EXATAS
Questão 1
essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamento desses
planetas possa ser observado do mesmo local.
Resposta
Resposta
Nessa residência, no mês de novembro, foram
consumidos 0,33 ⋅ 25 000 = 8 250 litros de água
com descarga de banheiro e 0,25 ⋅ 25 000 = 6 250
litros de água com higiene pessoal.
Supondo que tal proporção se mantenha para
cada membro da família, a adolescente consumiu
0,40 ⋅ 8 250 = 3 300 litros de água com descarga
de banheiro e 0,40 ⋅ 6 250 = 2 500 litros de água
com higiene pessoal.
Questão 2
A tabela mostra aproximadamente a duração
do ano (uma volta completa em torno do Sol)
de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre.
Planeta
Duração do ano
Júpiter
12 anos terrestres
Saturno
30 anos terrestres
Urano
84 anos terrestres
Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um
determinado local na Terra, determine, após
O próximo alinhamento desses planetas acontecerá no tempo dado pelo mínimo múltiplo comum
entre 12 = 2 2 ⋅ 3, 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 e 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ,
ou seja, 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 anos.
Questão 3
Ao ser inaugurada, uma represa possuía
8 mil m3 de água. A quantidade de água da
represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil
m3 .
em milhares de metros cúbicos
Em uma determinada residência, o consumo
mensal de água com descarga de banheiro
corresponde a 33% do consumo total e com
higiene pessoal, 25% do total. No mês de novembro foram consumidos 25 000 litros de
água no total e, da quantidade usada pela residência nesse mês para descarga de banheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 40%. Determine a
quantidade de água, em litros, consumida
pela adolescente no mês de novembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene
pessoal.
8
5
0
8
t (anos)
Se for mantida essa relação de linearidade
entre o tempo e a quantidade de água em m3 ,
determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m3 .
Resposta
Seja y a quantidade de água na represa, em milhares de m 3 .
Do gráfico, o coeficiente angular da reta é
5 −8
3
= − . Como o ponto (0; 8) pertence à
8 −0
8
3
3
reta, y − 8 = − (t − 0) ⇔ y = − ⋅ t + 8 .
8
8
3
Logo, para y = 2 , temos 2 = − ⋅ t + 8 ⇔
8
⇔ t = 16 anos.
matemática 2
Questão 4
Questão 5
O gráfico representa o consumo mensal de
água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa
residência são dadas a seguir.
Segundo a Teoria da Relatividade de Einstein,
se um astronauta viajar em uma nave espacial muito rapidamente em relação a um referencial na Terra, o tempo passará mais devagar para o astronauta do que para as pessoas
que ficaram na Terra. Suponha que um pai
astronauta, com 30 anos de idade, viaje numa
nave espacial, numa velocidade constante, até
o planeta recém-descoberto GL581c, e deixe
na Terra seu filho com 10 anos de idade. O
tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o
tempo T decorrido para o astronauta, em função da velocidade v dessa viagem (ida e volta,
relativamente ao referencial da Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração), são
dados respectivamente pelas equações
40c
t =
,
v
37
38
34 33
30
20
32
28
26
30
29
32
30
18
10
0
de
z
0
ja 6
n
07
fe
v
0
m 7
ar
0
ab 7
r0
m 7
ai
0
ju 7
n
07
ju
l0
ag 7
o
07
se
t0
7
ou
t0
no 7
v
07
metros cúbicos de água
consumo em metros cúbicos
40
meses
Faixa f (m3 )
Tarifa (R$)
0 ≤ f ≤ 10
0,50
10 < f ≤ 20
1,00
20 < f ≤ 30
1,50
30 < f ≤ 40
2,00
Assim, por exemplo, o gasto no mês de março,
que corresponde ao consumo de 34 m3 , em
reais, é:
T =
Resposta
Admitindo que a tarifa é R$/m 3 , o gasto X, com
os consumos de janeiro (38 m 3 ) e fevereiro (18
m 3 ) juntos, é (10 ⋅ 0,50 + 10 ⋅ 1,00 + 10 ⋅ 1,50 +
+ 8 ⋅ 2,00) + (10 ⋅ 0,50 + 8 ⋅ 1,00) = 59 reais e o gasto Y, com os meses de julho (26 m 3 ) e agosto
(30 m 3 ) juntos, é (10 ⋅ 0,50 + 10 ⋅ 1,00 + 6 ⋅ 1,50) +
+ (10 ⋅ 0,50 + 10 ⋅ 1,00 + 10 ⋅ 1,50) = 54 reais.
Logo X − Y = 59 − 54 = 5 reais.
