Índice
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Triângulos, Teorema de Talles e Polı́gonos . . .
Regra de Três, Proporção, Porcentagem e MMC
Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometria no Triângulo Retângulo . . . . .
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatoração e Produtos Notáveis . . . . . . . . . .
Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
10
11
12
14
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
Área de Figuras Planas. Polı́gonos Regulares Inscritos e Circunscritos
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Redução ao 1◦ quadrante. Transformações Trigonométricas . . . . .
Cı́rculos e Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função Composta e Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sólidos Geométricos e Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função Afim. Inequação do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Progressão Aritmética e Progressão Geométrica . . . . . . . . . . . .
Função do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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35
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Paralelepı́pedos e Cubos . . . . . . . . . . . . .
Inequações e Função Modular . . . . . . . . . .
Adição e Subtração de Matrizes, Matriz Inversa
Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiciação, Potenciação e Exponenciais . . . . .
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estudo do Cilindro e do Cone Determinante . .
Logarı́tmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.10 Estudo da Esfera e Geometria Analı́tica
4
4.1
4.2
4.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
57
Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Geometria Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Projeto Galois
2
Capı́tulo
1
3
1.1
Triângulos, Teorema de Talles e Polı́gonos
1. Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5 cm, 7 cm e 8 cm dos respectivos
vértices do triângulo. Determine o lado desse triângulo.
2. Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura acima. As divisas
laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote,
sabendo que a frente total para essa rua mede 180 m?
3. Determine a área da região sombreada, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.
4. Determine o valor de x no losango abaixo.
5. O número de segmentos distintos que representam as alturas, medianas e as bissetrizes
de um triângulo isóscele é:
6. A área do cı́rculo inscrito em um triângulo eqüilátero é 48π. O perı́metro do triângulo é:
Projeto Galois
4
7. O ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h 15 min é:
8. Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles de cantos de
um quadrado. Se o quadrado tem lados de tamanho 1 m, calcule a medida dos catetos
desses triângulos.
9. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, quando o centro da circunferência
está no interior do trapézio e quando o mesmo estiver no exterior do trapézio.
10. Calcular a área de um trapézio isósceles de bases 18cm e 8 cm tal que todos os seus lados
são tangentes à um circunferência.
11. O quadrilátero ABCD abaixo é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em
quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo?
12. Na figura a seguir, tem-se o triângulo equilátero XY Z, inscrito no triângulo isósceles
ABC. O valor de α − β é igual a:
13. Os lados paralelos de um trapézio medem 3 e 9. Os lados não paralelos, 4 e 6. Uma linha
paralela à base divide o trapézio em dois outros de igual perı́metro. A proporção na qual
cada um dos lados não paralelos é dividido é:
14. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de raio r e o outro em
uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?
15. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida
da base média de um trapézio e que x − y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
1.2
Regra de Três, Proporção, Porcentagem e MMC
1. Para descarregar 10 vagões de trem em uma hora precisamos de 5 funcionários.
(a) Quanto tempo os funcionário demorarão em descarregar 60 vagões?
(b) Quantos funcionários serão necessários para descarregar os 10 vagões em meia hora?
Projeto Galois
5
(c) Quantos funcionários serão necessários para descarregar os 120 vagões em 6 horas?
2. Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de
trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia
ser construı́do?
3. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. Sabe-se que a está para b, assim
como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?
4. Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou
a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha
provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?
5. Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2% não votaram, na última eleição. Quantos foram
os eleitores ausentes?
6. Numa promoção de final de semana, uma concessionária de automóveis vendeu exatemente 97.5% do seu estoque. Qual é o número mı́nimo de automóveis que ela tinha no
inı́cio da promoção?
7. O teor de cloreto de sódio em uma amostra de 50kg de água do mar é 30%. Quantos
litros de água devem ser evaporados a fim de que tal porcentagem dobre?
8. Uma compra de 330 reais deverá ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e
a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, calcule
o valor de cada parcela.
9. Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 tivessem
ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2500?
Projeto Galois
6
10. Seja n um número natural diferente de 1 tal que M M C(i, n) = in para cada i natural
entre 1 e 30. Qual a soma dos cinco menores valores que n pode assumir?
1.3
Trigonometria
1. Se 0 < x < 90◦ , a expressão equivalente a (tan2 (x) + 1).cos2 (x) é:
(a) 0
(b) sec2 (x)
(c) sen2 (x)
(d) sen2 (x) + cos2 (x)
(e) sen(2x)
2. A expressão
2tg(x)
(1+tg 2 (x))
é identica à:
(a) cos(2x)
(b) 2cos(x)
(c) sen(2x)
(d) 2sen(x)
(e) 1
3. Quantas soluções de sen(x)+cos(x)=0 existem para x entre 0 e 2π?
4. Resolva as seguintes equações em R:
(a) tg(x) + cotg(x) = 2sec(x)
(b) cos(2x) + cos(4x) = cos(x)
(c) cos2 (x).tg(x) = sen(x)
(d) cos(4x) = cos(2x)
√
(e) sen(2x) = 2cos(x)
(f) 2sen(x) − cossec(x) = 1
5. Mostre que arccos( x1 ) = arcsec(x)
1.4
Trigonometria no Triângulo Retângulo
1. Uma escada encostada em um edifı́cio tem seus pés afastados a 50m do edifı́cio, formando
assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32o . Calcule a altura aproximada do edifı́cio.
(sen32o = 05299, cos32◦ = 0, 8480 e tg32o = 0, 6249).
Projeto Galois
7
2. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,
horizontalmente, 80m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55o com o
plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sen55o = 0, 81, cos55o = 0, 57 e
tg55o = 1, 42)
3. Num exercı́cio de tiro, o alvo está a 30m de altura e, na horizontal, a 82m de distância
do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do projétil?
(sen20o = 0, 3420, cos20o = 0, 9397 e tg20o = 0, 3640)
4. Na figura, ABC é um triângulo retângulo, AE = d e BC = h. Determine h em função
de a, b e d.
5. No triângulo retângulo da figura, calcule o valor de cos(a − b).
6. Na figura abaixo, calcule o valor de sen(a)
7. Dois pontos, A e B estão situados nas margens de um rio e distantes 40m um do outro.
Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo C ÂB mede
75◦ e o angulo ACB mede 75◦ . Determine a largura do rio.
Projeto Galois
8
8. Um foguete é lançado sob um ângulo de 30o . A que altura se encontra depois de percorrer
12km em linha reta?
9. No quadrilátero ABCD da figura, AB = 2cm, BC = 3cm, CD = 4cm e d = 30o . Calcule,
em centı́metros, o perı́metro do quadrilátero.
10. Na figura, ABC é um triângulo retângulo e tem-se, AB =
Determine a medida do segmento CD.
Projeto Galois
√
3, BD = 1 e DÂC = 30o .
9
1.5
Conjuntos
1. Calcule o número de elementos do conjunto A∪B, sabendo que A,B e A∩B são conjuntos
com 90, 50 e 30 elementos respectivamente.
2. (PUC-SP) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1o e 2o graus que
trabalham na rede oficial do Estado, 25.000 professores de 1o e 2o graus que trabalham
na rede particular de ensino e 12.000 professores no 3o grau. Se 2, 5% dos professores
da rede oficial trabalharam na rede particular, se 0, 25% dos professores da rede oficial
trabalharam no 3o grau, e se 2% dos professores da rede particular trabalharam no 3o
grau, quantos professores possui essa comunidade se apenas 200 professores trabalharam,
