1º LISTÃO QUINZENAL DE MATEMÁTICA – MAIO/2011 – 1º ANO
PARTE 1 – ESTUDO DAS FUNÇÕES
01. Dadas as funções definidas por f(x) =
02. Dada a função
f ( x) =
2x +
1
2x
e g(x) =
+ 1 , determine o valor de f(2) + g(5).
2
5
1
1
+
, determine:
x−2 x −3
a) qual o valor de f(-1)?
b) calcule x para que
f ( x) =
3
.
2
03. Seja a função f : IR → IR, dada por f(x) = x2 – 5x + 7. Determine:
a) a imagem para x = 4;
b) o domínio para y = 1.
04. As funções f e g são dadas por f(x) = 2x – 3 e g(x) = 3x + a. Determine o valor de a sabendo que f(2) + g(2) =
8.
05. O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após x
horas de sua realização, é dado por y = 10 x . Responda:
a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?
b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 1 dia?
c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo?
06. Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio
de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam x o número de acertadores (x = 1, 2, 3, 4, ..., 40) e y a quantia recebida
por cada acertador (em reais). Responda:
a) y é função de x? Por quê?
b) Qual o valor máximo que y pode assumir?
c) Qual a lei de formação (lei de correspondência) entre x e y?
d) Qual o prêmio recebido por cada acertador, se 30 alunos acertaram a questão?
07. O preço do serviço executado por um pintor consiste de uma taxa fixa, que é de R$ 25,00, mais uma quantia
que depende da área pintada. A tabela abaixo mostra alguns orçamentos apresentados por esse pintor.
Observando a tabela, responda:
Área Pintada Total a pagar
(em m2)
(em R$)
5
35
10
45
15
55
20
65
30
85
40
105
60
185
a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x metros quadrados (lei de formação da
função)?
b) Qual o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m2?
c) Qual a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$ 625,00?
08. (UFMG/MG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de
luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade seja dado pela função f(x) =
300 x
. Se o número
150 − x
de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que
as receberam é:
a) 25
b) 30
c) 40
d) 45
e) 50
09. (UFMG/MG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem {y ∈ R : 1 ≤ y
R : 0 ≤ x < 3} é:
a)
b)
c)
d)
≤ 4} e domínio {x ∈
e)
10. Seja f uma função de domínio real definida por f(x) = x2 – 5x + 4. Calcule;
a) f(1)
b) f(1/2)
c) f
( 3)
11. (UEL/PR) Considere a função real com domínio IR - {2}, dada por f(x) =
1
x−2
. É verdade que:
a) se x tende para +∞, f(x) tende para zero.
b) se x tende para +∞, f(x) tende para -∞.
c) para qualquer valor de x, f(x) é um número negativo.
d) se x é um número muito próximo de 2, f(x) é um número muito próximo de 1/2.
e) f(2)=0.
12. (Fuvest/SP) A figura abaixo representa o gráfico de uma função da forma f(x) = x + a para –1≤ x ≤ 3.
bx + c
Pode-se concluir que o valor de b é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
13. (UFSCar/SP) Uma função f é definida recursivamente como f(n + 1) =
5f(n) + 2
. Sendo f(1) = 5, o valor de
5
f(101) é
a) 45.
b) 50.
c) 55.
d) 60.
e) 65.
14. (FGV/SP) Chama-se custo médio de produção o custo total dividido pela quantidade produzida.
a) Uma fábrica de camisetas tem um custo total mensal dado por C = F + 8x, em que x é a quantidade produzida e
F o custo fixo mensal. O custo médio de fabricação de 500 unidades é R$ 12,00. Se o preço de venda for R$
15,00 por camiseta, qual o lucro mensal de fabricar e vender 600 unidades?
b) Esboce o gráfico do custo médio de produção de x unidades, em função de x, se a função custo total for C =
3000 + 10x.
15. (Mack/SP) Se a curva dada é o gráfico da função y = a +
a) 1
2
b)
3
c) 2
d) 4
b
, então o valor de ab é:
x
e) 1
4
16. (Vunesp/SP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t
(em horas), a distância que falta percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D,
definida por
D(t) = 4
⎛ t +7 ⎞
− 1⎟
⎜ 2
⎝ t +1 ⎠
Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:
a) 40km.
b) 60km.
c) 80km.
d) 100km.
e) 120km.
17. (VUNESP/SP-2009) Numa fazenda, havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da
fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um
gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez
anos.
Esse gráfico foi modelado pela função
f(x) =
ax + 200
,
bx + c
que fornece a porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano x, onde a, b e c são constantes reais. Com
base no gráfico, determine as constantes a, b e c e reescreva a função f(x) com as constantes determinadas.
