Física
Física – Módulo 1
Velocidade Relativa,
Movimento de Projéteis, Movimento Circular
Física
Velocidade Relativa
Um Gedankenexperiment
Imagine-se agora em um avião, a 350 km/h.
O destino (a direção) é por conta de sua imaginação. ☺
Esta velocidade é medida em relação a um observador (um ponto fixo, um
referencial) na que está na terra.
Agora imagine-se correndo dentro deste avião, indo do fundo em direção a
cabine) a uma velocidade de 20 km/h (indo seqüestrar o vôo, talvez...)
Nesta situação, qual seria a sua velocidade se observada no mesmo referencial
na terra?
Física
Velocidade Relativa
A velocidade de um corpo é medida em relação ao um sistema de
coordenadas que, por sua vez, está em movimento em relação a um outro
sistema de coordenadas.
Pessoa andando com velocidade vpc (velocidade pessoa-carro)
Física
Velocidade Relativa
O carro se move com uma velocidade vcs (velocidade carro-solo)
Neste caso, a velocidade da pessoa em relação ao solo (vps) será igual a soma
das duas velocidades:
vps = vcs + vpc
A
adição
das
velocidades
relativas é feita da mesma forma
que a adição de deslocamento:
vpc
vcs
- graficamente
- ou analiticamente (mediante suas componentes)
Física
Velocidade Relativa – Um exemplo simples...
• velocidade do garoto em relação à água (vga) = 2m/s
• velocidade da água em relação à margem (vam) = 3 m/s
• velocidade do garoto em relação à margem (v) = ?
Física
Uma aplicação interessante...
Movimento dos
Projéteis
Física
Movimento dos Projéteis
Uma aplicação interessante do movimento bidimensional é a de um projétil.
Projétil é um corpo que é lançado no ar e depois move-se livremente sob a ação
da gravidade.
O projétil tem aceleração constante, dirigida verticalmente para baixo, com
módulo
g = 9,81 m/s2 (aceleração da gravidade)
Física
Movimento dos Projéteis
No movimento dos projéteis, se considerarmos que a aceleração é
constante, as componentes horizontais e verticais do movimento são
independentes.
Assim, podemos tratar o problema como dois problemas unidimensionais
independentes.
Exemplificando...
Considere uma bola lançada ao ar, com
velocidade inicial v0, conforme gráfico ao
lado.
Vamos assumir que
ax = 0
ay = - g
tomando o eixo y como positivo para cima e o eixo x positivo na direção do
movimento.
Física
Movimento dos Projéteis
Suponhamos que o projétil seja lançado da origem. A velocidade inicial é v0 e a
partícula é lançada com um angulo θ com o eixo horizontal. Assim, as
componentes da velocidade são
v0x = v0 cosθ
v0y = v0 senθ
Como não há aceleração em
componente x da velocidade é
x,
a
vx = v0x
Entretanto, a componente y da velocidade
varia com o tempo, de acordo com
vy = v0y - gt
já que existe a aceleração em y.
As componentes do deslocamento do
projétil são :
∆x = v0x t
∆y = v0y t – ½ gt 2
v0 = v0x + v0y
v0x = v0 cosθ
v0y = v0 senθ
Física
Movimento dos Projéteis – Quadro geral
Para o caso ay = -g e ax=0, teremos:
componente x de r (deslocamento)
x = x0 + v0 x t
componente x de v (velocidade)
vx = v0 x
componente y de r (deslocamento)
componente y de v (velocidade)
2
1
y = y0 + v0 y t −
gt
2
v y = v0 y − gt
r0 = x0 i + y0 j
em t =0
v 0 = v0 x i + v0 y j
Observe que na direção x, a velocidade vx é constante!
Física
Movimento dos Projéteis – Equação da trajetória
Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem)
de x = v0x t podemos escrever que
t = x/v0x
substituindo t na equação abaixo
1 2
y = y0 + v0 y t − gt
2
encontramos a equação da trajetória
1  x 
y=
x− g

v0 x
2  v0 x 
v0 y
Equação de uma parábola!
2
Foto estroboscópica do
movimento parabólico
Física
Movimento dos Projéteis – Aceleração da gravidade
• A coordenada y é independente da
velocidade vx.
• Isto é ilustrado na figura ao lado
onde duas bolas são jogadas sob
ação da gravidade.