simultaneamente, na rede pública, particular e no 3o grau ?
3. Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nı́vel superior, um deles de nı́vel médio e um de nı́vel fundamental. É permitido aos candidatos
efetuarem uma inscrição para nı́vel superior e uma para nı́vel médio. Os candidatos ao
nı́vel fundamental podem efetuar apenas uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos
de nı́vel superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nı́vel médio, 111 candidatos
efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nı́vel. Qual é
então o número de candidatos ao nı́vel fundamental ?
4. (PUC-SP)Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou
que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa pr´pria e
automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel ?
5. (PUC-MG) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista
B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. Qual o percentual de
funcionários que lêem as duas revistas ?
6. Em uma prova de matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente
uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e
210 alunos erraram a primeira. Quantos alunos fizeram a prova ?
7. Numa eleição, o candidato A teve 47% dos votos, o candidato B 39% dos votos, e o
número de votos nulos foi 23 do número de votos em branco. Calcule o percentual de votos
em branco.
8. Em um colégio onde estudam 250 alunos, houve, no final do ano, recuperação de História
e Fı́sica. 10 alunos fizeram recuperação das duas matérias, 42 fizeram recuperação de
fı́sica e 187 não ficaram de recuperação.Pergunta-se:
(a) Quantos alunos ficaram em recuperação no total?
(b) Quantos alunos ficaram em recuperação apenas em Fı́sica?
(c) Quantos alunos ficaram em recuperação em apenas uma matéria?
9. (OBMEP-2008) Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei,um terço joga
1
somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 12
nenhum deles.
Projeto Galois
10
(a) Quantos alunos tem a escola?
(b) Quantos alunos jogam somente futebol?
(c) Quantos alunos jogam futebol?
(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes?
1.6
Fatoração e Produtos Notáveis
1. Se x + y = 12 e m + n = 4, qual o valor da expressão xm + xn + ym + yn ?
2. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 47 e a soma dos inversos
de seus quadrados é 1. Determine :
(a) O produto dos dois números;
(b) A soma dos dois números.
3. (FEI) Fatore a2 + b2 − c2 − 2ab.
4. (FEBA) Sabendo que a +
1
a
= 3, calcule o valor de a3 +
1
.
a3
5. Se (a + b) = 81 e a2 + b2 = 41 calcule o valor de a · b.
6. (UNICAMP) Roberto disse a Valéria: ”pense num número, dobre esse número, some ao
resultado, e agora divida o novo resultado por 2.Quanto deu ?”Valéria disse: ”15”, ao
que Roberto imediatamenterevelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule
esse número.
7. (CESGRANRIO) Determine o parâmetro m na equação x2 + mx + m2 − m − 12 = 0, de
modo que ela tenha um araiz nula e outra positiva.
8. (UNICAMP) Ache dois números inteiros, positivos e consecutivos, sabendo que a soma
de seus quadrados é 481.
9. (UFES) Uma criança diverte-se observando um grupo de pombos entrando e saindo de
suas casas. Ela percebe que, quando em cada casa entra um pombo, fica um pombo sem
casa; quando em cada casa entram dois pombos, fica uma casa sem pombos. Quantos
pombos há no grupo? Qual o número de casas?
10. (UFES) Determine todos os valores reais de λ para os quais a equação (λ − 3)x2 − 2λx +
6λ = 0 admite apenas raı́zes reais estritamente positivas.
Projeto Galois
11
1.7
Quadriláteros
1. (UNICAMP) em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os vértices
B e D distam, respectivamente, 3cm e 5cm da diagonal AC.
(a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
(b) Calcule a área do quadrilátero.
2. (UNICAMP) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.
(a) Faça uma figura e justifique a afirmação acima.
(b) Supondo que a área do quadrado menor seja 72cm2 , calcule o comprimento do lado
do quadrado maior.
3. (OBMEP)Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, também retangulares.As áreas
de 3 deles estão dadas na figura em km2 . Qual é a área do terreno que foi dividido?
27
18
72
4. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses
lados forma um ângulo de 60o
B
C
A
D
b B,
b C,
b D,
b respectivamente as medidas dos ângulos internos do qua(a) Indicando por A,
b+B
beC
b + D.
b
drilátero de vértices A,B,C e D, calcule A
(b) Seja J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD.
Calcule JM e JN .
Projeto Galois
12
b (em graus).
(c) Calcule a medida do ângulo M JN
5. (OBMEP) Na figura,o trapézio ABCD é isósceles, AB é paralelo a CD e as diagonais
AC e BD cortam-se no ponto P . Se as áreas dos triângulos ∆ABP e ∆P CD são 4cm2
e 9cm2 , respectivamente, qual é a área do triângulo ∆P BC ?
B
A
P
D
C
6. (OBMEP) Na figura abaixo, os lados do quadrilátero da figura têm medidas inteiras e
[ eADC
\ são retos, AD = 7cm e 4BC = 11cm . Quanto medem
distintas, os ângulos ABC
os lados AB e DC?
7. (UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo W XY Z, como mostra a figura.
Sabendo queAB = 2 e AC = 1 , determine o ângulo Q para que a área de W XY Z seja
a maior possı́vel.
X
W
A
Q
B
C
D
Y
Z
8. (UNICAMP) Um trapézio retângulo e um quadrilátero convexo plano que possui dois
ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal
trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.
Projeto Galois
13
(a) Calcule a medida, em graus, de α.
(b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto.
9. (UNICAMP) Uma sala retangular medindo 3m por 4, 25m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se:
(a) Qual deve ser a dimensão máxima, em centı́metros, de cada um desses ladrilhos para
que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?
(b) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários?
10. (UNICAMP) Seis cı́rculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostra a
figura:
(a) Calcule a área do paralelogramo M N P Q.
1.8
Triângulos
1. (UNICAMP) Observadores nos pontos A e B identificam um foco de incêndio florestal
em F . Conhecendo os ângulos F[
AB = 45o , F[
BA = 105o , e a distância AB = 15Km.
Determine as distâncias AF e BF .
B
A
F
2. Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96m2 .Sejam M e N os pontos médios
dos lados AB e AC respectivamente. Faça uma figura e calcule a área do quadrilátero
BM N C.
3. (UNICAMP) Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13 cm.
Projeto Galois
14
(a) Calcule a área desse triângulo.
(b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
4. (UFMG) Nesta figura plana, há um triângulo equilátero, ABE, cujo lado mede a , e um
quadrado, BCDE, cujo lado também mede a :
Calcule a área do triângulo ABC.
b = 60 , CE = CD =
5. (UFMG) Nesta figura, o triângulo ABC é retângulo em B, o C
F A = x e BC = 1 :
(a) Expresse a área do triângulo CED em função de x .
(b) Expresse a área do triângulo EBF em função de x .
(c) Calcule o valor de x tal que a soma das áreas dos triângulos CED e EBF seja igual
à área do quadrilátero EF AD.
Projeto Galois
15
6. Em um triângulo ABC tem-se AB = 10cm e AC = 12cm. O incentro e o baricentro deste
triângulo estão sob uma mesma reta, paralela a BC. Calcule a medida do segmento BC.
7. A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é
9cm. Calcule a medida do lado do triângulo.
Projeto Galois
16
Capı́tulo
2
17
2.1
Área de Figuras Planas. Polı́gonos Regulares Inscritos e Circunscritos
1. (FUVEST 2004) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências externas tem
mesmo raio e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C.
Se o raio de C é igual a 2, determine:
(a) o valor de r.
(b) a área da região hachurada.
2. (FUVEST 2005) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de
circunferências de raio 1
Qual a área da região hachurada?
Projeto Galois
18
3. (ITA) Qual e área do polı́gono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos
eixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) ∈ ℜ2 : 3x2 + 2y 2 + 5xy − 9x − 8x + 6 = 0}.
4. (ITA) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região
interior a estas retas, distando 4 cm de r. Qual é área do triângulo equilátero PQR, cujos
vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s.
5. Determine a área da região sombreada, sabendo que o triângulo ABC é eqüilátero.
6. Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha
que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e
que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB;
(a) a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M.
(b) b) Calcule o raio da circunferência C.
7. Sobre um assoalho com 8 tábuas retangulares idênticas, cada uma com 10 cm de largura,
inscreve-se uma circunferência, como mostra a figura.
Projeto Galois
19
Admitindo que as tábuas estejam perfeitamente encostadas umas nas outras, Qual e a
área do retângulo ABCD inscrito na circunferência, em cm2 .
8. Na figura,
um octógono regular e um quadrado estão inscritos na circunferência de raio
√
r = 2. Qual a área da região sombreada?
2.2
Funções
1. (Unicamp) O preço unitário de um produto é dado por
p=
k
η
+ 10, para η ≥ 1.
Sendo k uma constante e η o número de unidades adquiridas.
(a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se que, quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário foi de R$ 19,00.
(b) Com R$ 590,00, quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas?
2. (EEM-SP) Uma função f : ℜ∗+ → ℜ satisfaz à seguinte propriedade: f (a.b) = f (a) + f (b).
(a) Determine f (1).
(b) Sabendo-se que f (2) = 1, determine f (8).
3. Determine o domı́nio da função cuja lei é f (x) :
√
x4 + x2 + 3.
4. (Uneb-BA) Para uma função f : ℜ → ℜ que satisfaz as condições:
I)f (x + y) = f (x) + f (y)
II)f (1) = 3.
Projeto Galois
20
Qual é o valor de f (3)?
5. (UFF-RJ) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustı́vel. Os nı́veis de
combustı́vel, H1 e H2 em cada tanque, são dados pelas expressões:
H1 (t) = 150t3 − 190t + 30
H2 (t) = 50t3 + 35t + 30
O nı́vel de combustı́vel de um tanque é igual ao do outro no instante inicial (t = 0), e em
qual outro instante?
6. (Enem-MEC) O quadro a seguir apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de
agricultores entre 1995 e 1999.
Faça um gráfico que melhor represente a área plantada (AP ) no perı́odo considerado.
7. Classifique como P se a função é par, I se a função é ı́mpar, ou O se a função não é par
nem ı́mpar.
(a) a)f (x) = 2x
(b) b)f (x) = 3x2
(c) c)f (x) = 3x + 5
8. Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = x2 − 1
(b) f (x) = x2 − 2x
9. Sejam A = {6, 7, 8, 9, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
(a) Faça um diagrama para expressar a relação que a cada elemento de A associa um
elemento de B que se subtraindo 5 unidades dos números de A.
(b) Esta relação é uma função? Por quê?
10. Ao ingressar na Universidade, Patrı́cia recebeu de seus pais duas opções de mesada:
Opção A: R$150,00 em Janeiro e, todos os meses, mais R$150,00 que no mês anterior.
Opção B: R$1,00 em Janeiro, triplicando todos os meses a mesada do mês anterior.
Projeto Galois
21
(a) a)Qual das opções permitirá Patrı́cia receber mais dinheiro no final do ano?
(b) b)E se a comparação fosse feita no mês de Junho, levando em consideração que terá
mais despesas neste mês e precisará gastar o dinheiro.
2.3
Redução ao 1◦ quadrante.
nométricas
Transformações Trigo-
1. O PIB (produto interno bruto), que representa a somo das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação de certo paı́s, no ano x, é dado em bilhões de dólares, por:
)
P (x) = 500 + 0, 5x + 20cos( πx
6
Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do paı́s em 2004.
2. Simplificar a expressão
sen120o .cos225o .sen600o
tg204o .cos1440o
3. Um relógio circular está marcando exatamente 10h30min (10 horas e 30 minutos). Qual
é o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e
dos minutos desse relógio?
4. Sabe-se que x é um número real entre 6π e
13π
2
e que sen2 x = 34 . Qual o valor de x?
5. Determine a de forma que se tenha simultaneamente senx =
6. Para 0 < x <
1
2
simplifique a expressão
1
a
e cosx =
√
1+a
.
a
secx+tgx
.
cosx+cotgx
7. O retângulo abaixo está inscrito em uma circunferência de raio r = 1cm, com lados
paralelos aos eixos coordenados.
Projeto Galois
22
(a) Encontre a área e o perı́metro do retângulo em função do ângulo 0 ≤ α ≤ π2 .
(b) Determine α para que a área do retângulo seja máxima.
(c) Determine α para que o perı́metro do retângulo seja máximo.
8. Escreva sen(3x) + 4sen3 (x) como expressão polinomial em sen(x).
9. Mostre que cos4x = 8cos4 x − 8cos2 x + 1.
10. Resolva:
(a) sen3x = 8sen3 x.
(b) 3tgx = 2cosx, para x no 2o quadrante.
(c) sen3 x + cos3 x = 1.
11. Simplifique a expressão:
y=
sen(π+x).cos( π2 −x).tg( 15π
+x)
2
+x).tg(4π−x)
cos(5π+x).sen( 7π
2
12. Prove que se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação sen(3α) +
sen(3β) + sen(3γ) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos α, β e γ é igual a 60o .
2.4
Cı́rculos e Circunferências
1. Na figura abaixo tem-se um quadrado ABCD de lado 1cm. Com centro nos vértices A e
B, traçam-se duas circunferências de raio 1cm. Calcule a área da região hachurada.
Projeto Galois
23
2. No cı́rculo abaixo, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD =
DE = EB
Determine
S1
,
S2
a razão entre as áreas hachuradas.
3. Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de
raio 1 tem centro C nessa bissetriz e V C = x.
(a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente
4 pontos?
(b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente
2 pontos?
4. A, B e C são pontos de uma circunferência de raio 3cm,AB = BC e o ângulo AB̂C mede
30o .
(a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC;
(b) Calcule, em cm2 , a área do triângulo ABC.
5. O retângulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa do losango é pintada de verde,
mede 2m de comprimento por 1, 4m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa
do cı́rculo é pintada de amarela, distam 17cm dos lado do retângulo e o raio do cı́rculo
mede 35cm.
Projeto Galois
24
(a) Qual a área da região pintada de verde;
(b) Qual é a porcentagem da área da região pintada de amarelo em relação a área total
da bandeira?
6. Considere a circunferência de centro O da figura ao lado e a reta r, tangente a esta
semicircunferência no ponto A, e o ângulo α. Sabendo que os ângulos α, β e θ estão em
radianos:
(a) mostre que θ = α2 ;
(b) calcule o valor de β em função de α?.
7. Na figura ao lado, temos uma circunferência de centro O e raio r. Sabendo que o segmento
BC mede r, prove que a medida do ângulo AB̂P é 1/3 de medida do ângulo AÔP .
8. Duas circunferências de raios r e R tangenciam as retas suportes dos lados do triângulo
ABC respectivamente nos pontos X1, X2, X3 e Y 1, Y 2, Y 3, conforme a figura. Os
ângulos internos do triângulo ABC, nos vértices A e B, medem 30 graus. Calcule a
distância entre os pontos X1 e Y 1 em função de r e R.
Projeto Galois
25
9. Seja um cı́rculo de raio r. A partir desse circulo é construı́do um fractal da seguinte
forma:
Estágio 0: Cı́rculo inicial de raio r;
Estágio 1: Do cı́rculo de raio r, retira-se um cı́rculo de raio
r
2
;
Estágio 2: Na parte em que foi retirado o cı́rculo de raio 2r , coloca-se um cı́rculo de
raio 4r ;
Estágio 3: Do cı́rculo de raio 4r , retira-se um cı́rculo de raio 8r ;
Estágio 4: Na parte em que foi retirado o cı́rculo de raio 4r , coloca-se um cı́rculo de
r
raio 16
;
E assim por diante nos estágios subseqüentes.
A figura abaixo mostra a formação desse fractal, até o quarto estágio, com mais detalhes.
Considerando o raio do cı́rculo inicial sendo r =
√
2 5
u.c:
5
(a) Calcule a área do fractal (área que ficará hachurada no fractal) em E(5), ou seja, no
quinto estágio;
Projeto Galois
26
(b) Calcule a área do fractal no estágio E(n), quando n se tornar muito grande.
10. Uma semiesfera de vidro, de raio interno R, é posta sobre uma mesa plana, conforme a
figura. Entre as duas, é colocada ainda uma bola de raio R2 . No espaço remanescente
(entre a semiesfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de raio r, de modo que r seja o
maior possı́vel.
(a) Calcule r;
(b) É possı́vel colocar 8 bolas de raio r no espaço entre a semiesfera, a bola de raio
a mesa?
2.5
r
2
e
Função Composta e Função Inversa
1. Sendo as funções de variável f (x) = x2 + 2x e g(x) = x + 1, determine:
a)f (g(x))
b)g(f (x))
c)(f ◦ f )(x)
d)f (g(−3)) + g(f (−3))
2. O gráfico de uma função f (x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenadas nos
pontos (2, 0) e (0, −3). Calcule o valor de f (f −1 (0)).
3. Um produto quı́mico radiativo é introduzido num corpo de um animal. A concentração
f (t) (em mg/l) no sangue, t horas após a administração, é dado pela função f (t) = t+5
,
t+1
(t ≥ 0).
(a) Faça um esboço do gráfico da função f (t) e de sua inversa f −1 (t).
(b) Em que instante t é que a concentração atingiu 2mg? E 1, 4mg?