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟ ,
⎝c⎠
onde c é uma constante que indica a velocidade da luz no vácuo e t e T são medidos em
anos. Determine, em função de c, a que velocidade o pai deveria viajar de modo que,
quando retornasse à Terra, ele e seu filho estivessem com a mesma idade.
10×0,50 + 10×1,00 + 10×1,50 + 4×2,00 = 38,00.
Vamos supor que essas tarifas tenham se
mantido no ano todo. Note que nos meses de
janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m3 de água e para pagar essas duas
contas foram gastos X reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto,
juntos, mas para pagar essas duas contas
foram gastos Y reais. Determine a diferença
X − Y.
2
40c
v
Resposta
No momento em que o pai retorna à Terra, ele
tem 30 + T anos e seu filho, 10 + t anos. Assim,
para que eles tenham a mesma idade nesse momento, devemos ter 30 + T = 10 + t ⇔
⇔ 20 +
40c
⎛v ⎞
1−⎜ ⎟
⎝c ⎠
v
⎛c ⎞
⇔2 ⎜ ⎟
⎝v ⎠
2
⎛c ⎞
⇔2 ⎜ ⎟
⎝v ⎠
2
2
2
=
⎛c ⎞ ⎛v ⎞
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝v ⎠ ⎝c ⎠
−1 = 2
40c
⇔
v
2
=2
c
−1 ⇔
v
c
c
− 1. Sendo x = , temos
v
v
2 x 2 − 1 = 2x − 1 ⇔
4x 2 − 4 = 4x 2 − 4x + 1
⇔
2x − 1 ≥ 0
5
c
5
5
4
, ou seja,
⇔
⇔x =
=
⇔
1
v
4
4
x ≥
2
4
⇔ v = c.
5
x =
matemática 3
y
Questão 6
gráfico da função f(x), sem escala
Astrônomos da Universidade da Califórnia fizeram um estudo com cerca de 750 estrelas,
sendo 60 delas com planetas e 690 sem planetas (dados aproximados), e constataram que
as estrelas com maior índice de ferro (em relação ao índice do Sol) têm maior probabilidade de abrigar planetas. A tabela mostra o número de estrelas com planetas (C) e sem planetas (S), relativamente ao índice de ferro,
denotado por i.
Índice de ferro
C
S
Total
0< i<1
15
360
375
1≤ i< 2
30
270
300
2≤ i≤ 3
15
60
75
Total
60
690
750
(exoplanets.org/metalicity.html. Adaptado.)
Utilizando a tabela, mostre que a probabilidade P(C|{1 ≤ i ≤ 3}), de uma estrela ter planetas dado que 1 ≤ i ≤ 3, é 50% maior que a
probabilidade P(C) de uma estrela ter planetas.
Resposta
A probabilidade de uma estrela ter planetas é
15 + 30 + 15
60
2
e
P(C) =
=
=
375 + 300 + 75
750
25
30 + 15
45
3
P(C |{1 ≤ i ≤ 3}) =
=
=
.
300 + 75
375
25
3
Logo P(C |{1 ≤ i ≤ 3}) =
⋅ P(C) = 1,5 P(C), ou
2
seja, 50% maior que a probabilidade P(C) de uma
estrela ter planetas.
Questão 7
Considere a representação gráfica da função
3πx
definida por f(x) = sen (
) ⋅ ( −1 + x − 1 ).
2
P
Q
R
S
x
1.0
Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pontos de interseção do gráfico da
função f com o eixo das abscissas. Determine
as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa
ordem.
Resposta
As abscissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f, de domínio [1; +∞[, com o eixo das
abscissas são as raízes da equação f(x) = 0 ⇔
⎛ 3 πx ⎞
⎛ 3 πx ⎞
⇔ sen ⎜
⎟ ( −1 + x − 1 ) = 0 ⇔ sen ⎜
⎟ =0
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
3 πx
ou −1 + x − 1 = 0 ⇔
= kπ, k ∈ Z , ou
2
2k
x =2 ⇔x =
, k ∈ Z, k ≥ 2.
3
Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pontos de interseção de f com o eixo das abs⎛4
⎞
⎛8
⎞
cissas são P = ⎜ ; 0 ⎟ , Q = (2; 0), R = ⎜ ; 0 ⎟ e
⎝3
⎠
⎝3
⎠
⎛ 10
⎞
S =⎜
; 0⎟ .