⎧7 - 2x, se x ≥ 2
e dê a imagem de f.
18. Esboce o gráfico de f:[−2,5] Æ R, com f(x)= ⎨
⎩1, se x < 2
19. (Fuvest-1997) Considere a função f dada por
12
x+5−
x +1
f(x) =
x+9 5
−
x +1 x
Determine o domínio de f.
Resposta: D(f) = R - { -1, 0, -5, 1}
20. (SpeedSoft) Obtenha o domínio das seguintes funções.
a) f(x) =
x− 2
6+ 2x
b) g(x) = 3 x − 4 + 2
c) h(x) = 2x+5
Respostas:
a) x ≠ – 3
4
b) x ≥
3
c) Reais
21. Com relação ao gráfico abaixo, é correto afirmar:
a) Representa uma função f: [a, b] → R.
b) Não representa uma função de [a,b] em R porque existe
y ∈ R que não é imagem de qualquer x ∈ [a,b].
c) Não representa uma função de [a,b] em R porque existe
elemento x ∈ [a,b] com mais de uma imagem.
d) Representa uma função f: [a,b]→ [c,d].
e) Representa uma função bijetora.
22. Somente uma afirmação feita sobre a função f: [-5,5] em R, representada abaixo, é verdadeira.
Assinale-a.
a) f(x) ≤ 0, para todo x ∈ [1,5; 4].
b) f é crescente no intervalo [0,5].
1,5
4
5
c) f(4) > f (1,5).
d) f tem apenas duas raízes reais.
e) f(x) > 0, para todo x ∈ [–5;0].
23. (UFMG) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido
⎛ 3 + 12 ⎞
para um camundongo percorrer um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função f (n ) = ⎜
⎟
⎝ n ⎠
minutos. Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que um camundongo:
a) consegue percorrer o labirinto em menos que 3 minutos.
b) gasta cinco minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa.
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.
e) percorre o labirinto, numa das tentativas, em três minutos e 30 segundos.
24. Em determinado país, o cálculo do imposto de renda é feito da seguinte forma: 10% da renda, para
rendas iguais ou inferiores a R$ 900,00 e, para rendas acima de R$ 900,00, o imposto será igual a R$
90,00, acrescido de 20% da parte da renda que ultrapassa R$ 900,00. Nestas condições, determine a
renda de uma pessoa que pagou R$ 970,00 de impostos.
a) R$ 4.100,00
b) R$ 4.300,00
c) R$ 5.100,00
d) R$ 5.300,00
e) R$ 6.100,00
25. Das funções abaixo, qual a única cujo domínio não é o conjunto dos números reais?
26. Uma função de custo simples para um negócio consiste em duas partes – os custos fixos, tais como aluguel,
seguro e empréstimos, que precisam ser pagos independentemente de quantas unidades do produto sejam
produzidas, e os custos variáveis que dependem do numero de produtos produzidos. Suponha que uma
companhia de sofware para computadores produz e vende uma nova planilha a um custo de R$ 25,00 por cópia, e
que a companhia tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por mês. Expresse o total do custo mensal como uma função
do número x de cópias vendidas e calcule o custo quando x = 500.
27. Uma companhia de gás irá pagar para um proprietário de terra R$ 5.000,00 pelo direito de perfurar a terra para
extrair gás natural, e R$ 0,10 para cada metro cúbico de gás extraído. Expresse, como função da quantidade de
gás extraído, o total que o proprietário irá receber.
28. Um paciente pagou R$ 300,00 por dia em um quarto de hospital semi-privativo e R$ 1.500,00 por operação de
apêndice. Expresse o total pago pela cirurgia como função do número de dias que o paciente ficou internado.
29. Uma venda média em uma floricultura é de R$ 21,00 de forma que a função faturamento semanal da
floricultura é R(x) =21 x, onde x é o número de vendas em uma semana. O custo correspondente é C(x) = 9x +
800 reais.
a) Qual a função lucro semanal da floricultura?
b) Qual o lucro obtido quando são feitas 120 vendas por semana?
c) Se o lucro é de R$ 1.000,00 por semana, qual é o faturamento por semana?
30. Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. Os
técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que, a partir do instante em que ocorreu a avalia, o volume v de
gasolina restante no reservatório, em quilolitros, em função do tempo t, em horas, podia ser calculado pela função:
V(t) – 2t2 – 8t + 120.
a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reservatório 3 horas depois da ocorrência da avalia?
b) Calcule a capacidade desse reservatório, sabendo que ele estava completamente cheio no momento em que
ocorreu a fissura.
c) Qual será o tempo necessário para que o reservatório fique vazio, caso os técnicos não consigam realizar o
conserto?