(c) O produto é totalmente eliminado pelo organismo? Justifique.
4. Sejam as funções f (x) = 2x + 1 e g(x) =
a)g ◦ f
√
x − 5. Determine os domı́nios de:
b)f ◦ g
5. Sejam as funções f e g, de ℜ em ℜ, tais que f (x) = 2x − 1 e (f ◦ g)(x) = −x + 3.
Determine g(x).
Projeto Galois
27
6. Sejam as funções f (x) = x2 + 1 e g(x) = 2x − 1, ℜ em ℜ. Calcule (g ◦ f )(2), (f ◦ g)(2),
(f ◦ f )(−2) e (g ◦ g)(1).
7. Sendo f (x) =
funções.
x
,
x−1
obtenha (f ◦ f )(x), [(f ◦ (f ◦ f )](x), e os domı́nios das três novas
8. Seja a função f , definida por f (x + 2) = 2x2 − 4x + 3.
(a) Obtenha a f (x)
(b) Calcule f (−1) e f (1).
9. Determine a inversa da função real f (x) = x + 5.
10. Determine a função inversa de f : [2, +∞) → [−2, +∞), tal que f (x) = x2 − 4x + 3.
11. Seja a função f : [0, +∞) → (−∞, 6], definida por f (x) = −x2 + 6.
(a) Esboce o gráfico de f −1 .
(b) Determine o ponto comum aos gráficos de f e de f −1 .
12. Determine a função inversa de f : ℜ → ℜ dada por f (x) = −3x + 4.
13. Determine f −1 e esboce o gráfico de f e f −1 onde f (x) = x3 .
2.6
Equações e Inequações Trigonométricas
1. Resolva as equações:
√
2
.
2
sen( π4
(a) sen(x + π8 ) = −
(b) sen(x + π4 ) =
− x).
√
(c) 3senx − 2sen2 x = 0.
2. Resolva a seguinte equação: tan( 2π
.tan(3x) − 1) = 0
3
3. (Unesp-SP) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em o C) do solo
em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da
temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou
72 horas depois (t = 72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) =
π
15 + 5sen( 12
+ 3π
), em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o inı́cio da
2
observação e H(t), a temperatura (em o C) no instante t.
π
(a) Resolva a equação sen( 12
t+
3π
2
= 1), para t ∈ [0, 24].
(b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura
ocorreu no primeiro dia de observação.
Projeto Galois
28
4. (Fuvest-SP) Determine os valores de x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 que satisfazem a equação
sen(πx) + cos(πx) = 0.
5. Resolva as inequações:
(a) 2senx + 1 ≤ 0 em [0, 2π].
(b) 2sen2 x − 3senx + 1 > 0 em [0, 2π]
(c)
1
2
< senx ≤
√
3
.
2
6. Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2 α)x2 − (4cosα.senβ)x + 32 senβ = 0 sendo α e
β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
Quais são as medidas de α e β?
7. Em um triângulo ABC, Â e B̂ são ângulos complementares. Calcule o valor numérico de
x na expressão:
(cos − cosB̂)2 + (sen + senB̂) = x
8. Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0, 2π], tais que:
sen(x + y) + sen(x − y) = 12
senx + cosy = 1
9. Quais são os valores reais x para os quais
senx + sen2x + sen3x + sen4x + sen5x = 0.
Projeto Galois
29
2.7
Sólidos Geométricos e Prismas
1. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 6m de altura e raio da base 2m.
O nı́vel da água nele contida corresponde a 2/3 da altura do tanque. Qual o volume da
água no tanque?
2. Um prisma triangular regular, cujo perı́metro da base é 132cm e BE = EC, AD = DC,
EF = F C, DG = GE, DG = GF e EF = F G, foi decomposto em dois prismas,
conforme os três prismas abaixo. Quais as frações das áreas sombreadas das bases dos
prismas II e III, em relação à área S da base do prisma I ?
3. Qual é o volume de um prisma hexagonal regular, cuja aresta da base é 8m e a altura é
um terço do perı́metro da base?
4. Um arquiteto trabalha em um projeto sobre a construção de um circo. O formato desse
circo é de uma pirâmide hexagonal (sua base é um hexágono) regular justaposta a um
Projeto Galois
30
prisma hexagonal também regular cujo lado da base mede 20m e a altura mede 3m. A
figura abaixo
ajudará sua visualização. Considerando que a altura total da pirâmide seja
√
de 3 + 2 69m, calcule a quantidade total de lona necessária e suficiente para cobrir esse
circo que o administrador terá que comprar. (Observação: Nas bases do prisma não existe
lona)
5. A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular,
contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do
prisma.
Admitindo π = 3 determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da
bola em relação ao volume da caixa.
Projeto Galois
31
6. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10cm, conforme a figura
a baixo.
(a) Calcule a área do triângulo ABC.
(b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
(c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
7. (UFES-2009) Deseja-se construir um reservatório de água com formato de um sólido
constituı́do por um tronco de cone circular reto com sua base menor assentada sobre um
cilindro circular reto e sua base maior encima da também por um cilindro circular reto.
A figura ao lado é uma seção do sólido por um plano que contém o seu eixo de simetria.
Se as dimensões do reservatório devem ser como indicadas na figura, determine:
Projeto Galois
32
(a) a capacidade do reservatório;
(b) a área da superfı́cie lateral externa do reservatório.
8. (Vunesp-SP)A figura destaca o sólido que restou de um cubo de aresta a, após retirar
dele o prisma XDHY BF sendo o segmento XY paralelo ao segmento CA. Se o volume
do sólido restante é 74 do volume do cubo, ache a fração de a que expressa a medida do
segmento CX.
9. Um cilindro circular reto está inscrito num prisma quadrangular regular de área lateral
160cm2 e de volume 160cm3 . Calule a area lateral do cilindro.
10. Num cilindro circular reto de raio 5cm e de altura 10cm, a que distância do eixo devemos
traçar um plano paralelo ao eixo para obtermos secção de área 80cm2 ?
2.8
Função Afim. Inequação do 1o grau
1. Em um concurso com 20 questões, para cada questão respondida corretamente o candidato
ganha 3 pontos e para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perde
1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado o candidato deve totalizar, nessa prova, um
mı́nimo de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para
que o candidato seja aprovado nesse concurso.
2. Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se
uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B,
paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de
50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50.
(a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em
ligações locais.
Projeto Galois
33
(b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser
mais vantajoso do que o plano A.
3. Uma população cresce de acordo com a lei f (t) = 30 − 47 , que relaciona a população, em
milhares de anos, com o tempo t, dado em anos.
(a) Mostre que f (t) não é uma função afim;
(b) Calcule o crescimento que a população obteve durante o 5◦ ano.
4. Sendo f (x) = (n − 2)x2 + mx + 2 uma função afim e f (−3) = 14, calcule os valores de
f (−1) e de n.
5. Sejam a um número real positivo e S a região do plano cartesiano dada por;
a)S = {(x, y) ∈ ℜ2 |x ≤ a, y ≥ −a, y ≤ x} . Considere que o quadrado.
b)U = {(x, y) ∈ ℜ2 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Determine o valor de a para que a área
da região S seja igual a 18u.a.
2.9
Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
1. Observe a disposição abaixo dos números naturais ı́mpares:
1a linha: 1
2a linha : 35
3a linha : 7911
4a linha: 13151719
5a linha : 2123252729
..
..
Qual e o quarto termo da vigésima linha?
2. Em uma sequência de quatro números, o primeiro é igual ao último, os três primeiros
estão em progressão geométrica e tem soma igual a 6 e os três últimos estão em progressão
aritmética. Qual e o possı́vel valor para soma dos quatro termos.
3. Calcule a soma de todos os inteiros compreendidos entre 200 e 400 que divididos por 11
deixam resto 7.
4. Seja 3 − x,
dela.
Projeto Galois
√
9 − x, uma progressão aritmétrica. Determine x e calcule o quinto termo
34
5. Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no perı́odo de 24 meses. A
plantação foi feita mês a mês em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas
x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, (com r > 0) e assim sucessivamente, ou seja,
sempre no mês seguinte plantavam r árvores a mais que no mês anterior. Sabe-se que
ao término do décimo quinto mês do inicio do plantio ainda restavam 2160 árvores para
serem plantadas. Qual e o número de árvores plantadas no primeiro mês.
6. Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. crescente. Mostre que a razão
dessa progressão é igual ao raio do circulo inscrito no triangulo.
7. Em certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fileira de telhas tenha duas