⎝3
⎠
Questão 8
O brilho de uma estrela percebido pelo olho
humano, na Terra, é chamado de magnitude
aparente da estrela. Já a magnitude absoluta
da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância
padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3×1013 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis
para se determinar sua distância ao planeta
Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a
matemática 4
magnitude absoluta de uma estrela, a relação
entre m e M é dada aproximadamente pela
fórmula
M = m + 5 ⋅ log3 (3 ⋅ d −0 ,48 )
onde d é a distância da estrela em parsecs. A
estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta −6,8.
Determine a distância, em quilômetros, de
Rigel ao planeta Terra.
Resposta
Questão 10
Numa região muito pobre e com escassez de
água, uma família usa para tomar banho um
chuveiro manual, cujo reservatório de água
tem o formato de um cilindro circular reto de
30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases
são círculos paralelos, de raios medindo
12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura
10 cm, como mostrado na figura.
Sendo m = 0,2 e M = −6,8 as magnitudes aparente
e absoluta, respectivamente, temos:
0,2 + 5 ⋅ log 3 (3 ⋅ d −0,48 ) = −6,8 ⇔
⇔ 5 ⋅ log 3 (3 ⋅ d −0,48 ) = −7 ⇔
7
⇔ log 3 (3 ⋅ d −0,48 ) = −
⇔
5
7
⇔ 1 + log 3 d −0,48 = −
⇔
5
12
⇔ −0,48 ⋅ log 3 d = −
⇔
5
12
−
5 ⇔
⇔ log 3 d =
48
−
100
⇔ log 3 d = 5 ⇔ d = 3 5 parsecs.
Logo a distância de Rigel ao planeta Terra é
3 5 ⋅ 3 ⋅ 1013 = 3 6 ⋅ 1013 = 7,29 ⋅ 1015 km.
Questão 9
O planeta Terra descreve seu movimento de
translação em uma órbita aproximadamente
circular em torno do Sol. Considerando o dia
terrestre com 24 horas, o ano com 365 dias e
a distância da Terra ao Sol aproximadamente
150 380×10 3 km, determine a velocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a aproximação
π = 3.
30 cm
12 cm
10 cm
6 cm
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento
que provoca um desperdício de 46,44 litros de
água por dia. Considerando a aproximação
π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de
água desperdiçada seja igual à usada para
6 banhos, ou seja, encher completamente
6 vezes aquele chuveiro manual. Dado:
1 000 cm3 = 1 litro.
Resposta
Considere a figura a seguir:
30 cm
Resposta
A velocidade média, em quilômetros por hora,
com que a Terra gira em torno do Sol é dada por
2 π ⋅ 150 380 ⋅ 10 3
≅ 103 000 km/h, usando a
365 ⋅ 24
aproximação π = 3.
,
,
O 12 cm
B
10 cm
10 cm
,
A
O 6 cm
A
V
B
matemática 5
Os triângulos VOA e VO’B são semelhantes pelo
OA
caso AA, com razão de semelhança k =
=
O’ B
6
1
.
=
=
12
2
Assim, os cones VAA’ e VBB’, de volumes v e V,
respectivamente, são semelhantes, com razão
3
v
v
⎛1 ⎞
entre volumes
= (k) 3 ⇔
=⎜ ⎟ ⇔
⎝
⎠
V
V
2
1
⇔v =
⋅ V.
8
1
Como V =
π ⋅ 12 2 ⋅ 20 = 960 π cm 3 , temos
3
1
⋅ 960 π = 120 π cm 3 .
8
Assim o volume do tronco é 960 π − 120 π =
= 840 π cm 3 .
Finalmente, o volume do chuveiro é igual ao volume
do cilindro de raio da base 12 cm e altura 30 cm
mais o volume do tronco, ou seja, π ⋅ 12 2 ⋅ 30 +
+ 840 π = 5 160 π cm 3 . Adotando π = 3, obtemos
5 160 ⋅ 3 = 15 480 cm3 = 15,48 l.
Logo o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o volume de 6 chuveiros
6 ⋅ 15,48
é
= 2 dias.
46,44
v=
Matemática – bom nível de exigência
Podemos afirmar que a prova de Conhecimentos Específicos de Exatas da VUNESP
deste ano primou pela elaboração de situações contextualizadas com enunciados longos. Se por um lado isso tornou o exame mais interessante, por outro exigiu, por parte
dos candidatos, mais tempo e atenção na resolução de cada questão. Confirmando a
tendência já anunciada, a prova não apresentou itens em suas questões. Junto com o
vestibular de ontem, apresentou boa distribuição dos assuntos e deverá cumprir bem
com a tarefa de seleção dos melhores candidatos.
Trigonometria
10%
Geometria
Analítica
10%
Álgebra
30%
Geometria
20%
Aritmética
30%