,
é", TE);
> print("O tempo para perceber a dilatação especial, em anos,
é", TE/365.24);
> print("A energia consumida pelo motor é:", W);
> print("O custo da energia consumida pelo motor, em reais,
é:", custo);
> end:
> dilatacao(1800,1,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58.63494424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .1605381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .1049377870 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 4062.290746
> dilatacao(1800,1,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58634.94424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 160.5381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .1049377870 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .4062290746 10 7
> dilatacao(1800,2,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58.63494424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .1605381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .2098755741 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 8124.581497
> dilatacao(1800,2,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58634.94424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 160.5381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .2098755741 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .8124581497 10 7
> dilatacao(1800,3,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58.63494424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .1605381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .3148133610 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 12186.87224
> dilatacao(1800,3,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 188.4955592
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 58634.94424
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 160.5381235
"A energia consumida pelo motor é:" , .3148133610 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .1218687224 10 8
> dilatacao(3600,1,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14.65873605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04013453085
"A energia consumida pelo motor é:" , 262344.4673
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 1015.572686
> dilatacao(3600,1,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14658.73605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 40.13453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .2623444673 10 9
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .1015572686 10 7
> dilatacao(3600,2,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14.65873605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04013453085
"A energia consumida pelo motor é:" , 524688.9347
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 2031.145372
> dilatacao(3600,2,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14658.73605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 40.13453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .5246889347 10 9
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .2031145372 10 7
> dilatacao(3600,5,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14.65873605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04013453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .1311722337 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 5077.863431
> dilatacao(3600,5,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14658.73605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 40.13453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .1311722337 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .5077863431 10 7
> dilatacao(3600,10,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14.65873605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04013453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .2623444673 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 10155.72686
> dilatacao(3600,10,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14658.73605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 40.13453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .2623444673 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .1015572686 10 8
> dilatacao(3600,15,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14.65873605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04013453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .3935167011 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 15233.59029
> dilatacao(3600,15,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 376.9911185
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 14658.73605
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 40.13453085
"A energia consumida pelo motor é:" , .3935167011 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .1523359029 10 8
> dilatacao(3450,4,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 361.2831552
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15.96111904
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04370035877
"A energia consumida pelo motor é:" , .1142611821 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 4423.212610
> dilatacao(3450,4,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 361.2831552
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15961.11904
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 43.70035877
"A energia consumida pelo motor é:" , .1142611821 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .4423212610 10 7
> dilatacao(3465,2,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 362.8539515
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15.82322664
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04332281962
"A energia consumida pelo motor é:" , 566370.2451
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 2192.499643
> dilatacao(3465,2,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 362.8539515
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15823.22664
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 43.32281962
"A energia consumida pelo motor é:" , .5663702451 10 9
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .2192499643 10 7
> dilatacao(3490,5,1,1e-6);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 365.4719453
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15.59734480
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , .04270437191
"A energia consumida pelo motor é:" , .1395712802 10 7
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , 5403.002448
> dilatacao(3490,5,1,1e-3);
"A velocidade angular, em rad/s, é" , 365.4719453
"O tempo para perceber a dilatação especial, em dias, é" , 15597.34480
"O tempo para perceber a dilatação especial, em anos, é" , 42.70437191
"A energia consumida pelo motor é:" , .1395712802 10 10
"O custo da energia consumida pelo motor, em reais, é:" , .5403002448 10 7