telhas a mais que a anterior. Um telhadista esta calculando quantas telhas serão precisas
para cobrir as quatro faces do telhado.Ajude-o a calcular o numero de telhas sabendo que
cada face leva quatro telhas na primeira fila e trinta e oito na ultima fileira de cima para
baixo.
8. Corto ao meio uma grande folha de papel, com 0, 1mm de espessura, e sobreponho as
metades. Volto a cortar as duas metades ao meio, e sobreponho as quatro partes. Repito
o processo e sobreponho as oito partes obtidas. Quantas vezes será necessário que se
repita este processo, para que a pilha de papel tenha 190m de altura ?
9. Sabendo-se que em uma progressão aritmética a soma do segundo termo com o quinto
termo é igual a 17 e que a soma do terceiro com o sétimo é 26, calcule a soma dos 15
primeiros termos.
10. Uma aluna do projeto Galois deseja fazer uma corrente de cartas. Para isso escreve uma
carta, assina e envia uma cópia a quatro amigos. Cada um desses amigos deve repetir esse
processo, colocando sua assinatura abaixa da assinatura do primeiro individuo, e assim
sucessivamente. Quando as últimas cartas recebidas tiverem 15 assinaturas, quantas
pessoas já terão recebido sua carta? ( Suponha que não haja repetições e que ninguém
quebre a corrente)
2.10
Função do 2o grau
1. (FEI-SP) Uma das raı́zes da equação x2 − x − a = 0 é também raiz da equação x2 + x −
(a + 20) = 0. Qual é o valor de a?
2. (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (em metros)
dada em função do tempo t (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula
h = −5t2 + 20t. Qual é a altura máxima atingida pela bola.
3. Ao se inscrever para participar de uma feira, um expositor recebeu a informação de que
seu estande deveria ocupar uma área de 22, 25m2 , ter o formato retangular e perı́metro
igual a 22m. Que dimensões seu estande deve ter?
4. (Umesp-SP) O gráfico da função y = x2 + kx + m é uma parábola cujo vértice é o ponto
V = (−2, −9). Qual é o valor de k − m?
Projeto Galois
35
5. Os alunos de uma escola alugaram, para a festa de formatura, um barzinho com capacidade para 150 pessoas. Cada aluno comprometeu-se, de inı́cio, a pagar R$10, 00.
Caso o barzinho não ficasse totalmente cheio, seu gerente propôs que cada aluno que
comparecesse pagasse um a adicional de R$0, 50 para cada lugar vazio.
(a) Qual a receita obtida se, no dia, comparecessem 120 pessoas?
(b) Como se expressa a receita R gerada pela presença de x (x ≤ 150) alunos?
(c) Para que valor de x a receita gerada é máxima? Qual é essa receita?
6. Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f (x) = x2 − 2|x| + 1
e g(x) = mx + 2m.
(a) Esboçar, no plano cartesiano, os gráficos de f e de g quando m =
1
4
e m = 1.
(b) Determinar as raı́zes de f (x) = G(x) quando m = − 12 .
(c) Determinar, em função de m, o número de raı́zes da equação f (x) = g(x).
7. Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que,
se cada pessoa pagasse R$ 6, 00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes,
arrecadando um total de R$ 2760, 00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento
de R$ 1, 50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais
estimativas, para que a arrecadação seja a maior possı́vel, qual deve ser o preço unitário
da inscrição?
8. Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$15,00 o quilograma. Uma
pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante
deixa de vender o equivalente a 5kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo
corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor
total pago pelos clientes.
(a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$18,00/kg
ou para R$20,00/kg?
(b) Formule matematicamente a função f (x), que fornece a receita do restaurante como
função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo
da refeição.
(c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior
receita possı́vel?
9. Seja f ( 23 ) = 25
é o máximo de uma função quadrática f e se (−1, 0) é um ponto do gráfico
4
de f , então qual é o valor de f (0)?
10. Na figura abaixo, temos a esboço do gráfico da função f (x) = −x2 + 2x. Quanto vale o
lado do quadrado ABCD?
Projeto Galois
36
Projeto Galois
37
Projeto Galois
38
Capı́tulo
3
39
3.1
Paralelepı́pedos e Cubos
1. Aumentando a área em 2cm a aresta a de um cubo C1 , obtemos um cubo C2 , cuja área
de superfı́cie aumentou 216cm2 , em relação ao cubo C1 .
Determine:
(a) A medida da aresta do cubo C1 .
(b) O volume do cubo C2 .
2. Um cubo inscrito em uma esfera de raio r tem seu lado dado por l = √2r3 . Considere r = 2
e calcule o volume da região de que é interior a esfera e exterior ao cubo.
3. Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite “longa vida”mostrou-se conveniente
para ser utilizada como manta para subcoberturas de telhados, com a vantagem de ser
uma solução ecológica que pode contribuir para que esse material não seja jogado no lixo.
Com a manta, que funciona como isolante térmico, refletindo o calor do sol para cima,
a casa fica mais confortável. Determine quantas caixinhas precisamos para fazer uma
manta (sem sobreposição) para uma casa que tem um telhado retangular com 6, 9m de
comprimento e 4, 5m de largura, sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontada (e ter
o fundo e o topo abertos), toma a forma aproximada de um cilindro oco de 0, 23m de
altura e 0, 05 de raio, de modo que, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemos
um retângulo. Nos cálculos, use o valor aproximado π = 3
4. Considere um cubo de aresta a. Seja B um poliedro de oito faces triangulares, cujos
vértices são os centros das faces do cubo. Determine a razão entre os volumes desse cubo
e do poliedro B.
5. Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepı́pedo reto de altura 8m e
base quadrada de lado 6m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de
altura 8m e base quadrada com lado 6m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide
é preenchido com água, até uma altura h , a partir da base (h ≤ 8)). Determine o volume
da água para um valor arbitrário de h, 0 ≤ h ≤ 8.
6. A figura mostra um cubo em cima e encostado ( no lado esquerdo) por dois paralelepı́pedos. Sabendo que o volume dos paralelepı́pedo deitado é de 45cm2 e que o valor de
x na figura é o dobro do de y. Determine em função do lado do cubo:
(a) O volume do paralelepı́pedo em pé.
(b) A área superficial da peça formado pelo cubo e pelos dois paralelepı́pedos como na
figura:
7. No cubo de aresta a abaixo, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCY E. Calcule,
em função de a:
(a) O comprimento do segmento XY .
Projeto Galois
40
(b) A área da base da pirâmide.
8. A aresta de um cubo mede x cm. Determine a razão entre o volume e a área total do
poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo.
9. Os cubos cinza são idênticos e de volume 54cm3 . Determine o volume total do paralelepı́pedo constituı́do pelos dois cubos cinza e os dois paralelepı́pedos brancos onde o valor
x = 1.
Projeto Galois
41
10. As dimensões x, y e z de um paralelepı́pedo retângulo estão em progressão aritmética.
Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 6cm e que a área total do paralelepı́pedo é
igual a 22cm2 , então determine o volume deste paralelepı́pedo em cm3 .
Projeto Galois
42
3.2
Inequações e Função Modular
1. Resolva as inequações em R:
(a) |2x2 − 3| > 4
(b) |3x − 5| ≥ 5
(c) |x|2 − 4|x| + 3 ≥ 0
(d) |x2 − 3x| ≤ 1
2. (ITA- 2002) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f (x) =
está definida, formam quais conjuntos?
p
5 − ||2x − 1| − 6|
3. (ITA) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x2 − 63x + c
, numa diferença de dois cubos (x+a)3 −(x+b)3 . Neste caso, qual é o valor de |a+|b|−c|?
4. (ITA) Sobre a equação na variável real x, |||x − 1| − 3| − 2| = 0. Qual é a soma de todas
as soluções?
5. (MACKENZIE) Qual é a soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x2 − x − 2| =
2x + 2?
6. Encontre k para que a função f (x) = (|2k − 3| − 5)x + 7 seja crescente.
7. Determine k para que o gráfico da função y = (|k + 6| − 3)x2 − 5x + 6 tenha a concavidade
voltada para baixo.
8. Resolva as inequações:
(a)
(b)
(c)
1
> 1, 6363...
1−x
x+3
x+1
> x+4
x+2
3
− x4 ≥ −1
2
x
9. Seja a, b, c, d > 0 tais que ab < dc . Mostre que ab < a+c
< dc . Interprete este resultado no
b+d
caso em que a, b, c e d são inteiros positivos(isto é, o que significa somar numeradores e
denominadores de duas frações?).
)2 <
10. Sejam a e b números não negativos. Mostre que ( a+b
2
Projeto Galois
a2 +b2
.
2
43
3.3
Adição e Subtração de Matrizes, Matriz Inversa

