CAPITULO
9
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
Deflexão das Vigas
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal
• Vimos a seguinte relação entre a curvatura
de uma viga e o momento fletor:
1


M ( x)
EI
• Para a viga em balanço da figura, temos:
1


Px
EI
• A curvatura varia linearmente com x
• Na extremidade
livre A,
• Na extremidade
engastada B,
1
 0,
ρA
1
B
ρA  
 0,  B 
EI
PL
1-2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal
• Para a viga biapoiada da figura:
• Determinamos as reações de apoio em A e C;
• Escrevemos as equações e desenhamos o
diagrama de momento fletor;
• Observamos que a curvatura é zero, nos pontos
onde o momento é nulo, isto é, nas extremidades
da viga e no ponto E.
• Notamos também que a curvatura máxima ocorre
onde a magnitude do momento é máxima.
1


M ( x)
EI
• A curvatura nos dá, então, uma idéia razoável da
forma da viga deformada.
• O projeto de vigas exige informações mais
precisas sobre o deslocamento transversal e a
inclinaçao da viga em vários pontos.
1-3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Equação de Linha Elástica
• Do cálculo elementar, temos que a curvatura de
uma curva é dada por:
d2y
1

1


M ( x)
EI

dx 2
2 3 2
  dy 
1    
  dx  

d2y
dx 2
• Substituindo e integrando, temos:
EI
1

 EI
d2y
dx
2
 M x
x
dy
EI   EI
 M  x dx  C1
dx 
0
x
x
0
0
EI y   dx  M  x  dx  C1x  C2
1-4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Equação de Linha Elástica
x
x
0
0
EI y   dx  M  x  dx  C1x  C2
• C1 e C2 são constantes de integração, determinadas
a partir das condições de contorno para a viga,
conforme exemplos a seguir:
Biapoiada com balanço:
Viga biapoiada:
Viga em balanço
• Para carregamentos mais complicados, com
várias cargas, faz-se necessário dividir a viga
em várias partes para representar a eq. do
momento para cada uma. Aí, surgem outras
constantes de integração, o que exige a
aplicação da condição de continuidade da
Linha Elástica e da Declividade como
condições de contorno.
1-5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Determinação da LE Diretamente do Carregamento
Distribuído
• Para vigas submetidas a cargas distribuídas:
d 2M
dM
 V x
dx
dV

  w x 
2
dx
dx
• Ficamos então com a equação:
d 2M
dx
2
 EI
d4y
dx
4
  w x 
• Integrando quatro vezes:
EI y  x     dx  dx  dx  w x dx
 16 C1x3  12 C2 x 2  C3 x  C4
• As quatro constantes de integração são
encontrada a partir das condições de contorno.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Vigas Estaticamente Indeterminadas
• Considere a viga AB, engastada em A e apoiada
em B.
• Do diagrama de corpo livre, vemos que existem
quatro incógnitas (reações).
• Temos somente três equações da estática:
 Fx  0  Fy  0  M A  0
A viga é então, estaticamente indeterminada.
• Para sua solução, lançamos mão de equações
auxiliares, conseguidas a partir das condições de
deslocamento da viga:
x
x
0
0
EI y   dx  M  x  dx  C1x  C2
Surgem mais duas incógnitas, C1 e C2, que
são encontradas pela aplicação das condições
de controno: Em : x  0,   0 y  0 Em : x  L, y  0
1-7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.1
Para a viga ABC da figura, pede-se:
(a) A equação da linha elástica,
(b) determine a flecha máxima,
(c) calcule, para os dados abaixo ymax.
W 360 101 I  302 106 mm4
P  220 kN L  4,5 m
E  200GPa
a  1,2m
- Reações:
RA 
Pa
 a
 RB  P1   
L
 L
a
M  P x
L
EI
0  x  L 
d2y
a


P
x
2
L
dx
1-8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.1
EI
d2y
a


P
x
2
L
dx
• Integrando e aplicando as condições de
contorno, temos:
EI
dy
1 a
  P x 2  C1
dx
2 L
1 a
EI y   P x3  C1x  C2
6 L
Em x  0, y  0 : C2  0
Substituindo,
dy
1 a
1
EI
  P x 2  PaL
dx
2 L
6
1 a
1
EI y   P x3  PaLx
6 L
6
1 a
1
Em x  L, y  0 : 0   P L3  C1L C1  PaL
6 L
6
2
dy PaL 
 x 

1  3  
dx 6 EI 
 L  
PaL2  x  x 
y
  
6 EI  L  L 
3


1-9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.1
• Localizando o ponto onde a declividade é
nula (onde a flecha é máxima).
2
dy
PaL 
 xm  
0
1  3  
dx
6 EI 
 L  
PaL2  x  x 
y
  