31. Com o auxilio de um cronômetro, marcando-se o tempo em hora, verificaram-se as distancias percorridas por
um automóvel, que foram registradas na tabela a seguir:
Tempo (t)
Distância (km)
0,2
10
0,4
20
0,8
40
1,6
80
2
100
x
...
a) Indique as variáveis (dependente e independente) relacionadas nessa situação;
b) Expresse a lei que relaciona a distância percorrida com o tempo;
c) Calcule a distância quando o tempo é igual a 2,8 h;
d) Calcule o tempo quando a distância é 330 km.
32. Observe na tabela o número de locações de DVD realizadas por uma locadora e o preço total correspondente
Nº de locações
Preço (R$)
1
5
2
10
3
15
4
20
a) O preço da locação é dado em função do que?
b) Qual é a variável independente nessa situação?
c) Qual a variável dependente nessa situação?
d) Escreva uma lei que associe o nº x de locações com o preço y
e) Qual é o preço de 20 locações de DVD?
f) Quantas locações correspondem ao preço de R$ 50,00?
33. Um fabricante de parafusos verificou que o preço de custo p (em real) de cada parafuso dependia do diâmetro
da base x ( em milímetro) de cada um e podia ser calculado pela lei matemática p(x) = 0,01 x + 0,06.
a) Qual é a variável independente nessa situação? E a variável dependente?
b) Qual é o preço de custo de 1 parafuso com base de 3 milímetros de diâmetro?
c) Quantos milímetros tem o diâmetro da base de um parafuso cujo preço de custo é R$ 0,11?
d) Qual é o custo de 500 parafusos com base de 3 milímetros de diâmetro?
e) O fabricante vendeu 100 parafusos com base de 4 milímetros de diâmetro por R$ 20,00. Em relação do preço
de custo, qual foi o porcentual de lucro nessa venda?
34. O diâmetro de certa planta com formato circular (vitória régia) relaciona-se com o tempo de vida da planta da
seguinte maneira:
Tempo de
(trimestre)
Diâmetro
vida
0
(nascimento)
1
1
2
3
4
3
9
27
81
Após um ano essa planta morre. Com base nos dados da tabela, determine a lei de formação y = f(x) de uma
função que retrate a relação entre o diâmetro y da planta e o tempo de vida x.
34. Quais são os valores do domínio da função real definida por f ( x ) = x − 5 x + 9 que produzem imagem igual
2
a 9?
35. (UFF) Considere a relação f de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que f seja uma função de M
em N basta:
(a) apagar a seta 1 e retirar o elemento s;
(b) apagar as setas 1 e 4 e retirar o elemento k;
(c) retirar os elementos k e s;
(d) apagar a seta 4 e retirar o elemento k;
(e) apagar a seta 2 e retirar o elemento k.
36. (UFRJ) Uma função f(x), tem o seguinte gráfico:
Com base nesse gráfico determine o valor de:
a) f(1) – f(-2) + 2.f(3)
b)
f (0 ) + f (5) − f (− 1)
3 ⋅ f (2)
PARTE 2 – GEOMETRIA PLANA (Circunferências)
37. As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a
diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.
38. Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 cm. Se a distância entre os centros
é 6 cm, determine os raios.
39. Duas circunferências tangentes externamente têm raios r = 2 cm e R = 3 cm. Calcule o menor raio de uma
terceira circunferência, sabendo que as duas primeiras são tangentes internamente à terceira.
40. (Ufla-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que
as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 22 cm
41. Quantas voltas dá uma das rodas de um carro num percurso de 60 km, sabendo que o diâmetro dessa roda é
igual a 1,20 m?
42. Nas figuras, calcule o valor de x.
43. Calcule x em cada figura:
44. (FGV-SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
45. Na circunferência de centro O da figura, o menor arco com extremidades A e D mede 110°. Calcule x e y.
46. (UFPE-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro em O, e AB é um
diâmetro. Indique o valor do ângulo α, em graus.
47. Na figura abaixo, AB = 18 cm é o diâmetro da circunferência de centro M.
a) Sendo C um ponto da circunferência distinto de A e B, mostre que o ângulo BCA é reto.
b) N é um ponto médio do lado AC. Calcule a medida do segmento PM.
48. Na figura abaixo, calcule o valor de x.
49. ABCDE é um pentágono regular, determine x.
50. Na figura, α = 20° e PA têm a mesma medida do raio da circunferência de centro O. Calcule x.