1
 1
1. Considere a matriz A = 
 1
1
da matriz inversa de A?

1 1 1
2 3 4 

4 9 16 
8 27 64
. Qual é a soma dos elementos da primeira coluna
2. (UFV-2007) Em computação gráfica, quando um programa altera a forma de uma imagem, está
transformando cada ponto de coordenadas (x, y) , que forma a imagem, em um novo ponto de
coordenadas (a, b) . A figura abaixo ilustra a transformação da imagem 1 na imagem 2.
Um dos procedimentos que consiste em transformar o ponto (x, y) no ponto (a, b) é realizado,
através de operações com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:
Etapa 1: Fixe duas matrizes invertı́veis M e E , de ordem 2, e considere M −1 a matriz inversa
de M .
Etapa 2: Tome P e Q as matrizes
cujas entradas
são as coordenadas dos pontos (x, y) e (a, b) ,
x
a
respectivamente, isto é, P =
eQ=
y
b
−1
Etapa 3: Obtenha Q a partir
de P por meio da
expressão
Q = EM P . Considerando estas
2 2
0 1
etapas e as matrizes M =
eE=
, determine:
−3 3
−1 0
(a) A inversa de M .
(b) O ponto (a, b) que é obtido do ponto (2, 3) por meio da expressão Q = EM −1 P .
x y
3. (UFBA/UFRB - 2008) Considere as matrizes A =
de elementos reais não negativos,
z w
1 1
16 7
B =
eC =
Sabendo que A comuta com B e que A2 = C, calcule o
0 0
0 9
determinante da matriz X = 12A−1 + At .




3 −2
2 4
4. Sejam as matrizes A =  1 5  e B =  −1 6  . Determine as seguintes matrizes:
9
8
0 7
(a) 3A + B
(b) A − 3B
Projeto Galois
44
5.
6.
7.
8.
3
2
1
2
1
2
4 3
,B=
Dadas as matrizes A =
0
1 2
X que verifica a equação 2A + B = X + 2C.
3 2
Determine, se existir, a inversa de A =
5 4
1 2
Determine x a fim de que a matriz A =
0 x
−3 4 .
Dada a matriz M = 45 53
5
eC=
0
−1
2
1
2
0
. Determine a matriz
seja igual a soma de sua inversa.
5
(a) Mostre que m2 = I2 .
(b) Ache números α, β tais que a matriz p = αm + βI2 cumpram p2 = p e seja não-nulo.
(c) Encontre uma matriz não-nula q tal que pq = qp = 0. Escreve p e q explicitamente
9. Uma matriz
quando seu determinante é nulo. Então quais os valores de c tornam

 é dita sungular
1 1 1
a matriz  1 9 c  singular?
1 c 3
 
  