• A vermelha é solta e a amarela tem
velocidade inicial vx.
Em cada instante elas têm a mesma
altura!!
Física
Movimento dos Projéteis - Exemplo
As componente do vetor velocidade inicial são:
O tempo de permanência da bola no ar pode ser encontrado utilizando a equação
∆y = v0y t – ½ gt 2
Como a bola subiu e desceu (!), ∆y = 0. Resolvendo para t encontramos
Esta equação tem uma raiz t = 0 (condições iniciais) e uma outra,
Física
Movimento dos Projéteis – Exemplo (cont.)
Ao lado temos um gráfico de y contra
t e de y contra x.
Este gráfico é obtido utilizando a
equação da trajetória, com x0 = y0 = 0
Física
Movimento dos Projéteis
Exercício
A mesma bola do exercício anterior foi agora lançada de um penhasco com 55
metros de altura (veja o desenho). Calcule onde a bola irá atingir o solo.
v0 = 50m/s
55 m
37o
Alcance = ?
Observe que agora o ∆y é diferente de 0.
R: 300m
Física
Movimento Circular
Uniforme
Física
Movimento Circular uniforme
O movimento circular é comum na natureza e em nosso cotidiano
Exemplos:
Movimento de satélites artificiais.
Pontos em um disco de vitrola.
Disco rígido de computador.
Nesta seção estudaremos uma partícula
que descreve uma circunferência com
velocidade constante.
Este movimento tem velocidade com
módulo constante porém sua direção muda
continuamente.
Desenho de Newton
(System of the World):
Relação entre o movimento
de um projétil e o movimento
de um satélite
Física
Movimento Circular
No movimento circular usamos coordenadas polares
(ρ ,φ )
O arco descrito no movimento circular
é dado por
s = Rφ
onde
ρ = R ; fixo
Como o raio é constante,
a única variável é o ângulo φ.
s
Física
Movimento Circular uniforme
A posição angular é uma função do
tempo, φ(t).
O arco descrito em dt é dado por
ds = R dφ.
Então:
ds
dφ
=v=R
dt
dt
Definimos assim a velocidade angular
A velocidade angular se relaciona
com a velocidade escalar por
dφ
ω=
dt
v = ωR
Física
Movimento Circular e uniforme
Uma volta completa
2π R = vT
Período do movimento
2π R 2π
T=
=
v
ω
Freqüência
Velocidade angular e freqüência
1
f =
T
Unidades
[T ] = s
ω = 2π f
1
[ f ] = = s −1 = Hz
[T ]
Física
Movimento Circular – Aceleração centrípeta
Se a direção da velocidade da partícula se altera, mesmo mantendo
seu modulo constante, a partícula está acelerada.
Esta aceleração é conhecida como
aceleração centrípeta, e é dada por:
2
v
ac =
r
A aceleração centrípeta tem direção
do vetor posição e aponta para o
centro da circunferência.
Física
Movimento Circular e uniforme Exercícios:
1 – Uma bola amarrada a um fio descreve um círculo horizontal de
raio 2 m e faz uma volta em 3s. Calcule a aceleração.
Para encontrar a aceleração, devemos primeiro calcular a velocidade escalar.
2π r 2π (2 m)
v=
=
= 4,19 m/s
3s
T
O módulo da aceleração da bola é então
v 2 (4,19 m/s) 2
a= =
= 8,78 m/s 2
r
2m
A direção da aceleração é a do raio do circulo, dirigida para o centro.
Física
Movimento Circular e uniforme Mais Exercícios:
1 – Um carro faz uma curva de raio 30 m. Se a aceleração
centrípeta máxima que pode ser provocada pelo atrito for 5m/s2,
qual a velocidade máxima do carro em km/h?
R: 44 km/h
2 – Um satélite se move, com velocidade constante, numa órbita
circular em torno do centro da terra (raio da órbita = 6.370 km). Se
sua aceleração for de 9,8 m/s2, qual a sua velocidade e quanto
tempo leva para completar uma revolução completa?
R: v=7,91 km/s e T = 84,3 min
Física
Para o próximo encontro...
Prova: Dia 14/01/13.
Se eu fosse você, passava o
Natal estudando...
Atenção:
Estudem os exemplos dados nesta aula e o exercício proposto..
Leiam o livro texto e resolvam as listas de exercício.