6 EI  L  L 
xm 
L
 0.577 L
3
• A deflexão máxima é dada por:.
3



PaL2
ymax 
0.577  0.577 3
6 EI

PaL2
ymax  0.0642
6 EI
220 10 1,24,5
 0.0642
200 10 302 10 
3
ymax
9
2
-6
ymax  5,7 103 m  5,7mm
1 - 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.3
Para a viga ABC da figura, pede-se:
(a) A reação em A,
(b)
A equação da linha elástica,
(c) A inclinaçãoem A.
• SOLUÇÃO:
w0 x 3
1  w0 x 2  x
 M D  0  RA x  2  L  3  M  0  M  RA x  6L


d2y
w0 x3
EI 2  M  RA x 
6L
dx
4
dy
1
2 w0 x
EI
 EI  R A x 
 C1
dx
2
24 L
5
1
3 w0 x
EI y  R A x 
 C1x  C2
6
120 L
d2y
w0 x3
EI 2  M  RA x 
6L
dx
1 - 11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.3
• Condições de contorno:
x  0, y  0 : C2  0
w0 L3
1
2
x  L,   0 :
RA L 
 C1  0
2
24
w0 L4
1
3
x  L, y  0 :
RA L 
 C1 L  C2  0
6
120
• Resolvendo para o ponto A:
1
1
RA L3  w0 L4  0
3
30
RA 
1
w0 L 
10
• Ficamos então com a eq. da LE:
5
1 1
 3 w0 x  1

EI y   w0 L  x 

w0 L3  x
6  10
120 L  120



dy
w0
 
 5 x 4  6 L2 x 2  L4
dx 120 EIL

y

w0
 x5  2 L2 x3  L4 x
120 EIL
em x = 0,

w0 L3
A 
120 EI
1 - 12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Método da Superposição
Princípio da Superposição:
• A deformação e a declividade de
vigas
submetidas
a
vários
carregamentos podem ser obtidas
pela superposição do efeito de cada
carregamento individualmente, que
após somados dão o resultado do
carregamento como um todo.
• Este procedimento é facilitado pela
existência de tabelas que mostram
o efeito de vários tipos de cargas e
condições de apoio de vigas.
1 - 13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.7
Para a viga e o carregamento da
figura, determine a inclinação e a
flecha no ponto B.
SOLUÇÃO:
Superpondo a deformação devido ao carregamento I e II :
1 - 14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.7
Carregamento I
wL3
 B I  
6 EI
wL4
 yB I  
8EI
Carregamento II
wL3
C II 
48EI
wL4
 yC II 
128EI
Para o segmento CB, o momento é zero, logo:
wL3
 B II  C II 
48EI
wL4
wL3  L  7 wL4
 yB II 

 
128EI 48EI  2  384 EI
1 - 15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.7
Combinando as duas soluções,
wL3 wL3
 B   B I   B II  

6 EI 48EI
7 wL3
B 
48 EI
wL4 7 wL4
yB   yB I   yB II  

8EI 384 EI
41wL4
yB 
384 EI
1 - 16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Aplicação da Superposição Para Vigas
Estaticamente Indeterminadas
• O método da superposição pode ser • Determine a deformação sem o suporte
utilizado para determinação das
redundante.
reações
de
apoio
em
vigas
• Trate a reação redundante como uma
hiperestáticas.
carga desconhecida, que somada ao
• Considerando uma das reações (B)
outro carregamento resulta em uma
como superabundante.
deformação compatível com o tipo de
suporte (B).
1 - 17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.8
Para a viga contínua da figura, determine:
a)
A reação em cada apoio,
b) A inclinação na extremidade A.
SOLUÇÃO:
• Considere como “redundante” o suporte B,
• Depois, aplique a reação em B, forçando um deslocamento nulo neste apoio.
1 - 18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Problema Resolvido 9.8
• Carga distribuída:
4
3

w  2 
2 
3 2 
 yB w  
 L   2 L L   L  L 
24 EI  3 
3 
 3 
wL4
 0.01132
EI
• Reação :
2
2
RB  2   L 
RB L3
 yB R 
 L     0.01646
3EIL  3   3 
EI
• Para que haja a compatibilidade: yB = 0
wL4
RB L3
0   yB w   yB R  0.01132
 0.01646
EI
EI
RB  0.688wL 
• Da estática:
RA  0.271wL 
RC  0.0413wL 
1 - 19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.8
Declividade em A:
wL3
wL3
 A w  
 0.04167
24 EI
EI
2
0.0688wL  L   2  L  
wL3
 A R 
   L      0.03398
6 EIL  3  
EI
 3  
wL3
wL3
 A   A w   A R  0.04167
 0.03398
EI
EI
wL3
 A  0.00769
EI
1 - 20