3
x
−a
2
a
a
−a   y  =  1  .
10. Considere a equação matricial  3
6
z
2 −4a −2
(a) Para qual(is) valor(es) de a a equação matricial possui uma única solução? Justifique.
(b) Determine a solução da equação matricial para a = −1, justificando a sua resposta.
Projeto Galois
45
3.4
Pirâmides
1. Um tetraedro regular SABC de aresta a é cortado por um plano que passa pelo vértice A e pelos
pontos D e E situados respectivamente sobre as arestas SB e SC. Sabendo que SD=SE= 14 SC,
calcule o volume da pirâmide ASDE.
2. Corta-se um tronco de pirâmide de bases paralelas, B e b, por um plano paralelo às bases e cuja
razão das distâncias a essas bases é m
n . Ache a área da secção do corte conhecendo as áreas da
base maior, B, e da base menor, b, do tronco.
3. (Unicamp 95) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20cm. Sobre a base
dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide
em um quadrado de lado igual a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule
o volume do cubo.
4. Uma pirâmide tem a altura medindo 30cm e área da base igual a 150cm2 . Qual é a área da
seção superior do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo
à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 17cm?
√
5. A base de uma pirâmide é um quadrado cuja diagonal mede 15 2cm. A altura da pirâmide
tem a mesma medida que a aresta da base. Calcule seu volume.
6. A grande pirâmide de Queóps é uma pirâmide regular de base quadrada com 137m de altura.
Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179m. Calcule
a área da base da pirâmide em metros quadrados.
7. Numa pirâmide de base quadrada cujo volume é numericamente o dobro da área da base, que
por sua vez é numericamente igual ao triplo da altura. Calcule seu volume.
8. A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L=6cm e arestas laterais das faces
A=3cm.
(a) Calcule a altura da pirâmide.
(b) Qual o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
9. A aresta da base de√uma pirâmide hexagonal regular mede 12cm. Para cobrir todas as suas
faces, gastou-se 576 3 cm2 de papel dourado. Qual o volume dessa pirâmide?
10. (Fuvest 02) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V .
Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio do
segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60◦ , então o volume da pirâmide é:
Projeto Galois
46
3.5
Radiciação, Potenciação e Exponenciais
1. Considere a equação 2x + m22−x - 2m - 2 = 0, onde m é um número real.
(a) Resolva essa equação para m = 1.
(b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.
2. Se uma área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta
t
50% a cada mês, então a função n(t) = N ( 33 ) fornece o número (aproximado) de pessoas afetadas
pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área.
3. Resolver a seguinte equação exponencial 9x+1 - 4.3x - 69 = 0.
4. Resolver a seguinte inequação exponencial 52x+1 - 5x+3 > 5x - 5
5. Uma piscina tem capacidade para 100 m3 de água. Quando a piscina está completamente cheia,
é colocado 1kg de cloro na piscina. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina
a uma vazão constante, sendo o excesso de água eliminado através de um ladrão. Depois de 1
hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.
(a) Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua aplicação?
(b) E após meia hora da aplicação?
p
p
√
√
6. Calcule o valor de 5 − 2 6 - 5 + 2 6.
7. Ache o conjunto solução:
(a) 4x - 2x+1 + 1 = 0.
(b) 7x−1 + 7x = 8x .
8. O rendimento de uma empresa A em bilhões a cada ano x de sua existência é dado por R(x) =
2x e de uma empresa B é de P (x) = 3x - 21 .
(a) Qual é o rendimento total de empresa após 5 anos?
(b) Se a empresa B depois de x anos teve o faturamento de
qual o rendimento da empresa A.
Projeto Galois
17
2
bilhões neste mesmo tempo
47
9. Se a2x =
1
3
quanto vale
a3x +a−3x
.
ax +a−x
10. Resolva em R:
(a) 5x ≥ 125.
(b) 22x - 2x+1 3x + 32x > 0
Projeto Galois
48
3.6
Determinante
1. Seja a matriz
2.
3.
4.
5.
6.
7.
cos25◦ sen65◦
sen120◦ cos390◦
. Calcule o valor do seu determinante.


bcd 1 a a2
 acd 1 b b2 

Sejam a, b, c e d números reais não nulos. Exprima o valor do determinante da matriz 
 abd 1 c c2 
abc 1 d d2
na forma do produto de números reais.


2 −1
−1 0
1
2  . Qual o determinante
(UNIFOR) Sejam as matrizes A =
eB = 1
0
2 −2
0
1
da matriz A.B?


p 2 2
(UESP) Se o determinante da matriz  p 4 4  é igual a −18 então qual é o determinante
p 4 1


p −1 2
da matriz  p −2 4  ?
p −2 1


2 1 0
(UESP) Se o determinante da matriz  k k k  é igual a 10, então qual é o determinante
1 2 −2


2
1
0
da matriz  k + 4 k + 3 k − 1  ?
1
2
−2
1 + a −1
Para que o determinante da matriz
seja nulo, qual deve ser o valor de a?
3
1−a


1 1 3 1
 1 3 3 2 

(MACK) Calcule o determinante da matriz 
 2 5 3 3 
1 1 1 1
8. Sejam A e B matrizes 3x3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então qual é o det(A x 2B)?
1 2
3 −1
9. Dadas as matrizes A =
eB=
, calcule:
1 0
0 1
(a) detA + detB
(b) det(A + B)
10. Calcule detA, onde:

3 −1
 0 2
(a) A = 
 2 0
1 1
Projeto Galois
5
0
−1
2

0
1 

3 
0
49

i
3
2 −i
 3 −i 1
i 

(b) A = 
 2
1 −1 0 
−i i
0
1

Projeto Galois
50
3.7
Estudo do Cilindro e do Cone Determinante
1. A geratriz de um cone circular reto mede 20cm e forma um ângulo de 60◦ com o plano da base.
Determine a área lateral, área total e o volume do cone.
2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60◦ . Girando-se o
triângulo em torno do cateto menor, obtêm-se um cone. Qual é o seu volume?
3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O
prisma tem altura de 12cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determine a altura do
cone.
4. Sabendo-se que a área lateral de um cone circular reto é 15πcm2 e que o diâmetro de sua base
mede 6cm, qual é o seu volume?
5. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360πcm3 , e uma pirâmide regular cuja
base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que √
a altura da pirâmide é o dobro
da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3cm2 , então, a área lateral da
pirâmide mede, em cm2 ?
6. A ilustração abaixo representa um copo no formato de cone reto. Enchendo com água 180 copos
iguais ao da figura, quantos mililitros serão necessários?
7. Uma lata de óleo tem 3cm de diâmetro na base e 18cm de altura. Quantos centı́metros quadrados
de material são usados aproximadamente, para fabricar essa lata?
8. Um aquário cilı́ndrico com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2 está com água até a
metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário de modo que fiquem totalmente submersas, o nı́vel da água sobe para 16, 5cm. Qual o volume de pedras, em centı́metros
cúbicos?
9. Um cilindro circular reto com 4cm de raio e 12, 5cm de altura foi construı́do com massa de
modelar. Com essa mesma quantidade de massa, quantos cones circulares retos de 2cm de raio
e 7, 5cm de altura são possı́veis construir?
10. Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilı́ndricos para a armazenagem de um certo tipo
de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm para o raio da base e 80cm para a altura. O
material utilizado na tampa e na lateral custa R$100, 00 o metro quadrado. Devido à necessidade
Projeto Galois
51
de um material mais resistente no fundo, o preço do material para a base inferior é de R$200, 00
o metro quadrado. Qual o custo de material para a confecção de um desses tambores sem contar
as perdas de material? (Em seus cálculos, considere p = 3, 14.)
Projeto Galois
52
3.8
Logarı́tmos
1. Resolva o sistema de equações para x > 0 e y > 0.
y
x = yx
2x = 3y
2. Considerando ln(2x + 2−x ) = 1, escreva 8x + 8−x em função de e.
3. Seja f (x) :]0, ∞[→ R dada por f (x) = log3 x.
4. Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logarı́tmos numa dada base k são números
primos satisfazendo logk (xy) = 49, logk (x) = 44 e logk (z) = 44.Calcule logk (xyz).
5. Se A = log3 ( x3 ) e B = log3 x, calcule o valor de A-B.
6. Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação | log(12x3 − 19x2 + 8x)| onde
log y e |y| representam respectivamente o logarı́tmo na base 10 e o módulo de y
7. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual 5.


1
−1
0
0


0
1
−1
0




0
0
1
−1
log2 (n − 1) log2 (n + 2) log2 (n − 1) log2 (n − 1)
8. Resolva a equação: logsen(x)+cos(x) (1 + sen(2x)) = 2 x ∈ [− π2 , π2 ].
9. Considere o sistema de equações dado por:
3 log3 α + log9 β = 10
log93 α − 2 log3 β = 10
onde α e β são números reais positivos. Determine o valor do produto P =αβ.
10. Tome loga b = X, logq b = Y e n > 0, sendo n um número natural. Tomando c como o produto
dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o valor de
logc b em função de X, Y e n.
Projeto Galois
53
3.9
Sistemas lineares
1. (UESP) Se o termo (x0 , y0 , z0 ) é a solução do sitema

 3x + z = −5
x + y + z = −2

2x − z = −3
Então 3x + 5y + 4z é igual a:
2. Determine m para o sitema:
Tenha apenas a solução trivial.

 2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0

5x + 3y + mz = 0
3. Se o termo (x0 , y0 , z0 ) é a solução do sistema

 3x + z = −5
x + y + z = −2

2y − z = −3
Calcule 3x0 + 4y0 − 3z0 .
4. Determine k para que o sistema admita solução:

 −4x + 3y = 2
5x − 4y = 0

2x − y = k
5. Encontre o número de soluções que admite o sistema de equações abaixo:

2x − y + 3z = 11



4x − 3y + 2z = 0
 x=y=z=6


3x + y + z = 4
6. Considere o sistema linear com incógnitas x, y, z e w abaixo

2x + my = −2



x + y = −1
y
+
(m
− 1)z + 2w = 2



z−w =1
Para que valores de m o sistema tem uma única solução ?
7. Resolva o sistema linear abaixo:


y + 5z = −4
x + 4y + 3z = −2

2x + y + z = −1
Projeto Galois
54
8. As seguintes retas: 2x + 3y = −1, 6x + 5y = 0 e 2x − 5y = 7 possuem um ponto em comum?
Justifique.
9. Determine o ponto de interseção das seguintes retas: x − 5y = 1 e 2x − 3y = 3.
10. Diga se (3,4,-2) é uma solução do sistema abaixo:

 5x − y + 2z = 7
−2x + 6y + 9z = 0

−7x + 5y − 3z = −7
E explique sua resposta.
Projeto Galois
55
3.10
Estudo da Esfera e Geometria Analı́tica
1. A que distância do centro de uma esfera de raio 10m devemos traçar um plano para obter uma
secção de área 64πm2 ?
2. A área de um circulo máximo de uma esfera vale 100πdm2 . Calcule a área da superfı́cie esférica
e o volume da esfera.
3. Um cubo de aresta a está inscrito numa superfı́cie esférico S de raio r. Calcule r em função de
a.
4. Uma esfera está inscrito num cone circular reto, de altura 6cm e de geratriz 7, 5cm. Calcule o
volume dessa esfera.
5. (UFC) ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1), C(1, 5). Determine
as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos
vértices de ABC seja a menor possı́vel, e calcule o valor mı́nimo correspondente da soma.
6. Qual é a razão do volume da metade de uma esfera de raio r e da pirâmide de base quadrada
inscrita na esfera.
7. Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (1, 2). Um dos vértices do quadrado
é o ponto (−3, −1). Determine os outros vértices.
8. Um objeto parte do ponto A(−2, 1) segue para B(2, 2) e para em C(3, 5) em linha reta de um
ponto pra o outro. Qual o comprimento da trajetória?
9. Da figura determine as coordenadas dos pontos R e S.
10. Determine o ponto eqüidistante de A(0, 1) e B(4, −1) sabendo que a sua ordenada é o triplo da
abscissa.
Projeto Galois
56
Capı́tulo
4
57
4.1
Números Complexos
1. Determine os valores para b tais que (1 + bi)3 é real.
2. Considerando z ∈ C, resolva as equações:
(a) z 2 − 2iz − 2 = 0
(b) z 2 + 4iz − 4 = 0
(c) z 2 − (3 + i)z + 2 + 2i = 0
3. O ponto P (x, y) do plano de Gauss correspondente ao número z = x + yi denomina-se af ixo de
z. Dessa forma determine o lugar geométrico dos pontos P tais que − 12 ≤ Re(z) ≤ 12 e |z| ≤ 1.
4. As soluções complexas da equação z 6 = 1 são vértices de um polı́gono regular no plano complexo.
Calcule o perı́metro deste polı́gono.
5. A representação trigonométrica de um número complexo z é dada por z = (cosθ + senθ). Se z
é um número complexo e z seu conjugado, resolva a equação: z 3 = z.
6. Determine o número complexo z tal que z, z1 , (1 − z) tenham o mesmo módulo.
7. Determine o conjugado do número complexo (1 − i−1 )−3 .
8. Considere o número complexo z = x + yi, x, y ∈ R, cujo afixo é o ponto P (x, y). Determine o
lugar geométrico dos pontos P tais que |z| ≤ 2
9. Determine as raı́zes sextas do número complexo z = −1.
4.2
Polinômios
1. Determine a, b, c e d tais que sejam iguais os polinômios :
p(z) = az 4 + 2z 3 + (b + 1)z 2 − 5z + c − 1
q(z) = (b − 1)z 3 + (d − 3)z 2 + ez
2. Calcule, pelo método dos coeficientes a determinar, o quociente e o resto da divisão:
(a) A(z) = −2z 3 + 8z 2 + 4 por B(z) = −2z 2 − 1.
(b) A(z) = z 3 + 2z 2 + 2z + 1 por B(z) = z + 1.
3. Determine os valores de m e n tais que:
(a) 2z 3 + 4z 2 + mz + n seja divisı́vel por z 2 + z + 2
(b) o resto da divisão de z 4 + mz 2 + n por z 2 − 2z seja 5.
4. Determine usando o teorema de D´Alembert, o resto das divisões:
Projeto Galois
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(a) A(z) = z 4 − z 3 − z 2 − z − 9 por B(z) = z − 1.
(b) A(z) = z 4 − 2z 3 + 3z 2 − z + 1 por B(z) = z − i.
5. Determine, usando o teorema de D´Alembert, o reto da divisão de A(z) = z n −1 por B(z) = z+1,
em que n ∈ N.
6. Um polinômio A(z), dividido por D(z) = z − i, apresenta resto 3. O quociente dessa divisão
é então dividido por C(z) = z − 2, obtendo-se resto 2. Qual o resto da divisão de A(z) por
B(z) = (z − 1)(z − 2) ?
7. O polinômio A(z) = 3z 3 +αz 2 +βz +n é divisı́vel por C(z) = z 2 −5z +6 e por D(z) = z 2 −4z +4.
Determine o termo independente de z em A(z).
8. Resolva a equação z 3 − 9z 2 + 26z − 24 = 0, sabendo que α = 2 é uma de suas raı́zes.
9. Resolva a equação z 3 − 5z 2 + z − 5 = 0, sabendo que α = 5 é uma de suas raı́zes.
10. Resolva a equação z 4 + z 3 − 19z 2 + z − 20 = 0, sabendo que α = i e β = 4 são duas de suas
raı́zes.
4.3
Geometria Analı́tica
1. A reta de equação y = −2x − 3 passa pela origem ? E pelo ponto P (−3, 2)?
2. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2, 8) e B(4, 14), depois determine sua equação.
3. Obtenha a equação da reta r, que possui coeficiente angular e coeficiente linear respectivamente
iguais a −3 e 1. P (2, 5) é ponto de r?
4. Encontre a equação da reta que forma ângulo de 45◦ com o eixo das abscissas, no sentido
positivo, e que passa por P (2, 9).
5. Seja r a reta de equação y = 2x + 3.
(a) r passa pela origem ?
(b) Qual o coeficiente angular de r?
(c) A equação encontrada é equivalente á equação 4x − 8y + 12 = 0?
(d) Quais são os pontos em que r corta os eixos cartesianos ?
Projeto Galois
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Referências
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• http://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx
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• ITA (Instituto Tecnológico de Aeronáutica)
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• MACKENZIE (Universidade Presbiteriana Mackenzie)
• PUC-SP (Pontifı́cia Universidade Católica de São Paulo)
• UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas)
• VUNESP (Vestibular da Universidade Estadual Paulista)
• UFRJ (Universidade Federal do Rio de Janeiro)
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Projeto Galois
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• UFF-RJ (Universidade Federal Fluminense)
• ENEM-MEC (Exame Nacional do Ensino Médio)
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